อ่าน 6 นาที
การปูพื้นแบบสม่ำเสมอในระนาบไฮเปอร์โบลิก
ในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกการปูพื้นไฮเปอร์โบลิกแบบสม่ำเสมอ (หรือการปูพื้นไฮเปอร์โบลิกแบบปกติ แบบกึ่งปกติ หรือแบบกึ่งปกติ)...
การปูพื้นแบบสม่ำเสมอในระนาบไฮเปอร์โบลิก
| ทรงกลม | ยูคลิด | ไฮเปอร์โบลิก | |||
|---|---|---|---|---|---|
 {5,3} 5.5.5    |  {6,3} 6.6.6 |  {7,3} 7.7.7 |  {∞,3} ∞.∞.∞ | ||
| การปูพื้นแบบปกติ {p,q} ของทรงกลม ระนาบยุคลิด และระนาบไฮเปอร์โบลิก โดยใช้หน้าตัดรูปห้าเหลี่ยม หกเหลี่ยม เจ็ดเหลี่ยม และเหลี่ยมมุมฉากปกติ | |||||
 t{5,3} 10.10.3 |  t{6,3} 12.12.3 |  t{7,3} 14.14.3 |  t{∞,3} ∞.∞.3 | ||
| ลวดลายปูพื้นแบบตัดทอนจะมีรูปทรงจุดยอด 2p.2p.q จากรูปสามเหลี่ยมปกติ {p,q} | |||||
 r{5,3} 3.5.3.5 |  r{6,3} 3.6.3.6 |  r{7,3} 3.7.3.7 |  r{∞,3} 3.∞.3.∞ | ||
| การปูพื้นแบบกึ่งปกติคล้ายกับการปูพื้นแบบปกติ แต่จะสลับรูปหลายเหลี่ยมปกติสองประเภทไว้รอบจุดยอดแต่ละจุด | |||||
 rr{5,3} 3.4.5.4 |  rr{6,3} 3.4.6.4 |  rr{7,3} 3.4.7.4 |  rr{∞,3} 3.4.∞.4 | ||
| การปูพื้นแบบกึ่งปกติจะมีรูปหลายเหลี่ยมปกติมากกว่าหนึ่งประเภท | |||||
 tr{5,3} 4.6.10 |  tr{6,3} 4.6.12 |  tr{7,3} 4.6.14 |  tr{∞,3} 4.6.∞ | ||
| กระเบื้องแบบ Omnitruncatedประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีด้านเท่ากันสามรูปขึ้นไป | |||||
ในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกการปูพื้นไฮเปอร์โบลิกแบบสม่ำเสมอ (หรือการปูพื้นไฮเปอร์โบลิกแบบปกติ แบบกึ่งปกติ หรือแบบกึ่งปกติ) คือการเติมขอบต่อขอบของระนาบไฮเปอร์โบลิกที่มีรูปหลายเหลี่ยมปกติเป็นหน้าและเป็นแบบสมมาตรจุดยอด ( สมมาตรที่จุดยอด สมมาตร แบบไอโซโกนัล กล่าวคือ มีไอโซเมตรีที่แมปจุดยอดใดๆ ไปยังจุดยอดอื่นๆ) ดังนั้น จุดยอดทั้งหมดจึงเท่ากัน ทุกประการ และการปูพื้น จะมี สมมาตร แบบหมุน และ แบบเลื่อนสูง
การปูพื้นแบบสม่ำเสมอสามารถระบุได้จากการจัดเรียงจุดยอดซึ่งเป็นลำดับของตัวเลขที่แสดงจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมรอบจุดยอดแต่ละจุด ตัวอย่างเช่น 7.7.7 แสดงถึงการปูพื้นแบบเจ็ดเหลี่ยมซึ่งมีรูปเจ็ดเหลี่ยม 3 รูป อยู่รอบจุดยอดแต่ละจุด นอกจากนี้ยังเป็นการปูพื้นแบบสม่ำเสมอเนื่องจากรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมดมีขนาดเท่ากัน ดังนั้นจึงสามารถใช้สัญลักษณ์ Schläfliว่า {7,3} ได้เช่นกัน
การปูพื้นแบบสม่ำเสมออาจเป็นแบบปกติ (ถ้าทั้งหน้าและขอบสามารถสลับตำแหน่งกันได้) แบบกึ่งปกติ (ถ้าขอบสามารถสลับตำแหน่งกันได้แต่หน้าไม่สามารถสลับตำแหน่งกันได้) หรือแบบกึ่งปกติ (ถ้าทั้งขอบและหน้าไม่สามารถสลับตำแหน่งกันได้) สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก ( p q 2) จะมีการปูพื้นแบบปกติสองแบบ ซึ่งแทนด้วยสัญลักษณ์ Schläfli { p , q } และ { q , p }
การก่อสร้างไวทอฟฟ์
มีรูปแบบการปูพื้นแบบสม่ำเสมอจำนวนอนันต์โดยอิงจากสามเหลี่ยม Schwarz ( pqr ) โดยที่1/พี+1/q+1/ร< 1 โดยที่p , q , rคือลำดับของสมมาตรการสะท้อนที่จุดสามจุดของสามเหลี่ยมโดเมนพื้นฐาน – กลุ่มสมมาตรคือกลุ่มสามเหลี่ยม ไฮเปอร์โบลิ ก
แต่ละตระกูลสมมาตรประกอบด้วยการปูพื้นแบบสม่ำเสมอ 7 แบบ ซึ่งกำหนดโดยสัญลักษณ์ Wythoffหรือแผนภาพ Coxeter-Dynkinโดย 7 แบบนั้นแสดงถึงการรวมกันของกระจกเงาที่ใช้งานอยู่ 3 แบบ ส่วนที่ 8 แสดงถึง การดำเนินการ สลับโดยการลบจุดยอดสลับกันออกจากรูปแบบสูงสุดที่มีกระจกเงาที่ใช้งานอยู่ทั้งหมด
ครอบครัวที่มีr = 2 ประกอบด้วยการปูพื้นแบบไฮเปอร์โบลิกปกติซึ่งกำหนดโดยกลุ่ม Coxeterเช่น [7,3], [8,3], [9,3], ... [5,4], [6,4], ....
กลุ่มไฮเปอร์โบลิกที่มีr = 3 หรือสูงกว่านั้นกำหนดโดย ( pqr ) และรวมถึง (4 3 3), (5 3 3), (6 3 3) ... (4 4 3), (5 4 3), ... (4 4 4)....
รูปสามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิก ( pqr ) กำหนดการปูพื้นไฮเปอร์โบลิกแบบสม่ำเสมอและกะทัดรัด ในลิมิตใดๆ ของp , qหรือrสามารถแทนที่ด้วย ∞ ซึ่งกำหนดรูปสามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิกแบบพาราคอมแพ็กต์ และสร้างการปูพื้นแบบสม่ำเสมอที่มีหน้าอนันต์ (เรียกว่ารูป หลายเหลี่ยม อะเพโรกอน ) ที่บรรจบกันที่จุดอุดมคติจุดเดียว หรือรูปทรงที่มีจุดยอดอนันต์และมีขอบอนันต์ที่แยกออกจากจุดอุดมคติเดียวกัน
สามารถสร้างตระกูลสมมาตรเพิ่มเติมได้จากโดเมนพื้นฐานที่ไม่ใช่รูปสามเหลี่ยม
ตระกูลการปูพื้นแบบสม่ำเสมอที่เลือกไว้แสดงอยู่ด้านล่าง (โดยใช้แบบจำลองดิสก์ของปวงกาเรสำหรับระนาบไฮเปอร์โบลิก) สามตระกูล ได้แก่ (7 3 2), (5 4 2) และ (4 3 3) และไม่มีตระกูลอื่นใด เป็นแบบมินิมัลในแง่ที่ว่า หากแทนที่ตัวเลขกำหนดใดๆ ด้วยจำนวนเต็มที่เล็กกว่า รูปแบบที่ได้จะเป็นแบบยุคลิดหรือแบบทรงกลมแทนที่จะเป็นแบบไฮเปอร์โบลิก ในทางกลับกัน สามารถเพิ่มตัวเลขใดๆ ก็ได้ (แม้กระทั่งเป็นอนันต์) เพื่อสร้างรูปแบบไฮเปอร์โบลิกอื่นๆ
การปูพื้นแบบสม่ำเสมอแต่ละแบบจะสร้างการปูพื้นแบบสม่ำเสมอคู่ขนานขึ้นมาซึ่งตัวอย่างหลายแบบแสดงไว้ด้านล่างแล้ว
โดเมนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
มีกลุ่มสามเหลี่ยม ( pq 2) อยู่มากมายนับไม่ถ้วน บทความนี้แสดงการปูพื้นแบบปกติจนถึงp , q = 8 และการปูพื้นแบบสม่ำเสมอใน 12 กลุ่ม ได้แก่ (7 3 2), (8 3 2), (5 4 2), (6 4 2), (7 4 2), (8 4 2), (5 5 2), (6 5 2), (6 6 2), (7 7 2), (8 6 2) และ (8 8 2)
การปูพื้นแบบไฮเปอร์โบลิกปกติ
ชุดการปูพื้นไฮเปอร์โบลิกที่ง่ายที่สุดคือการปูพื้นแบบปกติ { p , q } ซึ่งมีอยู่ในเมทริกซ์เดียวกับทรงหลายเหลี่ยมปกติและการปูพื้นแบบยุคลิด การปูพื้นแบบปกติ { p , q } มีการปูพื้นแบบคู่ { q , p } ข้ามแกนทแยงของตาราง การปูพื้นแบบคู่ตัวเอง {2,2}, {3,3} , {4,4} , {5,5}เป็นต้น ผ่านลงมาตามแนวทแยงของตาราง
| ตารางการปูพื้นแบบไฮเปอร์โบลิกปกติ | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| การปูพื้น แบบทรงกลม(แบบไม่สมบูรณ์ / แบบเพลโต) / แบบยูคลิด / แบบไฮเปอร์โบลิก (ดิสก์ปวงกาเร: แบบกะทัดรัด / แบบกึ่งกะทัดรัด / แบบไม่กะทัดรัด ) พร้อมสัญลักษณ์ Schläfli ของแต่ละแบบ | |||||||||||
| พี แอล คิว | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ... | ∞ | ... | iπ/λ |
| 2 |  {2 , 2} |  {2,3} |  {2,4} |  {2,5} |  {2,6} |  {2,7} |  {2,8} |  {2,∞} |  {2,iπ/λ} | ||
| 3 |  {3,2} |  ( ทรงสี่หน้า ) {3,3} |  ( ทรงแปดเหลี่ยม ) {3,4} |  ( ทรงยี่สิบหน้า ) {3,5} |  ( เดลทิลล์ ) {3,6} |  {3,7} |  {3,8} |  {3,∞} |  {3,iπ/λ} | ||
| 4 |  {4,2} |  ( ลูกบาศก์ ) {4,3} |  ( รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ) {4,4} |  {4,5} |  {4,6} |  {4,7} |  {4,8} |  {4,∞} |  {4,iπ/λ} | ||
| 5 |  {5,2} |  ( ทรงสิบสองเหลี่ยม ) {5,3} |  {5,4} |  {5,5} |  {5,6} |  {5,7} |  {5,8} |  {5,∞} |  {5,iπ/λ} | ||
| 6 |  {6,2} |  ( เฮกซิลเล ) {6,3} |  {6,4} |  {6,5} |  {6,6} |  {6,7} |  {6,8} |  {6,∞} |  {6,iπ/λ} | ||
| 7 | {7,2} |  {7,3} |  {7,4} |  {7,5} |  {7,6} |  {7,7} |  {7,8} |  {7,∞} | {7,iπ/λ} | ||
| 8 | {8,2} |  {8,3} |  {8,4} |  {8,5} |  {8,6} |  {8,7} |  {8,8} |  {8,∞} | {8,iπ/λ} | ||
| ... | |||||||||||
| ∞ |  {∞,2} |  {∞,3} |  {∞,4} |  {∞,5} |  {∞,6} |  {∞,7} |  {∞,8} |  {∞,∞} |  {∞,iπ/λ} | ||
| ... | |||||||||||
| iπ/λ |  {iπ/λ,2} |  {iπ/λ,3} |  {iπ/λ,4} |  {iπ/λ,5} |  {iπ/λ,6} | {iπ/λ,7} | {iπ/λ,8} |  {iπ/λ,∞} |  {iπ/λ, iπ/λ} | ||
(7 3 2)
กลุ่มสามเหลี่ยม(7 3 2) กลุ่ม Coxeter [ 7,3] ออร์บิโฟลด์ (*732) ประกอบด้วยการปูพื้นแบบสม่ำเสมอเหล่านี้:
| การปูพื้นแบบเจ็ดเหลี่ยม/สามเหลี่ยมที่สม่ำเสมอ | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| สมมาตร: [7,3], (*732) | [7,3] + , (732) | ||||||||||
| | | | | | |  | ||||
|  |  |  |  |  |  |  | ||||
| {7,3} | t{7,3} | r{7,3} | t{3,7} | {3,7} | rr{7,3} | tr{7,3} | sr{7,3} | ||||
| คู่ที่สม่ำเสมอ | |||||||||||
 | | | | | | |  | ||||
|  |  |  | |  |  |  | ||||
| วี7 3 | เวอร์ชัน 3.14.14 | เวอร์ชัน 3.7.3.7 | ว.6.6.7 | วี3 7 | วี3.4.7.4 | เวอร์ชัน 4.6.14 | วี.3.3.3.3.7 | ||||
(8 3 2)
กลุ่มสามเหลี่ยม(8 3 2) กลุ่ม Coxeter [ 8,3] ออร์บิโฟลด์ (*832) ประกอบด้วยการปูพื้นแบบสม่ำเสมอเหล่านี้:
| การปูพื้นแบบแปดเหลี่ยม/สามเหลี่ยมที่สม่ำเสมอ | |||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| สมมาตร: [8,3], (*832) | [8,3] + (832) | [1 + ,8,3] (*443) | [8,3 + ] (3*4) | ||||||||||
| {8,3} | t{8,3} | r{8,3} | t{3,8} | {3,8} | rr{8,3} s 2 {3,8} | tr{8,3} | sr{8,3} | h{8,3} | h 2 {8,3} | s{3,8} | |||
| | | | | | | | | |||||
    | |  | |   หรือ | หรือ |  | |||||||
 |  |   |   |   |  |  |  |   |   |   | |||
| คู่ที่สม่ำเสมอ | |||||||||||||
| วี8 3 | เวอร์ชัน 3.16.16 | เวอร์ชัน 3.8.3.8 | ว.6.6.8 | วี3 8 | วี3.4.8.4 | เวอร์ชัน 4.6.16 | V3 4.8 | V(3.4) 3 | ว.8.6.6 | V3 5.4 | |||
| | | | | | | | | | | |||
|  |  |  | |  |  |  |  |  |  | |||
(5 4 2)
กลุ่มสามเหลี่ยม(5 4 2) กลุ่ม Coxeter [ 5,4] ออร์บิโฟลด์ (*542) ประกอบด้วยการปูพื้นแบบสม่ำเสมอเหล่านี้:
| การปูพื้นแบบห้าเหลี่ยม/สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สม่ำเสมอ | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| สมมาตร: [5,4], (*542) | [5,4] + , (542) | [5 + ,4], (5*2) | [5,4,1 + ], (*552) | ||||||||
| | | | | | | | | | ||
|  |  |  |  |  |  |  |  |  | ||
| {5,4} | t{5,4} | r{5,4} | 2t{5,4}=t{4,5} | 2r{5,4}={4,5} | rr{5,4} | tr{5,4} | sr{5,4} | s{5,4} | h{4,5} | ||
| คู่ที่สม่ำเสมอ | |||||||||||
| | | | | | | | | | ||
|  |  |  | |  |  |  |  | |||
| วี5 4 | เวอร์ชัน 4.10.10 | วี.4.5.4.5 | เวอร์ชัน 5.8.8 | วี4 5 | เวอร์ชัน 4.4.5.4 | เวอร์ชัน 4.8.10 | วี.3.3.4.3.5 | วี.3.3.5.3.5 | วี5 5 | ||
(6 4 2)
กลุ่มสามเหลี่ยม(6 4 2) กลุ่ม Coxeter [6,4] ออร์บิโฟลด์ (*642) ประกอบด้วยการปูพื้นแบบสม่ำเสมอเหล่านี้ เนื่องจากองค์ประกอบทั้งหมดเป็นเลขคู่ การปูพื้นแบบสม่ำเสมอคู่หนึ่งจึงแสดงถึงโดเมนพื้นฐานของสมมาตรสะท้อน: *3333, *662, *3232, *443, *222222, *3222 และ *642 ตามลำดับ นอกจากนี้ การปูพื้นแบบสม่ำเสมอทั้ง 7 แบบยังสามารถสลับกันได้ และแบบเหล่านั้นก็มีคู่ด้วยเช่นกัน
| การปูพื้นแบบเตตระเฮกซาโกนัลที่สม่ำเสมอ | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| สมมาตร : [6,4], (*642 ) (พร้อมด้วย [6,6] (*662), [(4,3,3)] (*443) , [∞,3,∞] (*3222) ดัชนี 2 สมมาตรย่อย)(และ [(∞,3,∞,3)] (*3232) ดัชนี 4 สมมาตรย่อย) | |||||||||||
=   = = | = | == = | = | === | = | | |||||
 |  |  |  |  |  |  | |||||
| {6,4} | t{6,4} | r{6,4} | t{4,6} | {4,6} | rr{6,4} | tr{6,4} | |||||
| คู่ที่สม่ำเสมอ | |||||||||||
| | | | | | | |||||
 |  |  |  |  |  |  | |||||
| วี6 4 | เวอร์ชัน 4.12.12 | V(4.6) 2 | เวอร์ชัน 6.8.8 | วี4 6 | วี.4.4.4.6 | เวอร์ชัน 4.8.12 | |||||
| การสลับเปลี่ยน | |||||||||||
| [1 + ,6,4] (*443) | [6 + ,4] (6*2) | [6,1 + ,4] (*3222) | [6,4 + ] (4*3) | [6,4,1 + ] (*662) | [(6,4,2 + )] (2*32) | [6,4] + (642) | |||||
| = | = | =  | = | = | = | | |||||
 |  |  |  |  |  |  | |||||
| h{6,4} | s{6,4} | hr{6,4} | s{4,6} | h{4,6} | hrr{6,4} | sr{6,4} | |||||
(7 4 2)
กลุ่มสามเหลี่ยม(7 4 2) กลุ่ม Coxeter [7,4] ออร์บิโฟลด์ (*742) ประกอบด้วยการปูพื้นแบบสม่ำเสมอเหล่านี้:
| การปูพื้นแบบเจ็ดเหลี่ยม/สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สม่ำเสมอ | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| สมมาตร: [7,4], (*742) | [7,4] + , (742) | [7 + ,4], (7*2) | [7,4,1 + ], (*772) | ||||||||
| | | | | | | | | | ||
|  |  |  |  |  |  |  |  |  | ||
| {7,4} | t{7,4} | r{7,4} | 2t{7,4}=t{4,7} | 2r{7,4}={4,7} | rr{7,4} | tr{7,4} | sr{7,4} | s{7,4} | h{4,7} | ||
| คู่ที่สม่ำเสมอ | |||||||||||
| | | | | | | | | | ||
|  |  |  | |  |  | | ||||
| วี7 4 | เวอร์ชัน 4.14.14 | วี4.7.4.7 | ว.7.8.8 | วี4 7 | เวอร์ชัน 4.4.7.4 | เวอร์ชัน 4.8.14 | วี3.3.4.3.7 | วี.3.3.7.3.7 | วี7 7 | ||
(8 4 2)
กลุ่มสามเหลี่ยม (8 4 2) กลุ่ม Coxeter [8,4] ออร์บิโฟลด์ (*842) ประกอบด้วยการปูพื้นแบบสม่ำเสมอเหล่านี้ เนื่องจากองค์ประกอบทั้งหมดเป็นเลขคู่ การปูพื้นแบบสม่ำเสมอคู่หนึ่งจึงแสดงถึงโดเมนพื้นฐานของสมมาตรสะท้อน: *4444, *882, *4242, *444, *22222222, *4222 และ *842 ตามลำดับ นอกจากนี้ การปูพื้นแบบสม่ำเสมอทั้ง 7 แบบยังสามารถสลับกันได้ และแบบเหล่านั้นก็มีคู่ด้วยเช่นกัน
| การปูพื้นแบบแปดเหลี่ยม/สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สม่ำเสมอ | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| [8,4], (*842) (พร้อมด้วย [8,8] (*882), [(4,4,4)] (*444) , [∞,4,∞] (*4222) ดัชนี 2 สมมาตรย่อย) (และ [(∞,4,∞,4)] (*4242) ดัชนี 4 สมมาตรย่อย) | |||||||||||
= == | = | === | = | == | = | | |||||
 |  |  |  |  |  |  | |||||
| {8,4} | t{8,4} | r{8,4} | 2t{8,4}=t{4,8} | 2r{8,4}={4,8} | rr{8,4} | tr{8,4} | |||||
| คู่ที่สม่ำเสมอ | |||||||||||
| | | | | | | |||||
 |  |  |  |  |  |  | |||||
| วี8 4 | เวอร์ชัน 4.16.16 | V(4.8) 2 | ว.8.8.8 | วี4 8 | วี.4.4.4.8 | เวอร์ชัน 4.8.16 | |||||
| การสลับเปลี่ยน | |||||||||||
| [1 + ,8,4] (*444) | [8 + ,4] (8*2) | [8,1 + ,4] (*4222) | [8,4 + ] (4*4) | [8,4,1 + ] (*882) | [(8,4,2 + )] (2*42) | [8,4] + (842) | |||||
| = | = | = | = | = | = | | |||||
 |  |  |  |  | |  | |||||
| h{8,4} | s{8,4} | hr{8,4} | s{4,8} | h{4,8} | hrr{8,4} | sr{8,4} | |||||
| คู่สลับ | |||||||||||
| | | | | | | |||||
 |  |  | | | |||||||
| V(4.4) 4 | V3.(3.8) 2 | V(4.4.4) 2 | V(3.4) 3 | วี8 8 | วี4.4 4 | วี.3.3.4.3.8 | |||||
(5 5 2)
กลุ่มสามเหลี่ยม(5 5 2) กลุ่ม Coxeter [5,5] ออร์บิโฟลด์ (*552) ประกอบด้วยการปูพื้นแบบสม่ำเสมอเหล่านี้:
| การปูพื้นรูปห้าเหลี่ยมที่สม่ำเสมอ | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| สมมาตร: [5,5], (*552) | [5,5] + , (552) | ||||||||||
| = | = | = | = | = | = | = | = | ||||
|  |  |  | |  |  |  | ||||
| การปูพื้นรูปห้าเหลี่ยมลำดับที่ 5 {5,5} | การปูพื้นรูปห้าเหลี่ยมลำดับที่ 5 แบบตัดทอนt{5,5} | การปูพื้นรูปห้าเหลี่ยมลำดับที่ 4 r{5,5} | การปูพื้นรูปห้าเหลี่ยมลำดับที่ 5 แบบตัดทอน 2t{5,5} = t{5,5} | การปูพื้นรูปห้าเหลี่ยมลำดับที่ 5 2r{5,5} = {5,5} | การปูพื้นแบบเทตราเพนทากอนrr{5,5} | การปูพื้นรูปห้าเหลี่ยมลำดับที่ 4 แบบตัดทอนtr{5,5} | การปูพื้นแบบห้าเหลี่ยมห้าเหลี่ยม Snub sr{5,5} | ||||
| คู่ที่สม่ำเสมอ | |||||||||||
| | | | | | | | ||||
|  | | | | | | |||||
| การปูพื้นแบบห้าเหลี่ยมลำดับที่ 5 V5.5.5.5.5 | เวอร์ชัน 5.10.10 | กระเบื้องปูพื้นสี่เหลี่ยมจัตุรัส Order-5 รุ่นV5.5.5.5 | เวอร์ชัน 5.10.10 | การปูพื้นแบบห้าเหลี่ยมลำดับที่ 5 V5.5.5.5.5 | วี.4.5.4.5 | เวอร์ชัน 4.10.10 | วี.3.3.5.3.5 | ||||
(6 5 2)
กลุ่ม สามเหลี่ยม (6 5 2)กลุ่ม Coxeter [6,5] ออร์บิโฟลด์ (*652) ประกอบด้วยการปูพื้นแบบสม่ำเสมอเหล่านี้:
| การปูพื้นแบบหกเหลี่ยม/ห้าเหลี่ยมที่สม่ำเสมอ | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| สมมาตร: [6,5], (*652) | [6,5] + , (652) | [6,5 + ], (5*3) | [1 + ,6,5], (*553) | ||||||||
| | | | | | | | | | ||
 |  |  |  |  |  |  |  |  | |||
| {6,5} | t{6,5} | r{6,5} | 2t{6,5}=t{5,6} | 2r{6,5}={5,6} | rr{6,5} | tr{6,5} | sr{6,5} | s{5,6} | h{6,5} | ||
| คู่ที่สม่ำเสมอ | |||||||||||
| | | | | | | | | | ||
 |  |  |  | |  |  | |||||
| วี6 5 | เวอร์ชัน 5.12.12 | ว.5.6.5.6 | เวอร์ชัน 6.10.10 | วี5 6 | วี.4.5.4.6 | เวอร์ชัน 4.10.12 | วี.3.3.5.3.6 | วี.3.3.3.5.3.5 | V(3.5) 5 | ||
(6 6 2)
กลุ่มสามเหลี่ยม(6 6 2) กลุ่ม Coxeter [ 6,6] ออร์บิโฟลด์ (*662) ประกอบด้วยการปูพื้นแบบสม่ำเสมอเหล่านี้:
| การปูพื้นแบบหกเหลี่ยมด้านเท่า | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| สมมาตร: [6,6], (*662) | ||||||
=  = | == | == | = = | == | == | == |
 |  |  |  |  |  |  |
| {6,6} = h{4,6} | t{6,6} = h 2 {4,6} | r{6,6} {6,4} | t{6,6} = h 2 {4,6} | {6,6} = h{4,6} | rr{6,6} r{6,4} | tr{6,6} t{6,4} |
| คู่ที่สม่ำเสมอ | ||||||
| | | | | | |
 |  |  |  |  |  |  |
| วี6 6 | เวอร์ชัน 6.12.12 | วี.6.6.66 | เวอร์ชัน 6.12.12 | วี6 6 | วี.4.6.4.6 | เวอร์ชัน 4.12.12 |
| การสลับเปลี่ยน | ||||||
| [1 + ,6,6] (*663) | [6 + ,6] (6*3) | [6,1 + ,6] (*3232) | [6,6 + ] (6*3) | [6,6,1 + ] (*663) | [(6,6,2 + )] (2*33) | [6,6] + (662) |
| = | | = | | = | | |
| | | | | | |
 |  | | |  | ||
| h{6,6} | s{6,6} | hr{6,6} | s{6,6} | h{6,6} | hrr{6,6} | sr{6,6} |
(8 6 2)
กลุ่ม สามเหลี่ยม (8 6 2)กลุ่ม Coxeter [8,6] ออร์บิโฟลด์ (*862) ประกอบด้วยการปูพื้นแบบสม่ำเสมอเหล่านี้
| การปูพื้นแบบแปดเหลี่ยม/หกเหลี่ยมที่สม่ำเสมอ | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| สมมาตร : [8,6], (*862) | ||||||
| | | | | | |
 |  |  |  |  |  |  |
| {8,6} | t{8,6} | r{8,6} | 2t{8,6}=t{6,8} | 2r{8,6}={6,8} | rr{8,6} | tr{8,6} |
| คู่ที่สม่ำเสมอ | ||||||
| | | | | | |
 |  |  |  |  |  |  |
| วี8 6 | เวอร์ชัน 6.16.16 | V(6.8) 2 | ว.8.12.12 | วี6 8 | วี.4.6.4.8 | เวอร์ชัน 4.12.16 |
| การสลับเปลี่ยน | ||||||
| [1 + ,8,6] (*466) | [8 + ,6] (8*3) | [8,1 + ,6] (*4232) | [8,6 + ] (6*4) | [8,6,1 + ] (*883) | [(8,6,2 + )] (2*43) | [8,6] + (862) |
| | | | | | |
 |  |  | ||||
| h{8,6} | s{8,6} | hr{8,6} | s{6,8} | h{6,8} | hrr{8,6} | sr{8,6} |
| คู่สลับ | ||||||
| | | | | | |
 | ||||||
| V(4.6) 6 | วี.3.3.8.3.8.3 | V(3.4.4.4) 2 | วี3.4.3.4.3.6 | V(3.8) 8 | V3.4 5 | วี.3.3.6.3.8 |
(7 7 2)
กลุ่ม สามเหลี่ยม (7 7 2)กลุ่ม Coxeter [7,7] ออร์บิโฟลด์ (*772) ประกอบด้วยการปูพื้นแบบสม่ำเสมอเหล่านี้:
| การปูพื้นรูปเจ็ดเหลี่ยมที่สม่ำเสมอ | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| สมมาตร: [7,7], (*772) | [7,7] + , (772) | ||||||||||
= = | == | == | == | == | == | == | == | ||||
 |  |  |  |  |  |  |  | ||||
| {7,7} | t{7,7} | r{7,7} | 2t{7,7}=t{7,7} | 2r{7,7}={7,7} | rr{7,7} | tr{7,7} | sr{7,7} | ||||
| คู่ที่สม่ำเสมอ | |||||||||||
| | | | | | | | ||||
|  |  | | |  |  | |||||
| วี7 7 | เวอร์ชัน 7.14.14 | วี.7.7.77 | เวอร์ชัน 7.14.14 | วี7 7 | วี4.7.4.7 | เวอร์ชัน 4.14.14 | วี.3.3.7.3.7 | ||||
(8 8 2)
กลุ่มสามเหลี่ยม(8 8 2) กลุ่ม Coxeter [ 8,8] ออร์บิโฟลด์ (*882) ประกอบด้วยการปูพื้นแบบสม่ำเสมอเหล่านี้:
| การปูพื้นแบบแปดเหลี่ยมที่สม่ำเสมอ | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| สมมาตร: [8,8], (*882) | |||||||||||
= = | == | == | == | == | == | == | |||||
 |  |  |  |  |  |  | |||||
| {8,8} | t{8,8} | r{8,8} | 2t{8,8}=t{8,8} | 2r{8,8}={8,8} | rr{8,8} | tr{8,8} | |||||
| คู่ที่สม่ำเสมอ | |||||||||||
| | | | | | | |||||
 |  |  |  |  |  |  | |||||
| วี8 8 | เวอร์ชัน 8.16.16 | ว.8.8.8.8 | เวอร์ชัน 8.16.16 | วี8 8 | วี4.8.4.8 | เวอร์ชัน 4.16.16 | |||||
| การสลับเปลี่ยน | |||||||||||
| [1 + ,8,8] (*884) | [8 + ,8] (8*4) | [8,1 + ,8] (*4242) | [8,8 + ] (8*4) | [8,8,1 + ] (*884) | [(8,8,2 + )] (2*44) | [8,8] + (882) | |||||
| = | | = | | = | == | == | |||||
 | | | |  | |||||||
| h{8,8} | s{8,8} | hr{8,8} | s{8,8} | h{8,8} | hrr{8,8} | sr{8,8} | |||||
| คู่สลับ | |||||||||||
| | | | | | | |||||
 |  | ||||||||||
| V(4.8) 8 | วี3.4.3.8.3.8 | V(4.4) 4 | วี3.4.3.8.3.8 | V(4.8) 8 | วี4 6 | วี.3.3.8.3.8 | |||||
โดเมนสามเหลี่ยมทั่วไป
มีกลุ่มสามเหลี่ยม ทั่วไป ( pqr ) อยู่มากมายนับไม่ถ้วน บทความนี้แสดงการปูพื้นแบบสม่ำเสมอใน 9 กลุ่ม ได้แก่ (4 3 3), (4 4 3), (4 4 4), (5 3 3), (5 4 3), (5 4 4), (6 3 3), (6 4 3) และ (6 4 4)
(4 3 3)
กลุ่มสามเหลี่ยม(4 3 3) กลุ่มCoxeter [(4,3,3)] ออร์บิโฟลด์ (*433) ประกอบด้วยการปูพื้นแบบสม่ำเสมอเหล่านี้ หากไม่มีมุมฉากในสามเหลี่ยมพื้นฐานการสร้างแบบ Wythoffจะแตกต่างออกไปเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น ในตระกูลสามเหลี่ยม (4,3,3) รูป แบบ snubจะมีรูปหลายเหลี่ยมหกรูปอยู่รอบจุดยอด และรูปแบบคู่ของมันจะมีรูปหกเหลี่ยมแทนที่จะเป็นรูปห้าเหลี่ยม โดยทั่วไปแล้วรูปจุดยอดของการปูพื้นแบบ snub ในสามเหลี่ยม ( p , q , r ) คือ p. 3.q.3.r.3 ซึ่งในกรณีนี้คือ 4.3.3.3.3.3
| สมมาตร: [(4,3,3)], (*433) | [(4,3,3)] + , (433) | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| | | | | | | | |||
| | | | | | | | |||
 |  |  |  |  |  |  |  | |||
| h{8,3} t 0 (4,3,3) | r{3,8} 1 / 2 t 0,1 (4,3,3) | h{8,3} t 1 (4,3,3) | h 2 {8,3} t 1,2 (4,3,3) | {3,8} 1 / 2 t 2 (4,3,3) | h 2 {8,3} t 0,2 (4,3,3) | t{3,8} 1 / 2 t 0,1,2 (4,3,3) | s{3,8} 1 / 2 s(4,3,3) | |||
| คู่ที่สม่ำเสมอ | ||||||||||
|  | |  | | |  |  | |||
| V(3.4) 3 | เวอร์ชัน 3.8.3.8 | V(3.4) 3 | วี3.6.4.6 | V(3.3) 4 | วี3.6.4.6 | ว.6.6.8 | วี3.3.3.3.3.4 | |||
(4 4 3)
กลุ่มสามเหลี่ยม(4 4 3) กลุ่ม Coxeter [ (4,4,3)] ออร์บิโฟลด์ (*443) ประกอบด้วยการปูพื้นแบบสม่ำเสมอเหล่านี้
| การปูพื้นแบบสม่ำเสมอ (4,4,3) | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| สมมาตร: [(4,4,3)] (*443) | [(4,4,3)] + (443) | [(4,4,3 + )] (3*22) | [(4,1 + ,4,3)] (*3232) | |||||||
| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |
 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| h{6,4} t 0 (4,4,3) | h 2 {6,4} t 0,1 (4,4,3) | {4,6} 1 / 2 t 1 (4,4,3) | h 2 {6,4} t 1,2 (4,4,3) | h{6,4} t 2 (4,4,3) | r{6,4} 1 / 2 t 0,2 (4,4,3) | t{4,6} 1 / 2 t 0,1,2 (4,4,3) | s{4,6} 1 / 2 s(4,4,3) | hr{4,6} 1 / 2 hr(4,3,4) | h{4,6} 1 / 2 h(4,3,4) | q{4,6} h 1 (4,3,4) |
| คู่ที่สม่ำเสมอ | ||||||||||
|  |  |  | |||||||
| V(3.4) 4 | เวอร์ชัน 3.8.4.8 | V(4.4) 3 | เวอร์ชัน 3.8.4.8 | V(3.4) 4 | วี.4.6.4.6 | เวอร์ชัน 6.8.8 | วี3.3.3.4.3.4 | V(4.4.3) 2 | วี6 6 | วี4.3.4.6.6 |
(4 4 4)
กลุ่มสามเหลี่ยม(4 4 4) กลุ่ม Coxeter [ (4,4,4)] ออร์บิโฟลด์ (*444) ประกอบด้วยการปูพื้นแบบสม่ำเสมอเหล่านี้
| การปูพื้นแบบสม่ำเสมอ (4,4,4) | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| สมมาตร: [(4,4,4)], (*444) | [(4,4,4)] + (444) | [(1 + ,4,4,4)] (*4242) | [(4 + ,4,4)] (4*22) | ||||||||
| | | | | | | | | | ||
 |  |  |  |  |  |  |  | |  | ||
| t 0 (4,4,4) h{8,4} | t 0,1 (4,4,4) h 2 {8,4} | t 1 (4,4,4) {4,8} 1 / 2 | t 1,2 (4,4,4) h 2 {8,4} | t 2 (4,4,4) h{8,4} | t 0,2 (4,4,4) r{4,8} 1 / 2 | t 0,1,2 (4,4,4) t{4,8} 1 / 2 | s(4,4,4) s{4,8} 1 / 2 | h(4,4,4) h{4,8} 1 / 2 | hr(4,4,4) hr{4,8} 1 / 2 | ||
| คู่ที่สม่ำเสมอ | |||||||||||
 |  |  |  |  |  |  |  | | | ||
| V(4.4) 4 | วี4.8.4.8 | V(4.4) 4 | วี4.8.4.8 | V(4.4) 4 | วี4.8.4.8 | ว.8.8.8 | วี3.4.3.4.3.4 | วี8 8 | V(4,4) 3 | ||
(5 3 3)
กลุ่มสามเหลี่ยม(5 3 3) กลุ่ม Coxeter [ (5,3,3)] ออร์บิโฟลด์ (*533) ประกอบด้วยการปูพื้นแบบสม่ำเสมอเหล่านี้
| การปูพื้นแบบสม่ำเสมอ (5,3,3) | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| สมมาตร: [(5,3,3)], (*533) | [(5,3,3)] + , (533) | ||||||||||
 | | | | | | | | ||||
 | | | | | | | | ||||
 |  |  |  |  |  |  |  | ||||
| h{10,3} t 0 (5,3,3) | r{3,10} 1 / 2 t 0,1 (5,3,3) | h{10,3} t 1 (5,3,3) | h 2 {10,3} t 1,2 (5,3,3) | {3,10} 1 / 2 t 2 (5,3,3) | h 2 {10,3} t 0,2 (5,3,3) | t{3,10} 1 / 2 t 0,1,2 (5,3,3) | ส{3,10} 1 / 2 ht 0,1,2 (5,3,3) | ||||
| คู่ที่สม่ำเสมอ | |||||||||||
 |  | ||||||||||
| V(3.5) 3 | เวอร์ชัน 3.10.3.10 | V(3.5) 3 | เวอร์ชัน 3.6.5.6 | V(3.3) 5 | เวอร์ชัน 3.6.5.6 | เวอร์ชัน 6.6.10 | วี.3.3.3.3.3.5 | ||||
(5 4 3)
กลุ่มสามเหลี่ยม(5 4 3) กลุ่ม Coxeter [ (5,4,3)] ออร์บิโฟลด์ (*543) ประกอบด้วยการปูพื้นแบบสม่ำเสมอเหล่านี้
| (5,4,3) การปูกระเบื้องแบบสม่ำเสมอ | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| สมมาตร: [(5,4,3)], (*543) | [(5,4,3)] + , (543) | ||||||||||
 | | | | | | | | ||||
 |  |  |  |  |  |  |  | ||||
| t 0 (5,4,3) (5,4,3) | t 0,1 (5,4,3) r(3,5,4) | t 1 (5,4,3) (4,3,5) | t 1,2 (5,4,3) r(5,4,3) | t 2 (5,4,3) (3,5,4) | t 0,2 (5,4,3) r(4,3,5) | t 0,1,2 (5,4,3) t(5,4,3) | s(5,4,3) | ||||
| คู่ที่สม่ำเสมอ | |||||||||||
 | |||||||||||
| V(3.5) 4 | เวอร์ชัน 3.10.4.10 | V(4.5) 3 | เวอร์ชัน 3.8.5.8 | V(3.4) 5 | วี.4.6.5.6 | เวอร์ชัน 6.8.10 | วี3.5.3.4.3.3 | ||||
(5 4 4)
กลุ่มสามเหลี่ยม(5 4 4) กลุ่ม Coxeter [ (5,4,4)] ออร์บิโฟลด์ (*544) ประกอบด้วยการปูพื้นแบบสม่ำเสมอเหล่านี้
| การปูพื้นแบบสม่ำเสมอ (5,4,4) | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| สมมาตร: [(5,4,4)] (*544) | [(5,4,4)] + (544) | [(5 + ,4,4)] (5*22) | [(5,4,1 + ,4)] (*5222) | ||||||||
| | | | | | | | | | ||
| | | | | | | | | | ||
 |  |  |  |  |  |  |  | ||||
| t 0 (5,4,4) h{10,4} | t 0,1 (5,4,4) r{4,10} 1 / 2 | t 1 (5,4,4) h{10,4} | t 1,2 (5,4,4) h 2 {10,4} | t 2 (5,4,4) {4,10} 1 / 2 | t 0,2 (5,4,4) h 2 {10,4} | t 0,1,2 (5,4,4) t{4,10} 1 / 2 | s(4,5,4) s{4,10} 1 / 2 | h(4,5,4) h{4,10} 1 / 2 | hr(4,5,4) hr{4,10} 1 / 2 | ||
| คู่ที่สม่ำเสมอ | |||||||||||
 |  |  | |||||||||
| V(4.5) 4 | เวอร์ชัน 4.10.4.10 | V(4.5) 4 | เวอร์ชัน 4.8.5.8 | V(4.4) 5 | เวอร์ชัน 4.8.5.8 | เวอร์ชัน 8.8.10 | วี3.4.3.4.3.5 | วี10 10 | V(4.4.5) 2 | ||
(6 3 3)
กลุ่มสามเหลี่ยม(6 3 3) กลุ่ม Coxeter [ (6,3,3)] ออร์บิโฟลด์ (*633) ประกอบด้วยการปูพื้นแบบสม่ำเสมอเหล่านี้
| การปูพื้นแบบสม่ำเสมอ (6,3,3) | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| สมมาตร: [(6,3,3)], (*633) | [(6,3,3)] + , (633) | ||||||||||
 | | | | | | | | ||||
 | | | | | | | | ||||
 |  |  |  |  |  |  |  | ||||
| t 0 {(6,3,3)} h{12,3} | t 0,1 {(6,3,3)} r{3,12} 1 / 2 | t 1 {(6,3,3)} h{12,3} | t 1,2 {(6,3,3)} h 2 {12,3} | t 2 {(6,3,3)} {3,12} 1 / 2 | t 0,2 {(6,3,3)} h 2 {12,3} | t 0,1,2 {(6,3,3)} t{3,12} 1 / 2 | s{(6,3,3)} s{3,12} 1 / 2 | ||||
| คู่ที่สม่ำเสมอ | |||||||||||
 |  | ||||||||||
| V(3.6) 3 | เวอร์ชัน 3.12.3.12 | V(3.6) 3 | เวอร์ชัน 3.6.6.6 | V(3.3) 6 {12,3} | เวอร์ชัน 3.6.6.6 | เวอร์ชัน 6.6.12 | วี.3.3.3.3.3.6 | ||||
(6 4 3)
กลุ่มสามเหลี่ยม(6 4 3) กลุ่ม Coxeter [ (6,4,3)] ออร์บิโฟลด์ (*643) ประกอบด้วยการปูพื้นแบบสม่ำเสมอเหล่านี้
| (6,4,3) การปูกระเบื้องแบบสม่ำเสมอ | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| สมมาตร: [(6,4,3)] (*643) | [(6,4,3)] + (643) | [(6,1 + ,4,3)] (*3332) | [(6,4,3 + )] (3*32) | ||||||
 | | | | | | | | = | |
 |  |  |  |  |  |  |  | ||
| t 0 {(6,4,3)} | t 0,1 {(6,4,3)} | t 1 {(6,4,3)} | t 1,2 {(6,4,3)} | t 2 {(6,4,3)} | t 0,2 {(6,4,3)} | t 0,1,2 {(6,4,3)} | s{(6,4,3)} | h{(6,4,3)} | hr{(6,4,3)} |
| คู่ที่สม่ำเสมอ | |||||||||
 |  |  | |||||||
| V(3.6) 4 | เวอร์ชัน 3.12.4.12 | V(4.6) 3 | เวอร์ชัน 3.8.6.8 | V(3.4) 6 | วี4.6.6.6 | เวอร์ชัน 6.8.12 | วี3.6.3.4.3.3 | V(3.6.6) 3 | V4.(3.4) 3 |
(6 4 4)
กลุ่มสามเหลี่ยม(6 4 4) กลุ่ม Coxeter [ (6,4,4)] ออร์บิโฟลด์ (*644) ประกอบด้วยการปูพื้นแบบสม่ำเสมอเหล่านี้
| การปูกระเบื้องแบบสม่ำเสมอ 6-4-4 | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| สมมาตร : [(6,4,4)], (*644) | (644) | ||||||
| | | | | | | |
 |  |  |  |  |  |  |  |
| (6,4,4) h{12,4} | t 0,1 (6,4,4) r{4,12} 1 / 2 | t 1 (6,4,4) h{12,4} | t 1,2 (6,4,4) h 2 {12,4} | t 2 (6,4,4) {4,12} 1 / 2 | t 0,2 (6,4,4) h 2 {12,4} | t 0,1,2 (6,4,4) t{4,12} 1 / 2 | s(6,4,4) s{4,12} 1 / 2 |
| คู่ที่สม่ำเสมอ | |||||||
 |  |  |  |  |  |  | |
| V(4.6) 4 | V(4.12) 2 | V(4.6) 4 | วี4.8.6.8 | วี4 12 | วี4.8.6.8 | ว.8.8.12 | วี4.3.4.3.6.3 |
สรุปการปูพื้นด้วยโดเมนพื้นฐานรูปสามเหลี่ยมจำกัด
- อ้างอิง: แม่แบบ: ตารางการปูพื้นสามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิกแบบจำกัด
โดเมนรูปสี่เหลี่ยม
(3 2 2 2)
โดเมนพื้นฐานรูปสี่เหลี่ยมยังมีอยู่ในระนาบไฮเปอร์โบลิก โดยมีออร์บิโฟลด์*3222 (สัญกรณ์ Coxeter [∞,3,∞]) เป็นตระกูลที่เล็กที่สุด มีตำแหน่งการสร้าง 9 ตำแหน่งสำหรับการปูพื้นแบบสม่ำเสมอภายในโดเมนรูปสี่เหลี่ยม รูปทรงจุดยอดสามารถดึงออกมาจากโดเมนพื้นฐานได้ 3 กรณี (1) มุม (2) ขอบกลาง และ (3) จุดศูนย์กลาง เมื่อจุดสร้างเป็นมุมที่อยู่ติดกับมุมลำดับที่ 2 จะมี หน้า ไดกอน {2} ที่เสื่อม สภาพอยู่ที่มุมเหล่านั้น แต่สามารถละเลยได้ การปูพื้นแบบสม่ำเสมอ แบบ Snubและแบบสลับกันก็สามารถสร้างได้เช่นกัน (ไม่ได้แสดงไว้) หากรูปทรงจุดยอดมีเฉพาะหน้าที่มีด้านเป็นเลขคู่เท่านั้น
แผนภาพ Coxeterของโดเมนรูปสี่เหลี่ยมจะถูกมองว่าเป็น กราฟ ทรงสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่าแบบ เสื่อม สภาพ โดยมีขอบ 2 ใน 6 ขอบที่ระบุว่าเป็นอนันต์ หรือเป็นเส้นประ ข้อกำหนดเชิงตรรกะที่ว่าอย่างน้อยหนึ่งในสองกระจกขนานต้องทำงานอยู่ จะจำกัดกรณีที่เป็นแบบสม่ำเสมอไว้ที่ 9 กรณี และรูปแบบวงแหวนอื่นๆ จะไม่ถูกต้อง
| การปูพื้นแบบสม่ำเสมอในสมมาตร *3222 | ||||
|---|---|---|---|---|
6 4 |  6.6.4.4 |  (3.4.4) 2 | 4.3.4.3.3.3 | |
6.6.4.4 | 6.4.4.4 | 3.4.4.4.4 | ||
| (3.4.4) 2 | 3.4.4.4.4 | 4 6 | ||
(3 2 3 2)
| การปูพื้น H2 ที่คล้ายกันในสมมาตร *3232 | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| แผนภาพค็อกซ์ เตอร์ | | | | | ||||
 | | | | | | | | |
| | | | |||||
| รูปจุดยอด | 6 6 | (3.4.3.4) 2 | 3.4.6.6.4 | 6.4.6.4 | ||||
| ภาพ |  |  | |  | ||||
| สองชั้น |  | | ||||||
โดเมนสามเหลี่ยมในอุดมคติ
มี ตระกูล กลุ่มสามเหลี่ยม จำนวนอนันต์ รวมถึงลำดับอนันต์ บทความนี้แสดงการปูพื้นแบบสม่ำเสมอใน 9 ตระกูล ได้แก่ (∞ 3 2), (∞ 4 2), (∞ ∞ 2), (∞ 3 3), (∞ 4 3), (∞ 4 4), (∞ ∞ 3), (∞ ∞ 4) และ (∞ ∞ ∞)
(∞ 3 2)
กลุ่มสามเหลี่ยมอุดมคติ (∞ 3 2) กลุ่ม Coxeter [ ∞,3] ออร์บิโฟลด์ (*∞32) ประกอบด้วยการปูพื้นแบบสม่ำเสมอเหล่านี้:
| การปูพื้นแบบสม่ำเสมอแบบพาราคอมแพ็กต์ในตระกูล [∞,3] | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| สมมาตร: [∞,3], (*∞32) | [∞,3] + (∞32) | [1 + ,∞,3] (*∞33) | [∞,3 + ] (3*∞) | |||||||
| | | | | | | | | | |
= | = | = | | =หรือ | =หรือ | = | ||||
|  |  |  | |  |  |  |  |  | |
| {∞,3} | t{∞,3} | r{∞,3} | t{3,∞} | {3,∞} | rr{∞,3} | tr{∞,3} | sr{∞,3} | h{∞,3} | h 2 {∞,3} | s{3,∞} |
| คู่ที่สม่ำเสมอ | ||||||||||
| | | | | | | | | | |
|  |  |  | |  |  |  |  | ||
| วี∞ 3 | V3.∞.∞ | V(3.∞) 2 | V6.6.∞ | V3 ∞ | V4.3.4.∞ | V4.6.∞ | V3.3.3.3.∞ | V(3.∞) 3 | V3.3.3.3.3.∞ | |
(∞ 4 2)
กลุ่มสามเหลี่ยมอุดมคติ (∞ 4 2) กลุ่ม Coxeter [ ∞,4] ออร์บิโฟลด์ (*∞42) ประกอบด้วยการปูพื้นแบบสม่ำเสมอเหล่านี้:
| การปูพื้นแบบสม่ำเสมอแบบพาราคอมแพ็กต์ในตระกูล [∞,4] | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| | | | | | | |
 |  |  |  |  |  |  | |
| {∞,4} | t{∞,4} | r{∞,4} | 2t{∞,4}=t{4,∞} | 2r{∞,4}={4,∞} | rr{∞,4} | tr{∞,4} | |
| ตัวเลขคู่ | |||||||
| | | | | | | |
 |  |  |  |  |  |  | |
| วี∞ 4 | V4.∞.∞ | V(4.∞) 2 | V8.8.∞ | V4 ∞ | V4 3 .∞ | V4.8.∞ | |
| การสลับเปลี่ยน | |||||||
| [1 + ,∞,4] (*44∞) | [∞ + ,4] (∞*2) | [∞,1 + ,4] (*2∞2∞) | [∞,4 + ] (4*∞) | [∞,4,1 + ] (*∞∞2) | [(∞,4,2 + )] (2*2∞) | [∞,4] + (∞42) | |
| = | | | | = | | | |
| h{∞,4} | s{∞,4} | hr{∞,4} | s{4,∞} | h{4,∞} | hrr{∞,4} | s{∞,4} | |
 |  |  |  | ||||
| คู่สลับ | |||||||
| | | | | | | |
 |  | ||||||
| V(∞.4) 4 | V3.(3.∞) 2 | V(4.∞.4) 2 | V3.∞.(3.4) 2 | วี∞ ∞ | V∞.4 4 | V3.3.4.3.∞ | |
(∞ 5 2)
กลุ่มสามเหลี่ยมอุดมคติ(∞ 5 2) กลุ่ม Coxeter [ ∞,5] ออร์บิโฟลด์ (*∞52) ประกอบด้วยการปูพื้นแบบสม่ำเสมอเหล่านี้:
| การปูพื้นแบบพาราคอมแพคต์สม่ำเสมอรูปทรงเอปิโรโกนัล/เพนทาโกนัล | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| สมมาตร: [∞,5], (*∞52) | [∞,5] + (∞52) | [1 + ,∞,5] (*∞55) | [∞,5 + ] (5*∞) | ||||||||
| | | | | | | | | | | |
|  |  |  | |  |  |  |  | |||
| {∞,5} | t{∞,5} | r{∞,5} | 2t{∞,5}=t{5,∞} | 2r{∞,5}={5,∞} | rr{∞,5} | tr{∞,5} | sr{∞,5} | h{∞,5} | h 2 {∞,5} | s{5,∞} | |
| คู่ที่สม่ำเสมอ | |||||||||||
| | | | | | | | | | | |
 |  | |  | ||||||||
| V∞ 5 | V5.∞.∞ | V5.∞.5.∞ | V∞.10.10 | V5 ∞ | V4.5.4.∞ | V4.10.∞ | V3.3.5.3.∞ | V(∞.5) 5 | V3.5.3.5.3.∞ | ||
(∞ ∞ 2)
กลุ่มสามเหลี่ยมอุดมคติ(∞ ∞ 2) กลุ่ม Coxeter [ ∞,∞] ออร์บิโฟลด์ (*∞∞2) ประกอบด้วยการปูพื้นแบบสม่ำเสมอเหล่านี้:
| การปูพื้นแบบสม่ำเสมอแบบพาราคอมแพ็กต์ในตระกูล [∞,∞] | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| == | == | == | == | == | = | = |
|  |  |  | |  |  |
| {∞,∞} | t{∞,∞} | r{∞,∞} | 2t{∞,∞}=t{∞,∞} | 2r{∞,∞}={∞,∞} | rr{∞,∞} | tr{∞,∞} |
| กระเบื้องคู่ | ||||||
| | | | | | |
 |  |  |  |  |  |  |
| วี∞ ∞ | V∞.∞.∞ | V(∞.∞) 2 | V∞.∞.∞ | วี∞ ∞ | V4.∞.4.∞ | V4.4.∞ |
| การสลับเปลี่ยน | ||||||
| [1 + ,∞,∞] (*∞∞2) | [∞ + ,∞] (∞*∞) | [∞,1 + ,∞] (*∞∞∞∞) | [∞,∞ + ] (∞*∞) | [∞,∞,1 + ] (*∞∞2) | [(∞,∞,2 + )] (2*∞∞) | [∞,∞] + (2∞∞) |
| | | | | | |
|  | |  | |  | |
| h{∞,∞} | s{∞,∞} | hr{∞,∞} | s{∞,∞} | h 2 {∞,∞} | hrr{∞,∞} | sr{∞,∞} |
| คู่สลับ | ||||||
| | | | | | |
| | |  | |||
| V(∞.∞) ∞ | V(3.∞) 3 | V(∞.4) 4 | V(3.∞) 3 | วี∞ ∞ | V(4.∞.4) 2 | V3.3.∞.3.∞ |
(∞ 3 3)
กลุ่มสามเหลี่ยมอุดมคติ(∞ 3 3) กลุ่ม Coxeter [(∞,3,3)] ออร์บิโฟลด์ (*∞33) ประกอบด้วยการปูพื้นแบบสม่ำเสมอเหล่านี้
| การปูพื้นแบบเอกรูปไฮเปอร์โบลิกแบบพาราคอมแพ็กต์ในตระกูล [(∞,3,3)] | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| สมมาตร: [(∞,3,3)], (*∞33) | [(∞,3,3)] + , (∞33) | ||||||||||
| | | | | | | | ||||
| | | | | | | | ||||
|  | |  |  |  |  |  | ||||
| (∞,∞,3) | t 0,1 (∞,3,3) | t 1 (∞,3,3) | t 1,2 (∞,3,3) | t 2 (∞,3,3) | t 0,2 (∞,3,3) | t 0,1,2 (∞,3,3) | s(∞,3,3) | ||||
| กระเบื้องคู่ | |||||||||||
| | | | | | | | ||||
| | | | | | | | ||||
 |  | ||||||||||
| V(3.∞) 3 | V3.∞.3.∞ | V(3.∞) 3 | V3.6.∞.6 | V(3.3) ∞ | V3.6.∞.6 | V6.6.∞ | V3.3.3.3.3.∞ | ||||
(∞ 4 3)
กลุ่มสามเหลี่ยมอุดมคติ(∞ 4 3) กลุ่ม Coxeter [ (∞,4,3)] ออร์บิโฟลด์ (*∞43) ประกอบด้วยการปูพื้นแบบสม่ำเสมอเหล่านี้:
| การปูพื้นแบบเอกรูปไฮเปอร์โบลิกแบบพาราคอมแพ็กต์ในตระกูล [(∞,4,3)] | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| สมมาตร: [(∞,4,3)] (*∞43) | [(∞,4,3)] + (∞43) | [(∞,4,3 + )] (3*4∞) | [(∞,1 + ,4,3)] (*∞323) | ||||||||
 | | | | | | | | | = | ||
 |  |  |  |  |  |  |  | ||||
| (∞,4,3) | t 0,1 (∞,4,3) | t 1 (∞,4,3) | t 1,2 (∞,4,3) | t 2 (∞,4,3) | t 0,2 (∞,4,3) | t 0,1,2 (∞,4,3) | s(∞,4,3) | ht 0,2 (∞,4,3) | ht 1 (∞,4,3) | ||
| กระเบื้องคู่ | |||||||||||
 |  |  | |||||||||
| V(3.∞) 4 | V3.∞.4.∞ | V(4.∞) 3 | V3.8.∞.8 | V(3.4) ∞ | 4.6.∞.6 | V6.8.∞ | V3.3.3.4.3.∞ | V(4.3.4) 2 .∞ | V(6.∞.6) 3 | ||
(∞ 4 4)
กลุ่มสามเหลี่ยมอุดมคติ(∞ 4 4) กลุ่ม Coxeter [ (∞,4,4)] ออร์บิโฟลด์ (*∞44) ประกอบด้วยการปูพื้นแบบสม่ำเสมอเหล่านี้
| การปูพื้นแบบเอกรูปไฮเปอร์โบลิกแบบพาราคอมแพ็กต์ในตระกูล [(4,4,∞)] | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| สมมาตร: [(4,4,∞)], (*44∞) | (44∞) | ||||||||||
| | | | | | | | ||||
|  |  |  |  |  |  | | ||||
| (4,4,∞) h{∞,4} | t 0,1 (4,4,∞) r{4,∞} 1 / 2 | t 1 (4,4,∞) h{4,∞} 1 / 2 | t 1,2 (4,4,∞) h 2 {∞,4} | t 2 (4,4,∞) {4,∞} 1 / 2 | t 0,2 (4,4,∞) h 2 {∞,4} | t 0,1,2 (4,4,∞) t{4,∞} 1 / 2 | s(4,4,∞) s{4,∞} 1 / 2 | ||||
| กระเบื้องคู่ | |||||||||||
|  |  |  |  |  |  | |||||
| V(4.∞) 4 | V4.∞.4.∞ | V(4.∞) 4 | V4.8.∞.8; | V4 ∞ | V4.8.∞.8; | V8.8.∞ | V3.4.3.4.3.∞ | ||||
(∞ ∞ 3)
กลุ่มสามเหลี่ยมอุดมคติ(∞ ∞ 3) กลุ่ม Coxeter [ (∞,∞,3)] ออร์บิโฟลด์ (*∞∞3) ประกอบด้วยการปูพื้นแบบสม่ำเสมอเหล่านี้
| การปูพื้นแบบเอกรูปไฮเปอร์โบลิกแบบพาราคอมแพ็กต์ในตระกูล [(∞,∞,3)] | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| สมมาตร: [(∞,∞,3)], (*∞∞3) | [(∞,∞,3)] + (∞∞3) | [(∞,∞,3 + )] (3*∞∞) | [(∞,1 + ,∞,3)] (*∞3∞3) | ||||||
| | | | | | | | | = |
| | | | | | | | | |
 |  |  |  |  |  |  |  |  | |
| (∞,∞,3) h{6,∞} | t 0,1 (∞,∞,3) h 2 {6,∞} | t 1 (∞,∞,3) {∞,6} 1 / 2 | t 1,2 (∞,∞,3) h 2 {6,∞} | t 2 (∞,∞,3) h{6,∞} | t 0,2 (∞,∞,3) r{∞,6} 1 / 2 | t 0,1,2 (∞,∞,3) t{∞,6} 1 / 2 | s(∞,∞,3) s{∞,6} 1 / 2 | ชม. 0,2 (∞,∞,3) ชม .{∞,6} 1 / 2 | ชม. 1 (∞,∞,3) ชม .{∞,6} 1 / 2 |
| กระเบื้องคู่ | |||||||||
 |  |  |  | ||||||
| V(3.∞) ∞ | V3.∞.∞.∞ | V(∞.∞) 3 | V3.∞.∞.∞ | V(3.∞) ∞ | V(6.∞) 2 | V6.∞.∞ | V3.∞.3.∞.3.3 | V(3.4.∞.4) 2 | V(∞.6) 6 |
(∞ ∞ 4)
กลุ่มสามเหลี่ยมอุดมคติ(∞ ∞ 4) กลุ่ม Coxeter [ (∞,∞,4)] ออร์บิโฟลด์ (*∞∞4) ประกอบด้วยการปูพื้นแบบสม่ำเสมอเหล่านี้
| การปูพื้นแบบเอกรูปไฮเปอร์โบลิกแบบพาราคอมแพ็กต์ในตระกูล [(∞,∞,4)] | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| สมมาตร: [(∞,∞,4)], (*∞∞4) | ||||||
| | | | | | |
| | | | | | |
 |  |  |  |  |  |  |
| (∞,∞,4) h{8,∞} | t 0,1 (∞,∞,4) h 2 {8,∞} | t 1 (∞,∞,4) {∞,8} | t 1,2 (∞,∞,4) h 2 {∞,8} | t 2 (∞,∞,4) h{8,∞} | t 0,2 (∞,∞,4) r{∞,8} | t 0,1,2 (∞,∞,4) t{∞,8} |
| กระเบื้องคู่ | ||||||
 |  |  |  |  |  |  |
| V(4.∞) ∞ | V∞.∞.∞.4 | วี∞ 4 | V∞.∞.∞.4 | V(4.∞) ∞ | V∞.∞.∞.4 | V∞.∞.8 |
| การสลับเปลี่ยน | ||||||
| [(1 + ,∞,∞,4)] (*2∞∞∞) | [(∞ + ,∞,4)] (∞*2∞) | [(∞,1 + ,∞,4)] (*2∞∞∞) | [(∞,∞ + ,4)] (∞*2∞) | [(∞,∞,1 + ,4)] (*2∞∞∞) | [(∞,∞,4 + )] (2*∞∞) | [(∞,∞,4)] + (4∞∞) |
| | | | | | |
 | | |  | | | |
| | | | |||
| คู่สลับ | ||||||
| | | ||||
| วี∞ ∞ | V∞.4 4 | V(∞.4) 4 | V∞.4 4 | วี∞ ∞ | V∞.4 4 | V3.∞.3.∞.3.4 |
(∞ ∞ ∞)
กลุ่มสามเหลี่ยมในอุดมคติ(∞ ∞ ∞) กลุ่มค็อกซ์เตอร์ [ (∞,∞,∞)] ออร์บิโฟลด์ (*∞∞∞) ประกอบด้วยการปูพื้นแบบสม่ำเสมอเหล่านี้
| การปูพื้นแบบสม่ำเสมอแบบพาราคอมแพ็กต์ในตระกูล [(∞,∞,∞)] | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| | | | | | |
| | | | | | |
 |  |  |  |  |  |  |
| (∞,∞,∞) h{∞,∞} | r(∞,∞,∞) h 2 {∞,∞} | (∞,∞,∞) h{∞,∞} | r(∞,∞,∞) h 2 {∞,∞} | (∞,∞,∞) h{∞,∞} | r(∞,∞,∞) r{∞,∞} | t(∞,∞,∞) t{∞,∞} |
| กระเบื้องคู่ | ||||||
 |  |  |  |  |  |  |
| วี∞ ∞ | V∞.∞.∞.∞ | วี∞ ∞ | V∞.∞.∞.∞ | วี∞ ∞ | V∞.∞.∞.∞ | V∞.∞.∞ |
| การสลับเปลี่ยน | ||||||
| [(1 + ,∞,∞,∞)] (*∞∞∞∞) | [∞ + ,∞,∞)] (∞*∞) | [∞,1 + ,∞,∞)] (*∞∞∞∞) | [∞,∞ + ,∞)] (∞*∞) | [(∞,∞,∞,1 + )] (*∞∞∞∞) | [(∞,∞,∞ + )] (∞*∞) | [∞,∞,∞)] + (∞∞∞) |
| | | | | | |
| | | | | |  |
| คู่สลับ | ||||||
| | | | | | |
| V(∞.∞) ∞ | V(∞.4) 4 | V(∞.∞) ∞ | V(∞.4) 4 | V(∞.∞) ∞ | V(∞.4) 4 | V3.∞.3.∞.3.∞ |
สรุปการปูพื้นด้วยโดเมนพื้นฐานรูปสามเหลี่ยมอนันต์
สำหรับตารางของการปูพื้นไฮเปอร์โบลิกแบบสม่ำเสมอทั้งหมดที่มีโดเมนพื้นฐาน ( pqr ) โดยที่ 2 ≤ p , q , r ≤ 8 และหนึ่งหรือมากกว่าเป็น ∞
| การปูพื้นสามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิกแบบอนันต์ | |||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| (pqr) | t0 | h0 | t01 | h01 | t1 | เอช1 | ที12 | 12 ชั่วโมง | ที2 | เอช2 | t02 | h02 | t012 | ส | |||||
| (∞ 3 2) | t 0 {∞,3} ∞ 3 | h 0 {∞,3} (3.∞) 3 | t 01 {∞,3} ∞.3.∞ | t 1 {∞,3} (3.∞) 2 | t 12 {∞,3} 6.∞.6 | h 12 {∞,3} 3.3.3.∞.3.3 | t 2 {∞,3} 3 ∞ | t 02 {∞,3} 3.4.∞.4 | t 012 {∞,3} 4.6.∞ | s{∞,3} 3.3.3.3.∞ | |||||||||
 (∞ 4 2) | t 0 {∞,4} ∞ 4 | h 0 {∞,4} (4.∞) 4 | t 01 {∞,4} ∞.4.∞ | h 01 {∞,4} 3.∞.3.3.∞ | t 1 {∞,4} (4.∞) 2 | h 1 {∞,4} (4.4.∞) 2 | t 12 {∞,4} 8.∞.8 | h 12 {∞,4} 3.4.3.∞.3.4 | t 2 {∞,4} 4 ∞ | h 2 {∞,4} ∞ ∞ | t 02 {∞,4} 4.4.∞.4 | h 02 {∞,4} 4.4.4.∞.4 | t 012 {∞,4} 4.8.∞ | s{∞,4} 3.3.4.3.∞ | |||||
| (∞ 5 2) | t 0 {∞,5} ∞ 5 | h 0 {∞,5} (5.∞) 5 | t 01 {∞,5} ∞.5.∞ | t 1 {∞,5} (5.∞) 2 | t 12 {∞,5} 10.∞.10 | h 12 {∞,5} 3.5.3.∞.3.5 | t 2 {∞,5} 5 ∞ | t 02 {∞,5} 5.4.∞.4 | t 012 {∞,5} 4.10.∞ | s{∞,5} 3.3.5.3.∞ | |||||||||
 (∞ 6 2) | t 0 {∞,6} ∞ 6 | h 0 {∞,6} (6.∞) 6 | t 01 {∞,6} ∞.6.∞ | h 01 {∞,6} 3.∞.3.3.3.∞ | t 1 {∞,6} (6.∞) 2 | h 1 {∞,6} (4.3.4.∞) 2 | t 12 {∞,6} 12.∞.12 | h 12 {∞,6} 3.6.3.∞.3.6 | t 2 {∞,6} 6 ∞ | h 2 {∞,6} (∞.3) ∞ | t 02 {∞,6} 6.4.∞.4 | h 02 {∞,6} 4.3.4.4.∞.4 | t 012 {∞,6} 4.12.∞ | s{∞,6} 3.3.6.3.∞ | |||||
 (∞ 7 2) | t 0 {∞,7} ∞ 7 | h 0 {∞,7} (7.∞) 7 | t 01 {∞,7} ∞.7.∞ | t 1 {∞,7} (7.∞) 2 | t 12 {∞,7} 14.∞.14 | h 12 {∞,7} 3.7.3.∞.3.7 | t 2 {∞,7} 7 ∞ | t 02 {∞,7} 7.4.∞.4 | t 012 {∞,7} 4.14.∞ | s{∞,7} 3.3.7.3.∞ | |||||||||
 (∞ 8 2) | t 0 {∞,8} ∞ 8 | h 0 {∞,8} (8.∞) 8 | t 01 {∞,8} ∞.8.∞ | h 01 {∞,8} 3.∞.3.4.3.∞ | t 1 {∞,8} (8.∞) 2 | h 1 {∞,8} (4.4.4.∞) 2 | t 12 {∞,8} 16.∞.16 | h 12 {∞,8} 3.8.3.∞.3.8 | t 2 {∞,8} 8 ∞ | h 2 {∞,8} (∞.4) ∞ | t 02 {∞,8} 8.4.∞.4 | h 02 {∞,8} 4.4.4.4.∞.4 | t 012 {∞,8} 4.16.∞ | s{∞,8} 3.3.8.3.∞ | |||||
 (∞ ∞ 2) | t 0 {∞,∞} ∞ ∞ | h 0 {∞,∞} (∞.∞) ∞ | t 01 {∞,∞} ∞.∞.∞ | h 01 {∞,∞} 3.∞.3.∞.3.∞ | t 1 {∞,∞} ∞ 4 | h 1 {∞,∞} (4.∞) 4 | t 12 {∞,∞} ∞.∞.∞ | h 12 {∞,∞} 3.∞.3.∞.3.∞ | t 2 {∞,∞} ∞ ∞ | h 2 {∞,∞} (∞.∞) ∞ | t 02 {∞,∞} (∞.4) 2 | h 02 {∞,∞} (4.∞.4) 2 | t 012 {∞,∞} 4.∞.∞ | s{∞,∞} 3.3.∞.3.∞ | |||||
| (∞ 3 3) | t 0 (∞,3,3) (∞.3) 3 | t 01 (∞,3,3) (3.∞) 2 | t 1 (∞,3,3) (3.∞) 3 | t 12 (∞,3,3) 3.6.∞.6 | t 2 (∞,3,3) 3 ∞ | t 02 (∞,3,3) 3.6.∞.6 | t 012 (∞,3,3) 6.6.∞ | s(∞,3,3) 3.3.3.3.3.3.∞ | |||||||||||
 (∞ 4 3) | t 0 (∞,4,3) (∞.3) 4 | t 01 (∞,4,3) 3.∞.4.∞ | t 1 (∞,4,3) (4.∞) 3 | h 1 (∞,4,3) (6.6.∞) 3 | t 12 (∞,4,3) 3.8.∞.8 | t 2 (∞,4,3) (4.3) ∞ | t 02 (∞,4,3) 4.6.∞.6 | h 02 (∞,4,3) 4.4.3.4.∞.4.3 | t 012 (∞,4,3) 6.8.∞ | s(∞,4,3) 3.3.3.4.3.∞ | |||||||||
 (∞ 5 3) | t 0 (∞,5,3) (∞.3) 5 | t 01 (∞,5,3) 3.∞.5.∞ | t 1 (∞,5,3) (5.∞) 3 | t 12 (∞,5,3) 3.10.∞.10 | t 2 (∞,5,3) (5.3) ∞ | t 02 (∞,5,3) 5.6.∞.6 | t 012 (∞,5,3) 6.10.∞ | s(∞,5,3) 3.3.3.5.3.∞ | |||||||||||
 (∞ 6 3) | t 0 (∞,6,3) (∞.3) 6 | t 01 (∞,6,3) 3.∞.6.∞ | t 1 (∞,6,3) (6.∞) 3 | h 1 (∞,6,3) (6.3.6.∞) 3 | t 12 (∞,6,3) 3.12.∞.12 | t 2 (∞,6,3) (6.3) ∞ | t 02 (∞,6,3) 6.6.∞.6 | h 02 (∞,6,3) 4.3.4.3.4.∞.4.3 | t 012 (∞,6,3) 6.12.∞ | s(∞,6,3) 3.3.3.6.3.∞ | |||||||||
 (∞ 7 3) | t 0 (∞,7,3) (∞.3) 7 | t 01 (∞,7,3) 3.∞.7.∞ | t 1 (∞,7,3) (7.∞) 3 | t 12 (∞,7,3) 3.14.∞.14 | t 2 (∞,7,3) (7.3) ∞ | t 02 (∞,7,3) 7.6.∞.6 | t 012 (∞,7,3) 6.14.∞ | s(∞,7,3) 3.3.3.7.3.∞ | |||||||||||
 (∞ 8 3) | t 0 (∞,8,3) (∞.3) 8 | t 01 (∞,8,3) 3.∞.8.∞ | t 1 (∞,8,3) (8.∞) 3 | h 1 (∞,8,3) (6.4.6.∞) 3 | t 12 (∞,8,3) 3.16.∞.16 | t 2 (∞,8,3) (8.3) ∞ | t 02 (∞,8,3) 8.6.∞.6 | h 02 (∞,8,3) 4.4.4.3.4.∞.4.3 | t 012 (∞,8,3) 6.16.∞ | s(∞,8,3) 3.3.3.8.3.∞ | |||||||||
 (∞ ∞ 3) | t 0 (∞,∞,3) (∞.3) ∞ | t 01 (∞,∞,3) 3.∞.∞.∞ | t 1 (∞,∞,3) ∞ 6 | h 1 (∞,∞,3) (6.∞) 6 | t 12 (∞,∞,3) 3.∞.∞.∞ | t 2 (∞,∞,3) (∞.3) ∞ | t 02 (∞,∞,3) (∞.6) 2 | h 02 (∞,∞,3) (4.∞.4.3) 2 | t 012 (∞,∞,3) 6.∞.∞ | s(∞,∞,3) 3.3.3.∞.3.∞ | |||||||||
 (∞ 4 4) | t 0 (∞,4,4) (∞.4) 4 | h 0 (∞,4,4) (8.∞.8) 4 | t 01 (∞,4,4) (4.∞) 2 | h 01 (∞,4,4) (4.4.∞) 2 | t 1 (∞,4,4) (4.∞) 4 | h 1 (∞,4,4) (8.8.∞) 4 | t 12 (∞,4,4) 4.8.∞.8 | h 12 (∞,4,4) 4.4.4.4.∞.4.4 | t 2 (∞,4,4) 4 ∞ | h 2 (∞,4,4) ∞ ∞ | t 02 (∞,4,4) 4.8.∞.8 | h 02 (∞,4,4) 4.4.4.4.∞.4.4 | t 012 (∞,4,4) 8.8.∞ | s(∞,4,4) 3.4.3.4.3.∞ | |||||
 (∞ 5 4) | t 0 (∞,5,4) (∞.4) 5 | h 0 (∞,5,4) (10.∞.10) 5 | t 01 (∞,5,4) 4.∞.5.∞ | t 1 (∞,5,4) (5.∞) 4 | t 12 (∞,5,4) 4.10.∞.10 | h 12 (∞,5,4) 4.4.5.4.∞.4.5 | t 2 (∞,5,4) (5.4) ∞ | t 02 (∞,5,4) 5.8.∞.8 | t 012 (∞,5,4) 8.10.∞ | s(∞,5,4) 3.4.3.5.3.∞ | |||||||||
 (∞ 6 4) | t 0 (∞,6,4) (∞.4) 6 | h 0 (∞,6,4) (12.∞.12) 6 | t 01 (∞,6,4) 4.∞.6.∞ | h 01 (∞,6,4) 4.4.∞.4.3.4.∞ | t 1 (∞,6,4) (6.∞) 4 | h 1 (∞,6,4) (8.3.8.∞) 4 | t 12 (∞,6,4) 4.12.∞.12 | h 12 (∞,6,4) 4.4.6.4.∞.4.6 | t 2 (∞,6,4) (6.4) ∞ | h 2 (∞,6,4) (∞.3.∞) ∞ | t 02 (∞,6,4) 6.8.∞.8 | h 02 (∞,6,4) 4.3.4.4.4.∞.4.4 | t 012 (∞,6,4) 8.12.∞ | s(∞,6,4) 3.4.3.6.3.∞ | |||||
 (∞ 7 4) | t 0 (∞,7,4) (∞.4) 7 | h 0 (∞,7,4) (14.∞.14) 7 | t 01 (∞,7,4) 4.∞.7.∞ | t 1 (∞,7,4) (7.∞) 4 | t 12 (∞,7,4) 4.14.∞.14 | h 12 (∞,7,4) 4.4.7.4.∞.4.7 | t 2 (∞,7,4) (7.4) ∞ | t 02 (∞,7,4) 7.8.∞.8 | t 012 (∞,7,4) 8.14.∞ | s(∞,7,4) 3.4.3.7.3.∞ | |||||||||
 (∞ 8 4) | t 0 (∞,8,4) (∞.4) 8 | h 0 (∞,8,4) (16.∞.16) 8 | t 01 (∞,8,4) 4.∞.8.∞ | h 01 (∞,8,4) 4.4.∞.4.4.4.∞ | t 1 (∞,8,4) (8.∞) 4 | h 1 (∞,8,4) (8.4.8.∞) 4 | t 12 (∞,8,4) 4.16.∞.16 | h 12 (∞,8,4) 4.4.8.4.∞.4.8 | t 2 (∞,8,4) (8.4) ∞ | h 2 (∞,8,4) (∞.4.∞) ∞ | t 02 (∞,8,4) 8.8.∞.8 | h 02 (∞,8,4) 4.4.4.4.4.∞.4.4 | t 012 (∞,8,4) 8.16.∞ | s(∞,8,4) 3.4.3.8.3.∞ | |||||
 (∞ ∞ 4) | t 0 (∞,∞,4) (∞.4) ∞ | h 0 (∞,∞,4) (∞.∞.∞) ∞ | t 01 (∞,∞,4) 4.∞.∞.∞ | h 01 (∞,∞,4) 4.4.∞.4.∞.4.∞ | t 1 (∞,∞,4) ∞ 8 | h 1 (∞,∞,4) (8.∞) 8 | t 12 (∞,∞,4) 4.∞.∞.∞ | h 12 (∞,∞,4) 4.4.∞.4.∞.4.∞ | t 2 (∞,∞,4) (∞.4) ∞ | h 2 (∞,∞,4) (∞.∞.∞) ∞ | t 02 (∞,∞,4) (∞.8) 2 | h 02 (∞,∞,4) (4.∞.4.4) 2 | t 012 (∞,∞,4) 8.∞.∞ | s(∞,∞,4) 3.4.3.∞.3.∞ | |||||
 (∞ 5 5) | t 0 (∞,5,5) (∞.5) 5 | t 01 (∞,5,5) (5.∞) 2 | t 1 (∞,5,5) (5.∞) 5 | t 12 (∞,5,5) 5.10.∞.10 | t 2 (∞,5,5) 5 ∞ | t 02 (∞,5,5) 5.10.∞.10 | t 012 (∞,5,5) 10.10.∞ | s(∞,5,5) 3.5.3.5.3.∞ | |||||||||||
 (∞ 6 5) | t 0 (∞,6,5) (∞.5) 6 | t 01 (∞,6,5) 5.∞.6.∞ | t 1 (∞,6,5) (6.∞) 5 | h 1 (∞,6,5) (10.3.10.∞) 5 | t 12 (∞,6,5) 5.12.∞.12 | t 2 (∞,6,5) (6.5) ∞ | t 02 (∞,6,5) 6.10.∞.10 | h 02 (∞,6,5) 4.3.4.5.4.∞.4.5 | t 012 (∞,6,5) 10.12.∞ | s(∞,6,5) 3.5.3.6.3.∞ | |||||||||
 (∞ 7 5) | t 0 (∞,7,5) (∞.5) 7 | t 01 (∞,7,5) 5.∞.7.∞ | t 1 (∞,7,5) (7.∞) 5 | t 12 (∞,7,5) 5.14.∞.14 | t 2 (∞,7,5) (7.5) ∞ | t 02 (∞,7,5) 7.10.∞.10 | t 012 (∞,7,5) 10.14.∞ | s(∞,7,5) 3.5.3.7.3.∞ | |||||||||||
 (∞ 8 5) | t 0 (∞,8,5) (∞.5) 8 | t 01 (∞,8,5) 5.∞.8.∞ | t 1 (∞,8,5) (8.∞) 5 | h 1 (∞,8,5) (10.4.10.∞) 5 | t 12 (∞,8,5) 5.16.∞.16 | t 2 (∞,8,5) (8.5) ∞ | t 02 (∞,8,5) 8.10.∞.10 | h 02 (∞,8,5) 4.4.4.5.4.∞.4.5 | t 012 (∞,8,5) 10.16.∞ | s(∞,8,5) 3.5.3.8.3.∞ | |||||||||
 (∞ ∞ 5) | t 0 (∞,∞,5) (∞.5) ∞ | t 01 (∞,∞,5) 5.∞.∞.∞ | t 1 (∞,∞,5) ∞ 10 | h 1 (∞,∞,5) (10.∞) 10 | t 12 (∞,∞,5) 5.∞.∞.∞ | t 2 (∞,∞,5) (∞.5) ∞ | t 02 (∞,∞,5) (∞.10) 2 | h 02 (∞,∞,5) (4.∞.4.5) 2 | t 012 (∞,∞,5) 10.∞.∞ | s(∞,∞,5) 3.5.3.∞.3.∞ | |||||||||
 (∞ 6 6) | t 0 (∞,6,6) (∞.6) 6 | h 0 (∞,6,6) (12.∞.12.3) 6 | t 01 (∞,6,6) (6.∞) 2 | h 01 (∞,6,6) (4.3.4.∞) 2 | t 1 (∞,6,6) (6.∞) 6 | h 1 (∞,6,6) (12.3.12.∞) 6 | t 12 (∞,6,6) 6.12.∞.12 | h 12 (∞,6,6) 4.3.4.6.4.∞.4.6 | t 2 (∞,6,6) 6 ∞ | h 2 (∞,6,6) (∞.3) ∞ | t 02 (∞,6,6) 6.12.∞.12 | h 02 (∞,6,6) 4.3.4.6.4.∞.4.6 | t 012 (∞,6,6) 12.12.∞ | s(∞,6,6) 3.6.3.6.3.∞ | |||||
 (∞ 7 6) | t 0 (∞,7,6) (∞.6) 7 | h 0 (∞,7,6) (14.∞.14.3) 7 | t 01 (∞,7,6) 6.∞.7.∞ | t 1 (∞,7,6) (7.∞) 6 | t 12 (∞,7,6) 6.14.∞.14 | h 12 (∞,7,6) 4.3.4.7.4.∞.4.7 | t 2 (∞,7,6) (7.6) ∞ | t 02 (∞,7,6) 7.12.∞.12 | t 012 (∞,7,6) 12.14.∞ | s(∞,7,6) 3.6.3.7.3.∞ | |||||||||
 (∞ 8 6) | t 0 (∞,8,6) (∞.6) 8 | h 0 (∞,8,6) (16.∞.16.3) 8 | t 01 (∞,8,6) 6.∞.8.∞ | h 01 (∞,8,6) 4.3.4.∞.4.4.4.∞ | t 1 (∞,8,6) (8.∞) 6 | h 1 (∞,8,6) (12.4.12.∞) 6 | t 12 (∞,8,6) 6.16.∞.16 | h 12 (∞,8,6) 4.3.4.8.4.∞.4.8 | t 2 (∞,8,6) (8.6) ∞ | h 2 (∞,8,6) (∞.4.∞.3) ∞ | t 02 (∞,8,6) 8.12.∞.12 | h 02 (∞,8,6) 4.4.4.6.4.∞.4.6 | t 012 (∞,8,6) 12.16.∞ | s(∞,8,6) 3.6.3.8.3.∞ | |||||
 (∞ ∞ 6) | t 0 (∞,∞,6) (∞.6) ∞ | h 0 (∞,∞,6) (∞.∞.∞.3) ∞ | t 01 (∞,∞,6) 6.∞.∞.∞ | h 01 (∞,∞,6) 4.3.4.∞.4.∞.4.∞ | t 1 (∞,∞,6) ∞ 12 | h 1 (∞,∞,6) (12.∞) 12 | t 12 (∞,∞,6) 6.∞.∞.∞ | h 12 (∞,∞,6) 4.3.4.∞.4.∞.4.∞ | t 2 (∞,∞,6) (∞.6) ∞ | h 2 (∞,∞,6) (∞.∞.∞.3) ∞ | t 02 (∞,∞,6) (∞.12) 2 | h 02 (∞,∞,6) (4.∞.4.6) 2 | t 012 (∞,∞,6) 12.∞.∞ | s(∞,∞,6) 3.6.3.∞.3.∞ | |||||
 (∞ 7 7) | t 0 (∞,7,7) (∞.7) 7 | t 01 (∞,7,7) (7.∞) 2 | t 1 (∞,7,7) (7.∞) 7 | t 12 (∞,7,7) 7.14.∞.14 | t 2 (∞,7,7) 7 ∞ | t 02 (∞,7,7) 7.14.∞.14 | t 012 (∞,7,7) 14.14.∞ | s(∞,7,7) 3.7.3.7.3.∞ | |||||||||||
 (∞ 8 7) | t 0 (∞,8,7) (∞.7) 8 | t 01 (∞,8,7) 7.∞.8.∞ | t 1 (∞,8,7) (8.∞) 7 | h 1 (∞,8,7) (14.4.14.∞) 7 | t 12 (∞,8,7) 7.16.∞.16 | t 2 (∞,8,7) (8.7) ∞ | t 02 (∞,8,7) 8.14.∞.14 | h 02 (∞,8,7) 4.4.4.7.4.∞.4.7 | t 012 (∞,8,7) 14.16.∞ | s(∞,8,7) 3.7.3.8.3.∞ | |||||||||
 (∞ ∞ 7) | t 0 (∞,∞,7) (∞.7) ∞ | t 01 (∞,∞,7) 7.∞.∞.∞ | t 1 (∞,∞,7) ∞ 14 | h 1 (∞,∞,7) (14.∞) 14 | t 12 (∞,∞,7) 7.∞.∞.∞ | t 2 (∞,∞,7) (∞.7) ∞ | t 02 (∞,∞,7) (∞.14) 2 | h 02 (∞,∞,7) (4.∞.4.7) 2 | t 012 (∞,∞,7) 14.∞.∞ | s(∞,∞,7) 3.7.3.∞.3.∞ | |||||||||
 (∞ 8 8) | t 0 (∞,8,8) (∞.8) 8 | h 0 (∞,8,8) (16.∞.16.4) 8 | t 01 (∞,8,8) (8.∞) 2 | h 01 (∞,8,8) (4.4.4.∞) 2 | t 1 (∞,8,8) (8.∞) 8 | h 1 (∞,8,8) (16.4.16.∞) 8 | t 12 (∞,8,8) 8.16.∞.16 | h 12 (∞,8,8) 4.4.4.8.4.∞.4.8 | t 2 (∞,8,8) 8 ∞ | h 2 (∞,8,8) (∞.4) ∞ | t 02 (∞,8,8) 8.16.∞.16 | h 02 (∞,8,8) 4.4.4.8.4.∞.4.8 | t 012 (∞,8,8) 16.16.∞ | s(∞,8,8) 3.8.3.8.3.∞ | |||||
 (∞ ∞ 8) | t 0 (∞,∞,8) (∞.8) ∞ | h 0 (∞,∞,8) (∞.∞.∞.4) ∞ | t 01 (∞,∞,8) 8.∞.∞.∞ | h 01 (∞,∞,8) 4.4.4.∞.4.∞.4.∞ | t 1 (∞,∞,8) ∞ 16 | h 1 (∞,∞,8) (16.∞) 16 | t 12 (∞,∞,8) 8.∞.∞.∞ | h 12 (∞,∞,8) 4.4.4.∞.4.∞.4.∞ | t 2 (∞,∞,8) (∞.8) ∞ | h 2 (∞,∞,8) (∞.∞.∞.4) ∞ | t 02 (∞,∞,8) (∞.16) 2 | h 02 (∞,∞,8) (4.∞.4.8) 2 | t 012 (∞,∞,8) 16.∞.∞ | s(∞,∞,8) 3.8.3.∞.3.∞ | |||||
 (∞ ∞ ∞) | t 0 (∞,∞,∞) ∞ ∞ | h 0 (∞,∞,∞) (∞.∞) ∞ | t 01 (∞,∞,∞) (∞.∞) 2 | h 01 (∞,∞,∞) (4.∞.4.∞) 2 | t 1 (∞,∞,∞) ∞ ∞ | h 1 (∞,∞,∞) (∞.∞) ∞ | t 12 (∞,∞,∞) (∞.∞) 2 | h 12 (∞,∞,∞) (4.∞.4.∞) 2 | t 2 (∞,∞,∞) ∞ ∞ | h 2 (∞,∞,∞) (∞.∞) ∞ | t 02 (∞,∞,∞) (∞.∞) 2 | h 02 (∞,∞,∞) (4.∞.4.∞) 2 | t 012 (∞,∞,∞) ∞ 3 | s(∞,∞,∞) (3.∞) 3 | |||||
ลิงก์ภายนอก
- แฮทช์, ดอน. "การปูพื้นระนาบไฮเปอร์โบลิก" . สืบค้นเมื่อ19 สิงหาคม 2553 .
- เอปป์สไตน์, เดวิด . "The Geometry Junkyard: Hyperbolic Tiling" . สืบค้นเมื่อ19 สิงหาคม 2553
- จอยซ์, เดวิด. "การปูพื้นแบบไฮเปอร์โบลิก" . สืบค้นเมื่อ19 สิงหาคม 2553 .
- คลิทซิง, ริชาร์ด. "การปูพื้นแบบ 2 มิติ การปูพื้นแบบไฮเปอร์โบลิก "
- โครงการ EPINET สำรวจการปูพื้นแบบไฮเปอร์โบลิก 2 มิติ (H²)
สรุปเนื้อหา
ข้อมูลสำคัญจากบทความ
ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ การปูพื้นแบบสม่ำเสมอในระนาบไฮเปอร์โบลิก
ในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกการปูพื้นไฮเปอร์โบลิกแบบสม่ำเสมอ (หรือการปูพื้นไฮเปอร์โบลิกแบบปกติ แบบกึ่งปกติ หรือแบบกึ่งปกติ)...
การก่อสร้างไวทอฟฟ์
มีรูปแบบการปูพื้นแบบสม่ำเสมอจำนวนอนันต์โดยอิงจาก สามเหลี่ยม Schwarz ( pqr ) โดยที่ 1 / พี + 1 / q + 1 / ร < 1 โดยที่ p , q , r คือลำดับของสมมาตรการสะท้อนที่จุดสามจุดของ สามเหลี่ยมโดเมนพื้นฐาน – กลุ่มสมมาตรคือ กลุ่มสามเหลี่ยม ไฮเปอร์โบลิ ก
โดเมนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
มี กลุ่มสามเหลี่ยม ( pq 2) อยู่มากมายนับไม่ถ้วน บทความนี้แสดงการปูพื้นแบบปกติจนถึง p , q = 8 และการปูพื้นแบบสม่ำเสมอใน 12 กลุ่ม ได้แก่ (7 3 2), (8 3 2), (5 4 2), (6 4 2), (7 4 2), (8 4 2), (5 5 2), (6 5 2), (6 6 2), (7 7 2), (8 6 2) และ (8 8 2)
การปูพื้นแบบไฮเปอร์โบลิกปกติ
ชุดการปูพื้นไฮเปอร์โบลิกที่ง่ายที่สุดคือการปูพื้นแบบปกติ { p , q } ซึ่งมีอยู่ในเมทริกซ์เดียวกับทรงหลายเหลี่ยมปกติและการปูพื้นแบบยุคลิด การปูพื้นแบบปกติ { p , q } มีการปูพื้นแบบคู่ { q , p } ข้ามแกนทแยงของตาราง การปูพื้นแบบคู่ตัวเอง {2,2}, {3,3} , {4,4} ,...