ในทางคณิตศาสตร์ผลคูณโมยาล (ตั้งชื่อตามโฮเซ่ เอ็นริเก้ โมยาลหรือเรียกอีกอย่างว่าผลคูณดาวหรือผลคูณเวล์-โกรเนโวลด์ตั้งชื่อตามเฮอร์มันน์ เวล์และฮิลแบรนด์ เจ. โกรเนโวลด์ ) เป็นตัวอย่างหนึ่งของผลคูณดาว ในปริภูมิเฟส มันเป็นผลคูณแบบสมาคม ไม่สลับที่★บนฟังก์ชัน บนซึ่งมีวงเล็บปัวซง (พร้อมการขยายไปสู่แมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกซึ่งจะอธิบายต่อไป) มันเป็นกรณีพิเศษของ ผลคูณ ★ของ "พีชคณิตของสัญลักษณ์" ของพีชคณิต ห่อหุ้มสากล${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

ผลิตภัณฑ์โมยาลตั้งชื่อตามโฮเซ่ เอ็นริเก้ โมยาลแต่บางครั้งก็เรียกว่า ผลิตภัณฑ์ ไวล์ -โกรเนโวลด์ เนื่องจาก เอช.เจ. โกรเนโวลด์ได้แนะนำผลิตภัณฑ์นี้ในวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกปี 1946 ของเขา ซึ่งเป็นการวิเคราะห์เชิงลึก^{[ 1 ]} เกี่ยวกับจดหมายโต้ตอบ ของไวล์โมยาลดูเหมือนจะไม่รู้จักผลิตภัณฑ์นี้ในบทความที่มีชื่อเสียงของเขา^{[ 2 ]}และที่สำคัญคือเขาขาดผลิตภัณฑ์นี้ในจดหมายโต้ตอบอันโด่งดังของเขากับดิแรก ดังที่แสดงให้เห็นในชีวประวัติของเขา^{[ 3 ]}การตั้งชื่อตามโมยาลอย่างแพร่หลายดูเหมือนจะเกิดขึ้นในช่วงทศวรรษ 1970 เท่านั้น เพื่อเป็นการยกย่องภาพควอนตัมปริภูมิเฟส แบบแบนของเขา ^{[ 4 ]}

ผลคูณของฟังก์ชันเรียบfและgบนมีรูปแบบ ที่C แต่ละตัว เป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ทวิภาคอันดับnซึ่งมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ (ดูสูตรโดยละเอียดด้านล่าง): ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$$${\displaystyle f\star g=fg+\sum _{n=1}^{\infty }\hbar ^{n}C_{n}(f,g),}$$

• ${\displaystyle f\star g=fg+{\mathcal {O}}(\hbar ),}$การเปลี่ยนแปลงรูปของผลคูณแบบจุดต่อจุด — ซึ่งแฝงอยู่ในสูตรข้างต้น
• ${\displaystyle f\star gg\star f=i\hbar \{f,g\}+{\mathcal {O}}(\hbar ^{3})\equiv i\hbar \{\{f,g\}\},}$การเปลี่ยนรูปของวงเล็บปัวซง เรียกว่าวงเล็บโมยาล
• ${\displaystyle f\star 1=1\star f=f,}$เลข 1 ในพีชคณิตดั้งเดิมก็คือเอกลักษณ์ในพีชคณิตใหม่ด้วยเช่นกัน
• ${\displaystyle {\overline {f\star g}}={\overline {g}}\star {\overline {f}},}$คอนจูเกตเชิงซ้อนคือแอนติออโตมอร์ฟิซึมแบบแอนติลิเนีย ร์

โปรดทราบว่า หากต้องการใช้ฟังก์ชันที่มีค่าเป็นจำนวนจริงเวอร์ชันทางเลือกจะตัดตัวแปรiในเงื่อนไขที่สองและตัดเงื่อนไขที่สี่ออกไป

หากจำกัดเฉพาะฟังก์ชันพหุนาม พีชคณิตข้างต้นจะสม isomorphic กับพีชคณิต Weyl A และทั้งสองเสนอการรับรู้ทางเลือกของแผนที่ Weylของปริภูมิพหุนามใน ตัวแปร nตัว (หรือพีชคณิตสมมาตรของปริภูมิเวกเตอร์มิติ2 n )

เพื่อให้ได้สูตรที่ชัดเจน ลองพิจารณาไบเวกเตอร์ปัวซง คงที่ Πบน: โดยที่Π ^ijเป็นจำนวนจริงสำหรับแต่ละi , j จากนั้น ผลคูณแบบดาวของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน fและgสามารถกำหนดได้ว่าเป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เทียมที่กระทำกับทั้งสองฟังก์ชัน โดยที่ħคือค่าคงที่ของพลังค์แบบลดรูปซึ่งถือเป็นพารามิเตอร์เชิงรูปแบบในที่นี้ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$$${\displaystyle \Pi =\sum _{i,j}\Pi ^{ij}\partial _{i}\wedge \partial _{j},}$$$${\displaystyle f\star g=fg+{\frac {i\hbar }{2}}\sum _{i,j}\Pi ^{ij}(\partial _{i}f)(\partial _{j}g)-{\frac {\hbar ^{2}}{8}}\sum _{i,j,k,m}\Pi ^{ij}\Pi ^{km}(\partial _{i}\partial _{k}f)(\partial _{j}\partial _{m}g)+\ldots ,}$$

นี่เป็นกรณีพิเศษของสิ่งที่เรียกว่าสูตร Berezin ^{[ 5 ]}บนพีชคณิตของสัญลักษณ์และสามารถให้รูปแบบปิดได้^{[ 6 ]} (ซึ่งเป็นผลมาจากสูตร Baker–Campbell–Hausdorff ) รูปแบบปิดสามารถหาได้โดยใช้เลขชี้กำลัง : โดยที่mคือแผนที่การคูณm ( a ⊗ b ) = abและเลขชี้กำลังถือเป็นอนุกรมกำลัง $${\displaystyle f\star g=m\circ e^{{\frac {i\hbar }{2}}\Pi }(f\otimes g),}$$$${\displaystyle e^{A}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}A^{n}.}$$

นั่นคือ สูตรสำหรับC คือ $${\displaystyle C_{n}={\frac {i^{n}}{2^{n}n!}}m\circ \Pi ^{n}.}$$

ดังที่ได้กล่าวไว้แล้ว บ่อยครั้งที่เรากำจัดตัวแปรi ทั้งหมด ข้างต้นออกไป และสูตรต่างๆ ก็จะจำกัดอยู่เฉพาะจำนวนจริงโดยธรรมชาติ

โปรดทราบว่า หากฟังก์ชันfและgเป็นพหุนาม ผลรวมอนันต์ข้างต้นจะกลายเป็นผลรวมจำกัด (ลดรูปเป็นกรณีพีชคณิตเวล์แบบปกติ)

ความสัมพันธ์ของผลคูณโมยาลกับ ผลคูณ ★ ทั่วไป ที่ใช้ในการนิยาม "พีชคณิตของสัญลักษณ์" ของพีชคณิตห่อหุ้มสากลนั้นสืบเนื่องมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าพีชคณิตเวล์เป็นพีชคณิตห่อหุ้มสากลของพีชคณิตไฮเซนเบิร์ก (โดยที่จุดศูนย์กลางเท่ากับหน่วย)

บนแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกใดๆ เราสามารถเลือกพิกัดได้ อย่างน้อยในระดับท้องถิ่น เพื่อให้โครงสร้างเชิงซิมเพล็กติกคงที่โดยทฤษฎีบทของดาร์บูซ์และโดยใช้ไบเวกเตอร์ปัวซงที่เกี่ยวข้อง เราอาจพิจารณาสูตรข้างต้นได้ เพื่อให้สูตรนี้ใช้งานได้ในระดับสากล ในฐานะฟังก์ชันบนแมนิโฟลด์ทั้งหมด (ไม่ใช่แค่สูตรเฉพาะที่) เราต้องทำให้แมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกมีการเชื่อมต่อ เชิงซิมเพล็กติกที่ปราศจากแรงบิด ซึ่งจะทำให้มันเป็นแมนิโฟลด์เฟโดซอฟ

ผลลัพธ์ทั่วไปเพิ่มเติมสำหรับแมนิโฟลด์ปัวซงใดๆ (ซึ่งทฤษฎีบทของดาร์บูซ์ใช้ไม่ได้) ได้มาจากสูตรการหาปริมาณของคอนต์เซวิช

ตัวอย่างที่ชัดเจนและเรียบง่ายของการสร้างและประโยชน์ของ★ -product (สำหรับกรณีที่ง่ายที่สุดของปริภูมิเฟสแบบยุค ลิดสองมิติ ) ได้รับการนำเสนอในบทความเกี่ยวกับการแปลงวิกเนอร์-ไวล์ : เกาส์เซียนสองตัวประกอบกันด้วย★ -product นี้ตามกฎแทนเจนต์ไฮเปอร์โบลิก: ^{[ 7 ]} หรือเทียบเท่าขีดจำกัดแบบคลาสสิกที่คือตามที่คาดไว้ $${\displaystyle \exp \left[-a\left(q^{2}+p^{2}\right)\right]\star \exp \left[-b\left(q^{2}+p^{2}\right)\right]={\frac {1}{1+\hbar ^{2}ab}}\exp \left[-{\frac {a+b}{1+\hbar ^{2}ab}}\left(q^{2}+p^{2}\right)\right].}$$$${\displaystyle e^{-\tanh(a){\frac {q^{2}+p^{2}}{\hbar }}}\star e^{-\tanh(b){\frac {q^{2}+p^{2}}{\hbar }}}={\frac {\tanh(a+b)}{\tanh(a)+\tanh(b)}}e^{-\tanh(a+b){\frac {q^{2}+p^{2}}{\hbar }}}}$$${\displaystyle \hbar \to 0,a/\hbar \to \alpha ,b/\hbar \to \beta }$${\displaystyle e^{-\alpha (q^{2}+p^{2})}e^{-\beta (q^{2}+p^{2})}=e^{-(\alpha +\beta )(q^{2}+p^{2})}}$

อย่างไรก็ตาม คำสั่งการจับคู่ทุกคำสั่งระหว่างปริภูมิเฟสและปริภูมิฮิลเบิร์ตจะเหนี่ยวนำให้เกิดผลคูณ★ เฉพาะของตนเอง^{[ 8 ] [ 9 ]}

ผลลัพธ์ที่คล้ายกันนี้พบได้ในปริภูมิ Segal–Bargmannและในการแสดงแทนแบบเธต้าของกลุ่ม Heisenbergโดยที่ตัวดำเนินการสร้างและทำลายa ^∗ = zและa = ∂ / ∂zเข้าใจว่ากระทำบนระนาบเชิงซ้อน (หรือระนาบครึ่งบนสำหรับกลุ่ม Heisenberg ตามลำดับ) ดังนั้นตัวดำเนินการตำแหน่งและโมเมนตัมจึงกำหนดโดยและสถานการณ์นี้แตกต่างอย่างชัดเจนจากกรณีที่ตำแหน่งถือเป็นค่าจริง แต่ก็ให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับโครงสร้างพีชคณิตโดยรวมของพีชคณิต Heisenberg และส่วนห่อหุ้มของมัน คือ พีชคณิต Weyl ${\displaystyle q={\frac {a+a^{*}}{2}}}$${\displaystyle p={\frac {a-a^{*}}{2i}}}$

ภายในปริพันธ์ปริภูมิเฟสผลคูณดาวประเภทโมยาล เพียง ตัวเดียว อาจถูกละทิ้ง ^{[ 10 ]}ส่งผลให้เกิดการคูณธรรมดา ดังที่เห็นได้ชัดจากการอินทิเกรตโดยส่วนทำให้ วัฏจักรของร่องรอยปริภูมิเฟสปรากฏชัด นี่เป็นคุณสมบัติเฉพาะของผลคูณโมยาลเฉพาะข้างต้น และไม่เป็นจริงสำหรับผลคูณดาวของกฎการจับคู่แบบอื่น เช่น ของฮูซิมิ เป็นต้น $${\displaystyle \int dx\,dp\;f\star g=\int dx\,dp~f~g,}$$