ทรงสิบสองเหลี่ยมปกติ
พิมพ์	ทรงหลายเหลี่ยมเพลโต , ทรงสี่เหลี่ยมคางหมูตัด , ทรงหลายเหลี่ยมโกลด์เบิร์ก
ใบหน้า	รูปห้าเหลี่ยมปกติ 12 รูป
ขอบ	30
จุดยอด	20
กลุ่มสมมาตร	สมมาตรทรงยี่สิบหน้า${\displaystyle \mathrm {I} _{\mathrm {h} }}$
มุมไดเฮดรัล ( องศา )	116.565°
โพลีเฮดรอนคู่	ทรงยี่สิบหน้าปกติ
คุณสมบัติ	นูน , ปกติ
สุทธิ

ทรงสิบสองเหลี่ยมปกติหรือทรงสิบสองเหลี่ยมห้าเหลี่ยม^{[ 1 ]}คือทรงสิบสองเหลี่ยม ( ทรงหลายเหลี่ยมที่มี 12 หน้า ) ที่ประกอบด้วย หน้า ห้าเหลี่ยมปกติ โดยมีสามหน้ามาบรรจบกันที่จุดยอด แต่ละจุด เป็นหนึ่งในทรงหลายเหลี่ยมเพลโตซึ่งได้รับการอธิบายไว้ในบทสนทนาของเพลโตว่าเป็นรูปทรงของจักรวาลเองโยฮันเนส เคปเลอร์ใช้ทรงสิบสองเหลี่ยมในแบบจำลองระบบสุริยะ ของเขาในปี 1596 อย่างไรก็ตาม ทรงสิบสองเหลี่ยมและทรงหลายเหลี่ยมเพลโตอื่นๆ ได้รับการอธิบายโดยนักปรัชญาคนอื่นๆ มาตั้งแต่สมัยโบราณแล้ว

ทรงสิบสองเหลี่ยมปกติเป็นทรงสี่เหลี่ยมคางหมูที่ถูกตัดมุมเนื่องจากเป็นผลมาจากการตัดมุมแกนของทรงสี่เหลี่ยมคางหมูห้าเหลี่ยมนอกจากนี้ยังเป็นทรงหลายเหลี่ยมโกลด์เบิร์ก ด้วย เพราะเป็นทรงหลายเหลี่ยมเริ่มต้นในการสร้างทรงหลายเหลี่ยมใหม่โดยกระบวนการลบมุมมันมีความสัมพันธ์กับทรงหลายเหลี่ยมเพลโตอื่นๆ หนึ่งในนั้นคือทรงยี่สิบเหลี่ยมปกติ ซึ่งเป็น ทรงหลายเหลี่ยมคู่ของมันสามารถสร้างทรงหลายเหลี่ยมใหม่ๆ ได้โดยใช้ทรงสิบสองเหลี่ยมปกติเป็นพื้นฐาน

คุณสมบัติทางเมตริกและโครงสร้างของทรงสิบสองเหลี่ยมด้านเท่ามีความเกี่ยวข้องกับอัตราส่วนทองคำทรงสิบสองเหลี่ยมด้านเท่าปรากฏอยู่ในงานศิลปะและงานเขียนเชิงบรรยายหลายชิ้น ของเล่นและสิ่งประดิษฐ์บางอย่างก็มีรูปร่างคล้ายทรงสิบสองเหลี่ยมด้านเท่า เช่นทรงสิบสองเหลี่ยมโรมันทรงสิบสองเหลี่ยมด้านเท่ายังพบได้ในธรรมชาติและโมเลกุลขนาดใหญ่ รวมถึงรูปร่างของจักรวาลโครงร่างของทรงสิบสองเหลี่ยมด้านเท่าสามารถแสดงได้ด้วยกราฟที่เรียกว่ากราฟทรงสิบสองเหลี่ยมซึ่ง เป็น กราฟเพลโตคุณสมบัติของแฮมิลโทเนียนซึ่ง เป็น เส้นทางที่ผ่านจุดยอดทั้งหมดเพียงครั้งเดียว สามารถพบได้ในของเล่นที่เรียกว่าเกมไอโคเซียน

ภาพวาดทรงสิบสองเหลี่ยมปกติโดยโยฮันเนส เคปเลอร์

แบบจำลองทรงหลายเหลี่ยมเพลโตของระบบสุริยะของเคปเลอร์

ทรงสิบสองเหลี่ยมปกติเป็นทรงหลายเหลี่ยมที่มีหน้าห้าเหลี่ยมสิบสองหน้า ขอบสามสิบเส้น และจุดยอด 20 จุด^{[ 2 ]}เป็นหนึ่งในทรงหลายเหลี่ยมเพลโตซึ่งเป็นเซตของทรงหลายเหลี่ยมที่หน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติที่เท่ากันทุกประการและมีจำนวนหน้าเท่ากันที่มาบรรจบกันที่จุดยอด^{[ 3 ]}เซตของทรงหลายเหลี่ยมนี้ตั้งชื่อตามเพลโตใน บทสนทนาเรื่อง Theaetetusของเพลโต เพลโตตั้งสมมติฐานว่าธาตุคลาสสิกนั้นสร้างขึ้นจากทรงหลายเหลี่ยมปกติที่เป็นเอกภาพห้าแบบ เพลโตได้อธิบายถึงทรงสิบสองเหลี่ยมปกติ โดยกล่าวอย่างคลุมเครือว่า "...พระเจ้าใช้ [มัน] ในการจัดเรียงกลุ่มดาวบนท้องฟ้าทั้งหมด" ทิเมอุสในฐานะตัวละครในบทสนทนาของเพลโต เชื่อมโยงรูปทรงเรขาคณิตแบบเพลโตอีกสี่รูป ได้แก่ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติลูกบาศก์ ทรงแปด เหลี่ยมปกติและทรงยี่สิบเหลี่ยมปกติ เข้ากับ ธาตุคลาสสิกทั้งสี่โดยเสริมว่ามีรูปทรงเรขาคณิตแบบที่ห้า ซึ่งแม้จะมักเกี่ยวข้องกับทรงสิบสองเหลี่ยมปกติ แต่ก็ไม่เคยถูกกล่าวถึงโดยตรงว่าเป็นเช่นนั้น “พระเจ้าองค์นี้ใช้ในการกำหนดขอบเขตของจักรวาล” ^{[ 4 ]}อริสโตเติลยังตั้งสมมติฐานว่าท้องฟ้าทำจากธาตุที่ห้า ซึ่งเขาเรียกว่าไอเธอร์ ( อีเธอร์ใน ภาษาละติน อีเธอร์ในภาษาอังกฤษแบบอเมริกัน) ^{[ 5 ]}

หลังจากที่เพลโตได้กล่าวถึงรูปทรงเรขาคณิตแบบเพลโตว่าเป็นส่วนหนึ่งของธรรมชาติโยฮันเนส เคปเลอร์ได้วาดภาพรูปทรงเรขาคณิตแบบเพลโตแต่ละรูปใน หนังสือ Harmonices Mundi ของเขา โดยหนึ่งในนั้นคือทรงสิบสองเหลี่ยมปกติ ^{[ 6 ]}ในหนังสือ Mysterium Cosmographicum ของเขา เคปเลอร์ยังได้เสนอระบบสุริยะโดยใช้รูปทรงเรขาคณิตแบบเพลโตมาซ้อนกันและคั่นด้วยทรงกลมหกอันที่คล้ายกับดาวเคราะห์หกดวง รูปทรงเรขาคณิตที่เรียงลำดับจากด้านในสุดไปยังด้านนอกสุด ได้แก่ ทรงแปดเหลี่ยมปกติ ทรงยี่สิบเหลี่ยมปกติ ทรงสิบสองเหลี่ยมปกติ ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติ และทรงลูกบาศก์^{[ 7 ]}

นักปรัชญาโบราณหลายคนได้อธิบายถึงทรงสิบสองเหลี่ยมปกติ รวมถึงทรงหลายเหลี่ยมเพลโตอื่นๆ ด้วยเธียเตตุสได้ให้คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของทรงหลายเหลี่ยมทั้งห้า และอาจเป็นผู้พิสูจน์เป็นครั้งแรกว่าไม่มีทรงหลายเหลี่ยมปกติแบบนูนอื่นๆ อีกยูคลิดได้อธิบายทรงหลายเหลี่ยมเพลโตอย่างสมบูรณ์ทางคณิตศาสตร์ใน หนังสือ Elementsซึ่งเล่มสุดท้าย (เล่มที่ 13) อุทิศให้กับคุณสมบัติของทรงหลายเหลี่ยมเหล่านี้ ข้อเสนอที่ 13–17 ในเล่มที่ 13 อธิบายถึงการสร้างทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า ทรงแปดเหลี่ยม ทรงลูกบาศก์ ทรงยี่สิบเหลี่ยม และทรงสิบสองเหลี่ยม ตามลำดับ สำหรับแต่ละทรง ยูคลิดได้หาอัตราส่วนของเส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกลมที่ล้อมรอบต่อความยาวด้าน ในข้อเสนอที่ 18 เขาโต้แย้งว่าไม่มีทรงหลายเหลี่ยมปกติแบบนูนอื่นๆ อีกIamblichusกล่าวว่าHippasusซึ่งเป็นชาวพีทาโกเรียน เสียชีวิตในทะเล เนื่องจากเขาโอ้อวดว่าเขาเป็นคนแรกที่เปิดเผย "ทรงกลมที่มีรูปห้าเหลี่ยมสิบสองรูป" ^{[ 8 ]}

ทรงสิบสองเหลี่ยมด้านเท่า เป็น ทรงหลายเหลี่ยมปกติในตระกูลทรงหลายเหลี่ยมเพล โต มีคุณสมบัติเป็น ทรงเหลี่ยมมุมเท่า ทรงเหลี่ยมหน้าเท่าและทรงเหลี่ยมขอบเท่า กล่าวคือจุดยอดสองจุด หน้าสองหน้า และขอบสองขอบใดๆ ของทรงสิบสองเหลี่ยมด้านเท่า สามารถแปลงรูปได้ด้วยการหมุนและการสะท้อนภายใต้วงโคจรสมมาตรตามลำดับ ซึ่งยังคงรักษารูปลักษณ์เดิมไว้

ทรงหลายเหลี่ยมคู่ของทรงสิบสองเหลี่ยมคือทรงยี่สิบเหลี่ยมปกติคุณสมบัติอย่างหนึ่งของทรงหลายเหลี่ยมคู่โดยทั่วไปคือทรงหลายเหลี่ยมดั้งเดิมและทรงหลายเหลี่ยมคู่จะมีกลุ่มสมมาตรสามมิติ เดียวกัน ในกรณีของทรงสิบสองเหลี่ยมปกติ มันมีสมมาตรเดียวกับทรงยี่สิบเหลี่ยมปกติ ซึ่งก็คือสมมาตรทรงยี่สิบเหลี่ยม^{[ 9 ]}ทรงสิบสองเหลี่ยมปกติมีแกนสามเท่าสิบแกนที่ผ่านจุดยอดตรงข้ามเป็นคู่ๆ แกนห้าเท่าหกแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางของหน้าตรงข้าม และแกนสองเท่าสิบห้าแกนที่ผ่านจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม^{[ 10 ]}${\displaystyle \mathrm {I} _{\mathrm {h} }}$

เมื่อทรงสิบสองเหลี่ยมปกติถูกบรรจุอยู่ภายในทรงกลมมันจะครอบครองปริมาตรของทรงกลมมากกว่า (66.49%) เมื่อเทียบกับทรงยี่สิบเหลี่ยมที่บรรจุอยู่ภายในทรงกลมเดียวกัน (60.55%) ^{[ 11 ]}ผลลัพธ์ของปริมาตรของทรงกลมทั้งสองเริ่มต้นมาจากปัญหาของชาวกรีกโบราณ ซึ่งกำหนดว่ารูปทรงใดมีปริมาตรมากกว่ากัน ระหว่างทรงยี่สิบเหลี่ยมที่บรรจุอยู่ภายในทรงกลม หรือทรงสิบสองเหลี่ยมที่บรรจุอยู่ภายในทรงกลมเดียวกัน ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขโดยHero แห่ง Alexandria , Pappus แห่ง AlexandriaและFibonacciเป็นต้น^{[ 12 ]} Apollonius แห่ง Pergaค้นพบผลลัพธ์ที่น่าสนใจว่าอัตราส่วนของปริมาตรของรูปทรงทั้งสองนี้เท่ากับอัตราส่วนของพื้นที่ผิวของพวกมัน^{[ 13 ]}ปริมาตรทั้งสองมีสูตรที่เกี่ยวข้องกับอัตราส่วนทองคำ แต่ถูกยกกำลังด้วยค่าที่แตกต่างกัน^{[ 2 ]}

สี่เหลี่ยมผืนทองคำอาจเกี่ยวข้องกับทั้งทรงยี่สิบหน้าปกติและทรงสิบสองหน้าปกติ ทรงยี่สิบหน้าปกติสามารถสร้างได้โดยการตัดสี่เหลี่ยมผืนทองคำสามรูปในแนวตั้งฉาก จัดเรียงเป็นสองคูณสองในแนวตั้งฉาก และเชื่อมจุดยอดแต่ละจุดของสี่เหลี่ยมผืนทองคำด้วยเส้นส่วน ทรงยี่สิบหน้าปกติมีจุดยอด 12 จุด ซึ่งถือเป็นจุดศูนย์กลางของหน้าทรงสิบสองหน้าปกติ 12 หน้า^{[ 14 ]}

เนื่องจากสามารถบรรจุทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าสองอันที่อยู่ตรงข้ามกันลงในลูกบาศก์ได้ และสามารถบรรจุลูกบาศก์ห้าลูกลงในทรงสิบสองเหลี่ยมได้ ดังนั้นจึงสามารถบรรจุทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าสิบลูกในลูกบาศก์ห้าลูกลงในทรงสิบสองเหลี่ยมได้: ชุดห้าลูกที่อยู่ตรงข้ามกันสองชุด โดยแต่ละชุดครอบคลุมจุดยอดทั้ง 20 จุด และแต่ละจุดยอดอยู่ในทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าสองอัน (หนึ่งอันจากแต่ละชุด แต่ไม่ใช่คู่ที่อยู่ตรงข้ามกัน) ตามที่Coxeter et al. (1938) กล่าวไว้ ^{[ 15 ]}

"เช่นเดียวกับที่ทรงสี่หน้าสามารถบรรจุอยู่ในทรงลูกบาศก์ได้ ทรงลูกบาศก์ก็สามารถบรรจุอยู่ในทรงสิบสองหน้าได้เช่นกัน โดยการแลกเปลี่ยนกัน จะทำให้เกิดทรงแปดหน้าล้อมรอบทรงยี่สิบหน้า อันที่จริง จุดยอดทั้งสิบสองจุดของทรงยี่สิบหน้าจะแบ่งขอบของทรงแปดหน้าตาม " สัดส่วนทองคำ " เมื่อกำหนดทรงยี่สิบหน้าแล้ว ทรงแปดหน้าที่ล้อมรอบสามารถเลือกได้ห้าวิธี ทำให้ได้โครงสร้างที่ประกอบด้วยทรงแปดหน้าห้าทรงซึ่งตรงกับคำจำกัดความของทรงยี่สิบหน้าแบบดาว (โครงสร้างแบบผกผัน คือทรงลูกบาศก์ ห้าทรงที่มีจุดยอดอยู่ในทรงสิบสองหน้า ) สามารถอนุมานทรงยี่สิบหน้าแบบดาวอีกทรงหนึ่งได้ทันที โดยการทำให้ทรงแปดหน้าแต่ละทรงกลายเป็นทรง แปดหน้าแบบดาว จึงเกิดเป็นโครงสร้าง ที่ประกอบด้วยทรง แปดหน้าสิบทรง ทรงสี่หน้านอกจากนี้ เราสามารถเลือกทรงสี่หน้าหนึ่งรูปจากแต่ละทรงแปดหน้า เพื่อให้ได้ทรงสี่หน้าประกอบห้ารูปซึ่งยังคงมีสมมาตรการหมุนทั้งหมดของทรงยี่สิบหน้า (กล่าวคือ กลุ่มทรงยี่สิบหน้า) แม้ว่าจะสูญเสียการสะท้อนไปแล้วก็ตาม โดยการสะท้อนรูปนี้ในระนาบสมมาตรใดๆ ของทรงยี่สิบหน้า เราจะได้ชุดทรงสี่หน้าห้ารูปที่เสริมกัน ชุดทรงสี่หน้าห้ารูปทั้งสองชุดนี้เป็นเอนันติโอเมอร์ฟิก กล่าวคือ ไม่สมมาตรโดยตรง แต่มีความสัมพันธ์กันเหมือนรองเท้าคู่หนึ่ง รูปทรงที่ไม่มีระนาบสมมาตร (ดังนั้นจึงเป็นเอนันติโอเมอร์ฟิกกับภาพสะท้อนในกระจก) เรียกว่าเป็นรูปทรงไครัล

เมทริกซ์การกำหนดค่าคือเมทริกซ์ที่แถวและคอลัมน์สอดคล้องกับองค์ประกอบของทรงหลายเหลี่ยม เช่น จุดยอด ขอบ และหน้าแนวทแยงของเมทริกซ์แสดงถึงจำนวนของแต่ละองค์ประกอบที่ปรากฏในทรงหลายเหลี่ยม ในขณะที่ด้านที่ไม่ใช่แนวทแยงของเมทริกซ์แสดงถึงจำนวนองค์ประกอบของคอลัมน์ที่เกิดขึ้นในหรือที่องค์ประกอบของแถวนั้น ทรงสิบสองเหลี่ยมปกติสามารถแสดงได้ในเมทริกซ์ต่อไปนี้: ^{[ 16 ] [ 17 ]}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}20&3&3\\2&30&2\\5&5&12\end{bmatrix}}}$$

อัตราส่วนทองคำคืออัตราส่วนระหว่างตัวเลขสองตัวที่เท่ากับอัตราส่วนของผลรวมของตัวเลขทั้งสองต่อปริมาณที่มากกว่าของตัวเลขทั้งสอง^{[ 18 ]} อัตราส่วนทองคำ เป็นหนึ่งในสองรากของพหุนาม ซึ่งแสดงเป็น[ ^{19 ] ดัง}ต่อไปนี้ อัตราส่วนทองคำสามารถนำไปใช้กับคุณสมบัติเชิงเมตริกของทรงสิบสองเหลี่ยมปกติได้ เช่นเดียวกับการสร้างทรงสิบสองเหลี่ยมปกติ ${\textstyle \phi =(1+{\sqrt {5}})/2\approx 1.618}$

พื้นที่ผิว และปริมาตรของทรงสิบสองเหลี่ยมปกติที่มีความยาวขอบคือ: ^{[ 20 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle a}$$${\displaystyle A=3{\sqrt {({\sqrt {5}}\phi )^{3}}}a^{2},\qquad V={\frac {{\sqrt {5}}\phi ^{4}}{2}}a^{3}.}$$

พิกัดคาร์ทีเซียนต่อไปนี้กำหนดจุดยอดทั้ง 20 จุดของทรงสิบสองเหลี่ยมปกติที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและปรับขนาดและวางแนวให้เหมาะสม: ^{[ 21 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}(\pm 1,\pm 1,\pm 1),&\qquad (0,\pm \phi ,\pm 1/\phi ),\\(\pm 1/\phi ,0,\pm \phi ),&\qquad (\pm \phi ,\pm 1/\phi ,0).\end{aligned}}}$$

ถ้าความยาวขอบของทรงสิบสองเหลี่ยมปกติคือรัศมีของทรงกลมที่ล้อมรอบ ( ทรงกลมที่สัมผัสกับทรงสิบสองเหลี่ยมปกติที่จุดยอดทั้งหมด) รัศมีของทรงกลมที่แนบใน( ทรง กลมที่สัมผัสกับหน้าแต่ละหน้าของทรงสิบสองเหลี่ยมปกติ) และรัศมีกึ่งกลาง (ทรงกลมที่สัมผัสกับกึ่งกลางของแต่ละขอบ) คือ: ^{[ 22 ]} กำหนดให้ทรงสิบสองเหลี่ยมปกติที่มีความยาวขอบหนึ่งคือรัศมีของทรงกลมที่ล้อมรอบลูกบาศก์ที่มีความยาวขอบ และ คือเส้นตั้งฉากจากจุดศูนย์กลางไปยังด้านของรูปห้าเหลี่ยมปกติที่มีความยาวขอบ ${\displaystyle a}$${\displaystyle r_{c}}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle r_{m}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{c}&={\frac {\phi {\sqrt {3}}}{2}}a\approx 1.401a,\\r_{i}&={\sqrt {\frac {{\sqrt {5}}\phi ^{5}}{20}}}a\approx 1.114a,\\r_{m}&={\frac {\phi ^{2}}{2}}a\approx 1.309a.\end{aligned}}}$$${\displaystyle r_{c}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle \phi }$

มุมไดเฮดรัลของทรงสิบสองเหลี่ยมด้านเท่าระหว่างหน้าห้าเหลี่ยมที่อยู่ติดกันทุกคู่คือซึ่งมีค่าประมาณ 116.565° ${\displaystyle 2\arctan(\phi )}$

ทรงสิบสองเหลี่ยมปกติสามารถตีความได้ว่าเป็นทรงหลายเหลี่ยมโกลด์เบิร์กมันเป็นชุดของทรงหลายเหลี่ยมที่มีหน้าเป็นรูปหกเหลี่ยมและรูปห้าเหลี่ยม นอกจากทรงหลายเหลี่ยมเพลโตสองรูป—ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าและทรงลูกบาศก์—ทรงสิบสองเหลี่ยมปกติเป็นจุดเริ่มต้นของการสร้างทรงหลายเหลี่ยมโกลด์เบิร์ก และทรงหลายเหลี่ยมถัดไปจะได้มาจากการตัดขอบทั้งหมด ซึ่งเป็นกระบวนการที่เรียกว่าการลบมุมกระบวนการนี้สามารถทำซ้ำได้อย่างต่อเนื่อง ส่งผลให้เกิดทรงหลายเหลี่ยมโกลด์เบิร์กใหม่ๆ เพิ่มขึ้น ทรงหลายเหลี่ยมเหล่านี้จัดเป็นทรงหลายเหลี่ยมโกลด์เบิร์กชั้นแรก^{[ 23 ]}

ทรงสิบสองเหลี่ยมและทรงสี่เหลี่ยมคางหมู ขนาดเล็กที่มีดาว

การเรียงตัวเป็นดาวของทรงสิบสองเหลี่ยมปกติประกอบขึ้นเป็นสามในสี่ของ ทรงหลายเหลี่ยม เคปเลอร์-ปวงโซต์การเรียงตัวเป็นดาวแบบแรกของทรงสิบสองเหลี่ยมปกติสร้างขึ้นโดยการติดชั้นของมันเข้ากับพีระมิดห้าเหลี่ยม ทำให้เกิดทรงสิบสองเหลี่ยมดาวขนาดเล็ก การเรียงตัวเป็นดาวแบบที่สองคือการติดทรงสิบสองเหลี่ยม ดาวขนาดเล็กเข้ากับ ลิ่ม ทำให้เกิดทรงสิบสองเหลี่ยมขนาดใหญ่ การเรียงตัว เป็นดาวแบบที่สามคือการติดทรงสิบสองเหลี่ยมขนาดใหญ่เข้ากับพีระมิดสามเหลี่ยมแหลม ทำให้เกิด ทรงสิบสองเหลี่ยม ดาวขนาดใหญ่^{[ 24 ]}

รูปทรงหลายเหลี่ยมอื่นๆ ที่เกี่ยวข้อง ได้แก่:

• สี่เหลี่ยมคางหมูห้าเหลี่ยมจุดเริ่มต้นของการสร้างทรงสิบสองเหลี่ยมปกติโดยการตัดจุดยอดแกนสองจุดออก^{[ 25 ]}
• ทรงหลายเหลี่ยมอาร์คิมีเดียนสองแบบ: ทรงสิบสองเหลี่ยมตัดยอดและทรงสิบสองเหลี่ยมตัดยอด ตามลำดับ ทรงหลายเหลี่ยมเหล่านี้ได้มาจากการตัดยอดทั้งหมดของทรงสิบสองเหลี่ยมปกติและการแยกหน้าห้าเหลี่ยมของทรงสิบสองเหลี่ยมปกติก่อนที่จะเติมช่องว่างด้วยรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า^{[ 26 ] [ 27 ]}
• ทรงสิบสองเหลี่ยมเพนทาคิสเป็นKleetopeของทรงสิบสองเหลี่ยมปกติ ซึ่งได้มาจากการติดพีระมิดห้าเหลี่ยมเข้ากับแต่ละหน้า คล้ายกับทรงสิบสองเหลี่ยมดาวเล็ก แม้ว่าความแตกต่างจะอยู่ที่ความสูงของพีระมิดก็ตาม นอกจากนี้ยังเป็นทรงตันคาตาลันอีก ด้วย ^{[ 28 ]}
• ทรงตันจอห์นสันสี่ แบบ — ทรงสิบ สองเหลี่ยม เสริมทรงสิบสองเหลี่ยมเสริมพาราไบ ทรงสิบสองเหลี่ยมเสริมเมตาไบและทรงสิบสองเหลี่ยมเสริมไตรไบ — ได้มาจากการติดพีระมิดห้าเหลี่ยมหนึ่ง สอง หรือสามอันเข้ากับหน้าของทรงสิบสองเหลี่ยมปกติ^{[ 29 ]}

ทรงสิบสองเหลี่ยมโรมัน

เมกามินซ์หกสีที่แก้ปริศนาแล้ว

ทรงสิบสองเหลี่ยมปกติถูกใช้เป็นลูกเต๋าและอาจใช้เป็นอุปกรณ์ทำนายดวงชะตาด้วย ทรงสิบสองเหลี่ยมโรมันกลวง ขนาดเล็กที่ทำจากทองสัมฤทธิ์ ถูกพบในภาคเหนือของจักรวรรดิโรมัน วัตถุประสงค์ของมันยังไม่แน่ชัด^{[ 30 ] [ 31 ]}

ในงานศิลปะศตวรรษที่ 20รูปทรงสิบสองเหลี่ยมปกติปรากฏในงานของMC Escherเช่น ภาพพิมพ์หินReptiles [ ^{32 ]}และภาพวาดThe Sacrament of the Last Supper ของ Salvador Dalíซึ่งห้องเป็นรูปทรงสิบสองเหลี่ยมปกติกลวง^{[ 33 ]} Gerard Caris สร้างสรรค์ผลงานศิลปะทั้งหมดของเขาบน ^{พื้นฐาน}ของรูปทรงสิบสองเหลี่ยมปกติและรูปห้าเหลี่ยม ซึ่งนำเสนอเป็นขบวนการศิลปะใหม่ที่เรียกว่า Pentagonism ^{[ 34 ]}

ในเกมสวมบทบาท สมัยใหม่ รูปทรงสิบสองเหลี่ยมปกติมักใช้เป็นลูกเต๋าสิบสองด้าน ซึ่งเป็นหนึ่งในลูกเต๋าหลายเหลี่ยมที่ พบได้ทั่วไป เมกามิงซ์เป็นปริศนาบิดเบี้ยวที่คล้ายกับลูกบาศก์รูบิกแต่รูปทรงเป็นสิบสองเหลี่ยมที่มีหน้าเป็นรูปห้าเหลี่ยม^{[ 35 ]}

ในนวนิยายสำหรับเด็กเรื่องThe Phantom Tollboothรูปทรงสิบสองเหลี่ยมปกติปรากฏเป็นตัวละครในดินแดนแห่งคณิตศาสตร์ แต่ละหน้าของรูปทรงสิบสองเหลี่ยมปกติอธิบายถึงการแสดงออกทางสีหน้า ต่างๆ โดยหมุนไปด้านหน้าตามความจำเป็นเพื่อให้เข้ากับอารมณ์ของเขา^{[ 36 ]}

ในเรื่องสั้นThe Mathematician's Nightmare: The Vision of Professor Squarepunt ของ Bertrand Russell ในปี 1954 เลข 5 กล่าวว่า: "ฉันคือจำนวนนิ้วมือ ฉันสร้างรูปห้าเหลี่ยมและรูปดาวห้าแฉก และหากไม่มีฉัน รูปทรงสิบสองเหลี่ยมก็คงไม่มีอยู่จริง และอย่างที่ทุกคนรู้กัน จักรวาลก็คือรูปทรงสิบสองเหลี่ยม ดังนั้น หากไม่มีฉัน จักรวาลก็คงไม่มีอยู่จริง" ^{[ 37 ]}

โคคโคลิโทฟอร์Braarudosphaera bigelowiiถูกปกคลุมด้วยโคคโคสเฟียร์ที่ประกอบด้วยเพนทาลิธ สิบสองชิ้น

ด้านต่างๆ ของผลึกกึ่งโฮลเมียม-แมกนีเซียม-สังกะสี (Ho-Mg-Zn) เป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติที่แท้จริง

โคโคลิโทฟอร์Braarudosphaera bigelowii ซึ่งเป็น สาหร่ายแพลงก์ ตอนชายฝั่งเซลล์เดียวสามารถสร้างเปลือกแคลเซียมคาร์บอเนตที่มีโครงสร้างทรงสิบสองเหลี่ยมปกติขนาดประมาณ 10 ไมโครเมตร^{[ 38 ]}

โดเดคาเฮดรานไฮโดรคาร์บอนและควาซิครัสตัลเช่นควาซิครัสตัลโฮลเมียม-แมกนีเซียม-สังกะสีมีรูปร่างเป็นทรงโดเดคาเฮดราน (ดูรูป) ^{[ 39 ]}ผลึกปกติบางชนิด เช่นการ์เนตและเพชรก็กล่าวกันว่ามีลักษณะ "ทรงโดเดคาเฮดราน" เช่นกัน แต่ข้อความนี้หมายถึงรูปร่าง ทรงโดเดคาเฮดรานแบบสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

มีการเสนอแบบจำลองต่างๆ สำหรับเรขาคณิตทั่วโลกของจักรวาล ข้อเสนอเหล่านี้รวมถึงปริภูมิสิบสองเหลี่ยมปวงกาเรซึ่งเป็นปริภูมิโค้งบวกที่ประกอบด้วยสิบสองเหลี่ยมปกติซึ่งหน้าตรงข้ามสอดคล้องกัน (โดยมีการบิดเล็กน้อย) แบบจำลองนี้ได้รับการเสนอโดยJean-Pierre Luminetและเพื่อนร่วมงานในปี 2003 ^{[ 40 ]}และมีการประมาณทิศทางที่เหมาะสมที่สุดบนท้องฟ้าสำหรับแบบจำลองนี้ในปี 2008 ^{[ 41 ]}

คุณสมบัติแฮมิลโทเนียนของกราฟทรงสิบสองเหลี่ยมและเกมไอโคเซียนซึ่ง เป็นของเล่นทางคณิตศาสตร์

ตามทฤษฎีบทของ Steinitzกราฟสามารถแสดงได้เป็นโครงร่างของทรงหลายเหลี่ยม กล่าวโดยคร่าวๆ คือ โครงสร้างของทรงหลายเหลี่ยม กราฟดังกล่าวมีคุณสมบัติสองประการ คือ เป็นกราฟระนาบหมายความว่า ขอบของกราฟเชื่อมต่อกับทุกจุดยอดโดยไม่ตัดกับขอบอื่นๆ และเป็นกราฟที่เชื่อมต่อกันสามจุด กล่าว คือ เมื่อใดก็ตามที่กราฟมีจุดยอดมากกว่าสามจุด และจุดยอดสองจุดถูกลบออก ขอบยังคงเชื่อมต่อกันอยู่^{[ 42 ] [ 43 ]}โครงร่างของทรงสิบสองเหลี่ยมปกติสามารถแสดงเป็นกราฟได้ และเรียกว่ากราฟทรงสิบสองเหลี่ยมหรือกราฟเพลโตนิค^{[ 44 ]}

กราฟนี้ยังสามารถสร้างเป็นกราฟ Petersen แบบทั่วไปได้ โดยที่จุดยอดของรูปสิบเหลี่ยมจะเชื่อมต่อกับจุดยอดของรูปห้าเหลี่ยมสองรูป โดยรูปห้าเหลี่ยมรูปหนึ่งเชื่อมต่อกับจุดยอดคี่ของรูปสิบเหลี่ยม และรูปห้าเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งเชื่อมต่อกับจุดยอดคู่^{[ 45 ]}ในทางเรขาคณิต สามารถมองเห็นภาพนี้ได้ว่าเป็นแถบเส้นศูนย์สูตรสิบจุดยอดของทรงสิบสองเหลี่ยมที่เชื่อมต่อกับบริเวณขั้วโลกห้าจุดยอดสองแห่ง โดยแต่ละแห่งอยู่คนละด้าน ${\displaystyle G(10,2)}$

ความสมมาตรระดับสูงของรูปหลายเหลี่ยมถูกจำลองในคุณสมบัติของกราฟนี้ ซึ่งได้แก่การส่งผ่านระยะทาง [ ^{46 ]}ระยะทางปกติและสมมาตรกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมมี^{ลำดับ}หนึ่งร้อยยี่สิบ จุดยอดสามารถระบายสี ได้ ด้วย 3 สี เช่นเดียวกับขอบ และเส้นผ่านศูนย์กลางคือห้า^{[ 47 ]}

กราฟทรงสิบสองเหลี่ยมเป็นกราฟแฮมิลโท เนียน หมายความว่าเส้นทางจะผ่านจุดยอดทั้งหมดเพียงครั้งเดียว คุณสมบัตินี้ตั้งชื่อตามวิลเลียม โรวัน แฮมิลตันผู้คิดค้นเกมคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าเกมไอโคเซียนวัตถุประสงค์ของเกมคือการค้นหาวัฏจักรแฮมิลโทเนียนตามขอบของทรงสิบสองเหลี่ยม^{[ 48 ]}

• 120-เซลล์โพลีโครอนปกติ (โพลีโทป 4 มิติ ที่มีพื้นผิวประกอบด้วยเซลล์ทรงสิบสองเหลี่ยมจำนวนหนึ่งร้อยยี่สิบเซลล์)
• แฝดทรงยี่สิบหน้า - อนุภาคนาโนที่มีรูปร่างเหมือนทรงสิบสองหน้าปกติ
• กฎความคงที่ของมุมระหว่างพื้นผิว
• ราโมท โปลินที่ซึ่งอาคารที่อยู่อาศัยมีลักษณะคล้ายทรงสิบสองเหลี่ยมด้านเท่า

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อเกี่ยวกับโดเดคาฮีดรอน

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ทรงสิบสองเหลี่ยมปกติ" . MathWorld .
• คลิทซิง, ริชาร์ด. "3D convex uniform polyhedra o3o5x – doe" .
• แบบร่างโครงสร้างทรงสิบสองเหลี่ยมที่แก้ไขและพิมพ์ได้ พร้อมมุมมอง 3 มิติแบบโต้ตอบ
• ทรงหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอ
• ทรงหลายเหลี่ยมโอริกามิ – แบบจำลองที่สร้างด้วยโอริกามิแบบโมดูลาร์
• รูปทรงสิบสองเหลี่ยม (Dodecahedron) ถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 4 กันยายน 2015 ที่Wayback Machine – โมเดล 3 มิติที่ใช้งานได้ในเบราว์เซอร์ของคุณ
• โพลีเฮดราในโลกเสมือนจริงสารานุกรมโพลีเฮดรา
  • VRML # ทรงสิบสองเหลี่ยมปกติเก็บถาวรเมื่อ 2021-01-26 ที่Wayback Machine
• KJM MacLean, การวิเคราะห์ทางเรขาคณิตของทรงหลายเหลี่ยมเพลโตทั้งห้าและทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติอื่นๆ
• การแสดงภาพสามมิติของทรงสิบสองเหลี่ยม
• Stella: Polyhedron Navigator : ซอฟต์แวร์ที่ใช้สร้างภาพบางส่วนในหน้านี้
• วิธีทำทรงสิบสองเหลี่ยมจากลูกบาศก์โฟม
• ธาตุทั้งเจ็ดของกรีก อินเดีย และจีน – ทฤษฎีธาตุทั้งเจ็ด