ในเศรษฐศาสตร์สวัสดิการการปรับปรุงแบบพาเรโต (Pareto improvement)เป็นการทำให้แนวคิดเรื่องผลลัพธ์ที่ "ดีขึ้นในทุกๆ ด้าน" เป็นรูปธรรม การเปลี่ยนแปลงใดๆ เรียกว่าเป็นการปรับปรุงแบบพาเรโต หากทำให้คนอย่างน้อยหนึ่งคนในสังคมมีชีวิตที่ดีขึ้นโดยไม่ทำให้คนอื่นมีชีวิตที่แย่ลงกว่าเดิม สถานการณ์ใดๆ เรียกว่ามีประสิทธิภาพแบบพาเรโต (Pareto efficient)หรือเหมาะสมที่สุดแบบพาเรโต (Pareto optimal)หากการปรับปรุงแบบพาเรโตที่เป็นไปได้ทั้งหมดได้เกิดขึ้นแล้ว กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ไม่มีวิธีใดเหลืออยู่ที่จะทำให้คนคนหนึ่งมีชีวิตที่ดีขึ้นโดยไม่ทำให้คนอื่นมีชีวิตที่แย่ลงอีกแล้ว

ในทฤษฎีการเลือกทางสังคมแนวคิดเดียวกันนี้บางครั้งเรียกว่าหลักการเอกฉันท์ซึ่งกล่าวว่า หากทุกคนในสังคม ( โดยไม่เคร่งครัด ) ชอบ A มากกว่า B สังคมโดยรวมก็จะชอบ A มากกว่า B โดยไม่เคร่งครัดเช่นกันแนวหน้าพาเรโตประกอบด้วยสถานการณ์ที่มีประสิทธิภาพแบบพาเรโตทั้งหมด

นอกจากบริบทของประสิทธิภาพในการจัดสรรแล้ว แนวคิดของประสิทธิภาพแบบพาเรโตยังเกิดขึ้นในบริบทของประสิทธิภาพในการผลิตเทียบกับความไม่มีประสิทธิภาพแบบ x ด้วยกล่าวคือ ชุดผลผลิตของสินค้าจะมีประสิทธิภาพแบบพาเรโตหากไม่มีการจัดสรรปัจจัยการผลิตใหม่ที่เป็นไปได้เพื่อให้ผลผลิตของผลิตภัณฑ์หนึ่งเพิ่มขึ้นในขณะที่ผลผลิตของสินค้าอื่น ๆ ทั้งหมดเพิ่มขึ้นหรือคงที่^{[ 1 ]}

นอกจากด้านเศรษฐศาสตร์แล้ว แนวคิดเรื่องประสิทธิภาพแบบพาเรโตยังถูกนำไปประยุกต์ใช้ในการเลือกทางเลือกในด้านวิศวกรรมและชีววิทยาด้วย โดยแต่ละทางเลือกจะได้รับการประเมินภายใต้เกณฑ์หลายประการก่อน จากนั้นจึงระบุชุดย่อยของทางเลือกที่มีคุณสมบัติว่าไม่มีทางเลือกอื่นใดที่สามารถเหนือกว่าทางเลือกที่ระบุไว้ได้อย่างชัดเจน นี่คือข้อความที่แสดงถึงความเป็นไปไม่ได้ที่จะปรับปรุงตัวแปรหนึ่งโดยไม่ทำให้ตัวแปรอื่นเสียหายในเรื่องของการเพิ่มประสิทธิภาพแบบหลายเป้าหมาย (เรียกอีกอย่างว่าการเพิ่มประสิทธิภาพแบบพาเรโต )

แนวคิดนี้ตั้งชื่อตามวิลเฟรโด ปาเรโต (ค.ศ. 1848–1923) วิศวกรโยธาและนักเศรษฐศาสตร์ ชาวอิตาลี ผู้ใช้แนวคิดนี้ในการศึกษาประสิทธิภาพทางเศรษฐกิจและการกระจายรายได้

เดิมที Pareto ใช้คำว่า "เหมาะสมที่สุด" สำหรับแนวคิดนี้ แต่คำนี้ค่อนข้างจะไม่ถูกต้องนักเพราะแนวคิดของ Pareto สอดคล้องกับแนวคิดเรื่อง "ประสิทธิภาพ" มากกว่า เนื่องจากไม่ได้ระบุผลลัพธ์ "ที่ดีที่สุด" (เหมาะสมที่สุด) เพียงอย่างเดียว แต่ระบุเพียงชุดของผลลัพธ์ที่อาจถือว่าเหมาะสมที่สุดโดยบุคคลอย่างน้อยหนึ่งคน^{[ 2 ]}

ตามหลักการแล้ว สถานะหนึ่งจะเรียกว่า สถานะที่เหมาะสมที่สุดแบบพาเรโต (Pareto optimal) หากไม่มีสถานะทางเลือกอื่นใดที่อย่างน้อยที่สุดจะมีผู้เข้าร่วมอย่างน้อยหนึ่งคนมีสุขภาวะสูงกว่า และไม่มีใครมีสุขภาวะต่ำกว่า หากมีการเปลี่ยนแปลงสถานะใดที่ตรงตามเงื่อนไขนี้ สถานะใหม่นั้นจะเรียกว่า "การปรับปรุงแบบพาเรโต" (Pareto improvement) เมื่อไม่มีการปรับปรุงแบบพาเรโตที่เป็นไปได้ สถานะนั้นจะเรียกว่า "สถานะที่เหมาะสมที่สุดแบบพาเรโต (Pareto optimum)"

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ประสิทธิภาพแบบพาเรโตคือเมื่อเป็นไปไม่ได้ที่จะทำให้ฝ่ายหนึ่งดีขึ้นโดยไม่ทำให้ฝ่ายอื่นแย่ลง^{[ 3 ]}สถานะนี้บ่งชี้ว่าทรัพยากรไม่สามารถจัดสรรในลักษณะที่ทำให้ฝ่ายหนึ่งดีขึ้นโดยไม่ทำร้ายฝ่ายอื่นได้อีกต่อไป ในสถานะประสิทธิภาพแบบพาเรโต ทรัพยากรจะถูกจัดสรรในวิธีที่มีประสิทธิภาพที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้^{[ 3 ]}

ในแง่ของทฤษฎีเกมโปรไฟล์กลยุทธ์sจะมีประสิทธิภาพแบบพาเรโตเมื่อไม่มีโปรไฟล์กลยุทธ์อื่นs ′ที่ทำให้u _i ( s ′ ) ≥ u _i ( s )สำหรับผู้เล่นi ทุกคน และu _j ( s ′ ) > u _j ( s )สำหรับผู้เล่นj บางคน ในสมการนี้uแทนอรรถประโยชน์หรือผลประโยชน์ และjแทนผู้เล่น^{[ 4 ]}

ประสิทธิภาพเป็นเกณฑ์สำคัญในการตัดสินพฤติกรรมในเกม ในเกมที่มีผลรวมเป็นศูนย์ ผลลัพธ์ทุกอย่างล้วนมีประสิทธิภาพแบบพาเรโต

กรณีพิเศษของสถานะหนึ่งคือการจัดสรรทรัพยากร การนำเสนอแนวคิดอย่างเป็นทางการในระบบเศรษฐกิจมีดังนี้: พิจารณาระบบเศรษฐกิจที่มีตัวแทนและสินค้า จากนั้นการจัดสรรโดยที่สำหรับทุกiจะเป็นการจัดสรรที่เหมาะสมที่สุดแบบพาเรโตหากไม่มีการจัดสรรที่เป็นไปได้อื่นใดโดยที่ สำหรับฟังก์ชันอรรถประโยชน์สำหรับตัวแทนแต่ละรายสำหรับทุก โดยที่สำหรับบางค่า[ ^{5 ] ใน}ระบบเศรษฐกิจที่เรียบง่ายนี้ "ความเป็นไปได้" หมายถึงการจัดสรรที่ปริมาณรวมของสินค้าแต่ละชนิดที่จัดสรรนั้นไม่เกินปริมาณรวมของสินค้าทั้งหมดในระบบเศรษฐกิจ ในระบบเศรษฐกิจที่ซับซ้อนกว่าที่มีการผลิต การจัดสรรจะประกอบด้วยเวกเตอร์ การบริโภค และเวกเตอร์การผลิต และความเป็นไปได้จะต้องการว่าปริมาณรวมของสินค้าที่บริโภคแต่ละชนิดนั้นไม่เกินปริมาณเริ่มต้นบวกกับปริมาณที่ผลิตได้ ${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$${\displaystyle x_{i}\in \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \{x_{1}',\dots ,x_{n}'\}}$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle u_{i}(x_{i}')\geq u_{i}(x_{i})}$${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$${\displaystyle u_{i}(x_{i}')>u_{i}(x_{i})}$${\displaystyle i}$

ภายใต้สมมติฐานของทฤษฎีสวัสดิการข้อแรกตลาดที่มีการแข่งขันจะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่มีประสิทธิภาพแบบพาเรโต ผลลัพธ์นี้ได้รับการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์เป็นครั้งแรกโดยนักเศรษฐศาสตร์Kenneth ArrowและGérard Debreu [ ^{6 ] อย่างไรก็ตาม}ผลลัพธ์นี้ใช้ได้เฉพาะภายใต้สมมติฐานของทฤษฎีเท่านั้น ได้แก่ มีตลาดสำหรับสินค้าที่เป็นไปได้ทั้งหมด ไม่มีผลกระทบภายนอกตลาดมีการแข่งขันอย่างสมบูรณ์ และผู้เข้าร่วมตลาดมีข้อมูลที่สมบูรณ์

ในกรณีที่ไม่มีข้อมูลที่สมบูรณ์หรือตลาดที่สมบูรณ์ ผลลัพธ์โดยทั่วไปจะไม่มีประสิทธิภาพแบบพาเรโต ตามทฤษฎีบทของกรีนวาลด์-สติกลิตซ์^{[ 7 ]}

ทฤษฎีสวัสดิการข้อที่สองโดยพื้นฐานแล้วเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับทฤษฎีสวัสดิการข้อแรก กล่าวคือ ภายใต้สมมติฐานที่คล้ายคลึงกันและเหมาะสมที่สุด จะสามารถบรรลุ Pareto optimum ใดๆ ก็ได้ด้วยสมดุลการแข่งขันหรือ ระบบ ตลาดเสรีแม้ว่าอาจต้องมีการโอนถ่ายความมั่งคั่งแบบเหมาจ่าย ด้วยก็ตาม ^{[ 5 ]}

หากมีเป้าหมายย่อยหลายเป้าหมาย(ที่มี) รวมกันเป็นฟังก์ชันวัตถุประสงค์แบบเวกเตอร์โดยทั่วไป การค้นหาค่าที่เหมาะสมที่สุดที่ไม่ซ้ำกันจะกลายเป็นเรื่องท้าทาย เนื่องจากไม่มีความสัมพันธ์ลำดับทั้งหมดซึ่งจะไม่ให้ความสำคัญกับเป้าหมายหนึ่งเหนือเป้าหมายอื่นเสมอไป (เช่นลำดับพจนานุกรม ) ในการตั้งค่าการเพิ่มประสิทธิภาพแบบหลายวัตถุประสงค์ โซลูชันต่างๆ อาจเปรียบเทียบกันไม่ได้^{[ 8 ]}เนื่องจากไม่มีความสัมพันธ์ลำดับทั้งหมดเพื่ออำนวยความสะดวกในการเปรียบเทียบมีเพียงลำดับพาเรโตเท่านั้นที่สามารถนำมาใช้ได้: ${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle i>1}$${\displaystyle {\vec {f}}=(f_{1},\dots f_{n})^{T}}$${\displaystyle {\vec {x}}^{*}}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle {\vec {f}}({\vec {x}}^{*})\geq {\vec {f}}({\vec {x}})}$

พิจารณาปัญหาการลดค่าเวกเตอร์: Pareto ครอบงำก็ต่อเมื่อ: ^{[ 9 ]}และจากนั้นเราเขียนโดยที่คือลำดับ Pareto ซึ่งหมายความว่าไม่แย่กว่าในเป้าหมายใดๆ แต่ดีกว่า (เนื่องจาก เล็กกว่า) ในเป้าหมายอย่างน้อยหนึ่งเป้าหมาย ลำดับ Pareto เป็นลำดับบางส่วน ที่เข้มงวด แม้ว่าจะไม่ใช่ลำดับผลคูณ (ไม่เข้มงวดหรือเข้มงวด) ${\displaystyle {\vec {y}}^{(1)}\in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle {\vec {y}}^{(2)}\in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \forall i\in \{1,\dots m\}:{\vec {y}}_{i}^{(1)}\leq {\vec {y}}_{i}^{(2)}}$${\displaystyle \exists j\in \{1,\dots m\}:{\vec {y}}_{j}^{(1)}<{\vec {y}}_{j}^{(2)}.}$${\displaystyle {\vec {y}}^{(1)}\prec {\vec {y}}^{(2)}}$${\displaystyle \prec }$${\displaystyle {\vec {y}}^{(1)}}$${\displaystyle {\vec {y}}^{(2)}}$${\displaystyle j}$

ถ้า^{[ 9 ]} แล้วสิ่งนี้จะกำหนดลำดับก่อนหน้าในพื้นที่การค้นหา และเรากล่าวว่าPareto ครอบงำทางเลือกอื่นและเราเขียน ${\displaystyle {\vec {f}}({\vec {x}__{1})\prec {\vec {f}}({\vec {x}__{2})}$${\displaystyle {\vec {x}__{1}}$${\displaystyle {\vec {x}__{2}}$${\displaystyle {\vec {x}__{1}\prec _{\vec {f}}{\vec {x}__{2}}$

ประสิทธิภาพ Pareto ที่อ่อนแอคือสถานการณ์ที่ไม่สามารถปรับปรุงได้อย่างเคร่งครัดสำหรับทุกคน^{[ 10 ]}

ตามหลักการแล้วการปรับปรุงแบบพาเรโตที่แข็งแกร่งหมายถึง สถานการณ์ที่ตัวแทนทุกฝ่ายได้รับประโยชน์อย่างชัดเจน (ตรงข้ามกับ "การปรับปรุงแบบพาเรโต" ทั่วไป ซึ่งหมายถึงตัวแทนหนึ่งฝ่ายได้รับประโยชน์อย่างชัดเจน และตัวแทนฝ่ายอื่น ๆ ได้รับประโยชน์อย่างน้อยเท่าเทียม) สถานการณ์ใด ๆ จะเรียกว่ามีประสิทธิภาพแบบพาเรโตที่อ่อนแอหากไม่มีการปรับปรุงแบบพาเรโตที่แข็งแกร่งเกิดขึ้น

การปรับปรุงแบบพาเรโตที่แข็งแกร่งใดๆ ก็เป็นการปรับปรุงแบบพาเรโตที่อ่อนแอด้วยเช่นกัน แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นความจริง ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาปัญหาการจัดสรรทรัพยากรที่มีทรัพยากรสองอย่าง ซึ่งอลิซให้คุณค่าที่ {10, 0} และจอร์จให้คุณค่าที่ {5, 5} ลองพิจารณาการจัดสรรที่ให้ทรัพยากรทั้งหมดแก่อลิซ ซึ่งโปรไฟล์อรรถประโยชน์คือ (10, 0):

• นี่คือ PO ที่อ่อนแอ เนื่องจากไม่มีการจัดสรรอื่นใดที่ดีกว่าอย่างชัดเจนสำหรับตัวแทนทั้งสองฝ่าย (ไม่มีการปรับปรุง Pareto ที่แข็งแกร่ง)
• แต่มันไม่ใช่ PO ที่แข็งแกร่ง เนื่องจากการจัดสรรที่จอร์จได้รับทรัพยากรที่สองนั้นดีกว่าสำหรับจอร์จอย่างชัดเจนและดีกว่าสำหรับอลิซเพียงเล็กน้อย (เป็นการปรับปรุง Pareto ที่อ่อนแอ) – โปรไฟล์อรรถประโยชน์ของมันคือ (10, 5)

ตลาดไม่จำเป็นต้องมีความอิ่มตัวในระดับท้องถิ่นเพื่อให้ได้จุดเหมาะสมแบบ Pareto ที่อ่อนแอ^{[ 11 ]}

ประสิทธิภาพ Pareto ที่ถูกจำกัดคือการลดทอนความเหมาะสมของ Pareto โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าผู้วางแผนที่มีศักยภาพ (เช่น รัฐบาล) อาจไม่สามารถปรับปรุงผลลัพธ์ของตลาดแบบกระจายอำนาจได้ แม้ว่าผลลัพธ์นั้นจะไม่มีประสิทธิภาพก็ตาม สิ่งนี้จะเกิดขึ้นหากถูกจำกัดด้วยข้อจำกัดด้านข้อมูลหรือสถาบันเช่นเดียวกับตัวแทนแต่ละราย^{[ 12 ]}

ตัวอย่างหนึ่งคือสถานการณ์ที่บุคคลมีข้อมูลส่วนตัว (เช่น ตลาดแรงงานที่ตัวคนงานรู้ถึงประสิทธิภาพการทำงานของตนเอง แต่ผู้ว่าจ้างไม่รู้ หรือตลาดรถยนต์มือสองที่ผู้ขายรู้ถึงคุณภาพของรถ แต่ผู้ซื้อไม่รู้) ซึ่งส่งผลให้เกิดความเสี่ยงทางศีลธรรมหรือการเลือกที่ไม่เหมาะสมและผลลัพธ์ที่ด้อยกว่าที่ควรจะเป็น ในกรณีเช่นนี้ ผู้กำหนดนโยบายที่ต้องการปรับปรุงสถานการณ์นั้นไม่น่าจะมีข้อมูลใดๆ ที่ผู้เข้าร่วมในตลาดไม่มี ดังนั้น ผู้กำหนดนโยบายจึงไม่สามารถใช้กฎการจัดสรรที่อิงตามลักษณะเฉพาะตัวของแต่ละบุคคลได้ ตัวอย่างเช่น "ถ้าคนเป็นประเภทAพวกเขาจะจ่ายราคาp1แต่ถ้าเป็นประเภทBพวกเขาจะจ่ายราคา_p2 " (ดูราคาของ Lindahl )โดยพื้นฐานแล้ว อนุญาตเฉพาะกฎที่ไม่ระบุชื่อ (เช่น "ทุกคนจ่ายราคาp ") หรือกฎที่อิงตามพฤติกรรมที่สังเกตได้ เช่น "ถ้าใครเลือกxในราคาpx พวกเขาจะได้รับเงินอุดหนุน _สิบดอลลาร์ และถ้าไม่เลือกอะไรเลยก็จะไม่ได้รับอะไร_"หากไม่มีกฎเกณฑ์ใดที่สามารถปรับปรุงผลลัพธ์ของตลาดให้ดีขึ้นได้ ผลลัพธ์นั้นจะเรียกว่า "ผลลัพธ์ที่เหมาะสมที่สุดแบบพาเรโตภายใต้ข้อจำกัด"

ประสิทธิภาพ Pareto แบบเศษส่วนเป็นการเสริมประสิทธิภาพ Pareto ในบริบทของการจัดสรรรายการที่เป็นธรรมการจัดสรรรายการที่แบ่งแยกไม่ได้จะมีประสิทธิภาพ Pareto แบบเศษส่วน (' fPEหรือfPO' ) หากไม่ถูกครอบงำโดย Pareto แม้กระทั่งการจัดสรรที่รายการบางส่วนถูกแบ่งระหว่างตัวแทน ซึ่งแตกต่างจากประสิทธิภาพ Pareto มาตรฐานที่พิจารณาเฉพาะการครอบงำโดยการจัดสรรที่เป็นไปได้ (แบบไม่ต่อเนื่อง) เท่านั้น^{[ 13 ] [ 14 ]}

ยกตัวอย่างเช่น พิจารณาปัญหาการจัดสรรสิ่งของสองชิ้น ซึ่งอลิซให้คุณค่าที่ {3, 2} และจอร์จให้คุณค่าที่ {4, 1} พิจารณาการจัดสรรโดยให้สิ่งของชิ้นแรกแก่อลิซและสิ่งของชิ้นที่สองแก่จอร์จ โดยที่โปรไฟล์อรรถประโยชน์คือ (3, 1):

• วิธีการนี้มีประสิทธิภาพแบบพาเรโต เนื่องจากวิธีการจัดสรรแบบไม่ต่อเนื่องอื่นๆ (โดยไม่แบ่งรายการ) จะทำให้ใครบางคนเสียเปรียบ
• อย่างไรก็ตาม มันไม่มีประสิทธิภาพแบบ Pareto เศษส่วน เนื่องจากมันถูกครอบงำโดย Pareto โดยการจัดสรรให้ Alice ครึ่งหนึ่งของรายการแรกและรายการที่สองทั้งหมด และอีกครึ่งหนึ่งของรายการแรกให้กับ George – โปรไฟล์อรรถประโยชน์ของมันคือ (3.5, 2)

เมื่อกระบวนการตัดสินใจเป็นแบบสุ่ม เช่น ในการมอบหมายแบบสุ่มที่เป็นธรรมหรือการเลือกทางสังคมแบบสุ่มหรือการลงคะแนนอนุมัติแบบเศษส่วนจะมีความแตกต่างระหว่าง ประสิทธิภาพพาเรโต แบบย้อนหลังและแบบล่วงหน้า :

• ประสิทธิภาพพาเรโตแบบย้อนหลัง หมายความว่า ผลลัพธ์ใดๆ ของกระบวนการสุ่มนั้นมีประสิทธิภาพพาเรโต
• ประสิทธิภาพพาเรโตแบบล่วงหน้า (Ex-ante Pareto efficiency) หมายความว่าการจับฉลากที่กำหนดโดยกระบวนการนั้นมีประสิทธิภาพพาเรโตในแง่ของ อรรถประโยชน์ ที่คาดหวังกล่าวคือ ไม่มีวิธีการจับฉลากอื่นใดที่ให้อรรถประโยชน์ที่คาดหวังสูงกว่าแก่ผู้รับผลประโยชน์รายหนึ่ง และให้อรรถประโยชน์ที่คาดหวังสูงกว่าหรือเท่ากับผู้รับผลประโยชน์ทุกราย

ถ้าลอตเตอรี่L ใดๆ เป็นแบบ Pareto Dominant (PE) ในเชิงล่วงหน้าแล้ว ก็จะเป็นแบบ Pareto Dominant (PE) ในเชิงภายหลังด้วย พิสูจน์ : สมมติว่าผลลัพธ์ในเชิงภายหลังxของLนั้น ถูกครอบงำโดยผลลัพธ์อื่นy ด้วยวิธี Pareto Dominant ดังนั้น โดยการเคลื่อนย้ายมวลความน่าจะเป็นบางส่วนจากxไปยังyจะได้ลอตเตอรี่L ′ อีกแบบหนึ่ง ที่ครอบงำ L ในเชิง Pareto Dominant ( PE)ใน เชิงล่วงหน้า

ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นความจริง: การประเมินมูลค่าล่วงหน้า (ex-ante PE) มีประสิทธิภาพมากกว่าการประเมินมูลค่าภายหลัง (ex-post PE) ตัวอย่างเช่น สมมติว่ามีสิ่งของสองชิ้น คือ รถยนต์และบ้าน อลิซประเมินมูลค่ารถยนต์ไว้ที่ 2 และบ้านที่ 3 ส่วนจอร์จประเมินมูลค่ารถยนต์ไว้ที่ 2 และบ้านที่ 9 ลองพิจารณาการจับสลากสองครั้งต่อไปนี้:

1. ด้วยความน่าจะเป็น1/2ให้รถยนต์แก่อลิซและบ้านแก่จอร์จ หรือให้รถยนต์แก่จอร์จและบ้านแก่อลิซ อรรถประโยชน์ที่คาดหวังคือ2/2 + 3/2 = 2.5สำหรับอลิซ และ2/2 + 9/2 = 5.5สำหรับจอร์จ การจัดสรรทั้งสองเป็นการจัดสรรแบบย้อนหลัง (ex-post PE) เนื่องจากผู้ที่ได้รับรถยนต์ไม่สามารถได้รับผลประโยชน์เพิ่มขึ้นโดยไม่ทำให้ผู้ที่ได้รับบ้านเสียเปรียบ
2. ด้วยความน่าจะเป็น 1 ให้รถกับอลิซ จากนั้นด้วยความน่าจะเป็น⁠1/3ให้บ้านกับอลิซ มิฉะนั้นให้บ้านกับจอร์จ อรรถประโยชน์ที่คาดหวังคือ2 + 3/3 = 3สำหรับอลิซ และ9 × 2/3 = 6สำหรับจอร์จ การจัดสรรทั้งสองแบบนี้เป็นการจัดสรรแบบย้อนหลัง (ex-post PE)

แม้ว่าลอตเตอรี่ทั้งสองจะเป็น Pareto Prediction (PE) แบบย้อนหลัง แต่ลอตเตอรี่ที่ 1 ไม่ใช่ Pareto Prediction (PE) แบบล่วงหน้า เนื่องจากถูกลอตเตอรี่ที่ 2 ครอบงำด้วย Pareto

ตัวอย่างอื่นเกี่ยวข้องกับความชอบแบบสองทาง [ ^{15 ] มี}ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 5 แบบ( a , b , c , d , e )และผู้ลงคะแนน 6 คน ชุดการอนุมัติของผู้ลงคะแนนคือ( ac , ad , ae , bc , bd , be )ผลลัพธ์ทั้งห้าแบบเป็น PE ดังนั้นการจับฉลากทุกครั้งจึงเป็น PE แบบย้อนหลัง แต่การจับฉลากที่เลือกc , d , eด้วยความน่าจะเป็น1/3 ต่อครั้งนั้นไม่ใช่ PE แบบล่วงหน้า เนื่องจากให้ประโยชน์ที่คาดหวัง1/3แก่ผู้ลงคะแนนแต่ละคน ในขณะที่การจับฉลากที่เลือกa , bด้วยความน่าจะเป็น1/2ต่อครั้งนั้นให้ประโยชน์ที่คาดหวัง 1/2แก่ผู้ลงคะแนนแต่ละคน

ประสิทธิภาพแบบเบย์เซียนเป็นการปรับใช้ประสิทธิภาพแบบพาเรโตให้เข้ากับสถานการณ์ที่ผู้เล่นมีข้อมูลไม่ครบถ้วนเกี่ยวกับประเภทของผู้เล่นคนอื่นๆ

ประสิทธิภาพพาเรโตเชิงลำดับ (Ordinal Pareto efficiency)เป็นการดัดแปลงประสิทธิภาพพาเรโตให้เข้ากับสถานการณ์ที่ผู้เล่นรายงานเฉพาะอันดับของสินค้าแต่ละรายการ และเราไม่ทราบแน่ชัดว่าพวกเขาจัดอันดับสินค้าทั้งชุดอย่างไร

แม้ว่าผลลัพธ์อาจเป็นการปรับปรุงแบบพาเรโต แต่นั่นไม่ได้หมายความว่าผลลัพธ์นั้นยุติธรรม เป็นไปได้ที่ความไม่เท่าเทียมกันจะยังคงอยู่แม้หลังจากการปรับปรุงแบบพาเรโตแล้ว ถึงแม้ว่าคำว่า "ประสิทธิภาพ" จะถูกใช้ร่วมกับแนวคิดเรื่องความเหมาะสมแบบพาเรโตบ่อยครั้ง แต่คำนี้หมายถึงกระบวนการเพิ่มผลผลิตของสังคม^{[ 16 ]}เป็นไปได้ที่สังคมจะมีประสิทธิภาพแบบพาเรโตในขณะที่ยังมีความไม่เท่าเทียมกันในระดับสูง ลองพิจารณาสถานการณ์ต่อไปนี้: มีพายหนึ่งชิ้นและคนสามคน วิธีที่ยุติธรรมที่สุดคือการแบ่งพายออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน อย่างไรก็ตาม หากพายถูกแบ่งครึ่งและแบ่งให้คนสองคน ถือว่ามีประสิทธิภาพแบบพาเรโต – หมายความว่าคนที่สามไม่ได้เสียเปรียบ (แม้ว่าเขาจะไม่ได้รับชิ้นส่วนของพายก็ตาม) เมื่อทำการตัดสินใจ จำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องพิจารณาแง่มุมต่างๆ มากมาย รวมถึงประสิทธิภาพทางสังคม สวัสดิภาพโดยรวม และประเด็นต่างๆ เช่น มูลค่าส่วนเพิ่มที่ลดลง

เพื่อให้เข้าใจถึงความล้มเหลวของตลาดอย่างถ่องแท้ จำเป็นต้องเข้าใจความสำเร็จของตลาดก่อน ซึ่งนิยามว่าคือความสามารถของชุดตลาดแข่งขันในอุดมคติที่จะบรรลุการจัดสรรทรัพยากรที่สมดุลซึ่งเหมาะสมที่สุดตามหลัก Pareto ในแง่ของการจัดสรรทรัพยากร ตามนิยามของความล้มเหลวของตลาด มันคือสถานการณ์ที่ข้อสรุปของทฤษฎีพื้นฐานข้อแรกของสวัสดิการผิดพลาด นั่นคือเมื่อการจัดสรรที่ทำผ่านตลาดไม่มีประสิทธิภาพ^{[ 17 ]}ในตลาดเสรี ความล้มเหลวของตลาดถูกนิยามว่าเป็นการจัดสรรทรัพยากรที่ไม่มีประสิทธิภาพ เนื่องจากเป็นไปได้ที่จะปรับปรุง ความล้มเหลวของตลาดจึงหมายถึงความไม่มีประสิทธิภาพตามหลัก Pareto ตัวอย่างเช่น การบริโภคสินค้าที่เสื่อมราคามากเกินไป (ยา/ยาสูบ) ส่งผลให้เกิดต้นทุนภายนอกต่อผู้ที่ไม่สูบบุหรี่ รวมถึงการเสียชีวิตก่อนวัยอันควรสำหรับผู้สูบบุหรี่ที่ไม่เลิก การเพิ่มราคาบุหรี่อาจกระตุ้นให้ผู้คนเลิกสูบบุหรี่ ในขณะเดียวกันก็ระดมทุนเพื่อรักษาโรคที่เกี่ยวข้องกับการสูบบุหรี่

เมื่อกำหนดค่าε > 0แล้ว ผลลัพธ์จะเรียกว่า มีประสิทธิภาพแบบ ε -Paretoหากไม่มีผลลัพธ์อื่นใดที่ให้ประโยชน์แก่ตัวแทนทุกรายอย่างน้อยเท่ากัน และตัวแทนรายหนึ่งได้รับประโยชน์สูงกว่าอย่างน้อย(1 +  ε )นี่แสดงให้เห็นว่าการปรับปรุงที่น้อยกว่า(1 +  ε )นั้นเล็กน้อยมากจนไม่ควรนำมาพิจารณาว่าเป็นข้อบกพร่องของประสิทธิภาพ

สมมติว่าตัวแทนแต่ละคนiได้รับค่าน้ำหนักบวกa _iสำหรับการจัดสรรx ทุกแบบ ให้กำหนดสวัสดิภาพของxว่าเป็นผลรวมถ่วงน้ำหนักของอรรถประโยชน์ของตัวแทนทั้งหมดในx :

$${\displaystyle W_{a}(x):=\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}(x).}$$

ให้x _aเป็นการจัดสรรที่ทำให้สวัสดิภาพสูงสุดเหนือการจัดสรรทั้งหมด:

$${\displaystyle x_{a}\in \arg \max _{x}W_{a}(x).}$$

สามารถแสดงให้เห็นได้อย่างง่ายดายว่าการจัดสรรx _a มีประสิทธิภาพแบบพาเรโต เนื่องจากน้ำหนักทั้งหมดเป็นบวก การ ปรับปรุง แบบพาเรโตใดๆ จะทำให้ผลรวมเพิ่มขึ้น ซึ่งขัดแย้งกับนิยามของx _a

Takashi Negishiนักเศรษฐศาสตร์ นีโอ- วาลราเซียนชาวญี่ปุ่นพิสูจน์^{[ 18 ]}ว่าภายใต้สมมติฐานบางประการ สิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน: สำหรับการจัดสรรที่มีประสิทธิภาพแบบพาเรโตทุกแบบxจะมีเวกเตอร์บวกa อยู่ ซึ่งx ทำให้ W _aมีค่าสูงสุดHal Varianได้ให้การพิสูจน์ที่สั้นกว่า^{[ 19 ]}

แนวคิดเรื่องประสิทธิภาพแบบพาเรโตถูกนำมาใช้ในงานวิศวกรรม^{[ 20 ]}เมื่อกำหนดชุดตัวเลือกและวิธีการประเมินค่าแล้วแนวหน้าพาเรโต (หรือชุดพาเรโตหรือขอบเขตพาเรโต ) คือชุดของตัวเลือกที่มีประสิทธิภาพแบบพาเรโต โดยการจำกัดความสนใจไว้ที่ชุดของตัวเลือกที่มีประสิทธิภาพแบบพาเรโต นักออกแบบสามารถทำการแลกเปลี่ยนภายในชุดนี้ได้ แทนที่จะพิจารณาพารามิเตอร์ทั้งหมด^{[ 21 ]}

ทฤษฎีเศรษฐศาสตร์จุลภาคสมัยใหม่ได้รับแรงบันดาลใจจากแนวคิดประสิทธิภาพของพาเรโตเป็นอย่างมาก พาเรโตและผู้สืบทอดของเขามักจะอธิบายคำจำกัดความทางเทคนิคของการจัดสรรทรัพยากรที่เหมาะสมที่สุดในบริบทของการเป็นสมดุลที่สามารถบรรลุได้ในทางทฤษฎีภายในแบบจำลองนามธรรมของการแข่งขันในตลาด ดังนั้นจึงมักถูกมองว่าเป็นการยืนยัน แนวคิด " มือที่มองไม่เห็น " ของอดัม สมิธโดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันเป็นแรงบันดาลใจให้เกิดการถกเถียงเรื่อง " สังคมนิยมตลาด " ในช่วงทศวรรษ 1930 ^{[ 2 ]}

อย่างไรก็ตาม เนื่องจากผลลัพธ์ที่มีประสิทธิภาพแบบพาเรโตนั้นประเมินได้ยากในโลกแห่งความเป็นจริง เมื่อมีปัญหาต่างๆ เช่น ข้อมูลที่ไม่สมมาตร การส่งสัญญาณ การเลือกที่ไม่เหมาะสม และความเสี่ยงทางศีลธรรม คนส่วนใหญ่จึงไม่ถือว่าทฤษฎีเศรษฐศาสตร์สวัสดิการเป็นคำอธิบายที่ถูกต้องของโลกแห่งความเป็นจริง ดังนั้น ความสำคัญของทฤษฎีเศรษฐศาสตร์สวัสดิการทั้งสองข้อจึงอยู่ที่ความสามารถในการสร้างกรอบความคิดที่ครอบงำความคิดแบบนีโอคลาสสิกเกี่ยวกับนโยบายสาธารณะ กรอบความคิดนั้นคือทฤษฎีเศรษฐศาสตร์สวัสดิการอนุญาตให้ศึกษาเศรษฐศาสตร์การเมืองในสองสถานการณ์ต่อไปนี้: "ความล้มเหลวของตลาด" และ "ปัญหาการกระจายรายได้ใหม่" ^{[ 22 ]}

การวิเคราะห์ "ความล้มเหลวของตลาด" สามารถเข้าใจได้จากวรรณกรรมที่เกี่ยวข้องกับผลกระทบภายนอก เมื่อเปรียบเทียบเศรษฐกิจ "จริง" กับเศรษฐกิจตลาดแบบมีเงื่อนไขที่สมบูรณ์ (ซึ่งถือว่ามีประสิทธิภาพ) ความไม่มีประสิทธิภาพก็จะปรากฏชัดเจน ความไม่มีประสิทธิภาพหรือผลกระทบภายนอกเหล่านี้สามารถแก้ไขได้ด้วยกลไกต่างๆ รวมถึงสิทธิในทรัพย์สินและภาษีแก้ไข^{[ 22 ]}

การวิเคราะห์ "ปัญหาเกี่ยวกับการกระจายรายได้ใหม่" เกี่ยวข้องกับคำถามทางการเมืองที่สังเกตได้ว่าควรใช้ภาษีรายได้หรือภาษีสินค้าอย่างไร ทฤษฎีบทบอกเราว่าการเก็บภาษีแบบไม่มีรูปแบบใดมีประสิทธิภาพแบบพาเรโต และการเก็บภาษีพร้อมการกระจายรายได้ใหม่นั้นไม่มีประสิทธิภาพแบบพาเรโต ด้วยเหตุนี้ วรรณกรรมส่วนใหญ่จึงมุ่งเน้นไปที่การหาวิธีแก้ปัญหา โดยพิจารณาว่าโครงสร้างภาษีที่มีอยู่แล้วนั้น จะสามารถกำหนดสถานการณ์ที่ไม่มีใครได้รับประโยชน์มากขึ้นจากการเปลี่ยนแปลงภาษีที่มีอยู่ได้อย่างไร^{[ 22 ]}

การเพิ่มประสิทธิภาพแบบพาเรโตยังได้รับการศึกษาในกระบวนการทางชีววิทยาด้วย^{[ 23 ]}ในแบคทีเรียพบว่ายีนนั้น สร้างได้ง่าย (ประหยัดทรัพยากร) หรืออ่านได้ง่ายกว่า (มีประสิทธิภาพ ในการแปล ) การคัดเลือกโดยธรรมชาติจะผลักดันยีนที่มีการแสดงออกสูงไปสู่ขอบเขตพาเรโตเพื่อการใช้ทรัพยากรและประสิทธิภาพในการแปล^{[ 24 ]}นอกจากนี้ยังพบว่ายีนที่อยู่ใกล้ขอบเขตพาเรโตมีการวิวัฒนาการช้าลง (ซึ่งบ่งชี้ว่ายีนเหล่านั้นให้ข้อได้เปรียบในการคัดเลือก) ^{[ 25 ]}

การถือว่าประสิทธิภาพแบบพาเรโตเทียบเท่ากับการเพิ่มประสิทธิภาพทางสังคมนั้นไม่ถูกต้อง^{[ 26 ]}เนื่องจากอย่างหลังเป็น แนวคิด เชิงบรรทัดฐานซึ่งเป็นเรื่องของการตีความที่โดยทั่วไปจะคำนึงถึงผลที่ตามมาของระดับความไม่เท่าเทียมกันของการกระจาย^{[ 27 ]}ตัวอย่างเช่น การตีความเขตโรงเรียนหนึ่งที่มีรายได้จากภาษีทรัพย์สินต่ำเมื่อเทียบกับอีกเขตหนึ่งที่มีรายได้สูงกว่ามากว่าเป็นสัญญาณว่ามีการกระจายที่เท่าเทียมกันมากขึ้นด้วยความช่วยเหลือจากการกระจายรายได้ของรัฐบาล^{[ 28 ]}

นักวิจารณ์บางคนโต้แย้งว่าประสิทธิภาพแบบพาเรโตอาจทำหน้าที่เป็นเครื่องมือทางอุดมการณ์ได้ โดยที่มันบ่งชี้ว่าระบบทุนนิยมมีการควบคุมตนเอง จึงเป็นไปได้ว่าปัญหาเชิงโครงสร้างที่ฝังอยู่ เช่น การว่างงาน จะถูกมองว่าเป็นการเบี่ยงเบนจากสมดุลหรือบรรทัดฐาน และจึงถูกละเลยหรือมองข้ามไป^{[ 2 ]}

ประสิทธิภาพแบบพาเรโตไม่จำเป็นต้องมีการกระจายความมั่งคั่งอย่างเท่าเทียมกันโดยสมบูรณ์ ซึ่งเป็นอีกแง่มุมหนึ่งที่ก่อให้เกิดการวิพากษ์วิจารณ์^{[ 29 ]}เศรษฐกิจที่คนรวยเพียงไม่กี่คนถือครองทรัพยากรส่วนใหญ่สามารถมีประสิทธิภาพแบบพาเรโตได้ ตัวอย่างง่ายๆ คือการแบ่งพายให้กับคนสามคน การแบ่งที่ยุติธรรมที่สุดคือการแบ่งหนึ่งในสามให้แต่ละคน อย่างไรก็ตาม การแบ่งครึ่งส่วนให้กับคนสองคนและไม่แบ่งให้คนที่สามก็ยังถือว่าเหมาะสมที่สุดแบบพาเรโตถึงแม้จะไม่ยุติธรรมก็ตาม เพราะไม่มีผู้รับคนใดที่จะได้รับประโยชน์มากขึ้นโดยไม่ลดส่วนแบ่งของคนอื่น และยังมีตัวอย่างการแบ่งแบบนี้อีกมากมาย ตัวอย่างของการแบ่งพายที่ไม่มีประสิทธิภาพแบบพาเรโตคือการจัดสรรพายหนึ่งในสี่ให้กับคนสามคน โดยทิ้งส่วนที่เหลือไป^{[ 30 ]}

ปรากฏการณ์ความขัดแย้งแบบเสรีนิยมที่อธิบายโดยAmartya Senแสดงให้เห็นว่าเมื่อผู้คนมีความชอบในสิ่งที่คนอื่นทำ เป้าหมายของประสิทธิภาพแบบพาเรโตอาจขัดแย้งกับเป้าหมายของเสรีภาพส่วนบุคคล^{[ 31 ]}

สุดท้ายนี้ มีการเสนอว่าประสิทธิภาพแบบพาเรโตอาจขัดขวางการอภิปรายเกี่ยวกับเกณฑ์ประสิทธิภาพอื่นๆ ที่เป็นไปได้ในระดับหนึ่ง ดังที่ ศาสตราจารย์เบน ล็อกวูด แห่งโรงเรียนวอร์ตันได้โต้แย้งไว้ เหตุผลหนึ่งที่เป็นไปได้ก็คือ เกณฑ์ประสิทธิภาพอื่นๆ ที่กำหนดขึ้นในโดเมนนีโอคลาสสิกจะลดลงเหลือประสิทธิภาพแบบพาเรโตในที่สุด^{[ 2 ]}

• ฟูเดนเบิร์ก, ดรูว์ ; ทิโรล, ฌอง (1991) ทฤษฎีเกม . เคมบริดจ์ แมสซาชูเซตส์: สำนัก พิมพ์MITหน้า  18–23 . ไอเอสบีเอ็น 9780262061414.ตัวอย่างหนังสือ
• Bendor, Jonathan; Mookherjee, Dilip (เมษายน 2551). "บรรทัดฐานชุมชนนิยมเทียบกับบรรทัดฐานสากลนิยม". วารสารรัฐศาสตร์รายไตรมาส 3 ( 1): 33– 61. doi : 10.1561/100.00007028 .
• Kanbur, Ravi (มกราคม–มิถุนายน 2548). "การแก้แค้นของพาเรโต" (PDF) . วารสารการพัฒนาสังคมและเศรษฐกิจ . 7 (1): 1– 11.
• Ng, Yew-Kwang (2004). เศรษฐศาสตร์สวัสดิการสู่การวิเคราะห์ที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้น . เบซิงสโตก, แฮมป์เชียร์ / นิวยอร์ก: Palgrave Macmillan. ISBN 9780333971215.
• รูบินสไตน์, อาริเอล ; ออสบอร์น, มาร์ติน เจ. (1994). "บทนำ". ในรูบินสไตน์, อาริเอล ; ออสบอร์น, มาร์ติน เจ. (บรรณาธิการ). หลักสูตรทฤษฎีเกม . เคมบริดจ์, แมสซาชูเซตส์: สำนักพิมพ์ MIT. หน้า  6–7 . ISBN 9780262650403.ตัวอย่างหนังสือ
• Mathur, Vijay K. (ฤดูใบไม้ผลิ 1991). "เรารู้จัก Pareto optimality ดีแค่ไหน?" วารสารการศึกษาเศรษฐศาสตร์ 22 ( 2): 172– 178. doi : 10.2307/1182422 . JSTOR  1182422 .
• Newbery, David MG ; Stiglitz, Joseph E. (มกราคม 1984). "การค้าที่ด้อยกว่าแบบพาเรโต". The Review of Economic Studies . 51 (1): 1– 12. doi : 10.2307/2297701 . JSTOR  2297701 .