ตัวอย่างการปูพื้นแบบเป็นคาบ

การปูกระเบื้องแบบปกติจะมีพื้นผิวแบบปกติเพียงแบบเดียว	การปูพื้นแบบกึ่งปกติหรือแบบสม่ำเสมอ จะมี จุดยอดเพียงประเภทเดียวแต่มีหน้าตัดตั้งแต่สองประเภทขึ้นไป
การ ปูพื้นแบบ k -uniformมี จุดยอด kประเภท และหน้าปกติสองประเภทขึ้นไป	การปูกระเบื้องแบบไม่ชิดขอบอาจมีหน้าตัดปกติที่มีขนาดแตกต่างกันได้

การปู พื้น ระนาบยูคลิดด้วยรูปหลายเหลี่ยมปกติแบบ นูน นั้นถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายตั้งแต่สมัยโบราณ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นระบบครั้งแรกนั้นมาจากผลงานของเคปเลอร์ในหนังสือ Harmonice Mundi (ภาษาละติน :ความกลมกลืนของโลก , ค.ศ. 1619)

การปูพื้นแบบยุคลิดมักตั้งชื่อตามสัญลักษณ์ของ Cundy & Rollett ^{[ 1 ]}สัญลักษณ์นี้แสดงถึง (i) จำนวนจุดยอด (ii) จำนวนรูปหลายเหลี่ยมรอบจุดยอดแต่ละจุด (เรียงตามเข็มนาฬิกา) และ (iii) จำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมเหล่านั้น ตัวอย่างเช่น 3 ⁶ ; 3 ⁶ ; 3 ⁴ .6 บอกเราว่ามีจุดยอด 3 จุดที่มีประเภทจุดยอด 2 แบบที่แตกต่างกัน ดังนั้นการปูพื้นแบบนี้จะถูกจัดประเภทเป็นการปูพื้นแบบ "3-uniform (2-vertex types)" แยกย่อยเป็น 3 ⁶ ; 3 ⁶ (ทั้งสองแบบมีคลาสการถ่ายทอดที่แตกต่างกัน) หรือ (3 ⁶ ) ²บอกเราว่ามีจุดยอด 2 จุด (แสดงด้วยเลขยกกำลัง 2) แต่ละจุดมีรูปหลายเหลี่ยมสามเหลี่ยมด้านเท่า 6 รูป โดยมีจุดยอดสุดท้ายอยู่ที่ 3 ⁴ .6 ประกอบด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่าที่อยู่ติดกันอีก 4 รูป และรูปหกเหลี่ยมด้านเท่าอีก 1 รูป

อย่างไรก็ตาม สัญกรณ์นี้มีปัญหาหลักสองประการที่เกี่ยวข้องกับโครงสร้างที่ไม่ชัดเจนและความเป็นเอกลักษณ์^{[ 2 ]}ประการแรก เมื่อพูดถึงการปูพื้นแบบ k-uniform สัญกรณ์นี้ไม่ได้อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างจุดยอด ทำให้ไม่สามารถสร้างระนาบที่ครอบคลุมได้โดยใช้สัญกรณ์เพียงอย่างเดียว และประการที่สอง การปูพื้นบางแบบมีชื่อเรียกเดียวกัน พวกมันมีความคล้ายคลึงกันมาก แต่สามารถสังเกตได้ว่าตำแหน่งสัมพัทธ์ของรูปหกเหลี่ยมนั้นแตกต่างกัน ดังนั้น ปัญหาประการที่สองคือชื่อเรียกนี้ไม่เป็นเอกลักษณ์สำหรับการปูพื้นแต่ละแบบ

เพื่อแก้ปัญหาเหล่านั้น สัญกรณ์ของ GomJau-Hogg ^{[ 3 ]}เป็นเวอร์ชันที่ปรับเปลี่ยนเล็กน้อยของการวิจัยและสัญกรณ์ที่นำเสนอในปี 2012 ^{[ 2 ]}เกี่ยวกับการสร้างและการตั้งชื่อของการปูพื้นและตารางสองชั้น Antwerp v3.0 ^{[ 4 ]}ซึ่งเป็นแอปพลิเคชันออนไลน์ฟรี ช่วยให้สามารถสร้างการปูพื้นรูปหลายเหลี่ยมปกติได้อย่างไม่จำกัดผ่านชุดขั้นตอนการวางรูปทรงและการหมุนและการสะท้อนแบบวนซ้ำ ซึ่งได้มาจากสัญกรณ์ของ GomJau-Hogg โดยตรง

ตามที่Grünbaumและ Shephard กล่าวไว้ (ส่วนที่ 1.3) การปูพื้นจะเรียกว่าเป็นการปูพื้นแบบปกติหากกลุ่มสมมาตรของการปูพื้นนั้นกระทำแบบทราน ซิทีฟ ต่อแฟล็กของการปูพื้น โดยที่แฟล็กคือสามสิ่งที่ประกอบด้วยจุดยอดขอบ และชิ้นส่วนของการปูพื้นที่อยู่ติดกัน นั่นหมายความว่า สำหรับทุกคู่ของแฟล็ก จะมีการดำเนินการสมมาตรที่แมปแฟล็กแรกไปยังแฟล็กที่สอง ซึ่งเทียบเท่ากับการปูพื้นนั้นเป็นการปูพื้นแบบขอบชนขอบด้วย รูปหลายเหลี่ยมปกติ ที่เท่ากันทุกประการ จะต้องมีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า หกรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัสสี่ รูป หรือ หกเหลี่ยมปกติสาม รูป ที่จุดยอด ทำให้เกิด การปูพื้นแบบปกติ สาม แบบ

การปูกระเบื้องปกติ (3)

6 โมงเย็น, *632		4 โมงเย็น, *442
C&R: 3 6 GJ-H: 3/m30/r(h2) ( t = 1, e = 1)	C&R: 6 3 GJ-H: 6/m30/r(h1) ( t = 1, e = 1)	C&R: 4 4 GJ-H: 4/m45/r(h1) ( t = 1, e = 1)

C&R: สัญลักษณ์ของ Cundy & Rollet GJ-H: สัญลักษณ์ของ GomJau-Hogg

การถ่ายทอดจุดยอดหมายความว่าสำหรับจุดยอดทุกคู่ จะมีการดำเนินการสมมาตรที่แมปจุดยอดแรกไปยังจุดยอดที่สอง^{[ 5 ]}

หากเงื่อนไขการถ่ายทอดของธงถูกผ่อนปรนเป็นการถ่ายทอดของจุดยอด ในขณะที่ยังคงเงื่อนไขว่าการปูพื้นต้องเป็นแบบขอบชนขอบ จะมีการปูพื้นเพิ่มเติมอีกแปดแบบที่เป็นไปได้ ซึ่งเรียกว่า การปูพื้นแบบ อาร์คิมีเดียน การปู พื้น แบบสม่ำเสมอหรือ การปูพื้น แบบกึ่งปกติโปรดสังเกตว่ามี การปูพื้น แบบ 3 ^{4 .6 (หกเหลี่ยมแบบเฉียง) สองรูป} แบบที่เป็นภาพสะท้อน (เอนันติโอเมอร์ฟิกหรือไครัล ) ซึ่งแสดงไว้เพียงรูปแบบเดียวในตารางต่อไปนี้ การปูพื้นแบบปกติและกึ่งปกติอื่นๆ ทั้งหมดไม่มีไครัล

การปูกระเบื้องแบบสม่ำเสมอ (8)

6 โมงเย็น, *632
C&R: 3.12 2 GJ-H: 12-3/m30/r(h3) ( t = 2, e = 2) t {6,3}	C&R: 3.4.6.4 GJ-H: 6-4-3/m30/r(c2) ( t = 3, e = 2) rr {3,6}	C&R: 4.6.12 GJ-H: 12-6,4/m30/r(c2) ( t = 3, e = 3) tr {3,6}	C&R: (3.6) 2 GJ-H: 6-3-6/m30/r(v4) ( t = 2, e = 1) r {6,3}
C&R: 4.8 2 GJ-H: 8-4/m90/r(h4) ( t = 2, e = 2) t {4,4}	C&R: 3 2 .4.3.4 GJ-H: 4-3-3,4/r90/r(h2) ( t = 2, e = 2) s {4,4}	C&R: 3 3 .4 2 GJ-H: 4-3/m90/r(h2) ( t = 2, e = 3) {3,6}: e	C&R: 3 4 .6 GJ-H: 6-3-3/r60/r(h5) ( t = 3, e = 3) sr {3,6}

C&R: สัญลักษณ์ของ Cundy & Rollet GJ-H: สัญลักษณ์ของ GomJau-Hogg Grünbaum และ Shephard แยกแยะคำอธิบายของการปูพื้นเหล่านี้ โดย เรียกว่าแบบ อาร์คิมีเดียนหมายถึงเฉพาะคุณสมบัติเฉพาะที่การจัดเรียงกระเบื้องรอบจุดยอดแต่ละจุดเหมือนกัน และแบบสม่ำเสมอหมายถึงคุณสมบัติโดยรวมของการถ่ายทอดจุดยอด แม้ว่าสิ่งเหล่านี้จะให้ชุดการปูพื้นเดียวกันในระนาบ แต่ในพื้นที่อื่น ๆ มีการปูพื้นแบบอาร์คิมีเดียนที่ไม่สม่ำเสมอ

มีการรวมกันของรูปหลายเหลี่ยมนูนปกติ 17 แบบที่ก่อให้เกิดการปูพื้นระนาบจุดยอด 21 แบบ ^{[ 6 ] [ 7 ]}รูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้มาบรรจบกันที่จุดหนึ่งโดยไม่มีช่องว่างหรือส่วนที่ทับซ้อนกัน เมื่อเรียงลำดับตามรูปทรงของจุดยอดจะมีหนึ่งแบบที่มี 6 รูปหลายเหลี่ยม สามแบบมี 5 รูปหลายเหลี่ยม เจ็ดแบบมี 4 รูปหลายเหลี่ยม และสิบแบบมี 3 รูปหลายเหลี่ยม^{[ 8 ]}

สามในนั้นสามารถสร้างการปูพื้นแบบปกติได้ (6 ³ , 4 ⁴ , 3 ⁶ ) และอีกแปดตัวสามารถสร้างการปูพื้นแบบกึ่งปกติหรือแบบอาร์คิมีเดียนได้ (3.12 ² , 4.6.12, 4.8 ² , (3.6) ² , 3.4.6.4, 3 ² .4.3.4, 3 ³ .4 ² , 3 ⁴ .6) สี่รูปสามารถมีอยู่ในการปูพื้นแบบk -uniform ที่สูงกว่า (3 ² .4.12, 3.4.3.12, 3 ² .6 ² , 3.4 ² .6) ในขณะที่หกรูปไม่สามารถใช้ปูพื้นระนาบด้วยรูปหลายเหลี่ยมปกติได้อย่างสมบูรณ์โดยไม่มีช่องว่างหรือส่วนที่ทับซ้อนกัน – พวกมันจะปูพื้นพื้นที่ได้อย่างสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อรวมรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ปกติเข้าไปด้วย (3.7.42, 3.8.24, 3.9.18, 3.10.15, 4.5.20, 5 ² .10) ^{[ 9 ]}

การปูพื้นผิวระนาบ-จุดยอด

6	3 6
5	3 2 .4.3.4	3 3 .4 2	3 4 .6
4	3 2 .4.12	3.4.3.12	3 2 .6 2	(3.6) 2	3.4 2 .6	3.4.6.4	4 4
3	3.7.42	3.8.24	3.9.18	3.10.15	3.12 2	4.5.20	4.6.12	4.8 2	5 2 .10	6 3

การปูพื้นแบบเป็นคาบดังกล่าวสามารถจำแนกได้ตามจำนวนวงโคจรของจุดยอด ขอบ และชิ้นส่วน หากมี วงโคจรของจุดยอด kวง การปูพื้นนั้นเรียกว่าk -uniform หรือk -isogonal หากมีวงโคจรของชิ้นส่วนt วง จะเรียกว่า t -isohedral และหากมีวงโคจรของขอบe วง จะเรียกว่า e -isotoxal

สามารถระบุรูปแบบการปูพื้นแบบk -uniform ที่มีรูปทรงจุดยอดเหมือนกันได้เพิ่มเติมโดยพิจารณาจาก สมมาตร ของ กลุ่มวอลเปเปอร์

การปูพื้นแบบ 1-สม่ำเสมอ ประกอบด้วยการปูพื้นแบบปกติ 3 แบบ และการปูพื้นแบบกึ่งปกติ 8 แบบ โดยมีหน้ารูปหลายเหลี่ยมปกติ 2 แบบขึ้นไป มีการปูพื้นแบบ 2-สม่ำเสมอ 20 แบบ การปูพื้นแบบ 3-สม่ำเสมอ 61 แบบ การปูพื้นแบบ 4-สม่ำเสมอ 151 แบบ การปูพื้นแบบ 5-สม่ำเสมอ 332 แบบ และการปูพื้นแบบ 6-สม่ำเสมอ 673 แบบ แต่ละแบบสามารถจัดกลุ่มตามจำนวนmของรูปจุดยอดที่แตกต่างกัน ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าการปูพื้นแบบอาร์คิมีเดียนm ^{[ 10 ]}

สุดท้ายนี้ ถ้าจำนวนชนิดของจุดยอดเท่ากับค่าความสม่ำเสมอ ( m = kด้านล่าง) การปูพื้นนั้นจะเรียกว่าเป็นการปูพื้นแบบ Krotenheerdtโดยทั่วไปแล้ว ค่าความสม่ำเสมอจะมากกว่าหรือเท่ากับจำนวนชนิดของจุดยอด ( m ≥ k ) เนื่องจากจุดยอดชนิดต่างๆ ย่อมมีวงโคจรที่แตกต่างกัน แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นเช่นนั้น เมื่อกำหนดให้m = n = kจะมีการปูพื้นแบบนี้ 11 แบบสำหรับn = 1; 20 แบบสำหรับ n = 2; 39 แบบสำหรับn = 3; 33 แบบสำหรับn = 4; 15 แบบสำหรับn = 5; 10 แบบสำหรับn = 6; และ 7 แบบสำหรับn = 7

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างของการปูพื้นแบบ 3-uniform:

การปูกระเบื้องสีแบบ 3 มิติสม่ำเสมอ #57 จาก 61

โดยด้านต่างๆ สามเหลี่ยมสีเหลือง สี่เหลี่ยมสีแดง (โดยรูปหลายเหลี่ยม)

โดยตำแหน่งไอโซเฮดรัล 4 ตำแหน่ง และสามเหลี่ยม 3 สีที่แรเงา (ตามวงโคจร)

มี การปูพื้นระนาบ ยุคลิดแบบ2 มิติสม่ำเสมอ จำนวน 20 แบบ (เรียกอีกอย่างว่า การปูพื้นแบบ2 มิติไอโซโกนั ล หรือการปูพื้นแบบเดมิเรกูลาร์ ) ^{[ 5 ] : 62-67 [ 14 ] [ 15 ]}ประเภทของจุดยอดจะถูกระบุไว้สำหรับแต่ละแบบ หากการปูพื้นสองแบบมีประเภทของจุดยอดเหมือนกันสองแบบ จะใช้ตัวห้อย 1,2

2-การปูกระเบื้องแบบสม่ำเสมอ (20)

6 โมงเย็น, *632						4 โมงเย็น, *442
[3 6 ; 3 2 .4.3.4] 3-4-3/m30/r(c3) ( t = 3, e = 3)	[3.4.6.4; 3 2 .4.3.4] 6-4-3,3/m30/r(h1) ( t = 4, e = 4)	[3.4.6.4; 3 3 .4 2 ] 6-4-3-3/m30/r(h5) ( t = 4, e = 4)	[3.4.6.4; 3.4 2 .6] 6-4-3,4-6/m30/r(c4) ( t = 5, e = 5)	[4.6.12; 3.4.6.4] 12-4,6-3/m30/r(c3) ( t = 4, e = 4)	[3 6 ; 3 2 .4.12] 12-3,4-3/m30/r(c3) ( t = 4, อี = 4)	[3.12.12; 3.4.3.12] 12-0,3,3-0,4/m45/m(h1) ( t = 3, e = 3)
6 โมงเย็น, *632	หน้า 6, 632	หน้า 6, 632	ซม., 2*22	2222 น. *2222	ซม., 2*22	2222 น. *2222
[3 6 ; 3 2 .6 2 ] 3-6/m30/r(c2) ( t = 2, e = 3)	[3 6 ; 3 4 .6] 1 6-3,3-3/m30/r(h1) ( t = 3, e = 3)	[3 6 ; 3 4 .6] 2 6-3-3,3-3/r60/r(h8) ( t = 5, e = 7)	[3 2 .6 2 ; 3 4 .6] 6-3/m90/r(h1) ( t = 2, e = 4)	[3.6.3.6; 3 2 .6 2 ] 6-3,6/m90/r(h3) ( t = 2, e = 3)	[3.4 2 .6; 3.6.3.6] 2 6-3,4-6-3,4-6,4/m90/r(c6) ( t = 3, e = 4)	[3.4 2 .6; 3.6.3.6] 1 6-3,4/m90/r(h4) ( t = 4, e = 4)
พี4จี, 4*2	pgg, 22×	ซม., 2*22	ซม., 2*22	2222 น. *2222	ซม., 2*22
[3 3 .4 2 ; 3 2 .4.3.4] 1 4-3,3-4,3/r90/m(h3) ( t = 4, e = 5)	[3 3 .4 2 ; 3 2 .4.3.4] 2 4-3,3,3-4,3/r(c2)/r(h13)/r(h45) ( t = 3, e = 6)	[4 4 ; 3 3 .4 2 ] 1 4-3/m(h4)/m(h3)/r(h2) ( t = 2, e = 4)	[4 4 ; 3 3 .4 2 ] 2 4-4-3-3/m90/r(h3) ( t = 3, e = 5)	[3 6 ; 3 3 .4 2 ] 1 4-3,4-3,3/m90/r(h3) ( t = 3, e = 4)	[3 6 ; 3 3 .4 2 ] 2 4-3-3-3/m90/r(h7)/r(h5) ( t = 4, e = 5)

มีการแจงนับการปูพื้นแบบ k -uniform ได้ถึง 6 แบบ มีการปูพื้นระนาบยูคลิดแบบ 6-uniform ทั้งหมด 673 แบบ การค้นหาของ Brian Galebach ได้จำลองรายการการปูพื้นแบบ 6-uniform 10 แบบของ Krotenheerdt ที่มีประเภทจุดยอดที่แตกต่างกัน 6 แบบ รวมถึงพบอีก 92 แบบที่มีประเภทจุดยอด 5 แบบ 187 แบบที่มีประเภทจุดยอด 4 แบบ 284 แบบที่มีประเภทจุดยอด 3 แบบ และ 100 แบบที่มีประเภทจุดยอด 2 แบบ

มีหลายวิธีในการสร้าง การปูพื้นแบบ k -uniform ใหม่จาก การปูพื้นแบบ k -uniform เก่า ตัวอย่างเช่น สังเกตว่าการปูพื้นแบบ 2-uniform [3.12.12; 3.4.3.12]มีโครงสร้างตาข่ายสี่เหลี่ยม การปูพื้นแบบ 4(3-1)-uniform [343.12; (3.12 ² )3] มีโครงสร้างตาข่ายสี่เหลี่ยมแบบ snub และการปูพื้นแบบ 5(3-1-1)-uniform [334.12; 343.12; (3.12.12)3] มีโครงสร้างตาข่ายสามเหลี่ยมแบบยาว การปูพื้นแบบ uniform ลำดับสูงเหล่านี้ใช้โครงสร้างตาข่ายเดียวกัน แต่มีความซับซ้อนมากกว่า ฐานการสร้างแฟรกทัลสำหรับการปูพื้นเหล่านี้มีดังนี้: ^{[ 16 ]}

	สามเหลี่ยม	สี่เหลี่ยม	หกเหลี่ยม	โดเดคากอน ผ่าครึ่ง
รูปร่าง
แฟรกทัลไลเซชัน

ความยาวด้านต่างๆ จะถูกขยายออกไปเป็นปัจจัย. ${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$

วิธีการนี้สามารถทำได้เช่นเดียวกันโดยใช้การปูพื้นแบบสามเหลี่ยมหกเหลี่ยมที่ถูกตัดทอนเป็นฐาน โดยมีการขยายที่สอดคล้องกันของ ${\displaystyle 3+{\sqrt {3}}}$

	สามเหลี่ยม	สี่เหลี่ยม	หกเหลี่ยม	โดเดคากอน ผ่าครึ่ง
รูปร่าง
แฟรกทัลไลเซชัน

	การปูกระเบื้องหกเหลี่ยมแบบตัด	การปูกระเบื้องสามเหลี่ยมหกเหลี่ยมแบบตัดทอน
แฟรกทัลไลเซชัน

รูปหลายเหลี่ยมปกติแบบนูนยังสามารถสร้างลวดลายปูพื้นระนาบที่ไม่จำเป็นต้องวางขอบชนขอบได้ ลวดลายปูพื้นดังกล่าวสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นแบบวางขอบชนขอบในรูปของรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ปกติซึ่งมีขอบที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

มีรูปทรงไอโซโกนัล เจ็ดตระกูล แต่ละตระกูลมีพารามิเตอร์ค่าจริงที่กำหนดการทับซ้อนระหว่างด้านของกระเบื้องที่อยู่ติดกันหรืออัตราส่วนระหว่างความยาวขอบของกระเบื้องที่แตกต่างกัน สองตระกูลถูกสร้างขึ้นจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เลื่อนไป ไม่ว่าจะเป็นตำแหน่งก้าวหน้าหรือซิกแซก Grünbaum และ Shephard เรียกการปูพื้นเหล่านี้ว่าสม่ำเสมอแม้ว่าจะขัดแย้งกับคำจำกัดความของ Coxeter สำหรับความสม่ำเสมอซึ่งต้องการรูปหลายเหลี่ยมปกติจากขอบถึงขอบ^{[ 17 ]}การปูพื้นไอโซโกนัลดังกล่าวในทางโทโพโลยีนั้นเหมือนกับการปูพื้นแบบสม่ำเสมอ เพียงแต่มีสัดส่วนทางเรขาคณิตที่แตกต่างกัน

การปูพื้น แบบไอโซโกนัลเป็นระยะด้วยรูปหลายเหลี่ยมนูนปกติที่ไม่ชนขอบกัน

1	2	3	4	5	6	7
แถวของช่องสี่เหลี่ยมที่มีการเยื้องในแนวนอน		แถวของรูปสามเหลี่ยมที่มีการเลื่อนในแนวนอน	การปูกระเบื้องด้วยช่องสี่เหลี่ยม	รูปหกเหลี่ยมสามรูปโอบล้อมรูปสามเหลี่ยมแต่ละรูป	มีสามเหลี่ยมหกรูปโอบล้อมหกเหลี่ยมแต่ละอัน	สามเหลี่ยมขนาดสามขนาด
ซม. (2*22)	หน้า 2 (2222)	ซม. (2*22)	พี4ม (*442)	หน้า 6 (632)		หน้า 3 (333)
การปูกระเบื้องหกเหลี่ยม		การปูกระเบื้องสี่เหลี่ยม	การปูกระเบื้องสี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบตัดทอน	การปูกระเบื้องหกเหลี่ยมแบบตัดทอน	การปูกระเบื้องหกเหลี่ยม	การปูกระเบื้องสามเหลี่ยมหกเหลี่ยม

• การปูพื้นแบบสม่ำเสมอ n-uniformโดย Brian Galebach
• ดัตช์, สตีฟ. "การปูกระเบื้องแบบสม่ำเสมอ" . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2006-09-09 . เรียกดูเมื่อ2006-09-09 .
• Mitchell, K. "การปูกระเบื้องแบบกึ่งปกติ" . สืบค้นเมื่อ2006-09-09 .
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "เทสเซลเลชัน" . แมธเวิลด์ .
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "การปูพื้นแบบกึ่งปกติ" . MathWorld .
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "การปูพื้นแบบเดมิเรกูลาร์" . MathWorld .