อัตราส่วนพลาสติก

เกลียวของสี่เหลี่ยมผืนผ้าในอัตราส่วนพลาสติก
ความมีเหตุผล	พีชคณิตอตรรกยะ
เครื่องหมาย	ρ
การนำเสนอ
ทศนิยม	1.324 717 957 244 746 025 96 ...
รูปแบบพีชคณิต	รากจริงของx³ = x + 1
เศษส่วนต่อเนื่อง (เชิงเส้น)	[1;3,12,1,1,3,2,3,2,4,2,141,80,...]  [ 1 ]ไม่เป็นคาบอนันต์

ในทางคณิตศาสตร์อัตราส่วนพลาสติกเป็นสัดส่วน ทางเรขาคณิต ซึ่งกำหนดโดยคำตอบ จริงเพียงหนึ่งเดียว ของสมการ^x³ = x + 1การขยายทศนิยมเริ่มต้นด้วย1.324 717 957 244 746 ... (ลำดับ A060006ใน OEIS )

คำว่า"พลาสติก" ในที่ นี้ ไม่ได้หมายถึงวัสดุสังเคราะห์แต่หมายถึงคุณสมบัติในการขึ้นรูปและแกะสลักของอัตราส่วนนี้ เช่นเดียวกับในงานศิลปะพลาสติก

ปริมาณสามค่าa > b > c > 0อยู่ในอัตราส่วนพลาสติก ถ้า อัตราส่วนนี้มักใช้สัญลักษณ์⁠ ⁠$${\displaystyle {\frac {b}{c}}={\frac {a}{b}}={\frac {b+c}{a}}}$$${\displaystyle \rho .}$

เมื่อแทนค่าและในเศษส่วนสุดท้าย จะได้ว่าอัตราส่วนพลาสติกเป็นคำตอบจริงเพียงหนึ่งเดียวของสมการกำลังสาม${\displaystyle b=\rho c\,}$${\displaystyle a=\rho b=\rho ^{2}c\,}$$${\displaystyle \rho ={\frac {c(\rho +1)}{\rho ^{2}c}}.}$$${\displaystyle \rho ^{3}-\rho -1=0.}$

การแก้ปัญหาด้วยสูตรของคาร์ดาโนหรือ การใช้โคไซน์ไฮเปอร์โบลิก^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}w_{1,2}&={\frac {1}{2}}\left(1\pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}\right)\\\rho &={\sqrt[{3}]{w_{1}}}+{\sqrt[{3}]{w_{2}}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \rho ={\frac {2}{\sqrt {3}}}\cosh \left({\frac {1}{3}}\operatorname {arcosh} \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)\right).}$$

${\displaystyle \rho }$คือจุดคงที่เสถียร ยิ่งยวด ของการวนซ้ำซึ่งเป็นขั้นตอนการปรับปรุงของวิธีการของนิวตันที่ใช้กับ${\displaystyle x\gets (2x^{3}+1)/(3x^{2}-1),}$${\displaystyle x^{3}-x-1=0.}$

การวนซ้ำส่งผลให้ได้ค่าผกผันของรากที่สองอย่างต่อเนื่อง ${\displaystyle x\gets {\sqrt {1+{\tfrac {1}{x}}}}}$$${\displaystyle \rho ={\sqrt {1+{\cfrac {1}{\sqrt {1+{\cfrac {1}{\sqrt {1+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}$$

เมื่อหารพหุนามกำหนดด้วยจะได้และองค์ประกอบคู่ควบของคือโดย ที่และ${\displaystyle x^{3}-x-1}$${\displaystyle x-\rho }$${\displaystyle x^{2}+\rho x+1/\rho ,}$${\displaystyle \rho }$$${\displaystyle x_{1,2}={\frac {1}{2}}\left(-\rho \pm i{\sqrt {3\rho ^{2}-4}}\right),}$$${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-\rho \;}$${\displaystyle \;x_{1}x_{2}=1/\rho .}$

อัตราส่วนพลาสติกและ${\displaystyle \rho }$อัตราส่วนทองคำเป็นจำนวน มอร์ ฟิก${\displaystyle \varphi }$เพียงจำนวนเดียว: จำนวนจริงx > 1ซึ่งมีจำนวนธรรมชาติ m และ n อยู่เช่นนั้นและจำนวน${\displaystyle x+1=x^{m}}$มอร์ฟิก${\displaystyle \;x-1=x^{-n}.}$สามารถใช้เป็นพื้นฐานสำหรับระบบการวัดได้^{[ 3 ]}

คุณสมบัติของ⁠ ⁠${\displaystyle \rho }$ (m=3 และ n=4) เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$ (m=2 และ n=1) ตัวอย่างเช่น อัตราส่วนพลาสติกสอดคล้องกับรากที่ต่อเนื่อง ในขณะที่อัตราส่วนทองคำสอดคล้องกับรากที่คล้ายคลึงกัน $${\displaystyle \rho ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+\cdots }}}}}},}$$$${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}.}$$

อัตราส่วนพลาสติกสามารถแสดงได้ในรูปของอนุกรมเรขาคณิต อนันต์ของตัวมันเอง$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\sum _{n=0}^{\infty }\rho ^{-5n}\\\rho ^{2}&=\sum _{n=0}^{\infty }\rho ^{-3n},\end{aligned}}}$$

เมื่อเปรียบเทียบกับเอกลักษณ์อัตราส่วนทองคำ นอกจากนี้ ในขณะที่$${\displaystyle \varphi =\sum _{n=0}^{\infty }\varphi ^{-2n}{\text{ และ }}ในทางกลับกัน}$$${\displaystyle 1+\varphi ^{-1}+\varphi ^{-2}=2,}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{13}\rho ^{-n}=4.}$

สำหรับจำนวนเต็มทุกจำนวนเราสามารถ${\displaystyle n}$ ค้นพบความสัมพันธ์เพิ่มเติมได้อีกมากมายนับไม่ถ้วนจากจำนวน นี้ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ^{n}&=\rho ^{n-2}+\rho ^{n-3}\\&=\rho ^{n-1}+\rho ^{n-5}\\&=\rho ^{n-3}+\rho ^{n-4}+\rho ^{n-5}\end{aligned}}}$$

คำตอบเชิงพีชคณิตของสมการกำลังห้าที่ลดรูปแล้วสามารถเขียนได้ในรูปของรากที่สอง รากที่สาม และรากที่สองของ Bringถ้าเช่นนั้นเนื่องจาก${\displaystyle y=x^{5}+x}$${\displaystyle x=BR(y).}$${\displaystyle \rho ^{-5}+\rho ^{-1}=1,\;\rho =1/BR(1).}$

แฟร็กทัล Rauzyที่เกี่ยวข้องกับอัตราส่วนพลาสติกยกกำลังสาม กระเบื้องตรงกลางและกระเบื้องย่อยทั้งสามมีพื้นที่ในอัตราส่วนρ ⁵  : ρ ²  : ρ : 1

แฟร็กทัล Rauzy ที่เกี่ยวข้องกับ Ⴔ ซึ่งเป็นอัตราส่วนพลาสติกยกกำลังสอง โดยมีพื้นที่ดังที่แสดงไว้ข้างต้น

รูปแบบ เศษส่วนต่อเนื่องของกำลังต่ำบางส่วน $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ^{-1}&=[0;1,3,12,1,1,3,2,3,2,...]\approx 0.7549\;({\tfrac {25}{33}})\\\rho ^{0}&=[1]\\\rho ^{1}&=[1;3,12,1,1,3,2,3,2,4,...]\approx 1.3247\;({\tfrac {45}{34}})\\\rho ^{2}&=[1;1,3,12,1,1,3,2,3,2,...]\approx 1.7549\;({\tfrac {58}{33}})\\\rho ^{3}&=[2;3,12,1,1,3,2,3,2,4,...]\approx 2.3247\;({\tfrac {79}{34}})\\\rho ^{4}&=[3;12,1,1,3,2,3,2,4,2,...]\approx 3.0796\;({\tfrac {40}{13}})\\\rho ^{5}&=[4;12,1,1,3,2,3,2,4,2,...]\approx 4.0796\;({\tfrac {53}{13}})\,...\\\rho ^{7}&=[7;6,3,1,1,4,1,1,2,1,1,...]\approx 7.1592\;({\tfrac {93}{13}})\,...\\\rho ^{9}&=[12;1,1,3,2,3,2,4,2,141,...]\approx 12.5635\;({\tfrac {88}{7}})\end{aligned}}}$$

ค่าลู่เข้าของการขยายเศษส่วนต่อเนื่องของอัตราส่วนพลาสติกเป็นการประมาณเชิงตรรกะที่ดี: $${\displaystyle {\tfrac {4}{3}},{\tfrac {49}{37}},{\tfrac {53}{40}},{\tfrac {102}{77}},{\tfrac {257}{194}},{\tfrac {359}{271}},{\tfrac {820}{619}},{\tfrac {2819}{2128}},{\tfrac {6458}{4875}},{\tfrac {28651}{21628}},{\tfrac {63760}{48131}},\ldots }$$

อัตราส่วนพลาสติกคือจำนวน Pisot ที่ เล็ก ที่สุด ^{[ 4 ]}ตามคำจำกัดความของตัวเลขเหล่านี้ค่าสัมบูรณ์ ของคู่สังยุคพีชคณิตมีค่าน้อยกว่า 1 ดังนั้นกำลังของ⁠ ⁠จึงสร้างจำนวนเต็มเกือบทั้งหมดตัวอย่างเช่นหลังจากหมุน 29 รอบ เฟสของคู่สังยุคเกลียวเข้าด้านใน – ซึ่งในตอนแรกใกล้เคียงกับ⁠ ⁠ – เกือบจะตรงกับแกนจินตนาการ ${\displaystyle 1/{\sqrt {\rho }}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho ^{29}=3480.0002874...\approx 3480+1/3479.}$${\displaystyle \pm 45\pi /58}$

พหุนามขั้นต่ำของอัตราส่วนพลาสติกมีดิสคริมิแนนต์ ฟิลด์คลาสฮิลเบิร์ตของฟิลด์กำลัง สองจินตนาการ สามารถสร้างขึ้นได้โดยการต่อกัน⁠ ⁠ด้วยอาร์กิวเมนต์ตัวสร้างสำหรับวงแหวนของจำนวนเต็มของ⁠ ⁠ จะมีค่าพิเศษของผลหาร  Dedekind eta ^{[ 5 ]}${\displaystyle m(x)=x^{3}-x-1}$${\displaystyle \Delta =-23.}$${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {\Delta }})}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \tau =(1+{\sqrt {\Delta }})/2\,}$${\displaystyle K}$$${\displaystyle \rho ={\frac {e^{\pi i/24}\,\eta (\tau )}{{\sqrt {2}}\,\eta (2\tau )}}.}$$

แสดงในรูปของค่าคงที่คลาส Weber-Ramanujan G _n  ^{[ a ]}$${\displaystyle \rho ={\frac {{\mathfrak {f}}({\sqrt {\Delta }})}{\sqrt {2}}}={\frac {G_{23}}{\sqrt[{4}]{2}}}.}$$

คุณสมบัติของค่าคงที่ไคลน์ j ที่เกี่ยวข้อง ส่งผลให้มีความใกล้เคียงกันมากความ${\displaystyle j(\tau )}$แตกต่างคือ< 1/12659 ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {-\Delta }}}\approx \left({\sqrt {2}}\,\rho \right)^{24}-24.}$

ค่าเอกลักษณ์ของ อินทิกรัลเชิงวงรี ^{[ 6 ]} สำหรับ⁠ ⁠มีสูตรแบบปิด (ซึ่งน้อยกว่า 1/3 ของความเยื้องศูนย์ของวงโคจรของดาวศุกร์) ${\displaystyle k_{r}=\lambda ^{*}(r)}$${\displaystyle r=23}$$${\displaystyle \lambda ^{*}(23)=\sin(\arcsin \left(({\sqrt[{4}]{2}}\,\rho )^{-12}\right)/2)}$$

ในการแสวงหาความชัดเจนที่รับรู้ได้พระภิกษุเบเนดิกติน ชาวดัตช์ และสถาปนิก Dom Hans van der Laan (1904-1991) ได้ตั้งคำถามถึงความแตกต่างขั้นต่ำระหว่างสองขนาด เพื่อให้เราสามารถรับรู้ได้อย่างชัดเจนว่าแตกต่างกัน นอกจากนี้ อัตราส่วนสูงสุดของสองขนาดคืออะไร เพื่อให้เรายังคงสามารถเชื่อมโยงและรับรู้ถึงความใกล้ชิดได้ จากการสังเกตของเขา คำตอบคือ1/4และ7/1 ซึ่งครอบคลุม ขนาดลำดับเดียว^{[ 7 ]}ด้วยความต้องการความต่อเนื่องตามสัดส่วน เขาได้สร้างอนุกรมเรขาคณิตของการวัดแปดแบบ ( ประเภทของขนาด ) ที่มีอัตราส่วนร่วม2 / (3/4 + 1/7 ^1/7 ) ≈ ρเมื่อนำมาใส่ในรูปแบบตรรกยะ ระบบการวัดทางสถาปัตยกรรมนี้สร้างขึ้นจากเซตย่อยของตัวเลขที่ตั้งชื่อตามเขา

จำนวนของแวน เดอร์ ลาน มีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับลำดับ ของ เพอร์รินและ ปาโดวาน ในทางคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง จำนวนการประกอบของ n ออกเป็นส่วน 2 และ 3 จะนับโดยจำนวนของแวน เดอร์ ลาน ตัวที่ n

ลำดับแวนเดอร์ลานถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์เวียนเกิด ลำดับที่สาม ที่มีค่าเริ่มต้น $${\displaystyle V_{n}=V_{n-2}+V_{n-3}{\text{ for }}n>2,}$$$${\displaystyle V_{1}=0,V_{0}=V_{2}=1.}$$

พจน์แรกๆ ได้แก่ 1, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86,... (ลำดับA182097ในOEIS ) อัตราส่วนจำกัดระหว่างพจน์ที่ต่อเนื่องกันคืออัตราส่วนพลาสติก:${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }V_{n+1}/V_{n}=\rho .}$

ตารางแสดงมาตรวัดทั้งแปดของแวน เดอร์ ลาน

เค	n − m	⁠ ⁠${\displaystyle V_{n}/V_{m}}$	เอ่อ⁠ ⁠${\displaystyle (\rho ^{k})}$	ช่วงเวลา
0	3 − 3	1/1	0	องค์ประกอบเล็กน้อย
1	8 − 7	4/3	1/116	องค์ประกอบหลัก
2	10 − 8	7/4	−1/205	ชิ้นส่วนเล็ก ๆ
3	10 − 7	7/3	1/116	ชิ้นส่วนสำคัญ
4	7 − 3	3/1	−1/12	ส่วนเล็ก ๆ
5	8 − 3	4/1	−1/12	ส่วนสำคัญ
6	13 − 7	16/3	−1/14	โดยรวมเล็กน้อย
7	10 − 3	7/1	−1/6	ทั้งหมดหลัก

ดัชนี n 14 ตัวแรกที่⁠ ⁠${\displaystyle V_{n}}$เป็นจำนวนเฉพาะคือ n = 5, 6, 7, 9, 10, 16, 21, 32, 39, 86, 130, 471, 668, 1264 (ลำดับA112882ในOEIS ) ^{[ b ]}ตัวเลขสุดท้ายมี 154 หลักทศนิยม

ลำดับนี้สามารถขยายไปยังดัชนีติดลบได้โดยใช้ $${\displaystyle V_{n}=V_{n+3}-V_{n+1}.}$$

กำลังของอัตราส่วนพลาสติกสามารถเขียนได้โดยใช้ตัวเลขของแวนเดอร์ลานเป็นสัมประสิทธิ์กำลังสองซึ่งพิสูจน์ได้โดยการอุปมานทางคณิตศาสตร์ความ สัมพันธ์ นี้ยังใช้ได้กับลำดับของสัมประสิทธิ์สอดคล้องกับแถวล่างสุดของเมทริกซ์ด้านล่าง $${\displaystyle \rho ^{n}=\rho ^{2}V_{n-2}+\rho V_{n-1}+V_{n-3},}$$${\displaystyle n.}$${\displaystyle n<0.}$${\displaystyle Q}$

ฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับ Van der Laan กำหนดโดย^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}-x^{3}}}=\sum _{n=0}^{\infty }V_{n}x^{n}{\text{ for }}x<{\tfrac {1}{\rho }}}$$

ลำดับดังกล่าวเกี่ยวข้องกับผลรวมของสัมประสิทธิ์ทวินามโดย^{[ 9 ]}$${\displaystyle V_{n}=\sum _{k=\lfloor (n+2)/3\rfloor }^{\lfloor n/2\rfloor }{k \choose n-2k}}$$

สมการลักษณะเฉพาะของการเกิดซ้ำคือถ้าคำตอบทั้งสามเป็นรากจริง⁠ ⁠และคู่สังยุค⁠ ⁠และ⁠ ⁠จำนวน Van der Laan สามารถคำนวณได้ด้วยสูตร Binet ^{[ 9 ]} โดยใช้รากจริง⁠ ⁠และคู่สังยุค⁠ ⁠และ⁠ ⁠รากของ${\displaystyle x^{3}-x-1=0.}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \gamma }$$${\displaystyle V_{n-1}=a\alpha ^{n}+b\beta ^{n}+c\gamma ^{n},}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle 23x^{3}+x-1=0.}$

เนื่องจากและจำนวน⁠ ⁠เป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุดกับโดยที่n > 1และ0.31062 88296 40467 07776 19027...${\displaystyle \left\vert b\beta ^{n}+c\gamma ^{n}\right\vert <1/\alpha ^{n/2}}$${\displaystyle \alpha =\rho ,}$${\displaystyle V_{n}}$${\displaystyle a\,\rho ^{n+1},}$${\displaystyle a=\rho /(3\rho ^{2}-1)=}$

ค่าสัมประสิทธิ์ส่งผลให้ได้สูตรของ Binet สำหรับลำดับที่เกี่ยวข้อง${\displaystyle a=b=c=1}$${\displaystyle P_{n}=2V_{n}+V_{n-3}.}$

พจน์แรกๆ ได้แก่ 3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, 22, 29, 39, 51, 68, 90, 119,... (ลำดับA001608ในOEIS )

ลำดับ Perrinนี้มีคุณสมบัติของ Fermat : ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะบทกลับไม่เป็นจริง แต่จำนวนจำนวนเฉพาะเทียมที่ น้อย ทำให้ลำดับนี้พิเศษ^{[ 10 ]}จำนวนประกอบ 7 จำนวนเดียวที่ต่ำกว่า10 ⁸ที่ผ่านการทดสอบคือ n = 521 ² , 904631, 16532714, 24658561, 27422714, 27664033, 46672291 ^{[ 11 ]}${\displaystyle P_{p}\equiv P_{1}{\bmod {p}}.}$${\displaystyle \,n\mid P_{n}}$

ตัวเลขของ Van der Laan ได้รับเป็นกำลังจำนวนเต็มn > 2ของเมทริกซ์ ที่มี ค่าไอเกน จริง⁠ ⁠ ${\displaystyle \rho }$^{[ 8 ]}$${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},}$$

$${\displaystyle Q^{n}={\begin{pmatrix}V_{n}&V_{n+1}&V_{n-1}\\V_{n-1}&V_{n}&V_{n-2}\\V_{n-2}&V_{n-1}&V_{n-3}\end{pmatrix}}}$$

ร่องรอยของ⁠ ⁠ จะให้ค่า Perrin numbers ${\displaystyle Q^{n}}$

อีกทางเลือกหนึ่งสามารถตีความ${\displaystyle Q}$ได้ว่าเป็นเมทริกซ์เหตุการณ์สำหรับระบบ Lindenmayer D0L บนตัวอักษรโดยมี กฎการแทนที่ และตัวเริ่มต้นที่สอดคล้อง กัน ลำดับของคำที่ สร้าง ขึ้น โดยการทำซ้ำการแทนที่ นั้นมีคุณสมบัติที่ว่าจำนวนc, bและaเท่ากับจำนวน Van der Laan ที่ต่อเนื่องกัน ความยาวของคำเหล่านั้นคือ${\displaystyle \{a,b,c\}}$$${\displaystyle {\begin{cases}a\;\mapsto \;b\\b\;\mapsto \;ac\\c\;\mapsto \;a\end{cases}}}$$${\displaystyle w_{0}=c}$${\displaystyle w_{n}}$${\displaystyle l(w_{n})=V_{n+2}.}$

กระบวนการเขียนสตริงใหม่นี้เกี่ยวข้องกับชุดที่ประกอบด้วยไทล์ที่ซ้อนทับกันสาม ไทล์ ที่คล้ายคลึงกันในตัวเองเรียกว่าแฟรกทัล Rauzyซึ่งแสดงภาพ ข้อมูล เชิงการจัดเรียงที่มีอยู่ในลำดับตัวอักษรหลายรุ่น^{[ 12 ]}

มีวิธีการแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่คล้ายกันสามวิธีอย่างแม่นยำ: ^{[ 13 ] [ 14 ]}

1. คำตอบอย่างง่ายคือการใช้สี่เหลี่ยมผืนผ้าสามรูปที่เท่ากันทุกประการ โดยมีอัตราส่วนด้านต่อด้านเท่ากับ 3:1
2. วิธีแก้ปัญหาที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าสองในสามรูปนั้นเท่ากันทุกประการ และรูปที่สามมีด้านยาวเป็นสองเท่าของอีกสองรูป โดยที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าเหล่านั้นมีอัตราส่วนด้านต่อด้าน 3:2
3. วิธีแก้ปัญหาที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งสามมีขนาดแตกต่างกันและมีอัตราส่วนด้านเท่ากับρ/ ²อัตราส่วนของขนาดเชิงเส้นของสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งสามคือρ (ใหญ่:กลาง); ρ/ ² (กลาง:เล็ก); และρ/ ³ (ใหญ่:เล็ก) ขอบยาวด้านในของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ใหญ่ที่สุด (เส้นแบ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัส) แบ่งขอบสองด้านจากสี่ด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นสองส่วน โดยแต่ละส่วนมีอัตราส่วนเท่ากับρขอบสั้นด้านในที่ทับซ้อนกันของสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาดกลางและขอบยาวของสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาดเล็กแบ่งขอบอีกหนึ่งด้านจากสองด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นสองส่วน โดยแต่ละส่วนมีอัตราส่วนเท่ากับρ / ⁴

ข้อเท็จจริงที่ว่าสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีอัตราส่วนด้านρ ²สามารถใช้สำหรับการแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่คล้ายกันนั้นเทียบเท่ากับคุณสมบัติทางพีชคณิตของจำนวนρ ²ที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบท Routh–Hurwitz : คอนจูเกตทั้งหมดของมันมีส่วนจริงเป็นบวก^{[ 15 ] [ 16 ]}

โหนดบวกที่ไม่ซ้ำกันซึ่ง${\displaystyle t}$ปรับการแทรกสอด Lagrange ลูกบาศก์ให้ เหมาะสมในช่วง[−1,1]เท่ากับ0.41779130...กำลังสองของ${\displaystyle t}$คือรากจริงเดี่ยวของพหุนามที่มีดิสครีมิแนนต์[ 17 ^{]แสดง}ในรูปของอัตราส่วนพลาสติก ซึ่งได้รับการ ตรวจสอบโดย^การแทรกเข้าไปใน${\displaystyle P(x)=25x^{3}+17x^{2}+2x-1}$${\displaystyle D=-23^{3}.}$${\displaystyle t={\sqrt {\rho }}/(\rho ^{2}+1),}$${\displaystyle P.}$

ด้วยชุดโหนดที่เหมาะสมฟังก์ชันLebesgue จะ ประเมินค่า เป็นค่าคงที่ Lebesgue ลูกบาศก์ขั้นต่ำที่จุดวิกฤต^{[ 18 ] [ c ]}${\displaystyle T=\{-1,-t,t,1\},}$${\displaystyle \lambda _{3}(x)}$${\displaystyle \Lambda _{3}(T)={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}\,}$${\displaystyle x_{c}=\rho ^{2}t.}$

ค่าคงที่เหล่านี้มีความสัมพันธ์กันและสามารถแสดงได้ในรูปอนุกรมเรขาคณิต อนันต์ แต่ละพจน์ของอนุกรมสอดคล้องกับความยาวเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีขอบเป็นอัตราส่วนซึ่งเป็นผลมาจากความสัมพันธ์กับจำนวนคี่แผนภาพแสดงลำดับของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีอัตราการหดตัวร่วมกันมาบรรจบกันที่จุดเดียวบนเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้ากำลังสองโรที่มีความยาว${\displaystyle x_{c}+t={\sqrt {\rho }}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{c}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\sqrt {\rho ^{-(8n+5)}}}\\t&=\sum _{n=0}^{\infty }{\sqrt {\rho ^{-(8n+9)}}}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle \rho ^{2},}$${\displaystyle \rho ^{n}=\rho ^{n-1}+\rho ^{n-5},}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \rho ^{-4}}$${\displaystyle {\sqrt {\rho {\vphantom {/}}}}={\sqrt {1+\rho ^{-4}}}.}$

เกลียวของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีขอบเป็นอัตราส่วน⁠ ⁠${\displaystyle \rho }$ปูรูปห้าเหลี่ยมพลาสติกที่มีมุม 120 องศา 4 มุมและมุม 60 องศา 1 มุม^{[ 20 ]}สามเหลี่ยมเริ่มต้นวางอยู่ที่ด้านซ้ายของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีอัตราส่วนฐานต่อด้าน⁠ ⁠${\displaystyle \rho }$และมุมฐานซ้าย 60 องศา เพื่อให้ขอบสองด้านของสามเหลี่ยมอยู่ในแนวเดียวกับด้านของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน การปรับขนาดรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานในอัตราส่วน⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{\rho }},}$พร้อมกับการหมุนตามเข็มนาฬิกา 60 องศา ฐานแนวนอนจะถูกแมปไปยังขอบที่สามของสามเหลี่ยม จุดศูนย์กลางการหมุนอยู่บนเส้นทแยงมุมสั้น (ตก) แบ่งตามอัตราส่วน⁠ ⁠${\displaystyle \rho ^{3}}$ซึ่งเป็นอัตราการขยายตัวสำหรับการหมุนครึ่งรอบ การทำซ้ำกระบวนการนี้จะสร้างลำดับปิดอนันต์ของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีขอบเขตเป็นรูปห้าเหลี่ยม

เกลียวลอการิทึมที่ลากผ่านจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมทุกรูปมีค่าความชันเป็นพิกัดเชิงขั้วสำหรับฐานรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานความยาวของเส้นทแยงมุมสั้นคือโดยมีมุมความยาวของเกลียวแบบไม่ต่อเนื่องคือรูปห้าเหลี่ยมมีพื้นที่${\displaystyle k={\frac {3}{\pi }}\ln(\rho ).}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\sqrt {\rho ^{2}-\rho +1}}}$${\displaystyle \arctan({\tfrac {\sqrt {3}}{1-2\rho }}).}$${\displaystyle \rho ^{5}=\sum _{n=0}^{\infty }\rho ^{-n};}$${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{4}}\rho ^{3}={\tfrac {\sqrt {3}}{4}}\sum _{n=0}^{\infty }\rho ^{-2n}.}$

ในภาพเวกเตอร์ โครงสร้างจะถูกทำซ้ำในแต่ละด้านของ^{สามเหลี่ยม}จอห์${\displaystyle \rho }$น รัทเธอร์ฟอร์ด บอยด์ ค้นพบ รูปทรง ^ที่เกี่ยวข้องซึ่งสร้างขึ้นบนด้านของสามเหลี่ยม${\displaystyle \rho ^{-4}}$^[ 21 ]

เกลียวพลาสติกสองอันที่มีรัศมีเริ่มต้นต่างกัน

เปลือกหอยนอติลัสแบบมีช่องและเกลียวพลาสติก

เกลียวพลาสติกเป็นเกลียวลอการิทึมที่กว้างขึ้นเป็นปัจจัย⁠ ⁠${\displaystyle \rho }$ทุกๆ การหมุนหนึ่งในสี่รอบ อธิบายได้ด้วยสมการเชิงขั้ว ที่มีรัศมีเริ่มต้น⁠ ⁠และพารามิเตอร์ถ้าวาดบนสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านเป็นอัตราส่วน⁠ ⁠เกลียวจะมีจุดยอดอยู่ที่ฐานความสูงของสามเหลี่ยมบนเส้นทแยงมุม และผ่านจุดยอดของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีอัตราส่วนด้าน⁠ ⁠ซึ่งตั้งฉากกันและปรับขนาดตามลำดับด้วยปัจจัย⁠ ⁠${\displaystyle r(\theta )=a\exp(k\theta ),}$${\displaystyle a}$${\displaystyle k={\frac {2}{\pi }}\ln(\rho ).}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho ^{2}}$${\displaystyle \rho ^{-1}.}$

ในปี พ.ศ. 2381 เฮนรี โมสลีย์สังเกตเห็นว่าเกลียวของเปลือกหอยนอติลัสมีลำดับเรขาคณิต: "จะพบว่าระยะห่างระหว่างเกลียวสองเกลียวใดๆ ที่วัดบนเวกเตอร์รัศมีนั้นเป็นหนึ่งในสามของระยะห่างระหว่างเกลียวสองเกลียวถัดไปที่วัดบนเวกเตอร์รัศมีเดียวกัน ... ดังนั้นเส้นโค้งจึงเป็นเกลียวลอการิทึม" ^{[ 22 ]}โมสลีย์จึงให้ค่าอัตราการขยายตัวสำหรับการหมุนหนึ่งในสี่รอบ^{[ d ]} เมื่อพิจารณาอัตราส่วนพลาสติกเป็นค่าเทียบเท่าสามมิติของอัตราส่วนทองคำที่พบได้ทั่วไป ดูเหมือนว่าจะเป็นตัวเลือกที่เหมาะสมสำหรับการวัดเปลือกหอย^{[ e ]}${\displaystyle {\sqrt[{4}]{3}}\approx \rho -1/116}$

อัตราส่วนพลาสติกมีความสำคัญในการศึกษาทรงไอโคซิโดเดคาโดเดคาเฮดรอนแบบสั้น

ρได้รับการศึกษาครั้งแรกโดยAxel Thueในปี 1912 และโดยGH Hardyในปี 1919 ^{[ 24 ]} Gérard Cordonnierนักเรียนมัธยมปลายชาวฝรั่งเศสค้นพบอัตราส่วนนี้ด้วยตนเองในปี 1924 ในการติดต่อสื่อสารกับHans van der Laanในอีกไม่กี่ปีต่อมา เขาเรียกมันว่าเลขเรเดียนต์ ( ภาษาฝรั่งเศส : le nombre radiant ) ในตอนแรก Van der Laan เรียกมันว่าอัตราส่วนพื้นฐาน ( ภาษาดัตช์ : de grondverhouding ) โดยใช้เลขพลาสติก ( ภาษาดัตช์ : het plastische getal ) ตั้งแต่ทศวรรษ 1950 เป็นต้นไป^{[ 25 ]}ในปี 1944 Carl Siegelแสดงให้เห็นว่าρ เป็น เลข Pisot–Vijayaraghavanที่เล็กที่สุดที่เป็นไปได้และแนะนำให้ตั้งชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่ Thue

ต่างจากชื่อของ อัตราส่วน ทองคำและเงินคำว่าพลาสติกไม่ได้ตั้งใจโดยแวน เดอร์ ลานให้หมายถึงสารเฉพาะ แต่หมายถึงในความหมายเชิงคุณศัพท์ ซึ่งหมายถึงสิ่งที่สามารถให้รูปร่างสามมิติได้^{[ 26 ]} ตามที่ ริชาร์ด พาโดแวนกล่าวไว้ นี่เป็นเพราะอัตราส่วนลักษณะเฉพาะของตัวเลข⁠3/4และ​​1/7เกี่ยวข้องกับขีดจำกัดของการรับรู้ของมนุษย์ในการเชื่อมโยงขนาดทางกายภาพหนึ่งกับอีกขนาดหนึ่ง แวน เดอร์ ลาอัน ออกแบบ โบสถ์ เซนต์เบเนดิกตัสเบิร์กแอบบีย์ ในปี 1967 โดยใช้สัดส่วนตัวเลขพลาสติกเหล่านี้^{[ 27 ]}

หมายเลขพลาสติกบางครั้งก็เรียกว่าหมายเลขเงิน ซึ่งเป็นชื่อที่Midhat J. Gazalé  ^{[ 28 ]} ตั้งให้ และต่อมาMartin Gardner [ ^{29 ] ก็} ใช้ชื่อนี้เช่นกัน แต่ชื่อนี้มักใช้กับอัตราส่วนเงิน1 + √ 2ซึ่งเป็นหนึ่งในอัตราส่วนจากตระกูลค่าเฉลี่ยโลหะ ที่ Vera W. de Spinadelอธิบายไว้เป็นครั้งแรกGardner แนะนำให้เรียกρ ²ว่า "phi สูง" และDonald Knuthได้สร้างเครื่องหมายการพิมพ์พิเศษสำหรับชื่อนี้ ซึ่งเป็นรูปแบบหนึ่งของอักษรกรีก phi ("φ") ที่มีวงกลมตรงกลางยกสูงขึ้น คล้ายกับอักษรจอร์เจียpari ("Ⴔ")

วิธีแก้สมการที่คล้ายกับ: ${\displaystyle x^{3}=x+1}$

• อัตราส่วนทองคำ – คำตอบที่เป็นบวกของสมการ${\displaystyle x^{2}=x+1}$
• อัตราส่วนทองคำสุดยอด – คำตอบที่แท้จริงของสมการ${\displaystyle x^{3}=x^{2}+1}$

• รูปสี่เหลี่ยมพลาสติกและลำดับปาโดวานที่ทาร์ตาเพลาโก โดยจอร์โจ ปีเอโตรโคลา
• ห้องศึกษาดิจิทัลของ Dom Hans van der Laanที่หอจดหมายเหตุ Van der Laan
• Harriss, Edmund (15 มีนาคม 2019), "อัตราส่วนพลาสติก" (วิดีโอ) , youtube , Brady Haran , เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 21 ธันวาคม 2021 , เรียกดูเมื่อ 15 มีนาคม 2019.