อ่าน 2 นาที
การปูพื้นแบบแปดเหลี่ยมลำดับที่ 4
ในทางเรขาคณิต การปูพื้นแบบแปดเหลี่ยม ลำดับที่ 4เป็นการ ปูพื้น แบบปกติของระนาบไฮเปอร์โบลิกมีสัญลักษณ์ Schläfliคือ {8,4} การระบายสี...
การปูพื้นแบบแปดเหลี่ยมลำดับที่ 4
| การปูพื้นแบบแปดเหลี่ยมลำดับที่ 4 | |
|---|---|
 แบบจำลองดิสก์ของ ปวงกาเรบน ระนาบไฮเปอร์โบลิก | |
| พิมพ์ | การปูพื้นแบบไฮเปอร์โบลิกปกติ |
| การกำหนดค่าจุดยอด | 8 4 |
| สัญลักษณ์ Schläfli | {8,4} r{8,8} |
| สัญลักษณ์ไวทอฟฟ์ | 4 | 8 2 |
| แผนภาพค็อกซ์เตอร์ |     หรือ  |
| กลุ่มสมมาตร | [8,4], (*842) [8,8], (*882) |
| สองชั้น | กระเบื้องสี่เหลี่ยมจัตุรัส สั่งซื้อ 8 แผ่น |
| คุณสมบัติ | การถ่ายทอดจุดยอด การถ่ายทอดขอบการถ่ายทอดหน้า |
ในทางเรขาคณิต การปูพื้นแบบแปดเหลี่ยม ลำดับที่ 4เป็นการ ปูพื้น แบบปกติของระนาบไฮเปอร์โบลิกมีสัญลักษณ์ Schläfliคือ {8,4} การระบายสี แบบตารางหมากรุกสามารถเรียกว่าการปูพื้นแบบแปดเหลี่ยมแปดด้านและมีสัญลักษณ์ Schläfli คือ r{8,8}
โครงสร้างที่เป็นมาตรฐาน
มีโครงสร้างที่เป็นเอกภาพสี่แบบของการปูพื้นแบบนี้ โดยสามแบบสร้างขึ้นจากการลบกระจกออกจากคาไลโดสโคป [8,8] การลบกระจกระหว่างจุดลำดับที่ 2 และ 4 [8,8,1 + ] จะได้[(8,8,4)] ซึ่งมีสมมาตร (*884)การลบกระจกสองบานเป็น [8,4 * ] จะเหลือกระจกที่มีสมมาตร *4444
| การระบายสี แบบเดียวกัน |  |  |  |  |
|---|---|---|---|---|
| สมมาตร | [8,4] (*842)   | [8,8] (*882) = | [(8,4,8)] = [8,8,1 + ] (*884)= 
| [1 + ,8,8,1 + ] (*4444)  = |
| เครื่องหมาย | {8,4} | r{8,8} | r(8,4,8) = r{8,8} 1 ⁄ 2 | r{8,4} 1 ⁄ 8 = r{8,8} 1 ⁄ 4 |
| แผนภาพค็อกซ์เตอร์ | | | =
| = == |
สมมาตร
การปูพื้นนี้แสดงถึงภาพลวงตา ไฮเปอร์โบลิก ของกระจก 8 บานที่มาบรรจบกันเป็นขอบของรูปหกเหลี่ยมปกติ สมมาตรนี้โดยสัญกรณ์ออร์บิโฟลด์เรียกว่า (*22222222) หรือ (*2 8 ) โดยมีจุดตัดกระจกลำดับที่ 2 จำนวน 8 จุด ในสัญกรณ์ Coxeterสามารถแสดงได้เป็น [8 * ,4] โดยการลบกระจกสองในสามบาน (ที่ผ่านจุดศูนย์กลางของรูปแปดเหลี่ยม) ในสมมาตร [8,4] การเพิ่มกระจกแบ่งครึ่งผ่านจุดยอด 2 จุดของโดเมนพื้นฐานรูปแปดเหลี่ยมจะกำหนดสมมาตรแบบสี่เหลี่ยมคางหมู *4422การเพิ่มกระจกแบ่งครึ่ง 4 บานผ่านจุดยอดจะกำหนดสมมาตร *444การเพิ่มกระจกแบ่งครึ่ง 4 บานผ่านขอบจะกำหนดสมมาตร *4222 การเพิ่มตัวแบ่งครึ่งทั้ง 8 ตัวจะนำไปสู่สมมาตร *842 อย่างสมบูรณ์
 *444 |  *4222 |  *832 |
โดเมนแบบคาไลโดสโคปสามารถมองเห็นได้เป็นการปูพื้นรูปแปดเหลี่ยมสองสี ซึ่งแสดงถึงภาพสะท้อนของโดเมนพื้นฐาน การระบายสีนี้แสดงถึงการปูพื้นแบบสม่ำเสมอ r{8,8} ซึ่งเป็นการปูพื้นแบบกึ่งปกติและสามารถเรียกว่าการปูพื้นแบบอ็อกตาออกตาโกนัลได้
 |  |
รูปทรงหลายเหลี่ยมที่เกี่ยวข้องและการปูพื้น
การปูพื้นนี้มีความสัมพันธ์ทางโทโพโลยีเป็นส่วนหนึ่งของลำดับการปูพื้นปกติที่มีหน้าแปดเหลี่ยม โดยเริ่มต้นจาก การปูพื้นแปดเหลี่ยมซึ่งมีสัญลักษณ์ Schläfli {8,n} และแผนภาพ Coxeter
ก้าวไปสู่อนันต์
| * n 42 การกลายพันธุ์สมมาตรของการปูพื้นปกติ: { n ,4} | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ทรงกลม | ยูคลิด | การปูพื้นแบบไฮเปอร์โบลิก | |||||
 |  |  |  |  |  |  |  |
| 2 4 | 3 4 | 4 4 | 5 4 | 6 4 | 7 4 | 8 4 | ... ∞ 4 |
| การปูพื้นแบบปกติ: { n ,8} | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ทรงกลม | การปูพื้นแบบไฮเปอร์โบลิก | ||||||||||
 {2,8} |  {3,8} |  {4,8} |  {5,8} |  {6,8} |  {7,8} |  {8,8} | ... |  {∞,8} | |||
การปูพื้นแบบนี้ยังมีความสัมพันธ์ทางโทโพโลยีกับลำดับของทรงหลายเหลี่ยมปกติและการปูพื้นที่มีสี่หน้าต่อจุดยอด โดยเริ่มจากทรงแปดเหลี่ยมซึ่งมีสัญลักษณ์ Schläfli {n,4} และแผนภาพ Coxeterโดยที่ n มีค่าเข้าสู่ค่าอนันต์
 {3,4} |  {4,4} |  {5,4} |  {6,4} |  {7,4} |  {8,4} | ... |  {∞,4} |
| การปูพื้นแบบแปดเหลี่ยม/สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สม่ำเสมอ | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| [8,4], (*842) (พร้อมด้วย [8,8] (*882), [(4,4,4)] (*444) , [∞,4,∞] (*4222) ดัชนี 2 สมมาตรย่อย) (และ [(∞,4,∞,4)] (*4242) ดัชนี 4 สมมาตรย่อย) | |||||||||||
= = = | = | == = | = | = = | = | | |||||
|  |  |  |  |  |  | |||||
| {8,4} | t{8,4} | r{8,4} | 2t{8,4}=t{4,8} | 2r{8,4}={4,8} | rr{8,4} | tr{8,4} | |||||
| คู่ที่สม่ำเสมอ | |||||||||||
 | | | | | | | |||||
 |  |  | |  | |  | |||||
| วี8 4 | เวอร์ชัน 4.16.16 | V(4.8) 2 | ว.8.8.8 | วี4 8 | วี.4.4.4.8 | เวอร์ชัน 4.8.16 | |||||
| การสลับเปลี่ยน | |||||||||||
| [1 + ,8,4] (*444) | [8 + ,4] (8*2) | [8,1 + ,4] (*4222) | [8,4 + ] (4*4) | [8,4,1 + ] (*882) | [(8,4,2 + )] (2*42) | [8,4] + (842) | |||||
 = |  = | =  | = | = | = | | |||||
 |  |  |  |  |  |  | |||||
| h{8,4} | s{8,4} | hr{8,4} | s{4,8} | h{4,8} | hrr{8,4} | sr{8,4} | |||||
| คู่สลับ | |||||||||||
 | | | | | | | |||||
 |  |  |  | | |||||||
| V(4.4) 4 | V3.(3.8) 2 | V(4.4.4) 2 | V(3.4) 3 | วี8 8 | วี4.4 4 | วี.3.3.4.3.8 | |||||
| การปูพื้นแบบแปดเหลี่ยมที่สม่ำเสมอ | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| สมมาตร: [8,8], (*882) | |||||||||||
=  = | == | == | = = | == | == | == | |||||
 |  | |  |  |  |  | |||||
| {8,8} | t{8,8} | r{8,8} | 2t{8,8}=t{8,8} | 2r{8,8}={8,8} | rr{8,8} | tr{8,8} | |||||
| คู่ที่สม่ำเสมอ | |||||||||||
| | | | | | | |||||
 |  |  |  |  |  |  | |||||
| วี8 8 | เวอร์ชัน 8.16.16 | ว.8.8.8.8 | เวอร์ชัน 8.16.16 | วี8 8 | วี4.8.4.8 | เวอร์ชัน 4.16.16 | |||||
| การสลับเปลี่ยน | |||||||||||
| [1 + ,8,8] (*884) | [8 + ,8] (8*4) | [8,1 + ,8] (*4242) | [8,8 + ] (8*4) | [8,8,1 + ] (*884) | [(8,8,2 + )] (2*44) | [8,8] + (882) | |||||
| = | | = | | = | == | == | |||||
 | | | |  | |||||||
| h{8,8} | s{8,8} | hr{8,8} | s{8,8} | h{8,8} | hrr{8,8} | sr{8,8} | |||||
| คู่สลับ | |||||||||||
| | | | | | | |||||
 |  | ||||||||||
| V(4.8) 8 | วี3.4.3.8.3.8 | V(4.4) 4 | วี3.4.3.8.3.8 | V(4.8) 8 | วี4 6 | วี.3.3.8.3.8 | |||||
ดูเพิ่มเติม
- การปูกระเบื้องสี่เหลี่ยม
- การปูพื้นด้วยรูปหลายเหลี่ยมปกติ
- รายการการปูพื้นระนาบแบบสม่ำเสมอ
- รายชื่อรูปหลายเหลี่ยมปกติ
ลิงก์ภายนอก
- ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "การปูพื้นแบบไฮเปอร์โบลิก" . MathWorld .
- ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "จานไฮเปอร์โบลิกของปวงกาเร" . MathWorld .
- แกลเลอรีการปูกระเบื้องทรงไฮเปอร์โบลิกและทรงกลม
- KaleidoTile 3: ซอฟต์แวร์เพื่อการศึกษาสำหรับการสร้างลวดลายปูพื้นแบบทรงกลม ระนาบ และไฮเปอร์โบลา
- การปูพื้นแบบไฮเปอร์โบลิกบนระนาบ โดย ดอน แฮทช์
สรุปเนื้อหา
ข้อมูลสำคัญจากบทความ
ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ การปูพื้นแบบแปดเหลี่ยมลำดับที่ 4
ในทางเรขาคณิต การปูพื้นแบบแปดเหลี่ยม ลำดับที่ 4เป็นการ ปูพื้น แบบปกติของระนาบไฮเปอร์โบลิกมีสัญลักษณ์ Schläfliคือ {8,4} การระบายสี...
โครงสร้างที่เป็นมาตรฐาน
มีโครงสร้างที่เป็นเอกภาพสี่แบบของการปูพื้นแบบนี้ โดยสามแบบสร้างขึ้นจากการลบกระจกออกจาก คาไลโดสโคป [8,8] การลบกระจกระหว่างจุดลำดับที่ 2 และ 4 [8,8,1 + ] จะได้ [(8,8,4)] ซึ่งมีสมมาตร (*884) การลบกระจกสองบานเป็น [8,4 * ] จะเหลือกระจกที่มีสมมาตร *4444
สมมาตร
การปูพื้นนี้แสดงถึง ภาพลวงตา ไฮเปอร์โบลิก ของกระจก 8 บานที่มาบรรจบกันเป็นขอบของรูปหกเหลี่ยมปกติ สมมาตรนี้โดย สัญกรณ์ออร์บิโฟลด์ เรียกว่า (*22222222) หรือ (*2 8 ) โดยมีจุดตัดกระจกลำดับที่ 2 จำนวน 8 จุด ใน สัญกรณ์ Coxeter สามารถแสดงได้เป็น [8 * ,4]...
รูปทรงหลายเหลี่ยมที่เกี่ยวข้องและการปูพื้น
การปูพื้นนี้มีความสัมพันธ์ทางโทโพโลยีเป็นส่วนหนึ่งของลำดับการปูพื้นปกติที่มีหน้า แปดเหลี่ยม โดยเริ่มต้นจาก การปูพื้นแปดเหลี่ยม ซึ่งมี สัญลักษณ์ Schläfli {8,n} และ แผนภาพ Coxeter ก้าวไปสู่อนันต์