กระเบื้องสี่เหลี่ยมจัตุรัส สั่งซื้อ 6 แผ่น
แบบจำลองดิสก์ของ ปวงกาเรบน ระนาบไฮเปอร์โบลิก
พิมพ์	การปูพื้นแบบไฮเปอร์โบลิกปกติ
การกำหนดค่าจุดยอด	4 6
สัญลักษณ์ Schläfli	{4,6}
สัญลักษณ์ไวทอฟฟ์	6 | 4 2
แผนภาพค็อกซ์เตอร์
กลุ่มสมมาตร	[6,4], (*642)
สองชั้น	การปูกระเบื้องหกเหลี่ยมลำดับที่ 4
คุณสมบัติ	การถ่ายทอดจุดยอด การถ่ายทอดขอบการถ่ายทอดหน้า

ในทางเรขาคณิต การปูกระเบื้องสี่เหลี่ยมจัตุรัส ลำดับที่ 6เป็นการ ปูกระเบื้อง ปกติของระนาบไฮเปอร์โบลิกมีสัญลักษณ์ Schläfliคือ {4,6}

การปูพื้นนี้แสดงถึงภาพลวงตา ไฮเปอร์โบลิก ของกระจก 4 บานที่มาบรรจบกันเป็นขอบของสี่เหลี่ยมจัตุรัส โดยมีสี่เหลี่ยมจัตุรัส 6 บานล้อมรอบทุกจุดยอด สมมาตรนี้โดยสัญกรณ์ออร์บิโฟลด์เรียกว่า (*3333) โดยมีการตัดกันของกระจกอันดับ 3 จำนวน 4 จุด ในสัญกรณ์ Coxeterสามารถแสดงได้เป็น [6,4 ^* ] โดยการลบกระจกสองในสามบาน (ที่ผ่านจุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมจัตุรัส) ในสมมาตร [6,4]สมมาตร *3333 สามารถเพิ่มเป็นสองเท่าเป็นสมมาตร 663 ได้ โดยการเพิ่มกระจกที่แบ่งครึ่งโดเมนพื้นฐาน

การปูพื้นสี่เหลี่ยมสองสีนี้แสดงให้เห็นถึงโดเมนสี่เหลี่ยมพื้นฐานแบบสะท้อนคู่/คี่ของสมมาตรนี้ การปูพื้นสองสีนี้มีโครงสร้างไวทอฟฟ์ t ₁ {(4,4,3)} สมมาตร 6 สีที่สองสามารถสร้างได้จากโดเมนสมมาตรหกเหลี่ยม

[4,6,1 + ] = [(4,4,3)] หรือสมมาตร (*443)=	[4,6 * ] = (*222222) สมมาตร=

ประมาณปี 1956 เอ็ม.ซี. เอสเชอร์ได้สำรวจแนวคิดเกี่ยวกับการแสดงอนันต์บนระนาบสองมิติ การสนทนากับนักคณิตศาสตร์ชาวแคนาดาเอช.เอส.เอ็ม. ค็ อกซ์เตอร์ ได้จุดประกายความสนใจของเอสเชอร์ในลวดลายเทสเซลเลชันแบบไฮเปอร์โบลิก ซึ่งเป็นการปูพื้นระนาบไฮเปอร์โบลิกอย่างสม่ำเสมอ ภาพพิมพ์แกะไม้ของเอสเชอร์ชุด Circle Limit I–IV แสดงให้เห็นถึงแนวคิดนี้ ภาพสุดท้ายCircle Limit IV (สวรรค์และนรก) (1960) แสดงภาพเทวดาและปีศาจ ที่ซ้ำกัน โดยใช้สมมาตร (*3333) บนระนาบไฮเปอร์โบลิกในการฉายภาพ แบบดิสก์ ของปวงกาเร

งานศิลปะที่เห็นด้านล่างนี้มีการเพิ่มภาพสะท้อนไฮเปอร์โบลิกโดยประมาณเพื่อแสดงโดเมนสมมาตรสี่เหลี่ยมจัตุรัสของการปูพื้นสี่เหลี่ยมจัตุรัสลำดับที่ 6 หากคุณสังเกตอย่างใกล้ชิด คุณจะเห็นว่าเทวดาและปีศาจหนึ่งในสี่องค์รอบสี่เหลี่ยมจัตุรัสแต่ละอันถูกวาดเป็นด้านหลัง หากไม่มีการเปลี่ยนแปลงนี้ งานศิลปะจะมีจุดหมุน 4 เท่า ที่ศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมจัตุรัสแต่ละอัน ทำให้เกิดสมมาตร (4*3), [6,4 ⁺ ] ^{[ 1 ]}

การปูพื้นนี้มีความสัมพันธ์ทางโทโพโลยีเป็นส่วนหนึ่งของลำดับของทรงหลายเหลี่ยมปกติและการปูพื้นด้วยรูปทรงจุดยอด (4 ⁿ )

* n 42 การกลายพันธุ์สมมาตรของการปูพื้นปกติ: {4, n } วี ที อี
ทรงกลม	ยูคลิด	ไฮเปอร์โบลิกขนาดกะทัดรัด				พาราคอมแพคต์
{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8} ...	{4,∞}

การปูพื้นนี้มีความสัมพันธ์ทางโทโพโลยีเป็นส่วนหนึ่งของลำดับการปูพื้นปกติที่มีจุดยอดลำดับที่ 6 โดยใช้สัญลักษณ์ Schläfli {n,6} และแผนภาพ Coxeterก้าวไปสู่อนันต์

การปูพื้นแบบปกติ { n ,6} วี ที อี
ทรงกลม	ยูคลิด	การปูพื้นแบบไฮเปอร์โบลิก
{2,6}	{3,6}	{4,6}	{5,6}	{6,6}	{7,6}	{8,6}	...	{∞,6}

การปูพื้นแบบเตตระเฮกซาโกนัลที่สม่ำเสมอ วี ที อี
สมมาตร : [6,4], (*642 ) (พร้อมด้วย [6,6] (*662), [(4,3,3)] (*443) , [∞,3,∞] (*3222) ดัชนี 2 สมมาตรย่อย)(และ [(∞,3,∞,3)] (*3232) ดัชนี 4 สมมาตรย่อย)
===	=	===	=	===	=
{6,4}	t{6,4}	r{6,4}	t{4,6}	{4,6}	rr{6,4}	tr{6,4}
คู่ที่สม่ำเสมอ
วี6 4	เวอร์ชัน 4.12.12	V(4.6) 2	เวอร์ชัน 6.8.8	วี4 6	วี.4.4.4.6	เวอร์ชัน 4.8.12
การสลับเปลี่ยน
[1 + ,6,4] (*443)	[6 + ,4] (6*2)	[6,1 + ,4] (*3222)	[6,4 + ] (4*3)	[6,4,1 + ] (*662)	[(6,4,2 + )] (2*32)	[6,4] + (642)
=	=	=	=	=	=
h{6,4}	s{6,4}	hr{6,4}	s{4,6}	h{4,6}	hrr{6,4}	sr{6,4}

การปูพื้นแบบสม่ำเสมอ (4,4,3) วี ที อี
สมมาตร: [(4,4,3)] (*443)							[(4,4,3)] + (443)	[(4,4,3 + )] (3*22)	[(4,1 + ,4,3)] (*3232)
h{6,4} t 0 (4,4,3)	h 2 {6,4} t 0,1 (4,4,3)	{4,6} 1 / 2 t 1 (4,4,3)	h 2 {6,4} t 1,2 (4,4,3)	h{6,4} t 2 (4,4,3)	r{6,4} 1 / 2 t 0,2 (4,4,3)	t{4,6} 1 / 2 t 0,1,2 (4,4,3)	s{4,6} 1 / 2 s(4,4,3)	hr{4,6} 1 / 2 hr(4,3,4)	h{4,6} 1 / 2 h(4,3,4)	q{4,6} h 1 (4,3,4)
คู่ที่สม่ำเสมอ
V(3.4) 4	เวอร์ชัน 3.8.4.8	V(4.4) 3	เวอร์ชัน 3.8.4.8	V(3.4) 4	วี.4.6.4.6	เวอร์ชัน 6.8.8	วี3.3.3.4.3.4	V(4.4.3) 2	วี6 6	วี4.3.4.6.6

การปูพื้นแบบสม่ำเสมอในสมมาตร *3222 วี ที อี
6 4	6.6.4.4	(3.4.4) 2	4.3.4.3.3.3
6.6.4.4	6.4.4.4	3.4.4.4.4
(3.4.4) 2	3.4.4.4.4	4 6

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับการปูพื้นแบบสี่เหลี่ยมจัตุรัสลำดับที่ 6

• การปูกระเบื้องสี่เหลี่ยม
• การปูพื้นแบบสม่ำเสมอในระนาบไฮเปอร์โบลิก
• รายชื่อรูปหลายเหลี่ยมปกติ

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "การปูพื้นแบบไฮเปอร์โบลิก" . MathWorld .
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "จานไฮเปอร์โบลิกของปวงกาเร" . MathWorld .
• แกลเลอรีการปูกระเบื้องทรงไฮเปอร์โบลิกและทรงกลม
• KaleidoTile 3: ซอฟต์แวร์เพื่อการศึกษาสำหรับการสร้างลวดลายปูพื้นแบบทรงกลม ระนาบ และไฮเปอร์โบลา
• การปูพื้นแบบไฮเปอร์โบลิกบนระนาบ โดย ดอน แฮทช์
• ภาพ ตัวอย่าง GenusView 0.4แสดงการปูพื้นแบบไฮเปอร์โบลิก {4,6} และพื้นผิวทอรัส 3 มิติที่ตรงกัน