ในทางเศรษฐศาสตร์อรรถประโยชน์เชิงปริมาณไม่ได้แสดงเพียงแค่ว่าผลลัพธ์ใดในสองผลลัพธ์ที่ต้องการ แต่ยังแสดงถึงความเข้มข้นของความต้องการด้วยกล่าวคือผลลัพธ์หนึ่งดีกว่าหรือแย่กว่าอีกผลลัพธ์หนึ่งมากน้อยเพียงใด^{[ 1 ]}

ในทฤษฎีการเลือกของผู้บริโภคนักเศรษฐศาสตร์พยายามที่จะแทนที่อรรถประโยชน์เชิงปริมาณด้วยแนวคิดอรรถประโยชน์เชิงลำดับ ที่ดูเหมือนจะอ่อนกว่า อรรถประโยชน์เชิงปริมาณดูเหมือนจะตั้งสมมติฐานว่ามีระดับความพึงพอใจสัมบูรณ์อยู่จริงดังนั้นจึงสามารถเปรียบเทียบขนาดของการเพิ่มขึ้นของความพึงพอใจในสถานการณ์ต่างๆ ได้ อย่างไรก็ตาม นักเศรษฐศาสตร์ในช่วงทศวรรษ 1940 ได้พิสูจน์แล้วว่าภายใต้เงื่อนไขที่ไม่ซับซ้อน อรรถประโยชน์เชิงลำดับจะบ่งชี้ถึงอรรถประโยชน์เชิงปริมาณ ผลลัพธ์นี้เป็นที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีอรรถประโยชน์ของฟอน นอยมันน์-มอร์เกนสเติร์น และยังมี ทฤษฎีการแสดงอรรถประโยชน์ที่คล้ายคลึงกันอีกมากมายในบริบทอื่นๆ

ในปี ค.ศ. 1738 แดเนียล เบอร์นูลลีเป็นคนแรกที่ตั้งทฤษฎีเกี่ยวกับมูลค่าส่วนเพิ่มของเงิน เขาตั้งสมมติฐานว่ามูลค่าของเงินจำนวนเพิ่มเติมจะแปรผกผันกับทรัพย์สินทางการเงินที่บุคคลนั้นเป็นเจ้าของอยู่แล้ว เนื่องจากเบอร์นูลลีตั้งสมมติฐานโดยปริยายว่าสามารถค้นพบมาตรวัดระหว่างบุคคลสำหรับปฏิกิริยาอรรถประโยชน์ของบุคคลต่างๆ ได้ เขาจึงใช้แนวคิดเรื่องจำนวนสมาชิกในยุคแรกๆ โดยไม่ได้ตั้งใจ^{[ 2 ]}

ฟังก์ชันอรรถประโยชน์เชิง ลอการิทึมจินตนาการของเบอร์นูลลีและ ฟังก์ชัน U  =  W ^1/2 ของกาเบรียล เครเมอร์ นั้นถูกคิดค้นขึ้นในเวลานั้น ไม่ใช่เพื่อทฤษฎีอุปสงค์ แต่เพื่อแก้ปัญหาเกมเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก เบอร์นูลลีตั้งสมมติฐานว่า " โดยทั่วไปแล้วคนจนจะได้รับอรรถประโยชน์มากกว่าคนรวยจากผลกำไรที่เท่ากัน" ^{[ 3 ]}ซึ่งเป็นแนวทางที่ลึกซึ้งกว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ง่ายๆ ของเงิน เนื่องจากเกี่ยวข้องกับกฎแห่งความคาดหวังทางศีลธรรม

นักทฤษฎีในยุคแรกๆ เชื่อว่า อรรถประโยชน์มีคุณลักษณะที่สามารถวัดได้ในเชิงกายภาพ พวกเขาคิดว่าอรรถประโยชน์มีพฤติกรรมคล้ายกับขนาดของระยะทางหรือเวลา ซึ่งการใช้ไม้บรรทัดหรือนาฬิกาจับเวลาอย่างง่ายๆ จะทำให้ได้ค่าที่วัดได้ชัดเจน คำว่า "อรรถประโยชน์" (Utils) เป็นชื่อที่ใช้เรียกหน่วยในมาตราส่วนอรรถประโยชน์นั่นเอง

ในยุควิกตอเรียหลายแง่มุมของชีวิตกำลังตกอยู่ภายใต้การวัดปริมาณ^{[ 4 ]}ทฤษฎีอรรถประโยชน์เริ่มถูกนำมาใช้ในการอภิปรายปรัชญาศีลธรรมในไม่ช้า แนวคิดสำคัญในลัทธิอรรถประโยชน์นิยมคือการตัดสินการตัดสินใจของผู้คนโดยพิจารณาจากการเปลี่ยนแปลงของอรรถประโยชน์และวัดว่าพวกเขามีชีวิตที่ดีขึ้นหรือไม่ ผู้บุกเบิกหลักของหลักการอรรถประโยชน์นิยมตั้งแต่ปลายศตวรรษที่ 18 คือเจเรมี เบนแธมผู้เชื่อว่าอรรถประโยชน์สามารถวัดได้ด้วยการตรวจสอบภายในที่ซับซ้อน และควรเป็นแนวทางในการออกแบบนโยบายและกฎหมายทางสังคม สำหรับเบนแธม ระดับของความสุขมีหน่วยความเข้มข้นเป็น "ระดับความเข้มข้นของความสุขที่จางที่สุดที่สามารถแยกแยะได้ว่าเป็นความสุข" ^{[ 5 ]}เขายังกล่าวอีกว่าเมื่อความสุขเหล่านี้มีความเข้มข้นเพิ่มขึ้น ตัวเลขที่สูงขึ้นเรื่อยๆ ก็สามารถแสดงถึงความสุขเหล่านั้นได้^{[ 5 ]}ในศตวรรษที่ 18 และ 19 การวัดค่าประโยชน์ได้รับความสนใจอย่างมากจากสำนักเศรษฐศาสตร์การเมืองของยุโรป โดยเฉพาะอย่างยิ่งผ่านงานของ นักเศรษฐศาสตร์ เชิงส่วนเพิ่ม (เช่นWilliam Stanley Jevons [ ^{6 ] Léon} Walras , Alfred Marshall ) อย่างไรก็ตาม พวกเขาไม่ได้เสนอข้อโต้แย้งที่แข็งแกร่งเพื่อสนับสนุนสมมติฐานเรื่องการวัดค่าได้ ในกรณีของ Jevons เขาได้เพิ่มหมายเหตุในฉบับพิมพ์ครั้งหลังๆ ของงานของเขาเกี่ยวกับความยากลำบากในการประมาณค่าประโยชน์อย่างแม่นยำ^{[ 5 ]} Walras เองก็ต่อสู้ดิ้นรนมาหลายปีก่อนที่เขาจะสามารถพยายามทำให้สมมติฐานเรื่องการวัดค่าได้เป็นทางการได้^{[ 7 ]} Marshall มีความคลุมเครือเกี่ยวกับการวัดค่าสุขนิยมได้ เนื่องจากเขายึดมั่นในคุณสมบัติทางจิตวิทยาและสุขนิยม แต่เขาก็โต้แย้งว่าการทำเช่นนั้นเป็นเรื่อง "ไม่สมจริง" ^{[ 8 ]}

ผู้สนับสนุนทฤษฎีอรรถประโยชน์เชิงปริมาณในศตวรรษที่ 19 เสนอว่าราคาตลาดสะท้อนถึงอรรถประโยชน์ แม้ว่าพวกเขาจะไม่ได้กล่าวถึงความเข้ากันได้มากนัก (เช่น ราคาเป็นสิ่งที่เป็นกลางในขณะที่อรรถประโยชน์เป็นสิ่งที่เป็นอัตวิสัย) การวัดความสุข (หรือความเจ็บปวด ) ที่เป็นอัตวิสัยอย่างแม่นยำดูเหมือนจะเป็นเรื่องยาก ดังที่นักคิดในสมัยนั้นตระหนักดี พวกเขาจึงตั้งชื่ออรรถประโยชน์ ใหม่ด้วยวิธีการที่สร้างสรรค์ เช่นความมั่งคั่งที่เป็นอัตวิสัย ความ สุขโดยรวม คุณค่า ทางศีลธรรมความพึงพอใจทางจิตใจหรือophélimitéในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 19 มีการศึกษามากมายที่เกี่ยวข้องกับขนาดสมมตินี้—อรรถประโยชน์—แต่ข้อสรุปก็เหมือนกันเสมอ คือ เป็นไปไม่ได้ที่จะระบุได้อย่างแน่ชัดว่าสินค้ามีค่า 50, 75 หรือ 125 utils ต่อบุคคลหนึ่งหรือต่อบุคคลสองคน ยิ่งไปกว่านั้น การพึ่งพาอรรถประโยชน์เพียงอย่างเดียวกับแนวคิดเรื่องสุขนิยมทำให้แวดวงวิชาการเกิดความสงสัยในทฤษฎีนี้^{[ 9 ]}

ฟรานซิส เอดจ์เวิร์ธยังตระหนักถึงความจำเป็นในการนำทฤษฎีอรรถประโยชน์มาประยุกต์ใช้ในโลกแห่งความเป็นจริง เขาได้อภิปรายเกี่ยวกับการประเมินเชิงปริมาณที่บุคคลสามารถทำได้เกี่ยวกับความสุขของตนเองหรือความสุขของผู้อื่น โดยยืมวิธีการที่พัฒนาขึ้นในด้านจิตวิทยาเพื่อศึกษาการวัดความสุข: จิตฟิสิกส์สาขาจิตวิทยานี้สร้างขึ้นจากงานของเอิร์นส์ เอช. เวเบอร์แต่ในช่วงสงครามโลกครั้งที่ 1 นักจิตวิทยาเริ่มท้อแท้กับสาขานี้^{[ 10 ] [ 11 ]}

ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 คาร์ล เมนเกอร์และผู้ติดตามของเขาจากสำนักเศรษฐศาสตร์ออสเตรียได้ดำเนินการก้าวออกจากการวัดประโยชน์เป็นครั้งแรกอย่างประสบความสำเร็จ ในรูปแบบที่ชาญฉลาดของทฤษฎีการจัดลำดับการใช้งาน แม้จะละทิ้งความคิดเรื่องประโยชน์ที่วัดได้ (เช่น ความพึงพอใจทางจิตวิทยาที่แมปเข้ากับเซตของจำนวนจริง) เมนเกอร์ก็สามารถสร้างสมมติฐานเกี่ยวกับการตัดสินใจได้ โดยอาศัยเพียงสัจพจน์ไม่กี่ข้อเกี่ยวกับการจัดลำดับความชอบในการใช้สินค้าและบริการที่เป็นไปได้ ตัวอย่างเชิงตัวเลขของเขานั้น "แสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์เชิงลำดับ ไม่ใช่เชิงปริมาณ" ^{[ 12 ]}

อย่างไรก็ตาม มีการตีความงานของคาร์ล เมนเกอร์ในรูปแบบอื่น อีวาน มอสคาติและเจ. ฮัสตัน แมคคัลล็อกโต้แย้งว่าเมนเกอร์เป็นนักคาร์ดินัลแบบคลาสสิก เนื่องจากตัวอย่างเชิงตัวเลขของเขาไม่ได้เป็นเพียงภาพประกอบ แต่แสดงถึงสัดส่วนทางคณิตศาสตร์ที่ชัดเจนของมูลค่าระหว่างสินค้าทางเศรษฐกิจ^{[ 13 ] [ 14 ]}สัดส่วนทางคณิตศาสตร์ ผลรวม และการคูณมีลักษณะเป็นคาร์ดินัลโดยเนื้อแท้และไม่มีอยู่ในแบบจำลองเชิงลำดับ เมนเกอร์ยังระบุอย่างชัดเจนว่า: "ความพึงพอใจในความต้องการของเราเท่านั้นที่มีความสำคัญโดยตรงและทันทีต่อเรา ในแต่ละกรณีที่เป็นรูปธรรม ความสำคัญนี้วัดได้จากความสำคัญของความพึงพอใจต่างๆ ที่มีต่อชีวิตและความเป็นอยู่ที่ดีของเรา จากนั้นเราจะกำหนดขนาดเชิงปริมาณที่แน่นอนของความสำคัญนี้ให้กับสินค้าเฉพาะที่เราตระหนักว่าเราพึ่งพาโดยตรงสำหรับความพึงพอใจดังกล่าว" ^{[ 15 ]}

ในช่วงเปลี่ยนผ่านของศตวรรษที่ 19 นักเศรษฐศาสตร์แนวนีโอคลาสสิกเริ่มยอมรับวิธีการทางเลือกในการจัดการกับปัญหาเรื่องการวัดผลได้ ในปี 1900 พาเรโตลังเลที่จะวัดความสุขหรือความเจ็บปวดอย่างแม่นยำ เพราะเขาคิดว่าขนาดเชิงอัตวิสัยที่รายงานด้วยตนเองนั้นขาดความถูกต้องทางวิทยาศาสตร์ เขาต้องการหาวิธีทางเลือกในการจัดการกับอรรถประโยชน์ที่ไม่ต้องอาศัยการรับรู้ทางประสาทสัมผัสที่ไม่แน่นอน^{[ 16 ]}ผลงานหลักของพาเรโตเกี่ยวกับอรรถประโยชน์เชิงลำดับคือการสมมติว่าเส้นความไม่แตกต่างที่สูงกว่าจะมีอรรถประโยชน์มากกว่า แต่ไม่จำเป็นต้องระบุว่ามากกว่าเท่าใดเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ของการเพิ่มอัตราการทดแทนส่วนเพิ่ม

ผลงานและคู่มือของ Vilfredo Pareto, Francis Edgeworth, Irving FischerและEugene Slutskyได้ละทิ้งแนวคิดเรื่องอรรถประโยชน์เชิงปริมาณและทำหน้าที่เป็นจุดเปลี่ยนให้ผู้อื่นสานต่อแนวโน้มเรื่องลำดับ ตามที่ Viner กล่าวไว้^{[ 17 ]}นักคิดทางเศรษฐศาสตร์เหล่านี้ได้คิดค้นทฤษฎีที่อธิบายความชันเชิงลบของเส้นโค้งอุปสงค์ วิธีการของพวกเขาหลีกเลี่ยงการวัดอรรถประโยชน์โดยการสร้างแผนที่เส้นโค้งความไม่แตกต่างเชิง นามธรรมบางอย่าง

ในช่วงสามทศวรรษแรกของศตวรรษที่ 20 นักเศรษฐศาสตร์จากอิตาลีและรัสเซียคุ้นเคยกับแนวคิดของพาเรโตที่ว่าอรรถประโยชน์ไม่จำเป็นต้องเป็นเชิงปริมาณ ตามที่ชูลทซ์กล่าวไว้^{[ 18 ]}ในปี 1931 แนวคิดเรื่องอรรถประโยชน์เชิงลำดับยังไม่ได้รับการยอมรับจากนักเศรษฐศาสตร์ชาวอเมริกัน ความก้าวหน้าเกิดขึ้นเมื่อจอห์น ฮิกส์และรอย อัลเลนได้รวบรวม ทฤษฎี อรรถประโยชน์เชิงลำดับ ขึ้น ในปี 1934 ^{[ 19 ]}อันที่จริง หน้า 54–55 จากเอกสารนี้มีการใช้คำว่า "อรรถประโยชน์เชิงปริมาณ" เป็นครั้งแรก^{[ 20 ]}อย่างไรก็ตาม การวิเคราะห์ครั้งแรกเกี่ยวกับกลุ่มของฟังก์ชันอรรถประโยชน์ที่คงไว้โดยการแปลงเชิงเส้นตรงเกิดขึ้นในปี 1934 โดยออสการ์ ลังเก^{[ 21 ]}

ในปี พ.ศ. 2487 แฟรงค์ ไนท์ ได้โต้แย้งอย่างกว้างขวางเกี่ยวกับอรรถประโยชน์เชิงปริมาณ ในช่วงทศวรรษ พ.ศ. 2503 ปาร์ดุชชีได้ศึกษาการตัดสินขนาดของมนุษย์และเสนอทฤษฎีช่วงความถี่^{[ 22 ]}ตั้งแต่ปลายศตวรรษที่ 20 นักเศรษฐศาสตร์ได้ให้ความสนใจอีกครั้งในประเด็นการวัดความสุข^{[ 23 ] [ 24 ]}สาขานี้ได้พัฒนาวิธีการ การสำรวจ และดัชนีเพื่อวัดความสุข

คุณสมบัติหลายประการของฟังก์ชันอรรถประโยชน์เชิงปริมาณสามารถอนุมานได้โดยใช้เครื่องมือจากทฤษฎีการวัดและทฤษฎีเซต

ฟังก์ชันอรรถประโยชน์จะถือว่าสามารถวัดได้ หากความแรงของความชอบหรือความเข้มข้นของความพึงพอใจในสินค้าหรือบริการถูกกำหนดอย่างแม่นยำโดยใช้เกณฑ์วัตถุประสงค์บางอย่าง ตัวอย่างเช่น สมมติว่าการกินแอปเปิลให้ความสุขแก่คนคนหนึ่งครึ่งหนึ่งของการกินส้มพอดี นี่จะเป็นอรรถประโยชน์ที่วัดได้ก็ต่อเมื่อการทดสอบที่ใช้ในการวัดโดยตรงนั้นอิงตามเกณฑ์วัตถุประสงค์ที่ผู้สังเกตการณ์ภายนอกสามารถทำซ้ำผลลัพธ์ได้อย่างแม่นยำ^{[ 25 ]}วิธีสมมติฐานหนึ่งที่จะบรรลุเป้าหมายนี้คือการใช้เฮโดโนมิเตอร์ซึ่งเป็นเครื่องมือที่เอ็ดจ์เวิร์ธแนะนำว่าสามารถบันทึกระดับความสุขที่ผู้คนได้รับ โดยจะแตกต่างกันไปตามกฎของความคลาดเคลื่อน^{[ 10 ]}

ก่อนทศวรรษ 1930 นักเศรษฐศาสตร์เรียกความสามารถในการวัดฟังก์ชันอรรถประโยชน์อย่างผิดพลาดว่า "จำนวน" (cardinality) นักเศรษฐศาสตร์ที่ปฏิบัติตามสูตรของ Hicks-Allen ใช้ความหมายที่แตกต่างกันของจำนวน โดยถือว่าฟังก์ชันอรรถประโยชน์เชิงจำนวนสองฟังก์ชันเหมือนกัน หากฟังก์ชันเหล่านั้นรักษา ลำดับ ความชอบไว้อย่างไม่ซ้ำกันจนถึงการแปลงเชิงเส้นบวก^{[ 26 ] [ 27 ]}ประมาณปลายทศวรรษ 1940 นักเศรษฐศาสตร์บางคนถึงกับรีบออกมาโต้แย้งว่าการกำหนดสัจพจน์ของ von Neumann–Morgenstern เกี่ยวกับอรรถประโยชน์ที่คาดหวังได้ฟื้นคืนความสามารถในการวัด^{[ 16 ]}

ความสับสนระหว่างจำนวนและความสามารถในการวัดไม่ได้รับการแก้ไขจนกระทั่งผลงานของArmen Alchian [ ^{28 ]} William Baumol ^{[ 29 ]}และ John Chipman ^{[ 30 ] ชื่อบทความของ Baumol ที่ ว่า} "ประโยชน์เชิงจำนวนซึ่งเป็นเชิงลำดับ" แสดงให้เห็นถึงความสับสนทางความหมายของวรรณกรรมในขณะนั้นได้เป็นอย่างดี

การพิจารณาปัญหาเดียวกันนี้ในลักษณะที่ปรากฏในการสร้างมาตราส่วนการวัดในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ จะเป็นประโยชน์ ^{[ 31 ]}ในกรณีของอุณหภูมิมีอิสระสองระดับสำหรับการวัด คือ การเลือกหน่วยและศูนย์ มาตราส่วนอุณหภูมิที่แตกต่างกันจะแมปความเข้มของมันในรูปแบบที่แตกต่างกัน ในมาตราส่วนเซลเซียสศูนย์ถูกเลือกให้เป็นจุดที่น้ำแข็งตัว และในทำนองเดียวกัน ในทฤษฎีอรรถประโยชน์เชิงปริมาณ เราอาจคิดว่าการเลือกศูนย์จะสอดคล้องกับสินค้าหรือบริการที่ให้ประโยชน์ 0 หน่วย อย่างไรก็ตาม นี่ไม่จำเป็นต้องเป็นความจริงเสมอไป ดัชนีทางคณิตศาสตร์ยังคงเป็นเชิงปริมาณ แม้ว่าศูนย์จะถูกย้ายไปยังจุดอื่นโดยพลการ หรือหากการเลือกมาตราส่วนเปลี่ยนไป หรือหากทั้งมาตราส่วนและศูนย์เปลี่ยนไป ทุกสิ่งที่วัดได้จะถูกแมปไปยังฟังก์ชันเชิงปริมาณ แต่ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันเชิงปริมาณจะเป็นผลมาจากการแมปของทุกสิ่งที่วัดได้ จุดประสงค์ของตัวอย่างนี้คือเพื่อพิสูจน์ว่า (เช่นเดียวกับอุณหภูมิ) ยังคงสามารถคาดการณ์บางสิ่งบางอย่างเกี่ยวกับค่าสองค่าของฟังก์ชันอรรถประโยชน์ได้ แม้ว่าค่าอรรถประโยชน์จะถูกแปลงเป็นตัวเลขที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง ตราบใดที่ยังคงเป็นการแปลงเชิงเส้น

ฟอน นอยมันน์และมอร์เกนสเติร์นกล่าวว่า คำถามเกี่ยวกับการวัดปริมาณทางกายภาพนั้นเป็นเรื่องพลวัต ตัวอย่างเช่น อุณหภูมิเดิมทีเป็นเพียงตัวเลขที่มีการแปลงแบบโมโนโทนเท่านั้น แต่การพัฒนาเทอร์โมไดนามิกส์ของก๊าซอุดมคติทำให้เกิดการแปลงที่ไม่มีศูนย์สัมบูรณ์และหน่วยสัมบูรณ์ การพัฒนาต่อมาของเทอร์โมไดนามิกส์ได้กำหนดค่าศูนย์สัมบูรณ์ให้คงที่ ทำให้ระบบการแปลงในเทอร์โมไดนามิกส์ประกอบด้วยการคูณด้วยค่าคงที่เท่านั้น ตามที่ฟอน นอยมันน์และมอร์เกนสเติร์น (1944, หน้า 23) กล่าวไว้ว่า "ในแง่ของประโยชน์ใช้สอย สถานการณ์ดูเหมือนจะมีลักษณะคล้ายคลึงกัน [กับอุณหภูมิ]"

คำกล่าวต่อไปนี้ของอัลเคียนได้ช่วยชี้แจงถึงธรรมชาติที่แท้จริงของฟังก์ชันอรรถประโยชน์ได้อย่างชัดเจน:

เราสามารถกำหนดชุดตัวเลข (มาตรวัด) ให้กับสิ่งต่างๆ และทำนายได้หรือไม่ว่าสิ่งที่มีตัวเลข (มาตรวัด) มากที่สุดจะถูกเลือก? ถ้าเป็นเช่นนั้น เราอาจตั้งชื่อมาตรวัดนี้ว่า "อรรถประโยชน์" แล้วยืนยันว่าการเลือกนั้นทำไปเพื่อเพิ่มอรรถประโยชน์ให้สูงสุด นี่เป็นขั้นตอนง่ายๆ ไปสู่ข้อความที่ว่า "คุณกำลังเพิ่มอรรถประโยชน์ของคุณให้สูงสุด" ซึ่งหมายความเพียงแค่ว่าการเลือกของคุณสามารถทำนายได้ตามขนาดของตัวเลขที่กำหนดไว้ เพื่อความสะดวกในการวิเคราะห์ เป็นเรื่องปกติที่จะสมมติว่าแต่ละบุคคลพยายามเพิ่มสิ่งใดสิ่งหนึ่งให้สูงสุดภายใต้ข้อจำกัดบางประการ สิ่งนั้น – หรือมาตรวัดเชิงตัวเลขของ "สิ่งนั้น" – ที่เขาพยายามเพิ่มให้สูงสุดเรียกว่า "อรรถประโยชน์" ไม่ว่าอรรถประโยชน์จะเป็นความรู้สึกอบอุ่น ความสุข หรือความรื่นรมย์หรือไม่นั้นไม่สำคัญ สิ่งที่สำคัญคือเราสามารถกำหนดตัวเลขให้กับสิ่งต่างๆ หรือเงื่อนไขที่บุคคลสามารถพยายามทำให้เกิดขึ้นได้ จากนั้นเราก็กล่าวว่าบุคคลนั้นพยายามเพิ่มฟังก์ชันบางอย่างของตัวเลขเหล่านั้นให้สูงสุด น่าเสียดายที่ปัจจุบันคำว่า "ประโยชน์" ได้มีความหมายหลากหลายมากจนยากที่จะตระหนักว่าสำหรับวัตถุประสงค์ในปัจจุบัน ประโยชน์นั้นมีความหมายเพียงแค่นี้

ในปี พ.ศ. 2498 Patrick Suppesและ Muriel Winet ได้แก้ไขปัญหาเรื่องความสามารถในการแสดงความชอบด้วยฟังก์ชันอรรถประโยชน์เชิงปริมาณ และได้กำหนดชุดของสัจพจน์และลักษณะพื้นฐานที่จำเป็นสำหรับดัชนีอรรถประโยชน์นี้ให้ใช้งานได้^{[ 32 ]}

สมมติว่าตัวแทนถูกขอให้จัดลำดับความชอบของAเทียบกับBและความชอบของBเทียบกับCหากเขาพบว่าเขาสามารถระบุได้ว่า ตัวอย่างเช่น ระดับความชอบของAต่อBมากกว่าระดับความชอบของBต่อCเราสามารถสรุปข้อมูลนี้ได้ด้วยชุดตัวเลขสามตัวใดๆ ที่สอดคล้องกับอสมการสองข้อต่อไปนี้: U _A > U _B > U _CและU _A − U _B > U _B − U _C

ถ้าAและBเป็นจำนวนเงิน ตัวแทนสามารถเปลี่ยนแปลงจำนวนเงินที่แสดงด้วยBจนกว่าเขาจะบอกเราได้ว่าระดับความชอบของเขาที่มีต่อAเมื่อเทียบกับจำนวนเงินที่แก้ไขแล้วB ′เท่ากับระดับความชอบของเขาที่มี ต่อ B ′เมื่อเทียบกับCถ้าเขาพบB ′ ดังกล่าว ผลลัพธ์ของการดำเนินการครั้งสุดท้ายนี้จะแสดงออกมาด้วยชุดตัวเลขสามตัวใดๆ ที่สอดคล้องกับความสัมพันธ์U _A > U _{B ′} > U _CและU _A − U _{B ′} = U _{B ′} − U _Cชุดตัวเลขสามตัวสองชุดใดๆ ที่สอดคล้องกับความสัมพันธ์เหล่านี้จะต้องมีความสัมพันธ์กันโดยการแปลงเชิงเส้น พวกมันแสดงถึงดัชนีอรรถประโยชน์ที่แตกต่างกันเฉพาะขนาดและจุดเริ่มต้นเท่านั้น ในกรณีนี้ "จำนวนสมาชิก" หมายถึงเพียงแค่ความสามารถในการให้คำตอบที่สอดคล้องกันสำหรับคำถามเฉพาะเหล่านี้ การทดลองนี้ไม่จำเป็นต้องวัดอรรถประโยชน์ได้อิทซัค กิลบัวอธิบายได้อย่างชัดเจนว่าเหตุใดการวัดอรรถประโยชน์จึงไม่สามารถบรรลุได้ด้วยการพิจารณาตนเอง เพียงอย่างเดียว :

คุณอาจเคยประสบกับเหตุการณ์ที่กำลังถือของกองใหญ่ เช่น กระดาษหรือเสื้อผ้า แล้วไม่ทันสังเกตว่าทำหล่นไปบ้าง น้ำหนักที่ลดลงอาจไม่มากพอที่คุณจะสังเกตเห็นได้ วัตถุสองชิ้นอาจมีน้ำหนักใกล้เคียงกันมากจนเราอาจไม่รู้สึกถึงความแตกต่าง ปัญหานี้เป็นเรื่องปกติของการรับรู้ด้วยประสาทสัมผัสทุกอย่างของเรา หากผมถามว่าแท่งสองแท่งมีความยาวเท่ากันหรือไม่ ก็จะมีข้อแตกต่างเล็กน้อยจนคุณสังเกตไม่เห็น เช่นเดียวกับการรับรู้เสียง (ระดับเสียง ความถี่) แสง อุณหภูมิ และอื่นๆ...

ตามมุมมองนี้ สถานการณ์ที่บุคคลไม่สามารถแยกแยะความแตกต่างระหว่างAและBได้ จะนำไปสู่ความไม่แยแส ไม่ใช่เพราะความสอดคล้องของความชอบ แต่เป็นเพราะการรับรู้ที่ผิดพลาดของประสาทสัมผัส ยิ่งไปกว่านั้น ประสาทสัมผัสของมนุษย์จะปรับตัวให้เข้ากับระดับการกระตุ้นที่กำหนด แล้วจึงบันทึกการเปลี่ยนแปลงจากระดับพื้นฐานนั้น^{[ 34 ]}

สมมติว่าตัวแทนรายหนึ่งมีการจัดลำดับความชอบต่อผลลัพธ์แบบสุ่ม (เช่น การจับฉลาก) หากสามารถสอบถามตัวแทนเกี่ยวกับความชอบของเขาได้ ก็สามารถสร้างฟังก์ชันอรรถประโยชน์เชิงปริมาณที่แสดงถึงความชอบเหล่านั้นได้ นี่คือหัวใจสำคัญของทฤษฎีบทอรรถประโยชน์ของฟอน นอยมันน์-มอร์เกนสเติร์น

ในหมู่นักเศรษฐศาสตร์สวัสดิการของสำนักอรรถประโยชน์นิยม แนวโน้มทั่วไปคือการใช้ความพึงพอใจ (ในบางกรณี ความสุข) เป็นหน่วยวัดสวัสดิการ หากหน้าที่ของเศรษฐศาสตร์สวัสดิการคือการให้ข้อมูลที่จะเป็นประโยชน์ต่อนักปรัชญาสังคมหรือนักการเมืองในการตัดสินใจเกี่ยวกับสวัสดิการ แนวโน้มนี้อาจนำไปสู่จริยธรรมแบบสุขนิยมได้^{[ 35 ]}

ภายใต้กรอบแนวคิดนี้ การกระทำต่างๆ (รวมถึงการผลิตสินค้าและการให้บริการ) จะถูกตัดสินจากผลกระทบต่อความมั่งคั่งทางจิตใจของแต่ละบุคคล กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นวิธีการตัดสิน "ประโยชน์สูงสุดแก่คนจำนวนมากที่สุด" การกระทำที่ลดอรรถประโยชน์ของคนคนหนึ่งลง 75 หน่วยอรรถประโยชน์ ในขณะที่เพิ่มอรรถประโยชน์ของคนอีกสองคนคนละ 50 หน่วยอรรถประโยชน์ จะทำให้อรรถประโยชน์โดยรวมเพิ่มขึ้น 25 หน่วยอรรถประโยชน์ ดังนั้นจึงเป็นการมีส่วนร่วมในเชิงบวก ในขณะที่การกระทำที่ทำให้คนแรกเสียอรรถประโยชน์ไป 125 หน่วยอรรถประโยชน์ ในขณะที่ให้คนละ 50 หน่วยอรรถประโยชน์เท่ากัน จะส่งผลให้สูญเสียอรรถประโยชน์สุทธิ 25 หน่วยอรรถประโยชน์

หากคลาสของฟังก์ชันอรรถประโยชน์เป็นแบบคาร์ดินัล การเปรียบเทียบความแตกต่างของอรรถประโยชน์ภายในบุคคลเดียวกันจะได้รับอนุญาต นอกจากนี้ หากการเปรียบเทียบอรรถประโยชน์บางอย่างมีความหมายระหว่างบุคคล การแปลงเชิงเส้นที่ใช้ในการสร้างคลาสของฟังก์ชันอรรถประโยชน์จะต้องถูกจำกัดระหว่างบุคคล ตัวอย่างเช่น ความสามารถในการเปรียบเทียบหน่วยคาร์ดินัล ในสภาพแวดล้อมข้อมูลนั้น การแปลงที่ยอมรับได้คือฟังก์ชันเชิงเส้นที่เพิ่มขึ้น และนอกจากนี้ ปัจจัยการปรับขนาดจะต้องเหมือนกันสำหรับทุกคน สมมติฐานข้อมูลนี้อนุญาตให้มีการเปรียบเทียบความแตกต่างของอรรถประโยชน์ระหว่างบุคคล แต่ระดับอรรถประโยชน์ไม่สามารถเปรียบเทียบระหว่างบุคคลได้ เนื่องจากจุดตัดของการแปลงเชิงเส้นอาจแตกต่างกันไปในแต่ละบุคคล^{[ 36 ]}

• ตามทฤษฎีอรรถประโยชน์เชิงปริมาณเครื่องหมายของอรรถประโยชน์ส่วนเพิ่มของสินค้าจะมีค่าเหมือนกันสำหรับทุกการแสดงค่าเชิงตัวเลขของโครงสร้างความชอบเฉพาะอย่าง
• ขนาดของอรรถประโยชน์ส่วนเพิ่มจะไม่เท่ากันสำหรับดัชนีอรรถประโยชน์เชิงปริมาณทั้งหมดที่แสดงถึงโครงสร้างความชอบเฉพาะแบบเดียวกัน
• เครื่องหมายของอนุพันธ์ อันดับสองของฟังก์ชันอรรถประโยชน์ที่หาอนุพันธ์ได้ซึ่งเป็นฟังก์ชันเชิงปริมาณ จะมีค่าเดียวกันสำหรับทุกการแสดงโครงสร้างความชอบเฉพาะแบบในเชิงตัวเลข เนื่องจากโดยทั่วไปแล้วเครื่องหมายนี้จะเป็นลบ จึงมีโอกาสที่จะมีกฎของอรรถประโยชน์ส่วนเพิ่มที่ลดลงในทฤษฎีอรรถประโยชน์เชิง ปริมาณ
• ขนาด ของอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันอรรถประโยชน์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ นั้นไม่เท่ากันสำหรับดัชนีอรรถประโยชน์เชิงปริมาณทั้งหมดที่แสดงถึงโครงสร้างความชอบเฉพาะแบบเดียวกัน

ดัชนีประเภทนี้เกี่ยวข้องกับการเลือกภายใต้ความเสี่ยง ในกรณีนี้A , BและCคือลอตเตอรี่ที่เกี่ยวข้องกับผลลัพธ์ ต่างจากทฤษฎีอรรถประโยชน์เชิงปริมาณภายใต้ความแน่นอน ซึ่งความเป็นไปได้ในการเปลี่ยนจากความชอบไปสู่อรรถประโยชน์เชิงปริมาณนั้นแทบจะเป็นเรื่องเล็กน้อย ในที่นี้การสามารถแมปความชอบไปยังเซตของจำนวนจริงเป็นสิ่งสำคัญยิ่ง เพื่อให้สามารถดำเนินการคาดหวังทางคณิตศาสตร์ได้ เมื่อทำการแมปเสร็จแล้ว การแนะนำสมมติฐานเพิ่มเติมจะส่งผลให้พฤติกรรมของผู้คนเกี่ยวกับการเดิมพันที่ยุติธรรมมีความสอดคล้องกัน แต่การเดิมพันที่ยุติธรรมนั้น ตามนิยามแล้ว คือผลลัพธ์ของการเปรียบเทียบการพนันที่มีค่าคาดหวังเป็นศูนย์กับการพนันอื่น แม้ว่าจะเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างแบบจำลองทัศนคติต่อความเสี่ยงหากไม่วัดปริมาณอรรถประโยชน์ แต่ทฤษฎีนี้ไม่ควรตีความว่าเป็นการวัดความแข็งแกร่งของความชอบภายใต้ความแน่นอน^{[ 37 ]}

สมมติว่าผลลัพธ์บางอย่างมีความสัมพันธ์กับสภาวะธรรมชาติสามสภาวะ โดยที่x ₃เป็นที่ต้องการมากกว่าx ₂ซึ่งในทางกลับกันก็เป็นที่ต้องการมากกว่าx ₁ชุดผลลัพธ์นี้Xสามารถถือได้ว่าเป็นรางวัลเงินที่คำนวณได้ในเกมเสี่ยงโชคที่มีการควบคุม ซึ่งมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวโดยขึ้นอยู่กับปัจจัยสัดส่วนบวกหนึ่งตัวที่ขึ้นอยู่กับหน่วยเงิน

ให้L ₁และL ₂เป็นลอตเตอรี่สองชุดที่มีความน่าจะเป็นp ₁ , p ₂และp ₃ของx ₁ , x ₂และx ₃ตามลำดับ

${\displaystyle L_{1}=(0.6,0,0.4),}$

${\displaystyle L_{2}=(0,1,0)\ .}$

สมมติว่าบุคคลนั้นมีโครงสร้างความชอบภายใต้ความเสี่ยงดังต่อไปนี้:

${\displaystyle L_{1}\succ L_{2},}$

หมายความว่าL ₁เป็นที่ต้องการมากกว่าL ₂โดยการปรับเปลี่ยนค่าของp ₁และp ₃ในL ₁ในที่สุดจะมีค่าที่เหมาะสมบางค่า ( L _1' ) ซึ่งทำให้เธอไม่รู้สึกแตกต่างกันระหว่างค่านี้กับL ₂ —ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle L_{1}'=(0.5,0,0.5)}$

ทฤษฎีอรรถประโยชน์ที่คาดหวังบอกเราว่า

${\displaystyle EU(L_{1}')=EU(L_{2})}$

และดังนั้น

${\displaystyle (0.5)\times u(x_{1})+(0.5)\times u(x_{3})=1\times u(x_{2}).}$

ในตัวอย่างนี้จาก Majumdar ^{[ 38 ]}การกำหนดค่าศูนย์ของดัชนีอรรถประโยชน์เพื่อให้ค่าอรรถประโยชน์ของx ₁เป็น 0 และโดยการเลือกมาตราส่วนเพื่อให้ค่าอรรถประโยชน์ของx ₂เท่ากับ 1 จะได้

${\displaystyle (0.5)\times u(x_{3})=1.}$

${\displaystyle u(x_{3})=2.}$

แบบจำลองอรรถประโยชน์ที่มีหลายช่วงเวลา ซึ่งผู้คนจะลดทอนคุณค่าของอรรถประโยชน์ในอนาคต จำเป็นต้องใช้จำนวนสมาชิกเพื่อให้ฟังก์ชันอรรถประโยชน์มีพฤติกรรมที่ดี ตามที่Paul Samuelson กล่าว การเพิ่มค่าสูงสุดของผลรวมของอรรถประโยชน์ในอนาคตที่ลดทอนแล้ว หมายความว่าบุคคลสามารถจัดลำดับความแตกต่างของอรรถประโยชน์ได้^{[ 39 ]}

นักเขียนบางท่านได้แสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับลักษณะที่ชวนให้เข้าใจผิดของคำว่า "อรรถประโยชน์เชิงปริมาณ" และ "อรรถประโยชน์เชิงลำดับ" ที่ใช้ในศัพท์เฉพาะทางเศรษฐศาสตร์:

คำศัพท์เหล่านี้ ซึ่งดูเหมือนว่าจะถูกนำเสนอโดยฮิกส์และอัลเลน (1934) แทบไม่มีความเกี่ยวข้องกับแนวคิดเรื่องจำนวนเชิงอันดับและจำนวนเชิงปริมาณในทางคณิตศาสตร์เลย แต่กลับเป็นคำที่ใช้เรียกแทนแนวคิดเรื่องโฮโมมอร์ฟิซึมเชิงอันดับไปยังจำนวนจริงและโฮโมมอร์ฟิซึมเชิงกลุ่มไปยังจำนวนจริง

ยังคงมีนักเศรษฐศาสตร์ที่เชื่อว่าอรรถประโยชน์ หากไม่สามารถวัดได้ อย่างน้อยก็สามารถประมาณค่าได้บ้างเพื่อให้ได้รูปแบบการวัดบางอย่าง คล้ายกับราคาซึ่งไม่มีหน่วยวัดที่เป็นมาตรฐานเพื่อระบุระดับราคาที่แท้จริง แต่ก็ยังสามารถกำหนดดัชนีเพื่อให้ได้ "อัตราเงินเฟ้อ" (ซึ่งจริงๆ แล้วคือระดับการเปลี่ยนแปลงของราคาสินค้าที่มีดัชนีถ่วงน้ำหนัก) มาตรการเหล่านี้ไม่สมบูรณ์แบบ แต่สามารถใช้เป็นตัวแทนของอรรถประโยชน์ได้ แนวทางลักษณะเฉพาะของ Lancaster ^{[ 40 ]}เกี่ยวกับความต้องการของผู้บริโภคแสดงให้เห็นถึงประเด็นนี้

ตารางต่อไปนี้เปรียบเทียบฟังก์ชันอรรถประโยชน์สองประเภทที่ใช้กันทั่วไปในวิชาเศรษฐศาสตร์:

• ทฤษฎีอรรถประโยชน์ที่คาดหวัง
• ระดับการวัด
• อรรถประโยชน์ส่วนเพิ่ม
• ยูทิลิตี้หลายคุณลักษณะ
• คุณประโยชน์
• ทฤษฎีบทความเป็นไปไม่ได้ของแอร์โรว์
• กฎเสียงข้างมาก
• การลงคะแนนที่สามารถจัดเก็บได้

• การวัดความเข้มข้นของความชอบของผู้บริโภค
• "สู่การปฏิรูปเศรษฐศาสตร์ด้านอรรถประโยชน์และสวัสดิการ"