รูปแบบในธรรมชาติคือความสม่ำเสมอที่มองเห็นได้ของรูปทรงที่พบในโลกธรรมชาติรูปแบบเหล่านี้เกิดขึ้นซ้ำในบริบทที่แตกต่างกัน และบางครั้งสามารถสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ได้รูปแบบในธรรมชาติ ได้แก่ความสมมาตรต้นไม้เกลียวคดเคี้ยวคลื่นฟองการเรียงต่อกันรอยแตกและลายเส้น^{[ 1 ]}นักปรัชญากรีกยุคแรกศึกษารูปแบบ โดยเพลโตพีทาโกรัสและเอมเปโดคลีสพยายามอธิบายระเบียบในธรรมชาติ ความเข้าใจสมัยใหม่เกี่ยวกับรูปแบบที่มองเห็นได้พัฒนาขึ้นอย่างค่อยเป็นค่อยไปตามกาลเวลา

ในศตวรรษที่ 19 โจเซฟ พลาโต นักฟิสิกส์ชาวเบลเยียม ศึกษาฟิล์มสบู่ทำให้เขากำหนดแนวคิดเรื่องพื้นผิวขั้นต่ำขึ้นมา เอิร์นส์ เฮคเคลนักชีววิทยาและศิลปินชาวเยอรมัน วาดภาพ สิ่งมีชีวิตในทะเลหลายร้อยชนิดเพื่อเน้นความสมมาตร ของพวกมัน ดาร์ซี ทอมป์สันนักชีววิทยาชาวสกอตแลนด์เป็นผู้บุกเบิกการศึกษาแบบแผนการเจริญเติบโตในทั้งพืชและสัตว์ โดยแสดงให้เห็นว่าสมการง่ายๆ สามารถอธิบายการเจริญเติบโตแบบเกลียวได้ ในศตวรรษที่ 20 อลัน ทัวริง นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ทำนายกลไกการสร้างรูปร่างที่ทำให้เกิดแบบแผน ของจุดและลายเส้น อริส ติด ลินเดนเมเยอร์นักชีววิทยาชาวฮังการี และ เบอนัวต์ แมนเดลบร็อตนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส-อเมริกันแสดงให้เห็นว่าคณิตศาสตร์ของแฟรกทัลสามารถสร้างแบบแผนการเจริญเติบโตของพืช ได้อย่างไร

คณิตศาสตร์ฟิสิกส์และเคมี สามารถอธิบายรูปแบบในธรรมชาติได้ในระดับและขนาดที่แตกต่างกัน รูปแบบในสิ่งมีชีวิต นั้นอธิบายได้ด้วย กระบวนการ ทางชีววิทยาของการคัดเลือกโดยธรรมชาติและการคัดเลือกทางเพศการศึกษาการก่อตัวของรูปแบบใช้แบบจำลองคอมพิวเตอร์เพื่อจำลองรูปแบบต่างๆ มากมาย

นักปรัชญากรีกยุคแรกพยายามอธิบายระเบียบในธรรมชาติโดยคาดการณ์ถึงแนวคิดสมัยใหม่พีทาโกรัส (ประมาณ 570–495 ปีก่อนคริสตกาล) อธิบายรูปแบบในธรรมชาติ เช่น ความกลมกลืนของดนตรี ว่าเกิดจากจำนวน ซึ่งเขาถือว่าเป็นองค์ประกอบพื้นฐานของการดำรงอยู่^{[ a ]}เอมเปโดคลีส (ประมาณ 494–434 ปีก่อนคริสตกาล) คาดการณ์ถึงคำอธิบายเชิงวิวัฒนาการของดาร์วิน เกี่ยวกับโครงสร้างของสิ่งมีชีวิตในระดับหนึ่ง ^{[ b ]}เพลโต (ประมาณ 427–347 ปีก่อนคริสตกาล) โต้แย้งถึงการมีอยู่ของสากล ธรรมชาติ เขาพิจารณาว่าสิ่งเหล่านี้ประกอบด้วยรูปแบบในอุดมคติ ( εἶδος eidos : "รูปแบบ") ซึ่งวัตถุทางกายภาพไม่เคยเป็นมากกว่าสำเนาที่ไม่สมบูรณ์ ดังนั้น ดอกไม้อาจมีรูปทรงกลมโดยประมาณ แต่ไม่เคยเป็นวงกลมที่สมบูรณ์แบบ^{[ 2 ]}ธีโอฟราสตัส (ประมาณ 372–287 ปีก่อนคริสตกาล) สังเกตว่าพืช "ที่มีใบแบนจะมีใบเรียงกันเป็นชุดอย่างสม่ำเสมอ" พลินีผู้เฒ่า (ค.ศ. 23–79) สังเกตเห็นการจัดเรียงเป็นวงกลมที่มีลวดลาย^{[ 3 ]}หลายศตวรรษต่อมาเลโอนาร์โด ดา วินชี (ค.ศ. 1452–1519) สังเกตเห็นการจัดเรียงแบบเกลียวของลวดลายใบไม้ ลำต้นของต้นไม้จะมีวงปีเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ เมื่ออายุมากขึ้น และเสนอกฎที่เชื่อกันว่าสอดคล้องกับพื้นที่หน้าตัดของกิ่งไม้^{[ 4 ] [ 3 ]}

ในปี ค.ศ. 1202 เลโอนาร์โด ฟิโบนาชชีได้แนะนำลำดับฟิโบนาชชีให้แก่โลกตะวันตกด้วยหนังสือLiber Abaci ของ เขา^{[ 5 ]}ฟิโบนาชชีได้นำเสนอการทดลองทางความคิดเกี่ยวกับการเติบโตของประชากรกระต่าย ในอุดมคติ ^{[ 6 ]}โยฮันเนส เคปเลอร์ (ค.ศ. 1571–1630) ได้ชี้ให้เห็นถึงการปรากฏของลำดับฟิโบนาชชีในธรรมชาติ โดยใช้มันเพื่ออธิบาย รูปทรง ห้าเหลี่ยมของดอกไม้บางชนิด^{[ 3 ]} ในปี ค.ศ. 1658 เซอร์ โทมัส บราวน์แพทย์และนักปรัชญาชาวอังกฤษได้กล่าวถึง "วิธีที่ธรรมชาติสร้างรูปทรงเรขาคณิต" ในThe Garden of Cyrusโดยอ้างถึงตัวเลขศาสตร์ของพีทาโกเรียนที่เกี่ยวข้องกับเลข 5 และ รูปแบบ ควินคันซ์ แบบ เพลโต บทหลัก ของบทสนทนานี้มีตัวอย่างและการสังเกตของควินคันซ์ในพฤกษศาสตร์^{[ 7 ]}ในปี ค.ศ. 1754 ชาร์ลส์ บอนเน็ตสังเกตว่าการเรียงตัว แบบเกลียว ของพืชมักแสดงออกในอัตราส่วนทองคำทั้งแบบตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกา^{[ 3 ]}การสังเกตทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับการเรียงตัวของใบตามมาด้วย งานของ คาร์ล ฟรีดริช ชิมเปอร์ และ อเล็กซานเดอร์ บราวน์ เพื่อนของเขาในปี ค.ศ. 1830 และ ค.ศ. 1830 ตาม ลำดับ ออกุสต์ บราเวส์และหลุยส์ น้องชายของเขาเชื่อมโยงอัตราส่วนการเรียงตัวของใบกับลำดับฟิโบนาชชีในปี ค.ศ. 1837 โดยสังเกตเห็นการปรากฏในลูกสนและสับปะรด ด้วย ^{[ 3 ]}ในหนังสือของเขาในปี ค.ศ. 1854 นักจิตวิทยาชาวเยอรมันอดอล์ฟ ไซซิงได้สำรวจอัตราส่วนทองคำที่แสดงออกในการจัดเรียงส่วนต่างๆ ของพืชโครงกระดูกของสัตว์ และรูปแบบการแตกแขนงของเส้นเลือดและเส้นประสาท รวมถึงในผลึกด้วย^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}

ในศตวรรษที่ 19 นักฟิสิกส์ชาวเบลเยียมโจเซฟ พลาโต (ค.ศ. 1801–1883) ได้กำหนดปัญหาทางคณิตศาสตร์ของการมีอยู่ของพื้นผิวขั้นต่ำที่มีขอบเขตที่กำหนด ซึ่งตั้งชื่อตามเขา เขาศึกษาฟิล์มสบู่อย่างละเอียด และกำหนดกฎของพลาโตซึ่งอธิบายโครงสร้างที่เกิดจากฟิล์มในโฟม^{[ 11 ]}ลอร์ด เคลวินระบุปัญหาของวิธีที่มีประสิทธิภาพที่สุดในการจัดเรียงเซลล์ที่มีปริมาตรเท่ากันเป็นโฟมในปี ค.ศ. 1887 วิธีแก้ปัญหาของเขาใช้เพียงของแข็งเดียว คือรังผึ้งลูกบาศก์แบบตัดสองด้านที่มีหน้าโค้งเล็กน้อยมากเพื่อให้เป็นไปตามกฎของพลาโต ไม่พบวิธีแก้ปัญหาที่ดีกว่านี้จนกระทั่งปี ค.ศ. 1993 เมื่อเดนิส แวร์ และโรเบิร์ต เฟแลน เสนอโครงสร้างแวร์-เฟแลนศูนย์กีฬาทางน้ำแห่งชาติปักกิ่งได้ปรับใช้โครงสร้างนี้สำหรับผนังด้านนอกในการแข่งขันกีฬาโอลิมปิกฤดูร้อนปี ค.ศ. 2008 ^{[ 12 ]} Ernst Haeckel (1834–1919) วาดภาพประกอบที่สวยงามของสิ่งมีชีวิตในทะเล โดยเฉพาะอย่างยิ่งRadiolariaโดยเน้นความสมมาตรเพื่อสนับสนุนทฤษฎีวิวัฒนาการ แบบ ดาร์วินเทียม ของเขา ^{[ 13 ]}ช่างภาพชาวอเมริกันWilson Bentleyถ่ายภาพไมโครกราฟของเกล็ดหิมะ เป็นครั้งแรก ในปี 1885 ^{[ 14 ]}

ในศตวรรษที่ 20 AH Churchได้ศึกษาแบบแผนของฟิลโลแท็กซิสในหนังสือของเขาในปี 1904 ^{[ 15 ]}ในปี 1917 D'Arcy Wentworth Thompsonได้ตีพิมพ์หนังสือOn Growth and Form ; คำอธิบายของเขาเกี่ยวกับฟิลโลแท็กซิสและลำดับฟิโบนาชชี ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ในรูปแบบการเจริญเติบโตแบบเกลียวของพืช แสดงให้เห็นว่าสมการง่ายๆ สามารถอธิบายรูปแบบการเจริญเติบโตแบบเกลียวของเขาของสัตว์และเปลือกหอยได้^{[ 16 ]}ในปี 1952 นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์Alan Turing (1912–1954) ได้เขียนหนังสือThe Chemical Basis of Morphogenesisซึ่งเป็นการวิเคราะห์กลไกที่จำเป็นในการสร้างรูปแบบในสิ่งมีชีวิต ในกระบวนการที่เรียกว่ามอร์โฟเจเนซิส [ ^{17 ] เขา}ทำนายปฏิกิริยาเคมีแบบสั่น โดยเฉพาะอย่างยิ่งปฏิกิริยา Belousov– Zhabotinsky ทิวริงเสนอว่ากลไกตัวกระตุ้น-ตัวยับยั้งเหล่านี้สามารถสร้างรูปแบบ (เรียกว่า " รูปแบบทิวริง ") ของลายเส้นและจุดในสัตว์ และมีส่วนช่วยในรูปแบบเกลียวที่เห็นในฟิลโลแท็กซิสของพืช^{[ 18 ]} ในปี 1968 อริสติด ลินเดนเมเยอร์ (1925–1989) นักชีววิทยาเชิงทฤษฎีชาวฮังการี ได้พัฒนา ระบบ Lซึ่งเป็นไวยากรณ์เชิงรูปธรรมที่สามารถใช้สร้างแบบจำลองรูปแบบการเจริญเติบโตของพืชในรูปแบบของแฟรกทัล [ ^{19 ] ระบบ} L มีตัวอักษรของสัญลักษณ์ที่สามารถรวมกันได้โดยใช้กฎการผลิตเพื่อสร้างสตริงของสัญลักษณ์ที่ใหญ่ขึ้น และกลไกสำหรับการแปลสตริงที่สร้างขึ้นเป็นโครงสร้างทางเรขาคณิต ในปี 1975 หลังจากการพัฒนาอย่างช้าๆ ของคณิตศาสตร์ของรูปแบบเป็นเวลาหลายศตวรรษโดยก็อตฟรีด ไลบ์นิซ จอร์จแคนเตอร์เฮลเก ฟอน โคช วาคลาฟ เซียร์ปินสกีและคนอื่นๆเบอนัวต์ แมนเดลบร็อตได้เขียนบทความที่มีชื่อเสียงเรื่องHow Long Is the Coast of Britain? ความคล้ายคลึงกันทางสถิติและมิติเศษส่วนซึ่งทำให้ความคิดทางคณิตศาสตร์กลายเป็นแนวคิดของแฟรกทัล^{[ 20 ]}

• 
  รูปแบบ ตัวเลขฟิโบนาชี่พบได้ทั่วไปในพืช เช่น ต้นสาคูราชินี ( Cycas circinalis ) ชนิดนี้
• 
  ศูนย์กีฬาทางน้ำแห่งชาติปักกิ่งสำหรับการแข่งขันกีฬาโอลิมปิกปี 2008 มีโครงสร้างแบบ Weaire– Phelan
• 
  ดาร์ซี ทอมป์สัน เป็นผู้บุกเบิกการศึกษาเรื่องการเจริญเติบโตและรูปแบบในหนังสือของเขาที่ตีพิมพ์ในปี 1917

สิ่งมีชีวิต เช่นกล้วยไม้นกฮัมมิงเบิร์ดและหางนกยูงมีการออกแบบเชิงนามธรรมที่มีความสวยงามของรูปทรง ลวดลาย และสีสันที่ศิลปินพยายามเลียนแบบได้ยาก^{[ 21 ]}ความงามที่ผู้คนรับรู้ในธรรมชาติมีสาเหตุมาจากหลายระดับ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในคณิตศาสตร์ที่ควบคุมรูปแบบต่างๆ ที่สามารถเกิดขึ้นได้จริง และในหมู่สิ่งมีชีวิตนั้นเกิดจากผลของการคัดเลือกโดยธรรมชาติ ซึ่งควบคุมวิวัฒนาการของรูปแบบต่างๆ^{[ 22 ]}

คณิตศาสตร์มุ่งค้นหาและอธิบายรูปแบบนามธรรมหรือความสม่ำเสมอทุกประเภท^{[ 23 ] [ 24 ]} รูปแบบภาพในธรรมชาติพบคำอธิบายในทฤษฎีความโกลาหลแฟรกทัล เกลียวลอการิทึม โทโพโลยี และรูปแบบทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ตัวอย่างเช่นระบบ Lสร้างแบบจำลองที่น่าเชื่อถือของรูปแบบการเติบโตของต้นไม้ที่แตกต่างกัน^{[ 19 ]}

กฎของฟิสิกส์นำแนวคิดนามธรรมของคณิตศาสตร์มาใช้กับโลกแห่งความเป็นจริง บ่อยครั้งราวกับว่ามันสมบูรณ์แบบ ตัวอย่างเช่นผลึกจะสมบูรณ์แบบเมื่อไม่มีข้อบกพร่องทางโครงสร้าง เช่น การเคลื่อนที่ และมีความสมมาตรอย่างสมบูรณ์ ความสมบูรณ์แบบทางคณิตศาสตร์ที่แม่นยำสามารถประมาณวัตถุจริงได้เท่านั้น^{[ 25 ]}รูปแบบที่มองเห็นได้ในธรรมชาติถูกควบคุมโดยกฎทางฟิสิกส์ตัวอย่างเช่นทางคดเคี้ยวสามารถอธิบายได้โดยใช้พลศาสตร์ ของไหล

ในทางชีววิทยาการคัดเลือกโดยธรรมชาติสามารถทำให้เกิดการพัฒนารูปแบบในสิ่งมีชีวิตได้ด้วยเหตุผลหลายประการ รวมถึง^การพรางตัว [ ^{26 ]}การคัดเลือกทางเพศ^{[ 26 ]}และการส่งสัญญาณประเภทต่างๆ รวมถึงการเลียนแบบ^{[ 27 ]}และภาวะพึ่งพาอาศัยกันในการทำความสะอาด [ ^{28 ] ใน}พืช รูปร่าง สี และรูปแบบของดอกไม้ที่ผสมเกสรโดย แมลง เช่นดอกลิลลี่ได้วิวัฒนาการมาเพื่อดึงดูดแมลง เช่นผึ้งรูปแบบรัศมีของสีและลายเส้น ซึ่งบางส่วนมองเห็นได้เฉพาะในแสงอัลตราไวโอเลต ทำหน้าที่เป็นตัวนำทางน้ำหวานที่สามารถมองเห็นได้จากระยะไกล^{[ 29 ]}

ความสมมาตร เป็นสิ่งที่พบ ^ได้ทั่วไปในสิ่งมีชีวิต สัตว์ส่วนใหญ่มีสมมาตรแบบทวิภาคหรือสมมาตรแบบกระจกเงาเช่นเดียวกับใบของพืชและดอกไม้บางชนิด เช่นกล้วยไม้ [ ^{30 ]}พืชส่วนใหญ่มักมีสมมาตรแบบรัศมีหรือสมมาตรแบบหมุนเช่นเดียวกับดอกไม้หลายชนิดและสัตว์บางกลุ่ม เช่นดอกไม้ทะเลความสมมาตรแบบห้าเท่าพบได้ในเอคิโนเดอร์มซึ่งเป็นกลุ่มที่รวมถึงดาวทะเล เม่นทะเลและดอกลิลลี่ทะเล^{[ 31 ]}

ในบรรดาสิ่งที่ไม่มีชีวิตเกล็ดหิมะมีสมมาตรหกเท่าที่ โดดเด่น โครงสร้างของแต่ละเกล็ดเป็นบันทึกของสภาวะต่างๆ ในระหว่างการตกผลึก โดยมีรูปแบบการเติบโตเกือบเหมือนกันบนแขนทั้งหก^{[ 32 ]} โดยทั่วไปแล้ว ผลึกมีสมมาตรและลักษณะผลึกที่ หลากหลาย อาจเป็นทรงลูกบาศก์หรือทรงแปดเหลี่ยม แต่ผลึกแท้ไม่สามารถมีสมมาตรห้าเท่าได้ (ต่างจากผลึกกึ่งผลึก ) ^{[ 33 ]}สมมาตรแบบหมุนพบได้ในระดับต่างๆ ในบรรดาสิ่งที่ไม่มีชีวิต รวมถึงรูป แบบ การ กระเด็นเป็นรูปมงกุฎ ที่เกิดขึ้นเมื่อหยดน้ำตกลงไปในสระน้ำ^{[ 34 ]}และทั้ง รูปทรง ทรงกลมและวงแหวนของดาวเคราะห์เช่นดาวเสาร์^{[ 35 ]}

ความสมมาตรมีสาเหตุหลายประการ ความสมมาตรแบบรัศมีเหมาะกับสิ่งมีชีวิตเช่นดอกไม้ทะเลซึ่งตัวเต็มวัยไม่เคลื่อนที่: อาหารและภัยคุกคามอาจมาจากทิศทางใดก็ได้ แต่สัตว์ที่เคลื่อนที่ไปในทิศทางเดียวจำเป็นต้องมีด้านบนและด้านล่าง ปลายหัวและปลายหาง และดังนั้นจึงมีด้านซ้ายและด้านขวา หัวจะมีความพิเศษด้วยปากและอวัยวะรับสัมผัส ( cephalisation ) และร่างกายจะมีความสมมาตรแบบทวิภาคี (แม้ว่าอวัยวะภายในไม่จำเป็นต้องเป็นเช่นนั้น) ^{[ 36 ]}สิ่งที่น่าสงสัยมากกว่าคือเหตุผลของความสมมาตรแบบห้าเท่า (pentaraidete) ของเอคิโนเดอร์ม เอคิโนเดอร์มในยุคแรกมีความสมมาตรแบบทวิภาคี เช่นเดียวกับตัวอ่อนของพวกมันในปัจจุบัน Sumrall และ Wray โต้แย้งว่าการสูญเสียความสมมาตรแบบเก่ามีสาเหตุทั้งด้านการพัฒนาและด้านนิเวศวิทยา^{[ 37 ]}ในกรณีของไข่น้ำแข็งการกวนน้ำอย่างอ่อนโยนที่พัดโดยลมแรงพอสมควรทำให้เกิดชั้นน้ำแข็งเป็นวงกลมบนอนุภาคเมล็ดพืช จากนั้นอนุภาคเมล็ดพืชจะเติบโตเป็นลูกบอลลอยน้ำขณะที่มันกลิ้งผ่านกระแสน้ำแข็ง^{[ 38 ]}

• 
  สัตว์หลายชนิดมักแสดงสมมาตรแบบกระจกหรือสมมาตรแบบทวิภาคี เช่นเดียวกับ เสือตัวนี้
• 
  สัตว์ทะเลกลุ่มเอคิโนเดอร์มเช่นดาวทะเล ชนิดนี้ มีสมมาตรแบบห้าเท่า
• 
  สามารถพบเห็นสมมาตรห้าเท่าได้ในดอกไม้หลายชนิดและผลไม้บางชนิด เช่นผลเมดลาร์ชนิด นี้
• 
  เกล็ดหิมะมีสมมาตรแบบหกเหลี่ยม
• 
  ฟลูออไรต์ ที่มี ลักษณะผลึกทรงลูกบาศก์
• 
  การกระเด็นของน้ำ มี ลักษณะสมมาตรแบบรัศมีโดยประมาณ
• 
  การ์เนตแสดงลักษณะผลึกทรงสิบสองเหลี่ยมขนมเปียกปูน
• 
  ดอกไม้ทะเลมีสมมาตรแบบหมุน
• 
  Volvoxมีสมมาตรทรงกลม
• 
  ไข่น้ำแข็งจะมีรูปทรงกลมสมมาตรได้จากการถูกลมและกระแสน้ำพัดพาไปมา

รูปแบบการแตกกิ่งก้านของต้นไม้ได้รับการอธิบายไว้ในยุคเรเนสซองส์ของอิตาลีโดยเลโอนาร์โด ดา วิน ชี ในหนังสือ "ตำราว่าด้วยการวาดภาพ"เขาได้กล่าวไว้ว่า:

กิ่งก้านทั้งหมดของต้นไม้ในทุกระดับความสูง เมื่อนำมารวมกันจะมีขนาดเท่ากับลำต้น [ด้านล่าง] ^{[ 39 ]}

เวอร์ชันทั่วไประบุว่าเมื่อกิ่งหลักแตกออกเป็นกิ่งย่อยสองกิ่งขึ้นไป พื้นที่ผิวของกิ่งย่อยจะรวมกันได้เท่ากับพื้นที่ผิวของกิ่งหลัก^{[ 40 ]}สูตรที่เทียบเท่ากันคือ หากกิ่งหลักแตกออกเป็นกิ่งย่อยสองกิ่ง เส้นผ่านศูนย์กลางหน้าตัดของกิ่งหลักและกิ่งย่อยทั้งสองจะก่อให้เกิดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคำอธิบายหนึ่งคือสิ่งนี้ช่วยให้ต้นไม้ทนต่อลมแรงได้ดีขึ้น^{[ 40 ]}การจำลองแบบจำลองทางชีวกลศาสตร์สอดคล้องกับกฎนี้^{[ 41 ]}

แฟรกทัลเป็นโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่คล้ายคลึงกัน อย่างไม่สิ้นสุดและมีการทำ ซ้ำ โดยมี มิติ แฟรกทัล ^{[ 20 ] [ 42 ] [ 43 ]}การทำซ้ำอย่างไม่สิ้นสุดนั้นเป็นไปไม่ได้ในธรรมชาติ ดังนั้นรูปแบบ "แฟรกทัล" ทั้งหมดจึงเป็นเพียงการประมาณเท่านั้น ตัวอย่างเช่น ใบของเฟิร์นและ พืช วงศ์ Umbelliferae (Apiaceae) จะคล้ายคลึงกัน (แบบขนนก) เพียง 2, 3 หรือ 4 ระดับเท่านั้น รูปแบบการเจริญเติบโตแบบเฟิร์นเกิดขึ้นในพืชและสัตว์ รวมถึงไบรโอซัวปะการังไฮโดรซัวเช่นเฟิร์นอากาศ Sertularia argenteaและในสิ่งที่ไม่มีชีวิต โดยเฉพาะอย่างยิ่งการปล่อยประจุไฟฟ้าแฟ รกทัล ระบบ Lindenmayerสามารถจำลองรูปแบบต่างๆ ของการเจริญเติบโตของต้นไม้ได้โดยการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์จำนวนเล็กน้อย รวมถึงมุมการแตกกิ่ง ระยะห่างระหว่างโหนดหรือจุดแตกกิ่ง ( ความยาว ปล้อง ) และจำนวนกิ่งต่อจุดแตกกิ่ง^{[ 19 ]}

รูป แบบคล้ายแฟรกทั ล เกิดขึ้นอย่างแพร่หลายในธรรมชาติ ในปรากฏการณ์ ที่หลากหลาย เช่น เมฆ เครือข่ายแม่น้ำรอยเลื่อนทางธรณีวิทยาภูเขาชายฝั่ง [ ^{44 ]}สีสันของสัตว์เกล็ดหิมะ^{[ 45 ]}ผลึก^[ 46 ^]การแตกแขนงของหลอดเลือด^{[ 47 ]}เซลล์ Purkinje [ ^{48 ] โครง กระดูกไซ โต}สเกเลตันของแอคติ น ^{[ 49 ]}และคลื่น^{ในมหาสมุทร} [ ^{50 ]}

• 
  รูปแบบการเจริญเติบโตของต้นไม้บางชนิดมีลักษณะคล้ายกับแฟร็กทัลระบบลินเดนเมเยอ ร์เหล่านี้
• 
  รูปแบบการแตกกิ่งของต้นเบาบับ
• 
  ใบของผักชีฝรั่ง ( Anthriscus sylvestris ) มีลักษณะเป็นใบ ประกอบแบบขนนก 2 หรือ 3 ใบ ไม่ใช่ใบประกอบแบบอนันต์
• 
  เกลียว แฟรกทัล : บรอกโคลีโรมาเนสโกที่แสดงรูปทรงที่คล้ายคลึงกัน
• 
  ช่อดอกแองเจลิกา มีลักษณะ เป็นทรงกลมที่ประกอบด้วยทรงกลมย่อยๆ (มีความคล้ายคลึงกันในตัวเอง)
• 
  ต้นไม้: ภาพลิชเทนเบิร์ก : การแตกตัวของ ฉนวนไฟฟ้าแรงสูงในบล็อกพอลิเมอร์อะคริลิก
• 
  ต้นไม้: ผลึกทองแดงรูปทรง กิ่งก้านสาขา (ในกล้องจุลทรรศน์)

เกลียวเป็นสิ่งที่พบได้ทั่วไปในพืชและสัตว์บางชนิด โดยเฉพาะอย่างยิ่งในหอยตัวอย่างเช่น ในนอติลัสซึ่งเป็นหอยเซฟาโลพอด แต่ละช่องของเปลือกจะเป็นสำเนาโดยประมาณของช่องถัดไป โดยปรับขนาดด้วยปัจจัยคงที่และจัดเรียงเป็นเกลียวลอการิทึม^{[ 51 ]}เมื่อพิจารณาจากความเข้าใจสมัยใหม่เกี่ยวกับแฟรกทัล เกลียวการเติบโตสามารถมองได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของความคล้ายคลึงในตัวเอง^{[ 52 ]}

สามารถมองเห็นเกลียวของพืชได้ใน การจัดเรียงใบ (phyllotaxis ) บนลำต้น และในการจัดเรียง ( parastichy ^{[ 53 ]} ) ของส่วนอื่นๆ เช่น ในช่อดอกและช่อเมล็ดแบบรวม เช่น ดอกทานตะวันหรือ โครงสร้าง ผลไม้เช่นสับปะรด^{[ 15 ] [ 54 ] : 337} และผลไม้งูรวมถึงในรูปแบบของเกล็ดในกรวยสนซึ่งมีเกลียวหลายอันวิ่งทั้งตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกา การจัดเรียงเหล่านี้มีคำอธิบายในระดับต่างๆ – คณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ เคมี ชีววิทยา – แต่ละอย่างถูกต้องเป็นรายบุคคล แต่จำเป็นต้องรวมกันทั้งหมด^{[ 55 ]}เกลียวของการจัดเรียงใบสามารถสร้างขึ้นจากอัตราส่วนฟิโบนาชชีได้ : ลำดับฟิโบนาชชีคือ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... (แต่ละจำนวนถัดไปเป็นผลรวมของสองจำนวนก่อนหน้า) ตัวอย่างเช่น เมื่อใบสลับกันขึ้นไปบนลำต้น การหมุนของเกลียวหนึ่งรอบจะสัมผัสกับใบสองใบ ดังนั้นรูปแบบหรืออัตราส่วนจึงเป็น 1/2 ในเฮเซลอัตราส่วนคือ 1/3; ในแอปริคอตคือ 2/5; ในลูกแพร์คือ 3/8; ในอัลมอนด์คือ 5/13 ^{[ 56 ]} พฤติกรรมของสัตว์สามารถสร้างเกลียวได้ ตัวอย่างเช่น หนอนโอ๊กทิ้งร่องรอยอุจจาระเป็นเกลียวบนพื้นทะเล^{[ 57 ]}

ในการจัดเรียงใบแบบดิสก์ เช่นในดอกทานตะวันและดอกเดซี่ดอกย่อยจะเรียงตัวตามเกลียวของแฟร์มาต์แต่สิ่งนี้ถูกซ่อนไว้เนื่องจากดอกย่อยที่อยู่ติดกันเว้นระยะห่างกันมากตามมุมทองคำ 137.508° (ซึ่งแบ่งวงกลมตามอัตราส่วนทองคำ ) เมื่อช่อดอกเจริญเต็มที่จนองค์ประกอบทั้งหมดมีขนาดเท่ากัน ระยะห่างนี้จะสร้างเกลียวที่ชัดเจนยิ่งขึ้นตามจำนวนฟิโบนาชชี^{[ 58 ]}

จากมุมมองของฟิสิกส์ เกลียวเป็นโครงสร้างที่มีพลังงานต่ำที่สุด^{[ 59 ]}ซึ่งเกิดขึ้นเองโดยธรรมชาติผ่านกระบวนการจัดระเบียบตัวเอง ใน ระบบไดนามิก [ ^{60 ] จาก}มุมมองของเคมี เกลียวสามารถเกิดขึ้นได้จากกระบวนการปฏิกิริยา-การแพร่กระจาย ซึ่งเกี่ยวข้องทั้งการกระตุ้นและการยับยั้ง การจัดเรียงใบถูกควบคุมโดยโปรตีนที่จัดการความเข้มข้นของฮอร์โมนพืชออกซินซึ่งกระตุ้น การเจริญเติบโต ของเนื้อเยื่อเจริญพร้อมกับกลไกอื่นๆ เพื่อควบคุมมุมสัมพัทธ์ของตาที่อยู่รอบลำต้น^{[ 61 ] จากมุมมองทางชีววิทยา การจัดเรียงใบให้ห่างกันมากที่สุดเท่า ที่}จะเป็นไปได้ในพื้นที่ที่กำหนดนั้นได้รับการคัดเลือกโดยธรรมชาติ เนื่องจากเป็นการเพิ่มการเข้าถึงทรัพยากรให้สูงสุด โดยเฉพาะแสงแดดสำหรับการสังเคราะห์แสง [ ^{54 ]}

• 
  เกลียวฟิโบนาชี่
• 
  แกะเขาใหญ่ ( Ovis canadensis)
• 
  รูปทรงเกลียว: การเรียงตัวของใบว่านหางจระเข้เกลียว(Aloe polyphylla)
• 
  เกลียวการเติบโตแบบลอการิทึมของเปลือกหอยนอติลัส
• 
  เกลียวของแฟร์มาต์ : ช่อดอกทานตะวัน ( Helianthus annuus)
• 
  เกลียวฟิโบนาชี่หลายชั้น: กะหล่ำปลี แดง ตัดขวาง
• 
  เปลือกหอยเกลียวของTrochoidea liebetruti
• 
  หยดน้ำกระเด็นออกจากลูกบอลเปียกที่กำลังหมุนเป็นเกลียวมุมเท่าๆ กัน

ในทางคณิตศาสตร์ระบบพลวัตจะเรียกว่าอลวนหากมีความไวต่อเงื่อนไขเริ่มต้น (ที่เรียกว่า " ปรากฏการณ์ผีเสื้อ " ^{[ 62 ]} ) ซึ่งต้องอาศัยคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของการผสมเชิงโทโพโลยีและวงโคจรคาบหนาแน่น^{[ 63 ]}

นอกเหนือจากแฟรกทัลแล้วทฤษฎีความโกลาหลยังถือเป็นอิทธิพลสากลต่อรูปแบบในธรรมชาติอีกด้วย มีความสัมพันธ์ระหว่างความโกลาหลและแฟรกทัล— ตัวดึงดูดแปลกประหลาดในระบบโกลาหลมีมิติแฟรกทัล [ ^{64 ] ออ}โตมาตาเซลลูลาร์บางชุดซึ่งเป็นชุดกฎทางคณิตศาสตร์ง่ายๆ ที่สร้างรูปแบบ มีพฤติกรรมโกลาหล โดยเฉพาะอย่างยิ่งกฎ30ของStephen Wolfram ^{[ 65 ]}

ถนนกระแสน้ำวนเป็นรูปแบบซิกแซกของกระแสน้ำวน ที่หมุนวน ซึ่งเกิดจากการแยกตัวที่ไม่คงที่ของการไหลของของเหลว ซึ่ง ส่วนใหญ่มักเป็นอากาศหรือน้ำ เหนือวัตถุที่กีดขวาง^{[ 66 ]} การไหล แบบราบเรียบ ( ลามินาร์ ) เริ่มแตกตัวเมื่อขนาดของสิ่งกีดขวางหรือความเร็วของการไหลมีขนาดใหญ่พอเมื่อเทียบกับความหนืดของของเหลว

ทางน้ำคดเคี้ยวเป็นเส้นโค้งที่คดเคี้ยวในแม่น้ำหรือช่องทางอื่นๆ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อของเหลว โดยส่วนใหญ่มักเป็นน้ำ ไหลไปตามส่วนโค้ง ทันทีที่เส้นทางโค้งเล็กน้อย ขนาดและความโค้งของแต่ละวงจะเพิ่มขึ้น เนื่องจากการไหลแบบเกลียวจะลากวัสดุ เช่น ทรายและกรวด ข้ามแม่น้ำไปยังด้านในของส่วนโค้ง ด้านนอกของวงจะยังคงสะอาดและไม่มีการป้องกัน ดังนั้นการกัดเซาะจึงเร่งตัวขึ้น ทำให้การคดเคี้ยวเพิ่มมากขึ้นในวงจรป้อนกลับเชิงบวกที่ทรงพลัง^{[ 67 ]}

• 
  ความโกลาหล: เปลือกหอยกาบชนิดหนึ่งที่เรียกว่าConus textile มีลักษณะคล้ายกับเซลลูลาร์ออโตมาตอน ตาม กฎข้อที่ 30
• 
  การไหลเวียนของอากาศ: กลุ่มเมฆหมุนวนที่หมู่เกาะฮวนเฟอร์นันเดซ
• 
  ทางโค้งของแม่น้ำ: ร่องรอยทางโค้งของแม่น้ำและทะเลสาบรูปโค้ง ที่สวยงาม ในที่ราบน้ำท่วม ถึงกว้างใหญ่ ของแม่น้ำริโอเนโกรมองจากอวกาศ
• 
  แม่น้ำคดเคี้ยว: เส้นทางที่คดเคี้ยวของแม่น้ำ Cautoประเทศคิวบา
• 
  ทางเดินคดเคี้ยว: เหมือนงูเลื้อยคลานไปมา
• 
  แนวปะการังคดเคี้ยว: ปะการังสมองสมมาตร, Diploria strigosa

คลื่นคือการรบกวนที่นำพาพลังงานไปพร้อมกับการเคลื่อนที่คลื่นกลแพร่กระจายผ่านตัวกลาง เช่น อากาศหรือน้ำ ทำให้เกิดการสั่นไหวเมื่อคลื่นเคลื่อนผ่าน^{[ 68 ]}คลื่นลม เป็น คลื่นผิวน้ำทะเลที่สร้างรูปแบบที่วุ่นวายอันเป็นเอกลักษณ์ของแหล่งน้ำขนาดใหญ่ แม้ว่าพฤติกรรมทางสถิติของคลื่นลมจะสามารถทำนายได้ด้วยแบบจำลองคลื่นลมก็ตาม^{[ 69 ]}เมื่อคลื่นในน้ำหรือลมพัดผ่านทราย พวกมันจะสร้างรูปแบบของริ้วคลื่น เมื่อลมพัดผ่านแหล่งทรายขนาดใหญ่ พวกมันจะสร้างเนินทรายบางครั้งในทุ่งเนินทรายที่กว้างขวาง เช่น ใน ทะเลทราย ทาคลามากันเนินทรายอาจมีรูปแบบหลากหลาย รวมถึงรูปพระจันทร์เสี้ยว เส้นตรงยาวมาก รูปดาว รูปโดม รูปพาราโบลา และรูปทรงตามยาวหรือรูปดาบ^{[ 70 ]}

เนิน ทรายรูปพระจันทร์เสี้ยวหรือบาร์ชานเกิดจากลมที่พัดผ่านทรายในทะเลทราย โดยส่วนปลายทั้งสองข้างของรูปพระจันทร์เสี้ยวและ ด้าน ที่ลาดเอียงจะชี้ไปทางทิศที่ลมพัด ทรายจะพัดผ่านด้านที่อยู่เหนือลม ซึ่งทำมุมประมาณ 15 องศาจากแนวราบ และตกลงบนด้านที่ลาดเอียง ซึ่งจะสะสมตัวจนถึงมุมพักตัวของทราย ซึ่งอยู่ที่ประมาณ 35 องศา เมื่อมุมที่ลาดเอียงเกินมุมพักตัว ทรายจะถล่มลงมาซึ่งเป็น พฤติกรรม ที่ไม่ เป็นเชิงเส้น กล่าวคือ การเพิ่มทรายจำนวนเล็กน้อยจำนวนมากจะไม่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงอะไรมากนัก แต่การเพิ่มทรายจำนวนเล็กน้อยอีกเพียงเล็กน้อยจะทำให้เกิดการถล่มของทรายจำนวนมากอย่างกะทันหัน^{[ 71 ]}นอกเหนือจากความไม่เป็นเชิงเส้นนี้ บาร์ชานยังมีพฤติกรรมคล้ายกับคลื่นเดี่ยว^{[ 72 ]}

• 
  คลื่น: คลื่นที่แตกกระจายตามหลังเรือ
• 
  เนินทราย: เนินทรายใน ทะเลทราย ทาคลามากัน มองจากอวกาศ
• 
  เนินทราย: เนินทรายรูปพระจันทร์เสี้ยวแบบบาร์ชาน
• 
  ลมพัดพาความโกลาหลในจังหวัดซิสถานประเทศอัฟกานิสถาน

ฟองสบู่ก่อตัวเป็นทรงกลมซึ่งเป็นพื้นผิวที่มีพื้นที่น้อยที่สุด ( พื้นผิวน้อยที่สุด ) — พื้นที่ผิวที่เล็กที่สุดที่เป็นไปได้สำหรับปริมาตรที่ล้อมรอบ ฟองสบู่สองฟองรวมกันจะก่อตัวเป็นรูปร่างที่ซับซ้อนมากขึ้น: พื้นผิวด้านนอกของฟองสบู่ทั้งสองเป็นทรงกลม พื้นผิวเหล่านี้เชื่อมต่อกันด้วยพื้นผิวทรงกลมที่สาม เนื่องจากฟองสบู่ขนาดเล็กโป่งออกมาเล็กน้อยเข้าไปในฟองสบู่ขนาดใหญ่^{[ 11 ]}

โฟมคือมวลของฟองอากาศ โฟมที่ทำจากวัสดุต่าง ๆ เกิดขึ้นได้ในธรรมชาติ โฟมที่ประกอบด้วยฟิล์มสบู่เป็นไปตามกฎของ Plateauซึ่งกำหนดให้ฟิล์มสบู่สามแผ่นมาบรรจบกันที่ขอบแต่ละด้านที่มุม 120° และขอบสบู่สี่ด้านมาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุดที่ มุม ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าประมาณ 109.5° กฎของ Plateau ยังกำหนดให้ฟิล์มต้องเรียบและต่อเนื่อง และมีความโค้งเฉลี่ย คงที่ ในทุกจุด ตัวอย่างเช่น ฟิล์มอาจคงความเรียบเกือบเท่าเดิมโดยเฉลี่ยโดยโค้งขึ้นในทิศทางหนึ่ง (เช่น จากซ้ายไปขวา) ในขณะที่โค้งลงในอีกทิศทางหนึ่ง (เช่น จากหน้าไปหลัง) ^{[ 73 ] [ 74 ]}โครงสร้างที่มีพื้นผิวน้อยที่สุดสามารถใช้เป็นเต็นท์ได้

ในระดับเซลล์ ที่มีชีวิต รูปแบบฟองเป็นเรื่องปกติเรดิโอลาเรียน หนามฟองน้ำ โครงกระดูกภายนอก ของ ซิลิโคแฟลเจลเลตและโครงกระดูกแคลไซต์ของเม่นทะเล Cidaris rugosaล้วนมีลักษณะคล้ายกับแบบจำลองแร่ธาตุของขอบเขตฟอง Plateau ^{[ 75 ] [ 76 ]}โครงกระดูกของเรดิโอลาเรียน Aulonia hexagonaซึ่งเป็นรูปร่างทางทะเลที่สวยงามที่วาดโดยErnst Haeckelดูเหมือนจะเป็นทรงกลมที่ประกอบด้วยรูปหกเหลี่ยมทั้งหมด แต่สิ่งนี้เป็นไปไม่ได้ทางคณิตศาสตร์ลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ระบุว่าสำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยม นูนใดๆ จำนวนหน้าบวกจำนวนจุดยอด (มุม) เท่ากับจำนวนขอบบวกสอง ผลลัพธ์ของสูตรนี้คือรูปทรงหลายเหลี่ยมปิดใดๆ ของรูปหกเหลี่ยมจะต้องมีรูปห้าเหลี่ยม 12 รูปพอดี เช่นลูกฟุตบอลโดมทรงเรขาคณิตของ Buckminster Fullerหรือโมเลกุลฟูลเลอรีนสามารถมองเห็นภาพนี้ได้โดยสังเกตว่าตาข่ายหกเหลี่ยมมีลักษณะแบนเหมือนแผ่นตาข่ายลวดไก่ แต่รูปห้าเหลี่ยมแต่ละรูปที่เพิ่มเข้ามาจะทำให้ตาข่ายโค้งงอ (มีมุมน้อยลง ดังนั้นตาข่ายจึงถูกดึงเข้า) ^{[ 77 ]}

• 
  ฟองสบู่: ขอบทั้งสี่มาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด โดยทำมุมใกล้เคียง 109.5° เช่นเดียวกับพันธะ CH สองพันธะในมีเทน
• 
  ภาพ RadiolariaวาดโดยHaeckelในKunstformen der Natur (1904)
• 
  สปูเมลลาเรียของเฮคเคล; โครงกระดูกของเรดิโอลาเรียเหล่านี้มีรูปร่างคล้ายฟอง
• 
  บัคมิ นสเตอร์ฟูลเลอรีน C60 _: ริชาร์ด สมอลลีย์และเพื่อนร่วมงานได้สังเคราะห์ โมเลกุล ฟูลเลอรีนขึ้นในปี 1985
• 
  โบรโคโซม ( ไมโครพาร์ติเคิล ที่หลั่งสารออกมา ซึ่งผลิตโดยเพลี้ยจักจั่น ) มักมีรูปทรง คล้าย ฟูลเลอรีน
• 
  ทรงกลมที่มีขนาดเท่ากัน (ฟองก๊าซ) ในโฟมบนพื้นผิว
• 
  เต็นท์ละครสัตว์มีขนาดพื้นผิวโดยประมาณน้อยที่สุด

ลวดลายเทสเซลเลชันคือรูปแบบที่เกิดจากการเรียงตัวของกระเบื้อง ซ้ำๆ กัน ทั่วพื้นผิวเรียบ มีกลุ่มลวดลายวอลเปเปอร์ 17 กลุ่ม ^{[ 78 ]}แม้ว่าจะพบเห็นได้ทั่วไปในงานศิลปะและการออกแบบ แต่การเรียงตัวของกระเบื้องที่ซ้ำกันอย่างแม่นยำนั้นหาได้ยากในสิ่งมีชีวิต ตัวอย่างที่รู้จักกันดี ได้แก่ เซลล์ในรังกระดาษของแตน สังคม และเซลล์ขี้ผึ้งในรังผึ้งที่สร้างโดยผึ้ง ในบรรดาสัตว์ ปลาที่มีกระดูก สัตว์เลื้อยคลาน หรือตัวนิ่มหรือผลไม้เช่นสละได้รับการปกป้องด้วยเกล็ดหรือ ออสตีโอ เดอร์มที่ ซ้อนทับกัน ซึ่งก่อตัวเป็นหน่วยที่ซ้ำกันอย่างแม่นยำไม่มากก็น้อย แม้ว่าเกล็ดเหล่านั้นมักจะมีขนาดแตกต่างกันอย่างต่อเนื่องก็ตาม ในบรรดาดอกไม้ ดอกฟริทิลลาเรียหัวงู ( Fritillaria meleagris ) มีลวดลายตารางหมากรุกแบบเทสเซลเลชันบนกลีบดอก โครงสร้างของแร่ธาตุเป็นตัวอย่างที่ดีของอาร์เรย์สามมิติที่ซ้ำกันอย่างสม่ำเสมอ แม้จะมีแร่ธาตุที่รู้จักกันหลายแสนชนิด แต่ก็มีรูปแบบการจัดเรียงอะตอมในผลึกที่ เป็นไปได้เพียงไม่กี่แบบเท่านั้น ซึ่งกำหนดโดยโครงสร้างผลึกระบบผลึกและกลุ่มจุดตัวอย่างเช่น มีแลตติซบราเวส์ 14 แบบพอดี สำหรับระบบแลตติซ 7 ระบบในพื้นที่สามมิติ^{[ 79 ]}

• 
  ผลึก: ผลึกรูปทรงลูกบาศก์ของแฮไลต์ (เกลือหิน); ระบบผลึกแบบลูกบาศก์ , สมมาตรผลึกแบบเฮกซาออกตาเฮดรัลไอโซเมตริก
• 
  โครงสร้างแบบรังผึ้งเป็นรูปแบบการเรียงตัว ตามธรรมชาติ อย่าง หนึ่ง
• 
  ผลึกบิสมัท ฮอปเปอร์ แสดงให้เห็นถึง ลักษณะผลึกแบบขั้นบันได
• 
  ลวดลายกระเบื้อง: ลวดลายดอกไม้หัวงูของต้นFritillaria meleagris ที่เรียงต่อกัน
• 
  การปูกระเบื้อง: เกล็ดที่ทับซ้อนกันของแมลงสาบทั่วไปRutilus rutilus
• 
  ลักษณะการเรียงตัว: เกล็ดซ้อนทับกันของผลสละหรือสาลัก ( Salacca zalacca)
• 
  ทางเดินหินเรียงตัวเป็นรูปทรงเทสเซลเลชัน : รูปแบบหินที่หายากบนคาบสมุทรแทสแมน

รอยแตกเป็นช่องเปิดเชิงเส้นที่เกิดขึ้นในวัสดุเพื่อคลายความเครียดเมื่อ วัสดุ ยืดหยุ่นยืดหรือหดตัวอย่างสม่ำเสมอ ในที่สุดมันจะถึงความแข็งแรงในการแตกหักและจากนั้นจะล้มเหลวอย่างกะทันหันในทุกทิศทาง ทำให้เกิดรอยแตกที่มีข้อต่อ 120 องศา ดังนั้นรอยแตกสามรอยจึงมาบรรจบกันที่จุดเชื่อมต่อ ในทางกลับกัน เมื่อวัสดุที่ไม่ยืดหยุ่นล้มเหลว รอยแตกตรงจะเกิดขึ้นเพื่อคลายความเครียด ความเครียดเพิ่มเติมในทิศทางเดียวกันจะทำให้รอยแตกที่มีอยู่เปิดออก ความเครียดในมุมฉากสามารถสร้างรอยแตกใหม่ได้ โดยทำมุม 90 องศากับรอยแตกเดิม ดังนั้นรูปแบบของรอยแตกจึงบ่งชี้ว่าวัสดุนั้นยืดหยุ่นหรือไม่^{[ 80 ]}ในวัสดุเส้นใยที่แข็งแรงเช่นเปลือกต้นโอ๊ก รอยแตกจะเกิดขึ้นเพื่อคลายความเครียดตามปกติ แต่รอยแตกเหล่านั้นจะไม่ยาวเนื่องจากการเติบโตของรอยแตกถูกขัดจังหวะโดยมัดของเส้นใยยืดหยุ่นที่แข็งแรง เนื่องจากต้นไม้แต่ละชนิดมีโครงสร้างของตัวเองในระดับเซลล์และโมเลกุล แต่ละชนิดจึงมีรูปแบบการแตกของเปลือกไม้ที่แตกต่างกัน^{[ 81 ]}

• 
  พื้นผิวเครื่องปั้นดินเผาเก่า เคลือบสีขาว มีรอยแตกส่วนใหญ่เป็นมุม 90 องศา
• 
  โคลนที่ไม่ยืดหยุ่นกำลังแห้งตัวในทะเลทรายรันน์แห่งคุตช์ซึ่งส่วนใหญ่มีรอยแตกเป็นมุม 90 องศา
• 
  Veined gabbroที่มีรอยแตก 90° ใกล้กับSgurr na Stri , Skye
• 
  โคลนเหนียวที่แห้งตัวในซิซิลีซึ่งส่วนใหญ่มีรอยแตกมุม 120 องศา
• 
  หินบะซอลต์ที่เย็นตัวลงที่Giant's Causewayรอยแตกส่วนใหญ่เป็นแนวตั้งทำมุม 120 องศา ทำให้เกิดเสาหกเหลี่ยม
• 
  ลำต้นปาล์มมีรอยแตกตามแนวตั้ง (และรอยแผลเป็นจากใบตามแนวนอน)

เสือดาวและเต่าทองมีลายจุด ส่วนปลาแองเจิลและม้าลายมีลายทาง^{[ 82 ]}ลวดลายเหล่านี้มี คำอธิบายเชิง วิวัฒนาการ กล่าว คือ มีหน้าที่ที่เพิ่มโอกาสที่ลูกหลานของสัตว์ที่มีลวดลายจะรอดชีวิตเพื่อสืบพันธุ์ หน้าที่หนึ่งของลวดลายสัตว์คือ^การพรางตัว [ ^{26 ]}ตัวอย่างเช่นเสือดาวที่มองเห็นได้ยากจะจับเหยื่อได้มากขึ้น อีกหน้าที่หนึ่งคือการส่งสัญญาณ^{[ 27 ]}ตัวอย่างเช่นเต่าทองมีโอกาสน้อยที่จะถูก นก นักล่าที่ล่าเหยื่อด้วยสายตาโจมตี หากมันมีสีเตือนภัยที่เด่นชัด และยังมีรสขมหรือเป็นพิษหรือเลียนแบบแมลงที่มีรสชาติไม่ดีอื่นๆ นกวัยอ่อนอาจเห็นแมลงที่มีลวดลายเตือนภัย เช่น เต่าทอง และพยายามกินมัน แต่มันจะทำเช่นนั้นเพียงครั้งเดียวเท่านั้น ในไม่ช้ามันก็จะคายแมลงที่มีรสขมนั้นออกมา เต่าทองตัวอื่นๆ ในบริเวณนั้นจะยังคงไม่ถูกรบกวน ลูกเสือดาวและเต่าทองที่ได้รับมรดกยีนที่สร้างลายจุดจึงรอดชีวิต แต่ถึงแม้ว่าข้อโต้แย้งเชิงวิวัฒนาการและหน้าที่เหล่านี้จะอธิบายว่าทำไมสัตว์เหล่านี้จึงต้องการรูปแบบ แต่ก็ไม่ได้อธิบายว่ารูปแบบเหล่านั้นเกิดขึ้นได้อย่างไร^{[ 82 ]}

• 
  ผีเสื้อความงาม Dirce, Colobura dirce
• 
  ม้าลายเกรวี , Equus grevyi
• 
  ปลาแองเจิลฟิชหลวง ( Pygoplites diacanthus)
• 
  เสือดาว , Panthera pardus pardus
• 
  ภาพ แมลงเต่าทองหลากหลายชนิดโดยGG Jacobson
• 
  รูปแบบการสืบพันธุ์ของปลาหมึกกระดอง ( Sepia officinalis)

อลัน ทัวริง^{[ 17 ]}และต่อมานักชีววิทยาเชิงคณิตศาสตร์เจมส์ เมอร์เรย์ [ ^{83 ]}ได้อธิบายกลไกที่สร้างรูปแบบจุดหรือลายทางขึ้นเองโดยธรรมชาติ นั่นคือ^ระบบปฏิกิริยา-การแพร่กระจาย [ ^{84 ] เซลล์}ของสิ่งมีชีวิตวัยอ่อนมียีนที่สามารถเปิดใช้งานได้ด้วยสัญญาณทางเคมี มอร์โฟเจน ส่งผลให้เกิดการเจริญเติบโตของโครงสร้างบางประเภท เช่น ผิวหนังที่มีเม็ดสีเข้ม หากมอร์โฟเจนมีอยู่ทั่วทุกหนแห่ง ผลที่ได้คือสีผิวที่สม่ำเสมอ เช่น เสือดาวดำ แต่หากกระจายตัวไม่สม่ำเสมอ อาจเกิดเป็นจุดหรือลายทางได้ ทัวริงเสนอว่าอาจมี การควบคุม แบบป้อนกลับของการผลิตมอร์โฟเจนเอง ซึ่งอาจทำให้เกิดความผันผวนอย่างต่อเนื่องในปริมาณของมอร์โฟเจนขณะที่มันแพร่กระจายไปทั่วร่างกาย จำเป็นต้องมีกลไกที่สองเพื่อสร้าง รูปแบบ คลื่นนิ่ง (เพื่อให้เกิดจุดหรือลาย): สารเคมียับยั้งที่ปิดการผลิตมอร์โฟเจน และตัวมันเองแพร่กระจายไปทั่วร่างกายได้เร็วกว่ามอร์โฟเจน ส่งผลให้เกิดรูปแบบตัวกระตุ้น-ตัวยับยั้งปฏิกิริยา Belousov–Zhabotinskyเป็นตัวอย่างที่ไม่ใช่ชีวภาพของรูปแบบนี้ ซึ่งเป็นออสซิลเลเตอร์ทางเคมี^{[ 84 ]}

งานวิจัยในภายหลังสามารถสร้างแบบจำลองที่น่าเชื่อถือของลวดลายที่หลากหลาย เช่น ลายม้าลาย ลายจุดยีราฟ จุดเสือจากัวร์ (จุดสีเข้มปานกลางล้อมรอบด้วยวงแหวนสีเข้มที่ขาดตอน) และลวดลายเปลือกเต่าทอง (รูปแบบเรขาคณิตที่แตกต่างกันของจุดและลาย ดูภาพประกอบ) ^{[ 85 ]} แบบจำลองการกระตุ้นและการยับยั้งของ Richard Prumซึ่งพัฒนามาจากงานของ Turing ใช้ตัวแปรหกตัวเพื่ออธิบายช่วงที่สังเกตได้ของรูปแบบการสร้างเม็ดสีภายในขนเก้าแบบพื้นฐาน ตั้งแต่แบบที่ง่ายที่สุดคือจุดเม็ดสีตรงกลาง ผ่านจุดวงกลม แถบ ลายลูกศร จุดตา จุดตรงกลางสองจุด แถวของจุดคู่ และอาร์เรย์ของจุด^{[ 86 ] [ 87 ]}แบบจำลองที่ซับซ้อนกว่านั้นจำลองรูปแบบขนที่ซับซ้อนในไก่ฟ้าNumida meleagrisซึ่งขนแต่ละเส้นมีการเปลี่ยนจากแถบที่ฐานไปเป็นอาร์เรย์ของจุดที่ปลายสุด (ปลายสุด) สิ่งเหล่านี้ต้องการการสั่นที่สร้างขึ้นโดยสัญญาณยับยั้งสองสัญญาณ โดยมีปฏิสัมพันธ์ทั้งในอวกาศและเวลา^{[ 87 ]}

รูปแบบต่างๆ สามารถเกิดขึ้นได้จากสาเหตุอื่นๆ ในภูมิทัศน์ที่มีพืชพรรณของพุ่มไม้เสือ^{[ 88 ]}และคลื่นต้นสน^[ 89 ^]แถบพุ่มไม้เสือเกิดขึ้นบนเนินเขาแห้งแล้งซึ่งการเจริญเติบโตของพืชถูกจำกัดด้วยปริมาณน้ำฝน แถบพืชพรรณแนวนอนแต่ละแถบจะรวบรวมน้ำฝนจากบริเวณโล่งที่อยู่เหนือแถบนั้นได้อย่างมีประสิทธิภาพ^{[ 88 ] คลื่น}ต้นสนเกิดขึ้นในป่าบนเนินเขาหลังจากเกิดการรบกวนจากลม ในช่วงการฟื้นฟู เมื่อต้นไม้ล้ม ต้นไม้ที่เคยได้รับการปกป้องก็จะถูกเปิดเผยและมีแนวโน้มที่จะได้รับความเสียหายมากขึ้น ดังนั้นช่องว่างจึงมีแนวโน้มที่จะขยายออกไปตามทิศทางลม ในขณะเดียวกัน ทางด้านที่รับลม ต้นไม้เล็กจะเติบโตโดยได้รับการปกป้องจากเงาลมของต้นไม้สูงที่เหลืออยู่^{[ 89 ]}บางครั้งรูปแบบตามธรรมชาติก็เกิดขึ้นจากสัตว์ เช่นเนินดินมิมา ใน ภาคตะวันตกเฉียงเหนือของสหรัฐอเมริกาและพื้นที่อื่นๆ ซึ่งดูเหมือนว่าจะเกิดขึ้นจากการขุดโพรงของหนูพ็อกเก็ตโกเฟอร์^{เป็นเวลาหลายปี [} 90 ^{] ใน}ขณะที่วงกลมที่เรียกว่าวงกลมนางฟ้าของนามิเบียดูเหมือนว่าจะเกิดขึ้นจากปฏิสัมพันธ์ของกลุ่มปลวกทรายที่แข่งขันกัน พร้อมกับการแข่งขันแย่งชิงน้ำในหมู่พืชทะเลทราย^{[ 91 ]}

ในดินเพอร์มาฟรอสต์ที่มีชั้นบนที่เคลื่อนไหวได้ซึ่งเกิดการแข็งตัวและละลายเป็นประจำทุกปีพื้นดินที่มีลวดลายสามารถก่อตัวขึ้นได้ เช่น วงกลม ตาข่าย รูปหลายเหลี่ยมลิ่ม น้ำแข็งขั้นบันได และแถบการหดตัวจากความร้อนทำให้เกิดรอยแตกจากการหดตัว เมื่อละลาย น้ำจะเข้าไปเติมเต็มรอยแตก และขยายตัวกลายเป็นน้ำแข็งเมื่อแข็งตัวอีกครั้ง ทำให้รอยแตกกว้างขึ้นเป็นลิ่ม รอยแตกเหล่านี้อาจรวมกันเป็นรูปหลายเหลี่ยมและรูปทรงอื่นๆ^{[ 92 ]}

รูปแบบรอยแยกที่เกิดขึ้นในสมองของสัตว์มีกระดูกสันหลังเกิดจากกระบวนการทางกายภาพของการขยายตัวที่ถูกจำกัด ซึ่งขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ทางเรขาคณิตสองประการ ได้แก่ การขยายตัวของเปลือกสมองในแนวสัมผัสสัมพัทธ์ และความหนาสัมพัทธ์ของเปลือกสมอง มีการแสดงให้เห็น รูปแบบที่คล้ายกันของรอยหยัก (ยอด) และร่อง (หุบ) ในแบบจำลองของสมองที่เริ่มต้นจากเจลเรียบเป็นชั้น โดยรูปแบบดังกล่าวเกิดจากแรงทางกลที่บีบอัดอันเป็นผลมาจากการขยายตัวของชั้นนอก (ซึ่งแสดงถึงเปลือกสมอง) หลังจากเติมตัวทำละลาย แบบจำลองเชิงตัวเลขในการจำลองด้วยคอมพิวเตอร์สนับสนุนการสังเกตตามธรรมชาติและการทดลองที่ว่ารูปแบบการพับของพื้นผิวจะเพิ่มขึ้นในสมองที่มีขนาดใหญ่ขึ้น^{[ 93 ] [ 94 ]}

• 
  ปลาปักเป้ายักษ์ ( Tetraodon mbu)
• 
  รายละเอียดของลวดลายบนผิวหนังปลาปักเป้ายักษ์
• 
  ภาพจำลองปฏิกิริยาเบลูซอฟ-ซาโบตินสกี
• 
  ขน ของไก่ฟ้าหัวหมวก(Numida meleagris ) จะเปลี่ยนจากลายขวางเป็นลายจุด ทั้งตามแนวขนและทั่วทั้งตัว
• 
  ภาพถ่ายทางอากาศของที่ราบสูงที่มีต้นไทรบุช ในประเทศไนเจอร์
• 
  คลื่นลูกเฟอร์ในเทือกเขาไวท์เมาน์เทนส์รัฐนิวแฮมป์เชียร์
• 
  พื้นดินที่มีลวดลาย : เนินน้ำแข็ง ที่กำลังละลาย ล้อมรอบด้วย รูปทรง ลิ่มน้ำแข็งใกล้เมืองตุคโตยาคตุคประเทศแคนาดา
• 
  วงกลมแห่งเทพนิยายในพื้นที่มาริเอนฟลัสตัล ประเทศนามิเบีย
• 
  สมองมนุษย์ (มุมมองจากด้านบน) แสดงให้เห็นรูปแบบของร่องและสันสมอง

• ชีววิทยาการพัฒนา
• การเกิดขึ้น
• ประวัติวิวัฒนาการของพืช
• คณิตศาสตร์และศิลปะ
• การเกิดรูปร่าง
• การสร้างรูปแบบ
• ลวดลาย Widmanstätten

• เลขฟิโบนาชชีและสัดส่วนทองคำ
• ฟิลโลแท็กซิส: เว็บไซต์เชิงโต้ตอบสำหรับการศึกษาทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับการก่อตัวของรูปแบบในพืช