ข้อมูลเชิงลำดับเป็นประเภทข้อมูลเชิงสถิติ แบบจัดกลุ่ม โดยตัวแปรมีหมวดหมู่ที่เรียงลำดับตามธรรมชาติ และไม่ทราบระยะห่างระหว่างหมวดหมู่^{[ 1 ] : 2} ข้อมูลเหล่านี้มีอยู่ในมาตราส่วนเชิงลำดับซึ่งเป็นหนึ่งในสี่ระดับการวัด ที่ SS Stevensอธิบายไว้ในปี 1946 มาตราส่วนเชิงลำดับแตกต่างจากมาตราส่วนนามโดยมีลำดับ^{[ 2 ]}นอกจากนี้ยังแตกต่างจากมาตราส่วนช่วงและมาตราส่วนอัตราส่วนโดยไม่มีความกว้างของหมวดหมู่ที่แสดงถึงการเพิ่มขึ้นที่เท่ากันของคุณลักษณะพื้นฐาน^{[ 3 ]}

ตัวอย่างที่รู้จักกันดีของข้อมูลเชิงลำดับคือมาตราส่วนลิเคิร์ตตัวอย่างของมาตราส่วนลิเคิร์ตคือ: ^{[ 4 ] : 685}

ตัวอย่างของข้อมูลเชิงลำดับมักพบได้ในแบบสอบถาม เช่น คำถามสำรวจ "สุขภาพโดยรวมของคุณแย่ พอใช้ ดี หรือดีเยี่ยม?" อาจมีการเข้ารหัสคำตอบเหล่านั้นเป็น 1, 2, 3 และ 4 ตามลำดับ บางครั้งข้อมูลในมาตราส่วนช่วงหรือมาตราส่วนอัตราส่วนจะถูกจัดกลุ่มลงในมาตราส่วนเชิงลำดับ เช่น บุคคลที่ทราบรายได้อาจถูกจัดกลุ่มเป็นหมวดหมู่รายได้ 0–19,999 ดอลลาร์ 20,000–39,999 ดอลลาร์ 40,000–59,999 ดอลลาร์ ... ซึ่งอาจถูกเข้ารหัสเป็น 1, 2, 3, 4, ... ตัวอย่างอื่นๆ ของข้อมูลเชิงลำดับ ได้แก่ สถานะทางเศรษฐกิจและสังคม ยศทางทหาร และเกรดตัวอักษรสำหรับหลักสูตร^{[ 5 ]}

การวิเคราะห์ข้อมูลเชิงลำดับต้องใช้ชุดการวิเคราะห์ที่แตกต่างจากตัวแปรเชิงคุณภาพอื่นๆ วิธีการเหล่านี้รวมเอาลำดับตามธรรมชาติของตัวแปรเพื่อหลีกเลี่ยงการสูญเสียพลัง^{[ 1 ] : 88} การคำนวณค่าเฉลี่ยของตัวอย่างข้อมูลเชิงลำดับนั้นไม่แนะนำ ควรใช้มาตรวัดแนวโน้มศูนย์กลางอื่นๆ เช่น มัธยฐานหรือฐานนิยม ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะเหมาะสมกว่า^{[ 6 ]}

Stevens (1946) โต้แย้งว่า เนื่องจากสมมติฐานเรื่องระยะห่างที่เท่ากันระหว่างหมวดหมู่ไม่เป็นจริงสำหรับข้อมูลเชิงลำดับ การใช้ค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ในการอธิบายการแจกแจงเชิงลำดับและสถิติเชิงอนุมานที่อิงตามค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจึงไม่เหมาะสม ควรใช้มาตรวัดเชิงตำแหน่ง เช่น ค่ามัธยฐานและเปอร์เซ็นไทล์ รวมถึงสถิติเชิงพรรณนา ที่เหมาะสมสำหรับข้อมูลเชิงนาม (จำนวนกรณี ค่าฐานนิยม ความสัมพันธ์เชิงความน่าจะเป็น) แทน ^{[ 3 ] : 678} วิธีการที่ไม่ใช้พารามิเตอร์ได้รับการเสนอให้เป็นวิธีการที่เหมาะสมที่สุดสำหรับสถิติเชิงอนุมานที่เกี่ยวข้องกับข้อมูลเชิงลำดับ (เช่นKendall's Wสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ลำดับของ Spearmanเป็นต้น) โดยเฉพาะอย่างยิ่งวิธีการที่พัฒนาขึ้นสำหรับการวิเคราะห์การวัดแบบจัดอันดับ^{[ 5 ] : 25–28} อย่างไรก็ตาม การใช้สถิติเชิงพารามิเตอร์สำหรับข้อมูลเชิงลำดับอาจอนุญาตได้โดยมีข้อควรระวังบางประการเพื่อใช้ประโยชน์จากขั้นตอนทางสถิติที่มีอยู่หลากหลายมากขึ้น^{[ 7 ] [ 8 ] [ 4 ] : 90}

แทนที่จะใช้ค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน สถิติแบบเอกตัวแปรที่เหมาะสมสำหรับข้อมูลเชิงลำดับ ได้แก่ ค่ามัธยฐาน^{[ 9 ] : 59–61} เปอร์เซ็นไทล์อื่นๆ (เช่น ควาร์ไทล์และเดซิไล์) ^{[ 9 ] : 71} และส่วนเบี่ยงเบนของควาร์ไทล์^{[ 9 ] : 77} การทดสอบตัวอย่างเดียวสำหรับข้อมูลเชิงลำดับ ได้แก่การทดสอบตัวอย่างเดียวของ Kolmogorov-Smirnov [ ^{5 ] : 51–55} การ ทดสอบ การวิ่งตัวอย่างเดียว^{[ 5 ] : 58–64} และการทดสอบจุดเปลี่ยน^{[ 5 ] : 64–71}

แทนที่จะทดสอบความแตกต่างของค่าเฉลี่ยด้วยt -testความแตกต่างในการกระจายของข้อมูลเชิงลำดับจากสองตัวอย่างอิสระสามารถทดสอบได้ด้วยการทดสอบ^Mann -Whitney [ ^{9 ] : 259–264} runs ^{[ 9 ]} : ^253–259 Smirnov [ ^{9 ] : 266–269} และsigned-ranks ^{[ 9 ] : 269–273} การทดสอบสำหรับสองตัวอย่างที่เกี่ยวข้องกันหรือจับคู่กัน ได้แก่ การทดสอบ sign test ^{[ 5 ] : 80–87} และการทดสอบ Wilcoxon signed ranks test [ ^{5 ] : 87–95} การวิเคราะห์ความแปรปรวนด้วยอันดับ^{[ 9 ] : 367–369} และการทดสอบ Jonckheere สำหรับทางเลือกที่เรียงลำดับ^{[ 5 ] : 216–222} สามารถดำเนินการกับข้อมูลเชิงลำดับแทน ANOVAสำหรับตัวอย่างอิสระได้ การทดสอบสำหรับตัวอย่างที่เกี่ยวข้องกันมากกว่าสองตัวอย่าง ได้แก่การวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบสองทางของฟรีดแมนโดยใช้ลำดับ^{[ 5 ] : 174–183} และการทดสอบของเพจสำหรับทางเลือกที่มีลำดับ [ ^{5 ] : 184–188 มาตร} วัด ความสัมพันธ์ที่เหมาะสมสำหรับตัวแปรที่มีมาตราส่วนเชิงลำดับสองตัว ได้แก่_เทาของเคนดัล_[ ^{9 ] :} 436–439 แกมมา^{[ 9 ]} : ^442–443 rs ^{[ 9 ] : 434–436} และdyx _/ dxy ^{[ 9 ] :} 443

ข้อมูลเชิงลำดับสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นตัวแปรเชิงปริมาณ ในการวิเคราะห์การถดถอยโลจิสติกสมการ

${\displaystyle \operatorname {logit} [P(Y=1)]=\alpha +\beta _{1}c+\beta _{2}x}$

คือแบบจำลองและ c รับระดับที่กำหนดของมาตราส่วนเชิงหมวดหมู่^{[ 1 ] : 189} ในการวิเคราะห์การถดถอยผลลัพธ์ ( ตัวแปรตาม ) ที่เป็นตัวแปรเชิงลำดับสามารถทำนายได้โดยใช้การถดถอยเชิงลำดับ แบบต่างๆ เช่นโลจิตแบบเรียงลำดับหรือโพรบิตแบบ เรียงลำดับ

ในการวิเคราะห์การถดถอย/สหสัมพันธ์หลายตัวแปร ข้อมูลเชิงลำดับสามารถรองรับได้โดยใช้พหุนามกำลังและผ่านการปรับคะแนนและอันดับให้เป็นมาตรฐาน^{[ 10 ]}

แนวโน้มเชิงเส้นยังใช้เพื่อหาความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูลเชิงลำดับและตัวแปรเชิงหมวดหมู่อื่นๆ โดยปกติในตารางความสัมพันธ์ ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์rจะพบระหว่างตัวแปร โดยที่rอยู่ระหว่าง -1 และ 1 ในการทดสอบแนวโน้ม จะใช้สถิติทดสอบดังนี้:

${\displaystyle M^{2}=(n-1)r^{2}}$

ใช้ในกรณีที่nคือขนาดตัวอย่าง^{[ 1 ] : 87}

สามารถหาค่าR ได้โดยให้ เป็นคะแนนของแถว และเป็นคะแนนของคอลัมน์ ให้เป็นค่าเฉลี่ยของคะแนนแถว ในขณะที่แล้วคือความน่าจะเป็นของแถวแบบมาร์จินัล และคือความน่าจะเป็นของคอลัมน์แบบมาร์จินัลคำนวณค่า R ได้ดังนี้:${\displaystyle u_{1}\leq u_{2}\leq ...\leq u_{I}}$${\displaystyle v_{1}\leq v_{2}\leq ...\leq v_{I}}$${\displaystyle {\bar {u}}\ =\sum _{i}u_{i}p_{i+}}$${\displaystyle {\bar {v}}\ =\sum _{j}v_{j}p_{j+}}$${\displaystyle p_{i+}}$${\displaystyle p_{+j}}$

${\displaystyle r={\frac {\sum _{i,j}\left(u_{i}-{\bar {u}}\ \right)\left(v_{j}-{\bar {v}}\ \right)p_{ij}}{\sqrt {\left\lbrack \sum _{i}(u_{i}-{\bar {u}}\ \right)^{2}p_{i+}\rbrack \lbrack \sum _{j}(v_{j}-{\bar {v}}\ )^{2}p_{+j}\rbrack }}}}$

วิธีการจำแนกประเภทได้รับการพัฒนาสำหรับข้อมูลเชิงลำดับด้วยเช่นกัน ข้อมูลจะถูกแบ่งออกเป็นหมวดหมู่ต่างๆ โดยที่การสังเกตแต่ละครั้งจะคล้ายคลึงกัน การกระจายจะถูกวัดและลดให้น้อยที่สุดในแต่ละกลุ่มเพื่อเพิ่มผลลัพธ์การจำแนกประเภทให้สูงสุด ฟังก์ชันการกระจายจะถูกใช้ในทฤษฎีสารสนเทศ^{[ 11 ]}

มีแบบจำลองที่แตกต่างกันหลายแบบที่สามารถใช้เพื่ออธิบายโครงสร้างของข้อมูลเชิงลำดับได้^{[ 12 ]}แบบจำลองหลักสี่ประเภทจะอธิบายไว้ด้านล่าง โดยแต่ละประเภทกำหนดไว้สำหรับตัวแปรสุ่มโดยมีระดับที่จัดทำดัชนีโดย ${\displaystyle Y}$${\displaystyle k=1,2,\dots ,q}$

โปรดทราบว่าในคำจำกัดความของแบบจำลองด้านล่าง ค่าของและจะไม่เหมือนกันสำหรับทุกแบบจำลองสำหรับชุดข้อมูลเดียวกัน แต่สัญลักษณ์นี้ใช้เพื่อเปรียบเทียบโครงสร้างของแบบจำลองต่างๆ ${\displaystyle \mu _{k}}$${\displaystyle \mathbf {\beta } }$

แบบจำลองที่ใช้กันทั่วไปที่สุดสำหรับข้อมูลเชิงลำดับคือแบบจำลองอัตราส่วนความน่าจะเป็นแบบสัดส่วน ซึ่งกำหนดโดย

${\displaystyle \log \left[{\frac {\Pr(Y\leq k)}}\right]=\log \left[{\frac {\Pr(Y\leq k)}{1-\Pr(Y\leq k)}}\right]=\mu _{k}+\mathbf {\beta } ^{T}\mathbf {x} }$

โดยที่พารามิเตอร์อธิบายการกระจายพื้นฐานของข้อมูลเชิงลำดับคือตัวแปรควบคุม และคือสัมประสิทธิ์ที่อธิบายผลกระทบของตัวแปรควบคุมเหล่านั้น ${\displaystyle \mu _{k}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {\beta } }$

แบบจำลองนี้สามารถขยายความได้โดยการกำหนดแบบจำลองโดยใช้แทนซึ่งจะทำให้แบบจำลองนี้เหมาะสมสำหรับข้อมูลเชิงนาม (ซึ่งหมวดหมู่ไม่มีลำดับตามธรรมชาติ) เช่นเดียวกับข้อมูลเชิงอันดับ อย่างไรก็ตาม การขยายความในลักษณะนี้อาจทำให้การปรับแบบจำลองให้เข้ากับข้อมูลทำได้ยากขึ้นมาก ${\displaystyle \mu _{k}+\mathbf {\beta } _{k}^{T}\mathbf {x} }$${\displaystyle \mu _{k}+\mathbf {\beta } ^{T}\mathbf {x} }$

แบบจำลองหมวดหมู่พื้นฐานถูกกำหนดโดย

${\displaystyle \log \left[{\frac {\Pr(Y=k)}{\Pr(Y=1)}}\right]=\mu _{k}+\mathbf {\beta } _{k}^{T}\mathbf {x} }$

แบบจำลองนี้ไม่ได้กำหนดลำดับให้กับหมวดหมู่ ดังนั้นจึงสามารถนำไปใช้กับข้อมูลเชิงนาม (nominal data) และข้อมูลเชิงลำดับ (ordinal data) ได้เช่นกัน

แบบจำลองสเตอริโอไทป์แบบเรียงลำดับถูกกำหนดโดย

${\displaystyle \log \left[{\frac {\Pr(Y=k)}{\Pr(Y=1)}}\right]=\mu _{k}+\phi _{k}\mathbf {\beta } ^{T}\mathbf {x} }$

โดยที่พารามิเตอร์คะแนนถูกจำกัดไว้ดังนี้ ${\displaystyle 0=\phi _{1}\leq \phi _{2}\leq \dots \leq \phi _{q}=1}$

นี่เป็นแบบจำลองที่กระชับและเฉพาะเจาะจงกว่าแบบจำลองโลจิตหมวดหมู่พื้นฐาน: สามารถคิดได้ว่าคล้ายกับ. ${\displaystyle \phi _{k}\mathbf {\beta } }$${\displaystyle \mathbf {\beta } _{k}}$

แบบจำลองภาพลักษณ์เหมารวมแบบไม่เรียงลำดับมีรูปแบบเดียวกันกับแบบจำลองภาพลักษณ์เหมารวมแบบเรียงลำดับ แต่ไม่มีการกำหนดลำดับไว้แบบจำลองนี้สามารถนำไปใช้กับข้อมูลนามนัยได้ ${\displaystyle \phi _{k}}$

โปรดสังเกตว่าคะแนนที่ได้จากการประมาณค่า บ่งชี้ว่าการแยกแยะความแตกต่างระหว่างระดับต่างๆ ของ นั้นง่ายเพียงใดหากแสดงว่าชุดข้อมูลปัจจุบันสำหรับตัวแปรอิสระไม่ได้ให้ข้อมูลมากพอที่จะแยกแยะความแตกต่างระหว่างระดับและแต่ไม่ได้หมายความว่าค่าจริงของและจะห่างกันมากเสมอไป และหากค่าของตัวแปรอิสระเปลี่ยนแปลงไป สำหรับข้อมูลใหม่นั้น คะแนนที่ได้จากการประมาณค่าและอาจห่างกันมากก็ได้ ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{k}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\hat {\phi }}_{k}\approx {\hat {\phi }}_{k-1}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle k}$${\displaystyle k-1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k-1}$${\displaystyle {\hat {\phi }}_{k}}$${\displaystyle {\hat {\phi }}_{k-1}}$

แบบจำลองหมวดหมู่ที่อยู่ติดกันถูกกำหนดโดย

${\displaystyle \log \left[{\frac {\Pr(Y=k)}{\Pr(Y=k+1)}}\right]=\mu _{k}+\mathbf {\beta } _{k}^{T}\mathbf {x} }$

แม้ว่ารูปแบบที่พบได้บ่อยที่สุด ซึ่งอ้างถึงในAgresti (2010) ^{[ 12 ]}ว่าเป็น "รูปแบบอัตราส่วนความน่าจะเป็นตามสัดส่วน" จะถูกกำหนดโดย

${\displaystyle \log \left[{\frac {\Pr(Y=k)}{\Pr(Y=k+1)}}\right]=\mu _{k}+\mathbf {\beta } ^{T}\mathbf {x} }$

แบบจำลองนี้สามารถใช้ได้กับข้อมูลเชิงลำดับเท่านั้น เนื่องจากการสร้างแบบจำลองความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงจากหมวดหมู่หนึ่งไปยังอีกหมวดหมู่หนึ่งนั้นหมายความว่าหมวดหมู่เหล่านั้นมีลำดับอยู่

แบบจำลองโลจิตของหมวดหมู่ที่อยู่ติดกันสามารถมองได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของแบบจำลองโลจิตของหมวดหมู่พื้นฐาน โดยที่แบบจำลองโลจิตของหมวดหมู่ที่อยู่ติดกันยังสามารถมองได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของแบบจำลองสเตอริโอไทป์แบบเรียงลำดับ โดยที่ กล่าวคือ ระยะห่างระหว่างถูกกำหนดไว้ล่วงหน้า แทนที่จะประมาณค่าจากข้อมูล ${\displaystyle \mathbf {\beta } _{k}=\mathbf {\beta } (k-1)}$${\displaystyle \phi _{k}\propto k-1}$${\displaystyle \phi _{k}}$

แบบจำลองอัตราส่วนความน่าจะเป็นแบบสัดส่วนมีโครงสร้างที่แตกต่างจากแบบจำลองอีกสามแบบอย่างมาก และยังมีนัยสำคัญที่แตกต่างกันด้วย โปรดสังเกตว่าขนาดของกลุ่มอ้างอิงในแบบจำลองอัตราส่วนความน่าจะเป็นแบบสัดส่วนจะแปรผันตามเนื่องจากจะถูกเปรียบเทียบกับในขณะที่ในแบบจำลองอื่นๆ ขนาดของกลุ่มอ้างอิงจะคงที่ เนื่องจากจะถูกเปรียบเทียบกับ หรือ${\displaystyle k}$${\displaystyle Y\leq k}$${\displaystyle Y>k}$${\displaystyle Y=k}$${\displaystyle Y=1}$${\displaystyle Y=k+1}$

โมเดลทั้งหมดมีหลายรูปแบบที่ใช้ฟังก์ชันเชื่อมโยงที่แตกต่างกัน เช่น ฟังก์ชันเชื่อมโยงแบบโพรบิต หรือฟังก์ชันเชื่อมโยงแบบคอมพลีเมนต์ล็อก-ล็อก

ความแตกต่างในข้อมูลเชิงลำดับสามารถทดสอบได้โดยใช้ การ ทดสอบ อันดับ

ข้อมูลเชิงลำดับสามารถแสดงภาพได้หลายวิธี การแสดงผลทั่วไปคือแผนภูมิแท่งหรือแผนภูมิวงกลมตารางก็มีประโยชน์สำหรับการแสดงข้อมูลเชิงลำดับและความถี่เช่นกันแผนภูมิโมเสกสามารถใช้เพื่อแสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรเชิงลำดับและตัวแปรนามหรือเชิงลำดับได้^{[ 13 ]}แผนภูมินูน—แผนภูมิเส้นที่แสดงการจัดอันดับสัมพัทธ์ของรายการจากจุดเวลาหนึ่งไปยังจุดเวลาถัดไป—ก็เหมาะสมสำหรับข้อมูลเชิงลำดับเช่นกัน^{[ 14 ]}

สามารถใช้การไล่ ระดับสีหรือ ระดับ สีเทาเพื่อแสดงลำดับของข้อมูลได้ มาตราส่วนทิศทางเดียว เช่น ช่วงรายได้ สามารถแสดงด้วยแผนภูมิแท่ง โดยที่ความอิ่มตัวหรือความสว่างของสีเดียวที่เพิ่มขึ้น (หรือลดลง) แสดงถึงรายได้ที่สูงขึ้น (หรือต่ำลง) การกระจายเชิงลำดับของตัวแปรที่วัดบนมาตราส่วนสองทิศทาง เช่น มาตราส่วนลิเคิร์ต ก็สามารถแสดงด้วยสีในแผนภูมิแท่งซ้อนกันได้เช่นกัน อาจใช้สีกลาง (ขาวหรือเทา) สำหรับจุดกึ่งกลาง (ศูนย์หรือเป็นกลาง) โดยใช้สีที่ตัดกันในทิศทางตรงกันข้ามจากจุดกึ่งกลาง โดยที่ความอิ่มตัวหรือความมืดของสีที่เพิ่มขึ้นสามารถบ่งบอกถึงหมวดหมู่ที่อยู่ห่างจากจุดกึ่งกลางมากขึ้น^{[ 15 ]}แผนที่ Choroplethยังใช้การแรเงาสีหรือระดับสีเทาเพื่อแสดงข้อมูลเชิงลำดับ^{[ 16 ]}

การใช้ข้อมูลเชิงลำดับสามารถพบได้ในงานวิจัยส่วนใหญ่ที่สร้างข้อมูลเชิงหมวดหมู่ บริบทที่มักมีการเก็บรวบรวมข้อมูลเชิงลำดับ ได้แก่ สังคมศาสตร์และพฤติกรรมศาสตร์ และภาครัฐและภาคธุรกิจ ซึ่งมีการเก็บรวบรวมข้อมูลจากการสังเกต การทดสอบ หรือแบบสอบถามจากบุคคล^{บริบท}ทั่วไปสำหรับการเก็บรวบรวมข้อมูลเชิงลำดับ ได้แก่การวิจัยแบบสำรวจ [ ^{17 ] [ 18 ]}และการ ทดสอบ สติปัญญาความถนัดบุคลิกภาพและการตัดสินใจ^{[ 2 ] [ 4 ] : 89–90}

การคำนวณ 'ขนาดผลกระทบ' (Cliff's Delta d ) โดยใช้ข้อมูลเชิงลำดับได้รับการแนะนำให้เป็นการวัดความเหนือกว่าทางสถิติ^{[ 19 ]}

• รายการวิเคราะห์ข้อมูลเชิงหมวดหมู่
• แนวทางการจัดลำดับความสำคัญตามลำดับ
• ลำดับที่
• พื้นที่ลำดับ

• Agresti, Alan (2010). การวิเคราะห์ข้อมูลเชิงหมวดหมู่เรียงลำดับ (ฉบับที่ 2). โฮโบเคน, นิวเจอร์ซีย์: ไวลีย์. ISBN 978-0-470-08289-8.