ในทางคณิตศาสตร์ , , ปริภูมิเวกเตอร์ (จริงหรือเชิงซ้อน) ของลำดับที่มีขอบเขตพร้อม บรรทัดฐาน สูงสุดและ, ปริภูมิเวกเตอร์ของฟังก์ชันที่วัดได้ที่มีขอบเขตโดยพื้นฐาน พร้อมบรรทัดฐานสูงสุดโดย พื้นฐาน เป็นปริภูมิBanachสองปริภูมิที่เกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิดอันที่จริง ปริภูมิแรกเป็นกรณีพิเศษของปริภูมิหลัง ในฐานะปริภูมิ Banach พวกมันเป็นคู่ต่อเนื่องของปริภูมิ Banach ของลำดับที่หาผลรวมสัมบูรณ์ได้ และ ของฟังก์ชันที่วัดได้ที่สามารถหาปริพันธ์ได้สัมบูรณ์ ตามลำดับ (ถ้าปริภูมิการวัดเป็นไปตามเงื่อนไขของการสามารถระบุตำแหน่งได้และดังนั้นจึงเป็นกึ่งจำกัด) ^{[ 1 ]}การคูณแบบจุดต่อจุดทำให้พวกมันมีโครงสร้างของพีชคณิต Banachและอันที่จริงพวกมันเป็นตัวอย่างมาตรฐานของพีชคณิต Von Neumann แบบอาเบ ล ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$${\displaystyle L^{\infty }=L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle \ell _{1}}$${\displaystyle L^{1}=L^{1}(X,\Sigma ,\mu )}$

ปริภูมิเวกเตอร์เป็นปริภูมิของลำดับที่มีสมาชิกเป็นลำดับที่มีขอบเขตการดำเนินการในปริภูมิเวกเตอร์ ได้แก่ การบวกและการคูณด้วยสเกลาร์ จะถูกนำไปใช้กับพิกัดแต่ละพิกัด เมื่อพิจารณาจากนอร์มแล้ว เป็นตัวอย่างมาตรฐานของปริภูมิบานาคในความเป็นจริงสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นปริภูมิที่มีค่ามากที่สุด ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$$${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup _{n}|x_{n}|}$$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle p}$

พื้นที่นี้คือพื้นที่คู่ที่แข็งแกร่งของ: แท้จริงแล้ว ทุก ๆ ตัว จะกำหนดฟังก์ชันต่อเนื่องบนพื้นที่ของลำดับที่สามารถหาผลรวมสัมบูรณ์ได้โดยการคูณและบวกแบบทีละส่วน: ${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle x\in \ell ^{\infty }}$${\displaystyle \ell ^{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\ell ^{\infty }&\to ({\ell ^{1}})'\end{aligned}}}$

ทาง

${\displaystyle {\begin{aligned}x&\mapsto \left(y\mapsto \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}\right)\end{aligned}}}$

โดยการประเมินค่าบนเราจะเห็นว่าฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่องทุกตัวบนเกิดขึ้นในลักษณะนี้ กล่าวคือ ${\displaystyle (0,\ldots ,0,1,0,\ldots )}$${\displaystyle \ell ^{1}}$

${\displaystyle ({\ell ^{1}})'=\ell ^{\infty }}$

อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่องทุกตัวบน ไม่ได้เกิดขึ้นจากอนุกรมที่สามารถหาผลรวมสัมบูรณ์ได้ในและด้วยเหตุนี้ จึงไม่ใช่ปริภูมิบานาคแบบสะท้อนกลับ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$${\displaystyle \ell ^{1},}$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

${\displaystyle L^{\infty }}$เป็นปริภูมิฟังก์ชันองค์ประกอบของมันคือฟังก์ชันที่วัดได้ซึ่งมีขอบเขตโดยพื้นฐาน^{[ 2 ]}

กล่าว โดยละเอียดกว่านั้นถูกกำหนดขึ้นโดยอาศัยปริภูมิการวัด พื้นฐาน เริ่มต้นด้วยเซตของฟังก์ชันที่วัดได้ทั้งหมดจากไปซึ่งมีขอบเขตโดยพื้นฐานกล่าวคือ มีขอบเขตยกเว้นบนเซตที่มีการวัดเป็นศูนย์ ฟังก์ชันสองฟังก์ชันดังกล่าวจะเหมือนกันหากเท่ากันเกือบทุกที่ กำหนดให้เซตที่ได้ด้วย${\displaystyle L^{\infty }}$${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu ).}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle L^{\infty }(S,\mu )}$

สำหรับฟังก์ชันในเซตนี้ค่าสูงสุดที่สำคัญ ของฟังก์ชันนั้น ทำหน้าที่เป็นบรรทัดฐานที่เหมาะสม: บรรทัดฐานนี้คือบรรทัดฐานเอกรูปมันเป็นบรรทัดฐานสำหรับ${\displaystyle f}$$${\displaystyle \|f\|_{\infty }\equiv \inf\{C\geq 0:|f(x)|\leq C{\text{ สำหรับเกือบทุก }}x\}.}$$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p=\infty .}$

ปริภูมิของลำดับเป็นกรณีพิเศษของปริภูมิของฟังก์ชัน โดยที่จำนวนธรรมชาติมีมาตรวัดการนับกำกับอยู่ ${\displaystyle \ell ^{\infty }=L^{\infty }(\mathbb {N} )}$

การประยุกต์ใช้หนึ่งอย่างของและคือ ในทางเศรษฐศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการศึกษาเศรษฐกิจที่มีสินค้าโภคภัณฑ์จำนวนอนันต์^{[ 3 ]}ในแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์แบบง่าย มักจะถือว่ามีสินค้าโภคภัณฑ์ที่แตกต่างกันเพียงจำนวนจำกัด เช่น บ้าน ผลไม้ รถยนต์ เป็นต้น ดังนั้นแต่ละชุดสินค้าจึงสามารถแทนด้วยเวกเตอร์จำนวนจำกัด และเซตการบริโภคเป็นปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติจำกัด แต่ในความเป็นจริง จำนวนสินค้าโภคภัณฑ์ที่แตกต่างกันอาจมีจำนวนอนันต์ ตัวอย่างเช่น "บ้าน" ไม่ใช่สินค้าโภคภัณฑ์ประเภทเดียว เนื่องจากมูลค่าของบ้านขึ้นอยู่กับที่ตั้ง ดังนั้นจำนวนสินค้าโภคภัณฑ์ที่แตกต่างกันจึงเท่ากับจำนวนที่ตั้งที่แตกต่างกัน ซึ่งอาจถือได้ว่ามีจำนวนอนันต์ ในกรณีนี้ เซตการบริโภคจึงแสดงโดยธรรมชาติด้วย${\displaystyle \ell ^{\infty }}$${\displaystyle L^{\infty }}$${\displaystyle L^{\infty }.}$

• บรรทัดฐานสม่ำเสมอ  – ฟังก์ชันในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์
• ระยะทางเชบิเชฟ  – เมตริกทางคณิตศาสตร์