อ่าน 2 นาที
การปูกระเบื้องแปดเหลี่ยม
ในทางเรขาคณิต การ ปูพื้นด้วยรูปแปดเหลี่ยมเป็นการปูพื้นแบบปกติของระนาบไฮเปอร์โบลิกโดยใช้สัญลักษณ์ Schläfliคือ{8,3}ซึ่งมีรูปแปดเหลี่ยมปกติสามรูปล้อมรอบแต่ละจุดยอด
การปูกระเบื้องแปดเหลี่ยม
| การปูกระเบื้องแปดเหลี่ยม | |
|---|---|
 แบบจำลองดิสก์ปวงกาเรของระนาบไฮเปอร์โบลิก | |
| พิมพ์ | การปูพื้นแบบไฮเปอร์โบลิกปกติ |
| การกำหนดค่าจุดยอด | 8 3 |
| สัญลักษณ์ Schläfli | {8,3} t{4,8} |
| สัญลักษณ์ไวทอฟฟ์ | 3 | 8 2 2 8 | 4 4 4 4 | |
| แผนภาพค็อกซ์เตอร์ |         |
| กลุ่มสมมาตร | [8,3], (*832) [8,4], (*842) [(4,4,4)], (*444) |
| สองชั้น | การปูพื้นสามเหลี่ยมลำดับที่ 8 |
| คุณสมบัติ | การถ่ายทอดจุดยอด การถ่ายทอดขอบการถ่ายทอดหน้า |
ในทางเรขาคณิต การ ปูพื้นด้วยรูปแปดเหลี่ยมเป็นการปูพื้นแบบปกติของระนาบไฮเปอร์โบลิกโดยใช้สัญลักษณ์ Schläfliคือ{8,3}ซึ่งมีรูปแปดเหลี่ยมปกติสามรูปล้อมรอบแต่ละจุดยอด นอกจากนี้ยังมีการสร้างเป็นการปูพื้นด้วยรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบตัดทอนลำดับที่ 8 คือ t{4,8}
การระบายสีแบบสม่ำเสมอ
เช่นเดียวกับการปูพื้นแบบหกเหลี่ยมของระนาบยุคลิด การปูพื้นแบบไฮเปอร์โบลิกนี้มีการระบายสีสม่ำเสมอ 3 แบบ การปูพื้นแบบคู่ V8.8.8 แสดงถึงโดเมนพื้นฐานของสมมาตร [(4,4,4)]
| ปกติ | การตัดทอน | ||
|---|---|---|---|
 {8,3} |  t{4,8} |  t{4 [3] }  = = | |
| การปูกระเบื้องแบบคู่ | |||
 {3,8} = |  =  |  == | |
แผนที่ปกติ
แผนที่ปกติ {8,3} 2,0สามารถมองได้ว่าเป็นการระบายสี 6 สีของกระเบื้องไฮเปอร์โบลิก {8,3} ภายในแผนที่ปกติ รูปแปดเหลี่ยมที่มีสีเดียวกันจะถือว่าเป็นหน้าเดียวกันที่แสดงในหลายตำแหน่ง ตัวห้อย 2,0 แสดงว่าสีเดียวกันจะซ้ำกันโดยการเคลื่อนที่ 2 ขั้นในทิศทางตรงตามขอบตรงข้าม แผนที่ปกตินี้ยังมีการแสดงเป็นแบบการคลุมสองชั้นของลูกบาศก์ ซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์ Schläfli {8/2,3} ที่มี 6 หน้าแปดเหลี่ยม ห่อสองชั้น {8/2} มี 24 ขอบ และ 16 จุดยอด ได้รับการอธิบายโดยBranko Grünbaumในบทความปี 2003 ของเขาAre Your Polyhedra the Same as My Polyhedra? [ 1 ]
รูปทรงหลายเหลี่ยมและลวดลายปูพื้นที่เกี่ยวข้อง
การปูพื้นนี้เป็นส่วนหนึ่งทางโทโพโลยีของลำดับของทรงหลายเหลี่ยมปกติและการปูพื้นด้วยสัญลักษณ์ Schläfli {n,3}
| * n 32 การกลายพันธุ์สมมาตรของการปูพื้นปกติ: { n ,3} | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ทรงกลม | ยูคลิด | ไฮเปอร์บีขนาดกะทัดรัด | ปาราโก้ | ไฮเปอร์โบลิกที่ไม่กระชับ | |||||||
 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| {2,3} | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞,3} | {12i,3} | {9i,3} | {6i,3} | {3i,3} |
และยังเป็นส่วนหนึ่งของลำดับการปูพื้นปกติในเชิงโทโพโลยีด้วยสัญลักษณ์ Schläfli {8,n}
| ช่องว่าง | ทรงกลม | ไฮเปอร์โบลิกขนาดกะทัดรัด | พาราคอมแพคต์ | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ปูกระเบื้อง | |  |  |  |  |  |  | |
| การกำหนดค่า | 8.8 | 8 3 | 8 4 | 8 5 | 8 6 | 8 7 | 8 8 | ... 8 ∞ |
จากการสร้างแบบ Wythoff จะได้ ลวดลายปูพื้นแบบไฮเปอร์โบลิกสม่ำเสมอสิบแบบซึ่งสามารถดัดแปลงมาจากลวดลายปูพื้นแบบแปดเหลี่ยมปกติได้
เมื่อวาดแผ่นกระเบื้องที่ระบายสีแดงที่ด้านเดิม สีเหลืองที่จุดยอดเดิม และสีน้ำเงินตามขอบเดิม จะได้รูปทรงทั้งหมด 10 แบบ
| การปูพื้นแบบแปดเหลี่ยม/สามเหลี่ยมที่สม่ำเสมอ | |||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| สมมาตร: [8,3], (*832) | [8,3] + (832) | [1 + ,8,3] (*443) | [8,3 + ] (3*4) | ||||||||||
| {8,3} | t{8,3} | r{8,3} | t{3,8} | {3,8} | rr{8,3} s 2 {3,8} | tr{8,3} | sr{8,3} | h{8,3} | h 2 {8,3} | s{3,8} | |||
| | | | | | |  | | |||||
 | | | |   หรือ | หรือ |  | |||||||
 |  |   |   |   |  |  |  |   |   |   | |||
| คู่ที่สม่ำเสมอ | |||||||||||||
| วี8 3 | เวอร์ชัน 3.16.16 | เวอร์ชัน 3.8.3.8 | ว.6.6.8 | วี3 8 | วี3.4.8.4 | เวอร์ชัน 4.6.16 | V3 4.8 | V(3.4) 3 | ว.8.6.6 | V3 5.4 | |||
| | | | | | |  | | | | |||
|  |  |  | |  |  |  |  |  |  | |||
| การปูพื้นแบบแปดเหลี่ยม/สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สม่ำเสมอ | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| [8,4], (*842) (พร้อมด้วย [8,8] (*882), [(4,4,4)] (*444) , [∞,4,∞] (*4222) ดัชนี 2 สมมาตรย่อย) (และ [(∞,4,∞,4)] (*4242) ดัชนี 4 สมมาตรย่อย) | |||||||||||
=   = = | = | == = | = | == | = | | |||||
 |  |  |  |  |  |  | |||||
| {8,4} | t{8,4} | r{8,4} | 2t{8,4}=t{4,8} | 2r{8,4}={4,8} | rr{8,4} | tr{8,4} | |||||
| คู่ที่สม่ำเสมอ | |||||||||||
| | | | | | | |||||
 |  |  |  |  |  |  | |||||
| วี8 4 | เวอร์ชัน 4.16.16 | V(4.8) 2 | ว.8.8.8 | วี4 8 | วี.4.4.4.8 | เวอร์ชัน 4.8.16 | |||||
| การสลับเปลี่ยน | |||||||||||
| [1 + ,8,4] (*444) | [8 + ,4] (8*2) | [8,1 + ,4] (*4222) | [8,4 + ] (4*4) | [8,4,1 + ] (*882) | [(8,4,2 + )] (2*42) | [8,4] + (842) | |||||
| = | = | =  | = | = | = | | |||||
 |  |  |  |  |  |  | |||||
| h{8,4} | s{8,4} | hr{8,4} | s{4,8} | h{4,8} | hrr{8,4} | sr{8,4} | |||||
| คู่สลับ | |||||||||||
| | | | | | | |||||
 |  |  |  |  | |||||||
| V(4.4) 4 | V3.(3.8) 2 | V(4.4.4) 2 | V(3.4) 3 | วี8 8 | วี4.4 4 | วี.3.3.4.3.8 | |||||
| การปูพื้นแบบสม่ำเสมอ (4,4,4) | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| สมมาตร: [(4,4,4)], (*444) | [(4,4,4)] + (444) | [(1 + ,4,4,4)] (*4242) | [(4 + ,4,4)] (4*22) | ||||||||
| | | | | | | | | | ||
 |  |  |  |  |  |  |  |  |  | ||
| t 0 (4,4,4) h{8,4} | t 0,1 (4,4,4) h 2 {8,4} | t 1 (4,4,4) {4,8} 1 / 2 | t 1,2 (4,4,4) h 2 {8,4} | t 2 (4,4,4) h{8,4} | t 0,2 (4,4,4) r{4,8} 1 / 2 | t 0,1,2 (4,4,4) t{4,8} 1 / 2 | s(4,4,4) s{4,8} 1 / 2 | h(4,4,4) h{4,8} 1 / 2 | hr(4,4,4) hr{4,8} 1 / 2 | ||
| คู่ที่สม่ำเสมอ | |||||||||||
 |  |  |  |  |  |  |  |  |  | ||
| V(4.4) 4 | วี4.8.4.8 | V(4.4) 4 | วี4.8.4.8 | V(4.4) 4 | วี4.8.4.8 | ว.8.8.8 | วี3.4.3.4.3.4 | วี8 8 | V(4,4) 3 | ||
ดูเพิ่มเติม
ลิงก์ภายนอก
- ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "การปูพื้นแบบไฮเปอร์โบลิก" . MathWorld .
- ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "จานไฮเปอร์โบลิกของปวงกาเร" . MathWorld .
- แกลเลอรีการปูกระเบื้องทรงไฮเปอร์โบลิกและทรงกลม
- KaleidoTile 3: ซอฟต์แวร์เพื่อการศึกษาสำหรับการสร้างลวดลายปูพื้นแบบทรงกลม ระนาบ และไฮเปอร์โบลา
- การปูพื้นแบบไฮเปอร์โบลิกบนระนาบ โดย ดอน แฮทช์
สรุปเนื้อหา
ข้อมูลสำคัญจากบทความ
ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ การปูกระเบื้องแปดเหลี่ยม
ในทางเรขาคณิต การ ปูพื้นด้วยรูปแปดเหลี่ยมเป็นการปูพื้นแบบปกติของระนาบไฮเปอร์โบลิกโดยใช้สัญลักษณ์ Schläfliคือ{8,3}ซึ่งมีรูปแปดเหลี่ยมปกติสามรูปล้อมรอบแต่ละจุดยอด
การระบายสีแบบสม่ำเสมอ
เช่นเดียวกับ การปูพื้นแบบหกเหลี่ยม ของระนาบยุคลิด การปูพื้นแบบไฮเปอร์โบลิกนี้มีการระบายสีสม่ำเสมอ 3 แบบ การปูพื้นแบบคู่ V8.8.8 แสดงถึง โดเมนพื้นฐาน ของสมมาตร [(4,4,4)]
แผนที่ปกติ
แผนที่ ปกติ {8,3} 2,0 สามารถมองได้ว่าเป็นการระบายสี 6 สีของกระเบื้องไฮเปอร์โบลิก {8,3} ภายในแผนที่ปกติ รูปแปดเหลี่ยมที่มีสีเดียวกันจะถือว่าเป็นหน้าเดียวกันที่แสดงในหลายตำแหน่ง ตัวห้อย 2,0 แสดงว่าสีเดียวกันจะซ้ำกันโดยการเคลื่อนที่ 2...
รูปทรงหลายเหลี่ยมและลวดลายปูพื้นที่เกี่ยวข้อง
การปูพื้นนี้เป็นส่วนหนึ่งทางโทโพโลยีของลำดับของทรงหลายเหลี่ยมปกติและการปูพื้นด้วย สัญลักษณ์ Schläfli {n,3}