อ่าน 1 นาที
การปูกระเบื้องหกเหลี่ยมลำดับที่ 4
ในทางเรขาคณิต การปูพื้นแบบหกเหลี่ยม ลำดับที่ 4เป็นการ ปูพื้น แบบปกติของระนาบไฮเปอร์โบลิกมีสัญลักษณ์ Schläfliคือ {6,4}
การปูกระเบื้องหกเหลี่ยมลำดับที่ 4
| การปูกระเบื้องหกเหลี่ยมลำดับที่ 4 | |
|---|---|
 แบบจำลองดิสก์ของ ปวงกาเรบน ระนาบไฮเปอร์โบลิก | |
| พิมพ์ | การปูพื้นแบบไฮเปอร์โบลิกปกติ |
| การกำหนดค่าจุดยอด | 6 4 |
| สัญลักษณ์ Schläfli | {6,4} |
| สัญลักษณ์ไวทอฟฟ์ | 4 | 6 2 |
| แผนภาพค็อกซ์เตอร์ |     |
| กลุ่มสมมาตร | [6,4], (*642) |
| สองชั้น | กระเบื้องสี่เหลี่ยมจัตุรัส สั่งซื้อ 6 แผ่น |
| คุณสมบัติ | การถ่ายทอดจุดยอด การถ่ายทอดขอบการถ่ายทอดหน้า |
ในทางเรขาคณิต การปูพื้นแบบหกเหลี่ยม ลำดับที่ 4เป็นการ ปูพื้น แบบปกติของระนาบไฮเปอร์โบลิกมีสัญลักษณ์ Schläfliคือ {6,4}
สมมาตร
การปูพื้นนี้แสดงถึงภาพลวงตา ไฮเปอร์โบลิก ของกระจก 6 บานที่กำหนดโดเมนพื้นฐานรูปหกเหลี่ยมปกติ สมมาตรนี้โดยสัญกรณ์ออร์บิโฟลด์เรียกว่า *222222 โดยมีจุดตัดกระจกอันดับ 2 จำนวน 6 จุด ในสัญกรณ์ Coxeterสามารถแสดงได้เป็น [6 * ,4] โดยการลบกระจกสองในสามบาน (ที่ผ่านจุดศูนย์กลางของรูปหกเหลี่ยม) การเพิ่มกระจกแบ่งครึ่งผ่านจุดยอด 2 จุดของโดเมนพื้นฐานรูปหกเหลี่ยมจะกำหนดสมมาตรแบบสี่เหลี่ยมคางหมู *4422การเพิ่มกระจกแบ่งครึ่ง 3 บานผ่านจุดยอดจะกำหนดสมมาตร *443การเพิ่มกระจกแบ่งครึ่ง 3 บานผ่านขอบจะกำหนดสมมาตร *3222การเพิ่มตัวแบ่งครึ่งทั้ง 6 ตัวจะนำไปสู่สมมาตร *642 อย่าง สมบูรณ์
 *222222 |  *443 |  *3222 |  *642 |
การระบายสีแบบสม่ำเสมอ
มีการระบายสีแบบสม่ำเสมอ ที่แตกต่างกัน 7 แบบสำหรับการปูพื้นหกเหลี่ยมลำดับที่ 4 ซึ่งคล้ายกับการระบายสีแบบสม่ำเสมอ 7 แบบของการปูพื้นสี่เหลี่ยมจัตุรัสแต่ไม่รวม 2 กรณีที่มีสมมาตรแบบไจเรชันนัลลำดับที่ 2 สี่แบบมีโครงสร้างสะท้อนและแผนภาพค็อกซ์เตอร์ในขณะที่สามแบบเป็นการระบายสีแบบต่ำกว่าจำนวนช่อง
| 1 สี | 2 สี | 3 และ 2 สี | 4, 3 และ 2 สี | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| การระบายสี แบบเดียวกัน |  (1111) |  (1212) |  (1213) |  (1113) |  (1234) |  (1123) |  (1122) |
| สมมาตร | [6,4] ( *642 )   | [6,6] ( *662 )   = | [(6,6,3)] = [6,6,1 + ] ( *663 )  = | [1 + ,6,6,1 + ] ( *3333 )  ==  | |||
| เครื่องหมาย | {6,4} | r{6,6} = {6,4} 1 / 2 | r(6,3,6) = r{6,6} 1 / 2 | r{6,6} 1 / 4 | |||
| แผนภาพค็อกซ์เตอร์ | |  = |  = | == | |||
แผนที่ปกติ
แผนที่ปกติ {6,4} 3หรือ {6,4} (4,0)สามารถมองได้ว่าเป็นการระบายสี 4 สีบนการปูพื้นแบบ {6,4} นอกจากนี้ยังมีการแสดงแทนเป็นทรงแปดเหลี่ยมเพทรี {3,4} πซึ่งเป็นทรงหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรมที่มีจุดยอดและขอบของทรงแปดเหลี่ยมแต่เชื่อมต่อกันด้วยหน้าของ รูปหลายเหลี่ยมเพทรี 4 หน้า
รูปทรงหลายเหลี่ยมที่เกี่ยวข้องและการปูพื้น
การปูพื้นนี้มีความสัมพันธ์ทางโทโพโลยีเป็นส่วนหนึ่งของลำดับการปูพื้นปกติที่มีหน้าหกเหลี่ยม โดยเริ่มต้นจาก การปูพื้นหกเหลี่ยมซึ่งมีสัญลักษณ์ Schläfli {6,n} และแผนภาพ Coxeter
ก้าวไปสู่อนันต์
| * n 62 การกลายพันธุ์สมมาตรของการปูพื้นปกติ: {6, n } | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ทรงกลม | ยูคลิด | การปูพื้นแบบไฮเปอร์โบลิก | ||||||
 {6,2} |  {6,3} |  {6,4} |  {6,5} |  {6,6} |  {6,7} |  {6,8} | ... |  {6,∞} |
การปูพื้นแบบนี้ยังมีความสัมพันธ์ทางโทโพโลยีกับลำดับของทรงหลายเหลี่ยมปกติและการปูพื้นที่มีสี่หน้าต่อจุดยอด โดยเริ่มจากทรงแปดเหลี่ยมซึ่งมีสัญลักษณ์ Schläfli {n,4} และแผนภาพ Coxeterโดยที่ n มีค่าเข้าสู่ค่าอนันต์
| * n 42 การกลายพันธุ์สมมาตรของการปูพื้นปกติ: { n ,4} | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ทรงกลม | ยูคลิด | การปูพื้นแบบไฮเปอร์โบลิก | |||||
 |  |  |  | |  |  |  |
| 2 4 | 3 4 | 4 4 | 5 4 | 6 4 | 7 4 | 8 4 | ... ∞ 4 |
| การกลายพันธุ์สมมาตรของการปูพื้นกึ่งปกติ: (6. n ) 2 | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| สมมาตร*6n2 [n,6] | ยูคลิด | ไฮเปอร์โบลิกขนาดกะทัดรัด | พาราคอมแพคต์ | ไม่กะทัดรัด | |||||||
| *632 [3,6] | *642 [4,6] | *652 [5,6] | *662 [6,6] | *762 [7,6] | *862 [8,6]... | *∞62 [∞,6] | [iπ/λ,6] | ||||
| การจัดเรียงรูปทรงกึ่งปกติ |  6.3.6.3 |  6.4.6.4 |  6.5.6.5 |  6.6.6.6 |  6.7.6.7 |  6.8.6.8 |  6.∞.6.∞ | 6.∞.6.∞ | |||
| ตัวเลขคู่ | |||||||||||
| การจัดเรียงรูปทรงสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน |  วี.6.3.6.3 |  วี.6.4.6.4 |  วี.6.5.6.5 |  วี.6.6.66 | ว.6.7.6.7 |  วี6.8.6.8 |  V6.∞.6.∞ | ||||
| การปูพื้นแบบเตตระเฮกซาโกนัลที่สม่ำเสมอ | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| สมมาตร : [6,4], (*642 ) (พร้อมด้วย [6,6] (*662), [(4,3,3)] (*443) , [∞,3,∞] (*3222) ดัชนี 2 สมมาตรย่อย)(และ [(∞,3,∞,3)] (*3232) ดัชนี 4 สมมาตรย่อย) | |||||||||||
= = = | = | == = | = | = == | = | | |||||
|  |  |  |  |  |  | |||||
| {6,4} | t{6,4} | r{6,4} | t{4,6} | {4,6} | rr{6,4} | tr{6,4} | |||||
| คู่ที่สม่ำเสมอ | |||||||||||
 | | | | | | | |||||
 |  |  |  |  |  |  | |||||
| วี6 4 | เวอร์ชัน 4.12.12 | V(4.6) 2 | เวอร์ชัน 6.8.8 | วี4 6 | วี.4.4.4.6 | เวอร์ชัน 4.8.12 | |||||
| การสลับเปลี่ยน | |||||||||||
| [1 + ,6,4] (*443) | [6 + ,4] (6*2) | [6,1 + ,4] (*3222) | [6,4 + ] (4*3) | [6,4,1 + ] (*662) | [(6,4,2 + )] (2*32) | [6,4] + (642) | |||||
 = |  =  | =  | = | = | = | | |||||
 |  |  |  |  |  |  | |||||
| h{6,4} | s{6,4} | hr{6,4} | s{4,6} | h{4,6} | hrr{6,4} | sr{6,4} | |||||
| การปูพื้นแบบหกเหลี่ยมด้านเท่า | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| สมมาตร: [6,6], (*662) | ||||||
=  = | == | == | = = | == | == | == |
 |  | |  |  |  |  |
| {6,6} = h{4,6} | t{6,6} = h 2 {4,6} | r{6,6} {6,4} | t{6,6} = h 2 {4,6} | {6,6} = h{4,6} | rr{6,6} r{6,4} | tr{6,6} t{6,4} |
| คู่ที่สม่ำเสมอ | ||||||
| | | | | | |
 |  |  |  |  |  |  |
| วี6 6 | เวอร์ชัน 6.12.12 | วี.6.6.66 | เวอร์ชัน 6.12.12 | วี6 6 | วี.4.6.4.6 | เวอร์ชัน 4.12.12 |
| การสลับเปลี่ยน | ||||||
| [1 + ,6,6] (*663) | [6 + ,6] (6*3) | [6,1 + ,6] (*3232) | [6,6 + ] (6*3) | [6,6,1 + ] (*663) | [(6,6,2 + )] (2*33) | [6,6] + (662) |
| = | | = | | = | | |
| | | | | | |
 |  | | |  | ||
| h{6,6} | s{6,6} | hr{6,6} | s{6,6} | h{6,6} | hrr{6,6} | sr{6,6} |
| การปูพื้น H2 ที่คล้ายกันในสมมาตร *3232 | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| แผนภาพค็อกซ์ เตอร์ | | | | | ||||
 | | | | | | | | |
| | | | |||||
| รูปจุดยอด | 6 6 | (3.4.3.4) 2 | 3.4.6.6.4 | 6.4.6.4 | ||||
| ภาพ |  |  |  |  | ||||
| สองชั้น |  | | ||||||
| การปูพื้นแบบสม่ำเสมอในสมมาตร *3222 | ||||
|---|---|---|---|---|
6 4 |  6.6.4.4 |  (3.4.4) 2 | 4.3.4.3.3.3 | |
6.6.4.4 | 6.4.4.4 | 3.4.4.4.4 | ||
(3.4.4) 2 | 3.4.4.4.4 | 4 6 | ||
ดูเพิ่มเติม
- การปูกระเบื้องสี่เหลี่ยม
- การปูพื้นด้วยรูปหลายเหลี่ยมปกติ
- รายการการปูพื้นระนาบแบบสม่ำเสมอ
- รายชื่อรูปหลายเหลี่ยมปกติ
ลิงก์ภายนอก
- ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "การปูพื้นแบบไฮเปอร์โบลิก" . MathWorld .
- ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "จานไฮเปอร์โบลิกของปวงกาเร" . MathWorld .
- แกลเลอรีการปูกระเบื้องทรงไฮเปอร์โบลิกและทรงกลม
- KaleidoTile 3: ซอฟต์แวร์เพื่อการศึกษาสำหรับการสร้างลวดลายปูพื้นแบบทรงกลม ระนาบ และไฮเปอร์โบลา
- การปูพื้นแบบไฮเปอร์โบลิกบนระนาบ โดย ดอน แฮทช์
สรุปเนื้อหา
ข้อมูลสำคัญจากบทความ
ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ การปูกระเบื้องหกเหลี่ยมลำดับที่ 4
ในทางเรขาคณิต การปูพื้นแบบหกเหลี่ยม ลำดับที่ 4เป็นการ ปูพื้น แบบปกติของระนาบไฮเปอร์โบลิกมีสัญลักษณ์ Schläfliคือ {6,4}
สมมาตร
การปูพื้นนี้แสดงถึง ภาพลวงตา ไฮเปอร์โบลิก ของกระจก 6 บานที่กำหนดโดเมนพื้นฐานรูปหกเหลี่ยมปกติ สมมาตรนี้โดย สัญกรณ์ออร์บิโฟลด์ เรียกว่า *222222 โดยมีจุดตัดกระจกอันดับ 2 จำนวน 6 จุด ใน สัญกรณ์ Coxeter สามารถแสดงได้เป็น [6 * ,4] โดยการลบกระจกสองในสามบาน...
การระบายสีแบบสม่ำเสมอ
มี การระบายสีแบบสม่ำเสมอ ที่แตกต่างกัน 7 แบบสำหรับการปูพื้นหกเหลี่ยมลำดับที่ 4 ซึ่งคล้ายกับ การระบายสีแบบสม่ำเสมอ 7 แบบของการปูพื้นสี่เหลี่ยมจัตุรัส แต่ไม่รวม 2 กรณีที่มีสมมาตรแบบไจเรชันนัลลำดับที่ 2 สี่แบบมีโครงสร้างสะท้อนและ แผนภาพค็อกซ์เตอร์...
แผนที่ปกติ
แผนที่ ปกติ {6,4} 3 หรือ {6,4} (4,0) สามารถมองได้ว่าเป็นการระบายสี 4 สีบนการปูพื้นแบบ {6,4} นอกจากนี้ยังมีการแสดงแทนเป็น ทรงแปดเหลี่ยมเพทรี {3,4} π ซึ่งเป็นทรงหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรมที่มีจุดยอดและขอบของ ทรงแปดเหลี่ยม แต่เชื่อมต่อกันด้วยหน้าของ...