ในโทโพโลยีเชิงพีชคณิตทรงกลมโฮโมโลยีคือแมนิโฟลด์nมิติXที่มีกลุ่มโฮโมโลยีของทรงกลมnมิติสำหรับจำนวนเต็มบางค่านั่นคือ ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle H_{0}(X,\mathbb {Z} )=H_{n}(X,\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} }$

และ

${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z} )=\{0\}}$สำหรับi อื่น ๆ ทั้งหมด

ดังนั้นXจึงเป็นปริภูมิเชื่อมต่อ ที่มี จำนวนเบตติสูงที่ไม่เป็นศูนย์หนึ่งตัวคือ. นี่ไม่ได้หมายความว่าXเป็นปริภูมิเชื่อมต่อเชิงง่ายเสมอไปเพียงแต่กลุ่มพื้นฐาน ของมัน เป็น กลุ่ม สมบูรณ์เท่านั้น (ดูทฤษฎีบทของฮูเรวิช ) ${\displaystyle b_{n}=1}$

ทรงกลมโฮโมโลจีเชิงตรรกะถูกนิยามในทำนองเดียวกัน แต่ใช้โฮโมโลจีที่มีสัมประสิทธิ์เชิงตรรกะ

ทรงกลมโฮโมโลจีของปวงกาเร (หรือที่รู้จักกันในชื่อปริภูมิสิบสองเหลี่ยมของปวงกาเร) เป็นตัวอย่างเฉพาะของทรงกลมโฮโมโลจี ซึ่งสร้างขึ้นครั้งแรกโดยอองรี ปวงกาเรเนื่องจากเป็นแมนิโฟลด์ทรงกลม 3 มิติมันจึงเป็นทรงกลมโฮโมโลจี 3 มิติเพียงแห่งเดียว (นอกเหนือจากทรงกลม 3 มิติเอง) ที่มีกลุ่มพื้นฐาน จำกัด กลุ่มพื้นฐานของมันรู้จักกันในชื่อกลุ่มไอโคซาเฮดรัลไบนารีและมีอันดับ 120 เนื่องจากกลุ่มพื้นฐานของทรงกลม 3 มิติเป็นกลุ่มที่ไม่มีสมาชิกอื่น แสดงว่ามีอยู่จริงที่มีกลุ่มโฮโมโลจีเดียวกันกับทรงกลม 3 มิติ แต่ไม่สมมูลกันในเชิงโฮโมมอร์ฟิก

การสร้างพื้นที่นี้อย่างง่ายเริ่มต้นด้วยทรงสิบสองเหลี่ยมแต่ละหน้าของทรงสิบสองเหลี่ยมจะถูกระบุกับหน้าตรงข้าม โดยใช้การบิดตามเข็มนาฬิกาน้อยที่สุดเพื่อจัดเรียงหน้าให้ตรงกันการเชื่อมต่อหน้าตรงข้ามแต่ละคู่เข้าด้วยกันโดยใช้การระบุนี้จะทำให้ได้ 3 มิติแบบปิด (ดูพื้นที่ Seifert–Weberสำหรับการสร้างที่คล้ายกัน โดยใช้ "การบิด" มากกว่า ซึ่งส่งผลให้ได้3 มิติแบบไฮเปอร์โบลิก )

อีกทางเลือกหนึ่ง ทรงกลมโฮโมโลยีของปวงกาเรสามารถสร้างขึ้นได้เป็นปริภูมิผลหารSO(3) /I โดยที่ I คือกลุ่มไอโคซาเฮดรอล (กล่าวคือกลุ่มสมมาตรการ หมุน ของไอโคซาเฮดรอล ปกติ และโดเดคาเฮดรอล ซึ่งสมมาตรกับกลุ่มสลับ A ₅ ) โดยสัญชาตญาณมากขึ้น นี่หมายความว่าทรงกลมโฮโมโลยีของปวงกาเรคือปริภูมิของการกำหนดค่าที่แตกต่างกันของไอโคซาเฮดรอลปกติ ซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด ในปริภูมิยูคลิด 3 มิติ นอกจากนี้ยังสามารถเปลี่ยนไปใช้การปกคลุมสากลของ SO(3) ซึ่งสามารถทำให้เป็นจริงได้เป็นกลุ่มของควอเทอร์เนียน หน่วย และสมมาตรกับทรงกลม 3 มิติ ในกรณีนี้ ทรงกลมโฮโมโลยีของปวงกาเรจะสมมาตรกับ โดยที่คือกลุ่มไอโคซาเฮดรอล ไบนารี ซึ่ง เป็นการ ปกคลุมคู่ที่สมบูรณ์แบบของ I ที่ฝังอยู่ใน${\displaystyle S^{3}/{\widetilde {I}}}$${\displaystyle {\widetilde {I}}}$${\displaystyle S^{3}}$

อีกแนวทางหนึ่งคือการผ่าตัดแบบเดห์น (Dehn surgery ) ทรงกลมโฮโมโลจีของปวงกาเร (Poincaré homology sphere) เกิดจากการผ่าตัดแบบ +1 บนปมสามแฉกมือขวา (right-handed trefoil knot )

ในปี 2546 การขาดโครงสร้างในระดับที่ใหญ่ที่สุด (เหนือ 60 องศา) ในพื้นหลังไมโครเวฟของจักรวาลที่สังเกตได้เป็นเวลาหนึ่งปีโดย ยานอวกาศ WMAPนำไปสู่ข้อเสนอแนะโดยJean-Pierre Luminetจากหอดูดาวปารีสและเพื่อนร่วมงานว่ารูปร่างของจักรวาลเป็นทรงกลมปวงกาเร^{[ 1 ] [ 2 ]}ในปี 2551 นักดาราศาสตร์พบทิศทางที่ดีที่สุดบนท้องฟ้าสำหรับแบบจำลองและยืนยันการคาดการณ์บางส่วนของแบบจำลองโดยใช้การสังเกตการณ์สามปีจากยานอวกาศ WMAP ^{[ 3 ]} การวิเคราะห์ข้อมูลจากยานอวกาศ Planckชี้ให้เห็นว่าไม่มีโทโพโลยีที่ไม่ธรรมดาที่สังเกตได้ในจักรวาล^{[ 4 ]}

• การผ่าตัดปมในทรงกลม 3 มิติS ³ที่มีเฟรม +1 หรือ −1 จะให้ทรงกลมโฮโมโลยี
• โดยทั่วไปแล้ว การผ่าตัดบนลิงก์จะให้ทรงกลมโฮโมโลจีก็ต่อเมื่อเมทริกซ์ที่กำหนดโดยตัวเลขจุดตัด (นอกแนวทแยง) และเฟรมมิง (บนแนวทแยง) มีดีเทอร์มิแนนต์เป็น +1 หรือ −1
• ถ้าp , qและrเป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่มีตัวหารร่วมกันสัมพัทธ์แล้ว ลิงก์ของจุดเอกฐานx ^p + y ^q + z ^r = 0 (กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ จุดตัดของทรงกลม 3 มิติขนาดเล็กที่อยู่รอบ 0 กับพื้นผิวเชิงซ้อนนี้) คือแมนิโฟลด์ Brieskornที่เป็นทรงกลม 3 มิติเชิงโฮโมโลยี เรียกว่าทรงกลม3 มิติBrieskorn Σ( p , q , r ) มันจะสมมูลกับทรงกลม 3 มิติมาตรฐานก็ต่อเมื่อp , qหรือr ตัวใดตัวหนึ่ง เป็น 1 และ Σ(2, 3, 5) คือทรงกลม Poincaré
• ผลรวมที่เชื่อมต่อกันของทรงกลมโฮโมโลจี 3 มิติแบบมีทิศทางสองอัน เรียกว่า ทรงกลมโฮโมโลจี 3 มิติ ทรงกลมโฮโมโลจี 3 มิติที่ไม่สามารถเขียนเป็นผลรวมที่เชื่อมต่อกันของทรงกลมโฮโมโลจี 3 มิติสองอันได้ เรียกว่า ทรงกลมที่ลดทอนไม่ได้หรือทรงกลมเฉพาะและทรงกลมโฮโมโลจี 3 มิติทุกอันสามารถเขียนเป็นผลรวมที่เชื่อมต่อกันของทรงกลมโฮโมโลจี 3 มิติเฉพาะได้ในลักษณะที่ไม่ซ้ำกันโดยพื้นฐาน (ดูการแยกส่วนเฉพาะ (แมนิโฟลด์ 3 มิติ) )
• สมมติว่าเป็นจำนวนเต็มทั้งหมดที่มีค่าอย่างน้อย 2 โดยที่จำนวนเต็มสองจำนวนใดๆ ก็ตามเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน แล้วปริภูมิไฟเบอร์ของ Seifert${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{r}}$

${\displaystyle \{b,(o_{1},0);(a_{1},b_{1}),\dots ,(a_{r},b_{r})\}\,}$

เหนือทรงกลมที่มีเส้นใยพิเศษที่มีระดับa ₁ , ..., a _rคือทรงกลมโฮโมโลยี โดยที่ ค่า bถูกเลือกเพื่อให้

${\displaystyle b+b_{1}/a_{1}+\cdots +b_{r}/a_{r}=1/(a_{1}\cdots a_{r}).}$

(มีวิธีเลือก ค่า b เสมอ และทรงกลมโฮโมโลจีไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกค่าb (จนถึงไอโซมอร์ฟิซึม )) ถ้าrมีค่าไม่เกิน 2 นี่ก็คือทรงกลม 3 มิติแบบปกติ มิฉะนั้นจะเป็นทรงกลมโฮโมโลจีที่ไม่ธรรมดาที่แตกต่างกัน ถ้า ค่า aคือ 2, 3 และ 5 จะได้ทรงกลมปวงกาเร ถ้ามี ค่า a อย่างน้อย 3 ค่า ไม่ใช่ 2, 3, 5 แล้วนี่จะเป็นทรงกลมโฮโมโลจี 3 มิติแบบไม่มีวัฏจักรที่มีกลุ่มพื้นฐานอนันต์ซึ่งมีเรขาคณิตแบบเธอร์สตัน ที่จำลองมาจากการ ปกคลุมสากลของSL ₂ ( R )

• ตัวแปรคงที่ ของRokhlinเป็นตัวแปรคงที่ที่มีค่าเป็น ของทรงกลมโฮโมโลยี 3 มิติ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
• ตัวแปรแคสสัน ( Casson invariant)เป็นตัวแปรคงที่ที่มีค่าเป็นจำนวนเต็มของทรงกลมโฮโมโลยี 3 มิติ ซึ่งการลดรูปมอดูลัส 2 ของตัวแปรนี้คือตัวแปรคงที่โรคลิน (Rokhlin invariant)

ถ้าAเป็นทรงกลมโฮโมโลยี 3 มิติที่ไม่สมมาตรกับทรงกลม 3 มิติมาตรฐานแล้วการแขวนลอยของA จะเป็นตัวอย่างของ แมนิโฟลด์โฮโมโลยี 4 มิติที่ไม่ใช่แมนิโฟลด์เชิงทอ พอโลยี การแขวนลอยคู่ของAสมมาตรกับทรงกลม 5 มิติมาตรฐาน แต่การแบ่งเป็นรูปสามเหลี่ยม (ที่เกิดจากการแบ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมของA ) ไม่ใช่แมนิโฟลด์ PLกล่าวอีกนัยหนึ่ง นี่เป็นตัวอย่างของคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียล จำกัด ที่เป็นแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีแต่ไม่ใช่แมนิโฟลด์ PL (มันไม่ใช่แมนิโฟลด์ PL เพราะลิงก์ของจุดไม่ได้เป็นทรงกลม 4 มิติเสมอไป)

Galewski และ Stern แสดงให้เห็นว่าแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีขนาดกะทัดรัดทั้งหมด (โดยไม่มีขอบเขต) ที่มีมิติอย่างน้อย 5 นั้นเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับคอมเพล็กซ์ ซิมพลิเชียล ก็ต่อเมื่อมีทรงกลมโฮโมโลยี 3 Σ ที่มีตัวแปรคงที่ของ Rokhlin 1 ซึ่งผลรวมที่เชื่อมต่อ Σ#Σ ของ Σ กับตัวมันเองจะจำกัดแมนิโฟลด์ 4 มิติแบบเรียบที่ ไม่มีวัฏจักร Ciprian Manolescuแสดงให้เห็น^{[ 5 ]}ว่าไม่มีทรงกลมโฮโมโลยีที่มีคุณสมบัติดังกล่าว และด้วยเหตุนี้จึงมีแมนิโฟลด์ 5 มิติที่ไม่เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับคอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียล โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตัวอย่างที่ Galewski และ Stern ให้ไว้แต่เดิม^{[ 6 ]}นั้นไม่สามารถสร้างสามเหลี่ยมได้

• พื้นที่ไอเลนเบิร์ก-แมคเลน
• ปริภูมิโมร์ (โทโพโลยีเชิงพีชคณิต)

• Dror, Emmanuel (1973). "ทรงกลมโฮโมโลยี". วารสารคณิตศาสตร์อิสราเอล 15 ( 2): 115– 129. doi : 10.1007/BF02764597 . MR  0328926 . S2CID  189796498 .
• Galewski, David; Stern, Ronald (1980). "การจำแนกประเภทของการแบ่งสามเหลี่ยมเชิงซิมพลิเชียลของแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยี" Annals of Mathematics . 111 (1): 1– 34. doi : 10.2307/1971215 . JSTOR  1971215 . MR  0558395 .
• Robion Kirby , Martin Scharlemann, แปดหน้าของทรงกลม 3 มิติโฮโมโลยีของ Poincaré โทโพโลยีเชิงเรขาคณิต (รายงานการประชุมโทโพโลยีแห่งจอร์เจีย, เอเธนส์, จอร์เจีย, 1977), หน้า 113–146, สำนักพิมพ์ Academic Press , นิวยอร์ก-ลอนดอน, 1979
• Kervaire, Michel (1969). "ทรงกลมโฮโมโลยีเรียบและกลุ่มพื้นฐานของพวกมัน" . Transactions of the American Mathematical Society . 144 : 67– 72. doi : 10.1090/S0002-9947-1969-0253347-3 . JSTOR  1995269 . MR  0253347 . S2CID  54063849 .
• Nikolai Saveliev, Invariants of Homology 3-Spheres , Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol 140. Low-Dimensional Topology, I. Springer-Verlag, Berlin, 2002. MR 1941324 ISBN  3-540-43796-7

• การสร้างสามเหลี่ยม 16 จุดยอดของทรงกลม 3 มิติ Poincaré Homology และทรงกลมที่ไม่ใช่ PL ที่มีจุดยอดน้อยโดยAnders BjörnerและFrank H. Lutz
• การบรรยายโดยเดวิด กิลล์แมนเรื่อง " ภาพที่ดีที่สุดของทรงกลมโฮโมโลยีของปวงกาเร"