ในทางคณิตศาสตร์โปรโตไทล์คือรูปทรงหนึ่งของกระเบื้องในการปูพื้น^{[ 1 ]}

การปูพื้นของระนาบหรือพื้นที่อื่นใด คือการคลุมพื้นที่ด้วย รูปทรง ปิดที่เรียกว่ากระเบื้อง ซึ่งมีพื้นที่ภายในที่ไม่ทับซ้อนกัน กระเบื้องบางรูปอาจเท่ากันทุกประการกับกระเบื้องรูปอื่นหนึ่งรูปหรือมากกว่านั้น ถ้าSคือเซตของกระเบื้องในการปูพื้น เซตRของรูปทรงจะเรียกว่าเซตของกระเบื้องต้นแบบ ถ้าไม่มีรูปทรงสองรูปใดในRที่เท่ากันทุกประการ และกระเบื้องทุกรูปในSเท่ากันทุกประการกับรูปทรงรูปใดรูปหนึ่งในR ^{[ 2 ]}

สามารถเลือกชุดโปรโตไทล์ที่แตกต่างกันได้หลายชุดสำหรับการปูพื้น: การเลื่อนหรือการหมุนโปรโตไทล์ใดๆ ก็ตามจะทำให้ได้ชุดโปรโตไทล์ที่ถูกต้องอีกชุดหนึ่ง อย่างไรก็ตาม ทุกชุดโปรโตไทล์มีจำนวนสมาชิก เท่ากัน ดังนั้นจำนวนโปรโตไทล์จึงถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจน การปูพื้นจะเรียกว่าเป็นแบบโมโนเฮดรัลหากมีโปรโตไทล์เพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น

ชุดของโปรโตไทล์เรียกว่าไม่เป็นคาบ หากการปูพื้นผิวด้วยโปรโตไทล์เหล่านั้นเป็นการปูพื้นผิวที่ไม่เป็นคาบ ทุก รูปแบบ ในเดือนมีนาคม พ.ศ. 2566 นักวิจัยสี่คน ได้แก่Chaim Goodman-Strauss , David Smith , Joseph Samuel Myers และ Craig S. Kaplan ได้ประกาศการค้นพบโปรโตไทล์โมโนเฮดรัลที่ไม่เป็นคาบ (โมโนไทล์) และการพิสูจน์ว่าไทล์ที่ค้นพบโดย David Smith เป็นโมโนไทล์ที่ไม่เป็นคาบ กล่าวคือ เป็นวิธีแก้ปัญหาของปัญหาไอน์สไตน์ที่ เปิดค้างมานาน ^{[ 3 ] [ 4 ]}

ในมิติที่สูงกว่า ปัญหาดังกล่าวได้รับการแก้ไขไปก่อนหน้านี้แล้ว กล่าวคือกระเบื้อง Schmitt-Conway-Danzer เป็นกระเบื้องต้นแบบของการปูพื้นแบบโมโนเฮดรัลที่ไม่เป็นคาบใน ปริภูมิยูคลิดสามมิติและไม่สามารถปูพื้นที่ได้อย่างเป็นคาบ