ในกลศาสตร์คลาสสิกปริภูมิเฟสของระบบทางกายภาพประกอบด้วยค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตำแหน่งและตัวแปรโมเมนตัมที่ระบบอนุญาต โดยธรรมชาติแล้วปริภูมิเฟสจะมีรูปแบบวงเล็บปัวซง/ซิมเพล็กติก (ดูด้านล่าง) ซึ่งช่วยให้สามารถกำหนดสมการแฮมิลตันและอธิบายพลวัตของระบบผ่านปริภูมิเฟสในเวลาได้

ตัวอย่างเช่น อนุภาคเดี่ยวที่เคลื่อนที่อย่างอิสระในปริภูมิยูคลิดมิติ n (กล่าวคือ มีปริภูมิการกำหนดค่าเป็น ) จะมีปริภูมิเฟสเป็นพิกัด อธิบายตำแหน่งและโมเมนตัมทั่วไปตามลำดับ ปริภูมิ ของปริมาณ ที่สังเกตได้กล่าวคือ ฟังก์ชันเรียบ บนมีคุณสมบัติการดำเนินการแบบไบนารีโดยธรรมชาติ เรียกว่าวงเล็บปัวซงซึ่งกำหนดเป็นวงเล็บดังกล่าวมีคุณสมบัติมาตรฐานของวงเล็บลีบวกกับความเข้ากันได้กับผลคูณของฟังก์ชัน กล่าวคือ เอกลักษณ์ไลบ์นิซ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง วงเล็บปัวซงบนสามารถเขียนใหม่ได้โดยใช้รูปแบบซิมเพล็กติก อันที่ จริง ถ้าพิจารณาฟิลด์เวกเตอร์แฮมิลโทเนียนที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันแล้ววงเล็บปัวซงสามารถเขียนใหม่ได้เป็น${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle (q^{1},...,q^{n},p_{1},...,p_{n})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle \textstyle \{f,g\}:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}\right)}$${\displaystyle \{f,g\cdot h\}=g\cdot \{f,h\}+\{f,g\}\cdot h}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle \textstyle \omega$ :=\sum _{i=1}^{n}dq^{i}\wedge dp_{i}} ${\displaystyle \textstyle X_{f}:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}\partial _{q^{i}}-{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}\partial _{p_{i}}\right)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{g},X_{f}).}$

ในแง่ของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ที่เป็นนามธรรมมากขึ้น พื้นที่การกำหนดค่าคือแมนิโฟลด์เรียบมิติและปริภูมิเฟสคือบันเดิลโคแทนเจนต์ (แมนิโฟลด์มิติ) ซึ่งโดยธรรมชาติแล้วจะมีรูปแบบซิมเพล็กติกแบบแคนอนิกซึ่งในพิกัดแคนอนิกจะตรงกับที่อธิบายไว้ข้างต้น โดยทั่วไป ตามทฤษฎีบทของดาร์บูซ์ แม นิโฟลด์ ซิมเพล็กติกใดๆ ก็ตามจะมีพิกัดพิเศษ โดยที่รูปแบบและวงเล็บจะเทียบเท่ากับรูปแบบซิมเพล็กติกและวงเล็บปัวซงของ ตามลำดับดังนั้นเรขาคณิตซิมเพล็กติกจึงเป็นกรอบทางคณิตศาสตร์ตามธรรมชาติในการอธิบายกลศาสตร์แฮมิลตันแบบคลาสสิก^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle T^{*}Q}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle (M,\omega )}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{g},X_{f})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

แมนิโฟลด์ปัวซงเป็นการขยายความทั่วไปของแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติก ซึ่งเกิดขึ้นจากการกำหนดสัจพจน์ของคุณสมบัติที่วงเล็บปัวซงบน เป็นไปตามนั้น กล่าว ให้แม่นยำยิ่งขึ้น แมนิโฟลด์ปัวซงประกอบด้วยแมนิโฟลด์เรียบ(ไม่จำเป็นต้องมีมิติเป็นเลขคู่) พร้อมกับวงเล็บนามธรรมซึ่งยังคงเรียกว่าวงเล็บปัวซง ซึ่งไม่จำเป็นต้องเกิดขึ้นจากรูปแบบเชิงซิมเพล็กติกแต่มีคุณสมบัติทางพีชคณิตเดียวกัน${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{\mathcal {C}}^{\infty }(M)\times {\mathcal {C}}^{\infty }(M)\to {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$${\displaystyle \omega }$

เรขาคณิตปัวซงมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับเรขาคณิตเชิงซิมเพล็กติก ตัวอย่างเช่น วงเล็บปัวซงทุกอันกำหนดการแบ่งส่วนย่อยที่มีใบซึ่งมีรูปแบบเชิงซิมเพล็กติกตามธรรมชาติ อย่างไรก็ตาม การศึกษาเรขาคณิตปัวซงต้องใช้เทคนิคที่โดยทั่วไปไม่ได้ใช้ในเรขาคณิตเชิงซิมเพล็กติก เช่น ทฤษฎีของกลุ่มลีและพีชคณิตลี

ยิ่งไปกว่านั้น ยังมีตัวอย่างตามธรรมชาติของโครงสร้างที่ควรจะเป็นซิมเพล็กติก "ตามหลักศีลธรรม" แต่กลับไม่เป็นเช่นนั้น ตัวอย่างเช่นผลหาร เรียบ ของแมนิโฟลด์ซิมเพล็กติกโดยกลุ่มที่กระทำโดยซิมเพล็กโตมอร์ฟิซึมคือแมนิโฟลด์ปัวซง ซึ่งโดยทั่วไปแล้วไม่ใช่ซิมเพล็กติก สถานการณ์นี้จำลองกรณีของระบบทางกายภาพที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้สมมาตร : ปริภูมิเฟส "ที่ลดลง" ซึ่งได้มาจากการหารปริภูมิเฟสเดิมด้วยสมมาตร โดยทั่วไปแล้วจะไม่ใช่ซิมเพล็กติกอีกต่อไป แต่เป็นปัวซง^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 3 ]}

แม้ว่าคำจำกัดความสมัยใหม่ของ Poisson manifold จะปรากฏขึ้นในช่วงปี 1970–1980 เท่านั้น^{[ 1 ]}แต่ต้นกำเนิดของมันย้อนกลับไปถึงศตวรรษที่สิบเก้า Alan Weinstein ได้สังเคราะห์ประวัติศาสตร์ช่วงต้นของเรขาคณิต Poisson ดังนี้:

"ปัวซงคิดค้นวงเล็บของเขาขึ้นมาเพื่อใช้เป็นเครื่องมือสำหรับพลศาสตร์แบบคลาสสิก จาโคบีตระหนักถึงความสำคัญของวงเล็บเหล่านี้และอธิบายคุณสมบัติทางพีชคณิตของวงเล็บเหล่านั้น และลีได้เริ่มศึกษาเรขาคณิตของวงเล็บเหล่านั้น" ^{[ 12 ]}

Indeed, Siméon Denis Poisson introduced in 1809 what we now call Poisson bracket in order to obtain new integrals of motion, i.e. quantities which are preserved throughout the motion.^[13] More precisely, he proved that, if two functions ${\displaystyle f}$ and ${\displaystyle g}$ are integral of motions, then there is a third function, denoted by ${\displaystyle \{f,g\}}$, which is an integral of motion as well. In the Hamiltonian formulation of mechanics, where the dynamics of a physical system is described by a given function ${\displaystyle h}$ (usually the energy of the system), an integral of motion is simply a function ${\displaystyle f}$ which Poisson-commutes with ${\displaystyle h}$, i.e. such that ${\displaystyle \{f,h\}=0}$. What will become known as Poisson's theorem can then be formulated as$${\displaystyle \{f,h\}=0,\{g,h\}=0\Rightarrow \{\{f,g\},h\}=0.}$$Poisson computations occupied many pages, and his results were rediscovered and simplified two decades later by Carl Gustav Jacob Jacobi.^[14][2] Jacobi was the first to identify the general properties of the Poisson bracket as a binary operation. Moreover, he established the relation between the (Poisson) bracket of two functions and the (Lie) bracket of their associated Hamiltonian vector fields, i.e.$${\displaystyle X_{\{f,g\}}=[X_{f},X_{g}],}$$in order to reformulate (and give a much shorter proof of) Poisson's theorem on integrals of motion.^[15] Jacobi's work on Poisson brackets influenced the pioneering studies of Sophus Lie on symmetries of differential equations, which led to the discovery of Lie groups and Lie algebras. For instance, what are now called linear Poisson structures (i.e. Poisson brackets on a vector space which send linear functions to linear functions) correspond precisely to Lie algebra structures. Moreover, the integrability of a linear Poisson structure (see below) is closely related to the integrability of its associated Lie algebra to a Lie group.^[16]

The twentieth century saw the development of modern differential geometry, but only in 1977 André Lichnerowicz introduce Poisson structures as geometric objects on smooth manifolds.^[1] Poisson manifolds were further studied in the foundational 1983 paper of Alan Weinstein, where many basic structure theorems were first proved.^[17]

ผลงานเหล่านี้มีอิทธิพลอย่างมากต่อการพัฒนาเรขาคณิตปัวซงในช่วงหลายทศวรรษต่อมา ซึ่งปัจจุบันเป็นสาขาหนึ่งของตนเอง และในขณะเดียวกันก็มีความเกี่ยวพันอย่างลึกซึ้งกับสาขาอื่นๆ อีกมากมาย รวมถึงเรขาคณิตแบบไม่สลับที่ระบบอินทิกรัลทฤษฎีสนามเชิงทอพอโลยีและทฤษฎีการแทน^{[ 15 ] [ 11 ] [ 3 ]}

ให้เป็นแมนิโฟลด์เรียบ และให้แทนพีชคณิตจริงของฟังก์ชันค่าจริงเรียบ บนโดยการคูณถูกกำหนดแบบจุดต่อจุดวงเล็บปัวซง (หรือโครงสร้างปัวซง ) บนคือแผนที่ทวิเชิงเส้น -${\displaystyle M}$${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{C^{\infty }}(M)\times {C^{\infty }}(M)\to {C^{\infty }}(M)}$

กำหนดโครงสร้างของพีชคณิตปัวซงบนกล่าวคือ ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขสามข้อต่อไปนี้:${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$

• สมมาตรแบบเฉียง : .${\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}$
• เอกลักษณ์ของจาโคบี : .${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}$
• กฎของไลบ์นิซ : .${\displaystyle \{fg,h\}=f\{g,h\}+g\{f,h\}}$

เงื่อนไขสองข้อแรกทำให้มั่นใจได้ว่ามีการกำหนดโครงสร้างพีชคณิตลีบนในขณะที่เงื่อนไขข้อที่สามรับประกันว่า สำหรับแต่ละแผนที่เชิงเส้นเป็นการอนุพันธ์ของพีชคณิต กล่าว คือ มันกำหนดฟิลด์เวกเตอร์ที่เรียกว่า ฟิลด์เวกเตอร์แฮมิล โท เนียนที่เชื่อมโยงกับ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$${\displaystyle f\in {C^{\infty }}(M)}$${\displaystyle X_{f}:=\{f,\cdot \}:{C^{\infty }}(M)\to {C^{\infty }}(M)}$${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$${\displaystyle X_{f}\in {\mathfrak {X}}(M)}$${\displaystyle f}$

เมื่อเลือกพิกัดท้องถิ่นวงเล็บปัวซงใดๆ จะได้มาจากวงเล็บปัวซงของฟังก์ชันพิกัด${\displaystyle (U,x^{i})}$$${\displaystyle \{f,g\}_{\mid U}=\sum _{i,j}\pi ^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial g}{\partial x^{j}}},}$$${\displaystyle \pi ^{ij}=\{x^{i},x^{j}\}}$

ไบเวกเตอร์ปัวซงบนแมนิโฟลด์เรียบคือฟิลด์โพลีเวกเตอร์ที่สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยไม่เชิงเส้นโดยที่${\displaystyle M}$${\displaystyle \textstyle \pi \in {\mathfrak {X}}^{2}(M):=\Gamma \left(\bigwedge ^{2}TM\right)}$${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{{\mathfrak {X}}^{p}}(M)\times {{\mathfrak {X}}^{q}}(M)\to {{\mathfrak {X}}^{p+q-1}}(M)}$

แสดงถึงวงเล็บ Schouten–Nijenhuisบนฟิลด์มัลติเวกเตอร์ การเลือกพิกัดท้องถิ่นไบเวกเตอร์ปัวซงใดๆ จะกำหนดโดยสำหรับฟังก์ชันเรียบแบบสมมาตรเฉียงบน${\displaystyle (U,x^{i})}$$${\displaystyle \pi _{\mid U}=\sum _{i<j}\pi ^{ij}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}},}$$${\displaystyle \pi ^{ij}}$${\displaystyle U}$

ให้เป็นวงเล็บสมมาตรเฉียงเชิงเส้นคู่ (เรียกว่า "วงเล็บเกือบลี") ที่สอดคล้องกับกฎของไลบ์นิซ จากนั้นฟังก์ชันสามารถอธิบายได้ดังนี้สำหรับฟิลด์ไบเวกเตอร์เรียบที่ไม่ซ้ำกันในทางกลับกัน สำหรับฟิลด์ไบเวกเตอร์เรียบใดๆบนสูตรเดียวกันนี้จะกำหนดวงเล็บเกือบลีที่สอดคล้องกับกฎของไลบ์นิซโดยอัตโนมัติ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$${\displaystyle \{f,g\}}$$${\displaystyle \{f,g\}=\pi (df\wedge dg),}$$${\displaystyle \pi \in {\mathfrak {X}}^{2}(M)}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \{f,g\}=\pi (df\wedge dg)}$${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$

ฟิลด์ไบเวกเตอร์ หรือวงเล็บ Lie เกือบที่สอดคล้องกัน เรียกว่าโครงสร้าง Poisson เกือบโครงสร้าง Poisson เกือบเป็น Poisson ถ้าเงื่อนไขการบูรณาการที่เทียบเท่ากันข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้เป็นจริง: ^{[ 15 ]}

• ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$สอดคล้องกับเอกลักษณ์ของจาโคบี (ดังนั้นจึงเป็นวงเล็บปัวซง)
• ${\displaystyle \pi }$ตรงตามเงื่อนไข(ดังนั้นจึงเป็นไบเวกเตอร์ปัวซง)${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$
• แผนที่นี้เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของพีชคณิตลี กล่าวคือ ฟิลด์เวกเตอร์แฮมิลโทเนียนเป็นไปตามเงื่อนไข;${\displaystyle {C^{\infty }}(M)\to {\mathfrak {X}}(M),f\mapsto X_{f}}$${\displaystyle [X_{f},X_{g}]=X_{\{f,g\}}}$
• กราฟกำหนดโครงสร้าง Dirac ^{กล่าว}คือ ซับบันเดิล Lagrangian ซึ่งปิดภายใต้วงเล็บ Courant มาตรฐาน [ ^{18 ]}${\displaystyle {\rm {Graph}}(\pi ):=\{\pi (\alpha ,\cdot )+\alpha \}\subset TM\oplus T^{*}M}$${\displaystyle TM\oplus T^{*}M}$

นิยามของโครงสร้างปัวซงสำหรับ แมนิโฟลด์เรียบ จริงสามารถปรับใช้กับกรณีเชิงซ้อนได้เช่นกัน

แมนิโฟลด์ปัวซงโฮโลมอร์ ฟิก คือแมนิโฟลด์เชิงซ้อน ซึ่งชีฟของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกคือชีฟของพีชคณิตปัวซง หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ฟิลด์ไบเวกเตอร์โฮโลมอร์ฟิกบนแมนิโฟลด์ เชิงซ้อน คือส่วนตัดที่ดังนั้นโครงสร้างปัวซงโฮโลมอร์ฟิกบน จึงเป็นฟิลด์ไบเวกเตอร์โฮโลมอร์ฟิกที่สอดคล้องกับสมการ แมนิโฟลด์ปัวซงโฮโลมอร์ฟิกสามารถระบุลักษณะได้ในแง่ของโครงสร้างปัวซง-ไนเยนฮุยส์เช่นกัน^{[ 19 ]}${\displaystyle M}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}__{M}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi \in \Gamma (\wedge ^{2}T^{1,0}M)}$${\displaystyle {\bar {\partial }}\pi =0}$${\displaystyle M}$${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$

ผลลัพธ์มากมายสำหรับโครงสร้างปัวซงจริง เช่น เกี่ยวกับความสามารถในการบูรณาการ ขยายไปถึงโครงสร้างโฮโลมอร์ฟิกด้วย^{[ 20 ] [ 21 ]}

โครงสร้าง Poisson แบบโฮโลมอร์ฟิกปรากฏขึ้นตามธรรมชาติในบริบทของโครงสร้างเชิงซ้อนทั่วไป : ในระดับท้องถิ่น แมนิโฟลด์เชิงซ้อนทั่วไปใดๆ เป็นผลคูณของแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกและแมนิโฟลด์ Poisson แบบโฮโลมอร์ฟิก^{[ 22 ]}

โปรดจำไว้ว่าฟิลด์ไบเวกเตอร์ใดๆ ก็สามารถมองได้ว่าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมแบบเฉียง ดังนั้น ภาพจึงประกอบด้วยค่าของฟิลด์เวกเตอร์แฮมิลโทเนียนทั้งหมดที่ประเมินค่า ณ ทุกจุด${\displaystyle \pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM,\alpha \mapsto \pi (\alpha ,\cdot )}$${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)\subset TM}$${\displaystyle {X_{f}}(x)}$${\displaystyle x\in M}$

The rank of ${\displaystyle \pi }$ at a point ${\displaystyle x\in M}$ is the rank of the induced linear mapping ${\displaystyle \pi _{x}^{\sharp }}$. A point ${\displaystyle x\in M}$ is called regular for a Poisson structure ${\displaystyle \pi }$ on ${\displaystyle M}$ if and only if the rank of ${\displaystyle \pi }$ is constant on an open neighborhood of ${\displaystyle x\in M}$; otherwise, it is called a singular point. Regular points form an open dense subset ${\displaystyle M_{\mathrm {reg} }\subseteq M}$; when the map ${\displaystyle \pi ^{\sharp }}$ is of constant rank, the Poisson structure ${\displaystyle \pi }$ is called regular. Examples of regular Poisson structures include trivial and nondegenerate structures (see below).

For a regular Poisson manifold, the image ${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)\subset TM}$ is a regular distribution; it is easy to check that it is involutive, therefore, by the Frobenius theorem, ${\displaystyle M}$ admits a partition into leaves. Moreover, the Poisson bivector restricts nicely to each leaf, which therefore become symplectic manifolds.

For a non-regular Poisson manifold the situation is more complicated, since the distribution ${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)\subset TM}$ is singular, i.e. the vector subspaces ${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T_{x}^{*}M)\subset T_{x}M}$ have different dimensions.

An integral submanifold for ${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)}$ is a path-connected submanifold ${\displaystyle S\subseteq M}$ satisfying ${\displaystyle T_{x}S={\pi ^{\sharp }}(T_{x}^{\ast }M)}$ for all ${\displaystyle x\in S}$. Integral submanifolds of ${\displaystyle \pi }$ are automatically regularly immersed manifolds, and maximal integral submanifolds of ${\displaystyle \pi }$ are called the leaves of ${\displaystyle \pi }$.

Moreover, each leaf ${\displaystyle S}$ carries a natural symplectic form ${\displaystyle \omega _{S}\in {\Omega ^{2}}(S)}$ determined by the condition ${\displaystyle [{\omega _{S}}(X_{f},X_{g})](x)=-\{f,g\}(x)}$ for all ${\displaystyle f,g\in {C^{\infty }}(M)}$ and ${\displaystyle x\in S}$. Correspondingly, one speaks of the symplectic leaves of ${\displaystyle \pi }$. Moreover, both the space ${\displaystyle M_{\mathrm {reg} }}$ of regular points and its complement are saturated by symplectic leaves, so symplectic leaves may be either regular or singular.

To show the existence of symplectic leaves also in the non-regular case, one can use Weinstein splitting theorem (or Darboux-Weinstein theorem).^[17] It states that any Poisson manifold ${\displaystyle (M^{n},\pi )}$ splits locally around a point ${\displaystyle x_{0}\in M}$ as the product of a symplectic manifold ${\displaystyle (S^{2k},\omega )}$ and a transverse Poisson submanifold ${\displaystyle (T^{n-2k},\pi _{T})}$ vanishing at ${\displaystyle x_{0}}$. More precisely, if ${\displaystyle \mathrm {rank} (\pi _{x_{0}})=2k}$, there are local coordinates ${\displaystyle (U,p_{1},\ldots ,p_{k},q^{1},\ldots ,q^{k},x^{1},\ldots ,x^{n-2k})}$ such that the Poisson bivector ${\displaystyle \pi }$ splits as the sum$${\displaystyle \pi _{\mid U}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n-2k}\phi ^{ij}(x){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}},}$$where ${\displaystyle \phi ^{ij}(x_{0})=0}$. Notice that, when the rank of ${\displaystyle \pi }$ is maximal (e.g. the Poisson structure is nondegenerate, so that ${\displaystyle n=2k}$), one recovers the classical Darboux theorem for symplectic structures.

Every manifold ${\displaystyle M}$ carries the trivial Poisson structure$${\displaystyle \{f,g\}=0\quad \forall f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M),}$$equivalently described by the bivector ${\displaystyle \pi =0}$. Every point of ${\displaystyle M}$ is therefore a zero-dimensional symplectic leaf.

A bivector field ${\displaystyle \pi }$ is called nondegenerate if ${\displaystyle \pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM}$ is a vector bundle isomorphism. Nondegenerate Poisson bivector fields are actually the same thing as symplectic manifolds${\displaystyle (M,\omega )}$.

Indeed, there is a bijective correspondence between nondegenerate bivector fields ${\displaystyle \pi }$ and nondegenerate 2-forms${\displaystyle \omega }$, given by$${\displaystyle \pi ^{\sharp }=(\omega ^{\flat })^{-1},}$$where ${\displaystyle \omega }$ is encoded by the musical isomorphism${\displaystyle \omega ^{\flat }:TM\to T^{*}M,v\mapsto \omega (v,\cdot )}$. Furthermore, ${\displaystyle \pi }$ is Poisson precisely if and only if ${\displaystyle \omega }$ is closed; in such case, the bracket becomes the canonical Poisson bracket from Hamiltonian mechanics:$${\displaystyle \{f,g\}:=\omega (X_{g},X_{f}).}$$nondegenerate Poisson structures on connected manifolds have only one symplectic leaf, namely ${\displaystyle M}$ itself.

Consider the space ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ with coordinates ${\displaystyle (x,y,p_{i},q^{i})}$. Then the bivector field$${\displaystyle \pi$$ :=y{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}+\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}} is a Poisson structure on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ which is "almost everywhere nondegenerate". Indeed, the open submanifold ${\displaystyle \{y\neq 0\}\subseteq M}$ is a symplectic leaf of dimension ${\displaystyle 2n}$, together with the symplectic form$${\displaystyle \omega ={\frac {1}{y}}dx\wedge dy+\sum _{i=1}^{n-1}dq^{i}\wedge dp_{i},}$$while the ${\displaystyle (2n-1)}$-dimensional submanifold ${\displaystyle Z:=\{y=0\}\subseteq M}$ contains the other ${\displaystyle (2n-2)}$-dimensional leaves, which are the intersections of ${\displaystyle Z}$ with the level sets of ${\displaystyle x}$.

This is actually a particular case of a special class of Poisson manifolds ${\displaystyle (M,\pi )}$, called log-symplectic or b-symplectic, which have a "logarithmic singularity'' concentrated along a submanifold ${\displaystyle Z\subseteq M}$ of codimension 1 (also called the singular locus of ${\displaystyle \pi }$), but are nondegenerate outside of ${\displaystyle Z}$.^[23]

A Poisson structure ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ on a vector space ${\displaystyle V}$ is called linear when the bracket of two linear functions is still linear.

กลุ่มของปริภูมิเวกเตอร์ที่มีโครงสร้างปัวซงเชิงเส้นนั้น แท้จริงแล้วตรงกับกลุ่มของพีชคณิตลี (หรือพีชคณิตลีคู่ขนาน) อันที่จริงแล้วพีชคณิตลีคู่ขนานที่มีมิติจำกัดใดๆจะมีวงเล็บปัวซงเชิงเส้น ซึ่งในเอกสารทางวิชาการรู้จักกันในชื่อโครงสร้าง Lie-Poisson, Kirillov-Poisson หรือ KKS ( Kostant - Kirillov - Souriau ): โดยที่และอนุพันธ์ถูกตีความว่าเป็นองค์ประกอบของคู่ขนานหรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง เวกเตอร์คู่ปัวซงสามารถแสดงได้ในระดับท้องถิ่นเป็น โดยที่เป็นพิกัดบนและเป็นค่าคงที่โครงสร้าง ที่เกี่ยวข้อง ของในทางกลับกัน โครงสร้างปัวซงเชิงเส้นใดๆบนจะต้องอยู่ในรูปแบบนี้ กล่าวคือ มีโครงสร้างพีชคณิตลีตามธรรมชาติที่เหนี่ยวนำบน ซึ่งวงเล็บ Lie-Poisson ของโครงสร้างนั้นจะคืนค่ากลับมาเป็น${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle ({\mathfrak {g}},[\cdot ,\cdot ])}$$${\displaystyle \{f,g\}(\xi ):=\xi ([d_{\xi }f,d_{\xi }g]_{\mathfrak {g}}),}$$${\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }({\mathfrak {g}}^{*}),\xi \in {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle d_{\xi }f,d_{\xi }g:T_{\xi }{\mathfrak {g}}^{*}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{**}\cong {\mathfrak {g}}}$$${\displaystyle \pi =\sum _{i,j,k}c_{k}^{ij}x^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}},}$$${\displaystyle x^{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle c_{k}^{ij}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}:=V^{*}}$${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$

ใบซิมเพล็กติกของโครงสร้าง Lie-Poisson บนคือวงโคจรของการกระทำร่วมของบนตัวอย่างเช่น สำหรับ ที่มีฐานมาตรฐาน โครงสร้าง Lie-Poisson บนจะถูกระบุด้วยและการแบ่งส่วนซิมเพล็กติกของมันถูกระบุด้วยการแบ่งส่วนโดยทรงกลมศูนย์กลางร่วมใน(ใบเอกฐานเพียงใบเดียวคือจุดกำเนิด) ในทางกลับกัน สำหรับที่มีฐานมาตรฐาน โครงสร้าง Lie-Poisson บนจะถูกระบุด้วยและการแบ่งส่วนซิมเพล็กติกของมันถูกระบุด้วยการแบ่งส่วนโดยไฮเปอร์โบโลอิด ศูนย์กลางร่วม และพื้นผิวรูปกรวยใน(ใบเอกฐานเพียงใบเดียวคือจุดกำเนิดอีกครั้ง)${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {so}}(3,\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$$${\displaystyle \pi =x{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial z}}+y{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial x}}+z{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}\in {\mathfrak {X}}^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$$${\displaystyle \pi =x{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial z}}-y{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial x}}+z{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}\in {\mathfrak {X}}^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

ตัวอย่างก่อนหน้านี้สามารถสรุปได้ดังนี้ โครงสร้างปัวซงบนปริภูมิทั้งหมดของเวกเตอร์บันเดิลเรียกว่าเป็นเชิงเส้นตามไฟเบอร์เมื่อวงเล็บของฟังก์ชันเรียบสองฟังก์ชันซึ่งการจำกัดบนไฟเบอร์เป็นเชิงเส้น ยังคงเป็นเชิงเส้นเมื่อจำกัดบนไฟเบอร์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟิลด์ไบเวกเตอร์ปัวซงจะต้องสอดคล้องกับเงื่อนไขสำหรับใดๆโดยที่คือการคูณสเกลาร์${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle E\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle (m_{t})^{*}\pi =t\pi }$${\displaystyle t>0}$${\displaystyle m_{t}:E\to E}$${\displaystyle v\mapsto tv}$

คลาสของเวกเตอร์บันเดิลที่มีโครงสร้างปัวซงเชิงเส้นนั้นตรงกับคลาสของ (คู่ของ) พีชคณิตลีอันที่จริง คู่ของพีชคณิตลีใดๆจะมีวงเล็บปัวซงเชิงเส้นแบบไฟเบอร์^{[ 24 ]}ซึ่งกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดย โดยที่คือการประเมิน โดย หรือ เทียบเท่ากัน ไบเวกเตอร์ปัวซงสามารถแสดงได้ในระดับท้องถิ่นเป็น โดยที่คือพิกัดรอบจุดคือพิกัดไฟเบอร์บนคู่กับเฟรมท้องถิ่นของและและคือฟังก์ชันโครงสร้างของกล่าวคือ ฟังก์ชันเรียบที่ไม่ซ้ำกันซึ่งสอดคล้องกับ ในทางกลับกัน โครงสร้างปัวซงเชิงเส้นแบบไฟเบอร์ใดๆบน จะต้องอยู่ในรูปแบบนี้ กล่าวคือ มีโครงสร้างพีชคณิตลีตามธรรมชาติที่เหนี่ยวนำบน ซึ่งวงเล็บปัวซงลี จะกู้คืน^{[ 25 ]}${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle (A,\rho ,[\cdot ,\cdot ])}$$${\displaystyle \{\mathrm {ev} _{\alpha },\mathrm {ev} _{\beta }\}:=ev_{[\alpha ,\beta ]}\quad \quad \forall \alpha ,\beta \in \Gamma (A),}$$${\displaystyle \mathrm {ev} _{\alpha }:A^{*}\to \mathbb {R} ,\phi \mapsto \phi (\alpha )}$${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle \pi =\sum _{i,a}B_{a}^{i}(x){\frac {\partial }{\partial y_{a}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\sum _{a<b,c}C_{ab}^{c}(x)y_{c}{\frac {\partial }{\partial y_{a}}}{\frac {\partial }{\partial y_{b}}},}$$${\displaystyle x^{i}}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle y_{a}}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle e_{a}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B_{a}^{i}}$${\displaystyle C_{ab}^{c}}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle \rho (e_{a})=\sum _{i}B_{a}^{i}(x){\frac {\partial }{\partial x^{i}}},\quad \quad [e_{a},e_{b}]=\sum _{c}C_{ab}^{c}(x)e_{c}.}$$${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle A:=E^{*}}$${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$

ถ้าสามารถหาปริพันธ์ได้กับกลุ่มลี (Lie groupoid ) ใบซิมเพล็กติกของคือส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันของวงโคจรของกลุ่มโคแทนเจนต์ (cotangent groupoid ) โดยทั่วไปแล้ว เมื่อกำหนดวงโคจรแอลเจบรอยด์ ( algebroid orbit)ใดๆภาพของบันเดิลโคแทนเจนต์ (cotangent bundle) ผ่านคู่ขนานของแผนที่จุดยึด (anchor map) จะเป็นใบซิมเพล็กติก${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightrightarrows M}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle T^{*}{\mathcal {G}}\rightrightarrows A^{*}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}\subseteq M}$${\displaystyle \rho ^{*}:T^{*}M\to A^{*}}$

สำหรับโครงสร้างปัวซงเชิงเส้นแบบหนึ่ง จะได้โครงสร้างปัวซงเชิงเส้น ในขณะที่โครงสร้างปัวซงเชิงเส้นแบบไฟเบอร์ไวส์ คือโครงสร้างที่ไม่เสื่อมสภาพ ซึ่งกำหนดโดยโครงสร้างเชิงซิมเพล็กติกแบบแคนอนิกของกลุ่มโคแทนเจนต์โดยทั่วไปแล้ว โครงสร้างปัวซงเชิงเส้นแบบไฟเบอร์ไวส์ใดๆ บนที่ไม่เสื่อมสภาพ จะสมสัณฐานกับรูปแบบเชิงซิมเพล็กติกแบบแคนอนิกบน${\displaystyle M=\{*\}}$${\displaystyle A=TM}$${\displaystyle T^{*}M}$${\displaystyle TM\to M}$${\displaystyle T^{*}M}$

• ฟิลด์ไบเวกเตอร์คงที่ใดๆ บนปริภูมิเวกเตอร์จะเป็นโครงสร้างปัวซงโดยอัตโนมัติ อันที่จริง พจน์ทั้งสามในตัวสร้างจาโคเบียนมีค่าเป็นศูนย์ โดยเป็นวงเล็บที่มีฟังก์ชันคงที่
• ฟิลด์ไบเวกเตอร์ใดๆ บนแมนิโฟลด์ 2 มิติจะเป็นโครงสร้างปัวซงโดยอัตโนมัติ อันที่จริงแล้วมันคือฟิลด์เวกเตอร์ 3 มิติ ซึ่งมีค่าเป็นศูนย์เสมอในมิติ 2${\displaystyle [\pi ,\pi ]}$
• เมื่อกำหนดสนามไบเวกเตอร์ปัวซงใดๆบนแมนิโฟลด์ 3 มิติสนามไบเวกเตอร์สำหรับทุกค่าจะเป็นสนามปัวซงโดยอัตโนมัติ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle f\pi }$${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$
• ผลคูณคาร์ทีเซียน ของแมนิโฟลด์ปัวซงสองตัวจะได้เป็นแมนิโฟลด์ปัวซงอีกตัวหนึ่ง${\displaystyle (M_{0}\times M_{1},\pi _{0}\times \pi _{1})}$${\displaystyle (M_{0},\pi _{0})}$${\displaystyle (M_{1},\pi _{1})}$
• ให้ เป็นการ แบ่งชั้น (ปกติ) ที่มีมิติบนและเป็นรูปแบบสองมิติแบบปิดที่มีการแบ่งชั้น ซึ่งกำลังไม่เป็นศูนย์ที่ใดเลย สิ่งนี้กำหนดโครงสร้างปัวซงปกติบน ได้อย่างไม่ซ้ำกันโดยกำหนดให้ใบซิมเพล็กติกของเป็นใบของที่มีรูปแบบซิมเพล็กติกที่เหนี่ยวนำ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle 2k}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \omega \in {\Omega ^{2}}({\mathcal {F}})}$${\displaystyle \omega ^{k}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \omega |_{S}}$
• ให้เป็นกลุ่มลีที่กระทำบนแมนิโฟลด์ปัวซงและ โดยที่วงเล็บปัวซงของฟังก์ชัน -อินวาเรียนต์บนเป็น-อินวาเรียนต์ ถ้าการกระทำนั้นเป็นอิสระและเหมาะสมแมนิโฟลด์ผลหารจะได้รับโครงสร้างปัวซงจาก(กล่าวคือ เป็นแมนิโฟลด์เดียวที่การแทรกเป็นแผนที่ปัวซง)${\displaystyle G}$${\displaystyle (M,\pi )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M/G}$${\displaystyle \pi _{M/G}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle (M,\pi )\to (M/G,\pi _{M/G})}$

คลาสโมดูลาร์ของแมนิโฟลด์ปัวซงเป็นคลาสในกลุ่มโคฮอโมโลยีปัวซงกลุ่มแรก: สำหรับแมนิโฟลด์ที่สามารถกำหนดทิศทางได้ มันคืออุปสรรคต่อการมีอยู่ของรูปแบบปริมาตรที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การไหลของแฮมิลโทเนียน^{[ 26 ]}ได้รับการแนะนำโดย Koszul ^{[ 27 ]}และ Weinstein ^{[ 28 ]}

โปรดจำไว้ว่าไดเวอร์เจนซ์ของสนามเวกเตอร์เทียบกับรูปแบบปริมาตรที่กำหนดคือฟังก์ชัน ที่นิยามโดย สนาม เวกเตอร์มอดูลาร์ของ แมนิโฟลด์ปัวซง ที่สามารถ กำหนดทิศทางได้ เทียบกับรูปแบบปริมาตรคือสนามเวกเตอร์ที่นิยามโดยไดเวอร์เจนซ์ของสนามเวกเตอร์แฮมิลโทเนียน:${\displaystyle X\in {\mathfrak {X}}(M)}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\rm {div}}_{\lambda }(X)\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$${\displaystyle \textstyle {\rm {div}}_{\lambda }(X)={\frac {{\mathcal {L}}_{X}\lambda }{\lambda }}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle X_{\lambda }}$${\displaystyle X_{\lambda }:f\mapsto {\rm {div}}_{\lambda }(X_{f})}$

ฟิลด์เวกเตอร์แบบโมดูลาร์คือโคไซเคิลปัวซง 1 กล่าวคือ มันสอดคล้องกับเงื่อนไขนอกจากนี้ เมื่อกำหนดรูปแบบปริมาตรสองรูปแบบคือ และผลต่างจะเป็นฟิลด์เวกเตอร์แฮมิลโทเนียน ดังนั้น ชั้นโคฮอโมโลยีปัวซงจึงไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกรูปแบบปริมาตรเริ่มต้นและเรียกว่าชั้นโมดูลาร์ของแมนิโฟลด์ปัวซง${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{\lambda }}\pi =0}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$${\displaystyle X_{\lambda _{1}}-X_{\lambda _{2}}}$${\displaystyle [X_{\lambda }]_{\pi }\in H^{1}(M,\pi )}$${\displaystyle \lambda }$

แมนิโฟลด์ปัวซงที่สามารถกำหนดทิศทางได้เรียกว่ายูนิโมดูลาร์ถ้าคลาสโมดูลาร์ของมันเป็นศูนย์ โปรดสังเกตว่าสิ่งนี้เกิดขึ้นก็ต่อเมื่อมีฟอร์มปริมาตรอยู่จริงที่ทำให้ฟิลด์เวกเตอร์โมดูลาร์เป็นศูนย์ กล่าวคือสำหรับทุก ๆ; กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การไหลของฟิลด์เวกเตอร์แฮมิลโทเนียนใด ๆ ตัวอย่างเช่น:${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle X_{\lambda }}$${\displaystyle {\rm {div}}_{\lambda }(X_{f})=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \lambda }$

• โครงสร้างเชิงซิมเพล็กติกเป็นแบบยูนิโมดูลาร์เสมอ เนื่องจากรูปแบบของลิอูวิลล์ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้สนามเวกเตอร์แฮมิลโทเนียนทั้งหมด
• สำหรับโครงสร้างปัวซงเชิงเส้น คลาสโมดูลาร์คืออักขระโมดูลาร์อนันต์ของเนื่องจากฟิลด์เวกเตอร์โมดูลาร์ที่เกี่ยวข้องกับการวัดเลเบสมาตรฐานบนคือฟิลด์เวกเตอร์คงที่บนดังนั้น จึงเป็น unimodular ในฐานะแมนิโฟลด์ปัวซงก็ต่อเมื่อเป็นunimodularในฐานะพีชคณิตลี^{[ 29 ]}${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$
• สำหรับโครงสร้างปัวซงปกติ คลาสโมดูลาร์จะเกี่ยวข้องกับคลาสรีบของโฟลิเอชันซิมเพล็กติกพื้นฐาน (องค์ประกอบของกลุ่มโคฮอโมโลยีแบบใบไม้แรก ซึ่งขัดขวางการมีอยู่ของรูปแบบปกติของปริมาตรที่ไม่เปลี่ยนแปลงโดยฟิลด์เวกเตอร์ที่สัมผัสกับโฟลิเอชัน) ^{[ 30 ]}

การสร้างคลาสโมดูลาร์สามารถขยายไปยังแมนิโฟลด์ที่ไม่สามารถกำหนดทิศทางได้ง่ายๆ โดยการแทนที่รูปแบบปริมาตรด้วยความหนาแน่น^{[ 28 ]}

โคฮอโมโลยีปัวซงได้รับการแนะนำในปี พ.ศ. 2520 โดย Lichnerowicz เอง^{[ 1 ]}หนึ่งทศวรรษต่อมาBrylinskiได้แนะนำทฤษฎีโฮโมโลยีสำหรับแมนิโฟลด์ปัวซงโดยใช้ตัวดำเนินการ^{[ 31 ]}${\displaystyle \partial _{\pi }=[d,\iota _{\pi }]}$

ผลลัพธ์หลายประการได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีความสัมพันธ์ระหว่าง Poisson homology และ cohomology ^{[ 32 ]}ตัวอย่างเช่น สำหรับ Poisson manifold unimodular ที่สามารถกำหนดทิศทางได้ Poisson homology จะกลายเป็นไอโซมอร์ฟิกกับ Poisson cohomology: สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์โดยอิสระโดย Xu ^{[ 33 ]}และ Evans-Lu-Weinstein ^{[ 29 ]}

• เมื่อกำหนดแมนิโฟลด์ปัวซงแบบผลคูณแล้วการฉายภาพเชิงแคนอนิกสำหรับจะเป็นแผนที่ปัวซง${\displaystyle (M_{0}\times M_{1},\pi _{0}\times \pi _{1})}$${\displaystyle \mathrm {pr} _{i}:M_{0}\times M_{1}\to M_{i}}$${\displaystyle i\in \{0,1\}}$
• เมื่อกำหนดแมนิโฟลด์ปัวซงแล้วการรวมใบซิมเพล็กติกหรือเซตเปิดเข้าไปในแมนิโฟลด์ปัวซงจะเป็นแผนที่ปัวซง${\displaystyle (M,\pi )}$${\displaystyle M}$
• เมื่อกำหนดพีชคณิตลีสองตัวคือและการแปลงแบบคู่ของโฮโมมอร์ฟิซึมของพีชคณิตลีใดๆจะเหนี่ยวนำให้เกิดแผนที่ปัวซงระหว่างโครงสร้างปัวซงเชิงเส้นของทั้ง สอง${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}\to {\mathfrak {g}}^{*}}$
• เมื่อกำหนด Lie algebroid สองตัวคือ และการแปลงแบบคู่ของ Lie algebroid ใดๆบนเอกลักษณ์จะเหนี่ยวนำให้เกิดแผนที่ปัวซงระหว่างโครงสร้างปัวซงเชิงเส้นแบบไฟเบอร์ของทั้งสองตัว${\displaystyle A\to M}$${\displaystyle B\to M}$${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle B^{*}\to A^{*}}$

ควรสังเกตว่าแนวคิดของแผนที่ปัวซงนั้นแตกต่างโดยพื้นฐานจากแผนที่ซิมเพล็กติกตัวอย่างเช่น ด้วยโครงสร้างซิมเพล็กติกมาตรฐาน จะไม่มีแผนที่ปัวซงในขณะที่แผนที่ซิมเพล็กติกมีอยู่มากมาย โดยทั่วไปแล้ว เมื่อกำหนดแมนิโฟลด์ซิมเพล็กติกสองตัวและและแผนที่เรียบถ้าเป็นแผนที่ปัวซง มันจะต้องเป็นการส่งแบบซับเมอร์ชัน ในขณะที่ถ้าเป็นแผนที่ซิมเพล็กติก มันจะต้องเป็นการส่งแบบอินเมอร์ชัน${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle (M_{1},\omega _{1})}$${\displaystyle (M_{2},\omega _{2})}$${\displaystyle f:M_{1}\to M_{2}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

A symplectic groupoid is a Lie groupoid${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightrightarrows M}$ together with a symplectic form ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{2}({\mathcal {G}})}$ which is also multiplicative, i.e. it satisfies the following algebraic compatibility with the groupoid multiplication: ${\displaystyle m^{*}\omega ={\rm {pr}}_{1}^{*}\omega +{\rm {pr}}_{2}^{*}\omega }$. Equivalently, the graph of ${\displaystyle m}$ is asked to be a Lagrangian submanifold of ${\displaystyle ({\mathcal {G}}\times {\mathcal {G}}\times {\mathcal {G}},\omega \oplus \omega \oplus -\omega )}$. Among the several consequences, the dimension of ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ is automatically twice the dimension of ${\displaystyle M}$. The notion of symplectic groupoid was introduced at the end of the 1980s independently by several authors.^{[34][37][38][24]}

A fundamental theorem states that the base space of any symplectic groupoid admits a unique Poisson structure ${\displaystyle \pi }$ such that the source map ${\displaystyle s:({\mathcal {G}},\omega )\to (M,\pi )}$ and the target map ${\displaystyle t:({\mathcal {G}},\omega )\to (M,\pi )}$ are, respectively, a Poisson map and an anti-Poisson map. Moreover, the Lie algebroid ${\displaystyle {\rm {Lie}}({\mathcal {G}})}$ is isomorphic to the cotangent algebroid ${\displaystyle T^{*}M}$ associated to the Poisson manifold ${\displaystyle (M,\pi )}$.^[39] Conversely, if the cotangent bundle ${\displaystyle T^{*}M}$ of a Poisson manifold is integrable (as a Lie algebroid), then its ${\displaystyle s}$-simply connected integration ${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightrightarrows M}$ is automatically a symplectic groupoid.^[40]

Accordingly, the integrability problem for a Poisson manifold consists in finding a (symplectic) Lie groupoid which integrates its cotangent algebroid; when this happens, the Poisson structure is called integrable.

แม้ว่าแมนิโฟลด์ปัวซงใดๆ จะยอมรับการบูรณาการเฉพาะที่ (เช่น ซิมเพล็กติกกรุปอยด์ที่การคูณถูกกำหนดเฉพาะที่) ^{[ 39 ]}แต่ก็มีอุปสรรคทางโทโพโลยีทั่วไปต่อความสามารถในการบูรณาการ ซึ่งมาจากทฤษฎีความสามารถในการบูรณาการสำหรับลีแอลเจบรอยด์^{[ 41 ]}ผู้สมัครสำหรับซิมเพล็กติกกรุปอยด์ที่บูรณาการแมนิโฟลด์ปัวซงใดๆเรียกว่าปัวซงโฮโมโทปีกรุปอยด์และเป็นเพียงซิมเพล็กติกกรุปอยด์ Ševera-Weinstein ^{[ 42 ] [ 41 ]}ของโคแทนเจนต์แอลเจบรอยด์ซึ่งประกอบด้วยผลหารของปริภูมิบานาคของเส้นทาง คลาสพิเศษ ในโดยความสัมพันธ์ที่เทียบเท่าที่เหมาะสม หรือเทียบเท่า สามารถอธิบายได้ว่าเป็น ผลหารซิมเพล็กติกมิติอนันต์^{[ 35 ]}${\displaystyle \Pi (M,\pi )}$${\displaystyle (M,\pi )}$${\displaystyle T^{*}M\to M}$${\displaystyle T^{*}M}$${\displaystyle \Pi (M,\pi )}$

• โครงสร้างปัวซงแบบไม่สำคัญนั้นสามารถหาปริพันธ์ได้เสมอ โดยที่กรุปอยด์เชิงซิมเพล็กติกคือกลุ่มของกลุ่มอาเบเลียน (แบบบวก) ที่มีโครงสร้างเชิงซิมเพล็กติกแบบแคนอนิก${\displaystyle (M,0)}$${\displaystyle T^{*}M\rightrightarrows M}$
• โครงสร้างปัวซงที่ไม่เสื่อมสภาพบน นั้นสามารถหาปริพันธ์ได้เสมอ โดยที่กลุ่มซิมเพล็กติกคือกลุ่มคู่พร้อมกับรูปแบบซิมเพล็กติก(สำหรับ)${\displaystyle M}$${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$${\displaystyle s^{*}\omega -t^{*}\omega }$${\displaystyle \pi ^{\sharp }=(\omega ^{\flat })^{-1}}$
• โครงสร้าง Lie-Poisson บน นั้นสามารถหาปริพันธ์ได้เสมอ โดยที่กลุ่มซิมเพล็กติกเป็นกลุ่มแอ็กชัน ( ร่วมผกผัน ) สำหรับกลุ่ม Lie ที่รวมพร้อมกับรูปแบบซิมเพล็กติกแบบแคนอนิกของ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle G\times {\mathfrak {g}}^{*}\rightrightarrows {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle T^{*}G\cong G\times {\mathfrak {g}}^{*}}$
• โครงสร้าง Lie-Poisson บนสามารถหาปริพันธ์ได้ก็ต่อเมื่อ Lie algebroid สามารถหาปริพันธ์ได้กับ Lie groupoid โดยที่ symplectic groupoid คือ cotangent groupoid ที่มีรูปแบบ symplectic แบบแคนอนิก${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle A\to M}$${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightrightarrows M}$${\displaystyle T^{*}{\mathcal {G}}\rightrightarrows A^{*}}$

การสร้างซิมเพล็กติกแบบสมบูรณ์บนแมนิโฟลด์ปัวซง M ประกอบด้วยแมนิโฟลด์ซิมเพล็กติกพร้อมกับแผนที่ปัวซงซึ่งเป็นการฝังแบบทั่วถึง กล่าวโดยคร่าวๆ บทบาทของการสร้างซิมเพล็กติกคือการ "กำจัดจุดเอกฐาน" ของแมนิโฟลด์ปัวซงที่ซับซ้อน (เสื่อมสภาพ) โดยการเปลี่ยนไปสู่แมนิโฟลด์ที่ใหญ่กว่าแต่เรียบง่ายกว่า (ไม่เสื่อมสภาพ)${\displaystyle (P,\omega )}$${\displaystyle \phi$ :(P,\omega )\to (M,\pi )}

การรับรู้เชิงซิมเพล็กติกเรียกว่าสมบูรณ์หากสำหรับฟิลด์เวกเตอร์แฮมิลโทเนียนที่สมบูรณ์ ใดๆ ฟิลด์เวกเตอร์นั้นก็สมบูรณ์เช่นกัน ในขณะที่การรับรู้เชิงซิมเพล็กติกมีอยู่เสมอสำหรับแมนิโฟลด์ปัวซงทุกตัว (และมีบทพิสูจน์ที่แตกต่างกันหลายแบบ) ^{[ 17 ] [ 38 ] [ 43 ]}แต่การรับรู้ที่สมบูรณ์นั้นไม่มี และการมีอยู่ของการรับรู้เหล่านี้มีบทบาทพื้นฐานในปัญหาความสามารถในการหาปริพันธ์สำหรับแมนิโฟลด์ปัวซง อันที่จริง การใช้อุปสรรคทางโทโพโลยีต่อความสามารถในการหาปริพันธ์ของพีชคณิตลี สามารถแสดงได้ว่าแมนิโฟลด์ปัวซงสามารถหาปริพันธ์ได้ก็ต่อเมื่อมันยอมรับการรับรู้เชิงซิมเพล็กติกที่สมบูรณ์^{[ 36 ]}ข้อเท็จจริงนี้ยังสามารถพิสูจน์ได้โดยตรงมากขึ้น โดยไม่ต้องใช้อุปสรรคของ Crainic-Fernandes ^{[ 44 ]}${\displaystyle \phi }$${\displaystyle X_{H}}$${\displaystyle X_{H\circ \phi }}$