อัตราส่วนทองคำ( ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$ )

ตัวแทน
ทศนิยม	1.618 033 988 749 894  . . .  [ 1 ]
รูปแบบพีชคณิต	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$
เศษส่วนต่อเนื่อง	${\displaystyle 1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{{\vphantom {1}} \atop \ddots }}}}}}}}$

ในทางคณิตศาสตร์ปริมาณสองปริมาณจะอยู่ในอัตราส่วนทองคำก็ ต่อ เมื่ออัตราส่วนของปริมาณทั้งสองเท่ากับอัตราส่วนของผลรวมของปริมาณทั้งสองต่อปริมาณที่มากกว่า เมื่อแสดงในรูปพีชคณิต สำหรับปริมาณ⁠ ⁠${\displaystyle a}$และ⁠ ⁠${\displaystyle b}$โดยที่⁠ ⁠${\displaystyle a>b>0}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle a}$จะอยู่ในอัตราส่วนทองคำกับ⁠ ⁠${\displaystyle b}$ถ้าโดยที่อักษรกรีกฟี ( ⁠ ⁠หรือ⁠ ⁠หรือ⁠ ⁠ ) แทนอัตราส่วนทองคำ ค่าคงที่⁠ ⁠สอดคล้องกับสมการกำลังสอง⁠ ⁠และเป็นจำนวนอตรรกยะที่มีค่าเท่ากับ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi ,}$$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \textstyle \varphi ^{2}=\varphi +1}$${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}={}}$1.618 033 988 749 .... ^{[ a ]}ยูคลิดเรียก อัตราส่วนทองคำ ว่า อัตราส่วนสุดขั้วและค่าเฉลี่ย [ ^{2 ]}และลูกา ปาซิโอลีเรียกว่า^{สัดส่วน}ศักดิ์สิทธิ์^{[ 3 ]}นอกจากนี้ยังมีชื่อเรียกอื่นๆ อีกด้วย^{[ b ]}

นักคณิตศาสตร์ได้ศึกษาคุณสมบัติของอัตราส่วนทองคำมาตั้งแต่สมัยโบราณ อัตราส่วนทองคำคืออัตราส่วนของเส้นทแยงมุมของรูปห้าเหลี่ยมปกติกับด้านข้างของรูปห้าเหลี่ยมปกติดังนั้น จึงปรากฏในการ สร้างทรงสิบสองเหลี่ยมและทรงยี่สิบเหลี่ยม^{[ 7 ]}สี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำซึ่งก็คือสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีอัตราส่วนด้านเท่ากับ⁠ ⁠สามารถตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาดเล็กกว่าที่มีอัตราส่วนด้าน เท่ากันได้ อัตราส่วนทองคำถูกนำมาใช้ในการวิเคราะห์สัดส่วนของวัตถุธรรมชาติและระบบเทียม เช่นตลาดการเงินในบางกรณีขึ้นอยู่กับความสอดคล้องกับข้อมูลที่น่าสงสัย^{[ 8 ]}อัตราส่วนทองคำปรากฏในรูปแบบบางอย่างในธรรมชาติรวมถึงการจัดเรียงแบบเกลียวของใบไม้และส่วนอื่นๆ ของพืช ${\displaystyle \varphi }$

ศิลปินและสถาปนิกในศตวรรษที่ 20 บางคนเช่นเลอ คอร์บูซิเยร์และซัลวาดอร์ ดาลีได้ออกแบบสัดส่วนผลงานของตนให้ใกล้เคียงกับอัตราส่วนทองคำ โดยเชื่อว่ามี ความสวยงาม ทางสุนทรียศาสตร์การใช้งานเหล่านี้มักปรากฏในรูปทรงสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำ

ปริมาณที่ไม่เป็นศูนย์สองปริมาณ⁠ ⁠${\displaystyle a}$และ⁠ ⁠${\displaystyle b}$อยู่ในอัตราส่วนทองคำ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$ถ้า^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi .}$

ในการหาค่า ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$ให้เป็นจำนวนเต็ม เราสามารถหารตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนทางด้านซ้ายมือด้วย⁠ ⁠${\displaystyle b}$ ,

${\displaystyle {\frac {{\frac {a}{b}}+1}{\frac {a}{b}}}={\frac {a}{b}},}$

จากนั้นจึงแทนค่า${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}=\varphi }$เพื่อให้ ได้

${\displaystyle {\frac {\varphi +1}{\varphi }}=\varphi .}$

คูณทั้งสองข้างด้วย⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$จะได้

${\displaystyle \varphi +1=\varphi ^{2}}$

ซึ่งสามารถจัดเรียงใหม่ได้เป็น

${\displaystyle {\varphi }^{2}-\varphi -1=0.}$

สูตรกำลังสองให้ผลลัพธ์สองคำตอบ:

${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.618033\dots \ }$และ${\displaystyle \ {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0.618033\dots .}$

รากบวก⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$คืออัตราส่วนทองคำ^{[ 10 ]}รากลบคือส่วนกลับเชิงลบ⁠ ⁠${\displaystyle -1/\varphi }$ซึ่งมีคุณสมบัติร่วมกันหลายประการ

ตามคำกล่าวของมาริโอ ลิวิโอ

นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ที่สุดในทุกยุคทุกสมัย ตั้งแต่พีทาโกรัสและยูคลิดในสมัยกรีกโบราณผ่านนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีในยุคกลางอย่างเลโอนาร์โดแห่งปิซาและนักดาราศาสตร์ในยุค เรเนสซองส์อย่าง โยฮันเนส เคปเลอร์ ไป จนถึงบุคคลสำคัญทางวิทยาศาสตร์ในปัจจุบัน เช่นโรเจอร์ เพนโรส นักฟิสิกส์ จากออกซ์ฟอร์ด ต่างใช้เวลามากมายไปกับอัตราส่วนที่เรียบง่ายนี้และคุณสมบัติของมัน ... นักชีววิทยา ศิลปิน นักดนตรี นักประวัติศาสตร์ สถาปนิก นักจิตวิทยา และแม้แต่นักลึกลับ ต่างก็ใคร่ครวญและถกเถียงถึงพื้นฐานของความแพร่หลายและความน่าสนใจของมัน อันที่จริง อาจกล่าวได้ว่าอัตราส่วนทองคำได้สร้างแรงบันดาลใจให้กับนักคิดในทุกสาขาวิชามากกว่าตัวเลขอื่นใดในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์^{[ 11 ]}

นักคณิตศาสตร์ ชาวกรีกโบราณศึกษาอัตราส่วนทองคำเป็นครั้งแรกเนื่องจากการปรากฏบ่อยครั้งในเรขาคณิต^[ 12 ^]การแบ่งเส้นตรงออกเป็น "อัตราส่วนสุดขั้วและอัตราส่วนเฉลี่ย" (ส่วนทองคำ) มีความสำคัญในเรขาคณิตของรูปดาวห้าแฉกปกติ^และรูปห้าเหลี่ยม[ ^{13 ] ตาม}เรื่องเล่าหนึ่ง นักคณิตศาสตร์ฮิปปาซัส ในศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราช ค้นพบว่าอัตราส่วนทองคำไม่ใช่ทั้งจำนวนเต็มหรือเศษส่วน (เป็นจำนวนอตรรกยะ ) ซึ่งทำให้ชาวพีทาโกเรียนประหลาด ใจ ^{[ 14 ]} หนังสือ Elementsของยูคลิด ( ประมาณ 300 ปีก่อนคริสต์ศักราช ) ให้ข้อเสนอและบทพิสูจน์หลายข้อโดยใช้อัตราส่วนทองคำ^{[ 15 ] [ c ]}และมีคำจำกัดความแรกที่รู้จักซึ่งดำเนินไปดังนี้: ^{[ 16 ]}

กล่าวกันว่าเส้นตรงถูกตัดด้วยอัตราส่วนสุดขั้วและค่าเฉลี่ยเมื่อเส้นตรงทั้งหมดเทียบกับส่วนที่ใหญ่กว่า ส่วนที่ใหญ่กว่าเทียบกับส่วนที่เล็กกว่าก็เช่นเดียวกัน^{[ 17 ] [ d ]}

อัตราส่วนทองคำได้รับการศึกษาในวงกว้างตลอดช่วงพันปีถัดมา อบู กามิล (ประมาณ ค.ศ. 850–930) ใช้มันในการคำนวณทางเรขาคณิตของรูปห้าเหลี่ยมและรูปสิบเหลี่ยม งานเขียนของเขามีอิทธิพลต่องานเขียนของฟิโบนาชชี (เลโอนาร์โดแห่งปิซา) (ประมาณ ค.ศ. 1170–1250) ซึ่งใช้อัตราส่วนนี้ในปัญหาทางเรขาคณิตที่เกี่ยวข้อง แต่ไม่ได้สังเกตว่ามันเชื่อมโยงกับตัวเลขฟิโบนาชชี^{[ 19 ]}

Luca Pacioliตั้งชื่อหนังสือของเขาว่าDivina proportione ( 1509 ) ตามอัตราส่วนดังกล่าว หนังสือเล่มนี้ซึ่งลอกเลียนแบบมาจากPiero della Francesca เป็นส่วนใหญ่ ได้ สำรวจคุณสมบัติของอัตราส่วนนี้ รวมถึงการปรากฏในรูปทรงเรขาคณิตแบบเพลโตบางรูป^{[ 20 ] [ 21 ]} Leonardo da Vinciผู้วาดภาพประกอบหนังสือของ Pacioli เรียกอัตราส่วนนี้ว่าsectio aurea ('ส่วนทองคำ') ^{[ 22 ]}แม้ว่ามักจะกล่าวกันว่า Pacioli สนับสนุนการประยุกต์ใช้อัตราส่วนทองคำเพื่อให้ได้สัดส่วนที่สวยงามและกลมกลืน แต่ Livio ชี้ให้เห็นว่าการตีความดังกล่าวมีที่มาจากความผิดพลาดในปี 1799 และ Pacioli สนับสนุนระบบสัดส่วนเชิงตรรกะแบบVitruvian มากกว่า ^{[ 23 ]} Pacioli ยังมองเห็นความสำคัญทางศาสนาคาทอลิกในอัตราส่วนนี้ ซึ่งนำไปสู่ชื่อผลงานของเขา นักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 16 เช่นRafael Bombelliได้แก้ปัญหาทางเรขาคณิตโดยใช้อัตราส่วนนี้^{[ 24 ]}

นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันSimon Jacob (เสียชีวิตในปี 1564) สังเกตว่าอัตราส่วนของจำนวนฟิโบนาชชีที่ต่อเนื่องกันจะลู่เข้าสู่อัตราส่วนทองคำ^{[ 25} ] ^{สิ่งนี้}ถูกค้นพบอีกครั้งโดยJohannes Keplerในปี 1608 ^{[ 26 ]}การประมาณค่าทศนิยมครั้งแรกที่รู้จัก ของอัตราส่วนทองคำ (ผกผัน) ถูกระบุว่า "ประมาณ ⁠ ⁠${\displaystyle 0.6180340}$ " ในปี 1597 โดยMichael Maestlinจากมหาวิทยาลัย Tübingenในจดหมายถึง Kepler อดีตนักศึกษาของเขา^{[ 27 ]}ในปีเดียวกันนั้น Kepler ได้เขียนถึง Maestlin เกี่ยวกับสามเหลี่ยม Keplerซึ่งรวมอัตราส่วนทองคำเข้ากับทฤษฎีบทพีทาโกรัส Kepler กล่าวถึงสิ่งเหล่านี้ว่า:

เรขาคณิตมีสมบัติล้ำค่าสองอย่าง อย่างแรกคือทฤษฎีบทพีทาโกรัส อย่างที่สองคือการแบ่งเส้นตรงออกเป็นอัตราส่วนสุดขั้วและอัตราส่วนเฉลี่ย อย่างแรกเราอาจเปรียบได้กับทองคำก้อนโต ส่วนอย่างที่สองเราอาจเรียกว่าอัญมณีล้ำค่า^{[ 28 ]}

นักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 18 อย่างAbraham de Moivre , Nicolaus I BernoulliและLeonhard Eulerใช้สูตรที่อิงตามอัตราส่วนทองคำซึ่งหาค่าของจำนวนฟิโบนาชชีโดยพิจารณาจากตำแหน่งในลำดับ ในปี 1843 Jacques Philippe Marie Binet ได้ค้นพบสูตรนี้อีกครั้ง และตั้งชื่อว่า "สูตรของ Binet" ^{[ 29 ]}ในปี 1789 Johann Samuel Traugott Gehlerได้ใช้คำว่า 'golden section' เป็นครั้งแรกในพจนานุกรมวิทยาศาสตร์กายภาพยอดนิยมของเขาPhysikalisches Wörterbuchโดยอ้างถึงว่า 'güldnen Schnitt (media et extrema ratione, sectione aurea s[ive] divina)' ^{[ 30 ]} James Sullyใช้คำภาษาอังกฤษที่เทียบเท่ากันในปี 1875 ^{[ 31 ]}

ในปี พ.ศ. 2453 มาร์ค บาร์ นักประดิษฐ์ เริ่มใช้อักษรกรีกphi ( ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$ ) เป็นสัญลักษณ์แทนอัตราส่วนทองคำ^{[ 32 ] [ e ]}นอกจากนี้ยังใช้แทนด้วยtau ( ⁠ ⁠${\displaystyle \tau }$ ) ซึ่งเป็นอักษรตัวแรกของภาษากรีกโบราณ τομή ('ตัด' หรือ 'ส่วน') ^{[ 35 ]}

ระบบ การสร้าง โซมซึ่งพัฒนาโดยสตีฟ แบร์ในช่วงปลายทศวรรษ 1960 นั้น อิงตามระบบสมมาตรของไอโคซาเฮดรอน / โดเดคาเฮดรอนและใช้สัดส่วนทองคำอย่างแพร่หลาย ระหว่างปี 1973 ถึง 1974 โรเจอร์ เพนโรสได้พัฒนาการปูพื้นแบบเพนโรสซึ่งเป็นรูปแบบที่เกี่ยวข้องกับสัดส่วนทองคำ ทั้งในอัตราส่วนของพื้นที่ของกระเบื้องรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสองชิ้น และในความถี่สัมพัทธ์ของกระเบื้องเหล่านั้นภายในรูปแบบ^{[ 36 ]}สิ่งนี้ได้รับความสนใจมากขึ้นหลังจากที่แดน เชชต์แมนได้รับรางวัลโนเบลในปี 1982 จากการค้นพบผลึกกึ่งผลึกที่มีสมมาตรไอโคซาเฮดรอน ซึ่งต่อมาไม่นานก็ได้รับการอธิบายผ่านการเปรียบเทียบกับการปูพื้นแบบเพนโรส^{[ 37 ]}

อัตราส่วนทองคำเป็นจำนวนอตรรกยะด้านล่างนี้คือข้อพิสูจน์สั้นๆ สองข้อเกี่ยวกับความเป็นจำนวนอตรรกยะ:

นี่คือการพิสูจน์โดยการสืบลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุดโปรดจำไว้ว่า:

ถ้าเราเรียกส่วนทั้งหมดว่า⁠ ⁠${\displaystyle n}$และส่วนที่ยาวกว่าว่า⁠ ⁠${\displaystyle m}$แล้วข้อความที่สองข้างต้นจะกลายเป็น

⁠ ⁠${\displaystyle n}$คือ⁠ ⁠${\displaystyle m}$เช่นเดียว กับ ⁠ ⁠${\displaystyle m}$คือ⁠ ⁠${\displaystyle nm}$ .

การกล่าวว่าอัตราส่วนทองคำเป็นจำนวนตรรกยะ${\displaystyle \varphi }$หมายความว่าอัตราส่วนทองคำเป็น${\displaystyle \varphi }$เศษส่วน${\displaystyle n/m}$โดยที่และ${\displaystyle n}$เป็นจำนวนเต็ม${\displaystyle m}$เราอาจถือว่าอยู่${\displaystyle n/m}$ในรูปอย่างง่ายที่สุดและและเป็นจำนวนบวกแต่ถ้าอยู่ ในรูป อย่างง่ายที่สุดแล้ว ค่าที่เท่ากันของจะอยู่ในรูป ที่ต่ำกว่า นั้นอีก${\displaystyle n}$ซึ่งเป็นข้อขัดแย้งที่เกิดจากสมมติฐานที่ว่าอัตราส่วนทองคำเป็นจำนวนตรรกยะ ${\displaystyle m}$${\displaystyle n/m}$${\displaystyle m/(nm)}$${\displaystyle \varphi }$

อีกหนึ่งวิธีพิสูจน์สั้นๆ – ซึ่งอาจเป็นที่รู้จักกันทั่วไปมากกว่า – เกี่ยวกับความเป็นจำนวนอตรรกยะของอัตราส่วนทองคำนั้น ใช้ประโยชน์จากการปิดของจำนวนตรรกยะภายใต้การบวกและการคูณ หาก ถือว่า ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$เป็นจำนวนตรรกยะแล้ว⁠ ⁠${\displaystyle 2\varphi -1={\sqrt {5}}}$ ซึ่งเป็น รากที่สองของ⁠ ⁠ ก็ต้องเป็นจำนวนตรรกยะด้วย นี่เป็นข้อขัดแย้ง เนื่องจากรากที่สองของ ${\displaystyle 5}$จำนวนธรรมชาติ ที่ไม่ใช่ กำลังสอง ทั้งหมดเป็นจำนวนอตรรกยะ^{[ f ]}

เนื่องจากอัตราส่วนทองคำเป็นรากของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ จึงเป็นจำนวนพีชคณิตพหุนามที่น้อยที่สุดของอัตราส่วนทองคำ ซึ่งเป็นพหุนามดีกรีต่ำสุดที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มและมีอัตราส่วนทองคำเป็นราก คือพหุนามกำลัง สอง นี้มีราก สองตัว คือ⁠ ⁠และ⁠ ⁠เนื่องจากสัมประสิทธิ์นำหน้าของพหุนามนี้คือ 1 ดังนั้นรากทั้งสองจึงเป็นจำนวนเต็มพีชคณิตอัตราส่วนทองคำยังมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับพหุนาม⁠ ⁠ซึ่งมีรากคือ ⁠ ⁠และ⁠ ⁠$${\displaystyle x^{2}-x-1.}$$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \textstyle -\varphi ^{-1}}$${\displaystyle \textstyle x^{2}+x-1}$${\displaystyle -\varphi }$${\displaystyle \textstyle \varphi ^{-1}}$

อัตราส่วนทองคำเป็น${\displaystyle \varphi }$หน่วยพื้นฐานของฟิลด์กำลังสองซึ่งบาง${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$ครั้งเรียกว่าฟิลด์ทองคำในฟิลด์นี้ องค์ประกอบใดๆ ก็สามารถเขียนในรูปแบบโดยมีสัมประสิทธิ์ตรรกยะและ${\displaystyle r+s\varphi }$จำนวนดังกล่าว${\displaystyle r}$จะมีค่ามาตรฐาน${\displaystyle s}$เท่ากับหน่วยอื่นๆที่มีค่ามาตรฐานเท่ากับคือกำลังบวก${\displaystyle \textstyle r^{2}+rs-s^{2}}$และลบของจำนวนเต็มกำลังสองในฟิลด์นี้ ซึ่งก่อตัวเป็น^{วงแหวนคือ}จำนวนทั้งหมดในรูปแบบโดยที่และเป็นจำนวนเต็ม [ 38 ^]${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle a+b\varphi }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

อัตราส่วนทองคำ เป็นจำนวนที่สร้างได้เนื่องจากเป็นรากของพหุนามกำลังสอง^{[ 39 ]}

รากสังยุคของ พหุนามขั้นต่ำสุดคือ${\displaystyle \textstyle x^{2}-x-1}$

$${\displaystyle -{\frac {1}{\varphi }}=1-\varphi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0.618033\dots .}$$

ค่าสัมบูรณ์ของปริมาณนี้ ( ⁠ ⁠${\displaystyle 0.618\ldots }$ ) สอดคล้องกับอัตราส่วนความยาวที่นำมาเรียงลำดับย้อนกลับ (ความยาวส่วนที่สั้นกว่าหารด้วยความยาวส่วนที่ยาวกว่า⁠ ⁠${\displaystyle b/a}$ )

นี่แสดงให้เห็นถึงคุณสมบัติเฉพาะของอัตราส่วนทองคำในบรรดาจำนวนบวก ซึ่งก็คือ $${\displaystyle {\frac {1}{\varphi }}=\varphi -1,}$$

หรือสิ่งที่ตรงกันข้าม $${\displaystyle {\frac {1}{1/\varphi }}={\frac {1}{\varphi }}+1.}$$

ค่าสังยุคและความสัมพันธ์พหุนามกำลัง สอง ที่กำหนดไว้จะนำไปสู่ค่าทศนิยมที่มีส่วนเศษส่วนร่วมกับ:${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{2}&=\varphi +1=2.618033\dots ,\\[5mu]{\frac {1}{\varphi }}&=\varphi -1=0.618033\dots .\end{aligned}}}$$

ลำดับของเลขยกกำลังของ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$ประกอบด้วยค่าเหล่านี้⁠ ⁠${\displaystyle 0.618033\ldots }$ , ⁠ ⁠${\displaystyle 1.0}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle 1.618033\ldots }$ , ⁠ ⁠${\displaystyle 2.618033\ldots }$ ; โดยทั่วไปแล้ว เลขยกกำลังใดๆ ของ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$จะเท่ากับผลรวมของเลขยกกำลังสองตัวก่อนหน้าทันที: $${\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}=\varphi \cdot \operatorname {F} _{n}+\operatorname {F} _{n-1}.}$$

ด้วยเหตุนี้ จึงสามารถแยกกำลังใดๆ ของ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$ ออก เป็นผลคูณของ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$และค่าคงที่ได้อย่างง่ายดาย โดยผลคูณและค่าคงที่นั้นจะเป็นจำนวนฟิโบนาชชีที่อยู่ติดกันเสมอ ซึ่งนำไปสู่คุณสมบัติอีกประการหนึ่งของกำลังบวกของ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$ :

ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle {\bigl \lfloor }{\tfrac {1}{2}}n-1{\bigr \rfloor }=m}$ : $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}&=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-3}+\cdots +\varphi ^{n-1-2m}+\varphi ^{n-2-2m}\\[5mu]\varphi ^{n}-\varphi ^{n-1}&=\varphi ^{n-2}.\end{aligned}}}$$

สูตรสามารถขยายแบบเรียกซ้ำเพื่อให้ได้เศษส่วนต่อ${\displaystyle \varphi =1+1/\varphi }$เนื่องที่เรียบง่ายสำหรับอัตราส่วนทองคำ: ^{[ 40 ]}$${\displaystyle \varphi =[1;1,1,1,\dots ]=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{{\vphantom {1}} \atop \ddots }}}}}}}}$$

อันที่จริงแล้ว มันเป็นรูปแบบที่ง่ายที่สุดของเศษส่วนต่อเนื่อง ควบคู่ไปกับรูปแบบส่วนกลับของมัน: $${\displaystyle \varphi ^{-1}=[0;1,1,1,\dots ]=0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{{\vphantom {1}} \atop \ddots }}}}}}}}$$

ค่าลู่เข้าของเศษส่วนต่อเนื่องเหล่านี้⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {2}{1}}}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {5}{3}}}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {8}{5}}}$ , ...หรือ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {13}{8}}}$ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ...คืออัตราส่วนของจำนวนฟิโบนาชชีที่ ต่อเนื่องกัน พจน์ ที่ เล็ก อย่างสม่ำเสมอในเศษส่วนต่อเนื่องอธิบายว่าทำไมค่าประมาณจึงลู่เข้าอย่างช้าๆ สิ่งนี้ทำให้อัตราส่วนทองคำเป็นกรณีสุดขั้วของอสมการฮูร์วิตซ์สำหรับการ ประมาณไดโอแฟนไทน์ ซึ่งระบุว่าสำหรับจำนวนอตรรกยะทุกจำนวน⁠ ⁠ จะมีเศษส่วนที่แตกต่างกันอย่างไม่จำกัดจำนวน⁠ ⁠เช่นนั้น ${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}$${\displaystyle {\tfrac {5}{8}}}$${\displaystyle {\tfrac {8}{13}}}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle p/q}$$${\displaystyle \left|\xi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}.}$$

ซึ่งหมายความว่าค่าคงที่⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ไม่สามารถปรับปรุงได้หากไม่ยกเว้นอัตราส่วนทองคำ อันที่จริงแล้วมันคือจำนวนที่เล็กที่สุดที่ต้องยกเว้นเพื่อสร้างค่าประมาณที่ใกล้เคียงยิ่งขึ้นของจำนวนลากรางจ์ดัง กล่าว ^{[ 41 ]}

สามารถหา ฟอร์ม รากที่สองต่อเนื่องสำหรับ⁠ ⁠ ได้ จาก ${\displaystyle \varphi }$⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \varphi ^{2}=1+\varphi }$ซึ่งให้ผลลัพธ์ดังนี้: ^{[ 42 ]}$${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {\textstyle 1+{\sqrt {1+\cdots {\vphantom {)}}}}}}}}.}$$

เกลียวฟิโบนาชชี (ด้านบน) ซึ่งเป็นการประมาณเกลียวทองคำโดยใช้ ขนาดของช่องสี่เหลี่ยม ตามลำดับฟิโบนาชชีจนถึง21ส่วนการประมาณเกลียวทองคำอีกแบบหนึ่ง (ด้านล่าง) สร้างขึ้นจากการเรียงซ้อนช่องสี่เหลี่ยมที่มีความยาวด้านเป็นตัวเลขในลำดับของจำนวนลูคัสซึ่งในที่นี้ถึง76

ตัวเลขฟิโบนาชชีและตัวเลขลูคัสมีความสัมพันธ์ที่ซับซ้อนกับอัตราส่วนทองคำ ในลำดับฟิโบนาชชี แต่ละพจน์จะเท่ากับผลรวมของสองพจน์ก่อนหน้าโดยเริ่มจากลำดับฐานเป็นพจน์ที่ 0 และ1ตามลำดับ ${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle F_{n-1}}$${\displaystyle F_{n-2}}$${\displaystyle 0,1}$${\displaystyle F_{0}}$${\displaystyle F_{1}}$

${\displaystyle 0,}$( OEIS : ${\displaystyle 1,}$A000045 )​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ ​​${\displaystyle 1,}$${\displaystyle 2,}$${\displaystyle 3,}$${\displaystyle 5,}$${\displaystyle 8,}$${\displaystyle 13,}$${\displaystyle 21,}$${\displaystyle 34,}$${\displaystyle 55,}$${\displaystyle 89,}$${\displaystyle \ldots }$

ลำดับของจำนวนลูคัส (อย่าสับสนกับลำดับลูคัส ทั่วไป ซึ่งลำดับนี้เป็นส่วนหนึ่งของลำดับนั้น) มีลักษณะคล้ายกับลำดับฟิโบนาชชีตรงที่แต่ละพจน์เป็นผลรวมของสองพจน์ก่อนหน้าคือ และแต่เริ่มต้นด้วย⁠ ⁠เป็นพจน์ที่ 0 และ 1 ตามลำดับคือ และ: ${\displaystyle L_{n}}$${\displaystyle L_{n-1}}$${\displaystyle L_{n-2}}$${\displaystyle 2,1}$${\displaystyle L_{0}}$${\displaystyle L_{1}}$

${\displaystyle 2,}$( OEIS : ${\displaystyle 1,}$A000032 )​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ ​​${\displaystyle 3,}$${\displaystyle 4,}$${\displaystyle 7,}$${\displaystyle 11,}$${\displaystyle 18,}$${\displaystyle 29,}$${\displaystyle 47,}$${\displaystyle 76,}$${\displaystyle 123,}$${\displaystyle 199,}$${\displaystyle \ldots }$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง อัตราส่วนทองคำเท่ากับลิมิตของอัตราส่วนของพจน์ที่ต่อเนื่องกันในลำดับฟิโบนาชชีและลำดับของจำนวนลูคัส: ^{[ 43 ]}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n+1}}{L_{n}}}=\varphi .}$$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ถ้าจำนวนฟิโบนาชชีและลูคัสถูกหารด้วยจำนวนก่อนหน้าทันทีในลำดับ ผลลัพธ์ที่ได้จะใกล้เคียงกับ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle {\frac {F_{16}}{F_{15}}}={\frac {987}{610}}=1.6180327\ldots \ }$และ${\displaystyle \ {\frac {L_{16}}{L_{15}}}={\frac {2207}{1364}}=1.6180351\ldots .}$

ค่าประมาณเหล่านี้จะต่ำกว่าและ สูงกว่าสลับกันไปและ${\displaystyle \varphi }$จะลู่เข้าสู่เมื่อค่า${\displaystyle \varphi }$ของลำดับฟิโบนาชชีและลูคัสเพิ่มขึ้น

สูตรสำเร็จรูปสำหรับลำดับฟิโบนาชชีและลูคัสที่เกี่ยวข้องกับอัตราส่วนทองคำมีดังนี้:

$${\displaystyle F\left(n\right)={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}-\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\right],}$$$${\displaystyle L\left(n\right)=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}.}$$

เมื่อรวมสูตรทั้งสองข้างต้นเข้าด้วยกัน จะได้สูตรสำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \varphi ^{n}}$ที่เกี่ยวข้องกับทั้งเลขฟิโบนาชชีและเลขลูคัส: $${\displaystyle \varphi ^{n}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}.}$$

ระหว่างจำนวนฟิโบนาชชีและจำนวนลูคัส เราสามารถอนุมานได้ว่า ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n}}$ซึ่งทำให้สามารถแสดงค่าลิมิตของผลหารของจำนวนลูคัสด้วยจำนวนฟิโบนาชชีได้อย่างง่าย ๆ ว่าเท่ากับรากที่สองของห้า : $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{F_{n}}}={\sqrt {5}}.}$$

อันที่จริงแล้ว มีข้อความที่รุนแรงกว่านี้อีกมากที่เป็นความจริง: $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\bigl \vert }L_{n}-{\sqrt {5}}F_{n}{\bigr \vert }={\frac {2}{\varphi ^{n}}}\to 0,\\[5mu]&{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}L_{3n}{\bigr )}^{2}=5{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}F_{3n}{\bigr )}^{2}+(-1)^{n}.\end{aligned}}}$$

เลขยกกำลังที่ต่อเนื่องกันของอัตราส่วนทองคำเป็นไปตามความสัมพันธ์เวียนเกิดของ ฟิ โบ นา ชชี${\displaystyle \textstyle \varphi ^{n+1}=\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}}$

การลดรูปให้อยู่ในรูปสมการเชิงเส้นสามารถทำได้ในขั้นตอนเดียวโดยใช้: $${\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1}.}$$

เอกลักษณ์นี้ช่วยให้พหุนามใดๆ ใน⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$สามารถลดรูปเป็นนิพจน์เชิงเส้นได้ ดังเช่น:

$${\displaystyle {\begin{aligned}3\varphi ^{3}-5\varphi ^{2}+4&=3(\varphi ^{2}+\varphi )-5\varphi ^{2}+4\\[5mu]&=3{\bigl (}(\varphi +1)+\varphi {\bigr )}-5(\varphi +1)+4\\[5mu]&=\varphi +2\approx 3.618033.\end{aligned}}}$$

นอกจากนี้ ยังสามารถใช้ตัวเลขฟิโบนาชี่ที่เรียงลำดับกันเพื่อสร้างสูตรที่คล้ายกันสำหรับอัตราส่วนทองคำได้ โดยใช้การบวกแบบอนันต์ : $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl |}F_{n}\varphi -F_{n+1}{\bigr |}=\varphi .}$$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กำลังของ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$เองจะปัดเศษเป็นจำนวนลูคัส (ตามลำดับ ยกเว้นกำลังสองตัวแรก⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \varphi ^{0}}$และ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$ซึ่งอยู่ในลำดับย้อนกลับ^{[ 44 ]} ):

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{0}&=1,\\[5mu]\varphi ^{1}&=1.618033989\ldots \approx 2,\\[5mu]\varphi ^{2}&=2.618033989\ldots \approx 3,\\[5mu]\varphi ^{3}&=4.236067978\ldots \approx 4,\\[5mu]\varphi ^{4}&=6.854101967\ldots \approx 7,\end{aligned}}}$$

และอื่นๆ^{[ 45 ]} ตัวเลข ของ ลูคัสยังสร้างกำลังของอัตราส่วนทองคำโดยตรงด้วยเช่น:${\displaystyle n\geq 2}$$${\displaystyle \varphi ^{n}=L_{n}-(-\varphi )^{-n}.}$$

แนวคิดที่ว่าผลรวมของ จำนวนฟิโบนาชี่ที่เรียงติดกันลำดับ ที่สามเท่ากับจำนวนลูคัส ซึ่งมีรากฐานมาจากความสัมพันธ์ที่เชื่อมโยงกันกับอัตราส่วนทองคำ คือ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}\!}$ ; และที่สำคัญคือ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle L_{n}F_{n}=F_{2n}\!}$ .

ทั้งลำดับฟิโบนาชชีและลำดับของจำนวนลูคัสสามารถใช้สร้างรูปทรงโดยประมาณของเกลียวทองคำ (ซึ่งเป็นรูปแบบพิเศษของเกลียวลอการิทึม ) โดยใช้รูปครึ่งวงกลมที่มีรัศมีจากลำดับเหล่านี้ ซึ่งแตกต่างจากเกลียวลอการิทึมทองคำที่แท้จริง เพียงเล็กน้อย เกลียวฟิ โบนาชชีโดยทั่วไปเป็นคำที่ใช้เรียกเกลียวที่ประมาณเกลียวทองคำโดยใช้รูปสี่เหลี่ยมและรูปครึ่งวงกลมที่มีลำดับจำนวนฟิโบนาชชี

อัตราส่วนทองคำมีบทบาทสำคัญในเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น อัตราส่วนทองคำมีส่วนเกี่ยวข้องกับสมมาตรภายในของรูปห้าเหลี่ยมและยังขยายไปเป็นส่วนหนึ่งของพิกัดของจุดยอดของทรงสิบสองเหลี่ยมปกติรวมถึงจุดยอดของทรงยี่สิบเหลี่ยมปกติ ด้วย [ ^{46 ]} นอกจาก นี้ยังปรากฏอยู่ในรูปสามเหลี่ยมเคปเลอร์และรูปปูพื้นเพนโรสรวมถึงรูปทรง หลายเหลี่ยมอื่นๆ ^อีกด้วย

การแบ่งส่วนของเส้นตรงด้วยการแบ่งภายใน (ด้านบน) และการแบ่งภายนอก (ด้านล่าง) ตามอัตราส่วนทองคำ

การแบ่งตามการแบ่งภายใน

1. กำหนดให้มีส่วนของเส้นตรง⁠ ⁠${\displaystyle AB}$จงสร้างเส้นตั้งฉาก⁠ ⁠${\displaystyle BC}$ที่จุด⁠ ⁠${\displaystyle B}$โดยให้มีความยาวครึ่งหนึ่งของ⁠ ⁠ ${\displaystyle BC}$วาดด้าน${\displaystyle AB}$ตรงข้ามมุมฉาก⁠ ⁠${\displaystyle AC}$ด้วย
2. ลากส่วนโค้งโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่⁠ ⁠${\displaystyle C}$และรัศมี⁠ ⁠${\displaystyle BC}$ส่วนโค้งนี้ตัดกับด้านตรงข้ามมุมฉาก⁠ ⁠${\displaystyle AC}$ที่จุด⁠ ⁠${\displaystyle D}$
3. ลากส่วนโค้งโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่⁠ ⁠${\displaystyle A}$และรัศมี⁠ ⁠${\displaystyle AD}$ส่วนโค้งนี้ตัดกับส่วนของเส้นตรงเดิม⁠ ⁠${\displaystyle AB}$ที่จุด⁠ ⁠${\displaystyle S}$จุด⁠ ⁠${\displaystyle S}$แบ่งส่วนของเส้นตรงเดิม⁠ ⁠${\displaystyle AB}$ออกเป็นส่วนของเส้นตรง⁠ ⁠${\displaystyle AS}$และ⁠ ⁠${\displaystyle SB}$ที่มีความยาวตามอัตราส่วนทองคำ

การแบ่งตามการแบ่งภายนอก

1. ลากเส้น ตรง${\displaystyle AS}$เส้นหนึ่งแล้วต่อเส้นตรงอีกเส้นหนึ่งจากจุดนั้น โดยให้เส้นตรงนั้น${\displaystyle S}$ตั้งฉากกับเส้นตรงเส้นแรกและ${\displaystyle SC}$มี${\displaystyle AS}$ความยาวเท่ากับเส้นตรง${\displaystyle AS}$เส้นแรก
2. แบ่งครึ่ง${\displaystyle AS}$ส่วนของ${\displaystyle M}$เส้นตรงด้วย
3. ส่วนโค้งวงกลมรอบ⁠ ⁠${\displaystyle M}$ที่มีรัศมี⁠ ⁠${\displaystyle MC}$ตัดกับ เส้น ตรงที่${\displaystyle B}$ลากผ่านจุด⁠ ⁠${\displaystyle A}$และ⁠ ⁠${\displaystyle S}$ (หรือเรียกอีกอย่างว่าส่วนต่อขยายของ⁠ ⁠${\displaystyle AS}$ ) ที่จุด ⁠ ⁠ อัตราส่วนของ⁠ ⁠${\displaystyle AS}$ต่อส่วนของเส้นตรงที่สร้างขึ้น⁠ ⁠${\displaystyle SB}$คืออัตราส่วนทองคำ

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้สามารถดูได้ในบทความเรื่องรูปห้าเหลี่ยมที่มีความยาวด้านที่กำหนดให้ รูปสิบ เหลี่ยมที่มีวงกลมล้อมรอบที่กำหนดให้ และ รูปสิบเหลี่ยมที่มีความยาวด้านที่กำหนดให้

อัลกอริทึมทั้งสองแบบที่แสดงไว้ข้างต้นนั้นสร้างโครงสร้างทางเรขาคณิต ที่กำหนด เส้นตรงสองเส้นที่เรียงตัวกันโดยที่อัตราส่วนของเส้นที่ยาวกว่าต่อเส้นที่สั้นกว่าคืออัตราส่วนทองคำ

เมื่อมุมสองมุมที่ประกอบกันเป็นวงกลมสมบูรณ์มีขนาดอยู่ในอัตราส่วนทองคำ มุมที่เล็กกว่าจะเรียกว่ามุมทองคำโดยมีขนาด⁠ ⁠${\displaystyle g}$ :

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2\pi -g}{g}}&={\frac {2\pi }{2\pi -g}}=\varphi ,\\[8mu]2\pi -g&={\frac {2\pi }{\varphi }}\approx 222.5^{\circ }\!,\\[8mu]g&={\frac {2\pi }{\varphi ^{2}}}\approx 137.5^{\circ }\!.\end{aligned}}}$$

มุมนี้เกิดขึ้นในรูปแบบการเจริญเติบโตของพืชเป็นระยะห่างที่เหมาะสมของหน่อใบรอบลำต้นของพืช เพื่อไม่ให้ใบที่ตามมาบังแสงแดดจากใบด้านล่าง^{[ 47 ]}

ในรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่า อัตราส่วนของเส้นทแยงมุมต่อด้านคืออัตราส่วนทองคำ ขณะที่เส้นทแยงมุมที่ตัดกันจะตัดกันด้วยอัตราส่วนทองคำ คุณสมบัติของอัตราส่วนทองคำของรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าสามารถยืนยันได้โดยการใช้ทฤษฎีบทของปโตเลมีกับรูปสี่เหลี่ยมที่เกิดจากการลบจุดยอดจุดหนึ่งออก ถ้าด้านยาวและเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมคือ⁠ ⁠${\displaystyle a}$และด้านสั้นคือ⁠ ⁠${\displaystyle b}$แล้วทฤษฎีบทของปโตเลมีจะให้⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle a^{2}=b^{2}+ab}$การหารทั้งสองข้างด้วย⁠ ⁠${\displaystyle ab}$จะได้ (ดู§ การคำนวณด้านบน) $${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}=\varphi .}$$

เส้นทแยงมุมของรูปห้าเหลี่ยมปกติจะประกอบกันเป็นรูปดาวห้าแฉกหรือรูปหลายเหลี่ยมดาว ห้าแฉก ซึ่งรูปทรงเรขาคณิตโดยพื้นฐานแล้วอธิบายได้ด้วยโดย${\displaystyle \varphi }$หลักแล้ว การตัดกันของขอบแต่ละด้านจะแบ่งขอบอื่นๆ ออกเป็นอัตราส่วนทองคำ อัตราส่วนของความยาวของส่วนที่สั้นกว่าต่อส่วนที่ล้อมรอบด้วยขอบสองด้านที่ตัดกัน (นั่นคือ ด้านของรูปห้าเหลี่ยมคว่ำที่อยู่ตรงกลางของรูปดาวห้าแฉก) คือดังที่ภาพประกอบ${\displaystyle \varphi }$สี่สีแสดงให้เห็น

เรขาคณิตแบบห้าเหลี่ยมและแบบห้าเหลี่ยมช่วยให้เราสามารถคำนวณค่าต่อไปนี้${\displaystyle \varphi }$ได้ :$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=1+2\sin(\pi /10)=1+2\sin 18^{\circ }\!,\\[5mu]\varphi &={\tfrac {1}{2}}\csc(\pi /10)={\tfrac {1}{2}}\csc 18^{\circ }\!,\\[5mu]\varphi &=2\cos(\pi /5)=2\cos 36^{\circ }\!,\\[5mu]\varphi &=2\sin(3\pi /10)=2\sin 54^{\circ }\!.\end{aligned}}}$$

รูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากเส้นทแยงมุมสองเส้นและด้านหนึ่งของรูปห้าเหลี่ยมปกติเรียกว่ารูปสามเหลี่ยมทองคำหรือรูปสามเหลี่ยมอันงดงามเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วแหลมที่มีมุมยอด⁠ ⁠${\displaystyle 36^{\circ }}$และมุมฐาน⁠ ⁠ ${\displaystyle 72^{\circ }\!}$^{[ 48 ]} ด้านสองด้านที่เท่ากันของรูปสามเหลี่ยม นี้มีอัตราส่วนทองคำต่อฐาน^{[ 49 ]}รูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากด้านสองด้านและเส้นทแยงมุมของรูปห้าเหลี่ยมปกติเรียกว่ารูปดาวทองคำเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วป้านที่มีมุมยอด⁠ ⁠${\displaystyle 108^{\circ }}$และมุมฐาน⁠ ⁠${\displaystyle 36^{\circ }\!}$ ฐานของรูปสามเหลี่ยม นี้มีอัตราส่วนทองคำต่อด้านสองด้านที่เท่ากัน^{[ 49 ]}ดังนั้นรูปห้าเหลี่ยมจึงสามารถแบ่งออกเป็นรูปดาวทองคำสองรูปและรูปสามเหลี่ยมทองคำตรงกลางได้ จุดห้าจุดของรูปห้าเหลี่ยมปกติเป็นรูปสามเหลี่ยมทองคำ^{[ 49 ]}เช่นเดียวกับรูปสามเหลี่ยมสิบรูปที่เกิดจากการเชื่อมจุดยอดของรูปสิบเหลี่ยมปกติเข้ากับจุดศูนย์กลาง^{[ 50 ]}

การแบ่งครึ่งมุมฐานมุมหนึ่งของสามเหลี่ยมทองคำจะแบ่งสามเหลี่ยมทองคำนั้นออกเป็นสามเหลี่ยมทองคำขนาดเล็กและรูปดาวทองคำ ในทำนองเดียวกัน สามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมแหลมใดๆ ก็สามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมคล้ายและสามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมป้านได้ แต่สามเหลี่ยมทองคำเป็นสามเหลี่ยมเดียวที่การแบ่งนี้ทำโดยเส้นแบ่งครึ่งมุม เนื่องจากเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วเพียงรูปเดียวที่มุมฐานเป็นสองเท่าของมุมยอด เส้นแบ่งครึ่งมุมของสามเหลี่ยมทองคำจะแบ่งด้านที่มันตัดออกเป็นอัตราส่วนทองคำ และพื้นที่ของชิ้นส่วนที่แบ่งออกสองชิ้นก็อยู่ในอัตราส่วนทองคำเช่นกัน^{[ 49 ]}

ถ้ามุมยอดของแท่งทองคำถูกแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน ตัวแบ่งสามส่วนจะแบ่งมันออกเป็นแท่งทองคำขนาดเล็กกว่าและสามเหลี่ยมทองคำอีกอันหนึ่ง ตัวแบ่งสามส่วนจะแบ่งฐานออกเป็นอัตราส่วนทองคำ และชิ้นส่วนทั้งสองจะมีพื้นที่เป็นอัตราส่วนทองคำ ในทำนองเดียวกัน สามเหลี่ยมมุมป้านใดๆ ก็สามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมคล้ายและสามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมแหลมได้ แต่แท่งทองคำเป็นเพียงอันเดียวที่ตัวแบ่งมุมทำการแบ่งนี้ เนื่องจากเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วเพียงอันเดียวที่มีมุมยอดเป็นสามเท่าของมุมฐาน^{[ 49 ]}

อัตราส่วนทองคำปรากฏเด่นชัดในการปูพื้นแบบเพนโรสซึ่งเป็นกลุ่มของการปูพื้นระนาบแบบไม่เป็นคาบ ที่พัฒนาโดย โรเจอร์ เพนโรสโดยได้รับแรงบันดาลใจจาก ข้อสังเกตของ โยฮันเนส เคปเลอร์ที่ว่ารูปห้าเหลี่ยม รูปสิบเหลี่ยม และรูปทรงอื่นๆ สามารถเติมช่องว่างที่รูปห้าเหลี่ยมเพียงอย่างเดียวทิ้งไว้เมื่อปูพื้นเข้าด้วยกัน^{[ 51 ]}มีการศึกษารูปแบบต่างๆ ของการปูพื้นแบบนี้หลายแบบ ซึ่งทุกแบบมีโปรโตไทล์ที่แสดงอัตราส่วนทองคำ:

• เวอร์ชันดั้งเดิมของกระเบื้องนี้ของเพนโรสใช้รูปทรงสี่แบบ ได้แก่ รูปห้าเหลี่ยมปกติและรูปดาวห้าแฉก รูปทรง "เรือ" ที่มีสามจุดของรูปดาวห้าแฉก และรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนรูปทรง "เพชร" ^{[ 52 ]}
• การปูพื้นแบบ Penrose รูปว่าวและลูกศร ใช้รูปว่าวที่มีมุมภายในสามมุมเท่ากับ⁠ ⁠${\displaystyle 72^{\circ }}$และมุมภายในหนึ่งมุมเท่ากับ⁠ ⁠${\displaystyle 144^{\circ }\!}$และรูปลูกศร ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมเว้าที่มีมุมภายในสองมุมเท่ากับ⁠ ⁠${\displaystyle 36^{\circ }\!}$หนึ่งมุมเท่ากับ⁠ ⁠${\displaystyle 72^{\circ }\!}$และมุมที่ไม่นูนหนึ่งมุมเท่ากับ⁠ ⁠${\displaystyle 216^{\circ }\!}$กฎการจับคู่พิเศษจำกัดวิธีที่กระเบื้องสามารถมาบรรจบกันที่ขอบใดๆ ส่งผลให้มีกระเบื้องเจ็ดชุดที่จุดยอดใดๆ ทั้งรูปว่าวและรูปลูกศรมีด้านยาวสองด้าน ซึ่งมีอัตราส่วนทองคำต่อกัน พื้นที่ของรูปทรงกระเบื้องทั้งสองนี้ก็มีอัตราส่วนทองคำต่อกันเช่นกัน^{[ 51 ]}
• ว่าวและลูกศรแต่ละอันสามารถตัดตามแกนสมมาตรได้เป็นคู่ของสามเหลี่ยมทองคำและโนมอนทองคำตามลำดับ ด้วยกฎการจับคู่ที่เหมาะสม สามเหลี่ยมเหล่านี้ ซึ่งในบริบทนี้เรียกว่าสามเหลี่ยมโรบินสันสามารถใช้เป็นโปรโตไทล์สำหรับรูปแบบหนึ่งของการปูพื้นแบบเพนโรสได้^{[ 51 ] [ 53 ]}
• การปูพื้นแบบ Penrose รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนประกอบด้วยรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสองประเภท คือ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนบางที่มีมุม⁠ ⁠${\displaystyle 36^{\circ }}$และ⁠ ⁠${\displaystyle 144^{\circ }\!}$และรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหนาที่มีมุม⁠ ⁠${\displaystyle 72^{\circ }}$และ⁠ ⁠${\displaystyle 108^{\circ }\!}$ความยาวด้านทุกด้านเท่ากัน แต่สัดส่วนของความยาวด้านต่อเส้นทแยงมุมสั้นในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนบางเท่ากับ⁠ ⁠${\displaystyle 1\mathbin {:} \varphi }$เช่นเดียวกับสัดส่วนของด้านต่อเส้นทแยงมุมยาวของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหนา เช่นเดียวกับการปูพื้นแบบว่าวและลูกศร พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนทั้งสองมีอัตราส่วนทองคำต่อกัน อีกครั้ง รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเหล่านี้สามารถแยกย่อยออกเป็นคู่ของสามเหลี่ยม Robinson ได้^{[ 51 ]}

กระเบื้องเพนโรสแบบดั้งเดิมสี่แผ่น

กระเบื้องเพนโรสรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

George Odomพบโครงสร้างที่เกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมด้านเท่า${\displaystyle \varphi }$ : ถ้าส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของสองด้านถูกต่อออกไปตัดกับวงกลมล้อมรอบ จุดกึ่งกลางทั้งสองและจุดตัดกับวงกลมจะอยู่ในสัดส่วนทองคำ^{[ 54 ]}

ลำดับเรขาคณิตของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านของสามเหลี่ยมเคปเลอร์

รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่เกิดจากรูปสามเหลี่ยมเคปเลอร์สองรูป จะมีอัตราส่วนของรัศมีวงในต่อความยาวด้านสูงสุด

สามเหลี่ยมเคปเลอร์ซึ่งตั้งชื่อตามโยฮันเนส เคปเลอร์เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวโดยด้านทั้ง สามมีความยาวเรียง ลำดับแบบเรขาคณิตกล่าว คือ ความยาวด้านเหล่านี้คือค่าเฉลี่ยพีทาโกเรียน สามค่า ของจำนวนสองจำนวนและรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัสสามรูปบนด้านทั้งสามนั้นมีพื้นที่ เรียง ลำดับแบบเรขาคณิตทองคำ$${\displaystyle 1\mathbin {:} {\sqrt {\varphi {\vphantom {+}}}}\mathbin {:} \varphi .}$$${\displaystyle \varphi \pm 1}$${\displaystyle \textstyle 1\mathbin {:} \varphi \mathbin {:} \varphi ^{2}}$

ในบรรดาสามเหลี่ยมหน้าจั่ว อัตราส่วนของรัศมีวงในต่อความยาวด้านจะมีค่าสูงสุดสำหรับสามเหลี่ยมที่เกิดจากสามเหลี่ยมเคปเลอร์ สอง รูปที่สะท้อนกัน โดยใช้ด้านยาวร่วมกัน ^{[ 55 ]}สามเหลี่ยมหน้าจั่วเดียวกันนี้ยังมีอัตราส่วนของรัศมีครึ่งวงกลมบนฐานต่อเส้นรอบรูป สูงสุดอีกด้วย ^{[ 56 ]}

สำหรับสามเหลี่ยมเคปเลอร์ที่มีความยาวด้านสั้นที่สุด⁠ ⁠${\displaystyle s}$พื้นที่และมุมภายในแหลมมีดังนี้ :$${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{2}}s^{2}{\sqrt {\varphi {\vphantom {+}}}},\\[5mu]\theta &=\sin ^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\approx 38.1727^{\circ }\!,\\[5mu]\theta &=\cos ^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\approx 51.8273^{\circ }\!.\end{aligned}}}$$

อัตราส่วนทองคำกำหนดสัดส่วนความยาวด้านที่อยู่ติดกันของ^{สี่เหลี่ยมผืนผ้า}ทองคำตาม${\displaystyle 1\mathbin {:} \varphi }$อัตราส่วน[ ⁵⁷ ] ^การลบหรือเพิ่มสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำยังคงทำให้สี่เหลี่ยมผืนผ้ายังคงมีสัดส่วนตามอัตราส่วนสามารถ${\displaystyle \varphi }$สร้างได้จากเกลียวทองคำผ่านสี่เหลี่ยมจัตุรัสและวงกลมหนึ่งในสี่ที่มีขนาดเท่ากับตัวเลขฟิโบนาชชีและลูคัสตามลำดับ พวกมันมีบทบาทสำคัญในทรงยี่สิบหน้าเช่นเดียวกับทรงสิบ สองหน้า (ดูรายละเอียดเพิ่มเติมในส่วนด้านล่าง) ^{[ 46 ]}

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสีทองคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีเส้นทแยงมุมเป็นสัดส่วนตามอัตราส่วนทองคำ ซึ่งโดยทั่วไปคือ⁠ ⁠ [ ${\displaystyle 1\mathbin {:} \varphi }$^{58 ] สำหรับ}รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีสัดส่วนดังกล่าว มุมแหลมและมุมป้านของมันคือ:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=2\arctan {1 \over \varphi }\approx 63.43495^{\circ }\!,\\[5mu]\beta &=2\arctan \varphi =\pi -\arctan 2=\arctan 1+\arctan 3\approx 116.56505^{\circ }\!.\end{aligned}}}$$

ความยาวของเส้นทแยงมุมสั้นและยาว⁠ ⁠${\displaystyle d}$และ⁠ ⁠${\displaystyle D}$ในรูปของความยาวด้านมีดังนี้${\displaystyle a}$ :

$${\displaystyle {\begin{aligned}d&={\frac {2a}{\sqrt {2+\varphi }}}=2{\sqrt {\frac {3-\varphi }{5}}}a\approx 1.05146a,\\[5mu]D&=2{\sqrt {\frac {2+\varphi }{5}}}a\approx 1.70130a.\end{aligned}}}$$

พื้นที่ของมัน ในแง่ของ⁠ ⁠${\displaystyle a}$และ⁠ ⁠${\displaystyle d}$ :

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\sin(\arctan 2)\cdot a^{2}={2 \over {\sqrt {5}}}~a^{2}\approx 0.89443a^{2},\\[5mu]A&={{\varphi } \over 2}d^{2}\approx 0.80902d^{2}.\end{aligned}}}$$

รัศมีวงในใน แง่ของด้าน:${\displaystyle a}$

$${\displaystyle r={\frac {a}{\sqrt {5}}}.}$$

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสีทองก่อตัวเป็นหน้าของทรงสามเหลี่ยมขนมเปียกปูนทรงสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสีทองสอง^{รูป ทรงสิบสองเหลี่ยมบิลินสกิ [} 59 ]และ^{ทรงหก}เหลี่ยมขนมเปียกปูน^{[ 58 ]}

ถ้าวงกลมสองวงที่กำหนดเวสิกาปิสซิสแต่ละวงถูกล้อมรอบด้วยวงกลมศูนย์กลาง สองวง ที่มีรัศมีเป็นสองเท่า วงกลมด้านนอกทั้งสองวงจะสัมผัสกับวงกลมด้านในทั้งสองวง (ที่จุดและในรูป) วงกลมด้านนอกยังตัดกันเพื่อสร้างเลนส์ แต่เป็นเลนส์ที่มีมุมต่างจากเวสิกาปิสซิส สำหรับวงกลมเหล่านี้ ส่วนของเส้นตรงจากจุดตัดจุดหนึ่งของวงกลมด้านในไปยังจุดตัดตรงข้ามของวงกลมด้านนอกจะถูกแบ่งตามอัตราส่วนทองคำโดยจุด ซึ่งเป็นจุดตัดที่สองของวงกลมด้านในทั้งสองวง^{[ 60 ] [ 61 ]}${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle {\overline {XC}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D}$

เกลียวลอการิทึมเป็น เกลียว ที่มีลักษณะคล้ายกันโดยระยะทางที่ครอบคลุมต่อรอบจะอยู่ในลำดับเรขาคณิตเกลียวลอการิทึมที่มีรัศมีเพิ่มขึ้นตามอัตราส่วนทองคำในแต่ละหนึ่งในสี่รอบเรียกว่าเกลียวทองคำเกลียวเหล่านี้สามารถประมาณได้ด้วยหนึ่งในสี่ของวงกลมที่เติบโตตามอัตราส่วนทองคำ^{[ 63 ]}หรือการประมาณค่าที่สร้างจากตัวเลขฟิโบนาชชี^{[ 64 ]}ซึ่งมักจะแสดงอยู่ภายในรูปแบบเกลียวของสี่เหลี่ยมที่เติบโตในอัตราส่วนเดียวกัน รูปแบบเกลียวลอการิทึมที่แน่นอนของเกลียวทองคำสามารถอธิบายได้ด้วยสมการเชิงขั้วที่มี⁠ ⁠${\displaystyle (r,\theta )}$ : $${\displaystyle r=\varphi ^{2\theta /\pi }.}$$

ไม่ใช่ว่าเกลียวลอการิทึมทั้งหมดจะเชื่อมต่อกับอัตราส่วนทองคำ และไม่ใช่ว่าเกลียวทั้งหมดที่เชื่อมต่อกับอัตราส่วนทองคำจะมีรูปร่างเหมือนกับเกลียวทองคำ ตัวอย่างเช่น เกลียวลอการิทึมที่แตกต่างกันซึ่งล้อมรอบลำดับของสามเหลี่ยมหน้าจั่วทองคำที่ซ้อนกัน จะเติบโตตามอัตราส่วนทองคำในแต่ละรอบที่${\displaystyle 108^{\circ }}$หมุน แทนที่จะเป็น มุม การหมุน${\displaystyle 90^{\circ }}$ของเกลียวทองคำ^{[ 62 ]}รูปแบบอื่นที่เรียกว่า "เกลียวทองคำที่ดีกว่า" จะเติบโตตามอัตราส่วนทองคำในแต่ละครึ่งรอบ แทนที่จะเป็นหนึ่งในสี่รอบ^{[ 63 ]}

ทรงสิบสองเหลี่ยมปกติและทรงยี่สิบเหลี่ยมคู่ของทรงสิบสองเหลี่ยมปกติเป็นทรงตันเพลโตที่มีมิติสัมพันธ์กับอัตราส่วนทองคำ ทรงสิบสองเหลี่ยมมีหน้า เป็นรูปห้าเหลี่ยม ปกติในขณะที่ทรงยี่สิบเหลี่ยมมีหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าทั้ง สอง ทรงมีขอบ^{[ 65 ]}${\displaystyle 12}$${\displaystyle 20}$${\displaystyle 30}$

สำหรับทรงสิบสองเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้านยาว⁠ ⁠ รัศมีของทรง${\displaystyle a}$กลมที่ล้อมรอบและทรงกลมที่แนบใน และรัศมีกึ่งกลางคือ ( ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , และ⁠ ⁠ตามลำดับ): ${\displaystyle r_{u}}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle r_{m}}$

${\displaystyle r_{u}=a\,{\frac {{\sqrt {3}}\varphi }{2}},}$${\displaystyle r_{i}=a\,{\frac {\varphi ^{2}}{2{\sqrt {3-\varphi }}}},}$และ${\displaystyle r_{m}=a\,{\frac {\varphi ^{2}}{2}}.}$

สำหรับทรงยี่สิบหน้าที่มีด้านยาว⁠ ⁠${\displaystyle a}$รัศมีของทรงกลมที่ล้อมรอบและทรงกลมที่แนบใน และรัศมีกึ่งกลางคือ:

${\displaystyle r_{u}=a{\frac {\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}{2}},}$${\displaystyle r_{i}=a{\frac {\varphi ^{2}}{2{\sqrt {3}}}},}$และ${\displaystyle r_{m}=a{\frac {\varphi }{2}}.}$

ปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงสิบสองเหลี่ยมสามารถแสดงได้ในรูปของ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$ :

${\displaystyle A_{d}={\frac {15\varphi }{\sqrt {3-\varphi }}}}$และ${\displaystyle V_{d}={\frac {5\varphi ^{3}}{6-2\varphi }}.}$

รวมถึงสำหรับทรงยี่สิบหน้าด้วย:

${\displaystyle A_{i}=20{\frac {\varphi ^{2}}{2}}}$และ${\displaystyle V_{i}={\frac {5}{6}}(1+\varphi ).}$

ค่าทางเรขาคณิตเหล่านี้สามารถคำนวณได้จากพิกัดคาร์ทีเซียนซึ่งสามารถกำหนดได้โดยใช้สูตรที่เกี่ยวข้องกับ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$พิกัดของทรงสิบสองเหลี่ยมแสดงอยู่ในรูปทางด้านขวา ในขณะที่พิกัดของทรงยี่สิบเหลี่ยมมีดังนี้:

$${\displaystyle (0,\pm 1,\pm \varphi ),\ (\pm 1,\pm \varphi ,0),\ (\pm \varphi ,0,\pm 1).}$$

ชุดของสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำสามชุดตัดกันในแนวตั้งฉากภายในทรงสิบสองเหลี่ยมและทรงยี่สิบเหลี่ยม ก่อให้เกิดวงแหวนบอร์โรเมียน [ ^{66 ] [ 46 ] ใน}ทรงสิบสองเหลี่ยม คู่ของจุดยอดตรงข้ามในสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำจะมาบรรจบกันที่จุดศูนย์กลางของหน้าห้าเหลี่ยม และในทรงยี่สิบเหลี่ยม จุดยอดเหล่านั้นจะมาบรรจบกันที่จุดยอด สี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำทั้งสามชุดรวมกันครอบคลุมจุดยอดทั้งหมดของ ทรงยี่สิบ เหลี่ยม${\displaystyle 12}$หรือเทียบเท่ากับการตัดกันที่จุดศูนย์กลางของหน้าทั้งหมดของทรง${\displaystyle 12}$สิบสองเหลี่ยม^{[ 65 ]}

ลูกบาศก์สามารถบรรจุอยู่ ใน ทรงสิบสองเหลี่ยมปกติได้ โดยเส้นทแยงมุมบางส่วนของหน้าห้าเหลี่ยมของทรงสิบสองเหลี่ยมจะทำหน้าที่เป็นขอบของลูกบาศก์ ดังนั้นความยาวขอบจึงอยู่ในอัตราส่วนทองคำ ปริมาตรของลูกบาศก์เป็น⁠ ⁠เท่าของปริมาตรของทรงสิบสองเหลี่ยม^{[ 67 ]}ในความเป็นจริง สี่เหลี่ยมผืนทองคำที่อยู่ภายในทรงสิบสองเหลี่ยมมีสัดส่วนทองคำกับลูกบาศก์ที่บรรจุอยู่ โดยที่ขอบของลูกบาศก์และขอบยาวของสี่เหลี่ยมผืนทองคำเองก็อยู่ใน อัตราส่วน ⁠ ⁠ในทางกลับกันทรงแปดเหลี่ยมซึ่งเป็นทรงหลายเหลี่ยมคู่ของลูกบาศก์ สามารถบรรจุทรงยี่สิบเหลี่ยมได้ โดยที่จุดยอดของทรงยี่สิบเหลี่ยมจะสัมผัสกับขอบของทรงแปดเหลี่ยมณจุดที่แบ่งขอบของมันในอัตราส่วนทองคำ^{[ 68 ]}${\displaystyle 2/(2+\varphi )}$${\displaystyle \textstyle \varphi \mathbin {:} \varphi ^{2}}$${\displaystyle 12}$${\displaystyle 12}$

การขยายทศนิยมของอัตราส่วนทองคำสามารถคำนวณได้โดยใช้วิธีการหาค่าราก เช่นวิธีของนิวตันหรือวิธีของฮัลลีย์บนสม${\displaystyle \textstyle x^{2}-x-1=0}$การหรือบน(${\displaystyle \textstyle x^{2}-5=0}$เพื่อคำนวณก่อน)${\displaystyle {\sqrt {5}}}$เวลาที่จำเป็นในการคำนวณตัวเลขของอัตราส่วนทองคำโดยใช้วิธีของนิวตันโดยพื้นฐานแล้วคือโดย${\displaystyle n}$ที่คือความ${\displaystyle O(M(n))}$ซับซ้อนของเวลาในการคูณตัวเลขสองหลัก^[ 69 ^]ซึ่งเร็วกว่าอัลกอริทึมที่รู้จักสำหรับπและe อย่างมาก ทางเลือกที่เขียนโปรแกรมได้ง่ายโดย ใช้ เพียงเลขคณิตจำนวนเต็มคือการ ${\displaystyle M(n)}$^{คำนวณ}ตัวเลขฟิโบนาชชีขนาดใหญ่สองตัวที่ต่อเนื่องกันแล้วหาร อัตราส่วนของตัวเลขฟิโบนาชชี⁠ ⁠และ⁠ ⁠ซึ่งแต่ละตัวมีมากกว่า⁠ ⁠หลัก จะได้ตัวเลขสำคัญมากกว่า⁠ ⁠หลักของอัตราส่วนทองคำ การขยายทศนิยมของอัตราส่วนทองคำ⁠ ⁠ ^{[ 1 ]}ได้รับการคำนวณจนมีความแม่นยำถึงยี่สิบล้านล้าน ( ⁠ ⁠ ) หลัก^{[ 70 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle F_{25001}}$${\displaystyle F_{25000}}$${\displaystyle 5000}$${\displaystyle 10{,}000}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \textstyle 2\times 10^{13}=20{,}000{,}000{,}000{,}000}$

ในระนาบเชิงซ้อน ราก ที่ห้าของเอกภาพ(${\displaystyle \textstyle z=e^{2\pi ki/5}}$สำหรับจำนวนเต็ม) ที่${\displaystyle k}$สอดคล้องกับเงื่อนไขจะ${\displaystyle \textstyle z^{5}=1}$เป็นจุดยอดของรูปห้าเหลี่ยม พวกมันไม่ได้ก่อตัวเป็นวงแหวนของจำนวนเต็มกำลังสอง อย่างไรก็ตาม ผลรวมของรากที่ห้าของเอกภาพใดๆ กับ จำนวนเชิงซ้อนสังยุคของมันจะเป็นจำนวนเต็มกำลังสอง ซึ่งเป็นสมาชิกของโดยเฉพาะ${\displaystyle z+{\bar {z}}}$อย่าง ยิ่ง${\displaystyle \mathbb {Z} [\varphi ]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{0}+e^{-0}&=2,\\[5mu]e^{2\pi i/5}+e^{-2\pi i/5}&=\varphi ^{-1}=-1+\varphi ,\\[5mu]e^{4\pi i/5}+e^{-4\pi i/5}&=-\varphi .\end{aligned}}}$$

สิ่งนี้ยังใช้ได้กับรากที่สิบที่เหลือของเอกภาพที่น่าพอใจด้วย⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle z^{10}=1}$ ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi i}+e^{-\pi i}&=-2,\\[5mu]e^{\pi i/5}+e^{-\pi i/5}&=\varphi ,\\[5mu]e^{3\pi i/5}+e^{-3\pi i/5}&=-\varphi ^{-1}=1-\varphi .\end{aligned}}}$$

สำหรับฟังก์ชันแกมมา คำ ตอบเดียวของสมการคือและ​​​${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma (z-1)=\Gamma (z+1)}$${\displaystyle z=\varphi }$${\displaystyle \textstyle z=-\varphi ^{-1}}$

เมื่อใช้สัดส่วนทองคำเป็นฐานของระบบตัวเลข (ดูฐานสัดส่วนทองคำซึ่งบางครั้งเรียกว่าฟินารีหรือ- นารี${\displaystyle \varphi }$ ) จำนวนเต็มกำลังสองในวงแหวน–นั่นคือ จำนวนในรูปแบบสำหรับและใน – จะมีการแสดงผลแบบสิ้นสุดแต่เศษส่วนตรรกยะจะมีการ แสดงผล แบบไม่สิ้นสุด ${\displaystyle \mathbb {Z} [\varphi ]}$${\displaystyle a+b\varphi }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

อัตราส่วนทองคำยังปรากฏในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก ด้วย โดยเป็นระยะทางสูงสุดจากจุดบนด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมด้านเท่า ไปยัง ^ด้านที่อยู่ใกล้กว่าของอีกสองด้าน ระยะทางนี้ ความยาวด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่เกิดจากจุดสัมผัสของวงกลมที่อยู่ภายในสามเหลี่ยมด้านเท่า คือ⁠ ⁠ ${\displaystyle 4\log(\varphi )}$^[ 71 ^]

อัตราส่วนทองคำปรากฏในทฤษฎีฟังก์ชันมอดูลาร์เช่นกัน สำหรับให้ จาก นั้น และ โดย ที่และในเศษส่วนต่อเนื่องควรประเมินเป็น^{ฟังก์ชันไม่}เปลี่ยนแปลงภายใต้ซึ่งเป็นกลุ่มย่อย^ความ สอดคล้อง ของกลุ่มมอดูลาร์นอกจากนี้สำหรับจำนวนจริงบวกและที่[ 72 ]${\displaystyle |q|<1,}$$${\displaystyle R(q)={\cfrac {q^{1/5}}{1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {q^{2}}{1+{\cfrac {q^{3}}{1+{{\vphantom {1}} \atop \ddots }}}}}}}}}.}$$$${\displaystyle R(e^{-2\pi })={\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi ,\quad R(-e^{-\pi })=\varphi ^{-1}-{\sqrt {2-\varphi ^{-1}}}}$$$${\displaystyle R(e^{-2\pi i/\tau })={\frac {1-\varphi R(e^{2\pi i\tau })}{\varphi +R(e^{2\pi i\tau })}}}$$${\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}$${\displaystyle \textstyle (e^{z})^{1/5}}$${\displaystyle \textstyle e^{z/5}}$${\displaystyle \textstyle \tau \mapsto R(e^{2\pi i\tau })}$${\displaystyle \Gamma (5)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \textstyle ab=\pi ^{2},}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\Bigl (}\varphi +R{{\bigl (}e^{-2a}{\bigr )}}{\Bigr )}{\Bigl (}\varphi +R{{\bigl (}e^{-2b}{\bigr )}}{\Bigr )}&=\varphi {\sqrt {5}},\\[5mu]{\Bigl (}\varphi ^{-1}-R{{\bigl (}{-e^{-a}}{\bigr )}}{\Bigr )}{\Bigl (}\varphi ^{-1}-R{{\bigl (}{-e^{-b}}{\bigr )}}{\Bigr )}&=\varphi ^{-1}{\sqrt {5}}.\end{aligned}}}$$

คือ${\displaystyle \varphi }$เลขพิโสต-วิชัยรควัน^{[ 73 ]}

สถาปนิก ชาวสวิสเลอ คอร์บูซิเยร์ผู้มีชื่อเสียงจากผลงาน การออกแบบ สไตล์สากลสมัยใหม่ ได้วางศูนย์กลางปรัชญาการออกแบบของเขาไว้ที่ระบบความกลมกลืนและสัดส่วน ความเชื่อของเลอ คอร์บูซิเยร์ในระเบียบทางคณิตศาสตร์ของจักรวาลนั้นเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับอัตราส่วนทองคำและอนุกรมฟิโบนาชชี ซึ่งเขาอธิบายว่าเป็น "จังหวะที่ปรากฏให้เห็นได้ด้วยตาและชัดเจนในความสัมพันธ์ซึ่งกันและกัน และจังหวะเหล่านี้เป็นรากฐานของกิจกรรมของมนุษย์ พวกมันดังก้องอยู่ในมนุษย์ด้วยความหลีกเลี่ยงไม่ได้ตามธรรมชาติ ความหลีกเลี่ยงไม่ได้อันละเอียดอ่อนเดียวกันนี้ที่ทำให้เด็ก คนชรา คนป่าเถื่อน และผู้มีการศึกษาต่างลากเส้นตามสัดส่วนทองคำ" ^{[ 74 ] [ 75 ]}

เลอ คอร์บูซิเยร์ ใช้สัดส่วนทองคำอย่างชัดเจนใน ระบบ โมดูลอร์ ของเขา เพื่อกำหนด สัดส่วน ทางสถาปัตยกรรมเขาเห็นว่าระบบนี้เป็นการสืบทอดประเพณีอันยาวนานของวิทรูเวียสภาพ " มนุษย์วิทรูเวียน " ของเลโอนาร์โด ดา วินชี ผลงานของเลออน บัตติสตา อัลเบอร์ติและคนอื่นๆ ที่ใช้สัดส่วนของร่างกายมนุษย์เพื่อปรับปรุงรูปลักษณ์และฟังก์ชันของสถาปัตยกรรม

นอกจากอัตราส่วนทองคำแล้ว เลอ คอร์บูซิเยร์ยังใช้การวัดของมนุษย์ตัวเลขฟิโบนาชชี และหน่วยสองเท่าเป็นพื้นฐานในการสร้างระบบ นี้เขาได้นำแนวคิดเรื่องอัตราส่วนทองคำในสัดส่วนของมนุษย์มาใช้ในระดับสูงสุด โดยเขาแบ่งความสูงของแบบจำลองร่างกายมนุษย์ที่สะดือออกเป็นสองส่วนตามอัตราส่วนทองคำ จากนั้นจึงแบ่งส่วนเหล่านั้นออกเป็นอัตราส่วนทองคำที่หัวเข่าและลำคอ เขาใช้สัดส่วนอัตราส่วนทองคำเหล่านี้ใน ระบบ โมดูลอร์ วิลล่าสไตน์ ของเลอ คอร์บูซิเยร์ในปี 1927 ในเมืองการ์เชสเป็นตัวอย่างของการประยุกต์ใช้ระบบโมดูลอร์ แผนผังพื้น รูปทรงด้านหน้า และโครงสร้างภายในของวิลล่าที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีลักษณะใกล้เคียงกับสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำ^{[ 76 ]}

สถาปนิกชาวสวิสอีกคนหนึ่งคือMario Bottaได้ออกแบบบ้านหลายหลังโดยอิงจากรูปทรงเรขาคณิต บ้านส่วนตัวหลายหลังที่เขาออกแบบในสวิตเซอร์แลนด์ประกอบด้วยรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและวงกลม ลูกบาศก์และทรงกระบอก ในบ้านที่เขาออกแบบในOriglioอัตราส่วนทองคำคือสัดส่วนระหว่างส่วนกลางและส่วนด้านข้างของบ้าน^{[ 77 ]}

ภาพประกอบของLeonardo da Vinci เกี่ยวกับรูป ทรงหลายเหลี่ยม ใน สัดส่วน Divina proportioneของ Pacioli ทำให้บางคนคาดเดาว่าเขาได้นำอัตราส่วนทองคำมาใช้ในภาพวาดของเขา แต่ข้อเสนอแนะที่ว่าภาพโมนาลิซ่า ของเขา ใช้สัดส่วนอัตราส่วนทองคำนั้นไม่ได้รับการสนับสนุนจากงานเขียนของ Leonardo เอง^{[ 78 ]}ในทำนองเดียวกัน แม้ว่า ภาพ Vitruvian Man ของ Leonardo มักจะแสดงร่วมกับอัตราส่วนทองคำ แต่สัดส่วนของรูปทรงนั้นไม่ได้ตรงกับอัตราส่วนทองคำ และข้อความกล่าวถึงเฉพาะอัตราส่วนจำนวนเต็มเท่านั้น^{[ 79 ] [ 80 ]}

ซัลวาดอร์ ดาลีได้รับอิทธิพลจากผลงานของมาติลา กีกา [ ^{81 ] จึง}ใช้สัดส่วนทองคำอย่างชัดเจนในผลงานชิ้นเอกของเขา คือพระมหาศีลระลึกมื้อสุดท้ายขนาดของผืนผ้าใบเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำ ทรงสิบสองเหลี่ยมขนาดใหญ่ ซึ่งมองจากมุมมองแบบเปอร์สเปคทีฟเพื่อให้ขอบต่างๆ ปรากฏเป็นสัดส่วนทองคำซึ่งกันและกัน ถูกแขวนอยู่เหนือและด้านหลังพระเยซูและครอบงำองค์ประกอบ^{[ 78 ] [ 82 ]}อัลมาดา เนเกรโรสศิลปินแนวฟิวเจอร์ ริสต์ ได้ใช้โครงสร้างทางเรขาคณิตที่เกี่ยวข้องกับสัดส่วนทองคำอย่างเปิดเผยในงานศิลปะต่างๆ^{[ 83 ]}

การศึกษาทางสถิติเกี่ยวกับผลงานศิลปะ 565 ชิ้นของจิตรกรผู้ยิ่งใหญ่ต่างๆ ที่ดำเนินการในปี 1999 พบว่าศิลปินเหล่านี้ไม่ได้ใช้สัดส่วนทองคำในขนาดของผืนผ้าใบ การศึกษาสรุปว่าอัตราส่วนเฉลี่ยของสองด้านของภาพวาดที่ศึกษาคือ⁠ ⁠${\displaystyle 1.34}$โดยค่าเฉลี่ยสำหรับศิลปินแต่ละคนมีตั้งแต่⁠ ⁠${\displaystyle 1.04}$ ( Goya ) ถึง⁠ ⁠${\displaystyle 1.46}$ ( Bellini ) ^{[ 84 ]}ในทางกลับกัน Pablo Tosto ได้ระบุผลงานกว่า 350 ชิ้นของศิลปินที่มีชื่อเสียง รวมถึงมากกว่า 100 ชิ้นที่มีผืนผ้าใบที่มีสัดส่วนสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำและ⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$และชิ้นอื่นๆ ที่มีสัดส่วน^เช่น ⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle 3}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle 4}$และ⁠ ⁠ ${\displaystyle 6}$^{[ 85} ]

ตามคำกล่าวของJan Tschichold

มีอยู่ช่วงหนึ่งที่การเบี่ยงเบนจากสัดส่วนหน้ากระดาษที่สวยงามอย่างแท้จริง⁠ ⁠${\displaystyle 2\mathbin {:} 3}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle 1\mathbin {:} {\sqrt {3}}}$และสัดส่วนทองคำนั้นหายาก หนังสือหลายเล่มที่ผลิตขึ้นระหว่างปี 1550 ถึง 1770 แสดงสัดส่วนเหล่านี้ได้อย่างแม่นยำภายในครึ่งมิลลิเมตร^{[ 87 ]}

ตามแหล่งข้อมูลบางแหล่ง อัตราส่วนทองคำถูกนำมาใช้ในการออกแบบในชีวิตประจำวัน เช่น สัดส่วนของไพ่ โปสการ์ด โปสเตอร์ แผ่นปิดสวิตช์ไฟ และโทรทัศน์จอกว้าง^{[ 88 ]}

อัตราส่วนด้าน (อัตราส่วนความกว้างต่อความสูง) ของธงชาติโตโกตั้งใจให้เป็นอัตราส่วนทองคำ ตามที่ผู้ออกแบบระบุไว้^{[ 89 ]}

Ernő Lendvaiวิเคราะห์ผลงานของBéla Bartók ว่ามีพื้นฐานมาจากระบบที่ตรงข้ามกันสองระบบ คือ อัตราส่วนทองคำ และสเกลเสียง^{[ 90 ]}แม้ว่านักวิชาการดนตรีคนอื่นๆ จะปฏิเสธการวิเคราะห์นั้นก็ตาม^{[ 91 ]} Erik Satieนักประพันธ์ชาวฝรั่งเศสใช้อัตราส่วนทองคำในผลงานหลายชิ้นของเขา รวมถึงSonneries de la Rose+Croixอัตราส่วนทองคำยังปรากฏให้เห็นในการจัดระเบียบส่วนต่างๆ ในดนตรีของReflets dans l'eau (Reflections in water) ของ DebussyจากImages (ชุดที่ 1, 1905) ซึ่ง "ลำดับของคีย์ถูกทำเครื่องหมายด้วยช่วงห่าง34, 21, 13และ8และจุดไคลแม็กซ์หลักอยู่ที่ตำแหน่ง phi" ^{[ 92 ]}