โดยปกติแล้วทฤษฎีบทเหล่านี้จะถูกนำไปใช้กับพื้นที่ที่มีสินค้าจำกัด อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีบทเหล่านี้สามารถนำไปใช้ได้ในบริบทที่กว้างกว่านั้นมาก โดยมีข้อสมมติฐานทั่วไปดังนี้:

• X คือปริภูมิเชิงทอพอโลยี
• ${\displaystyle \preceq }$เป็นความสัมพันธ์บน X ซึ่งเป็น ความสัมพันธ์ แบบสมบูรณ์ (ทุกรายการสามารถเปรียบเทียบกันได้) และถ่ายทอดได้
• ${\displaystyle \preceq }$เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องซึ่งหมายความว่าเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันต่อไปนี้เป็นไปตามที่กำหนด:
  1. สำหรับทุกค่า เซตและจะปิดเชิงโทโพโลยีใน${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \{y|y\preceq x\}}$${\displaystyle \{y|y\succeq x\}}$${\displaystyle X}$
  2. สำหรับลำดับทุกลำดับที่ถ้าสำหรับทุกiแล้วและถ้าสำหรับทุกiแล้ว${\displaystyle (x_{i})}$${\displaystyle x_{i}\to x_{\infty }}$${\displaystyle x_{i}\preceq y}$${\displaystyle x_{\infty }\preceq y}$${\displaystyle x_{i}\succeq y}$${\displaystyle x_{\infty }\succeq y}$

เงื่อนไขแต่ละข้อต่อไปนี้รับประกันการมีอยู่ของฟังก์ชันต่อเนื่องค่าจริงที่แสดงถึงความสัมพันธ์ของความชอบเงื่อนไขเหล่านี้มีความทั่วไปมากขึ้นเรื่อยๆ ตัวอย่างเช่น เงื่อนไขที่ 1 บ่งชี้ถึงเงื่อนไขที่ 2 ซึ่งบ่งชี้ถึงเงื่อนไขที่ 3 และซึ่งบ่งชี้ถึงเงื่อนไขที่ 4${\displaystyle \preceq }$

1. เซตของชั้นสมมูลของความสัมพันธ์(กำหนดโดย: ก็ต่อเมื่อและ) เป็นเซตที่นับได้${\displaystyle \sim }$${\displaystyle x\sim y}$${\displaystyle x\preceq y}$${\displaystyle x\succeq y}$

2. มีเซตย่อยที่นับได้ของ X, ซึ่งสำหรับทุกคู่ขององค์ประกอบที่ไม่สมมูลกันจะมีองค์ประกอบที่คั่นระหว่างองค์ประกอบทั้งสองนั้น ( )${\displaystyle Z=\{z_{0},z_{1},...\}}$${\displaystyle x\prec y}$${\displaystyle z_{i}\in Z}$${\displaystyle x\preceq z_{i}\preceq y}$

3. X สามารถแยกออกจากกันได้และเชื่อมต่อกันได้

4. X เป็น เซต ที่นับได้ลำดับที่สองหมายความว่ามีเซตที่นับได้ S ของเซตเปิด ซึ่งทุกเซตเปิดใน X เป็นผลรวมของเซตในชั้น S

การพิสูจน์ผลลัพธ์แรกมีช่องว่างซึ่ง Debreu ได้แก้ไขในภายหลัง^{[ 3 ]}

ก. ให้ X เป็นโทโพโลยีมาตรฐาน (โทโพโลยีแบบยุคลิด) กำหนดความสัมพันธ์ความชอบต่อไปนี้: ก็ต่อเมื่อ. ความสัมพันธ์นี้ต่อเนื่องเพราะสำหรับทุกเซตและเป็นระนาบครึ่งปิด เงื่อนไขที่ 1 ถูกละเมิดเพราะเซตของชั้นสมมูลเป็นเซตที่นับไม่ได้ อย่างไรก็ตาม เงื่อนไขที่ 2 เป็นจริงเมื่อ Z เป็นเซตของคู่ที่มีพิกัดเป็นจำนวนตรรกยะ เงื่อนไขที่ 3 ก็เป็นจริงเช่นกันเพราะ X เป็นเซตที่แยกได้และเชื่อมต่อกัน ดังนั้นจึงมีฟังก์ชันต่อเนื่อง ที่แทนตัวอย่างของฟังก์ชันดังกล่าวคือ.${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle (x,y)\preceq (x',y')}$${\displaystyle x+y\leq x'+y'}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle \{(x',y')|x'+y'\leq x+y\}}$${\displaystyle \{(x',y')|x'+y'\geq x+y\}}$${\displaystyle \preceq }$${\displaystyle u(x,y)=x+y}$

B. สมมติให้มีโทโพโลยีมาตรฐานดังที่กล่าวมาข้างต้น ความสัมพันธ์ ของความชอบตามลำดับตัวอักษรไม่ต่อเนื่องในโทโพโลยีนั้น ตัวอย่างเช่นแต่ในทุกทรงกลมรอบ (5,1) จะมีจุดที่และจุดเหล่านี้ด้อยกว่า อันที่จริง ความสัมพันธ์นี้ไม่สามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่อง (อันที่จริง ไม่สามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องด้วยซ้ำ)${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle (5,1)\succ (5,0)}$${\displaystyle x<5}$${\displaystyle (5,0)}$

หลักฐานจาก^{[ 2 ]}

สัญลักษณ์: สำหรับค่าใดๆให้กำหนดและกำหนดช่วงเวลาอื่นๆ ในทำนองเดียวกัน${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle (x,y)=\{z\in X:x\prec z\prec y\}}$

Diamond ^{[ 4 ]}ประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของ Debreu กับพื้นที่ซึ่งเป็นเซตของลำดับค่าจริงที่มีขอบเขตทั้งหมดที่มีโทโพโลยีที่เหนี่ยวนำโดยเมตริกสูงสุด (ดูL-infinity ) X แทนเซตของกระแสยูทิลิตี้ทั้งหมดที่มีขอบเขตอนันต์${\displaystyle X=\ell ^{\infty }}$

นอกจากข้อกำหนดที่ว่าต้องเป็นความสัมพันธ์แบบสมบูรณ์ ถ่ายทอดได้ และต่อเนื่องแล้ว เขายังเพิ่ม ข้อกำหนด ด้านความไวต่อสิ่งเร้า อีกด้วย :${\displaystyle \preceq }$

• ถ้าลำธารมีขนาดเล็กกว่าลำธารในทุกช่วงเวลาแล้ว.${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x\prec y}$
• ถ้าลำธารมีขนาดเล็กกว่าหรือเท่ากับลำธารในทุกช่วงเวลาแล้ว.${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x\preceq y}$

ภายใต้ข้อกำหนดเหล่านี้ กระแสทุกกระแสจะเทียบเท่ากับกระแสที่มีอรรถประโยชน์คงที่ และกระแสที่มีอรรถประโยชน์คงที่สองกระแสใดๆ ก็สามารถแยกออกจากกันได้ด้วยกระแสที่มีอรรถประโยชน์คงที่ซึ่งมีอรรถประโยชน์เชิงตรรกะ ดังนั้นเงื่อนไขข้อที่ 2 ของเดอบรูจึงเป็นไปตามที่กำหนด และความสัมพันธ์ของความชอบสามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชันค่าจริง${\displaystyle x}$

ผลลัพธ์การมีอยู่ยังคงใช้ได้แม้ว่าโทโพโลยีของ X จะเปลี่ยนไปเป็นโทโพโลยีที่เกิดจากเมตริกที่ลดทอนแล้วก็ตาม:${\displaystyle d(x,y)=\sum _{t=1}^{\infty }{2^{-t}|x_{t}-y_{t}|}}$

นี่คือข้อสันนิษฐานโดยทั่วไป:

• X ซึ่งเป็นปริภูมิของชุดสินค้าทั้งหมด เป็นผลคูณคาร์ทีเซียนของปริภูมิสินค้าn ปริภูมิ (กล่าวคือ ปริภูมิของชุดสินค้าเป็นเซตของคู่ สินค้า nรายการ)${\displaystyle X=\times _{i=1}^{n}{X_{i}}}$
• ${\displaystyle \preceq }$เป็นความสัมพันธ์บน X ซึ่งเป็น ความสัมพันธ์ แบบสมบูรณ์ (ทุกรายการสามารถเปรียบเทียบกันได้) และถ่ายทอดได้
• ${\displaystyle \preceq }$เป็นค่าต่อเนื่อง (ดูด้านบน)
• มีฟังก์ชันอรรถประโยชน์เชิงลำดับซึ่งแทนค่า${\displaystyle v}$${\displaystyle \preceq }$

ฟังก์ชันนี้เรียกว่าฟังก์ชันบวกถ้าสามารถเขียนได้ในรูปผลรวมของฟังก์ชันอรรถประโยชน์เชิงลำดับn ฟังก์ชัน บนปัจจัย nตัว:${\displaystyle v}$

${\displaystyle v(x_{1},...,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}{k_{i}v_{i}(x_{i})}}$

โดยที่เป็นค่าคงที่${\displaystyle k_{i}}$

เมื่อกำหนดชุดดัชนีแล้ว ชุดสินค้าจะเรียกว่าเป็นอิสระเชิงความชอบหากความสัมพันธ์เชิงความชอบที่เกิดขึ้นกับชุดสินค้าหนึ่ง เมื่อกำหนดปริมาณคงที่ของสินค้าอื่น ๆจะไม่ขึ้นอยู่กับปริมาณคงที่เหล่านั้น${\displaystyle I}$${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle \preceq }$${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle (X_{i})_{i\notin I}}$

ถ้าเป็นแบบบวกได้ เห็นได้ชัดว่าเซตย่อยทั้งหมดของสินค้าโภคภัณฑ์ย่อมเป็นอิสระต่อกันในเชิงลำดับความสำคัญ${\displaystyle v}$

ถ้าสินค้าทุกกลุ่มย่อยมีความเป็นอิสระต่อกันในเชิงความชอบ และมีสินค้าอย่างน้อยสามชนิดที่เป็นสินค้าจำเป็น (หมายความว่าปริมาณของสินค้าเหล่านั้นมีอิทธิพลต่อความสัมพันธ์ของความชอบ) แล้วความสัมพันธ์นี้จะเป็นแบบบวก${\displaystyle \preceq }$${\displaystyle v}$

ยิ่งไปกว่านั้น ในกรณีนั้นจะมีลักษณะเฉพาะเฉพาะตัวจนถึงการแปลงเชิงเส้น ที่เพิ่มขึ้น${\displaystyle v}$

สำหรับหลักฐานเชิงสร้างสรรค์ที่เข้าใจง่าย โปรดดูที่ อรรถประโยชน์เชิงลำดับ - การบวกกับสินค้าสามรายการขึ้นไป