ในทางคณิตศาสตร์แนวคิดของค่าต่ำสุดที่สำคัญ (essential infimum)และค่าสูงสุดที่สำคัญ (essential supremum)เกี่ยวข้องกับแนวคิดของ ค่า ต่ำสุด (infimum) และค่าสูงสุด (supremum)แต่ปรับให้เข้ากับทฤษฎีการวัดและการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันซึ่งมักจะเกี่ยวข้องกับข้อความที่ไม่ถูกต้องสำหรับทุกองค์ประกอบในเซตแต่ถูกต้องเกือบทุกที่ กล่าว คือ ยกเว้นในเซตที่มีการวัดเป็นศูนย์

แม้ว่าคำจำกัดความที่แน่นอนจะไม่ตรงไปตรงมาในทันที แต่โดยสัญชาตญาณแล้ว ค่าสูงสุดที่สำคัญของฟังก์ชันคือค่าที่เล็กที่สุดที่มากกว่าหรือเท่ากับค่าของฟังก์ชันทุกที่ โดยไม่คำนึงถึงสิ่งที่ฟังก์ชันทำที่จุดที่มีค่าเป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น ถ้าเราใช้ฟังก์ชันที่เท่ากับศูนย์ทุกที่ยกเว้นที่จุดแล้วค่าสูงสุดของฟังก์ชันจะเท่ากับหนึ่ง อย่างไรก็ตาม ค่าสูงสุดที่สำคัญของมันคือศูนย์ เนื่องจาก (ภายใต้การวัดแบบเลเบส ) เราสามารถละเลยสิ่งที่ฟังก์ชันทำที่จุดเดียวที่มีค่าผิดปกติได้ ค่าต่ำสุดที่สำคัญถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle f(0)=1,}$${\displaystyle f}$

เช่นเดียวกับกรณีส่วนใหญ่ในคำถามเกี่ยวกับทฤษฎีการวัด นิยามของค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดที่สำคัญไม่ได้เริ่มต้นด้วยการถามว่าฟังก์ชันทำอะไรที่จุด(นั่นคือภาพของ) แต่เริ่มต้นด้วยการถามถึงเซตของจุดที่เท่ากับค่าเฉพาะ(นั่นคือภาพผกผันของภายใต้) ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f}$

ให้ f เป็นฟังก์ชันค่าจริงที่กำหนด บนเซตค่าสูงสุดของ ฟังก์ชันf มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: สำหรับทุก f และถ้าสำหรับบาง f เรามี f ( x ) = ...${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)\leq \sup f\leq \infty }$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$${\displaystyle f(x)\leq a}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \sup f\leq a.}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)\leq a}$${\displaystyle x\in X;}$$${\displaystyle f^{-1}(a,\infty )=\{x\in X:f(x)>a\}}$$$${\displaystyle U_{f}=\{a\in \mathbb {R} :f^{-1}(a,\infty )=\varnothing \}\,}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle \inf \varnothing =+\infty .}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle \sup f=\inf U_{f}.}$$${\displaystyle U_{f}}$${\displaystyle \sup f=+\infty }$

นอกจากนี้ ให้สมมติเพิ่มเติมว่าเป็นปริภูมิการวัดและเพื่อความง่าย ให้สมมติว่าฟังก์ชันสามารถวัดได้เช่นเดียวกับค่าสูงสุด ค่าสูงสุดที่สำคัญของฟังก์ชันนั้นมีลักษณะเฉพาะด้วยคุณสมบัติต่อไปนี้: สำหรับ- เกือบทั้งหมดและถ้าสำหรับบางค่าเรามีสำหรับ- เกือบทั้งหมดแล้วกล่าวโดยละเอียดแล้ว จำนวนเรียกว่า ค่าสูงสุดที่สำคัญ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)\leq \operatorname {ess} \sup f\leq \infty }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$${\displaystyle f(x)\leq a}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f\leq a.}$${\displaystyle a}$ขอบเขตบนที่สำคัญของถ้าเซตที่วัดได้เป็นเซตของ -การวัดเป็นศูนย์ ^{[ a ]} ​​นั่นคือ ถ้าสำหรับ-เกือบทั้งหมดในให้ เป็นเซตของขอบเขตบนที่สำคัญ จากนั้น${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}(a,\infty )}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle f(x)\leq a}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle x}$${\displaystyle X.}$$${\displaystyle U_{f}^{\operatorname {ess} }=\{a\in \mathbb {R} :\mu (f^{-1}(a,\infty ))=0\}}$$นิยาม ของ essential supremum นั้นคล้ายคลึงกับนิยามของ ifและotherwise $${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=\inf U_{f}^{\mathrm {ess} }}$$${\displaystyle U_{f}^{\operatorname {ess} }\neq \varnothing ,}$${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=+\infty }$

ในลักษณะเดียวกันกับการนิยามไม่สำคัญเท่าที่จำเป็นในฐานะสูงสุดของขอบเขตล่างที่สำคัญ sนั่นคือ ถ้าเซตของขอบเขตล่างที่สำคัญไม่ว่างเปล่า และในกรณีอื่น ๆ ก็มีนิพจน์ทางเลือกอีกแบบหนึ่งเช่นกัน (โดยที่นิพจน์นี้จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อเซตว่างเปล่า) $${\displaystyle \operatorname {ess} \inf f=\sup\{b\in \mathbb {R} :\mu (\{x:f(x)<b\})=0\}}$$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \operatorname {ess} \inf f=\sup\{a\in \mathbb {R} :f(x)\geq a{\text{ for almost all }}x\in X\}}$${\displaystyle -\infty }$

บนเส้นจำนวนจริง ให้พิจารณามาตรวัดเลเบสและพีชคณิต 𝜎 ที่สอดคล้องกัน กำหนดฟังก์ชันโดยใช้สูตร ${\displaystyle \Sigma .}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}5,&{\text{if }}x=1\\-4,&{\text{if }}x=-1\\2,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

ค่าสูงสุดของฟังก์ชันนี้ (ค่ามากที่สุด) คือ 5 และค่าต่ำสุด (ค่าน้อยที่สุด) คือ −4 อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันนี้จะมีค่าเหล่านี้เฉพาะบนเซตและตามลำดับ ซึ่งมีมาตรเป็นศูนย์ ในทุกที่อื่น ฟังก์ชันจะมีค่าเป็น 2 ดังนั้น ค่าสูงสุดที่สำคัญและค่าต่ำสุดที่สำคัญของฟังก์ชันนี้จึงเป็น 2 ทั้งคู่ ${\displaystyle \{1\}}$${\displaystyle \{-1\},}$

อีกตัวอย่างหนึ่ง พิจารณาฟังก์ชัน ที่แทนจำนวนตรรกยะฟังก์ชันนี้ไม่มีขอบเขตทั้งจากด้านบนและด้านล่าง ดังนั้นค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดคือและตามลำดับ อย่างไรก็ตาม จากมุมมองของการวัดแบบเลเบส เซตของจำนวนตรรกยะมีการวัดเป็นศูนย์ ดังนั้นสิ่งที่สำคัญจริงๆ คือสิ่งที่เกิดขึ้นในส่วนเติมเต็มของเซตนี้ ซึ่งฟังก์ชันถูกกำหนดเป็นดังนั้น ค่าสูงสุดที่สำคัญคือในขณะที่ค่าต่ำสุดที่สำคัญคือ$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{3},&{\text{if }}x\in \mathbb {Q} \\\arctan x,&{\text{if }}x\in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Q} \\\end{cases}}}$$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle -\infty ,}$${\displaystyle \arctan x.}$${\displaystyle \pi /2}$${\displaystyle -\pi /2.}$

ในทางกลับกัน ลองพิจารณาฟังก์ชันที่กำหนดสำหรับจำนวนจริงทั้งหมดค่าสูงสุดที่สำคัญของฟังก์ชันนี้คือและค่าต่ำสุดที่สำคัญของฟังก์ชันนี้คือ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle +\infty ,}$${\displaystyle -\infty .}$

สุดท้ายนี้ ลองพิจารณาฟังก์ชัน จากนั้นสำหรับใดๆและดังนั้นและ$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/x,&{\text{if }}x\neq 0\\0,&{\text{if }}x=0.\\\end{cases}}}$$${\displaystyle a\in \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mu (\{x\in \mathbb {R} :1/x>a\})\geq {\tfrac {1}{|a|}}}$${\displaystyle U_{f}^{\operatorname {ess} }=\varnothing }$${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=+\infty .}$

ถ้าเช่นนั้น และมิเช่นนั้น ถ้ามีการวัดเป็นศูนย์แล้ว^{[ 1 ]}${\displaystyle \mu (X)>0}$$${\displaystyle \inf f~\leq ~\operatorname {ess} \inf f~\leq ~\operatorname {ess} \sup f~\leq ~\sup f.}$$${\displaystyle X}$$${\displaystyle +\infty ~=~\operatorname {ess} \inf f~\geq ~\operatorname {ess} \sup f~=~-\infty .}$$

ถ้าและสามารถวัดได้แล้ว ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

$${\displaystyle \operatorname {ess\,sup} (f+g)\leq \operatorname {ess\,sup} f+\operatorname {ess\,sup} g}$$

และ

$${\displaystyle \operatorname {ess\,inf} (f+g)\geq \operatorname {ess\,inf} f+\operatorname {ess\,inf} g.}$$

ถ้าและสามารถวัดได้ และถ้าเกือบทุกที่แล้ว ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f\leq g}$

$${\displaystyle \operatorname {ess\,sup} f\leq \operatorname {ess\,sup} g}$$

และ

$${\displaystyle \operatorname {ess\,inf} f\leq \operatorname {ess\,inf} g.}$$

ถ้าค่าสูงสุดที่สำคัญของฟังก์ชันสองฟังก์ชันและต่างก็เป็นค่าที่ไม่เป็นลบแล้ว ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \operatorname {ess} \sup(fg)~\leq ~(\operatorname {ess} \sup f)\,(\operatorname {ess} \sup g).}$

ค่าสูงสุดที่สำคัญของฟังก์ชันไม่ได้เป็นเพียงค่าต่ำสุดของขอบเขตบนที่สำคัญเท่านั้น แต่ยังรวมถึงค่าต่ำสุดของขอบเขตบนที่สำคัญเหล่านั้นด้วย ผลลัพธ์ที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับค่าต่ำสุดที่สำคัญเช่นกัน

เมื่อกำหนดปริภูมิการวัดปริภูมิที่ประกอบด้วยฟังก์ชันที่วัดได้ทั้งหมดซึ่งมีขอบเขตเกือบทุกที่คือปริภูมิเซมินอร์มซึ่งเซมินอร์ม คือค่าสูงสุดที่สำคัญของค่าสัมบูรณ์ของฟังก์ชันเมื่อ^{[ b ]}${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu ),}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(S,\mu )}$$${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|f(x)|\leq C{\text{ for almost every }}x\}={\begin{cases}\operatorname {ess} \sup |f|&{\text{ if }}0<\mu (S),\\0&{\text{ if }}0=\mu (S),\end{cases}}}$$${\displaystyle \mu (S)\neq 0.}$

• ช่วงที่จำเป็น
• ${\displaystyle L^{p}}$ปริภูมิ  – ปริภูมิฟังก์ชันที่ขยายความปริภูมิ p นอร์มมิติจำกัด