ในเรขาคณิตทรงสามมิติ หน้าคือพื้นผิวเรียบ(บริเวณระนาบ) ที่เป็นส่วนหนึ่งของขอบเขตของวัตถุทรงสามมิติ ตัวอย่างเช่นลูกบาศก์มีหกหน้าในความหมายนี้

ในการศึกษาเรขาคณิตของทรงหลายเหลี่ยมและทรงหลาย เหลี่ยมมิติสูงที่ทันสมัยมากขึ้น "หน้า" ถูกกำหนดในลักษณะที่อาจมีมิติใดก็ได้จุดยอดขอบและหน้า (2 มิติ) ของทรงหลายเหลี่ยมล้วนเป็นหน้าในความหมายทั่วไปนี้^{[ 1 ]}

ในเรขาคณิตเบื้องต้น รูปทรงหลายเหลี่ยมถูกนิยามในหลายวิธีว่าเป็นรูปทรงที่กำหนดโดยระบบของจุดยอด (จุด) ขอบ (ส่วนของเส้นตรง) และหน้า (รูปหลายเหลี่ยม) ซึ่งในหลายๆ คำนิยามแต่ไม่ใช่ทั้งหมด จำเป็นต้องสร้างพื้นผิวที่ล้อมรอบปริมาตรที่เป็นของแข็ง หน้าเหล่านี้คือรูปหลายเหลี่ยมสองมิติของคำนิยามเหล่านี้^{[ a ] ​​[ 1 ] [ 2 ]}ชื่ออื่นๆ สำหรับหน้ารูปหลายเหลี่ยม ได้แก่ด้านของรูปทรงหลายเหลี่ยม และ กระเบื้องระนาบยูคลิด

ตัวอย่างเช่นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ทั้งหก ที่ล้อมรอบลูกบาศก์นั้น ถือเป็นหน้าของลูกบาศก์นั้น บางครั้งคำว่า "หน้า" ก็ใช้เพื่ออ้างถึงลักษณะสองมิติของรูปทรงหลายเหลี่ยมสี่มิติ ด้วย ในความหมายนี้ เทสเซอแร็กต์สี่มิติ มีหน้าสี่เหลี่ยมจัตุรัส 24 หน้า โดยแต่ละหน้าใช้พื้นที่ร่วมกับ เซลล์ ลูกบาศก์สองเซลล์จากทั้งหมด 8 เซลล์

ตัวอย่างปกติตามสัญลักษณ์Schläfli

ทรงหลายเหลี่ยม	ทรงหลายเหลี่ยมดาว	การปูกระเบื้องแบบยุคลิด	การปูพื้นแบบไฮเปอร์โบลิก	4-โพลีโทป
{4,3}	{5/2,5}	{4,4}	{4,5}	{4,3,3}
ลูกบาศก์มีหน้า สี่เหลี่ยมจัตุรัส 3 หน้า ต่อจุดยอด	ทรงสิบสองเหลี่ยมดาวขนาดเล็กมี หน้ารูปดาว ห้าแฉก 5 หน้าต่อจุดยอด	การปูพื้นด้วยรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสในระนาบยูคลิดจะมี 4 หน้า สี่เหลี่ยมจัตุรัส ต่อจุดยอด	การปูพื้นแบบสี่เหลี่ยมจัตุรัสลำดับที่ 5 มี หน้าสี่เหลี่ยมจัตุรัส 5 หน้า ต่อจุดยอด	เทสเซอแร็กต์ มี หน้าสี่เหลี่ยมจัตุรัส 3 หน้า ต่อขอบหนึ่งด้าน

พื้นผิวของทรงหลายเหลี่ยมนูนใดๆ ก็ตาม จะมี ลักษณะเฉพาะของออยเลอร์

${\displaystyle V-E+F=2,}$

โดยที่Vคือจำนวนจุดยอด , EคือจำนวนขอบและFคือจำนวนหน้า สมการนี้เรียกว่าสูตรทรงหลายเหลี่ยมของออยเลอร์ดังนั้นจำนวนหน้าจึงมากกว่าส่วนเกินของจำนวนขอบเหนือจำนวนจุดยอดอยู่ 2 ตัวอย่างเช่น ลูกบาศก์มี 12 ขอบและ 8 จุดยอด ดังนั้นจึงมี 6 หน้า

ในเรขาคณิตมิติสูง หน้าของโพลีโทปเป็นคุณลักษณะของทุกมิติ^{[ 3 ] [ 4 ]} บางครั้ง หน้าที่มีมิติkเรียกว่าk -face ตัวอย่างเช่น หน้ารูปหลายเหลี่ยมของโพลีเฮดรอนทั่วไปเป็น 2-face คำว่า "face" ถูกนิยามแตกต่างกันในสาขาคณิตศาสตร์ต่างๆ ตัวอย่างเช่น ผู้เขียนหลายคนแต่ไม่ใช่ทั้งหมด อนุญาตให้โพลีโทปเองและเซตว่างเป็นหน้าของโพลีโทป โดยที่เซตว่างมี "มิติ" เป็น −1 เพื่อความสอดคล้อง สำหรับ โพลีโทป nมิติใดๆ หน้าจะมีมิติ ด้วย${\displaystyle k}$${\displaystyle -1\leq k\leq n}$

ตัวอย่างเช่น ในความหมายนี้ หน้าของลูกบาศก์ประกอบด้วยตัวลูกบาศก์เอง (3 หน้า) ด้าน ที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (2 หน้า) ขอบ (ส่วนของเส้นตรง) (1 หน้า) จุดยอด (จุด) (0 หน้า) และเซตว่าง

ในบางสาขาของคณิตศาสตร์ เช่นพลศาสตร์เชิงการจัดเรียงของทรงหลายเหลี่ยมรูปทรงหลายเหลี่ยมนั้นถือว่าเป็นรูปทรงนูน ตามนิยาม ในบริบทนี้ มีนิยามที่แม่นยำว่า หน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมPในปริภูมิยุคลิดคือจุดตัดของPกับครึ่งปริภูมิปิด ใดๆ ที่มีขอบเขตแยกออกจากส่วนภายในสัมพัทธ์ของP [ ^{5 ] ตาม}นิยามนี้ เซตของหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมจะรวมถึงรูปทรงหลายเหลี่ยมเองและเซตว่าง^{[ 3 ] [ 4 ]}สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน นิยามนี้เทียบเท่ากับนิยามทั่วไปของหน้าของเซตนูน ซึ่งระบุไว้ด้านล่าง ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

ในสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ เช่น ทฤษฎีของรูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรมและรูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาวข้อกำหนดเรื่องความนูนนั้นผ่อนคลายลง แนวคิดเชิงการจัดเรียงที่แม่นยำอย่างหนึ่งที่ขยายแนวคิดของรูปทรงหลายเหลี่ยมบางประเภทก่อนหน้านี้คือแนวคิดของคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลโดยทั่วไปแล้ว ยังมีแนวคิดของคอมเพล็กซ์เชิงหลายเหลี่ยมอีก ด้วย

ซิมเพล็กซ์nมิติ(ส่วนของเส้นตรง ( n = 1 ), สามเหลี่ยม ( n = 2 ), ทรงสี่เหลี่ยมหน้าจั่ว ( n = 3 ) เป็นต้น) ที่กำหนดโดย จุดยอด n + 1จุด จะมีหน้าสำหรับแต่ละเซตย่อยของจุดยอด ตั้งแต่เซตว่างไปจนถึงเซตของจุดยอดทั้งหมด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มี หน้าทั้งหมด 2n ^{+ 1}หน้า จำนวน หน้า kหน้า สำหรับk ∈ { ⁻¹ , 0, ..., n }คือ สัมประสิทธิ์ ทวิ นาม${\displaystyle {\binom {n+1}{k+1}}}$

มีชื่อเรียกเฉพาะสำหรับk -face โดยขึ้นอยู่กับค่าของkและในบางกรณี ขึ้นอยู่กับว่าkอยู่ใกล้กับมิติnของรูปทรงหลายเหลี่ยม มากแค่ไหน

Vertexคือชื่อเรียกทั่วไปของหน้าศูนย์ (0-face)

Edgeเป็นชื่อเรียกทั่วไปของแผ่นที่มีด้านเดียว

การใช้คำว่า"face"ในบริบทที่ค่า k เฉพาะเจาะจง นั้นหมายถึง " k -face" แต่ไม่ได้ระบุไว้อย่างชัดเจน มักจะเรียกว่า "2-face"

เซลล์คือ องค์ประกอบ ทรงหลายเหลี่ยม ( 3 หน้า ) ของรูปทรงหลายเหลี่ยม 4 มิติ หรือการปูพื้นแบบ 3 มิติ หรือสูงกว่านั้น เซลล์เป็นหน้าตัด ของ รูปทรงหลายเหลี่ยม 4 มิติ และรูปทรงรังผึ้ง 3 มิติ

ตัวอย่าง:

ตัวอย่างปกติตามสัญลักษณ์Schläfli

โพลีโทป 4 อัน		รังผึ้ง 3 อัน
{4,3,3}	{5,3,3}	{4,3,4}	{5,3,4}
เทสเซอแร็กต์มีเซลล์ทรงลูกบาศก์ (3 หน้า) 3 เซลล์ต่อขอบหนึ่งด้าน	เซลล์120 เซลล์ จะมีเซลล์ ทรงสิบสองเหลี่ยม (3 หน้า) จำนวน 3 เซลล์ต่อขอบหนึ่งด้าน	โครงสร้างรังผึ้งทรงลูกบาศก์จะเติมเต็มปริภูมิยูคลิด 3 มิติด้วยลูกบาศก์ โดยมี 4 ช่อง (3 หน้า) ต่อขอบหนึ่งด้าน	โครงสร้างรังผึ้งทรงสิบสองเหลี่ยม ลำดับที่ 4จะเติมเต็มพื้นที่ไฮเปอร์โบลิก 3 มิติด้วยทรงสิบสองเหลี่ยม โดยมี 4 เซลล์ (3 หน้า) ต่อขอบหนึ่งด้าน

ในเรขาคณิตมิติสูงด้านของโพ ลีโทป nมิติคือด้าน ( n − 1 ) (ด้านที่มีมิติน้อยกว่าโพลีโทปหนึ่งมิติ) ^{[ 6 ]}โพลีโทปถูกล้อมรอบด้วยด้านของมัน

ตัวอย่างเช่น:

• ด้านต่างๆ ของส่วนของเส้นตรงคือด้านศูนย์หรือจุดยอดของส่วนของ เส้น ตรง นั้น
• ด้านของรูปหลายเหลี่ยม คือหน้าหรือ ขอบ 1 ด้าน ของ รูป หลายเหลี่ยมนั้น
• ด้านของทรงหลายเหลี่ยมหรือพื้นผิว ที่ปูด้วยระนาบ คือด้าน 2 ด้าน ของทรงหลายเหลี่ยมนั้น อย่างไรก็ตาม ในบางบริบทด้านของทรงหลายเหลี่ยมหมายถึงรูปหลายเหลี่ยมใดๆ ที่เกิดจากเซตย่อยของจุดยอดสามจุดขึ้นไปของด้าน 2 ด้าน
• ด้านต่างๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยม 4 มิติหรือรูปทรงรังผึ้ง 3 มิติคือหน้า 3 ด้านหรือ เซลล์ ของรูปทรงนั้น
• ด้านต่างๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยม 5 มิติหรือรูปทรงรังผึ้ง 4 ด้าน คือหน้าทั้ง 4 ด้าน ของ มัน

ในศัพท์ที่เกี่ยวข้องหน้า ( n − 2 ) ของโพ ลีโทป nเรียกว่าสัน (หรือหน้าย่อย ) ^{[ 7 ]}สันถือเป็นขอบเขตระหว่างหน้าสองหน้าของโพลีโทปหรือรังผึ้ง

ตัวอย่างเช่น:

• สันของรูปหลายเหลี่ยม 2 มิติ หรือการ ปูพื้น 1 มิติ คือ หน้าศูนย์ หรือจุดยอด ของรูปนั้น
• สันของรูปทรงหลายเหลี่ยม สามมิติ หรือพื้นผิวระนาบ คือหน้าหรือ ขอบด้านเดียวของรูปทรงนั้น
• สันของรูปทรงหลายเหลี่ยม 4 มิติหรือรังผึ้ง 3 มิติคือหน้า 2 ด้านของมัน
• สันของรูปทรงหลายเหลี่ยม 5 มิติหรือรังผึ้ง 4 มิติ คือหน้า 3 ด้าน หรือเซลล์ ของ มัน

หน้า ( n − 3 ) ของโพ ลีโทป nเรียกว่ายอด ยอดแต่ละยอดประกอบด้วยแกนหมุนของหน้าตัดและสันในโพลีโทปปกติหรือรังผึ้ง

ตัวอย่างเช่น:

• จุดสูงสุดของรูปทรงหลายเหลี่ยม สามมิติ หรือการปู พื้นระนาบ คือหน้าศูนย์หรือจุดยอดของ รูป ทรง นั้น
• ยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยม 4 มิติหรือรังผึ้ง 3 มิติ คือหน้าหรือ ขอบ 1 ด้านของ มัน
• ยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยม 5 มิติหรือรังผึ้ง 4 มิติ คือหน้าทั้ง 2 ด้านของมัน

แนวคิดของหน้าสามารถขยายจากโพลีโทปนูนไปยังเซตนูน ทั้งหมด ได้ดังนี้ ให้เป็นเซตนูนในปริภูมิเวกเตอร์ จริง หน้าของคือเซตย่อยนูนที่เมื่อใดก็ตามที่จุดอยู่ระหว่างจุดสองจุดและใน^{อย่าง} เคร่งครัด ทั้งและจะต้องอยู่ในเทียบเท่ากัน สำหรับและจำนวนจริงใดๆที่อยู่ในและจะต้องอยู่ใน[ ^{8 ]}${\displaystyle C}$${\displaystyle V}$${\displaystyle C}$${\displaystyle F\subseteq C}$${\displaystyle p\in F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle C}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x,y\in C}$${\displaystyle 0<\theta <1}$${\displaystyle \theta x+(1-\theta )y}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle F}$

ตามนิยามนี้ตัวมันเองและเซตว่างเป็นหน้าของ; บางครั้งจึงเรียกว่าหน้าไม่สำคัญของ${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

จุดสุดขั้วของคือจุดที่เป็นหน้าของ[ ^{8 ] นั่น}คือ ถ้าอยู่ ระหว่างสองจุดแล้ว${\displaystyle C}$${\displaystyle p\in C}$${\displaystyle \{p\}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x,y\in C}$${\displaystyle x=y=p}$

ตัวอย่างเช่น:

• รูปสามเหลี่ยมในระนาบ (รวมถึงบริเวณภายใน) เป็นเซตแบบนูน หน้าที่ไม่ใช่หน้าว่างของมันคือจุดยอดทั้งสามและขอบทั้งสาม (ดังนั้นจุดสุดขั้วจึงมีเพียงจุดยอดทั้งสามเท่านั้น)
• ด้านที่ไม่ใช่ด้านธรรมดาเพียงด้านเดียวของวงกลมหน่วยปิด คือจุดสุดขั้วของมัน ซึ่งก็คือจุดบนวงกลมหน่วย${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}\leq 1\}}$${\displaystyle S^{1}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\}}$

ให้เป็นเซตแบบนูนในที่เป็นเซตกระชับ (หรือเทียบเท่ากับเซตปิดและมีขอบเขต ) แล้วเป็นส่วนนูนของจุดสุดขอบ^{[ 9 ]}โดยทั่วไปแล้ว เซตแบบนูนกระชับแต่ละเซตในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบนูนเฉพาะที่ จะเป็นส่วนนูนปิดของจุดสุดขอบ ( ทฤษฎีบท Krein–Milman ) ${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle C}$

หน้าตัดที่เปิดเผยของคือเซตย่อยของจุดในที่ฟังก์ชันเชิงเส้นมีค่าต่ำสุดบนดังนั้น ถ้าเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นบนและแล้วจะเป็นหน้าตัดที่เปิดเผยของ ${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \alpha =\inf\{f(c)\ \colon c\in C\}>-\infty }$${\displaystyle \{c\in C\ \colon f(c)=\alpha \}}$${\displaystyle C}$

จุดที่เปิดโล่งของคือจุด ที่ เป็นพื้นผิวที่เปิดโล่งของนั่นคือสำหรับทุกค่าดูภาพประกอบสำหรับตัวอย่างของจุดสุดขั้วที่ไม่เปิดโล่ง ${\displaystyle C}$${\displaystyle p\in C}$${\displaystyle \{p\}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle f(p)>f(c)}$${\displaystyle c\in C\setminus \{p\}}$

ผู้เขียนบางคนไม่รวมและ/หรือเป็นหน้าของผู้เขียนบางคนต้องการให้หน้าเป็นเซตย่อยปิด ซึ่งเป็นไปโดยอัตโนมัติสำหรับเซตแบบนูนขนาดกะทัดรัดในปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติจำกัด แต่ไม่ใช่ในมิติอนันต์^{[ 10 ]}ในมิติอนันต์ โดยทั่วไปจะถือว่าฟังก์ชันมีความต่อเนื่องในโทโพโลยีเวกเตอร์ที่ กำหนด${\displaystyle C}$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle f}$

ด้านที่เปิดเผยของเซตแบบนูนคือด้านหนึ่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันคือเซตย่อยแบบนูน

ถ้าเป็นหน้าของเซตแบบนูนแล้วเซตย่อยจะเป็นหน้าของก็ต่อเมื่อเป็นหน้าของ ${\displaystyle F}$${\displaystyle C}$${\displaystyle E\subseteq F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle C}$

• ตาข่ายหน้า
• การจัดกลุ่มทรงหลายเหลี่ยม
• เรขาคณิตแบบไม่ต่อเนื่อง

• Grünbaum, Branko (2003), รูปทรงหลายเหลี่ยมนูน , ตำราระดับบัณฑิตศึกษาทางคณิตศาสตร์, เล่มที่ 221 (ฉบับที่ 2), Springer, ISBN 0-387-00424-6, MR  1976856
• Matoušek, Jiří (2002), Lectures in Discrete Geometry , Graduate Texts in Mathematics , vol. 212, สปริงเกอร์, ISBN 9780387953748, MR  1899299
• Rockafellar, RT (1997) [1970]. การวิเคราะห์เชิงนูน . พรินซ์ตัน, นิวเจอร์ซีย์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน. ISBN 1-4008-7317-7MR 0274683​ ​
• Ziegler, Günter M. (1995), Lectures on Polytopes , Graduate Texts in Mathematics, vol. 152, Springer, ISBN 9780387943657, MR  1311028

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ใบหน้า" . แมธเวิลด์ .
• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "Facet" . แมทเวิลด์ .
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ด้านข้าง" . แมธเวิลด์ .