5 เซลล์(4 ซิมเพล็กซ์)
ภาพฉายตั้งฉากสามมิติของกลุ่มเซลล์ 5 เซลล์ที่กำลังหมุนอย่างง่าย
พิมพ์	โพลีโทป 4 มิติปกติแบบนูน
สัญลักษณ์ Schläfli	{3,3,3}
แผนภาพค็อกซ์เตอร์
เซลล์	5 {3,3}
ใบหน้า	10 {3}
ขอบ	10
จุดยอด	5
รูปจุดยอด	( ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า )
รูปหลายเหลี่ยมเพทรี	รูปห้าเหลี่ยม
กลุ่มค็อกซ์เตอร์	A 4 , [3,3,3]
สองชั้น	ตนเองสองฝ่าย
คุณสมบัติ	นูน , isogonal , isotoxal , isohedral , มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว
ดัชนีสม่ำเสมอ	1

ในทางเรขาคณิต 5- เซลล์คือโพลีโทปนูน 4 มิติ ที่มีสัญลักษณ์ Schläfli {3,3,3} เป็น วัตถุ สี่มิติ ที่มี 5 จุดยอดล้อม รอบด้วยเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 5 เซลล์ เรียกอีกอย่างว่าC ₅ไฮเปอร์เตตระเฮ ดรอน เพ นตาโครอน [ ^{1 ] เพ}นตาโทป เพนตาเฮดรอยด์^{[ 2 ]}พีระมิดทรงสี่เหลี่ยมด้าน เท่า หรือ4- ซิมเพ ล็กซ์ ( โพลีโทป α ₄ ของ Coxeter ) ^{[ 3 ]}ซึ่งเป็นโพลีโทปนูน 4 มิติที่ง่ายที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ และคล้ายคลึงกับทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าในสามมิติและสามเหลี่ยมในสองมิติ 5-เซลล์เป็นพีระมิด 4 มิติที่มีฐานทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าและด้านข้างทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 4 ด้าน

เซลล์5 ด้านปกติถูกล้อมรอบด้วยทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติ 5 รูป และเป็นหนึ่งใน 6 รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนปกติ 4 มิติ (รูปทรงสี่มิติที่เทียบได้กับทรงหลายเหลี่ยมเพลโต ) เซลล์ 5 ด้านปกติสามารถสร้างได้จากทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติโดยการเพิ่มจุดยอดที่ห้าซึ่งอยู่ห่างจากจุดยอดทั้งหมดของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าเป็นระยะความยาวด้านหนึ่ง แต่ไม่สามารถทำได้ในพื้นที่ 3 มิติ เซลล์ 5 ด้านปกติเป็นคำตอบของปัญหา: สร้างสามเหลี่ยมด้านเท่า 10 รูปที่มีขนาดเท่ากันทั้งหมด โดยใช้ไม้ขีดไฟ 10 ก้าน โดยที่แต่ละด้านของสามเหลี่ยมทุกรูปมีความยาวเท่ากับไม้ขีดไฟ 1 ก้านพอดี และไม่มีสามเหลี่ยมและไม้ขีดไฟใดตัดกันไม่มีคำตอบในสามมิติ

5-เซลล์เป็นซิมเพล็ก ซ์ 4 มิติ ซึ่ง เป็นโพลีโทป 4 มิติที่ง่ายที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้กล่าวอีกนัยหนึ่ง 5-เซลล์เป็นโพลีโครอนที่คล้ายกับเตตระเฮดรอนในมิติสูง^{[ 4 ]}มันถูกสร้างขึ้นโดยจุดห้าจุดใดๆ ที่ไม่ได้อยู่ในระนาบ เดียวกัน (เช่นเดียวกับที่เตตระเฮดรอนถูกสร้างขึ้นโดยจุดสี่จุดใดๆ ที่ไม่ได้อยู่ในระนาบเดียวกัน และสามเหลี่ยมถูกสร้างขึ้นโดยจุดสามจุดใดๆ ที่ไม่ได้อยู่ในเส้นเดียวกัน) จุดห้าจุดดังกล่าวประกอบกันเป็น 5-เซลล์ แม้ว่าโดยปกติจะไม่ใช่ 5-เซลล์ปกติ 5-เซลล์ ปกติจะไม่พบในโพลีโทป 4 มิติแบบนูนปกติอื่นๆ ยกเว้นหนึ่งเดียว: 120- เซลล์ 600 จุดยอด เป็นส่วนประกอบของ 5-เซลล์ปกติ 120 เซลล์

5-เซลล์เป็นแบบคู่ตัวเองหมายความว่าโพลีโทปคู่ของมันคือ 5-เซลล์เอง^{[ 5 ]}จุดตัดสูงสุดของมันกับพื้นที่ 3 มิติคือปริซึมสามเหลี่ยมมุมไดโคราลระหว่างเซลล์คือarccos ⁠1/4⁠ ≈ 75.52° มุมไดเฮดรัลระหว่างหน้าตัดคือ arccos ⁠1/3⁠ ≈ 70.53° . ^{[ 6 ]}

เป็นอันแรกในลำดับของโพลีโทป 4 มิติปกติแบบนูน 6 อัน เรียงตามลำดับปริมาตรที่รัศมีหรือจำนวนจุดยอดที่กำหนด^{[ 7 ]}

ขอบเขตนูนของเซลล์ 5 เซลล์สองเซลล์ในรูปแบบคู่ขนานคือเซลล์ 30 เซลล์แบบดิสเฟนอยดัล ซึ่งเป็นคู่ขนานของเซลล์ 5 เซลล์แบบบิตรันเคต

เมทริกซ์การกำหนดค่านี้แสดงถึงเซลล์ 5 เซลล์ แถวและคอลัมน์สอดคล้องกับจุดยอด ขอบ หน้า และเซลล์ ตัวเลขแนวทแยงบอกจำนวนของแต่ละองค์ประกอบที่เกิดขึ้นในเซลล์ 5 เซลล์ทั้งหมด ตัวเลขที่ไม่ใช่แนวทแยงบอกจำนวนองค์ประกอบของคอลัมน์ที่เกิดขึ้นในหรือที่องค์ประกอบของแถว เมทริกซ์ของโพลีโทปคู่ตัวเองนี้เหมือนกับเมทริกซ์ที่หมุน 180 องศา^{[ 8 ]}สามารถอ่านหน้า k หน้าได้เป็นแถวทางซ้ายของแนวทแยง ในขณะที่รูปk รูปอ่านได้เป็นแถวหลังแนวทแยง^{[ 9 ]}

องค์ประกอบ	เค -เฟซ	เอฟเค	ฟ0	ฟ1	เอฟ2	เอฟ3	k -figs
	( )	ฟ0	5	4	6	4	{3,3}
	{ }	ฟ1	2	10	3	3	{3}
	{3}	เอฟ2	3	3	10	2	{ }
	{3,3}	เอฟ3	4	6	4	5	( )

องค์ประกอบทั้งหมดของเซลล์ 5 จุดเหล่านี้ถูกระบุไว้ในแผนภาพเวนน์ 5 จุด ของBranko Grünbaumซึ่งเป็นภาพประกอบของเซลล์ 5 จุดปกติที่ฉายลงบนระนาบ อย่างแท้จริง

5-เซลล์มี ระนาบกลางรูป สองเหลี่ยมที่ผ่านจุดยอดเท่านั้น มีระนาบกลางรูปสองเหลี่ยม 10 ระนาบ โดยที่แต่ละคู่จุดยอดเป็นขอบ ไม่ใช่แกนของ 5-เซลล์ แต่ละระนาบรูปสองเหลี่ยมตั้งฉากกับอีก 3 ระนาบ แต่ไม่ตั้งฉากโดยสมบูรณ์กับระนาบใดเลยการหมุนแบบไอโซคลินิก ที่เป็นลักษณะเฉพาะ ของ 5-เซลล์ มีระนาบไม่เปลี่ยนแปลงเป็นคู่ๆ คือ ระนาบรูปสองเหลี่ยม 10 ระนาบนั้น และระนาบกลางที่ตั้งฉากโดยสมบูรณ์กับระนาบเหล่านั้น ซึ่งเป็นระนาบรูปศูนย์เหลี่ยมที่ไม่ตัดกับจุดยอดใดๆ ของ 5-เซลล์

ด้านล่างนี้คือภาพจำลองของเซลล์ 5 เซลล์ที่กำลังหมุน โดยมิติที่สี่ถูกบีบอัดและแสดงผลเป็นสีส่วนทอรัสของคลิฟฟอร์ดแสดงอยู่ในรูปทรงสี่เหลี่ยมผืนผ้า (แบบห่อหุ้ม)

• การแสดงภาพการหมุน 4 มิติ
• การหมุนในระนาบ XY อย่างง่ายๆ
• หมุนในระนาบ ZW อย่างง่ายๆ
• หมุนสองทิศทางในระนาบ XY และ ZW ด้วยความเร็วเชิงมุมในอัตราส่วน 4:3
• การหมุนไอโซคลินิกซ้าย
• การหมุนไอโซคลินิกขวา

ระนาบ Coxeter A ₄ฉายภาพ 5-cell ออกเป็นรูปห้าเหลี่ยมและรูปห้าแฉก ปกติ การฉายภาพ 5-cell ลงบนระนาบ Coxeter A _{3 จะได้รูป} พีระมิดฐานสี่เหลี่ยม การฉายภาพ 5-cell ลงบนระนาบ Coxeter A ₂จะได้รูปพีระมิดสามเหลี่ยมคู่ (รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าสองรูปต่อกันแบบหน้าต่อหน้า) โดยมีจุดยอดตรงข้ามสองจุดอยู่ตรงกลาง

การฉายภาพแบบออร์โธกราฟิก

เครื่องบิน K Coxeter	เอ4	เอ3	เอ2
กราฟ
สมมาตรไดเฮดรัล	[5]	[4]	[3]

การฉายภาพไปยัง 3 มิติ
การฉายภาพแบบจุดยอดนำหน้าของกลุ่ม 5 เซลล์ลงใน 3 มิติ จะได้ รูปทรงการฉายภาพแบบ ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า จุดยอดที่ใกล้ที่สุดของกลุ่ม 5 เซลล์จะฉายภาพไปยังจุดศูนย์กลางของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า ดังแสดงในภาพด้วยสีแดง จุดยอดที่อยู่ไกลที่สุดจะฉายภาพลงบนรูปทรงการฉายภาพแบบทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าเอง ในขณะที่จุดยอดอีก 4 เซลล์จะฉายภาพลงบนบริเวณทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าแบนราบทั้ง 4 บริเวณที่ล้อมรอบจุดยอดตรงกลาง	การฉายภาพขอบแรกของเซลล์ 5 เซลล์ลงใน 3 มิติ มี โครงสร้างรูปทรง พีระมิดคู่สามเหลี่ยมขอบที่ใกล้ที่สุด (แสดงในภาพด้วยสีแดง) ฉายไปยังแกนของพีระมิดคู่ โดยเซลล์ทั้งสามที่อยู่รอบๆ จะฉายไปยังปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 3 ปริมาตรที่เรียงตัวอยู่รอบแกนนี้ทำมุม 120 องศาต่อกัน ส่วนเซลล์อีก 2 เซลล์ที่เหลือจะฉายไปยังครึ่งทั้งสองของพีระมิดคู่และอยู่ด้านไกลของเพนทาโทป
การฉายภาพแบบหันหน้าเข้าหาด้านหน้าของเซลล์ 5 เซลล์ใน 3 มิติ ก็มีโครงสร้างรูปทรงพีระมิดคู่สามเหลี่ยมเช่นกัน ด้านที่ใกล้ที่สุดแสดงด้วยสีแดง เซลล์สองเซลล์ที่มาบรรจบกันที่ด้านนี้จะฉายไปยังครึ่งทั้งสองของพีระมิดคู่ เซลล์อีกสามเซลล์ที่เหลืออยู่ด้านไกลของเพนทาโทปเมื่อมองจากมุมมอง 4 มิติ และถูกตัดออกจากภาพเพื่อให้มองเห็นได้ชัดเจน เซลล์เหล่านี้เรียงตัวอยู่รอบแกนกลางของพีระมิดคู่ เช่นเดียวกับการฉายภาพแบบหันหน้าเข้าหาด้านข้าง	การฉายภาพเซลล์ 5 เซลล์ลงบนพื้นผิว 3 มิติโดยเริ่มจากเซลล์แรก จะมีโครงสร้างเป็นทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า เซลล์ที่อยู่ใกล้ที่สุดจะฉายภาพลงบนโครงสร้างทั้งหมด และจากมุมมอง 4 มิติ จะบดบังเซลล์อีก 4 เซลล์ที่เหลือ ดังนั้นจึงไม่ได้แสดงเซลล์เหล่านั้นไว้ในที่นี้

ในกรณีของซิมเพล็กซ์เช่น 5-เซลล์ รูปทรงที่ไม่ปกติบางรูปนั้นมีความสำคัญพื้นฐานมากกว่ารูปทรงปกติในบางแง่ แม้ว่า 5-เซลล์ปกติจะไม่สามารถเติมเต็ม 4-space หรือ 4-polytope ปกติได้ แต่ก็มี 5-เซลล์ที่ไม่ปกติบางรูปที่สามารถทำได้5-เซลล์ลักษณะเฉพาะ เหล่านี้ เป็นโดเมนพื้นฐานของกลุ่มสมมาตร ต่างๆ ซึ่งก่อให้เกิด 4-polytope ต่างๆ

ออร์โธสคีม 4 มิติคือเซลล์ 5 เซลล์ ที่หน้าทั้ง 10 หน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (จุดยอดทั้ง 5 จุดก่อตัวเป็นเซลล์ ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 5 เซลล์ ที่เชื่อมต่อกันด้วยหน้า โดยมีขอบทั้งหมด 10 ขอบและหน้าสามเหลี่ยม 10 หน้า) ออร์โธสคีมเป็นซิมเพล็กซ์ ที่ไม่ปกติ ซึ่งเป็นส่วนนูนของต้นไม้ที่ขอบทั้งหมดตั้งฉากกัน ในออร์โธสคีม 4 มิติ ต้นไม้ประกอบด้วยขอบตั้งฉากสี่เส้นที่เชื่อมต่อจุดยอดทั้งห้าจุดในเส้นทางเชิงเส้นที่เลี้ยวเป็นมุมฉากสามครั้ง องค์ประกอบของออร์โธสคีมก็เป็นออร์โธสคีมเช่นกัน (เช่นเดียวกับองค์ประกอบของซิมเพล็กซ์ปกติก็เป็นซิมเพล็กซ์ปกติเช่นกัน) เซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าแต่ละเซลล์ของออร์โธสคีม 4 มิติ คือออร์โธสคีม 3 มิติและหน้าสามเหลี่ยมแต่ละหน้าคือ ออร์โธสคีม 2 มิติ (รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก)

ออร์โธสคีมเป็นซิมเพล็กซ์ลักษณะเฉพาะของโพลีโทปปกติ เนื่องจากโพลีโทปปกติแต่ละอันถูกสร้างขึ้นโดยการสะท้อนในระนาบขอบของออร์โธสคีมลักษณะเฉพาะของมัน^{[ 10 ]}ตัวอย่างเช่น กรณีพิเศษของออร์โธสคีม 4 มิติที่มีขอบตั้งฉากยาวเท่ากันคือออร์โธสคีมลักษณะเฉพาะของลูกบาศก์ 4 มิติ (เรียกอีกอย่างว่าเทสเซอแร็กต์หรือเซลล์ 8 มิติ ) ซึ่งเป็นอะนาล็อก 4 มิติของลูกบาศก์ 3 มิติ หากขอบตั้งฉากทั้งสามของออร์โธสคีม 4 มิติมีความยาวหนึ่งหน่วย ขอบทั้งหมดของมันจะมีความยาว√ 1 , √ 2 , √ 3หรือ√ 4ซึ่งตรงกับความยาวคอร์ดของลูกบาศก์ 4 มิติหน่วย (ความยาวของขอบของลูกบาศก์ 4 มิติและเส้นทแยงมุมต่างๆ) ดังนั้น ออร์โธสคีม 4 มิติ นี้จึงพอดีกับลูกบาศก์ 4 มิติ และลูกบาศก์ 4 มิติ (เช่นเดียวกับรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนปกติทุกรูป) สามารถแบ่งออกเป็นตัวอย่างของออร์โธสคีมลักษณะเฉพาะของมันได้

โครงร่าง 3-ออร์โธสคีมนั้นวาดภาพประกอบได้ง่าย แต่โครงร่าง 4-ออร์โธสคีมนั้นยากต่อการมองเห็นภาพมากกว่า โครงร่าง 4-ออร์โธสคีมคือพีระมิดทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่มีโครงร่าง 3-ออร์โธสคีมเป็นฐาน มันมีขอบมากกว่าโครงร่าง 3-ออร์โธสคีมสี่ขอบ โดยเชื่อมจุดยอดทั้งสี่ของฐานเข้ากับจุดยอด (จุดยอดที่ห้าของเซลล์ 5) ลองเลือกโครงร่าง 3-ออร์โธสคีมใดก็ได้จากหกโครงร่างที่แสดงในภาพประกอบลูกบาศก์ 3 ลูกบาศก์ สังเกตว่ามันสัมผัสกับจุดยอดสี่จุดจากแปดจุดยอดของลูกบาศก์ และจุดยอดทั้งสี่นั้นเชื่อมต่อกันด้วยเส้นทาง 3 ขอบที่เลี้ยวเป็นมุมฉากสองครั้ง ลองจินตนาการว่าระนาบ 3 มิติ (3-orthoscheme) นี้เป็นฐานของระนาบ 4 มิติ (4-orthoscheme) ดังนั้นจากจุดยอดทั้งสี่จุดนั้น ขอบระนาบ 4 มิติที่มองไม่เห็นจะเชื่อมต่อกับจุดยอดที่ห้า (ซึ่งอยู่นอกลูกบาศก์ 3 มิติและไม่ปรากฏในภาพประกอบเลย) แม้ว่าขอบเพิ่มเติมทั้งสี่จะไปถึงจุดยอดเดียวกัน แต่ขอบเหล่านั้นจะมีขนาดความยาวต่างกัน ขอบแรกที่ปลายด้านหนึ่งของเส้นทางตั้งฉากของขอบ 3 มิติ จะขยายเส้นทางนั้นด้วยขอบตั้งฉาก√1 ที่ สี่โดยการหักมุม 90 องศาครั้งที่สามและตั้งฉากเข้าไปในมิติที่สี่ไปยังจุดยอด ขอบเพิ่มเติมที่สองจากสี่ขอบนั้นเป็นเส้น ทแยงมุม √2 ของหน้าลูกบาศก์ (ไม่ใช่ลูกบาศก์ 3 มิติที่แสดงในภาพ แต่เป็นลูกบาศก์ 3 มิติอีกอันหนึ่งในแปดลูกบาศก์ของเทสเซอแร็กต์) ขอบเพิ่มเติมที่สามเป็น เส้นทแยงมุม √3ของลูกบาศก์ 3 มิติ (อีกครั้ง ไม่ใช่ลูกบาศก์ 3 มิติที่แสดงในภาพประกอบดั้งเดิม) ขอบเพิ่มเติมที่สี่ (ที่ปลายอีกด้านของเส้นทางตั้งฉาก) เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางยาวของเทสเซอแร็กต์เอง มีความยาว√4มันทอดผ่านจุดศูนย์กลางของเทสเซอแร็กต์ไปยัง จุดยอด ตรงข้าม (จุดยอดของลูกบาศก์ 3 มิติฝั่งตรงข้าม) ซึ่งเป็นจุดยอดสูงสุด ดังนั้นเซลล์ 5 มิติที่เป็นลักษณะเฉพาะของลูกบาศก์ 4 มิติจึงมีขอบ√1 สี่ เส้น ขอบ √2 สาม เส้น ขอบ √3สองเส้นและขอบ √4 หนึ่ง เส้น

ลูกบาศก์ 4 ลูกสามารถแยกย่อยออกเป็น 4-orthoscheme ดังกล่าวได้ 24 แบบแปดวิธีที่แตกต่างกัน โดยมี 4-ออร์โธสคีมหกชุดล้อมรอบเส้นผ่านศูนย์กลางยาวของเทสเซอแร็กต์ √4 ที่ตั้งฉากกันสี่เส้น ลูกบาศก์ 4 มิติยังสามารถแบ่งออกเป็น 384 ตัวอย่างที่เล็กกว่าของ 4-ออร์โธสคีมลักษณะเดียวกันนี้ได้เพียงวิธีเดียว โดยใช้ระนาบสมมาตรทั้งหมดพร้อมกัน ซึ่งแบ่งมันออกเป็น 384 4-ออร์โธสคีมที่มาบรรจบกันที่จุดศูนย์กลางของลูกบาศก์ 4 มิติ

โดยทั่วไปแล้ว โพลีโทปปกติใดๆ ก็สามารถแบ่งออกเป็นgตัวอย่างของออร์โธสคีมลักษณะเฉพาะของมัน ซึ่งทั้งหมดมาบรรจบกันที่จุดศูนย์กลางของโพลีโทปปกติ^{[ 11 ]}จำนวนgคือลำดับของโพลีโทป จำนวนตัวอย่างสะท้อนของออร์โธสคีมลักษณะเฉพาะที่ประกอบเป็นโพลีโทป เมื่อ ตัวอย่างออร์โธสคีมพื้นผิวกระจก เดี่ยวถูกสะท้อนในเหลี่ยมมุมของมันเอง โดยทั่วไปแล้ว ซิมเพล็กซ์ลักษณะเฉพาะสามารถเติมเต็มโพลีโทปสม่ำเสมอได้ เนื่องจากมีองค์ประกอบที่จำเป็นทั้งหมดของโพลีโทป นอกจากนี้ยังมีมุมที่จำเป็นทั้งหมดระหว่างองค์ประกอบ (ตั้งแต่ 90 องศาลงมา) ซิมเพล็กซ์ลักษณะเฉพาะเป็นรหัสพันธุกรรมของโพลีโทป เช่นเดียวกับมีดพับสวิสพวกมันมีทุกอย่างที่จำเป็นในการสร้างโพลีโทปโดยการทำซ้ำ

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติทุกรูป รวมถึงรูปทรง 5 เซลล์ปกติ มีโครงร่างตั้งฉากเฉพาะตัว มีโครงร่างตั้งฉาก 4 เซลล์ ซึ่งเป็นโครงร่าง5 เซลล์เฉพาะตัวของรูปทรง 5 เซลล์ปกติมันเป็น พีระมิดทรงสี่เหลี่ยมด้าน เท่าที่สร้างขึ้นจากทรงสี่เหลี่ยม ด้านเท่า เฉพาะตัวของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติ รูปทรง 5 เซลล์ปกติสามารถแยกย่อยออกเป็น 120 ตัวอย่างของโครงสร้างออร์โธสคีม 4 ลักษณะเฉพาะนี้ได้เพียงวิธีเดียว โดยใช้ระนาบสมมาตรทั้งหมดพร้อมกัน ซึ่งแบ่งมันออกเป็น 120 4-ออร์โธสคีม ที่มาบรรจบกันที่จุดศูนย์กลางของเซลล์ 5 ปกติ

ลักษณะของเซลล์ 5 เซลล์ปกติ[ 12 ]
	ขอบ[ 13 ]	อาร์ค		ไดเฮดรัล[ 14 ]
𝒍	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581}$	104°30′40″	${\displaystyle \pi -2\eta }$	75°29′20″	${\displaystyle \pi -2\psi }$
0	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{10}}}\approx 0.316}$	75°29′20″	${\displaystyle 2\eta }$	60°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$
𝝉 [ a ]	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{30}}}\approx 0.183}$	52°15′20″	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}-\eta }$	60°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$
𝟁	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{15}}}\approx 0.103}$	52°15′20″	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}-\eta }$	60°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$
${\displaystyle _{0}R^{3}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{20}}}\approx 0.387}$	75°29′20″	${\displaystyle 2\eta }$	90°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle _{1}R^{3}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{20}}}\approx 0.224}$	52°15′20″	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}-\eta }$	90°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle _{2}R^{3}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{60}}}\approx 0.129}$	52°15′20″	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}-\eta }$	90°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle _{0}R^{4}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {1}}=1.0}$
${\displaystyle _{1}R^{4}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{8}}}\approx 0.612}$
${\displaystyle _{2}R^{4}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}\approx 0.408}$
${\displaystyle _{3}R^{4}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{16}}}=0.25}$
${\displaystyle \eta }$		37°44′40″	${\displaystyle {\tfrac {{\text{arc sec }}4}{2}}}$

รูปทรง 5 เซลล์ลักษณะเฉพาะ (4-orthoscheme) ของรูปทรง 5 เซลล์ปกติ มีขอบมากกว่ารูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าลักษณะเฉพาะฐาน (3-orthoscheme) อยู่ 4 ขอบ ซึ่งเชื่อมจุดยอดทั้งสี่ของฐานเข้ากับจุดยอด (จุดยอดที่ห้าของ 4-orthoscheme ซึ่งอยู่ตรงกลางของรูปทรง 5 เซลล์ปกติ) ขอบทั้งสี่ของ 4-orthoscheme แต่ละอันที่มาบรรจบกันที่จุดศูนย์กลางของรูปทรง 4-polytope ปกติ มีความยาวไม่เท่ากัน เนื่องจากเป็นรัศมีลักษณะเฉพาะทั้งสี่ของรูปทรง 4-polytope ปกติ ได้แก่ รัศมีจุดยอด รัศมีจุดศูนย์กลางขอบ รัศมีจุดศูนย์กลางหน้า และรัศมีจุดศูนย์กลางเซลล์ ถ้าเซลล์ 5 เซลล์ปกติมีรัศมีหนึ่งหน่วยและความยาวขอบเซลล์ 5 เซลล์ลักษณะเฉพาะจะมีขอบสิบขอบที่มีความยาว, , รอบหน้าสามเหลี่ยมมุมฉากภายนอก (ขอบตรงข้ามมุมลักษณะเฉพาะ 𝟀, 𝝉, 𝟁) ^{[ a ]} ​​บวก, , (ขอบอีกสามขอบของหน้าออร์โธสคีม 3 ภายนอกของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าลักษณะเฉพาะ ซึ่งเป็นรัศมีลักษณะเฉพาะของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติ) บวก, , , (ขอบซึ่งเป็นรัศมีลักษณะเฉพาะของเซลล์ 5 เซลล์ปกติ) เส้นทาง 4 ขอบตามขอบตั้งฉากของออร์โธสคีมคือ, , , , เริ่มจากจุดยอด 5 เซลล์ปกติไปยังจุดศูนย์กลางขอบ 5 เซลล์ปกติ จากนั้นเลี้ยว 90° ไปยังจุดศูนย์กลางหน้า 5 เซลล์ปกติ จากนั้นเลี้ยว 90° ไปยังจุดศูนย์กลางเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 5 เซลล์ปกติ จากนั้นเลี้ยว 90° ไปยังจุดศูนย์กลาง 5 เซลล์ปกติ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{10}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{30}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{15}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{20}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{20}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{60}}}}$${\displaystyle {\sqrt {1}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{8}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{16}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{30}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{15}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{60}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{16}}}}$

มีรูปแบบสมมาตรที่ต่ำกว่าของ 5-เซลล์อยู่หลายแบบ รวมถึงรูปแบบที่พบได้ในรูปของจุดยอด โพลีโทปแบบสม่ำเสมอ :

สมมาตร	[3,3,3] ลำดับที่ 120	[3,3,1] ลำดับที่ 24	[3,2,1] ลำดับที่ 12	[3,1,1] ลำดับที่ 6	~[5,2] +ลำดับที่ 10
ชื่อ	แบตเตอรี่ 5 เซลล์แบบปกติ	พีระมิดทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า		พีระมิดสามเหลี่ยม
ชลาฟลี	{3,3,3}	{3,3}∨( )	{3}∨{ }	{3}∨( )∨( )
ตัวอย่างรูป ทรงจุดยอด	5-ซิมเพล็กซ์	ซิมเพล็กซ์ 5 ตัวที่ถูกตัดทอน	บิตรันเคท 5-ซิมเพล็กซ์	5-ซิมเพล็กซ์แบบตัดทอน	รังผึ้งซิมเพล็กซ์ 4 ด้านแบบ Omniruncated

พีระมิดทรงสี่หน้าเป็นกรณีพิเศษของพีระมิดทรงหลายเหลี่ยม5 เซลล์สร้างขึ้นจาก ฐาน ทรงสี่หน้า ปกติใน ระนาบสามมิติและจุดยอดอยู่เหนือ ระนาบนั้น ด้านทั้งสี่ของพีระมิดประกอบด้วยเซลล์ รูปสามเหลี่ยมของพีระมิด

โพลีโทป 5 มิติที่เป็นเอกรูปจำนวนมากมีรูปทรงยอดพีระมิดทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า พร้อมสัญลักษณ์ Schläfli ( )∨{3,3}

สมมาตร [3,3,1], อันดับ 24

แผนภาพชเลเกล
ชื่อค็อกซ์เตอร์	{ }×{3,3,3}	{ }×{4,3,3}	{ }×{5,3,3}	t{3,3,3,3}	t{4,3,3,3}	t{3,4,3,3}

โพลีโทป 5 มิติแบบสม่ำเสมออื่นๆ มีรูปทรงจุดยอด 5 เซลล์ที่ไม่เป็นระเบียบ ความสมมาตรของรูปทรงจุดยอดของโพลีโทปแบบสม่ำเสมอแสดงได้โดยการลบจุดที่มีวงแหวนออกจากแผนภาพค็อกเซเตอร์

สมมาตร	[3,2,1], ลำดับที่ 12		[3,1,1], ลำดับที่ 6		[2 + ,4,1], ลำดับที่ 8	[2,1,1], ลำดับที่ 4
ชลาฟลี	{3}∨{ }		{3}∨( )∨( )		{ }∨{ }∨( )
แผนภาพชเลเกล
ชื่อค็อกซ์เตอร์	t 12 α 5	t 12 γ 5	t 012 α 5	t 012 γ 5	t 123 α 5	t 123 γ 5

สมมาตร	[2,1,1], ลำดับที่ 2			[2 + ,1,1], ลำดับที่ 2	[ ] + , ลำดับที่ 1
ชลาฟลี	{ }∨( )∨( )∨( )			( )∨( )∨( )∨( )∨( )
แผนภาพชเลเกล
ชื่อค็อกซ์เตอร์	t 0123 α 5	t 0123 γ 5	t 0123 β 5	t 01234 α 5	t 01234 γ 5

เซลล์ 5 เซลล์สามารถสร้างเป็นเกลียว Boerdijk–Coxeterของเตตระเฮดราที่เชื่อมต่อกัน 5 อัน พับเป็นวงแหวน 4 มิติ^{[ 15 ]}สามารถมองเห็นหน้าสามเหลี่ยม 10 หน้าในโครงข่าย 2 มิติภายในการปูแบบสามเหลี่ยมโดยมีสามเหลี่ยม 6 รูปอยู่รอบจุดยอดแต่ละจุด แม้ว่าการพับเป็น 4 มิติจะทำให้ขอบทับกัน ขอบสีม่วงก่อตัวเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติซึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยม Petrieของเซลล์ 5 เซลล์ ขอบสีน้ำเงินเชื่อมต่อจุดยอดที่สองทุกจุด ก่อตัวเป็นรูปห้าเหลี่ยมซึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยม Clifford ของเซลล์ 5 เซลล์ ขอบสีน้ำเงินของรูปห้าเหลี่ยมเป็นคอร์ดของ เส้นไอโซคลายน์ของเซลล์ 5 เซลล์ซึ่งเป็นเส้นทางการหมุนเป็นวงกลมที่จุดยอดใช้ในระหว่างการหมุนแบบไอโซคลายน์หรือที่รู้จักกันในชื่อ การเคลื่อนที่ แบบ Clifford

เมื่อพับโครงตาข่ายของทรงสี่เหลี่ยมหน้า 5 อันในพื้นที่ 4 มิติ โดยที่ทรงสี่เหลี่ยมหน้าแต่ละอันเชื่อมต่อกันที่หน้าของทรงสี่เหลี่ยมหน้าอีก 4 อัน เซลล์ 5 เซลล์ที่ได้จะมีจุดยอดทั้งหมด 5 จุด ขอบ 10 เส้น และหน้า 10 หน้า ขอบ 4 เส้นมาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด และเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมหน้า 3 เซลล์มาบรรจบกันที่ขอบแต่ละเส้น ทำให้ทรงสี่เหลี่ยมหน้า 6 อันเป็นเซลล์ ของ มัน^{[ 6 ]}

ชุดพิกัดคาร์ทีเซียน ที่ง่ายที่สุด คือ ชุดที่มีความยาวขอบโดยที่คืออัตราส่วนทองคำ [ ^{16 ] แม้ว่า}พิกัดเหล่านี้จะไม่ได้อยู่ตรงกลางจุดกำเนิด แต่การลบออก จากแต่ละค่าจะแปล จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบของโพลีโทป 4 มิติไปที่จุดกำเนิดที่มีรัศมีโดยมีพิกัดดังต่อไปนี้: $(2,0,0,0),(0,2,0,0),(0,0,2,0),(0,0,0,2),(\phi ,\phi ,\phi ,\phi ),$${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle (1,1,1,1)/\left(2-{\tfrac {1}{\phi }}\right)}$${\displaystyle 2\left(\phi -1/\left(2-{\tfrac {1}{\phi }}\right)\right)={\sqrt {\tfrac {16}{5}}}\approx 1.7888}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\tfrac {2}{\phi }}-3,1,1,1\right)/\left({\tfrac {1}{\phi }}-2\right),&\quad \left(1,{\tfrac {2}{\phi }}-3,1,1\right)/\left({\tfrac {1}{\phi }}-2\right)\\\left(1,1,{\tfrac {2}{\phi }}-3,1\right)/\left({\tfrac {1}{\phi }}-2\right)&\quad \left(1,1,1,{\tfrac {2}{\phi }}-3\right)/\left({\tfrac {1}{\phi }}-2\right)\\\left({\tfrac {2}{\phi }},{\tfrac {2}{\phi }},{\tfrac {2}{\phi }},{\tfrac {2}{\phi }}\right)/\left({\tfrac {1}{\phi }}-2\right)\end{aligned}}}$$

ชุดพิกัดที่มีจุดกำเนิดเป็นศูนย์กลางต่อไปนี้ ซึ่งมีรัศมีและความยาวด้านเท่ากับข้างต้น สามารถมองได้ว่าเป็นไฮเปอร์พีระมิดที่มีฐานเป็นทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติในปริภูมิ 3 มิติ:

${\displaystyle \left(1,1,1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)}$

${\displaystyle \left(1,-1,-1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)}$

${\displaystyle \left(-1,1,-1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)}$

${\displaystyle \left(-1,-1,1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)}$

${\displaystyle \left(0,0,0,{\frac {4}{\sqrt {5}}}\right)}$

การปรับขนาดพิกัดเหล่านี้หรือชุดพิกัดก่อนหน้านี้จะทำให้ได้เซลล์ปกติ 5 เซลล์ที่มีจุดกำเนิดเป็นศูนย์กลางและมีรัศมีหนึ่งหน่วย โดยมีความยาวด้านเท่ากับ ไฮเปอร์พีระมิดมีพิกัดดังนี้: ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {5}}{4}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}}$

${\displaystyle \left({\sqrt {5}},{\sqrt {5}},{\sqrt {5}},-1\right)/4}$

${\displaystyle \left({\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},-1\right)/4}$

${\displaystyle \left(-{\sqrt {5}},{\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},-1\right)/4}$

${\displaystyle \left(-{\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},{\sqrt {5}},-1\right)/4}$

${\displaystyle \left(0,0,0,1\right)}$

พิกัดของจุดยอดของเซลล์ปกติ 5 เซลล์อีกเซลล์หนึ่งที่มีจุดกำเนิดอยู่ตรงกลาง มีความยาวด้าน 2 และรัศมีคือ: ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {8}{5}}}\approx 1.265}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ -{\sqrt {\frac {3}{2}}},\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(-2{\sqrt {\frac {2}{5}}},\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

เมื่อปรับขนาดเหล่านี้โดยใช้รัศมีหนึ่งหน่วยและความยาวขอบจะได้: ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{8}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}}$

${\displaystyle \left({\sqrt {3}},{\sqrt {5}},{\sqrt {10}},\pm {\sqrt {30}}\right)/(4{\sqrt {3}})}$

${\displaystyle \left({\sqrt {3}},{\sqrt {5}},-{\sqrt {40}},0\right)/(4{\sqrt {3}})}$

${\displaystyle \left({\sqrt {3}},-{\sqrt {45}},0,0\right)/(4{\sqrt {3}})}$

${\displaystyle \left(-1,0,0,0\right)}$

จุดยอดของซิมเพล็กซ์ 4 มิติ (ที่มีขอบยาว√2และรัศมี 1) สามารถสร้างได้ง่ายขึ้นบนระนาบไฮเปอร์ในปริภูมิ 5 มิติ โดยเป็นการเรียงสับเปลี่ยน (ที่แตกต่างกัน) ของ (0,0,0,0,1) หรือ (0,1,1,1,1) ในตำแหน่งเหล่านี้ ซิมเพล็กซ์ 4 มิติจะเป็นหน้าตัดของ ออร์โธเพล็ ก ซ์ 5 มิติหรือเพนเทอแร็กต์แบบปรับแก้ แล้ว ตามลำดับ

สามารถมองเห็นโครงสร้างแบบผสมของ 5-เซลล์สองอันในรูปแบบคู่ขนานได้ใน ภาพฉาย ระนาบ Coxeter A5 นี้ โดยมีจุดยอดและขอบของ 5-เซลล์เป็นสีแดงและสีน้ำเงิน โครงสร้างแบบผสมนี้มีสมมาตร [[3,3,3]] ลำดับที่ 240 จุดตัดของ 5-เซลล์ทั้งสองนี้คือ5-เซลล์แบบตัดปลายสอง ด้านที่สม่ำเสมอ=∩.

สารประกอบนี้สามารถมองได้ว่าเป็นอนาล็อก 4 มิติของเฮกซาแกรม 2 มิติ { ⁠6/2}และสารประกอบสามมิติของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าสองอัน

เพนทาโครอน (5 เซลล์) เป็นโพลีโคราแบบเอกรูป ที่ง่ายที่สุดใน บรรดา โพลีโครา 9 แบบ ที่สร้างขึ้นจากกลุ่มค็อกซ์เตอร์ [3,3,3]

ชลาฟลี	{3,3,3}	t{3,3,3}	r{3,3,3}	rr{3,3,3}	2t{3,3,3}	tr{3,3,3}	t 0,3 {3,3,3}	t 0,1,3 {3,3,3}	t 0,1,2,3 {3,3,3}
ค็อกซ์เตอร์
ชเลเกล

1 k 2รูปทรงในมิติ n
ช่องว่าง	จำกัด						ยูคลิด	ไฮเปอร์โบลิก
n	3	4	5	6	7	8	9	10
กลุ่มค็อกซ์เตอร์	E 3 =A 2 A 1	E 4 =A 4	E 5 =D 5	อี6	อี7	อี8	E 9 = = E 8 +${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$	E 10 = = E 8 ++${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$
แผนภาพค็อกซ์เตอร์
ความสมมาตร (ลำดับ)	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[3 1,2,1 ]	[[3 2,2,1 ]]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
คำสั่ง	12	120	1,920	103,680	2,903,040	696,729,600	∞
กราฟ							-	-
ชื่อ	1 −1,2	1 02	1 12	1 22	1 32	1 42	1 52	1 62

2k 1รูปทรง ในมิติn
ช่องว่าง	จำกัด						ยูคลิด	ไฮเปอร์โบลิก
n	3	4	5	6	7	8	9	10
กลุ่มค็อกซ์เตอร์	E 3 =A 2 A 1	E 4 =A 4	E 5 =D 5	อี6	อี7	อี8	E 9 = = E 8 +${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$	E 10 = = E 8 ++${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$
แผนภาพค็อกซ์เตอร์
สมมาตร	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[[3 1,2,1 ]]	[3 2,2,1 ]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
คำสั่ง	12	120	384	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
กราฟ							-	-
ชื่อ	2 −1,1	2 01	2 11	2 21	2 31	2 41	2 51	2 61

อยู่ในลำดับ {p,3,3} ของโพลีโคราปกติที่มีรูปทรงจุดยอดเป็นทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า ได้แก่เทสเซอแร็กต์ {4,3,3} และเซลล์ 120 เซลล์ {5,3,3} ของปริภูมิยูคลิด 4 มิติ และรังผึ้งปูพื้นหกเหลี่ยม {6,3,3} ของปริภูมิไฮเปอร์โบลิก

โพลีโทป {p,3,3}
ช่องว่าง		เอส3			เอช3
รูปร่าง		จำกัด			พาราคอมแพคต์	ไม่กะทัดรัด
ชื่อ		{3,3,3}	{4,3,3}	{5,3,3}	{6,3,3}	{7,3,3}	{8,3,3}	... {∞,3,3}
ภาพ
เซลล์{p,3}		{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

เป็นหนึ่งในสามโพลีโทปปกติ 4 มิติ {3,3,p} ที่มีเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า ร่วมกับ {3,3,4} ที่มี 16 เซลล์และ{3,3,5} ที่ มี 600 เซลล์รังผึ้งทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าลำดับที่ 6 {3,3,6} ของปริภูมิไฮเปอร์โบลิกก็มีเซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าเช่นกัน

โพลีโทป {3,3,p}
ช่องว่าง	เอส3			เอช3
รูปร่าง	จำกัด			พาราคอมแพคต์	ไม่กะทัดรัด
ชื่อ	{3,3,3}	{3,3,4}	{3,3,5}	{3,3,6}	{3,3,7}	{3,3,8}	... {3,3,∞}
ภาพ
รูป จุดยอด	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

มันเป็นแบบทวิภาคในตัวเองเหมือนกับ24 เซลล์ {3,4,3} โดยมีสัญลักษณ์ Schläfli { 3,p,3} ที่เป็นพาลินโดรม

โพลีโทป {3, p ,3}
ช่องว่าง	เอส3		เอช3
รูปร่าง	จำกัด		กะทัดรัด	พาราคอมแพคต์	ไม่กะทัดรัด
{3, p ,3}	{3,3,3}	{3,4,3}	{3,5,3}	{3,6,3}	{3,7,3}	{3,8,3}	... {3,∞,3}
ภาพ
เซลล์	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}
รูป จุดยอด	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

รังผึ้งปกติ {p,3,p}
ช่องว่าง	เอส3	ยูคลิด E 3	เอช3
รูปร่าง	จำกัด	อัฟฟิน	กะทัดรัด	พาราคอมแพคต์	ไม่กะทัดรัด
ชื่อ	{3,3,3}	{4,3,4}	{5,3,5}	{6,3,6}	{7,3,7}	{8,3,8}	... {∞,3,∞}
ภาพ
เซลล์	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}
รูป จุดยอด	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Wikiversity มีแหล่งข้อมูลการเรียนรู้เกี่ยวกับ5-cell

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "เพนทาโทป" . แมธเวิลด์ .
• Klitzing, Richard. "รูปทรงหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอ 4 มิติ (polychora) x3o3o3o - ปากกา" .
• โพลีโทปปกติของ Der 5-Zeller (5 เซลล์)ของ Marco Möller ใน R ⁴ (ภาษาเยอรมัน)
• โจนาธาน โบเวอร์ส, โพลีโคราปกติ
• แอปเพล็ต Java3D
• ไพโรคอรอน