แบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือ คำอธิบาย เชิงนามธรรมของ ระบบ ที่ ^เป็น รูปธรรม โดยใช้แนวคิดและภาษาทางคณิตศาสตร์กระบวนการพัฒนาแบบจำลอง ทางคณิตศาสตร์ เรียกว่า การสร้าง แบบจำลองทางคณิตศาสตร์แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ถูกนำไปใช้ในหลายสาขา รวมถึงคณิตศาสตร์ประยุกต์วิทยาศาสตร์ธรรมชาติสังคมศาสตร์[ ^{1 ] [ 2 ]}และวิศวกรรมโดยเฉพาะอย่างยิ่ง สาขาการวิจัยปฏิบัติการศึกษาการใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์และเครื่องมือที่เกี่ยวข้องเพื่อแก้ปัญหาในธุรกิจหรือการปฏิบัติการทางทหาร แบบจำลองอาจช่วยในการกำหนดลักษณะของระบบโดยการศึกษาผลกระทบของส่วนประกอบต่างๆ ซึ่งอาจใช้ในการทำนายพฤติกรรมหรือแก้ปัญหาเฉพาะ

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สามารถมีได้หลายรูปแบบ รวมถึงระบบพลวัตแบบจำลองทางสถิติ สมการเชิงอนุพันธ์หรือแบบ จำลอง ทฤษฎีเกมแบบจำลองเหล่านี้และแบบจำลองประเภทอื่นๆ สามารถทับซ้อนกันได้ โดยแบบจำลองหนึ่งๆ อาจเกี่ยวข้องกับโครงสร้างเชิงนามธรรมที่หลากหลาย ในหลายกรณี คุณภาพของสาขาวิทยาศาสตร์ขึ้นอยู่กับว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่พัฒนาขึ้นในด้านทฤษฎีนั้นสอดคล้องกับผลการทดลองที่ทำซ้ำได้ดีเพียงใด ความไม่สอดคล้องกันระหว่างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงทฤษฎีและการวัดเชิงทดลองมักนำไปสู่ความก้าวหน้าที่สำคัญ เนื่องจากมีการพัฒนาทฤษฎีที่ดีขึ้น ในวิทยาศาสตร์กายภาพแบบจำลองทางคณิตศาสตร์แบบดั้งเดิมประกอบด้วยองค์ประกอบส่วนใหญ่ดังต่อไปนี้:

1. สมการควบคุม
2. แบบจำลองย่อยเพิ่มเติม
   1. การกำหนดสมการ
   2. สมการเชิงโครงสร้าง
3. ข้อสมมติและข้อจำกัด
   1. เงื่อนไข เริ่มต้นและเงื่อนไขขอบเขต
   2. ข้อจำกัดแบบคลาสสิกและสมการจลศาสตร์

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์มีหลายประเภท:

ถ้าตัวดำเนินการทั้งหมดในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์แสดงคุณสมบัติเชิงเส้นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ได้จะถูกนิยามว่าเป็นแบบจำลองเชิงเส้น ส่วนแบบจำลองอื่นๆ จะถือว่าเป็นแบบจำลองที่ไม่เป็นเชิงเส้น นิยามของความเป็นเชิงเส้นและไม่เป็นเชิงเส้นขึ้นอยู่กับบริบท และแบบจำลองเชิงเส้นอาจมีนิพจน์ที่ไม่เป็นเชิงเส้นอยู่ด้วย ตัวอย่างเช่น ในแบบจำลองเชิงเส้นทางสถิติจะถือว่าความสัมพันธ์เป็นเชิงเส้นในพารามิเตอร์ แต่ความสัมพันธ์อาจไม่เป็นเชิงเส้นในตัวแปรทำนาย ในทำนองเดียวกัน สมการเชิงอนุพันธ์จะเรียกว่าเป็นเชิงเส้นถ้าสามารถเขียนได้ด้วยตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ เชิงเส้น แต่ก็ยังอาจมีนิพจน์ที่ไม่เป็นเชิงเส้นอยู่ด้วย ใน แบบจำลอง การเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ถ้าฟังก์ชันเป้าหมายและข้อจำกัดแสดงด้วยสมการเชิงเส้นทั้งหมด แบบจำลองนั้นจะถือว่าเป็นแบบจำลองเชิงเส้น ถ้าฟังก์ชันเป้าหมายหรือข้อจำกัดอย่างน้อยหนึ่งอย่างแสดงด้วย สมการ ที่ไม่เป็นเชิงเส้นแบบจำลองนั้นจะเรียกว่าแบบจำลองที่ไม่เป็นเชิงเส้น

โครงสร้างเชิงเส้นหมายความว่าปัญหาหนึ่งๆ สามารถแบ่งออกเป็นส่วนย่อยๆ ที่ง่ายกว่า ซึ่งสามารถจัดการหรือวิเคราะห์ได้อย่างอิสระในระดับที่แตกต่างกัน และด้วยเหตุนี้ ผลลัพธ์จึงยังคงใช้ได้แม้ว่าจะมีการนำปัญหาเริ่มต้นมาประกอบใหม่หรือปรับขนาดใหม่ก็ตาม

แม้ในระบบที่ค่อนข้างง่าย ความไม่เป็นเชิงเส้นมักเกี่ยวข้องกับปรากฏการณ์ต่างๆ เช่นความโกลาหลและความไม่สามารถย้อนกลับได้ถึงแม้จะมีข้อยกเว้น แต่ระบบและแบบจำลองที่ไม่เป็นเชิงเส้นมักศึกษาได้ยากกว่าระบบและแบบจำลองเชิงเส้น วิธีการทั่วไปในการแก้ปัญหาที่ไม่เป็นเชิงเส้นคือการแปลงเป็นเชิงเส้นแต่การทำเช่นนี้อาจเป็นปัญหาหากพยายามศึกษาแง่มุมต่างๆ เช่น ความไม่สามารถย้อนกลับได้ ซึ่งมีความเกี่ยวข้องอย่างมากกับความไม่เป็นเชิงเส้น

แบบจำลองพลวัตจะพิจารณาการเปลี่ยนแปลงของสถานะของระบบที่ขึ้นอยู่กับเวลา ในขณะที่ แบบ จำลองสถิต (หรือแบบจำลองสภาวะคงที่) จะคำนวณระบบที่อยู่ในสภาวะสมดุล ดังนั้นจึงไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา แบบจำลองพลวัตมักแสดงด้วยสมการเชิงอนุพันธ์หรือ สมการ เชิง ผลต่าง

หากทราบพารามิเตอร์อินพุตทั้งหมดของแบบจำลองโดยรวม และสามารถคำนวณพารามิเตอร์เอาต์พุตได้ด้วยชุดการคำนวณที่จำกัด แบบจำลองนั้นเรียกว่าแบบจำลองชัดแจ้ง (explicit model ) แต่บางครั้งอาจ ทราบเฉพาะพารามิเตอร์ เอาต์พุตเท่านั้น และต้องหาค่าอินพุตที่สอดคล้องกันด้วยกระบวนการวนซ้ำ เช่นวิธีของนิวตันหรือวิธีของบรอยเดนในกรณีเช่นนี้ แบบจำลองนั้นเรียกว่าแบบจำลองไม่ชัดแจ้ง (implicit model ) ตัวอย่างเช่น คุณสมบัติทางกายภาพของ เครื่องยนต์เจ็ทเช่น พื้นที่หน้าตัดของกังหันและคอหัวฉีด สามารถคำนวณได้อย่างชัดเจนโดยกำหนดวัฏจักรทางเทอร์โมไดนามิกส์ (อัตราการไหลของอากาศและเชื้อเพลิง ความดัน และอุณหภูมิ) ที่สภาวะการบินและการตั้งค่ากำลังเฉพาะ แต่ไม่สามารถคำนวณวัฏจักรการทำงานของเครื่องยนต์ที่สภาวะการบินและการตั้งค่ากำลังอื่นๆ ได้อย่างชัดเจนจากคุณสมบัติทางกายภาพคงที่เหล่านั้น

แบบจำลองแบบไม่ต่อเนื่องจะมองวัตถุเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง เช่น อนุภาคในแบบจำลองโมเลกุลหรือสถานะในแบบจำลองทางสถิติในขณะที่แบบจำลองแบบต่อเนื่องจะแสดงวัตถุในลักษณะต่อเนื่อง เช่น สนามความเร็วของของเหลวในท่อ อุณหภูมิและความเค้นในของแข็ง และสนามไฟฟ้าที่แผ่ขยายอย่างต่อเนื่องทั่วทั้งแบบจำลองเนื่องจากประจุจุด

แบบจำลองเชิงกำหนด (Deterministic model) คือแบบจำลองที่ชุดของสถานะตัวแปรแต่ละชุดถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยพารามิเตอร์ในแบบจำลองและโดยชุดของสถานะก่อนหน้าของตัวแปรเหล่านั้น ดังนั้น แบบจำลองเชิงกำหนดจึงทำงานในลักษณะเดียวกันเสมอสำหรับชุดเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด ในทางกลับกัน ในแบบจำลองเชิงสุ่ม (Stochastic model) ซึ่งมักเรียกว่า " แบบจำลองทางสถิติ " นั้น มีความสุ่มอยู่ และสถานะตัวแปรไม่ได้ถูกอธิบายด้วยค่าที่ไม่ซ้ำกัน แต่ด้วยการแจกแจง ความน่าจะเป็น

เอแบบจำลองนิรนัยเป็นโครงสร้างเชิงตรรกะที่อิงตามทฤษฎี แบบจำลองอุปนัยเกิดขึ้นจากการค้นพบเชิงประจักษ์และการสรุปทั่วไปจากการค้นพบเหล่านั้น หากแบบจำลองไม่ได้อิงตามทฤษฎีหรือการสังเกต ก็อาจเรียกได้ว่าเป็นแบบจำลอง 'ลอยตัว' การประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์ในสังคมศาสตร์นอกเหนือจากเศรษฐศาสตร์ได้รับการวิพากษ์วิจารณ์ว่าเป็นแบบจำลองที่ไม่มีพื้นฐาน ^{[ 3 ]}การประยุกต์ใช้ทฤษฎีภัยพิบัติในวิทยาศาสตร์มีลักษณะเป็นแบบจำลองลอยตัว ^{[ 4 ]}

แบบจำลองที่ใช้ในทฤษฎีเกมมีความแตกต่างกันตรงที่แบบจำลองเหล่านั้นจำลองตัวแทนที่มีแรงจูงใจที่ไม่เข้ากัน เช่น สายพันธุ์ที่แข่งขันกันหรือผู้เสนอราคาในการประมูล แบบจำลองเชิงกลยุทธ์ถือว่าผู้เล่นเป็นผู้ตัดสินใจที่เป็นอิสระซึ่งเลือกการกระทำอย่างมีเหตุผลเพื่อเพิ่มฟังก์ชันเป้าหมายของตนให้สูงสุด ความท้าทายที่สำคัญของการใช้แบบจำลองเชิงกลยุทธ์คือการกำหนดและคำนวณแนวคิดการแก้ปัญหาเช่นสมดุลแนชคุณสมบัติที่น่าสนใจของแบบจำลองเชิงกลยุทธ์คือการแยกการให้เหตุผลเกี่ยวกับกฎของเกมออกจากการให้เหตุผลเกี่ยวกับพฤติกรรมของผู้เล่น^{[ 5 ]}

ในธุรกิจและวิศวกรรมแบบจำลองทางคณิตศาสตร์อาจถูกนำมาใช้เพื่อเพิ่มผลผลิตให้สูงสุด ระบบที่กำลังพิจารณาจะต้องมีปัจจัยนำเข้าบางอย่าง ระบบที่เชื่อมโยงปัจจัยนำเข้ากับผลผลิตนั้นขึ้นอยู่กับตัวแปรอื่นๆ ด้วย ได้แก่ตัวแปรตัดสินใจตัวแปรสถานะตัวแปรภายนอกและตัวแปรสุ่ม ตัวแปรตัดสินใจบางครั้งเรียกว่าตัวแปรอิสระ ตัวแปรภายนอกบางครั้งเรียกว่าพารามิเตอร์หรือค่าคงที่ตัวแปรเหล่านี้ไม่ได้เป็นอิสระต่อกัน เนื่องจากตัวแปรสถานะขึ้นอยู่กับตัวแปรตัดสินใจ ปัจจัยนำเข้า ตัวแปรสุ่ม และตัวแปรภายนอก นอกจากนี้ ตัวแปรผลผลิตยังขึ้นอยู่กับสถานะของระบบ (ซึ่งแสดงโดยตัวแปรสถานะ)

วัตถุประสงค์และข้อจำกัดของระบบและผู้ใช้สามารถแสดงได้ในรูปฟังก์ชันของตัวแปรผลลัพธ์หรือตัวแปรสถานะฟังก์ชันวัตถุประสงค์จะขึ้นอยู่กับมุมมองของผู้ใช้แบบจำลอง ในบางบริบท ฟังก์ชันวัตถุประสงค์อาจเรียกว่าดัชนีประสิทธิภาพเนื่องจากเป็นการวัดที่ผู้ใช้สนใจ แม้ว่าจะไม่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับจำนวนฟังก์ชันวัตถุประสงค์และข้อจำกัดที่แบบจำลองจะมีได้ แต่การใช้งานหรือการปรับปรุงแบบจำลองให้เหมาะสมที่สุดจะมีความซับซ้อนมากขึ้น (ในเชิงการคำนวณ) เมื่อจำนวนเพิ่มขึ้น ตัวอย่างเช่นนักเศรษฐศาสตร์มักใช้พีชคณิตเชิงเส้นเมื่อใช้แบบจำลองอินพุต-เอาต์พุตแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนซึ่งมีตัวแปรจำนวนมากอาจถูกรวมเข้าด้วยกันโดยใช้เวกเตอร์โดยที่สัญลักษณ์หนึ่งตัวแทนตัวแปรหลายตัว

ปัญหาการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์มักถูกจำแนกออกเป็นแบบจำลองกล่องดำหรือ แบบจำลอง กล่องขาวโดยพิจารณาจาก ข้อมูล เบื้องต้นเกี่ยวกับระบบที่มีอยู่ แบบจำลองกล่องดำคือระบบที่ไม่มีข้อมูลเบื้องต้นใดๆ เลย ในขณะที่แบบจำลองกล่องขาว (หรือเรียกว่ากล่องแก้วหรือกล่องใส) คือระบบที่มีข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมดอยู่แล้ว ในทางปฏิบัติ ระบบทั้งหมดจะอยู่ระหว่างแบบจำลองกล่องดำและแบบจำลองกล่องขาว ดังนั้นแนวคิดนี้จึงมีประโยชน์เพียงแค่เป็นแนวทางในการตัดสินใจว่าจะใช้วิธีการใดเท่านั้น

โดยทั่วไปแล้ว การใช้ข้อมูลเบื้องต้นให้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้จะช่วยให้แบบจำลองมีความแม่นยำมากขึ้น ดังนั้นแบบจำลองแบบกล่องขาวจึงมักถูกมองว่าง่ายกว่า เพราะหากใช้ข้อมูลอย่างถูกต้อง แบบจำลองก็จะทำงานได้อย่างถูกต้อง ข้อมูลเบื้องต้นมักมาในรูปแบบของการรู้ประเภทของฟังก์ชันที่เชื่อมโยงตัวแปรต่างๆ เข้าด้วยกัน ตัวอย่างเช่น หากเราสร้างแบบจำลองการทำงานของยาในระบบของมนุษย์ เราจะรู้ว่าโดยปกติแล้วปริมาณยาในเลือดจะเป็น ฟังก์ชัน ที่ลดลงแบบเอกซ์โปเนนเชียลแต่เรายังคงมีพารามิเตอร์ที่ไม่ทราบค่าอีกหลายตัว เช่น ปริมาณยาลดลงเร็วแค่ไหน และปริมาณยาเริ่มต้นในเลือดเป็นเท่าใด ตัวอย่างนี้จึงไม่ใช่แบบจำลองแบบกล่องขาวโดยสมบูรณ์ พารามิเตอร์เหล่านี้จะต้องได้รับการประมาณค่าด้วยวิธีการบางอย่างก่อนจึงจะสามารถใช้แบบจำลองได้

ในแบบจำลองกล่องดำ เราพยายามประมาณทั้งรูปแบบฟังก์ชันของความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรและพารามิเตอร์เชิงตัวเลขในฟังก์ชันเหล่านั้น การใช้ข้อมูลเบื้องต้นอาจทำให้เราได้ชุดฟังก์ชันที่อาจอธิบายระบบได้อย่างเพียงพอ ตัวอย่างเช่น หากไม่มีข้อมูลเบื้องต้น เราจะพยายามใช้ฟังก์ชันที่ทั่วไปที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้เพื่อครอบคลุมแบบจำลองที่แตกต่างกันทั้งหมด แนวทางที่ใช้บ่อยสำหรับแบบจำลองกล่องดำคือโครงข่ายประสาทเทียมซึ่งโดยปกติจะไม่ตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับข้อมูลที่เข้ามา หรืออีกทางหนึ่ง อัลกอริทึม NARMAX (Nonlinear AutoRegressive Moving Average model with eXogenous inputs) ซึ่งพัฒนาขึ้นเป็นส่วนหนึ่งของการระบุระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้น^{[ 6 ]}สามารถใช้เพื่อเลือกเงื่อนไขของแบบจำลอง กำหนดโครงสร้างของแบบจำลอง และประมาณค่าพารามิเตอร์ที่ไม่ทราบค่าในกรณีที่มีสัญญาณรบกวนที่สัมพันธ์กันและไม่เป็นเชิงเส้น ข้อดีของแบบจำลอง NARMAX เมื่อเทียบกับโครงข่ายประสาทเทียมคือ NARMAX สร้างแบบจำลองที่สามารถเขียนลงและเชื่อมโยงกับกระบวนการพื้นฐานได้ ในขณะที่โครงข่ายประสาทเทียมสร้างการประมาณค่าที่ไม่โปร่งใส

บางครั้ง การนำข้อมูลเชิงอัตวิสัยมาใช้ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ก็มีประโยชน์ ซึ่งอาจทำได้โดยอาศัยสัญชาตญาณประสบการณ์หรือความคิดเห็นของผู้เชี่ยวชาญหรือโดยอาศัยความสะดวกของรูปแบบทางคณิตศาสตร์สถิติแบบเบย์ให้กรอบทฤษฎีสำหรับการนำข้อมูลเชิงอัตวิสัยดังกล่าวมาใช้ในการวิเคราะห์อย่างเข้มงวด: เรากำหนดการกระจายความน่าจะเป็นล่วงหน้า (ซึ่งอาจเป็นเชิงอัตวิสัย) แล้วจึงปรับปรุงการกระจายนี้ตามข้อมูลเชิงประจักษ์

ตัวอย่างหนึ่งของสถานการณ์ที่จำเป็นต้องใช้วิธีการดังกล่าวคือ สถานการณ์ที่ผู้ทำการทดลองดัดเหรียญเล็กน้อยแล้วโยนหนึ่งครั้ง บันทึกว่าเหรียญออกหัวหรือไม่ จากนั้นได้รับมอบหมายให้ทำนายความน่าจะเป็นที่การโยนครั้งต่อไปจะออกหัว หลังจากดัดเหรียญแล้ว ความน่าจะเป็นที่แท้จริงที่เหรียญจะออกหัวนั้นไม่เป็นที่ทราบ ดังนั้นผู้ทำการทดลองจะต้องตัดสินใจ (อาจโดยการพิจารณารูปทรงของเหรียญ) ว่าจะใช้การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบใด การรวมข้อมูลเชิงอัตวิสัยดังกล่าวอาจมีความสำคัญเพื่อให้ได้ค่าประมาณความน่าจะเป็นที่แม่นยำ

โดยทั่วไป ความซับซ้อนของแบบจำลองเกี่ยวข้องกับการแลกเปลี่ยนระหว่างความเรียบง่ายและความแม่นยำของแบบจำลอง หลักการ มีดโกนของอ็อกแคมมีความเกี่ยวข้องอย่างยิ่งกับการสร้างแบบจำลอง แนวคิดหลักคือในบรรดาแบบจำลองที่มีพลังในการทำนายที่ใกล้เคียงกัน แบบจำลองที่ง่ายที่สุดเป็นที่ต้องการมากที่สุด ในขณะที่ความซับซ้อนที่เพิ่มขึ้นมักจะปรับปรุงความสมจริงของแบบจำลอง แต่ก็อาจทำให้แบบจำลองเข้าใจและวิเคราะห์ได้ยาก และยังอาจก่อให้เกิดปัญหาในการคำนวณ รวมถึงความไม่เสถียรเชิงตัวเลขโทมัส คูนโต้แย้งว่าเมื่อวิทยาศาสตร์ก้าวหน้า คำอธิบายมักจะซับซ้อนมากขึ้นก่อนที่การเปลี่ยนแปลงกระบวนทัศน์จะนำเสนอความเรียบง่ายอย่างมาก^{[ 7 ]}

ตัวอย่างเช่น เมื่อจำลองการบินของเครื่องบิน เราสามารถฝังชิ้นส่วนกลไกแต่ละส่วนของเครื่องบินลงในแบบจำลองของเรา และจะได้แบบจำลองระบบที่เกือบจะเป็นกล่องขาว อย่างไรก็ตาม ต้นทุนการคำนวณในการเพิ่มรายละเอียดจำนวนมหาศาลเช่นนั้นจะขัดขวางการใช้งานแบบจำลองดังกล่าวอย่างมีประสิทธิภาพ นอกจากนี้ ความไม่แน่นอนจะเพิ่มขึ้นเนื่องจากระบบที่ซับซ้อนเกินไป เพราะแต่ละส่วนที่แยกจากกันจะทำให้เกิดความแปรปรวนในแบบจำลอง ดังนั้น โดยทั่วไปแล้วจึงเหมาะสมที่จะทำการประมาณค่าบางอย่างเพื่อลดขนาดของแบบจำลองให้เหมาะสม วิศวกรมักจะยอมรับการประมาณค่าบางอย่างเพื่อให้ได้แบบจำลองที่แข็งแกร่งและเรียบง่ายกว่า ตัวอย่างเช่นกลศาสตร์คลาสสิกของนิวตัน เป็นแบบจำลองโดยประมาณของโลกแห่งความเป็นจริง ถึงกระนั้น แบบจำลองของนิวตันก็เพียงพอสำหรับสถานการณ์ในชีวิตประจำวันส่วนใหญ่ ตราบใดที่ความเร็วของอนุภาคต่ำกว่าความเร็วแสง มาก และเราศึกษาเฉพาะอนุภาคขนาดใหญ่เท่านั้น โปรดทราบว่าความแม่นยำที่ดีกว่าไม่ได้หมายความว่าแบบจำลองจะดีกว่าเสมอไปแบบจำลองทางสถิติมีแนวโน้มที่จะเกิดภาวะโอเวอร์ฟิตติ้งซึ่งหมายความว่าแบบจำลองนั้นถูกปรับให้เข้ากับข้อมูลมากเกินไป และสูญเสียความสามารถในการสรุปผลไปยังเหตุการณ์ใหม่ๆ ที่ไม่เคยพบเห็นมาก่อน

แบบจำลองใดๆ ที่ไม่ใช่แบบกล่องขาวล้วนจะมีพารามิเตอร์ บางอย่าง ที่สามารถใช้เพื่อปรับแบบจำลองให้เข้ากับระบบที่ต้องการอธิบาย หากการสร้างแบบจำลองทำโดยเครือข่ายประสาทเทียมหรือการเรียนรู้ของเครื่อง อื่นๆ การเพิ่มประสิทธิภาพของพารามิเตอร์เรียกว่าการฝึกฝนในขณะที่การเพิ่มประสิทธิภาพไฮเปอร์พารามิเตอร์ของแบบจำลองเรียกว่าการปรับแต่งและมักใช้การตรวจสอบแบบไขว้ [ ^{8 ] ใน}การสร้างแบบจำลองแบบดั้งเดิมมากขึ้นผ่านฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน พารามิเตอร์มักจะถูกกำหนดโดยการปรับเส้นโค้งให้เหมาะสม

ส่วนสำคัญอย่างยิ่งของกระบวนการสร้างแบบจำลองคือการประเมินว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดนั้นอธิบายระบบได้อย่างถูกต้องหรือไม่ คำถามนี้อาจตอบยากเนื่องจากเกี่ยวข้องกับการประเมินหลายประเภท

โดยปกติแล้ว ส่วนที่ง่ายที่สุดในการประเมินแบบจำลองคือการตรวจสอบว่าแบบจำลองสามารถทำนายผลการวัดเชิงทดลองหรือข้อมูลเชิงประจักษ์อื่นๆ ที่ไม่ได้ใช้ในการพัฒนาแบบจำลองได้หรือไม่ ในแบบจำลองที่มีพารามิเตอร์ วิธีการทั่วไปคือการแบ่งข้อมูลออกเป็นสองชุดย่อยที่ไม่ซ้ำกัน ได้แก่ ข้อมูลฝึกฝนและข้อมูลตรวจสอบ ข้อมูลฝึกฝนจะใช้ในการประมาณค่าพารามิเตอร์ของแบบจำลอง แบบจำลองที่แม่นยำจะตรงกับข้อมูลตรวจสอบอย่างใกล้ชิด แม้ว่าข้อมูลเหล่านั้นจะไม่ได้ถูกนำมาใช้ในการกำหนดพารามิเตอร์ของแบบจำลองก็ตาม วิธีการนี้เรียกว่าการตรวจสอบแบบไขว้ (cross-validation)ในทางสถิติ

การกำหนดตัวชี้วัดเพื่อวัดระยะห่างระหว่างข้อมูลที่สังเกตได้และข้อมูลที่ทำนายได้นั้นเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์สำหรับการประเมินความเหมาะสมของแบบจำลอง ในทางสถิติ ทฤษฎีการตัดสินใจ และแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์ บางแบบ ฟังก์ชันความสูญเสียก็มีบทบาทคล้ายกัน ในขณะที่การทดสอบความเหมาะสมของพารามิเตอร์นั้นค่อนข้างตรงไปตรงมา แต่การทดสอบความถูกต้องของรูปแบบทางคณิตศาสตร์ทั่วไปของแบบจำลองนั้นอาจทำได้ยากกว่า โดยทั่วไปแล้ว มีการพัฒนาเครื่องมือทางคณิตศาสตร์เพื่อทดสอบความเหมาะสมของแบบจำลองทางสถิติมากกว่าแบบจำลองที่เกี่ยวข้องกับสมการเชิงอนุพันธ์เครื่องมือจากสถิติแบบไม่พาราเมตริกบางครั้งสามารถใช้เพื่อประเมินว่าข้อมูลเหมาะสมกับการแจกแจงที่ทราบแล้วได้ดีเพียงใด หรือเพื่อสร้างแบบจำลองทั่วไปที่ตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับรูปแบบทางคณิตศาสตร์ของแบบจำลองน้อยที่สุด

การประเมินขอบเขตของแบบจำลอง กล่าวคือ การพิจารณาว่าแบบจำลองนั้นสามารถนำไปใช้ได้ในสถานการณ์ใดบ้าง อาจไม่ใช่เรื่องง่ายนัก หากแบบจำลองถูกสร้างขึ้นจากชุดข้อมูล เราต้องพิจารณาว่าข้อมูลที่ทราบนั้นเป็นชุดข้อมูล "ทั่วไป" สำหรับระบบหรือสถานการณ์ใดบ้าง คำถามที่ว่าแบบจำลองอธิบายคุณสมบัติของระบบระหว่างจุดข้อมูลได้ดีหรือไม่ เรียกว่าการประมาณค่าในช่วง (interpolation ) และคำถามเดียวกันนี้สำหรับเหตุการณ์หรือจุดข้อมูลที่อยู่นอกเหนือข้อมูลที่สังเกตได้ เรียกว่า การประมาณค่า ภายนอกช่วง (extrapolation )

ตัวอย่างหนึ่งของข้อจำกัดทั่วไปของขอบเขตของแบบจำลอง ในการประเมินกลศาสตร์คลาสสิก ของนิวตัน เราสามารถสังเกตได้ว่านิวตันทำการวัดโดยปราศจากอุปกรณ์ที่ทันสมัย ​​ดังนั้นเขาจึงไม่สามารถวัดคุณสมบัติของอนุภาคที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วใกล้เคียงกับความเร็วแสงได้ ในทำนองเดียวกัน เขาไม่ได้วัดการเคลื่อนที่ของโมเลกุลและอนุภาคขนาดเล็กอื่นๆ แต่ทำการวัดเฉพาะอนุภาคขนาดใหญ่เท่านั้น ดังนั้นจึงไม่น่าแปลกใจที่แบบจำลองของเขาไม่สามารถขยายไปสู่ขอบเขตเหล่านั้นได้ดีนัก แม้ว่าแบบจำลองของเขาจะเพียงพอสำหรับฟิสิกส์ในชีวิตประจำวันก็ตาม

แบบจำลองหลายประเภทเกี่ยวข้องกับการอ้างถึงความสัมพันธ์เชิงสาเหตุ โดยปริยาย โดยปกติแล้ว (แต่ไม่เสมอไป) จะเป็นเช่นนั้นกับแบบจำลองที่เกี่ยวข้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ เนื่องจากจุดประสงค์ของการสร้างแบบจำลองคือการเพิ่มความเข้าใจของเราเกี่ยวกับโลก ความถูกต้องของแบบจำลองจึงไม่ได้ขึ้นอยู่กับความสอดคล้องกับข้อสังเกตเชิงประจักษ์เท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับความสามารถในการคาดการณ์ไปยังสถานการณ์หรือข้อมูลที่อยู่นอกเหนือจากที่อธิบายไว้ในแบบจำลองในตอนแรกด้วย เราอาจมองว่านี่คือความแตกต่างระหว่างการคาดการณ์เชิงคุณภาพและเชิงปริมาณ นอกจากนี้ยังอาจกล่าวได้ว่าแบบจำลองนั้นไร้ค่าหากไม่ให้ข้อมูลเชิงลึกที่นอกเหนือไปจากสิ่งที่เรารู้แล้วจากการตรวจสอบปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษาโดยตรง

ตัวอย่างหนึ่งของการวิจารณ์ดังกล่าวคือข้อโต้แย้งที่ว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีการหาอาหารที่เหมาะสมที่สุดไม่ได้ให้ข้อมูลเชิงลึกที่นอกเหนือไปจากข้อสรุปสามัญสำนึกของวิวัฒนาการและหลักการพื้นฐานอื่นๆ ของนิเวศวิทยา^{[ 9 ]}ควรสังเกตด้วยว่าในขณะที่การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ใช้แนวคิดและภาษาทางคณิตศาสตร์ แต่ตัวมันเองไม่ได้เป็นสาขาของคณิตศาสตร์และไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกับตรรกะทางคณิตศาสตร์ใดๆ แต่โดยทั่วไปแล้วเป็นสาขาของวิทยาศาสตร์หรือวิชาเทคนิคอื่นๆ ที่มีแนวคิดและมาตรฐานการโต้แย้งที่สอดคล้องกัน^{[ 10 ]}

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์มีความสำคัญอย่างยิ่งในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในวิชาฟิสิกส์ทฤษฎีทางฟิสิกส์ เกือบทั้งหมดมักแสดงออกมาในรูปของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ตลอดประวัติศาสตร์ มีการพัฒนาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่แม่นยำมากขึ้นเรื่อยๆ กฎของนิวตันอธิบายปรากฏการณ์ในชีวิตประจำวันหลายอย่างได้อย่างแม่นยำ แต่ในบางขอบเขตจำเป็นต้องใช้ ทฤษฎีสัมพัทธภาพและกลศาสตร์ควอนตัมเข้ามาช่วย

ในวิชาฟิสิกส์ เรามักใช้แบบจำลองในอุดมคติเพื่อทำให้สิ่งต่างๆ ง่ายขึ้น เชือกไร้มวล อนุภาคจุดก๊าซในอุดมคติและอนุภาคในกล่องเป็นเพียงตัวอย่างแบบจำลองง่ายๆ ที่ใช้ในวิชาฟิสิกส์ กฎของฟิสิกส์แสดงด้วยสมการง่ายๆ เช่น กฎของนิวตันสมการของแม็กซ์เวลล์และสมการของชโรดิงเกอร์กฎเหล่านี้เป็นพื้นฐานในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของสถานการณ์จริง สถานการณ์จริงหลายอย่างมีความซับซ้อนมาก ดังนั้นจึงต้องสร้างแบบจำลองโดยประมาณบนคอมพิวเตอร์ แบบจำลองที่สามารถคำนวณได้นั้นสร้างขึ้นจากกฎพื้นฐานหรือจากแบบจำลองโดยประมาณที่สร้างจากกฎพื้นฐาน ตัวอย่างเช่น โมเลกุลสามารถสร้างแบบจำลองได้ด้วย แบบจำลอง วงโคจรโมเลกุลซึ่งเป็นคำตอบโดยประมาณของสมการชโรดิงเกอร์ ในด้านวิศวกรรมแบบจำลองทางฟิสิกส์มักสร้างขึ้นโดยวิธีการทางคณิตศาสตร์ เช่นการ วิเคราะห์องค์ประกอบจำกัด

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันใช้เรขาคณิตที่แตกต่างกัน ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นคำอธิบายที่ถูกต้องของเรขาคณิตของจักรวาลเรขาคณิตแบบยุคลิดถูกนำมาใช้มากในฟิสิกส์คลาสสิก ในขณะที่ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษและทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเป็นตัวอย่างของทฤษฎีที่ใช้เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด^{[ 11 ]}

แบบจำลองการคำนวณคือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ใน การจำลอง ระบบทางกายภาพด้วยคอมพิวเตอร์^{[ 12 ]}

บ่อยครั้งที่วิศวกรใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในการวิเคราะห์ระบบที่จะควบคุมหรือปรับให้เหมาะสม ในการวิเคราะห์ วิศวกรสามารถสร้างแบบจำลองเชิงพรรณนาของระบบเพื่อเป็นสมมติฐานว่าระบบอาจทำงานอย่างไร หรือพยายามประเมินว่าเหตุการณ์ที่ไม่คาดฝันอาจส่งผลกระทบต่อระบบอย่างไร ในทำนองเดียวกัน ในการควบคุมระบบ วิศวกรสามารถทดลองใช้แนวทางการควบคุมที่แตกต่างกันในการจำลองได้

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์โดยทั่วไปจะอธิบายระบบด้วยชุดตัวแปรและชุดสมการที่สร้างความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรเหล่านั้น ตัวแปรอาจมีหลายประเภท เช่นจำนวนจริงหรือจำนวนเต็มค่าบูลีน หรือ สตริงเป็นต้น ตัวแปรเหล่านี้แสดงถึงคุณสมบัติบางอย่างของระบบ ตัวอย่างเช่น ผลลัพธ์ที่วัดได้ของระบบ ซึ่งมักอยู่ในรูปของสัญญาณข้อมูลเวลา ตัวนับ และการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ แบบจำลองที่แท้จริงคือชุดฟังก์ชันที่อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรต่างๆ

• หนึ่งในตัวอย่างยอดนิยมในวิทยาการคอมพิวเตอร์คือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเครื่องจักรต่างๆ ตัวอย่างเช่นเครื่องจักรสถานะจำกัดเชิงกำหนด (Deterministic Finite Automaton: DFA) ซึ่งถูกนิยามว่าเป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์เชิงนามธรรม แต่เนื่องจากลักษณะเชิงกำหนดของ DFA ทำให้สามารถนำไปใช้ในฮาร์ดแวร์และซอฟต์แวร์เพื่อแก้ปัญหาเฉพาะต่างๆ ได้ ตัวอย่างเช่น ต่อไปนี้คือ DFA M ที่มีตัวอักษรไบนารี ซึ่งกำหนดให้ข้อมูลนำเข้าต้องมีจำนวน 0 เป็นเลขคู่:

${\displaystyle M=(Q,\Sigma ,\delta ,q_{0},F)}$ที่ไหน

• ${\displaystyle Q=\{S_{1},S_{2}\},}$
• ${\displaystyle \Sigma =\{0,1\},}$
• ${\displaystyle q_{0}=S_{1},}$
• ${\displaystyle F=\{S_{1}\},}$และ
• ${\displaystyle \delta }$ถูกกำหนดโดยตารางการเปลี่ยนสถานะ ต่อไปนี้ :

	0	1
เอส1	${\displaystyle S_{2}}$	${\displaystyle S_{1}}$
เอส2	${\displaystyle S_{1}}$	${\displaystyle S_{2}}$

สถานะ `false` แสดงว่ามีจำนวนเลข 0 ในอินพุตเป็นเลขคู่ ในขณะที่ `false` หมายถึงจำนวนเลข 0 เป็นเลขคี่ เลข 1 ในอินพุตจะไม่เปลี่ยนแปลงสถานะของออโตมาตอน เมื่ออินพุตสิ้นสุดลง สถานะจะแสดงว่าอินพุตมีจำนวนเลข 0 เป็นเลขคู่หรือไม่ ถ้าอินพุตมีจำนวนเลข 0 เป็นเลขคู่ออโตมาตอนจะสิ้นสุดในสถานะยอมรับ ดังนั้นสตริงอินพุตจะถูกยอมรับ${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle S_{1},}$

ภาษาที่รู้จักคือภาษาปกติที่กำหนดโดยนิพจน์ปกติ 1*( 0 (1*) 0 (1*) )* โดยที่ "*" คือเครื่องหมายดาว Kleeneเช่น 1* หมายถึงจำนวนที่ไม่เป็นลบใดๆ (อาจเป็นศูนย์) ของสัญลักษณ์ "1"${\displaystyle M}$

• กิจกรรมในชีวิตประจำวันหลายอย่างที่ทำโดยไม่ต้องคิดล้วนเป็นการใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์การฉายภาพแผนที่ทาง ภูมิศาสตร์ ของภูมิภาคหนึ่งของโลกไปยังพื้นผิวระนาบขนาดเล็กเป็นแบบจำลองที่สามารถนำไปใช้เพื่อวัตถุประสงค์หลายอย่าง เช่น การวางแผนการเดินทาง^{[ 13 ]}
• กิจกรรมง่ายๆ อีกอย่างหนึ่งคือการคาดการณ์ตำแหน่งของยานพาหนะจากตำแหน่งเริ่มต้น ทิศทาง และความเร็วในการเดินทาง โดยใช้สมการที่ว่าระยะทางที่เดินทางเป็นผลคูณของเวลาและความเร็ว ซึ่งในที่นี้เรียกว่าการคำนวณตำแหน่งโดยประมาณ (dead reckoning ) อย่างเป็นทางการ การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในลักษณะนี้ไม่จำเป็นต้องใช้คณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการเสมอไป มีการแสดงให้เห็นแล้วว่าสัตว์ก็ใช้การคำนวณตำแหน่งโดยประมาณเช่นกัน^{[ 14 ] [ 15 ]}
• การเพิ่มขึ้นของประชากรแบบจำลองการเพิ่มขึ้นของประชากรอย่างง่าย (แต่เป็นการประมาณ) คือแบบจำลองการเติบโตของมัลทัส แบบจำลองการเพิ่มขึ้นของประชากรที่สมจริงกว่าเล็กน้อยและใช้กันอย่างแพร่หลายคือฟังก์ชันโลจิสติกและส่วนขยายของฟังก์ชันนี้
• แบบจำลองของอนุภาคในสนามศักย์ในแบบจำลองนี้ เราพิจารณาอนุภาคว่าเป็นจุดมวลที่เคลื่อนที่ตามวิถีในอวกาศ ซึ่งจำลองโดยฟังก์ชันที่แสดงพิกัดในอวกาศเป็นฟังก์ชันของเวลา สนามศักย์กำหนดโดยฟังก์ชันและวิถีการเคลื่อนที่ ซึ่งก็คือฟังก์ชันนั้นเป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์: ซึ่งสามารถเขียนได้อีกแบบว่า${\displaystyle V\!:\mathbb {R} ^{3}\!\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbf {r} \!:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{3},}$$${\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t^{2}}}m={\frac {\partial V[\mathbf {r} (t)]}{\partial x}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {\partial V[\mathbf {r} (t)]}{\partial y}}\mathbf {\hat {y}} +{\frac {\partial V[\mathbf {r} (t)]}{\partial z}}\mathbf {\hat {z}} ,}$$$${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\nabla V[\mathbf {r} (t)].}$$

โปรดทราบว่าแบบจำลองนี้ถือว่าอนุภาคเป็นมวลจุด ซึ่งเป็นที่ทราบกันดีว่าไม่ถูกต้องในหลายกรณีที่เราใช้แบบจำลองนี้ ตัวอย่างเช่น ในฐานะแบบจำลองการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์

• แบบจำลองพฤติกรรมที่มีเหตุผลของผู้บริโภคในแบบจำลองนี้ เราสมมติว่าผู้บริโภคเผชิญกับทางเลือกของสินค้าที่แต่ละชนิดมีราคาตลาดผู้บริโภคมีฟังก์ชันอรรถประโยชน์แบบลำดับ (ลำดับในที่นี้หมายความว่าเฉพาะเครื่องหมายของความแตกต่างระหว่างอรรถประโยชน์สองค่าเท่านั้นที่มีความหมาย ไม่ใช่ระดับของอรรถประโยชน์แต่ละค่า) ขึ้นอยู่กับปริมาณสินค้าที่บริโภค แบบจำลองนี้ยังสมมติเพิ่มเติมว่าผู้บริโภคมีงบประมาณที่ใช้ในการซื้อสินค้าในลักษณะที่จะทำให้ได้ผลลัพธ์สูงสุด ปัญหาของพฤติกรรมที่มีเหตุผลในแบบจำลองนี้จึงกลายเป็นปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดทางคณิตศาสตร์กล่าวคือภายใต้เงื่อนไขต่อไป นี้: แบบจำลองนี้ถูกนำไปใช้ในบริบททางเศรษฐศาสตร์ที่หลากหลาย เช่น ในทฤษฎีสมดุลทั่วไปเพื่อแสดงให้เห็นถึงการมีอยู่และประสิทธิภาพแบบพาเรโตของสมดุลทางเศรษฐกิจ${\displaystyle n}$${\displaystyle 1,2,\dots ,n}$${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}.}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle U(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}$$${\displaystyle \max \,U(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}\leq M,}$$$${\displaystyle x_{i}\geq 0\;\;\;{\text{ for all }}i=1,2,\dots ,n.}$$
• แบบจำลองการรับรู้เพื่อนบ้านเป็นแบบจำลองที่อธิบาย การก่อตัว ของเห็ดจากเครือข่ายเชื้อรา ที่ไร้ระเบียบในตอนเริ่มต้น
• ใน สาขา วิทยาการคอมพิวเตอร์แบบจำลองทางคณิตศาสตร์อาจถูกนำมาใช้เพื่อจำลองเครือข่ายคอมพิวเตอร์
• ในทางกลศาสตร์แบบจำลองทางคณิตศาสตร์อาจถูกนำมาใช้ในการวิเคราะห์การเคลื่อนที่ของแบบจำลองจรวด

• อาริส, รัทเธอร์ฟอร์ด [ 1978 ] ( 1994 ). เทคนิคการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์นิวยอร์ก: โดเวอร์ISBN 0-486-68131-9
• Bender, EA [ 1978 ] ( 2000 ). An Introduction to Mathematical Modeling , New York: Dover. ISBN 0-486-41180-X
• แกรี่ ชาร์ทรานด์ (1977) กราฟในฐานะแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ สำนักพิมพ์ Prindle, Webber & Schmidt ISBN 0871502364
• Dubois, G. (2018) "การสร้างแบบจำลองและการจำลอง" , Taylor & Francis, CRC Press.
• เกอร์เชนเฟลด์, เอ็น. (1998) ธรรมชาติของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ISBN 0-521-57095-6.
• Lin, CC & Segel, LA (1988). คณิตศาสตร์ประยุกต์สำหรับปัญหาเชิงกำหนดในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ , ฟิลาเดลเฟีย: SIAM. ISBN 0-89871-229-7
• แบบจำลองในฐานะตัวกลาง: มุมมองเกี่ยวกับวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและสังคมเรียบเรียงโดย Mary S. Morganและ Margaret Morrison, 1999 ^{[ 1 ]}

• Mary S. Morgan โลกในแบบจำลอง: นักเศรษฐศาสตร์ทำงานและคิดอย่างไร 2012 ^{[ 2 ]}

• Papadimitriou, Fivos. (2010). การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบเชิงพื้นที่และนิเวศวิทยาที่ซับซ้อน: การประเมินผล ภูมิศาสตร์ สิ่งแวดล้อม ความยั่งยืน 1(3), 67–80. doi : 10.24057/2071-9388-2010-3-1-67-80
• Peierls, R. (1980). "การสร้างแบบจำลองในฟิสิกส์". ฟิสิกส์ร่วมสมัย . 21 : 3– 17. Bibcode : 1980ConPh..21....3P . doi : 10.1080/00107518008210938 .
• บทความเรื่อง "An Introduction to Infectious Disease Modelling" ถูกเก็บถาวรไว้เมื่อวันที่ 22 กุมภาพันธ์ 2016 ในWayback Machineโดย Emilia Vynnycky และ Richard G White

ข้อมูลอ้างอิงทั่วไป

• Patrone, F. บทนำสู่การสร้างแบบจำลองโดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์พร้อมข้อสังเกตเชิงวิจารณ์
• ชุดสื่อการสอนสำหรับครูและนักเรียน: การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์รวบรวมบทความทั้งหมดเกี่ยวกับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์จากนิตยสาร Plusซึ่งเป็นนิตยสารคณิตศาสตร์ออนไลน์ที่จัดทำโดยโครงการ Millennium Mathematics Project แห่งมหาวิทยาลัยเคมบริดจ์

ปรัชญา

• Frigg, R. และ S. Hartmann, แบบจำลองในวิทยาศาสตร์ใน: สารานุกรมปรัชญาแห่งสแตนฟอร์ด (ฉบับฤดูใบไม้ผลิ ปี 2549)
• Griffiths, EC (2010) แบบจำลองคืออะไร?