กระเบื้อง ดินเผาเซลิจในเมืองมาราเกช เรียง ต่อกันเป็นแถว รูปทรงปกติ และรูปทรงอื่นๆ

ประติมากรรมติดผนังในเมืองลีวาร์เดนสร้างขึ้นเพื่อเฉลิมฉลองลวดลายเรขาคณิตอันวิจิตรงดงามของเอ็ม.อี. เอสเชอร์

ตัวอย่างหนึ่งของความไม่เป็นคาบเนื่องจากการวางแนวที่แตกต่างกันของกระเบื้องแผ่นหนึ่งจากกระเบื้องที่เหมือนกันจำนวนอนันต์แผ่น

การ ปูพื้นด้วยรูป ทรงเรขาคณิตหรือ การปู พื้นผิว ด้วยรูป ทรงเรขาคณิตคือการ ใช้ รูปทรงเรขาคณิตหนึ่งรูปหรือมากกว่านั้นเรียกว่ากระเบื้อง มาปูบนพื้นผิว ซึ่ง มัก จะเป็นระนาบ โดยไม่มีส่วนที่ซ้อนทับกันและไม่มีช่องว่าง ในทางคณิตศาสตร์การปูพื้นด้วยรูปทรงเรขาคณิตสามารถขยายไปสู่มิติที่สูงขึ้นและรูปทรงเรขาคณิตที่หลากหลายได้

การปูพื้นแบบเป็นคาบ จะ มีรูปแบบที่ซ้ำกัน บางประเภทพิเศษ ได้แก่การปูพื้นแบบปกติด้วย กระเบื้องรูป หลายเหลี่ยมปกติที่มีรูปร่างเหมือนกันทั้งหมด และการปูพื้นแบบกึ่งปกติด้วยกระเบื้องปกติที่มีรูปร่างมากกว่าหนึ่งแบบและมีมุมทุกมุมเรียงตัวเหมือนกัน รูปแบบที่เกิดจากการปูพื้นแบบเป็นคาบสามารถแบ่งออกเป็น 17 กลุ่มวอลเปเปอร์ การ ปูพื้นที่ ไม่มีรูปแบบที่ซ้ำกันเรียกว่า "ไม่เป็นคาบ" การปูพื้นแบบไม่เป็น คาบ จะใช้ชุดรูปทรงกระเบื้องขนาดเล็กที่ไม่สามารถสร้างรูปแบบที่ซ้ำกันได้ ( ชุดโปรโตไทล์แบบไม่เป็นคาบ ) การปูพื้นในอวกาศหรือที่เรียกว่าการเติมเต็มพื้นที่หรือรังผึ้ง สามารถกำหนดได้ในเรขาคณิตของมิติที่สูงกว่า

การปูพื้นด้วยวัสดุจริง ๆ คือการปูกระเบื้องด้วยวัสดุ เช่น กระเบื้อง เซรามิกรูปสี่เหลี่ยม หรือหกเหลี่ยมที่เชื่อมติดกัน การปูพื้นแบบนี้อาจเป็นลวดลาย ตกแต่ง หรืออาจมีฟังก์ชันการใช้งาน เช่น การปูพื้นทางเดิน พื้น หรือผนังที่ทนทานและกันน้ำได้ ในอดีต การปูพื้นด้วยวัสดุแบบนี้ถูกนำมาใช้ในสมัยโรมันโบราณและในศิลปะอิสลามเช่น ในสถาปัตยกรรมโมร็อกโกและการปูพื้นด้วยรูปทรงเรขาคณิตเพื่อการตกแต่งของ พระราชวัง อัลฮัมบราในศตวรรษที่ 20 ผลงานของเอ็ม.ซี. เอสเชอร์มักใช้การปูพื้นด้วยวัสดุแบบนี้ ทั้งในเรขาคณิตแบบยูคลิด ทั่วไป และเรขาคณิตแบบไฮเปอร์โบลิก เพื่อสร้างผลทางศิลปะ บางครั้งการปูพื้นด้วยวัสดุแบบ นี้ ก็ถูกนำมาใช้เพื่อตกแต่งในงานเย็บปัก ถักร้อย การปูพื้น ด้วยวัสดุแบบนี้เป็นรูปแบบหนึ่งของลวดลายในธรรมชาติตัวอย่างเช่น ในการเรียงตัวของเซลล์รูปหกเหลี่ยมที่พบในรังผึ้ง

ชาวสุเมเรียน (ประมาณ 4000 ปีก่อนคริสตกาล) ใช้เทสเซลเลชันในการตกแต่งผนังอาคารโดยใช้ลวดลายของกระเบื้องดินเผา^{[ 1 ]}

กระเบื้อง โมเสคตกแต่งที่ทำจากบล็อกสี่เหลี่ยมเล็กๆ ที่เรียกว่าเทสเซอร่า ถูกนำมา ^ใช้กันอย่างแพร่หลายในสมัยโบราณ [ ^{2 ]}บางครั้งก็มีลวดลายเรขาคณิต^{[ 3 ] [ 4 ]}

ในปี ค.ศ. 1619 โยฮันเนส เคปเลอร์ได้ทำการศึกษาการปูพื้นแบบเทสเซลเลชันเป็นครั้งแรกที่มีการบันทึกไว้ เขาเขียนเกี่ยวกับการปูพื้นแบบเทสเซลเลชันปกติและกึ่งปกติในหนังสือHarmonices Mundi ของเขา เขาอาจเป็นคนแรกที่สำรวจและอธิบายโครงสร้างหกเหลี่ยมของรังผึ้งและเกล็ดหิมะ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

ประมาณสองร้อยปีต่อมาในปี 1891 นักผลึกศาสตร์ชาวรัสเซียYevgraf Fyodorovได้พิสูจน์ว่าการปูพื้นระนาบแบบเป็นคาบทุกรูปแบบมีไอโซเมตรีที่แตกต่างกัน 1 ใน 17 กลุ่ม^{[ 8 ] [ 9 ]}งานของ Fyodorov ถือเป็นจุดเริ่มต้นอย่างไม่เป็นทางการของการศึกษาทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับการปูพื้น ผู้มีส่วนร่วมที่โดดเด่นอื่นๆ ได้แก่Alexei Vasilievich ShubnikovและNikolai BelovในหนังสือColored Symmetry (1964) ^{[ 10 ]}และHeinrich Heeschและ Otto Kienzle (1963) ^{[ 11 ]}

ในภาษาละตินtessellaคือชิ้นส่วนทรงลูกบาศก์ขนาดเล็กที่ทำจากดินหินหรือแก้วใช้สำหรับทำโมเสก^{[ 12 ]}คำว่า "tessella" หมายถึง "สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเล็ก" (จากtesseraซึ่งหมายถึงสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งมาจากคำภาษากรีก τέσσερα ที่แปลว่าสี่ ) สอดคล้องกับ คำว่า tiling ในชีวิตประจำวัน ซึ่งหมายถึงการประยุกต์ใช้การเรียงตัวของ tessella ซึ่งมักทำจากดิน เคลือบ

การปูพื้นสองมิติ หรือที่เรียกว่าการปูกระเบื้องระนาบ เป็นหัวข้อหนึ่งในเรขาคณิตที่ศึกษาว่ารูปทรงที่เรียกว่ากระเบื้องสามารถจัดเรียงอย่างไรให้เต็มระนาบโดยไม่มีช่องว่าง ตามชุดกฎที่กำหนด กฎเหล่านี้สามารถเปลี่ยนแปลงได้ กฎทั่วไปคือต้องไม่มีช่องว่างระหว่างกระเบื้อง และมุมของกระเบื้องหนึ่งต้องไม่อยู่ตามขอบของกระเบื้องอื่น^{[ 13 ]}การปูพื้นที่สร้างขึ้นโดยการก่ออิฐแบบยึดติดกันไม่เป็นไปตามกฎนี้ ในบรรดา การปูพื้นที่เป็นไปตามกฎนี้ การปูพื้นแบบปกติจะมีทั้งกระเบื้องปกติ ที่เหมือนกัน ^{[ a ]} ​​และมุมหรือจุดยอดปกติที่เหมือนกัน โดยมีมุมเดียวกันระหว่างขอบที่อยู่ติดกันสำหรับกระเบื้องทุกแผ่น^{[ 14 ]}มีเพียงสามรูปทรงเท่านั้นที่สามารถสร้างการปูพื้นแบบปกติได้ ได้แก่สามเหลี่ยมด้านเท่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสและหกเหลี่ยมปกติรูปทรงใดรูปทรงหนึ่งในสามรูปทรงนี้สามารถทำซ้ำได้ไม่จำกัดเพื่อเติมเต็มระนาบโดยไม่มีช่องว่าง^{[ 6 ]}

การปูพื้นด้วยรูปทรงเรขาคณิตแบบอื่นๆ อีกมากมายก็เป็นไปได้ภายใต้ข้อจำกัดที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น มีการปูพื้นแบบกึ่งปกติแปดประเภท ซึ่งสร้างขึ้นจากรูปหลายเหลี่ยมปกติมากกว่าหนึ่งชนิด แต่ยังคงมีการจัดเรียงรูปหลายเหลี่ยมแบบเดียวกันที่ทุกมุม^{[ 15 ]}การปูพื้นแบบไม่ปกติยังสามารถสร้างได้จากรูปทรงอื่นๆ เช่นรูปห้าเหลี่ยมรูปหลายเหลี่ยมและรูปทรงเรขาคณิตเกือบทุกชนิด ศิลปินMC Escherมีชื่อเสียงในการสร้างการปูพื้นด้วยกระเบื้องที่เชื่อมต่อกันแบบไม่ปกติ ซึ่งมีรูปร่างเหมือนสัตว์และวัตถุธรรมชาติอื่นๆ^{[ 16 ]}หากเลือกสีที่ตัดกันอย่างเหมาะสมสำหรับกระเบื้องที่มีรูปร่างแตกต่างกัน จะทำให้เกิดลวดลายที่โดดเด่น และสามารถใช้ตกแต่งพื้นผิวต่างๆ เช่น พื้นโบสถ์ได้^{[ 17 ]}

กล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้น การปูพื้นหรือการปูพื้นผิวคือการปกคลุมระนาบยุคลิดด้วยเซตปิดจำนวนนับได้ที่เรียกว่าไทล์โดยที่ไทล์เหล่านี้ตัดกันเฉพาะที่ขอบเขต ของพวกมันเท่านั้น ไทล์เหล่านี้อาจเป็นรูปหลายเหลี่ยมหรือรูปทรงอื่นๆ ก็ได้^{[ b ]} การปูพื้นจำนวนมากเกิดขึ้นจาก โปรโตไทล์จำนวนจำกัดซึ่งไทล์ทั้งหมดในการปูพื้นนั้นมีความสอดคล้องกับโปรโตไทล์ที่กำหนด หากรูปทรงเรขาคณิตสามารถใช้เป็นโปรโตไทล์เพื่อสร้างการปูพื้นได้ รูปทรงนั้นจะเรียกว่าสามารถปูพื้นหรือปูพื้นผิวระนาบได้เกณฑ์ของคอนเวย์เป็นชุดกฎที่เพียงพอ แต่ไม่จำเป็น สำหรับการตัดสินใจว่ารูปทรงที่กำหนดสามารถปูพื้นผิวระนาบได้เป็นระยะโดยไม่มีการสะท้อนหรือไม่ ไทล์บางชิ้นไม่ผ่านเกณฑ์ แต่ก็ยังสามารถปูพื้นผิวระนาบได้^{[ 19 ]}ยังไม่พบกฎทั่วไปสำหรับการกำหนดว่ารูปทรงที่กำหนดสามารถปูพื้นผิวระนาบได้หรือไม่ ซึ่งหมายความว่ายังมีปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขอีกมากมายเกี่ยวกับการปูพื้น^{[ 18 ]}

ในทางคณิตศาสตร์ การปูพื้นสามารถขยายไปยังพื้นที่อื่นที่ไม่ใช่ระนาบยุคลิดได้^{[ 6 ]}นักเรขาคณิตชาวสวิสLudwig Schläfliเป็นผู้บุกเบิกเรื่องนี้โดยการกำหนดโพลีสคีมซึ่งนักคณิตศาสตร์ในปัจจุบันเรียกว่าโพลีโท ป โพลีส คีมเหล่านี้เป็นรูปอนาล็อกของรูปหลายเหลี่ยมและทรงหลายเหลี่ยมในพื้นที่ที่มีมิติมากกว่า เขายังได้กำหนดสัญลักษณ์ Schläfliเพื่อให้ง่ายต่อการอธิบายโพลีโทป ตัวอย่างเช่น สัญลักษณ์ Schläfli สำหรับสามเหลี่ยมด้านเท่าคือ {3} ในขณะที่สัญลักษณ์สำหรับสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ {4} ^{[ 20 ]}สัญลักษณ์ Schläfli ทำให้สามารถอธิบายการปูพื้นได้อย่างกระชับ ตัวอย่างเช่น การปูพื้นด้วยรูปหกเหลี่ยมปกติจะมีรูปหลายเหลี่ยมหกเหลี่ยมสามรูปที่แต่ละจุดยอด ดังนั้นสัญลักษณ์ Schläfli ของมันคือ {6,3} ^{[ 21 ]}

ยังมีวิธีการอื่นๆ อีกสำหรับการอธิบายการปูพื้นรูปหลายเหลี่ยม เมื่อการปูพื้นประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมปกติ สัญลักษณ์ที่ใช้กันทั่วไปคือการกำหนดค่าจุดยอดซึ่งเป็นเพียงรายการของจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมรอบจุดยอด การปูพื้นด้วยรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีการกำหนดค่าจุดยอดเป็น 4.4.4.4 หรือ 4 ⁴ การปูพื้นด้วยรูปหกเหลี่ยมปกติจะระบุ เป็น6.6.6 หรือ 6 ^{3 [ 18 ]}

นักคณิตศาสตร์ใช้คำศัพท์ทางเทคนิคบางคำเมื่อกล่าวถึงการปูพื้นขอบคือจุดตัดระหว่างกระเบื้องสองแผ่นที่อยู่ติดกัน ซึ่งมักจะเป็นเส้นตรงจุดยอดคือจุดตัดของกระเบื้องสามแผ่นขึ้นไปที่อยู่ติดกัน เมื่อใช้คำศัพท์เหล่านี้ การปูพื้น แบบไอโซโกนัลหรือ การปูพื้นแบบ จุดยอดตรงกัน คือการปูพื้นที่จุดยอดทุกจุดเหมือนกัน กล่าวคือ การจัดเรียงรูปหลายเหลี่ยมรอบจุดยอดแต่ละจุดเหมือนกัน^{[ 18 ]}พื้นที่พื้นฐานคือรูปร่าง เช่น สี่เหลี่ยมผืนผ้า ที่ทำซ้ำเพื่อสร้างการปูพื้น^{[ 22 ]}ตัวอย่างเช่น การปูพื้นระนาบแบบปกติด้วยรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะมีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสี่รูปมาบรรจบกันที่จุดยอดทุกจุด^{[ 18 ]}

ด้านของรูปหลายเหลี่ยมไม่จำเป็นต้องเหมือนกับขอบของกระเบื้องการปูกระเบื้องแบบขอบชนขอบคือการปูกระเบื้องรูปหลายเหลี่ยมที่กระเบื้องที่อยู่ติดกันใช้ด้านร่วมกันเพียงด้านเดียว กล่าวคือ ไม่มีกระเบื้องใดใช้ด้านร่วมกันเพียงบางส่วนหรือมากกว่าหนึ่งด้านกับกระเบื้องอื่น ในการปูกระเบื้องแบบขอบชนขอบ ด้านของรูปหลายเหลี่ยมและขอบของกระเบื้องจะเหมือนกัน การปูกระเบื้องแบบ "กำแพงอิฐ" ที่คุ้นเคยนั้นไม่ใช่การปูกระเบื้องแบบขอบชนขอบ เพราะด้านยาวของอิฐสี่เหลี่ยมแต่ละก้อนจะใช้ร่วมกับอิฐที่อยู่ติดกันสองก้อน^{[ 18 ]}

การปูพื้นแบบปกติคือการปูพื้นที่ซึ่งกระเบื้องแต่ละแผ่นเทียบเท่ากับดิสก์ในเชิงโท โพโล ยี จุดตัดของกระเบื้องสองแผ่นใดๆ จะเป็นเซตที่เชื่อมต่อกันหรือเซตว่างและกระเบื้องทุกแผ่นมีขอบเขตสม่ำเสมอซึ่งหมายความว่าสามารถใช้รัศมีล้อมรอบเพียงค่าเดียวและรัศมีภายในเพียงค่าเดียวสำหรับกระเบื้องทุกแผ่นในการปูพื้นทั้งหมด เงื่อนไขนี้ไม่อนุญาตให้ใช้กระเบื้องที่ยาวหรือบางผิดปกติ^{[ 23 ]}

การปูพื้นแบบโมโนเฮดรัลคือการปูพื้นที่ซึ่งกระเบื้องทั้งหมดมีความสอดคล้องกันโดยมีกระเบื้องต้นแบบเพียงชิ้นเดียว การปูพื้นแบบโมโนเฮดรัลแบบเกลียวเป็นประเภทการปูพื้นแบบโมโนเฮดรัลที่น่าสนใจเป็นพิเศษ การปูพื้นแบบโมโนเฮดรัลแบบเกลียวครั้งแรกถูกค้นพบโดยไฮนซ์ โวเดอร์เบิร์กในปี 1936 การปูพื้นแบบโวเดอร์เบิร์กมีกระเบื้องหน่วยที่เป็นรูปเก้าเหลี่ยม ที่ไม่ นูน^{[ 1 ]}การปูพื้นแบบฮิร์ชฮอร์นซึ่งตีพิมพ์โดยไมเคิล ดี. ฮิร์ชฮอร์นและดีซี ฮันท์ในปี 1985 เป็นการปูพื้นแบบห้าเหลี่ยมโดยใช้รูปห้าเหลี่ยมที่ไม่ปกติ รูปห้าเหลี่ยมปกติไม่สามารถปูพื้นระนาบยูคลิดได้เนื่องจากมุมภายในของรูปห้าเหลี่ยมปกติ⁠3π​/5ไม่ใช่ตัวหาร^ของ 2π [ ^{24 ] [ 25 ]}

การปูกระเบื้องแบบไอโซเฮดรัลเป็นรูปแบบพิเศษของการปูกระเบื้องแบบโมโนเฮดรัลซึ่งกระเบื้องทั้งหมดอยู่ในชั้นการถ่ายทอดเดียวกัน นั่นคือกระเบื้องทั้งหมดเป็นการแปลงของโปรโตไทล์เดียวกันภายใต้ กลุ่ม สมมาตรของการปูกระเบื้อง^{[ 23 ]}หากโปรโตไทล์ยอมรับการปูกระเบื้อง แต่ไม่มีการปูกระเบื้องใดที่เป็นไอโซเฮดรัล โปรโตไทล์นั้นจะเรียกว่าอะนิโซเฮดรัลและสร้างการปูกระเบื้องแบบอะนิโซเฮดรัล

การปูพื้นแบบปกติเป็นการ ปูพื้นแบบ สมมาตร สูง ที่ประกอบด้วย รูป หลายเหลี่ยมปกติ ที่ มีรูปร่างเหมือนกันทั้งหมด มีการปูพื้นแบบปกติเพียงสามแบบเท่านั้น ได้แก่ แบบที่ประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือรูปหกเหลี่ยม ปกติ การปูพื้นทั้งสามแบบนี้เป็นแบบไอโซโกนัลและโมโนเฮดรัล^{[ 26 ]}

การปูพื้น แบบกึ่งปกติ (หรือแบบอาร์คิมีเดียน)ใช้รูปหลายเหลี่ยมปกติมากกว่าหนึ่งประเภทในการจัดเรียงแบบไอโซโกนัล มีการปูพื้นแบบกึ่งปกติแปดแบบ (หรือเก้าแบบหากนับคู่ภาพสะท้อนของการปูพื้นเป็นสองแบบ) ^{[ 27 ]}สามารถอธิบายได้ด้วยการจัดเรียงจุดยอดตัวอย่างเช่น การปูพื้นแบบกึ่งปกติที่ใช้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและรูปแปดเหลี่ยมปกติมีการจัดเรียงจุดยอดเป็น 4.8 ² (แต่ละจุดยอดมีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งรูปและรูปแปดเหลี่ยมสองรูป) ^{[ 28 ]}การปูพื้นแบบไม่สัมผัสขอบบนระนาบยูคลิดเป็นไปได้หลายแบบ รวมถึงตระกูลการปูพื้นแบบพีทาโกเรียน ซึ่งเป็นการปูพื้นที่ใช้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองขนาด (แบบพารามิเตอร์) โดยแต่ละรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสัมผัสกับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสี่รูปของอีกขนาดหนึ่ง^{[ 29 ]}การปูพื้นขอบคือการที่กระเบื้องแต่ละแผ่นสามารถสะท้อนข้ามขอบเพื่อรับตำแหน่งของกระเบื้องข้างเคียงได้ เช่น ในการจัดเรียงรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าหรือสามเหลี่ยมหน้าจั่ว^{[ 30 ]}

การปูพื้นด้วยสมมาตรการเลื่อนในสองทิศทางที่เป็นอิสระต่อกัน สามารถจัดหมวดหมู่ได้ด้วยกลุ่มวอลเปเปอร์ซึ่งมีอยู่ 17 กลุ่ม^{[ 31 ]}มีการอ้างว่ากลุ่มทั้งสิบเจ็ดกลุ่มนี้มีอยู่ใน พระราชวัง อัลฮัมบราในเมืองกรานาดาประเทศสเปนแม้ว่าจะมีการโต้แย้งเรื่องนี้^{[ 32 ]} แต่ ความหลากหลายและความซับซ้อนของการปูพื้นในพระราชวังอัลฮัมบราก็ดึงดูดความสนใจของนักวิจัยสมัยใหม่^{[ 33 ]}จากการปูพื้นแบบปกติสามแบบ สองแบบอยู่ใน กลุ่มวอลเปเปอร์ p6mและอีกหนึ่งแบบอยู่ในp4mการปูพื้นใน 2 มิติที่มีสมมาตรการเลื่อนในทิศทางเดียว สามารถจัดหมวดหมู่ได้ด้วยกลุ่มฟริซเจ็ดกลุ่มที่อธิบายถึงรูปแบบฟริซ ที่เป็นไปได้ ^{[ 34 ]} สามารถใช้สั ญกรณ์ออร์บิโฟลด์เพื่ออธิบายกลุ่มวอลเปเปอร์ของระนาบยุคลิดได้^{[ 35 ]}

การปูพื้นแบบเพนโรสซึ่งใช้รูปสี่เหลี่ยมสองแบบที่แตกต่างกัน เป็นตัวอย่างที่รู้จักกันดีที่สุดของกระเบื้องที่สร้างรูปแบบที่ไม่เป็นคาบอย่างบังคับ พวกมันอยู่ในกลุ่มทั่วไปของการปูพื้นแบบไม่เป็นคาบซึ่งใช้กระเบื้องที่ไม่สามารถปูพื้นแบบเป็นคาบได้กระบวนการวนซ้ำของการปูพื้นแบบแทนที่ เป็นวิธีการสร้างการปูพื้นแบบไม่เป็นคาบ กลุ่มหนึ่งที่สามารถสร้างได้ด้วยวิธีนี้คือกระเบื้องแบบ rep-tileการปูพื้นเหล่านี้มีคุณสมบัติการจำลองตัวเอง ที่ไม่คาดคิด ^{[ 36 ]} การปูพื้นแบบ กังหันไม่เป็นคาบ โดยใช้การสร้างแบบ rep-tile กระเบื้องปรากฏในทิศทางที่ไม่มีที่สิ้นสุด^{[ 37 ]}อาจคิดว่ารูปแบบที่ไม่เป็นคาบจะไม่มีสมมาตรเลย แต่นั่นไม่ใช่ความจริง การปูพื้นแบบไม่เป็นคาบ แม้จะขาดสมมาตรการเลื่อนแต่ก็มีสมมาตรประเภทอื่น โดยการทำซ้ำอย่างไม่สิ้นสุดของส่วนใดส่วนหนึ่งของการปูพื้น และในกลุ่มจำกัดบางกลุ่มของการหมุนหรือการสะท้อนของส่วนเหล่านั้น^{[ 38 ]}กฎการแทนที่ เช่นที่สามารถใช้สร้างรูปแบบเพนโรสโดยใช้การประกอบของกระเบื้องที่เรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน แสดงให้เห็นถึงสมมาตรการปรับขนาด^{[ 39 ]} สามารถใช้ คำฟิโบนาชชีเพื่อสร้างการปูพื้นแบบไม่เป็นคาบ และเพื่อศึกษาควาซิครัสตัลซึ่งเป็นโครงสร้างที่มีลำดับแบบไม่เป็นคาบ^{[ 40 ]}

กระเบื้อง Wangเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีสีที่ขอบแต่ละด้าน และวางเรียงกันโดยให้ขอบที่ติดกันของกระเบื้องที่อยู่ติดกันมีสีเดียวกัน ดังนั้นบางครั้งจึงเรียกว่าโดมิโน Wang ชุดโดมิโน Wang ที่เหมาะสมสามารถปูระนาบได้ แต่ปูแบบไม่เป็นคาบเท่านั้น เป็นที่ทราบกันดีว่าเครื่องจักร Turing ใดๆ ก็สามารถแสดงเป็นชุดโดมิโน Wang ที่ปูระนาบได้ก็ต่อเมื่อเครื่องจักร Turing ไม่หยุดทำงานเท่านั้น เนื่องจากปัญหาการหยุดทำงานไม่สามารถตัดสินได้ ปัญหาของการตัดสินใจว่าชุดโดมิโน Wang สามารถปูระนาบได้หรือไม่จึงไม่สามารถตัดสินได้เช่นกัน^{[ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ]}

กระเบื้อง Truchetเป็นกระเบื้องสี่เหลี่ยมที่ตกแต่งด้วยลวดลาย จึงไม่มีสมมาตรแบบหมุนในปี ค.ศ. 1704 Sébastien Truchetใช้กระเบื้องสี่เหลี่ยมที่แบ่งออกเป็นสองสามเหลี่ยมที่มีสีตัดกัน กระเบื้องเหล่านี้สามารถปูระนาบได้ทั้งแบบเป็นระยะหรือแบบสุ่ม^{[ 46 ] [ 47 ]}

กระเบื้องไอน์สไตน์เป็นรูปทรงเดียวที่บังคับให้มีการปูแบบไม่เป็นคาบ กระเบื้องดังกล่าวชิ้นแรกซึ่งถูกเรียกว่า "หมวก" ถูกค้นพบในปี 2023 โดยเดวิด สมิธ นักคณิตศาสตร์สมัครเล่น^{[ 48 ] [ 49 ]}การค้นพบนี้อยู่ระหว่างการตรวจสอบโดยผู้เชี่ยวชาญ และเมื่อได้รับการยืนยันแล้ว จะได้รับการยกย่องว่าเป็นการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ มีมาอย่างยาวนาน ^{[ 50 ]}

บางครั้งสีของกระเบื้องจะถูกเข้าใจว่าเป็นส่วนหนึ่งของการปูกระเบื้อง ในบางครั้งอาจมีการใช้สีตามอำเภอใจในภายหลัง เมื่อพูดถึงการปูกระเบื้องที่แสดงด้วยสี เพื่อหลีกเลี่ยงความกำกวม จำเป็นต้องระบุว่าสีเหล่านั้นเป็นส่วนหนึ่งของการปูกระเบื้องหรือเป็นเพียงส่วนหนึ่งของภาพประกอบ ซึ่งส่งผลต่อการพิจารณาว่ากระเบื้องที่มีรูปร่างเหมือนกันแต่สีต่างกันนั้นเหมือนกันหรือไม่ ซึ่งส่งผลต่อคำถามเกี่ยวกับสมมาตรทฤษฎีบทสี่สีระบุว่าสำหรับการปูกระเบื้องทุกรูปแบบของระนาบยูคลิด ปกติ ด้วยชุดสีสี่สีที่มีอยู่ กระเบื้องแต่ละแผ่นสามารถระบายสีได้ด้วยสีเดียวโดยที่ไม่มีกระเบื้องสีเดียวกันมาบรรจบกันที่เส้นโค้งที่มีความยาวเป็นบวก การระบายสีที่รับประกันโดยทฤษฎีบทสี่สีโดยทั่วไปจะไม่เคารพสมมาตรของการปูกระเบื้อง เพื่อให้ได้การระบายสีที่เคารพสมมาตร จำเป็นต้องถือว่าสีเป็นส่วนหนึ่งของการปูกระเบื้อง ในที่นี้ อาจต้องใช้สีมากถึงเจ็ดสี ดังแสดงในภาพด้านซ้าย^{[ 51 ]}

นอกเหนือจากการปูพื้นด้วยรูปหลายเหลี่ยมปกติแล้ว ยังมีการศึกษาการปูพื้นด้วยรูปหลายเหลี่ยมประเภทอื่นๆ อีกด้วย

รูปสามเหลี่ยมหรือรูปสี่เหลี่ยม ใดๆ (แม้แต่รูปที่ไม่นูน ) สามารถใช้เป็นต้นแบบในการสร้างการปูพื้นแบบโมโนเฮดรัลได้ โดยมักจะทำได้มากกว่าหนึ่งวิธี สำเนาของรูปสี่เหลี่ยม ใดๆ สามารถสร้างการปูพื้นที่มีสมมาตรการเลื่อนและสมมาตรการหมุน 2 เท่า โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกึ่งกลางของทุกด้าน สำหรับรูปสี่เหลี่ยมที่ไม่สมมาตร การปูพื้นนี้จัดอยู่ในกลุ่มวอลเปเปอร์ p2 โดเมนพื้นฐานคือรูปสี่เหลี่ยม หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง เราสามารถสร้างรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่รองรับด้วยชุดเวกเตอร์การเลื่อนขั้นต่ำ โดยเริ่มจากจุดศูนย์กลางการหมุน เราสามารถแบ่งรูปนี้ด้วยเส้นทแยงมุมหนึ่งเส้น และใช้ครึ่งหนึ่ง (รูปสามเหลี่ยม) เป็นโดเมนพื้นฐาน รูปสามเหลี่ยมดังกล่าวมีพื้นที่เท่ากับรูปสี่เหลี่ยมและสามารถสร้างจากรูปสี่เหลี่ยมได้โดยการตัดและวาง^{[ 52 ]}

หากอนุญาตให้ใช้รูปทรงกระเบื้องเพียงรูปทรงเดียว จะมีรูปแบบการปูพื้นด้วยรูปหลายเหลี่ยมนูนN ด้าน สำหรับNเท่ากับ 3, 4, 5 และ 6 สำหรับN = 5โปรดดูการปูพื้นแบบห้าเหลี่ยมสำหรับN = 6โปรดดูการปูพื้นแบบหกเหลี่ยมสำหรับN = 7โปรดดูการปูพื้นแบบเจ็ดเหลี่ยมและสำหรับN = 8โปรดดูการปูพื้นแบบแปดเหลี่ยม

สำหรับรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่นูนนั้น ข้อจำกัดเรื่องจำนวนด้านจะน้อยกว่ามาก แม้ว่าจะอนุญาตให้มีรูปทรงเดียวก็ตาม

โพลีโอมีโนเป็นตัวอย่างของกระเบื้องที่มีทั้งแบบนูนและไม่นูน ซึ่งสามารถใช้การจัดเรียง การหมุน และการสะท้อนต่างๆ เพื่อปูระนาบได้ สำหรับผลลัพธ์เกี่ยวกับการปูระนาบด้วยโพลีโอมีโนโปรดดูที่ โพลีโอมีโน § การใช้โพลีโอมีโน

การปูพื้นแบบ Voronoi หรือ Dirichletเป็นการปูพื้นโดยที่แต่ละช่องถูกกำหนดให้เป็นเซตของจุดที่อยู่ใกล้ที่สุดกับจุดใดจุดหนึ่งในเซตของจุดกำหนดแบบไม่ต่อเนื่อง (ลองนึกถึงภูมิภาคทางภูมิศาสตร์ที่แต่ละภูมิภาคถูกกำหนดให้เป็นจุดทั้งหมดที่อยู่ใกล้ที่สุดกับเมืองหรือที่ทำการไปรษณีย์ที่กำหนด) ^{[ 53 ] [ 54 ]}เซลล์Voronoiสำหรับแต่ละจุดกำหนดคือรูปหลายเหลี่ยมนูนการสร้างสามเหลี่ยม Delaunayเป็นการปูพื้นที่เป็นกราฟคู่ของการปูพื้นแบบ Voronoi การสร้างสามเหลี่ยม Delaunay มีประโยชน์ในการจำลองเชิงตัวเลข ส่วนหนึ่งเป็นเพราะในบรรดาการสร้างสามเหลี่ยมที่เป็นไปได้ทั้งหมดของจุดกำหนด การสร้างสามเหลี่ยม Delaunay จะเพิ่มค่าต่ำสุดของมุมที่เกิดจากขอบให้สูงสุด^{[ 55 ]}การปูพื้นแบบ Voronoi ที่มีจุดวางแบบสุ่มสามารถใช้สร้างการปูพื้นแบบสุ่มของระนาบได้^{[ 56 ]}

การปูพื้นสามารถขยายไปสู่สามมิติได้รูปทรงหลายเหลี่ยม บางชนิด สามารถเรียงซ้อนกันในรูปแบบผลึก ปกติ เพื่อเติมเต็ม (หรือปู) พื้นที่สามมิติได้ รวมถึงลูกบาศก์ ( รูปทรงหลายเหลี่ยมเพลโตเพียงรูปเดียวที่ทำเช่นนั้นได้) รูปทรงสิบสองเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปทรงแปดเหลี่ยมตัดยอด และ ปริซึมรูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และหกเหลี่ยมเป็นต้น^{[ 57 ]}รูปทรงหลายเหลี่ยมใดๆ ที่ตรงตามเกณฑ์นี้เรียกว่าเพลซิโอเฮดรอน และอาจมีหน้าตั้งแต่ 4 ถึง 38 หน้า^{[ 58 ]} รูปทรงสิบ สองเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติพบได้ในรูปผลึกของแอนดราไดต์ ( การ์เนตชนิดหนึ่ง) และฟลูออไรต์^{[ 59 ] [ 60 ]}

การเรียงตัวแบบเทสเซลเลชันในสามมิติหรือมากกว่านั้นเรียกว่ารังผึ้งในสามมิติจะมีรังผึ้งปกติเพียงรังเดียว ซึ่งมีลูกบาศก์แปดลูกอยู่ที่จุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมแต่ละจุด ในทำนองเดียวกัน ในสามมิติจะมีรังผึ้งกึ่งปกติ^{[ c ]} เพียงรังเดียว ซึ่งมีทรงสี่เหลี่ยมแปด อัน และทรงแปด เหลี่ยมหก อันอยู่ที่จุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมแต่ละจุด อย่างไรก็ตาม มีรังผึ้งกึ่งปกติ ที่เป็นไปได้มากมาย ในสามมิติ^{[ 61 ]}สามารถสร้างรังผึ้งแบบสม่ำเสมอได้โดยใช้ การสร้าง แบบWythoff ^{[ 62 ]}

ไบปริซึม Schmitt -Conwayเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนที่มีคุณสมบัติในการปูพื้นที่แบบไม่เป็นคาบเท่านั้น^{[ 63 ]}

สามเหลี่ยมSchwarzคือสามเหลี่ยมทรงกลมที่สามารถใช้ปูพื้นผิวทรงกลมได้^{[ 64 ]}

เป็นไปได้ที่จะสร้างพื้นผิวแบบเทสเซลเลชันใน เรขาคณิต ที่ไม่ใช่แบบยุคลิดเช่นเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกการปูพื้นผิวแบบสม่ำเสมอในระนาบไฮเปอร์โบลิก (ซึ่งอาจเป็นแบบปกติ แบบกึ่งปกติ หรือแบบกึ่งปกติ) คือการเติมขอบต่อขอบของระนาบไฮเปอร์โบลิก โดยใช้ รูป หลายเหลี่ยมปกติเป็นหน้า ซึ่งรูปหลายเหลี่ยม เหล่านี้มีคุณสมบัติการถ่ายทอดจุดยอด ( ถ่ายทอดบนจุดยอด ) และเป็นรูปหลายเหลี่ยมไอโซโกนัล (มี การแมปไอ โซเมตรีที่แมปจุดยอดใดๆ ไปยังจุดยอดอื่นๆ) ^{[ 65 ] [ 66 ]}

รังผึ้งสม่ำเสมอในปริภูมิไฮเปอร์โบลิกคือการปูพื้นอย่างสม่ำเสมอของเซลล์ทรงหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอ ในปริภูมิไฮเปอร์โบลิกสามมิติ (3 มิติ) มี กลุ่ม Coxeter เก้า กลุ่มของรังผึ้งนูนสม่ำเสมอขนาดกะทัดรัดซึ่งสร้างขึ้นเป็นโครงสร้าง Wythoffและแสดงโดยการเรียงสับเปลี่ยนของวงแหวนของแผนภาพ Coxeterสำหรับแต่ละกลุ่ม^{[ 67 ]}

ในงานสถาปัตยกรรม การปูกระเบื้องโมเสกถูกนำมาใช้เพื่อสร้างลวดลายตกแต่งมาตั้งแต่สมัยโบราณ กระเบื้อง โมเสกมักมีลวดลายเรขาคณิต^{[ 4 ]}อารยธรรมในยุคต่อมายังใช้กระเบื้องขนาดใหญ่ขึ้น ไม่ว่าจะเป็นแบบเรียบหรือตกแต่งเป็นรายชิ้น กระเบื้องที่ตกแต่งสวยงามที่สุดบางส่วนคือ กระเบื้องผนัง แบบมัวร์ในสถาปัตยกรรมอิสลามโดยใช้ กระเบื้อง GirihและZelligeในอาคารต่างๆ เช่นอัลฮัมบรา^{[ 68 ]}และลาเมซกีตา^{[ 69 ]}

การปูพื้นด้วยรูปทรงเรขาคณิตปรากฏให้เห็นบ่อยครั้งในงานศิลปะกราฟิกของเอ็มซี เอสเชอร์เขาได้รับแรงบันดาลใจจากการใช้สมมาตรแบบมัวร์ในสถานที่ต่างๆ เช่น อัลฮัมบรา เมื่อเขาไปเยือนสเปนในปี 1936 ^{[ 70 ]} เอสเชอร์สร้าง ภาพวาด " ขีดจำกัดวงกลม " สี่ ภาพโดยใช้เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก ^{[ 71 ] [ 72 ]}สำหรับภาพพิมพ์ แกะไม้ "ขีดจำกัดวงกลม IV" (1960) เอสเชอร์ได้เตรียมภาพร่างด้วยดินสอและหมึกเพื่อแสดงเรขาคณิตที่ต้องการ^{[ 73 ]}เอสเชอร์อธิบายว่า "ไม่มีส่วนประกอบใดๆ ในชุดทั้งหมด ซึ่งจากระยะไกลอย่างไม่มีที่สิ้นสุดพุ่งขึ้นเหมือนจรวดในแนวตั้งฉากจากขีดจำกัดและในที่สุดก็หายไปในนั้น ไปถึงเส้นขอบเขตเลย" ^{[ 74 ]}

ลวดลายเทสเซลเลชันมักปรากฏบนสิ่งทอ ไม่ว่าจะเป็นแบบทอ เย็บ หรือพิมพ์ ลวดลายเทสเซลเลชันถูกนำมาใช้ในการออกแบบลวดลาย ประสานของรูปทรงแพท ช์ในผ้าห่ม^{[ 75 ] [ 76 ]}

การเรียงตัวเป็นรูปทรงต่างๆ ยังเป็นประเภทหลักในศิลปะการพับกระดาษแบบโอริกามิโดยใช้การพับเพื่อเชื่อมต่อโมเลกุล เช่น การพับแบบบิด เข้าด้วยกันในลักษณะที่ซ้ำกัน^{[ 77 ]}

การเทสเซลเลชันถูกนำมาใช้ในอุตสาหกรรมการผลิตเพื่อลดการสูญเสียวัสดุ (การสูญเสียผลผลิต) เช่นแผ่นโลหะเมื่อตัดเป็นรูปทรงต่างๆ สำหรับวัตถุ เช่นประตูรถยนต์หรือกระป๋องเครื่องดื่ม^{[ 78 ]}

การเรียงตัวเป็น รูปทรงคล้าย รอยแตก ของโคลนปรากฏให้เห็นในฟิล์มบาง^{[ 79 ] [ 80 ]} โดยมี การสังเกตการจัดระเบียบตนเองในระดับหนึ่ง โดยใช้ เทคโนโลยีไมโครและนาโน^{[ 81 ]}

รังผึ้งเป็นตัวอย่างที่รู้จักกันดีของการเรียงตัวแบบเทสเซลเลชันในธรรมชาติด้วยเซลล์รูปหกเหลี่ยม^{[ 82 ]}

ในทางพฤกษศาสตร์ คำว่า "tessellate" หมายถึงรูปแบบลายตารางหมากรุก เช่น บนกลีบดอกไม้ เปลือกไม้ หรือผลไม้ ดอกไม้รวมถึง^fritillary [ 83 ^{] และ} Colchicumบางชนิดมีลักษณะเป็นลายตารางหมากรุก^{[ 84 ]}

รูปแบบต่างๆ ในธรรมชาติจำนวนมากเกิดขึ้นจากรอยแตกในแผ่นวัสดุ รูปแบบเหล่านี้สามารถอธิบายได้ด้วยการปูพื้นแบบกิลเบิร์ต [ ^{85 ] หรือที่รู้จักกันใน ชื่อ}เครือข่ายรอยแตกแบบสุ่ม^{[ 86 ]}การปูพื้นแบบกิลเบิร์ตเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับการก่อตัวของรอยแตกในโคลนผลึกรูปเข็มและโครงสร้างที่คล้ายกัน แบบจำลองนี้ตั้งชื่อตามเอ็ดการ์ กิลเบิร์ตช่วยให้รอยแตกก่อตัวขึ้นโดยเริ่มจากการกระจัดกระจายแบบสุ่มบนระนาบ รอยแตกแต่ละรอยจะแพร่กระจายไปในสองทิศทางตรงกันข้ามตามแนวเส้นที่ผ่านจุดเริ่มต้น โดยความชันของเส้นนั้นถูกเลือกแบบสุ่ม ทำให้เกิดการปูพื้นของรูปหลายเหลี่ยมนูนที่ไม่สม่ำเสมอ^{[ 87 ]}การไหลของลาวาบะซอลต์ มักแสดงการแตกเป็นเสาอันเป็นผลมาจาก แรงหด ตัวที่ทำให้เกิดรอยแตกเมื่อลาวาเย็นตัวลง เครือข่ายรอยแตกที่กว้างขวางที่พัฒนาขึ้นมักจะสร้างเสาลาวารูปหกเหลี่ยม ตัวอย่างหนึ่งของเสาเหล่านี้คือGiant's Causewayในไอร์แลนด์เหนือ^{[ 88 ]}ทางเดินปูหินแบบเทสเซลเลตซึ่งเป็นตัวอย่างลักษณะเฉพาะที่พบได้ที่Eaglehawk Neckบนคาบสมุทรแทสแมนของแทสเมเนียเป็นการก่อตัวของหินตะกอนที่หายากซึ่งหินแตกออกเป็นบล็อกสี่เหลี่ยม^{[ 89 ]}

รูปแบบธรรมชาติอื่นๆ เกิดขึ้นในโฟม โฟมเหล่านี้ถูกจัดเรียงตามกฎของ Plateauซึ่งต้องการพื้นผิวขั้นต่ำโฟมดังกล่าวทำให้เกิดปัญหาในการจัดเรียงเซลล์ให้แน่นที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ในปี 1887 ลอร์ดเคลวินได้เสนอการจัดเรียงโดยใช้ของแข็งเพียงชนิดเดียว คือรังผึ้งลูกบาศก์แบบตัดสองด้านที่มีหน้าโค้งเล็กน้อย ในปี 1993 เดนิส แวร์ และโรเบิร์ต เฟแลน ได้เสนอโครงสร้างแวร์-เฟแลนซึ่งใช้พื้นที่ผิวในการแยกเซลล์ที่มีปริมาตรเท่ากันน้อยกว่าโฟมของเคลวิน^{[ 90 ]}

การปูพื้นด้วยรูปทรงเรขาคณิตได้ก่อให้เกิดปริศนาการปูพื้น หลายประเภท ตั้งแต่ปริศนาจิ๊กซอว์ แบบดั้งเดิม (ที่มีชิ้นส่วนไม้หรือกระดาษแข็งที่ไม่สม่ำเสมอ) ^{[ 91 ]}และแทนแกรม^{[ 92 ]}ไปจนถึงปริศนาสมัยใหม่ที่มักมีพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่นโพลีไอมอนด์และโพลีโอมีโนเป็นรูปทรงของสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติ ซึ่งมักใช้ในปริศนาการปูพื้น^{[ 93 ] [ 94 ]}นักเขียนเช่นHenry DudeneyและMartin Gardnerได้นำการปูพื้นด้วยรูปทรงเรขาคณิตมาใช้ในคณิตศาสตร์เพื่อความบันเทิง มากมาย ตัวอย่างเช่น Dudeney คิดค้น การแบ่งส่วน แบบบานพับ^{[ 95 ]}ในขณะที่ Gardner เขียนเกี่ยวกับ " rep-tile " ซึ่งเป็นรูปทรงที่สามารถแบ่งออกเป็นสำเนาขนาดเล็กของรูปทรงเดียวกันได้^{[ 96 ] [ 97 ]}ด้วยแรงบันดาลใจจากบทความของ Gardner ในScientific Americanนักคณิตศาสตร์สมัครเล่นMarjorie Riceได้ค้นพบการปูพื้นด้วยรูปทรงเรขาคณิตใหม่สี่แบบด้วยรูปห้าเหลี่ยม^{[ 98 ] [ 99 ]}การปูสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นปัญหาของการปูสี่เหลี่ยมจัตุรัสจำนวนเต็ม (สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาวเป็นจำนวนเต็ม) โดยใช้เฉพาะสี่เหลี่ยมจัตุรัสจำนวนเต็มอื่น ๆ เท่านั้น^{[ 100 ] [ 101 ]}การขยายเพิ่มเติมคือการปูระนาบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีขนาดเป็นจำนวนธรรมชาติทั้งหมดโดยไม่มีการซ้ำกัน เจมส์และเฟรเดอริก เฮนเลพิสูจน์แล้วว่าสิ่งนี้เป็นไปได้^{[ 102 ]}

• 
  การปูพื้นด้วยรูปสามเหลี่ยมเป็นหนึ่งในสามรูปแบบการปูพื้นปกติของระนาบ
• 
  การปูกระเบื้องหกเหลี่ยมแบบสนับเป็นการปูกระเบื้องกึ่งปกติบนระนาบ
• 
  การปูพื้นแบบห้าเหลี่ยมฟลอเร็ต เป็นรูปแบบคู่ขนานกับการปูพื้นแบบกึ่งปกติ และเป็นหนึ่งใน 15 รูปแบบการปูพื้นแบบห้า เหลี่ยมด้านเดียว
• 
  องค์ประกอบการปูพื้นทั้งหมดเป็น  รูปสามเหลี่ยมเทียมที่เหมือนกันโดยไม่คำนึงถึงสีและลวดลายตกแต่ง
• 
  กระเบื้อง โวเดอร์เบิร์ก (Voderberg tiling)เป็นกระเบื้องทรงเกลียวแบบโมโนเฮดรัล(monohedral)ที่ประกอบด้วยรูปเก้าเหลี่ยม
• 
  การปูพื้นแบบสลับรูปแปดเหลี่ยมหรือรูปสี่เหลี่ยมสามเหลี่ยมเป็นการปูพื้นระนาบไฮเปอร์โบลิก อย่างสม่ำเสมอ
• 
  การปูพื้นสี่เหลี่ยมเชิงทอ พอโลยีบิดเบี้ยวแบบไอโซเฮดรัลให้เป็นรูปตัว I

• โครงข่ายทั่วโลกแบบแยกส่วน
• รังผึ้ง (เรขาคณิต)
• รายชื่อซอฟต์แวร์ศิลปะทางคณิตศาสตร์
• ปัญหาการบรรจุหีบห่อ
• สี่เหลี่ยมผืนผ้าสมบูรณ์แบบ
• การแบ่งพื้นที่

• Coxeter, HSM (1973). "ส่วนที่ 4: การปูพื้นและการสร้างรังผึ้ง" รูป ทรงหลาย เหลี่ยมปกติสำนักพิมพ์โดเวอร์ ISBN 978-0-486-61480-9.
• เอสเชอร์ พิธีกร (1974) เจแอล ลอเชอร์ (เอ็ด.) โลกของ MC Escher (ฉบับย่อ NAL ใหม่) เอบรามส์. ไอเอสบีเอ็น 978-0-451-79961-6.
• การ์ดเนอร์, มาร์ติน (1989). จากกระเบื้องเพนโรสสู่รหัสลับแบบประตูซ่อน . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 978-0-88385-521-8.
• Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). การปูกระเบื้องและลวดลาย . WH Freeman. ISBN 978-0-7167-1193-3.
• กัลเบิร์ก, แจน (1997). คณิตศาสตร์ตั้งแต่กำเนิดของตัวเลข . นอร์ตัน. ISBN 978-0-393-04002-9.
• สจ๊วต, เอียน (2001). เกล็ดหิมะมีรูปร่างอย่างไร? . ไวเดนเฟลด์ แอนด์ นิโคลสัน. ISBN 978-0-297-60723-6.

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับการเรียงกระเบื้อง (Tiling )

• Tegula (ซอฟต์แวร์โอเพนซอร์สสำหรับสำรวจการปูพื้นแบบสองมิติของระนาบ ทรงกลม และระนาบไฮเปอร์โบลิก; รวมถึงฐานข้อมูลที่มีรูปแบบการปูพื้นนับล้านแบบ)
• Wolfram MathWorld: การปูพื้นผิว (มีเอกสารอ้างอิงที่ดี ภาพวาดแสดงการปูพื้นผิวแบบปกติ แบบกึ่งปกติ และแบบกึ่งปกติ)
• Dirk Frettlöh และEdmund Harriss “ สารานุกรมการปูกระเบื้อง ” (ข้อมูลมากมายเกี่ยวกับการปูกระเบื้องแบบทดแทน รวมถึงภาพวาด บุคคล และเอกสารอ้างอิง)
• Tessellations.org ถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 8 พฤษภาคม 2017 ที่Wayback Machine (คู่มือวิธีการ, แกลเลอรีภาพเทสเซลเลชันของเอสเชอร์, แกลเลอรีภาพเทสเซลเลชันของศิลปินท่านอื่น, แผนการสอน, ประวัติ)
• เอปป์สไตน์, เดวิด . "ลานขยะเรขาคณิต: การปูพื้นแบบไฮเปอร์โบลิก "(รายชื่อแหล่งข้อมูลออนไลน์ รวมทั้งบทความและแกลเลอรี่ภาพ)