เรขาคณิตไม่สลับที่ ( NCG ) เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาแนวคิดทางเรขาคณิตผ่านพีชคณิตไม่สลับที่ในเรขาคณิตทั่วไป พื้นที่มักจะสามารถศึกษาได้โดยใช้พีชคณิตสลับที่ของฟังก์ชันบนพื้นที่นั้น เรขาคณิตไม่สลับที่ขยายมุมมองนี้ไปยังพีชคณิตที่ผลคูณของสององค์ประกอบไม่จำเป็นต้องสลับที่ พีชคณิตดังกล่าวถือเป็นอนาล็อกของพีชคณิตของฟังก์ชันบนพื้นที่ทั่วไปหรือ "ไม่สลับที่" ^{[ 1 ] [ 2 ]}

หัวข้อนี้ไม่ใช่รูปแบบเดียว^{[ 2 ] [ 3 ]}รวมถึงวิธีการพีชคณิตตัวดำเนินการโดยอิงจาก พีชคณิต C* , พีชคณิต von Neumannและสามเท่าสเปกตรัม ; แนวทางพีชคณิตสำหรับวงแหวนไม่สลับที่และพีชคณิตแบบแบ่งระดับ; และการสร้างที่เกี่ยวข้องกับการหาปริมาณการเปลี่ยนรูป , พีชคณิต C* ของกลุ่ม , โฮโมโลยีแบบวัฏจักรและทฤษฎี Kตัวอย่างมาตรฐานคือทอรัสไม่สลับที่ ซึ่งพีชคณิตของมันถูกสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบเอกภาพสองตัวที่สอดคล้องกับความสัมพันธ์การสลับที่บิดเบี้ยว และทำหน้าที่เป็นกรณีทดสอบสำหรับเวอร์ชันไม่สลับที่ของเวกเตอร์บันเดิล การเชื่อมต่อ ความโค้ง และทฤษฎีดัชนี^{[ 4 ] [ 3 ]}

แนวคิดที่ปัจจุบันจัดอยู่ในกลุ่มเรขาคณิตไม่สลับที่พัฒนามาจากหลายสาขา รวมถึงทฤษฎีพีชคณิตตัวดำเนินการทฤษฎีดัชนีเรขาคณิตเชิงพีชคณิตกลศาสตร์ควอนตัมและทฤษฎีเออร์โกดิกคำนี้มีความเกี่ยวข้องโดยเฉพาะกับงานของAlain Connesซึ่งได้นำเสนอกรอบการทำงานที่สามารถใช้พีชคณิตตัวดำเนินการ โคฮอโมโลยีแบบวัฏจักร และรูปแบบเชิงอนุพันธ์ทั่วไปเพื่อศึกษาพื้นที่ที่อธิบายได้ไม่ดีด้วยวิธีการเซตจุดธรรมดา^{[ 5 ]}

ขอบเขตของสาขาวิชานี้กว้างขวาง ในแนวคิดพีชคณิตตัวดำเนินการ พีชคณิตไม่สลับที่ถูกตีความว่าเป็นพีชคณิตของฟังก์ชันบนปริภูมิเชิงทอพอโลยีไม่สลับ ปริภูมิเชิงการวัด ปริภูมิเรียบ หรือปริภูมิเมตริกไม่สลับ ในเรขาคณิตพีชคณิตไม่สลับ จะมีการศึกษาเกี่ยวกับวงแหวนแบบเชื่อมโยงและหมวดหมู่ของโมดูลในฐานะที่เป็นอนาล็อกของวงแหวนพิกัดและหมวดหมู่ของชีฟ การควอนตัมแบบการเปลี่ยนรูปและกลุ่มควอนตัมเป็นสาขาที่เกี่ยวข้องเมื่อพีชคณิตไม่สลับของพวกมันถูกตีความในเชิงเรขาคณิต แม้ว่าจะมีการศึกษาในฐานะวิชาอิสระด้วยเช่นกัน

แรงจูงใจหลักคือการขยายความสัมพันธ์แบบทวิภาคระหว่างปริภูมิและพีชคณิตของฟังก์ชัน ถ้าเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับ พีชคณิต C*-สลับที่ของฟังก์ชันต่อเนื่องค่าเชิงซ้อนจะกำหนด ได้จนถึงโฮมีโอเมอร์ฟิซึม โดยการแสดงแทนแบบสลับที่ของเกลฟานด์ ในทำนองเดียวกัน หมวดหมู่ของโครงร่างเชิงเส้นในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตเป็นคู่กันกับหมวดหมู่ของวงแหวนสลับที่ และคุณสมบัติทางเรขาคณิตหลายอย่างของโครงร่างสามารถศึกษาได้ผ่านหมวดหมู่ของชีฟหรือโมดูล ${\displaystyle X}$${\displaystyle C(X)}$${\displaystyle X}$

ในตัวอย่างคลาสสิกเหล่านี้ เรขาคณิตถูกเข้ารหัสด้วยพีชคณิต การบวกและการคูณของฟังก์ชันถูกกำหนดแบบจุดต่อจุด และสมบัติการสลับที่ของการคูณสะท้อนให้เห็นว่าฟังก์ชันรับค่าสเกลาร์บนเซตของจุดธรรมดา เรขาคณิตแบบไม่สลับที่เริ่มต้นจากการสังเกตว่าพีชคณิตจำนวนมากที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติในวิเคราะห์ เรขาคณิต และฟิสิกส์นั้นไม่สลับที่ แต่ยังคงรักษาคุณลักษณะทางเรขาคณิตไว้ แทนที่จะกำหนดปริภูมิแล้วจึงกำหนดฟังก์ชัน เราจึงศึกษาพีชคณิตแบบไม่สลับที่โดยตรงและตีความว่าเป็นพีชคณิตของฟังก์ชันบนปริภูมิทั่วไป

โดยทั่วไปแล้ว พีชคณิตแบบไม่สลับที่กันจะมีอักขระน้อยเกินไปที่จะสร้างปริภูมิเซตจุดขึ้นมาใหม่ด้วยวิธีปกติ ดังนั้น เรขาคณิตแบบไม่สลับที่กันจึงมักแทนที่จุดด้วยโครงสร้างอื่นๆ เช่น การแทนค่า โมดูล ร่องรอย สถานะ คลาสทฤษฎี K โคไซเคิลแบบวัฏจักร หรือหมวดหมู่ การเปลี่ยนแปลงนี้เป็นหนึ่งในเหตุผลที่เรขาคณิตแบบไม่สลับที่กันในแต่ละเวอร์ชันเน้นตัวแปรคงที่และแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันที่แตกต่างกัน เช่นความเท่าเทียมกันของโมริตะ

โครงสร้างพีชคณิตตัวดำเนินการบางส่วนที่ใช้ในเรขาคณิตไม่สลับที่นั้นมีรากฐานมาจากทฤษฎีเออร์โกดิกโดยเฉพาะอย่างยิ่ง พีชคณิตผลคูณไขว้ที่เกี่ยวข้องกับการกระทำของกลุ่มสามารถมองได้ว่าเป็นพีชคณิตของฟังก์ชันบนปริภูมิผลหารซึ่งอาจเป็นเอกฐานหรืออาจไม่มีปริภูมิผลหารปกติที่น่าพอใจ แนวคิดก่อนหน้านี้ เช่น ทฤษฎีกลุ่มย่อยเสมือนของ จอร์จ แม็กกีย์ได้คาดการณ์ถึงการใช้พีชคณิตตัวดำเนินการเพื่อพิจารณาการกระทำเออร์โกดิกในฐานะปริภูมิเอกพันธุ์ทั่วไป

ปริภูมิคู่แบบเป็นทางการของพีชคณิต C* แบบ ไม่สลับที่ มักเรียกว่าปริภูมิเชิงทอพอโลยีแบบไม่สลับที่ คำศัพท์นี้ได้รับแรงบันดาลใจจากทฤษฎีบท Gelfand–Naimark ซึ่งระบุว่าพีชคณิต C* แบบสลับที่ คือพีชคณิตของฟังก์ชันต่อเนื่องบนปริภูมิ Hausdorff ที่มีคุณสมบัติกระชับเฉพาะที่ ดังนั้น พีชคณิต C* แบบไม่สลับที่ จึงสามารถศึกษาได้ราวกับว่าเป็นพีชคณิตของฟังก์ชันต่อเนื่องบนปริภูมิที่เซตของจุดปกติถูกแทนที่ด้วยข้อมูลพีชคณิตตัวดำเนินการ

ในทำนองเดียวกัน พีชคณิตฟอนนอยมันน์แบบสลับที่สอดคล้องกับวัตถุเชิงทฤษฎีการวัด ในขณะที่พีชคณิตฟอนนอยมันน์แบบไม่สลับที่มักถูกมองว่าเป็นปริภูมิการวัดแบบไม่สลับที่ มุมมองนี้มีประโยชน์ในสาขาต่างๆ เช่น การอินทิเกรตแบบไม่สลับที่ ทฤษฎีโทมิตะ-ทาเคซากิ และทฤษฎีการจำแนกประเภทของพีชคณิตตัวดำเนินการ

พีชคณิต C*-กรุปอยด์และ พีชคณิต ผลคูณไขว้ให้ตัวอย่างพื้นฐานมากมาย หากกลุ่มกระทำการบนปริภูมิ ผลคูณไขว้จะรวมฟังก์ชันบนปริภูมิเข้ากับการกระทำของกลุ่ม เมื่อผลหารโดยการกระทำเป็นเอกฐาน ไม่ใช่เฮาส์ดอร์ฟ หรือมีพฤติกรรมที่ไม่เหมาะสม ผลคูณไขว้ยังคงสามารถรักษาข้อมูลทางเรขาคณิตและพลศาสตร์ที่มีประโยชน์ไว้ได้ แนวทางนี้มีความสำคัญสำหรับโฟลิเอชัน การปูพื้นผิว ระบบพลศาสตร์ และตัวอย่างจากฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์

สามารถศึกษาแมนิโฟลด์รีมันน์แบบเรียบและกะทัดรัด ได้โดยใช้ข้อมูลเชิงวิเคราะห์ สำหรับแมนิโฟลด์สปินแบบกะทัดรัด พีชคณิตจะกระทำโดยการคูณบนปริภูมิฮิลเบิร์ตของสปินเนอร์ที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ และตัวดำเนินการดิแรกจะเข้ารหัสเมตริก สิ่งนี้กระตุ้นให้เกิดแนวคิดของสามสิ่งเชิงสเปกตรัม ${\displaystyle M}$${\displaystyle C^{\infty }(M)}$${\displaystyle L^{2}(M,S)}$${\displaystyle D}$

สามสิ่งเชิงสเปกตรัมประกอบด้วยพีชคณิตที่แสดงบนปริภูมิฮิลเบิร์ตพร้อมด้วยตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองซึ่งโดยปกติแล้วไม่มีขอบเขต โดยที่เป็นปริภูมิกระชับ และตัวสลับตำแหน่งมีขอบเขตสำหรับองค์ประกอบในพีชคณิตย่อยหนาแน่นที่เหมาะสมของโครงสร้างเพิ่มเติม เช่น การจัดลำดับ โครงสร้างจริง ความสม่ำเสมอ และเงื่อนไขความจำกัด จะถูกกำหนดในหลายๆ การใช้งาน ${\displaystyle (A,H,D)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle H}$${\displaystyle D}$${\displaystyle (1+D^{2})^{-1/2}}$${\displaystyle [D,a]}$${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$

สามเท่าเชิงสเปกตรัมช่วยให้สามารถแสดงข้อมูลเมตริกในรูปแบบพีชคณิตได้ สำหรับแมนิโฟลด์สปินแบบรีมันน์ขนาดกะทัดรัดแบบคลาสสิก สูตรระยะทางของคอนเนสจะคืนค่าระยะทางจีโอเดสิกโดย

${\displaystyle d(x,y)=\sup\{|f(x)-f(y)|:\ \|[D,f]\|\leq 1\}.}$

ทฤษฎีบทการสร้างใหม่ของ Connes ระบุคร่าวๆ ว่า สเปกตรัมสามตัวที่สลับเปลี่ยนได้ซึ่งสอดคล้องกับสมมติฐานความสม่ำเสมอ ความจำกัด และการวางแนวที่เหมาะสม เกิดขึ้นจากแมนิโฟลด์เรียบขนาดกะทัดรัด^{[ 6 ]}

สามองค์ประกอบเชิงสเปกตรัมยังใช้ในการกำหนดอนาล็อกแบบไม่สลับที่ของรูปแบบเชิงอนุพันธ์ กลุ่มเวกเตอร์ ฟิลด์เกจ ข้อมูลเมตริก และการจับคู่ดัชนี สิ่งเหล่านี้เป็นหัวใจสำคัญในการกำหนดสูตรเชิงพีชคณิตตัวดำเนินการของคอนเนสในเรขาคณิตแบบไม่สลับที่ และในการประยุกต์ใช้กับฟิสิกส์อนุภาคและทฤษฎีดัชนี

เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์บนพีชคณิตไม่สลับที่จำเป็นต้องมีการแทนที่รูปแบบเชิงอนุพันธ์ จุดเริ่มต้นทั่วไปอย่างหนึ่งคือพีชคณิตเชิงอนุพันธ์แบบแบ่งระดับที่มีและอนุพันธ์ที่สอดคล้องกับกฎของไลบ์นิซ การเลือกใช้แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ที่แตกต่างกันสามารถนำไปสู่เรขาคณิตที่แตกต่างกันบนพีชคณิตเดียวกันได้ ${\displaystyle \Omega ^{\bullet }(A)}$${\displaystyle \Omega ^{0}(A)=A}$${\displaystyle d:A\to \Omega ^{1}(A)}$

ถ้าเป็นโมดูลขวาการเชื่อมต่อบนที่สัมพันธ์กับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ที่เลือกไว้จะเป็นแผนที่เชิงเส้น ${\displaystyle E}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle \nabla :E\to E\otimes _{A}\Omega ^{1}(A)}$

น่าพอใจ

${\displaystyle \nabla (ea)=\nabla (e)a+e\otimes ดา}$

สำหรับและ. ความโค้งของการเชื่อมต่อดังกล่าวได้มาจากการขยายไปสู่รูปแบบที่มีดีกรีสูงกว่าและการใช้. เมื่อเป็นโมดูลเชิงโปรเจกทีฟที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด มันจะทำหน้าที่เป็นโมดูลของส่วนต่างๆ ของบันเดิลเวกเตอร์ ${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \nabla ^{2}}$${\displaystyle E}$

ในบริบทของสเปกตรัมสามเท่า มักใช้รูปแบบหนึ่งเชิงอนุพันธ์ที่สร้างขึ้นจากผลรวมจำกัดของตัวดำเนินการการเชื่อมต่อบนโมดูลจะให้อนาล็อกแบบไม่สลับที่ของศักยภาพเกจ ในบริบทที่เข้มงวดกว่านั้น เรายังสามารถศึกษาการเชื่อมต่อแบบเฮอร์มิเชียน ทอร์ชั่น ความเข้ากันได้ของเมตริก และอนาล็อกของการเชื่อมต่อแบบเลวี-ซีวิทาได้ แต่ไม่มีคำจำกัดความสากลเดียวที่ครอบคลุมทุกแนวทางของเรขาคณิตแบบไม่สลับที่ ${\displaystyle a[D,b]}$

การเชื่อมต่อ Connesคือการเชื่อมต่อในความหมายทั่วไปที่ไม่สลับที่กันนี้ ซึ่งนำเสนอในงานของ Connes และต่อมาได้รับการพัฒนาในรูปแบบที่เกี่ยวข้องโดยJoachim CuntzและDaniel Quillen [ ^{7 ] คำ} จำกัดความที่แม่นยำขึ้นอยู่กับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์หรือกรอบงานโฮโมโลจีที่ใช้

ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต หมวดหมู่ของโครงร่างเชิงเส้นตรง (affine schemes) เป็นหมวดหมู่คู่ขนานกับหมวดหมู่ของวงแหวนสลับที่ได้ (commutative rings) อนาล็อกพื้นฐานที่ไม่สลับที่ได้คือการมองวงแหวนเอกลักษณ์แบบเชื่อมโยง (associative unique rings) ว่าเป็นวงแหวนพิกัดของปริภูมิเชิงเส้นตรงที่ไม่สลับที่ได้ ต่างจากกรณีสลับที่ได้ ไม่มีหมวดหมู่ใดที่ได้รับการยอมรับอย่างเป็นสากลสำหรับโครงร่างที่ไม่สลับที่ทั้งหมด และมีกรอบการทำงานหลายแบบที่อยู่ร่วมกัน

โครงสร้างที่มีอิทธิพลอย่างหนึ่งคือเรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟแบบไม่สลับที่ ถ้าเป็นพีชคณิตแบบแบ่งระดับ หมวดหมู่ผลหารซึ่งได้มาจากโมดูลแบบแบ่งระดับโดยการแยกหมวดหมู่ย่อยที่เหมาะสมของโมดูลทอร์ชั่น จะถูกมองว่าเป็นอนาล็อกของหมวดหมู่ของชีฟที่สอดคล้องกันบนแนวทางนี้ ซึ่งพัฒนาโดยMichael ArtinและJames J. Zhangขยายคุณสมบัติของเรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟไปยังพีชคณิตแบบแบ่งระดับแบบไม่สลับที่ภายใต้สมมติฐานเช่น noetherianity และ regularity ^{[ 8 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {qgr} A}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {โครงการ} A}$

ทฤษฎีบทที่คุ้นเคยหลายทฤษฎีมีรูปแบบที่คล้ายกันในบริบทนี้ ตัวอย่างเช่น รูปแบบของ Serre duality ได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับแผนผังเชิงโปรเจกทีฟที่ไม่สลับที่ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขความจำกัดที่เหมาะสม^{[ 9 ]} แนวทางอื่นๆ รวมถึงแนวทางของAlexander RosenbergและFreddy Van Oystaeyenและผู้ร่วมงาน ใช้ทฤษฎีการแปลตำแหน่ง หมวดหมู่ของชีฟกึ่งสอดคล้องกัน และแนวคิดทางทอพอโลยีของ Grothendieck เพื่อกำหนดแผนผังที่ไม่สลับที่^{[ 10 ] [ 11 ]}

เป้าหมายหลักของเรขาคณิตไม่สลับที่คือการขยายค่าคงที่ทางทอพอโลยีและเรขาคณิตจากปริภูมิธรรมดาไปสู่พีชคณิตไม่สลับที่ทฤษฎีตัวดำเนินการ Kและโฮโมโลยี Kให้อนาล็อกของเวกเตอร์บันเดิลและตัวดำเนินการเชิงวงรี โฮโมโลยีแบบวัฏจักรและโคโฮโมโลยีแบบวัฏจักรให้อนาล็อกไม่สลับที่ของโฮโมโลยีและโคโฮโมโลยีของเดอแรม อักขระเชิร์นเชื่อมโยงทฤษฎีเหล่านี้และอนุญาตให้จับคู่ที่สร้างค่าคงที่เชิงตัวเลข

คอนเนสได้นำเสนอโคฮอโมโลยีแบบวัฏจักรเป็นเครื่องมือสำหรับทฤษฎีดัชนีบนพีชคณิตแบบไม่สลับที่ ในบริบทของทริปเปิลสเปกตรัม โคไซเคิลแบบวัฏจักรแสดงถึงชั้นลักษณะเฉพาะ และการจับคู่กับทฤษฎี K นั้นเป็นการขยายการจับคู่ระหว่างโคฮอโมโลยีและเวกเตอร์บันเดิลบนแมนิโฟลด์ โคไซเคิลของจาฟเฟ-เลสนิเอฟสกี-ออสเตอร์วัลเดอร์ หรือโคไซเคิล JLOให้ลักษณะเฉพาะของเชิร์นสำหรับโมดูลเฟรดโฮล์มและทริปเปิลสเปกตรัมบางอย่าง

ทฤษฎีดัชนีแบบไม่สลับที่ขยายผลลัพธ์แบบคลาสสิก เช่น ทฤษฎีบทดัชนี Atiyah–Singer สูตรดัชนีท้องถิ่นของ Connes และ Moscovici ให้วิธีการคำนวณการจับคู่ดัชนีสำหรับสามสเปกตรัมที่เหมาะสมโดยใช้การแสดงออกท้องถิ่นในโคฮอโมโลยีแบบวัฏจักร^{[ 12 ]}

• โทรัสที่ไม่สลับที่ถูกสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบเอกภาพและสอดคล้องกับเงื่อนไขมันเป็นการเปลี่ยนแปลงของพีชคณิตของฟังก์ชันบนโทรัสธรรมดาและได้รับการศึกษาผ่านวิธีการพีชคณิต C* โมดูลเชิงโปรเจกทีฟ ความสมมูลของโมริตะ และทฤษฎีหยาง-มิลส์^{[ 13 ]}${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle VU=e^{2\pi i\theta }UV}$
• ในการควอนตัมการเปลี่ยนรูป พีชคณิตการสลับเปลี่ยนของฟังก์ชันบนแมนิโฟลด์ปัวซงจะถูกแทนที่ด้วยผลคูณที่ไม่สลับเปลี่ยนซึ่งขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์อย่างเป็นทางการผลคูณโมยาลเป็นตัวอย่างมาตรฐานสำหรับปริภูมิเฟสแบนราบ และคอนต์เซวิชได้พิสูจน์ทฤษฎีบทรูปแบบทั่วไปสำหรับการควอนตัมการเปลี่ยนรูปของแมนิโฟลด์ปัวซงมิติจำกัด^{[ 14 ]}
• พีชคณิต C* ที่เกี่ยวข้องกับโฟลิเอชันจะเข้ารหัสข้อมูลทางเรขาคณิตตามขวางเมื่อพื้นที่ใบปกติเป็นเอกฐานหรือไม่เป็นเฮาส์ดอร์ฟ^{[ 15 ]}
• ผลคูณไขว้ที่เกิดขึ้นจากระบบพลวัตรวมถึงการกระทำที่เชื่อมโยงกับทฤษฎีจำนวน เช่น แผนที่เกาส์บนเศษส่วนต่อเนื่อง เป็นตัวอย่างที่แสดงให้เห็นว่าปริภูมิวงโคจรได้รับการศึกษาโดยพีชคณิตแบบไม่สลับที่
• ทรงกลมฟัซซี่แทนที่พีชคณิตของฟังก์ชันบนทรงกลมสองมิติด้วยพีชคณิตเมทริกซ์มิติจำกัด และใช้เป็นค่าประมาณโหมดจำกัดสำหรับแบบจำลองทางเรขาคณิตและทฤษฎีสนาม^{[ 16 ]}
• แบบจำลองปริภูมิเวลาควอนตัมแทนที่ฟังก์ชันพิกัดที่สลับกันได้ด้วยตัวดำเนินการที่ไม่สลับกันได้ ตัวอย่างหนึ่งคือแบบจำลอง Doplicher–Fredenhagen–Roberts ซึ่งได้รับแรงบันดาลใจจากการรวมความไม่แน่นอนทางกลศาสตร์ควอนตัมเข้ากับการพิจารณาแรงโน้มถ่วง^{[ 17 ]}
• พีชคณิตเมทริกซ์มิติจำกัดและสามองค์ประกอบสเปกตรัมจำกัดให้ปริภูมิไม่สลับที่ที่เรียบง่าย สิ่งเหล่านี้ปรากฏทั้งในฐานะตัวอย่างในทฤษฎีและในฐานะส่วนประกอบในเรขาคณิตเกือบสลับที่

เรขาคณิตแบบไม่สลับที่ถูกนำมาใช้ในหลายสาขาของฟิสิกส์คณิตศาสตร์ ในกลศาสตร์ควอนตัม ตัวแปรตำแหน่งและโมเมนตัมที่ไม่สลับที่กระตุ้นให้เกิดการแทนที่ฟังก์ชันเฟสสเปซแบบคลาสสิกด้วยพีชคณิตแบบไม่สลับที่ของตัวดำเนินการหรือด้วยพีชคณิตผลคูณดาว ในทฤษฎีสสารควบแน่น เรขาคณิตแบบไม่สลับที่ได้ถูกนำไปใช้กับปรากฏการณ์ควอนตัมฮอลล์จำนวนเต็มและสื่อที่ไม่เป็นคาบ ซึ่งพีชคณิต C* แบบไม่สลับที่สามารถเข้ารหัสความไม่เป็นระเบียบ การแปลแม่เหล็ก และข้อมูลการติดฉลากช่องว่างได้^{[ 18 ]}

ในทฤษฎีพลังงานสูง พื้นที่ที่ไม่สลับกันได้ปรากฏในแบบจำลองเมทริกซ์และในขีดจำกัดบางประการของทฤษฎีสตริง^{[ 19 ]} โปรแกรมการกระทำเชิงสเปกตรัมศึกษา Lagrangian ทางฟิสิกส์ที่เกี่ยวข้องกับสามเท่าเชิงสเปกตรัม รวมถึงเรขาคณิตเกือบสลับกันได้ที่เกี่ยวข้องกับแบบจำลองมาตรฐานของฟิสิกส์อนุภาค^{[ 20 ] [ 21 ]} การใช้งานเหล่านี้เป็นหัวข้อการวิจัยที่กำลังดำเนินอยู่และไม่ได้หมายความว่าเรขาคณิตที่ไม่สลับกันได้เป็นกรอบทางคณิตศาสตร์เพียงอย่างเดียวสำหรับปัญหาทางฟิสิกส์ที่เกี่ยวข้อง

ทรงกลมฟัซซี่ยังถูกใช้เป็นการปรับให้เป็นระเบียบในมิติจำกัดในการศึกษาเชิงตัวเลขและทฤษฎี รวมถึงงานล่าสุดเกี่ยวกับทฤษฎีสนามคอนฟอร์มอลและปรากฏการณ์วิกฤต^{[ 22 ]}

• ทฤษฎี K พีชคณิต
• ความสามารถในการสลับที่
• โฮโมโลจีแบบวงจร
• การหาปริมาณการเสียรูป
• โมดูลเฟรดโฮล์ม
• ทรงกลมฟัซซี่
• พีชคณิต C*-กรุปอยด์
• เค-โฮโมโลจี
• การเชื่อมต่อ Koszul
• ความเทียบเท่าโมริตะ
• ผลิตภัณฑ์โมยาล
• เรขาคณิตพีชคณิตไม่สลับที่
• ทอรัสไม่สลับที่
• โทโพโลยีแบบไม่สลับที่
• การกำหนดสูตรพื้นที่เฟส
• พีชคณิตกึ่งอิสระ
• หลักการการกระทำเชิงสเปกตรัม
• สเปกตรัมสามเท่า

• Consani, Caterina ; Connes, Alain , บรรณาธิการ (2011). เรขาคณิตไม่สลับที่, เลขคณิต และหัวข้อที่เกี่ยวข้อง . บัลติมอร์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยจอห์นส์ ฮอปกินส์. ISBN 978-1-4214-0352-6.
• Ginzburg, Victor (2005). "การบรรยายเรื่องเรขาคณิตไม่สลับที่". arXiv : math/0506603 .
• Khalkhali, Masoud (2004). "เรขาคณิตไม่สลับที่ขั้นพื้นฐานมาก". arXiv : math/0408416 .
• Marcolli, Matilde (2004). "การบรรยายเกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงเลขคณิตที่ไม่สลับที่". arXiv : math/0409520 .
• Masson, Thierry (2006). "บทนำอย่างไม่เป็นทางการเกี่ยวกับแนวคิดและทฤษฎีของเรขาคณิตไม่สลับที่". arXiv : math-ph/0612012 .

Wikiquote มีคำคมที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตไม่สลับที่

• การเชื่อมต่อในเรขาคณิตไม่สลับที่ใน nLab
• ทฤษฎีเรขาคณิตไม่สลับที่ใน MathOverflow
• เรขาคณิตไม่สลับที่บน arXiv
• เรขาคณิตไม่สลับที่และฟิสิกส์อนุภาค