ในทางเศรษฐศาสตร์ฟังก์ชันอรรถประโยชน์เชิงลำดับคือฟังก์ชันที่แสดงถึงความชอบของผู้บริโภคในระดับลำดับทฤษฎีอรรถประโยชน์เชิงลำดับกล่าวว่า การถามว่าตัวเลือกใดดีกว่าอีกตัวเลือกหนึ่งนั้นมีความหมาย แต่การถามว่า ดีกว่า มากแค่ไหนหรือดีแค่ไหนนั้นไม่มีความหมาย ทฤษฎีทั้งหมดเกี่ยวกับการตัดสินใจของผู้บริโภคภายใต้เงื่อนไขที่แน่นอนสามารถแสดงได้ และโดยทั่วไปก็แสดงออกมาในรูปของฟังก์ชันอรรถประโยชน์เชิงลำดับ

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าจอร์จบอกเราว่า "ผมชอบ A มากกว่า B และชอบ B มากกว่า C" ความชอบของจอร์จสามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชันuดังนี้:

${\displaystyle u(A)=9,u(B)=8,u(C)=1}$

แต่ผู้ที่วิพากษ์วิจารณ์ฟังก์ชันอรรถประโยชน์เชิงปริมาณอ้างว่า ข้อความที่มีความหมายเพียงอย่างเดียวของฟังก์ชันนี้คือลำดับตัวเลขจริงนั้นไม่มีความหมาย ดังนั้น ความชอบของจอร์จจึงสามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชันv ต่อไปนี้ : ${\displaystyle u(A)>u(B)>u(C)}$

${\displaystyle v(A)=9,v(B)=2,v(C)=1}$

ฟังก์ชันuและvมีความเท่าเทียมกันในเชิงลำดับ กล่าวคือ ฟังก์ชันทั้งสองแสดงถึงความชอบของจอร์จได้ดีเท่ากัน

อรรถประโยชน์เชิงลำดับแตกต่างจาก ทฤษฎี อรรถประโยชน์เชิงปริมาณ : ทฤษฎีหลังถือว่าความแตกต่างระหว่างความชอบก็มีความสำคัญเช่นกัน ในกรณีuความแตกต่างระหว่าง A และ B น้อยกว่าความแตกต่างระหว่าง B และ C มาก ในขณะที่ในกรณี vกลับตรงกันข้าม ดังนั้นuและvจึงไม่เท่ากันในเชิงปริมาณ

แนวคิดยูทิลิตี้เชิงลำดับได้รับการนำเสนอครั้งแรกโดยพาเรโตในปี พ.ศ. 2449 ^{[ 1 ]}

สมมติว่าเซตของสถานะทั้งหมดของโลกคือและตัวแทนมีความสัมพันธ์ความชอบบนเซตนั้นโดยทั่วไปแล้ว เรามักจะใช้สัญลักษณ์ แทนความสัมพันธ์ความชอบแบบอ่อนเพื่อให้ หมายความว่า "ตัวแทนต้องการ B อย่างน้อยเท่ากับ A" ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \preceq }$${\displaystyle A\preceq B}$

สัญลักษณ์นี้ใช้เป็นคำย่อสำหรับความสัมพันธ์แบบไม่แยแส: ซึ่งอ่านว่า "ตัวแทนไม่แยแสระหว่าง B และ A" ${\displaystyle \sim }$${\displaystyle A\sim B\iff (A\preceq B\land B\preceq A)}$

สัญลักษณ์นี้ใช้เป็นตัวย่อสำหรับความสัมพันธ์ความชอบที่เข้มงวด: ถ้า: ${\displaystyle \prec }$${\displaystyle A\prec B\iff (A\preceq B\land B\not \preceq A)}$

${\displaystyle A\preceq B\iff u(A)\leq u(B)}$

แทนที่จะกำหนดฟังก์ชันเชิงตัวเลข ความสัมพันธ์ของความชอบของผู้บริโภคสามารถแสดงได้ด้วยกราฟเส้นความไม่แตกต่าง วิธีนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อมีสินค้าสองชนิด คือxและyโดยแต่ละเส้นความไม่แตกต่างจะแสดงชุดของจุดต่างๆโดยที่ถ้า x และ y อยู่บนเส้นเดียวกันแล้ว x = y = y ${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$${\displaystyle (x_{1},y_{1})\sim (x_{2},y_{2})}$

เส้นความไม่แตกต่างตัวอย่างแสดงไว้ด้านล่างนี้:

เส้นความไม่แตกต่างแต่ละเส้นประกอบด้วยชุดของจุด ซึ่งแต่ละจุดแสดงถึงปริมาณสินค้าหรือบริการสองอย่างที่แตกต่างกัน โดยที่ผู้บริโภคมีความพึงพอใจเท่ากันในทุกปริมาณ ยิ่งเส้นอยู่ห่างจากจุดกำเนิดมากเท่าใด ระดับความพึงพอใจก็จะยิ่งสูงขึ้นเท่านั้น

ความชันของเส้นโค้ง (ค่าลบของอัตราการทดแทนส่วนเพิ่มของสินค้า X ต่อสินค้า Y) ณ จุดใด ๆ แสดงถึงอัตราที่แต่ละบุคคลยินดีที่จะแลกเปลี่ยนสินค้า X กับสินค้า Y โดยรักษาระดับอรรถประโยชน์เท่าเดิม เส้นโค้งจะมีลักษณะนูนเข้าหาจุดกำเนิดดังที่แสดงไว้ โดยสมมติว่าผู้บริโภคมีอัตราการทดแทนส่วนเพิ่มที่ลดลง สามารถแสดงได้ว่าการวิเคราะห์ผู้บริโภคด้วยเส้นความไม่แตกต่าง (แนวทางเชิงลำดับ) ให้ผลลัพธ์เช่นเดียวกับการวิเคราะห์โดยใช้ ทฤษฎี อรรถประโยชน์เชิงปริมาณ กล่าวคือ ผู้บริโภคจะบริโภค ณ จุดที่อัตราการทดแทนส่วนเพิ่มระหว่างสินค้าสองชนิดใด ๆ เท่ากับอัตราส่วนของราคาสินค้าเหล่านั้น (หลักการสมดุลส่วนเพิ่ม)

ทฤษฎีการแสดงความชอบที่เปิดเผยกล่าวถึงปัญหาของการสังเกตความสัมพันธ์ของลำดับความชอบในโลกแห่งความเป็นจริง ความท้าทายของทฤษฎีการแสดงความชอบที่เปิดเผยนั้นส่วนหนึ่งอยู่ที่การกำหนดว่าสินค้าชุดใดที่ถูกละทิ้งไป โดยพิจารณาจากความชอบที่น้อยกว่า เมื่อสังเกตบุคคลเลือกสินค้าชุดใดชุดหนึ่ง^{[ 2 ] [ 3 ]}

จำเป็นต้อง มีเงื่อนไขบางประการเพื่อรับประกันการมีอยู่ของฟังก์ชันที่ใช้แทน: ${\displaystyle \preceq }$

• คุณสมบัติการถ่ายทอด : ถ้าและแล้ว${\displaystyle A\preceq B}$${\displaystyle B\preceq C}$${\displaystyle A\preceq C}$
• ความสมบูรณ์: สำหรับทุกชุดข้อมูล: อย่างใดอย่างหนึ่งหรือทั้งสองอย่าง ${\displaystyle A,B\in X}$${\displaystyle A\preceq B}$${\displaystyle B\preceq A}$
  • ความสมบูรณ์ยังหมายถึงการสะท้อนกลับด้วย: สำหรับทุกๆ: .${\displaystyle A\in X}$${\displaystyle A\preceq A}$

เมื่อตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้และเซตมีจำนวนจำกัด การสร้างฟังก์ชันที่แสดงถึงโดยการกำหนดตัวเลขที่เหมาะสมให้กับแต่ละองค์ประกอบของ นั้น ทำได้ง่าย ดังที่ยกตัวอย่างไว้ในย่อหน้าแรก เช่นเดียวกันนี้ก็เป็นจริงเมื่อ X เป็นอนันต์ที่นับได้ ยิ่งไปกว่านั้น ยังสามารถสร้างฟังก์ชันอรรถประโยชน์ที่แสดงถึงค่าในช่วงได้โดยการอุปนัย^{[ 4 ​​]}${\displaystyle X}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \prec }$${\displaystyle X}$${\displaystyle (-1,1)}$

เมื่อเป็นอนันต์ เงื่อนไขเหล่านี้ไม่เพียงพอ ตัวอย่างเช่นความชอบตามลำดับตัวอักษรเป็นแบบถ่ายทอดและสมบูรณ์ แต่ไม่สามารถแสดงด้วยฟังก์ชันอรรถประโยชน์ใดๆ ได้^{[ 4 ]}เงื่อนไขเพิ่มเติมที่จำเป็นคือความต่อเนื่อง ${\displaystyle X}$

ความสัมพันธ์เชิงความชอบเรียกว่าต่อเนื่องถ้าเมื่อใดก็ตามที่ B ถูกเลือกมากกว่า A การเบี่ยงเบนเล็กน้อยจาก B หรือ A จะไม่ทำให้ลำดับระหว่างทั้งสองเปลี่ยนแปลงไป ในทางทฤษฎี ความสัมพันธ์เชิงความชอบบนเซต X เรียกว่าต่อเนื่องก็ต่อเมื่อเป็นไปตามเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:

1. สำหรับทุกค่าเซตนั้นจะถูกปิดใน เชิงทอพอโลยี ด้วยทอพอโลยีผลคูณ (นิยามนี้ต้องการให้ เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี )${\displaystyle A\in X}$${\displaystyle \{(A,B)|A\preceq B\}}$${\displaystyle X\times X}$${\displaystyle X}$
2. สำหรับลำดับทุกลำดับถ้าสำหรับทุกiและและแล้ว${\displaystyle (A_{i},B_{i})}$${\displaystyle A_{i}\preceq B_{i}}$${\displaystyle A_{i}\to A}$${\displaystyle B_{i}\to B}$${\displaystyle A\preceq B}$
3. สำหรับทุกค่า ที่ทำให้จะมีทรงกลมรอบและทรงกลมรอบ อยู่ โดยที่สำหรับทุกค่าในทรงกลมรอบและทุกค่าในทรงกลมรอบ( นิยามนี้ต้องการให้ เป็นปริภูมิเมตริก )${\displaystyle A,B\in X}$${\displaystyle A\prec B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$${\displaystyle b}$${\displaystyle B}$${\displaystyle a\prec b}$${\displaystyle X}$

ถ้าความสัมพันธ์ของความชอบแสดงด้วยฟังก์ชันอรรถประโยชน์แบบต่อเนื่อง แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นต่อเนื่องอย่างชัดเจน ตามทฤษฎีบทของเดอบรู (1954)ข้อความตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน:

ความสัมพันธ์ความชอบที่สมบูรณ์แบบต่อเนื่องทุกรูปแบบสามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชันอรรถประโยชน์เชิงลำดับต่อเนื่อง

โปรดทราบว่าลำดับความชอบตามพจนานุกรมไม่ได้ต่อเนื่องกัน ตัวอย่างเช่นแต่ในทุกทรงกลมรอบ (5,1) จะมีจุดที่มีและจุดเหล่านี้ด้อยกว่าซึ่งสอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่กล่าวไว้ข้างต้นว่า ลำดับความชอบเหล่านี้ไม่สามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชันอรรถประโยชน์ ${\displaystyle (5,0)\prec (5,1)}$${\displaystyle x<5}$${\displaystyle (5,0)}$

สำหรับฟังก์ชันอรรถประโยชน์v ทุกฟังก์ชัน จะมีความสัมพันธ์ความชอบที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียวซึ่งแทนด้วยvอย่างไรก็ตาม สิ่งที่ตรงกันข้ามนั้นไม่เป็นความจริง: ความสัมพันธ์ความชอบอาจถูกแทนด้วยฟังก์ชันอรรถประโยชน์ที่แตกต่างกันได้หลายฟังก์ชัน ความชอบเดียวกันสามารถแสดงได้ด้วย ฟังก์ชันอรรถประโยชน์ ใดๆ ก็ได้ที่เป็นการแปลงv ที่เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง ตัวอย่างเช่น ถ้า

${\displaystyle v(A)\equiv f(v(A))}$

ในกรณีที่ ฟังก์ชัน ใด ๆเป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง ฟังก์ชันvและvจะทำให้เกิดการแมปเส้นความไม่แตกต่างที่เหมือนกัน ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

ความเท่าเทียมกันนี้สามารถอธิบายได้อย่างกระชับดังนี้:

ฟังก์ชันอรรถประโยชน์เชิงลำดับนั้นมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงการแปลงแบบโมโนโทนที่เพิ่มขึ้น

ในทางตรงกันข้าม ฟังก์ชัน อรรถประโยชน์เชิงคาร์ดินัลจะมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงการแปลงเชิงเส้นแบบ เพิ่มขึ้น การแปลงเชิงเส้นทุกแบบเป็นการแปลงแบบโมโนโทน ดังนั้น หากฟังก์ชันสองฟังก์ชันสมมูลกันในเชิงคาร์ดินัล ฟังก์ชันทั้งสองก็จะสมมูลกันในเชิงลำดับด้วย แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นเช่นนั้น

สมมติว่าต่อจากนี้ไป เซตคือเซตของเวกเตอร์สองมิติที่เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบทั้งหมด ดังนั้น สมาชิกของคือคู่ที่แสดงถึงปริมาณที่บริโภคจากผลิตภัณฑ์สองชนิด เช่น แอปเปิลและกล้วย ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (x,y)}$

ดังนั้น ภายใต้สถานการณ์บางอย่าง ความสัมพันธ์ด้านความชอบจะถูกแสดงด้วยฟังก์ชันอรรถประโยชน์ ${\displaystyle \preceq }$${\displaystyle v(x,y)}$

สมมติว่าความสัมพันธ์ของความชอบเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องซึ่งหมายความว่า "ยิ่งมากยิ่งดีเสมอ":

${\displaystyle x<x'\implies (x,y)\prec (x',y)}$

${\displaystyle y<y'\implies (x,y)\prec (x,y')}$

ดังนั้น อนุพันธ์ย่อยทั้งสองของv (ถ้ามี) จะเป็นค่าบวก กล่าวโดยสรุป:

ถ้าฟังก์ชันอรรถประโยชน์แสดงถึงความสัมพันธ์ของความชอบที่เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง ฟังก์ชันอรรถประโยชน์นั้นก็จะเป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องเช่นกัน

สมมติว่าบุคคลหนึ่งมีสินค้าชุดหนึ่งและอ้างว่าเขาไม่แตกต่างกันระหว่างสินค้าชุดนี้กับสินค้าชุดอื่นซึ่งหมายความว่าเขายินดีที่จะให้หน่วยของ x เพื่อให้ได้หน่วยของ y หากอัตราส่วนนี้คงที่เราจะกล่าวว่าคืออัตราการทดแทนส่วนเพิ่ม (MRS)ระหว่างxและyณจุด^{[ 5 ] : 82} ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle (x_{0}-\lambda \cdot \delta ,y_{0}+\delta )}$${\displaystyle \lambda \cdot \delta }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta \to 0}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

นิยามของ MRS นี้อิงตามความสัมพันธ์ลำดับความชอบเท่านั้น ไม่ได้ขึ้นอยู่กับฟังก์ชันอรรถประโยชน์เชิงตัวเลข หากความสัมพันธ์ความชอบแสดงด้วยฟังก์ชันอรรถประโยชน์และฟังก์ชันนั้นสามารถหาอนุพันธ์ได้ MRS ก็สามารถคำนวณได้จากอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้น:

${\displaystyle MRS={\frac {v'_{x}}{v'_{y}}}.}$

ตัวอย่างเช่น ถ้าความสัมพันธ์ของความชอบแสดงด้วยแล้วค่า MRS จะเหมือนกันสำหรับฟังก์ชันนี่ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ เพราะฟังก์ชันทั้งสองนี้แสดงถึงความสัมพันธ์ของความชอบเดียวกัน – แต่ละฟังก์ชันเป็นการแปลงแบบโมโนโทนที่เพิ่มขึ้นของอีกฟังก์ชันหนึ่ง ${\displaystyle v(x,y)=x^{a}\cdot y^{b}}$${\displaystyle MRS={\frac {a\cdot x^{a-1}\cdot y^{b}}{b\cdot y^{b-1}\cdot x^{a}}}={\frac {ay}{bx}}}$${\displaystyle v(x,y)=a\cdot \log {x}+b\cdot \log {y}}$

โดยทั่วไป ค่า MRS อาจแตกต่างกันในแต่ละจุดตัวอย่างเช่น เป็นไปได้ว่าค่า MRS ต่ำในบางจุด เนื่องจากบุคคลนั้นมี xจำนวนมาก และมี yเพียงอย่างเดียวแต่ในบางจุดค่า MRS อาจสูงขึ้น กรณีพิเศษบางกรณีจะอธิบายไว้ด้านล่าง ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle (9,1)}$${\displaystyle (9,9)}$${\displaystyle (1,1)}$

เมื่ออัตราการทดแทนส่วนเพิ่ม (MRS) ของความสัมพันธ์ความชอบบางอย่างไม่ขึ้นอยู่กับชุดสินค้า กล่าวคือ MRS เท่ากันสำหรับทุกชุดสินค้า เส้นความไม่แตกต่างจะเป็นเส้นตรงและมีรูปแบบดังนี้: ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

${\displaystyle x+\lambda y={\text{const}},}$

และความสัมพันธ์ของความชอบสามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชันเชิงเส้น:

${\displaystyle v(x,y)=x+\lambda y.}$

(แน่นอนว่าความสัมพันธ์เดียวกันนี้สามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชันที่ไม่เป็นเชิงเส้นอื่นๆ อีกมากมาย เช่นหรือแต่ฟังก์ชันเชิงเส้นนั้นง่ายที่สุด) ^{[ 5 ] : 85} ${\displaystyle {\sqrt {x+\lambda y}}}$${\displaystyle (x+\lambda y)^{2}}$

เมื่อ MRS ขึ้นอยู่กับแต่ไม่ขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ของความชอบสามารถแสดงได้ด้วย ฟังก์ชัน อรรถประโยชน์กึ่งเชิงเส้นในรูปแบบ ${\displaystyle y_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle v(x,y)=x+\gamma v_{Y}(y)}$

โดยที่เป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง เนื่องจาก MRS เป็นฟังก์ชันฟังก์ชันที่เป็นไปได้สามารถคำนวณได้เป็นอินทิกรัลของ: ^{[ 6 ] [ 5 ] : 87} ${\displaystyle v_{Y}}$${\displaystyle \lambda (y)}$${\displaystyle v_{Y}}$${\displaystyle \lambda (y)}$

${\displaystyle v_{Y}(y)=\int _{0}^{y}{\lambda (y')dy'}}$

ในกรณีนี้ เส้นความไม่แตกต่างทั้งหมดขนานกัน – กล่าวคือ เป็นเส้นที่ถ่ายโอนกันในแนวนอน

ฟังก์ชันอรรถประโยชน์ประเภททั่วไปอีกประเภทหนึ่งคือฟังก์ชันบวก :

${\displaystyle v(x,y)=v_{X}(x)+v_{Y}(y)}$

มีหลายวิธีในการตรวจสอบว่าความชอบที่กำหนดนั้นสามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชัน อรรถประโยชน์แบบบวก หรือไม่

หากความชอบสามารถบวกกันได้ การคำนวณทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายจะแสดงให้เห็นว่า

${\displaystyle (x_{1},y_{1})\succeq (x_{2},y_{2})}$และ

${\displaystyle (x_{2},y_{3})\succeq (x_{3},y_{1})}$หมายความว่า

${\displaystyle (x_{1},y_{3})\succeq (x_{3},y_{2})}$

ดังนั้น คุณสมบัติ "การหักล้างสองครั้ง" นี้จึงเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการบวก

Debreu (1960)แสดงให้เห็นว่าคุณสมบัตินี้ก็เพียงพอเช่นกัน กล่าวคือ หากความสัมพันธ์ความชอบเป็นไปตามคุณสมบัติการหักล้างสองครั้ง ก็สามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชันอรรถประโยชน์แบบบวก^{[ 7 ]}

หากแสดงค่าความชอบด้วยฟังก์ชันการบวก การคำนวณทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายจะแสดงให้เห็นว่า

${\displaystyle MRS(x_{2},y_{2})={\frac {MRS(x_{1},y_{2})\cdot MRS(x_{2},y_{1})}{MRS(x_{1},y_{1})}}}$

ดังนั้นคุณสมบัติ "การแลกเปลี่ยนที่สอดคล้องกัน" นี้จึงเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการบวก เงื่อนไขนี้ยังเพียงพออีกด้วย^{[ 8 ] [ 5 ] : 91}

เมื่อมีสินค้าสามชนิดขึ้นไป เงื่อนไขสำหรับการบวกของฟังก์ชันอรรถประโยชน์จะง่ายกว่ากรณีที่มีสินค้าสองชนิดอย่างน่าประหลาดใจ นี่เป็นผลลัพธ์จากทฤษฎีบทที่ 3 ของ Debreu (1960)เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการบวกคือความเป็นอิสระเชิงความชอบ^{[ 5 ] : 104}

กล่าวได้ว่าเซตย่อย A ของสินค้ามีความเป็นอิสระเชิงความชอบจากเซตย่อย B ของสินค้า หากความสัมพันธ์เชิงความชอบในเซตย่อย A เมื่อกำหนดค่าคงที่สำหรับเซตย่อย B แล้ว จะไม่ขึ้นอยู่กับค่าคงที่เหล่านั้น ตัวอย่างเช่น สมมติว่ามีสินค้าสามชนิด ได้แก่x, yและzเซตย่อย { x , y } มีความเป็นอิสระเชิงความชอบจากเซตย่อย { z } ถ้าสำหรับทุก: ${\displaystyle x_{i},y_{i},z,z'}$

${\displaystyle (x_{1},y_{1},z)\preceq (x_{2},y_{2},z)\iff (x_{1},y_{1},z')\preceq (x_{2},y_{2},z')}$.

ในกรณีนี้ เราสามารถกล่าวได้ง่ายๆ ว่า:

${\displaystyle (x_{1},y_{1})\preceq (x_{2},y_{2})}$สำหรับค่าz ที่คง ที่

ความเป็นอิสระเชิงความชอบนั้นสมเหตุสมผลในกรณีของสินค้าที่เป็นอิสระต่อกันตัวอย่างเช่น ความชอบระหว่างแอปเปิลและกล้วยน่าจะเป็นอิสระจากจำนวนรองเท้าและถุงเท้าที่ผู้ซื้อมี และในทางกลับกัน

ตามทฤษฎีบทของ Debreu หากสินค้าย่อยทั้งหมดเป็นอิสระจากสินค้าส่วนเติมเต็มในเชิงความชอบ ความสัมพันธ์ของความชอบสามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชันค่าบวก ที่นี่เราจะให้คำอธิบายเชิงสัญชาตญาณของผลลัพธ์นี้โดยแสดงวิธีการสร้างฟังก์ชันค่าบวกดังกล่าว^{[ 5 ]}การพิสูจน์นี้สมมติว่ามีสินค้าสามชนิด: x , y , zเราจะแสดงวิธีการกำหนดจุดสามจุดสำหรับฟังก์ชันค่าทั้งสามได้แก่ จุด 0 จุด 1 และจุด 2 จุดอื่นๆ สามารถคำนวณได้ในทำนองเดียวกัน จากนั้นสามารถใช้ความต่อเนื่องเพื่อสรุปได้ว่าฟังก์ชันเหล่านี้ได้รับการกำหนดไว้อย่างดีในช่วงทั้งหมด ${\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}}$

0 คะแนน : เลือกค่าใดก็ได้และกำหนดให้เป็นศูนย์ของฟังก์ชันค่า เช่น: ${\displaystyle x_{0},y_{0},z_{0}}$

${\displaystyle v_{x}(x_{0})=v_{y}(y_{0})=v_{z}(z_{0})=0}$

1 คะแนน : เลือกจำนวนใดๆ ก็ได้โดยที่ กำหนดให้เป็นหน่วยของค่า เช่น :${\displaystyle x_{1}>x_{0}}$${\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{0})\succ (x_{0},y_{0},z_{0})}$

${\displaystyle v_{x}(x_{1})=1}$

เลือกค่าต่างๆ โดยที่ความสัมพันธ์ของความไม่แตกต่างต่อไปนี้เป็นจริง: ${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle z_{1}}$

${\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{0})\sim (x_{0},y_{1},z_{0})\sim (x_{0},y_{0},z_{1})}$.

ความไม่แยแสนี้ช่วยปรับขนาดหน่วยของyและzให้ตรงกับหน่วยของxค่าในสามจุดนี้ควรเป็น 1 ดังนั้นเราจึงกำหนดค่าเป็น 1

${\displaystyle v_{y}(y_{1})=v_{z}(z_{1})=1}$

2 คะแนน : ตอนนี้เราใช้สมมติฐานความเป็นอิสระเชิงลำดับความสำคัญ ความสัมพันธ์ระหว่างและเป็นอิสระจากzและในทำนองเดียวกัน ความสัมพันธ์ระหว่างและเป็นอิสระจากxและความสัมพันธ์ระหว่างและเป็นอิสระจากyดังนั้น ${\displaystyle (x_{1},y_{0})}$${\displaystyle (x_{0},y_{1})}$${\displaystyle (y_{1},z_{0})}$${\displaystyle (y_{0},z_{1})}$${\displaystyle (z_{1},x_{0})}$${\displaystyle (z_{0},x_{1})}$

${\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{1})\sim (x_{0},y_{1},z_{1})\sim (x_{1},y_{1},z_{0}).}$

สิ่งนี้มีประโยชน์เพราะหมายความว่าฟังก์ชันvสามารถมีค่าเดียวกันคือ 2 ในสามจุดนี้ เลือกให้เป็นไปตามเงื่อนไขดังกล่าว ${\displaystyle x_{2},y_{2},z_{2}}$

${\displaystyle (x_{2},y_{0},z_{0})\sim (x_{0},y_{2},z_{0})\sim (x_{0},y_{0},z_{2})\sim (x_{1},y_{1},z_{0})}$

และมอบหมาย

${\displaystyle v_{x}(x_{2})=v_{y}(y_{2})=v_{z}(z_{2})=2.}$

3 คะแนน : เพื่อแสดงว่าการกำหนดค่าของเราจนถึงตอนนี้มีความสอดคล้องกัน เราต้องแสดงว่าคะแนนทั้งหมดที่ได้รับค่ารวมเท่ากับ 3 เป็นคะแนนที่ไม่แตกต่างกัน ในที่นี้ เราใช้สมมติฐานความเป็นอิสระแบบเลือกปฏิบัติอีกครั้ง เนื่องจากความสัมพันธ์ระหว่างและเป็นอิสระจากz (และในทำนองเดียวกันสำหรับคู่อื่นๆ) ดังนั้น ${\displaystyle (x_{2},y_{0})}$${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$

${\displaystyle (x_{2},y_{0},z_{1})\sim (x_{1},y_{1},z_{1})}$

และเช่นเดียวกันสำหรับคู่อื่นๆ ดังนั้น จุด 3 จุดจึงถูกกำหนดอย่างสอดคล้องกัน

เราสามารถดำเนินการต่อในลักษณะนี้โดยใช้การอุปมาน และกำหนดฟังก์ชันต่อสินค้าในทุกจุดจำนวนเต็ม จากนั้นใช้ความต่อเนื่องเพื่อกำหนดฟังก์ชันนั้นในทุกจุดจำนวนจริง

ข้อสมมติโดยนัยในข้อ 1 ของการพิสูจน์ข้างต้นคือสินค้าทั้งสามชนิดเป็นสินค้าจำเป็นหรือเกี่ยวข้องกับความชอบ^{[ 7 ] : 7} ซึ่งหมายความว่ามีชุดสินค้าอยู่ชุดหนึ่งซึ่งหากปริมาณของสินค้าบางอย่างเพิ่มขึ้น ชุดสินค้าใหม่จะดีกว่าอย่างเห็นได้ชัด

การพิสูจน์สำหรับสินค้ามากกว่า 3 รายการก็คล้ายกัน ในความเป็นจริง เราไม่จำเป็นต้องตรวจสอบว่าเซตย่อยทั้งหมดของจุดเป็นอิสระต่อกันโดยชอบ ก็เพียงพอที่จะตรวจสอบจำนวนคู่ของสินค้าเชิงเส้น เช่น หากมีสินค้าที่แตกต่างกันก็เพียงพอที่จะตรวจสอบว่าสำหรับทุกสินค้าสองรายการนั้นเป็นอิสระต่อกันโดยชอบจากสินค้า อื่น ๆ ^{[ 5 ] : 115} ${\displaystyle m}$${\displaystyle j=1,...,m}$${\displaystyle j=1,...,m-1}$${\displaystyle \{x_{j},x_{j+1}\}}$${\displaystyle m-2}$

ความสัมพันธ์ความชอบแบบบวกสามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชันอรรถประโยชน์แบบบวกที่แตกต่างกันมากมาย อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันเหล่านี้ทั้งหมดมีความคล้ายคลึงกัน กล่าวคือ ไม่เพียงแต่เป็นการแปลงแบบโมโนโทนที่เพิ่มขึ้นของกันและกันเท่านั้น ( เช่นเดียวกับฟังก์ชันอรรถประโยชน์ทั้งหมดที่แสดงความสัมพันธ์เดียวกัน ) แต่ยังเป็นการแปลงเชิงเส้น ที่เพิ่มขึ้น ของกันและกันอีก ด้วย ^{[ 7 ] : 9} โดยสรุป

ฟังก์ชันอรรถประโยชน์เชิงลำดับแบบบวกจะมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว ยกเว้นการแปลงเชิงเส้นที่เพิ่มขึ้น

พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันอรรถประโยชน์ประเภททั่วไปส่วนใหญ่ — แบบกำลังสองและแบบบวก — ที่วางรากฐานโดยGérard Debreu ^{[ 9 ] [ 10 ]} ทำให้Andranik Tangianสามารถพัฒนาวิธีการสร้างฟังก์ชันเหล่านี้จากข้อมูลเชิงลำดับล้วนๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันอรรถประโยชน์แบบบวกและแบบกำลังสองในตัวแปรสามารถสร้างขึ้นได้จากการสัมภาษณ์ผู้มีอำนาจตัดสินใจ โดยคำถามมุ่งเน้นไปที่การติดตามเส้นโค้งความไม่แตกต่างแบบ 2 มิติในระนาบพิกัดโดยไม่ต้องอ้างอิงถึงการประมาณค่าอรรถประโยชน์เชิงปริมาณ^{[ 11 ] [ 12 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n-1}$

ตารางต่อไปนี้เปรียบเทียบฟังก์ชันอรรถประโยชน์สองประเภทที่ใช้กันทั่วไปในวิชาเศรษฐศาสตร์:

• ความสัมพันธ์ของความชอบตามลำดับตัวอักษรไม่สามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชันอรรถประโยชน์ (จาก Economics.SE)
• การรับรู้ลำดับเชิงเส้นที่ฝังตัวได้ใน R2 ที่เรียงลำดับตามพจนานุกรมใน Math.SE
• Murray N. Rothbard , "สู่การสร้างใหม่ของเศรษฐศาสตร์ด้านอรรถประโยชน์และสวัสดิการ"