พื้นที่หกมิติ (6D)คือพื้นที่ใดๆ ที่มีหกมิติ หกองศาอิสระ และต้องการข้อมูลหรือพิกัดหกชุดเพื่อระบุตำแหน่งในพื้นที่นี้ มีพื้นที่หกมิติอยู่มากมายนับไม่ถ้วน แต่พื้นที่ที่น่าสนใจที่สุดคือพื้นที่ที่เรียบง่ายกว่าซึ่งจำลองแง่มุมบางอย่างของสภาพแวดล้อม โดยเฉพาะอย่างยิ่งคือปริภูมิยูคลิดหกมิติซึ่งมีการสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมหกมิติและทรงกลมห้ามิติ นอกจากนี้ยังมีการศึกษาปริภูมิ วงรี หกมิติ และ ปริภูมิ ไฮเปอร์โบลิกซึ่งมีความโค้งบวกและลบคงที่

ในทางทฤษฎีแล้ว ปริภูมิยุคลิด 6 มิติถูกสร้างขึ้นโดยการพิจารณาทูเปิล 6 มิติที่ เป็นจำนวนจริง ทั้งหมด เป็นเวกเตอร์ 6 มิติ ในปริภูมินี้ ดังนั้นจึงมีคุณสมบัติของปริภูมิยุคลิดทั้งหมด กล่าวคือ เป็นปริภูมิเชิงเส้น มีเมตริกและมีชุดการดำเนินการเวกเตอร์ครบถ้วน โดยเฉพาะอย่างยิ่งผลคูณดอทระหว่างเวกเตอร์ 6 มิติสองตัวนั้นสามารถนิยามได้อย่างง่ายดายและสามารถใช้ในการคำนวณเมตริกได้เมทริกซ์ 6 × 6 สามารถใช้เพื่ออธิบายการแปลงต่างๆ เช่นการหมุนที่รักษาจุดกำเนิดให้คงที่ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$

โดยทั่วไปแล้ว พื้นที่ใดๆ ที่สามารถอธิบายได้ในระดับท้องถิ่นด้วยพิกัด หก พิกัด ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นพิกัดแบบยุคลิด ก็ถือเป็นพื้นที่หกมิติ ตัวอย่างหนึ่งคือ พื้นผิวของทรงกลม 6 มิติ^S₆ ซึ่งเป็นเซตของจุดทั้งหมดในพื้นที่เจ็ดมิติ (แบบยุคลิด) ที่อยู่ห่างจากจุดกำเนิดเป็นระยะทางคงที่ ข้อจำกัดนี้ลดจำนวนพิกัดที่จำเป็นในการอธิบายจุดบนทรงกลม 6 มิติลงหนึ่งพิกัด ดังนั้นจึงมีหกมิติ พื้นที่ ที่ไม่ใช่แบบยุคลิด ดังกล่าว พบได้บ่อยกว่าพื้นที่แบบยุคลิดมาก และในมิติหก พื้นที่เหล่านี้มีการประยุกต์ใช้มากกว่ามาก ${\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}$

รูปทรงหลายเหลี่ยมในหกมิติเรียกว่า 6-โพลีโทป โพลีโทปที่ได้รับการศึกษามากที่สุดคือโพลีโทปปกติซึ่งมีเพียงสามแบบในหกมิติได้แก่6-ซิม เพล็กซ์ 6- คิวบ์และ6-ออร์โธเพล็กซ์ตระกูลที่กว้างกว่าคือ6-โพลีโทปแบบเอกรูปซึ่งสร้างขึ้นจากโดเมนสมมาตรพื้นฐานของการสะท้อน โดยแต่ละโดเมนถูกกำหนดโดยกลุ่มค็อกซี เตอร์ โพลี โทปแบบเอกรูปแต่ละอันถูกกำหนดโดยแผนภาพค็อกซีเตอร์-ไดน์กินแบบวงแหวน_6-เดมิคิวบ์ เป็นโพลีโทปที่ไม่เหมือน ใครจากตระกูล D₆ _และโพ ลีโทป 2²¹และ_1²²จากตระกูล _E₆

รูปทรงหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอในหกมิติ(แสดงเป็นภาพฉายตั้งฉากในแต่ละระนาบสมมาตรของ Coxeter )

เอ6	บี6		ดี6	อี6
6-ซิมเพล็กซ์{3,3,3,3,3}	6 ลูกบาศก์{4,3,3,3,3}	6-ออร์โธเพล็กซ์{3,3,3,3,4}	6-เดมิคิวบ์={3,3 3,1 } = h{4,3,3,3,3}	2 21={3,3,3 2,1 }	1 22={3,3 2,2 }

ทรงกลม 5 มิติ หรือไฮเปอร์สเฟียร์ในหกมิติ คือพื้นผิวห้ามิติที่อยู่ห่างจากจุดหนึ่งเป็นระยะเท่ากัน มีสัญลักษณ์เป็น^S₅ และสมการของทรงกลม 5 มิติ รัศมีrจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด คือ

${\displaystyle S^{5}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{6}:\|x\|=r\right\}.}$

ปริมาตรของปริภูมิหกมิติที่ล้อมรอบด้วยทรงกลม 5 มิตินี้คือ

${\displaystyle V_{6}={\frac {\pi ^{3}r^{6}}{6}}}$

ซึ่งเท่ากับ 5.16771 × r ⁶หรือ 0.0807 ของลูกบาศก์ 6 มิติ ที่เล็กที่สุด ที่บรรจุทรงกลม 5 มิติไว้ภายใน

ทรงกลม 6 มิติ หรือไฮเปอร์สเฟียร์ในเจ็ดมิติ คือพื้นผิวหกมิติที่อยู่ห่างจากจุดหนึ่งเป็นระยะเท่ากัน มีสัญลักษณ์เป็น^S₆ และสมการของทรงกลม 6 มิติ รัศมีrจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด คือ

${\displaystyle S^{6}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{7}:\|x\|=r\right\}.}$

ปริมาตรของพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยทรงกลม 6 มิติคือ

${\displaystyle V_{7}={\frac {16\pi ^{3}r^{7}}{105}}}$

ซึ่งเท่ากับ 4.72477 × r ⁷หรือ 0.0369 ของลูกบาศก์ 7 มิติ ที่เล็กที่สุด ที่บรรจุทรงกลม 6 มิติไว้ภายใน

ในปริภูมิยูคลิดหกมิติ สามารถลากแกนตั้งฉากกันได้หกแกนผ่านจุดใดๆ แกนเหล่านี้ก่อตัวเป็นกลุ่มที่มีโครงสร้างเหมือนกับแกนสมมาตรห้าเท่าหกแกนของทรงยี่สิบหน้าปกติ จึงทำให้ได้การฉายภาพที่มีสมมาตรแบบทรงยี่สิบหน้าลงในปริภูมิสามมิติ การฉายภาพนี้มีบทบาทสำคัญในด้านผลึกศาสตร์ของผลึกกึ่ง ทรง ยี่สิบหน้า

ในปริภูมิสามมิติการแปลงแบบแข็งเกร็งมีอิสระหกองศา ได้แก่ การเลื่อนสามครั้งตามแกนพิกัดทั้งสาม และอีกสามครั้งจากกลุ่มการหมุน SO(3)บ่อยครั้งที่การแปลงเหล่านี้จะถูกจัดการแยกกัน เนื่องจากมีโครงสร้างทางเรขาคณิตที่แตกต่างกันมาก แต่ก็มีวิธีการจัดการกับการแปลงเหล่านี้โดยถือว่าพวกมันเป็นวัตถุหกมิติเดียว

ในทฤษฎีสกรู ความเร็ว เชิงมุมและ ความเร็ว เชิงเส้นจะถูกรวมเข้าด้วยกันเป็นวัตถุหกมิติหนึ่งเดียว เรียกว่าการบิด (twist ) วัตถุที่คล้ายกันที่เรียกว่าประแจ (wrench)จะรวมแรงและแรงบิดในหกมิติเข้าด้วยกัน ซึ่งสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นเวกเตอร์หกมิติที่เปลี่ยนแปลงเชิงเส้นเมื่อเปลี่ยนกรอบอ้างอิง การเลื่อนและการหมุนไม่สามารถทำได้ด้วยวิธีนี้ แต่มีความสัมพันธ์กับการบิดโดยการยกกำลัง

ปริภูมิเฟสเป็นปริภูมิที่ประกอบด้วยตำแหน่งและโมเมนตัมของอนุภาค ซึ่งสามารถนำมาพล็อตรวมกันในแผนภาพเฟสเพื่อเน้นความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณต่างๆ อนุภาคทั่วไปที่เคลื่อนที่ในสามมิติจะมีปริภูมิเฟสที่มีหกมิติ ซึ่งมากเกินกว่าจะพล็อตได้ แต่สามารถวิเคราะห์ได้ทางคณิตศาสตร์^{[ 1 ]}

กลุ่มการหมุนในสี่มิติ SO(4) มีองศาอิสระหกองศา สามารถเห็นได้จากการพิจารณาเมทริกซ์ 4 × 4 ที่แสดงถึงการหมุน: เนื่องจากเป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉากเมทริกซ์จึงถูกกำหนดโดยองค์ประกอบหกตัวที่อยู่เหนือเส้นทแยงมุมหลัก ยกเว้นการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมาย แต่กลุ่มนี้ไม่ใช่เชิงเส้น และมีโครงสร้างที่ซับซ้อนกว่าการใช้งานอื่นๆ ที่เคยเห็นมาแล้ว

อีกวิธีหนึ่งในการมองกลุ่มนี้คือการใช้ การ คูณควอเทอร์เนียน การหมุนทุกแบบในสี่มิติสามารถทำได้โดยการคูณด้วยควอเทอร์เนียนหน่วยสองตัวตัวหนึ่งอยู่ก่อนและอีกตัวอยู่หลังเวกเตอร์ ควอเทอร์เนียนเหล่านี้มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว ยกเว้นการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายของทั้งสองตัว และสร้างการหมุนทั้งหมดเมื่อใช้ในลักษณะนี้ ดังนั้นผลคูณของกลุ่มของพวกมันS ³ × S ³จึงเป็นการครอบคลุมสองชั้นของ SO(4) ซึ่งจะต้องมีหกมิติ

แม้ว่าพื้นที่ที่เราอาศัยอยู่จะถือว่าเป็นสามมิติ แต่ก็มีการประยุกต์ใช้พื้นที่สี่มิติในทางปฏิบัติ ควอเทอร์เนียน ซึ่งเป็นหนึ่งในวิธีการอธิบายการหมุนในสามมิติ ประกอบด้วยพื้นที่สี่มิติ การหมุนระหว่างควอเทอร์เนียน เช่น สำหรับการประมาณค่าในช่วง เกิดขึ้นในสี่มิติ ปริภูมิเวลาซึ่งมีสามมิติของพื้นที่และหนึ่งมิติของเวลา ก็เป็นสี่มิติเช่นกัน แม้ว่าจะมีโครงสร้างที่แตกต่างจากปริภูมิยูคลิดก็ตาม

ในวิชาแม่เหล็กไฟฟ้า โดยทั่วไปแล้ว สนามแม่เหล็กไฟฟ้าจะถูกมองว่าประกอบด้วยสองสิ่ง คือสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก ทั้งสองเป็น สนามเวกเตอร์สามมิติที่สัมพันธ์กันด้วยสมการของแม็กซ์เวลล์อีกแนวทางหนึ่งคือการรวมทั้งสองเข้าไว้ในวัตถุเดียว นั่นคือเทนเซอร์แม่เหล็กไฟฟ้า หกมิติ ซึ่ง เป็นการแสดงสนามแม่เหล็กไฟฟ้าในรูป แบบเทนเซอร์หรือไบเวกเตอร์โดยใช้วิธีนี้ สมการของแม็กซ์เวลล์สามารถลดรูปจากสี่สมการเหลือเพียงสมการเดียวที่กระชับเป็นพิเศษ:

${\displaystyle \partial \mathbf {F} =\mathbf {J} \,}$

โดยที่Fคือรูปแบบไบเวกเตอร์ของเทนเซอร์แม่เหล็กไฟฟ้าJคือกระแสสี่มิติและ∂คือ ตัวดำเนิน การเชิงอนุพันธ์ ที่เหมาะสม ^{[ 2 ]}

ในฟิสิกส์ทฤษฎีสตริงคือความพยายามที่จะอธิบายทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปและกลศาสตร์ควอนตัมด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เพียงแบบเดียว แม้ว่าจะเป็นความพยายามที่จะจำลองจักรวาลของเรา แต่มันเกิดขึ้นในปริภูมิที่มีมิติมากกว่าสี่มิติของกาลอวกาศที่เราคุ้นเคย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทฤษฎีสตริงจำนวนหนึ่งเกิดขึ้นในปริภูมิสิบมิติ ซึ่งเพิ่มมิติพิเศษอีกหกมิติ มิติพิเศษเหล่านี้จำเป็นสำหรับทฤษฎี แต่เนื่องจากไม่สามารถสังเกตได้ จึงคิดว่าค่อนข้างแตกต่างกัน อาจถูกบีอัดเพื่อสร้างปริภูมิหกมิติที่มีรูปทรงเรขาคณิตเฉพาะที่เล็กเกินกว่าจะสังเกตได้

ตั้งแต่ปี 1997 ทฤษฎีสตริงอีกทฤษฎีหนึ่งได้ปรากฏขึ้นซึ่งใช้งานได้ในหกมิติทฤษฎีสตริงขนาดเล็กเป็นทฤษฎีสตริงที่ไม่เกี่ยวข้องกับแรงโน้มถ่วงในห้าและหกมิติ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อพิจารณาขีดจำกัดของทฤษฎีสตริงสิบมิติ^{[ 3 ]}

แอปพลิเคชันข้างต้นจำนวนหนึ่งสามารถเชื่อมโยงกันได้ในเชิงพีชคณิตโดยพิจารณาไบเวกเตอร์ หกมิติจริง ในสี่มิติ ซึ่งสามารถเขียนได้สำหรับเซตของไบเวกเตอร์ในปริภูมิยุคลิดหรือสำหรับเซตของไบเวกเตอร์ในปริภูมิเวลา พิกัดของพลุคเกอร์เป็นไบเวกเตอร์ในในขณะที่เทนเซอร์แม่เหล็กไฟฟ้าที่กล่าวถึงในส่วนก่อนหน้านี้เป็นไบเวกเตอร์ในไบเวกเตอร์สามารถใช้สร้างการหมุนในหรือผ่านแผนที่เอกซ์โพเนนเชียล (เช่น การใช้แผนที่เอกซ์โพเนนเชียลของไบเวกเตอร์ทั้งหมดในจะสร้างการหมุนทั้งหมดใน) นอกจากนี้ยังสามารถเชื่อมโยงกับการแปลงทั่วไปในสามมิติผ่านพิกัดเอกพันธุ์ ซึ่งสามารถคิดได้ว่าเป็นการหมุนที่ดัดแปลงใน ${\displaystyle \Lambda ^{2}\mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \Lambda ^{2}\mathbb {R} ^{3,1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3,1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3,1}}$${\displaystyle \Lambda ^{2}\mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

ไบเวกเตอร์เกิดจากผลรวมของผลคูณเวดจ์ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ระหว่างเวกเตอร์ 4 มิติสองคู่ ดังนั้นจึงมีคุณสมบัติC4 2 = 6 องค์ประกอบ และสามารถเขียนได้ในรูปแบบทั่วไปดังนี้

${\displaystyle \mathbf {B} =B_{12}\mathbf {e} _{12}+B_{13}\mathbf {e} _{13}+B_{14}\mathbf {e} _{14}+B_{23}\mathbf {e} _{23}+B_{24}\mathbf {e} _{24}+B_{34}\คณิตศาสตร์ {e} _{34}}$

พวกมันเป็นไบเวกเตอร์กลุ่มแรกที่ไม่สามารถสร้างขึ้นได้ทั้งหมดด้วยผลคูณของเวกเตอร์คู่ ไบเวกเตอร์ที่สามารถสร้างได้คือไบเวกเตอร์แบบง่ายและการหมุนที่พวกมันสร้างขึ้นคือการหมุนแบบง่ายการหมุนอื่นๆ ในสี่มิติคือ การหมุน แบบคู่และ การหมุน แบบไอโซคลินิกและสอดคล้องกับไบเวกเตอร์ที่ไม่ใช่แบบง่ายที่ไม่สามารถสร้างขึ้นได้ด้วยผลคูณเวดจ์เดี่ยว^{[ 4 ]}

เวกเตอร์ 6 มิติ คือเวกเตอร์ของปริภูมิยูคลิด 6 มิติ เช่นเดียวกับเวกเตอร์อื่นๆ พวกมันเป็นเชิงเส้นสามารถบวก ลบ และปรับขนาดได้เหมือนในมิติอื่นๆ แทนที่จะใช้ตัวอักษร มิติที่สูงกว่ามักใช้คำต่อท้ายเพื่อกำหนดมิติ ดังนั้นเวกเตอร์ 6 มิติโดยทั่วไปสามารถเขียนได้เป็นa = (a ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ , a ₅ , a ₆ )เมื่อเขียนแบบนี้เวกเตอร์ฐาน ทั้งหก คือ(1, 0, 0, 0, 0, 0) , (0, 1, 0, 0, 0, 0) , (0, 0, 1, 0, 0, 0) , (0, 0, 0, 1, 0, 0) , (0, 0, 0, 0, 1, 0)และ(0, 0, 0, 0, 0, 1 )

ในบรรดาตัวดำเนินการเวกเตอร์ผลคูณไขว้ไม่สามารถใช้ได้ในหกมิติ แต่ผลคูณเวดจ์ของเวกเตอร์ 6 มิติสองตัวจะให้ผลลัพธ์เป็นไบเวกเตอร์ที่มี 15 มิติผลคูณดอทของเวกเตอร์สองตัวคือ

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+a_{4}b_{4}+a_{5}b_{5}+a_{6}b_{6}.}$

สามารถใช้เพื่อหาค่ามุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวและค่านอร์มได้

${\displaystyle \left|\mathbf {a} \right\vert ={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}={\sqrt {{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}+{a_{4}}^{2}+{a_{5}}^{2}+{a_{6}}^{2}}}.}$

ตัวอย่างเช่น สามารถใช้คำนวณเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์ 6 ด้านได้ โดยที่มุมหนึ่งอยู่ที่จุดกำเนิด ขอบวางตัวตามแนวแกน และความยาวด้านเท่ากับ 1 มุมตรงข้ามอาจอยู่ที่(1, 1, 1, 1, 1, 1)ซึ่งขนาดของมุมนี้คือ

${\displaystyle {\sqrt {1+1+1+1+1+1}}={\sqrt {6}}=2.4495,}$

ซึ่งเป็นความยาวของเวกเตอร์ และดังนั้นจึงเป็นความยาวของเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์ 6 มิติ

ในปี พ.ศ. 2444 JW Gibbsได้ตีพิมพ์ผลงานเกี่ยวกับเวกเตอร์ ซึ่งรวมถึงปริมาณหกมิติที่เขาเรียกว่าไบเวกเตอร์ซึ่งประกอบด้วยเวกเตอร์สามมิติสองตัวในวัตถุเดียว ซึ่งเขาใช้เพื่ออธิบายวงรีในสามมิติ ไบเวกเตอร์เลิกใช้ไปแล้วเนื่องจากมีการพัฒนาเทคนิคอื่น ๆ และชื่อไบเวกเตอร์ในปัจจุบันมักเกี่ยวข้องกับพีชคณิตเชิงเรขาคณิตมากกว่า^{[ 5 ]}