เศรษฐศาสตร์สวัสดิการมีทฤษฎีพื้นฐานสอง ข้อ ข้อแรกกล่าวว่าในภาวะสมดุลทางเศรษฐกิจชุดของตลาดที่สมบูรณ์พร้อมข้อมูลที่สมบูรณ์และการแข่งขันที่สมบูรณ์แบบจะเป็นPareto optimal (ในแง่ที่ว่าการแลกเปลี่ยนเพิ่มเติมจะไม่ทำให้บุคคลหนึ่งดีขึ้นโดยไม่ทำให้บุคคลอื่นแย่ลง) ข้อกำหนดสำหรับการแข่งขันที่สมบูรณ์แบบมีดังนี้: ^{[ 1 ]}

1. ไม่มีผลกระทบภายนอกและผู้เกี่ยวข้องแต่ละฝ่ายมีข้อมูลที่สมบูรณ์แบบ
2. ทั้งบริษัทและผู้บริโภคต่างยอมรับราคาเป็นค่าคงที่ (ไม่มีผู้เล่นทางเศรษฐกิจหรือกลุ่มผู้เล่นใดมีอำนาจเหนือตลาด )

บางครั้งทฤษฎีบทนี้ถูกมองว่าเป็นการยืนยันเชิงวิเคราะห์ของ หลักการ " มือที่มองไม่เห็น " ของอดัม สมิธกล่าวคือตลาดแข่งขันรับประกันการจัดสรรทรัพยากรอย่างมีประสิทธิภาพอย่างไรก็ตาม ไม่มีการรับประกันว่าผลลัพธ์ของตลาดที่เหมาะสมที่สุดตามหลักพาเรโตจะมีความเท่าเทียมกันเนื่องจากมีการจัดสรรทรัพยากรที่มีประสิทธิภาพตามหลักพาเรโตหลายแบบที่แตกต่างกันในด้านความน่าปรารถนา (เช่น คนหนึ่งอาจเป็นเจ้าของทุกอย่างและคนอื่นไม่มีอะไรเลย) ^{[ 2 ]}

ทฤษฎีบทที่สองระบุว่า Pareto optimum ใดๆ ก็สามารถได้รับการสนับสนุนในฐานะสมดุลการแข่งขันสำหรับชุดการจัดสรรเริ่มต้นบางชุด นัยยะก็คือ ผลลัพธ์ Pareto optimal ที่ต้องการใดๆ ก็สามารถได้รับการสนับสนุนได้ ประสิทธิภาพ Pareto สามารถบรรลุได้ด้วยการกระจายความมั่งคั่งเริ่มต้นใหม่ อย่างไรก็ตาม ความพยายามในการแก้ไขการกระจายอาจทำให้เกิดความบิดเบือน ดังนั้นความเหมาะสมที่สุดอย่างสมบูรณ์อาจไม่สามารถบรรลุได้ด้วยการกระจายใหม่^{[ 3 ]}

ทฤษฎีบทเหล่านี้สามารถแสดงให้เห็นเป็นภาพได้สำหรับระบบเศรษฐกิจแลกเปลี่ยนบริสุทธิ์ อย่างง่าย โดยใช้แผนภาพ กล่องเอ็ดจ์เวิร์ธ

ในการอภิปรายเรื่องภาษีนำเข้า อดัม สมิธเขียนไว้ว่า:

ทุกคนย่อมต้องทำงานอย่างหนักเพื่อให้รายได้ประจำปีของสังคมมีมากที่สุดเท่าที่จะทำได้... ในเรื่องนี้ เช่นเดียวกับในหลายๆ เรื่อง เขาถูกนำทางโดยมือที่มองไม่เห็นให้ส่งเสริมเป้าหมายที่ไม่ได้อยู่ในความตั้งใจของเขา... โดยการแสวงหาผลประโยชน์ส่วนตัว เขามักจะส่งเสริมผลประโยชน์ของสังคมได้อย่างมีประสิทธิภาพมากกว่าเมื่อเขาตั้งใจจะส่งเสริมผลประโยชน์ของสังคมจริงๆ^{[ 4 ]}

โปรดทราบว่าแนวคิดของสมิธไม่ได้มุ่งเป้าไปที่เศรษฐศาสตร์สวัสดิการโดยเฉพาะ เนื่องจากสาขาเศรษฐศาสตร์นี้ยังไม่ได้ถูกสร้างขึ้นในขณะนั้น อย่างไรก็ตาม ข้อโต้แย้งของเขาได้รับการยกย่องว่ามีส่วนในการสร้างสาขานี้ รวมถึงทฤษฎีพื้นฐานของเศรษฐศาสตร์สวัสดิการด้วย^{[ 5 ]}

Walrasเขียนว่า 'การแลกเปลี่ยนภายใต้การแข่งขันเสรีเป็นการดำเนินการที่ทุกฝ่ายได้รับความพึงพอใจสูงสุดภายใต้เงื่อนไขการซื้อและขายในราคาเดียวกัน' ^{[ 6 ]}

เอ็ดจ์เวิร์ธได้ก้าวไปสู่ทฤษฎีบทพื้นฐานข้อแรกในหนังสือ 'Mathematical Psychics' ของเขา โดยพิจารณาเศรษฐกิจแลกเปลี่ยนบริสุทธิ์ที่ไม่มีการผลิต เขาได้รวมการแข่งขันที่ไม่สมบูรณ์ไว้ในการวิเคราะห์ของเขา^{[ 7 ]}คำจำกัดความของสมดุลของเขานั้นเกือบจะเหมือนกับคำจำกัดความของความเหมาะสมที่สุดของพาเรโตในภายหลัง นั่นคือ จุดที่...

ไม่ว่าเราจะก้าวไป ในทิศทางใดด้วยก้าวที่เล็กมากPและ Π [อรรถประโยชน์ของผู้ซื้อและผู้ขาย] ก็ไม่ได้เพิ่มขึ้นพร้อมกัน แต่ในขณะที่หนึ่งเพิ่มขึ้น อีกอันหนึ่งกลับลดลง^{[ 8 ]}

แทนที่จะสรุปว่าจุดสมดุลนั้นเป็นจุดที่เหมาะสมที่สุดตามหลักพาเรโต เอ็ดจ์เวิร์ธกลับสรุปว่าจุดสมดุลนั้นทำให้ผลรวมของอรรถประโยชน์ของทั้งสองฝ่ายสูงสุด ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของประสิทธิภาพตามหลักพาเรโต

ดูเหมือนว่าหลักการพลวัตทั่วไปที่นำมาใช้กับกรณีพิเศษนี้จะส่งผลให้สมดุลเกิดขึ้นเมื่อพลังงานความพึงพอใจโดยรวมของผู้รับเหมามีค่าสูงสุดเมื่อเทียบกับเงื่อนไข... ^{[ 9 ]}

Paretoได้กล่าวถึงทฤษฎีบทพื้นฐานข้อแรกในManuale ของเขา (1906) และด้วยความแม่นยำยิ่งขึ้นในการแก้ไขภาษาฝรั่งเศส ( Manuel , 1909) ^{[ 10 ]}เขาเป็นคนแรกที่อ้างความเหมาะสมที่สุดภายใต้เกณฑ์ของเขาเองหรือสนับสนุนข้ออ้างดังกล่าวด้วยข้อโต้แย้งที่น่าเชื่อถือ

เขาให้คำจำกัดความของสมดุลในเชิงนามธรรมมากกว่าเอ็ดจ์เวิร์ธว่าเป็นสถานะที่จะคงอยู่อย่างไม่มีกำหนดหากไม่มีแรงกดดันจากภายนอก^{[ 11 ]}และแสดงให้เห็นว่าในระบบเศรษฐกิจแบบแลกเปลี่ยน มันคือจุดที่เส้นสัมผัสร่วมของเส้นโค้งความไม่แตกต่างของฝ่ายต่างๆ ผ่านจุดกำเนิด^{[ 12 ]}

นิยามของคำว่า "ความเหมาะสมที่สุด" ของเขาได้ระบุไว้ในบทที่ 6:

เราจะกล่าวว่าสมาชิกของกลุ่มจะได้รับความพึงพอใจสูงสุด [เช่น ประโยชน์] ณ ตำแหน่งหนึ่ง เมื่อไม่สามารถขยับไปเพียงเล็กน้อยเพื่อให้ความพึงพอใจที่แต่ละบุคคลในกลุ่มได้รับเพิ่มขึ้นหรือลดลงได้ [ก่อนหน้านี้เขาได้นิยามการเพิ่มขึ้นของความพึงพอใจของแต่ละบุคคลว่าเป็นการเคลื่อนไปบนเส้นความไม่แตกต่างที่สูงขึ้น] กล่าวคือ การก้าวไปเพียงเล็กน้อยย่อมทำให้ความพึงพอใจของบางคนเพิ่มขึ้น ในขณะที่ความพึงพอใจของคนอื่นลดลง^{[ 13 ]}

ย่อหน้าต่อไปนี้เสนอทฤษฎีบทหนึ่งแก่เรา:

สำหรับปรากฏการณ์ประเภทที่ 1 [เช่น การแข่งขันสมบูรณ์] เมื่อสมดุลเกิดขึ้น ณ จุดสัมผัสของเส้นความไม่แตกต่าง สมาชิกของกลุ่มจะได้รับผลประโยชน์สูงสุด

เขากล่าวเสริมว่า 'ไม่สามารถพิสูจน์อย่างเข้มงวดได้หากปราศจากความช่วยเหลือทางคณิตศาสตร์' และอ้างถึงภาคผนวกของเขา^{[ 14 ]}

วิกเซลล์ได้แสดงความคิดเห็นโดยอ้างอิงถึงนิยามของคำว่า "ความเหมาะสมที่สุด" ว่า:

ด้วยคำจำกัดความดังกล่าว แทบจะเป็นที่ประจักษ์ชัดว่าค่าสูงสุดที่เรียกกันนี้เกิดขึ้นภายใต้การแข่งขันเสรี เพราะหากหลังจากการแลกเปลี่ยนเกิดขึ้นแล้ว เป็นไปได้ที่จะสร้างความพึงพอใจเพิ่มเติมให้กับความต้องการของผู้เข้าร่วมโดยผ่านการแลกเปลี่ยนโดยตรงหรือโดยอ้อมอีกหลายครั้ง การแลกเปลี่ยนที่ต่อเนื่องดังกล่าวก็จะเกิดขึ้นอย่างแน่นอน และสถานะเดิมก็ไม่สามารถเป็นสถานะสมดุลขั้นสุดท้ายได้^{[ 15 ]}

ปาเรโตไม่ได้มองว่ามันตรงไปตรงมาขนาดนั้น เขาให้เหตุผลเชิงแผนภาพในข้อความของเขา โดยนำไปใช้กับการแลกเปลี่ยนเท่านั้น^{[ 16 ]}และเหตุผลทางคณิตศาสตร์ 32 หน้าในภาคผนวก^{[ 17 ]}ซึ่งซามูเอลสันพบว่า 'เข้าใจยาก' ^{[ 18 ]}ปาเรโตประสบปัญหาเนื่องจากไม่มีแนวคิดเรื่องขอบเขตความเป็นไปได้ในการผลิตซึ่งการพัฒนาส่วนหนึ่งเป็นผลมาจากเอนริโก บาโรเนผู้ ร่วมงานของเขา ^{[ 19 ]} 'เส้นโค้งความไม่แยแสสำหรับอุปสรรค' ของเขาเองดูเหมือนจะเป็นเส้นทางที่ผิดพลาด

หลังจากกล่าวถึงทฤษฎีบทพื้นฐานข้อแรกได้ไม่นาน พาเรโตก็ตั้งคำถามเกี่ยวกับเรื่องการกระจายตัว:

ลองพิจารณาสังคมแบบรวมกลุ่มที่มุ่งหวังที่จะเพิ่มผลประโยชน์สูงสุดให้แก่สมาชิก ปัญหาแบ่งออกเป็นสองส่วน ส่วนแรกคือปัญหาการกระจายสินค้า: สินค้าในสังคมควรแบ่งปันกันอย่างไรในหมู่สมาชิก? และส่วนที่สองคือ ควรจัดการการผลิตอย่างไรเพื่อให้เมื่อมีการกระจายสินค้าแล้ว สมาชิกในสังคมได้รับผลประโยชน์สูงสุด?

คำตอบของเขาเป็นพื้นฐานอย่างไม่เป็นทางการของทฤษฎีบทที่สอง:

เมื่อได้กระจายสินค้าตามคำตอบของปัญหาแรกแล้ว รัฐควรอนุญาตให้สมาชิกของกลุ่มดำเนินการกระจายสินค้าครั้งที่สอง หรือดำเนินการเอง โดยในทั้งสองกรณีต้องมั่นใจว่าการดำเนินการนั้นสอดคล้องกับการทำงานของการแข่งขันเสรี^{[ 20 ]}

บาโรเนผู้ร่วมงานของพาเรโต ได้พิสูจน์คุณสมบัติที่เหมาะสมที่สุดของการแข่งขันที่สมบูรณ์แบบ^{[ 21 ]}กล่าวคือ – โดยสมมติว่าราคาภายนอก – จะทำให้มูลค่าทางการเงินของผลตอบแทนจากกิจกรรมการผลิตสูงสุด ซึ่งเป็นผลรวมของมูลค่าของเวลาว่าง การออม และสินค้าเพื่อการบริโภค โดยทั้งหมดอยู่ในสัดส่วนที่ต้องการ^{[ 22 ]}เขาไม่ได้โต้แย้งว่าราคาที่ตลาดเลือกนั้นเป็นราคาที่เหมาะสมที่สุด

เอกสารของเขาไม่ได้ถูกแปลเป็นภาษาอังกฤษจนกระทั่งปี 1935 ได้รับบทสรุปที่เห็นด้วยจาก Samuelson ^{[ 23 ]}แต่ดูเหมือนว่าจะไม่ได้มีอิทธิพลต่อการพัฒนาทฤษฎีสวัสดิการอย่างที่เป็นอยู่ในปัจจุบัน

ในปี พ.ศ. 2477 เลอร์เนอร์ได้กล่าวซ้ำเงื่อนไขของเอ็ดจ์เวิร์ธสำหรับการแลกเปลี่ยนว่าเส้นความไม่แตกต่างควรมาบรรจบกันเป็นเส้นสัมผัส โดยนำเสนอเป็นคุณสมบัติของความเหมาะสมที่สุด เขาระบุเงื่อนไขที่คล้ายกันสำหรับการผลิต กล่าวคือเส้นขอบความเป็นไปได้ในการผลิต ( PPFซึ่งเขาตั้งชื่ออีกชื่อหนึ่งว่า ' เส้นความไม่แตกต่าง ในการผลิต ') ควรสัมผัสกับเส้นความไม่แตกต่างสำหรับชุมชน เขาเป็นหนึ่งในผู้ริเริ่ม PPF โดยได้ใช้มันในบทความเกี่ยวกับการค้าระหว่างประเทศในปี พ.ศ. 2475 ^{[ 24 ]}เขาแสดงให้เห็นว่าข้อโต้แย้งทั้งสองสามารถนำเสนอได้ในแง่เดียวกัน เนื่องจาก PPF มีบทบาทเดียวกันกับเส้นความไม่แตกต่างที่เป็นภาพสะท้อนในกล่องเอ็ดจ์เวิร์ธ เขายังกล่าวถึงว่าไม่จำเป็นต้องให้เส้นโค้งสามารถหาอนุพันธ์ได้ เนื่องจากจะได้ผลลัพธ์เดียวกันหากเส้นโค้งสัมผัสกันที่มุมแหลม

นิยามของความเหมาะสมที่สุดของเขาเทียบเท่ากับของพาเรโต:

หาก...เป็นไปได้ที่จะย้ายบุคคลหนึ่งไปยังตำแหน่งที่ต้องการโดยไม่ทำให้บุคคลอื่นตกอยู่ในตำแหน่งที่แย่ลง...เราอาจกล่าวได้ว่ายังไม่ถึงจุดที่เหมาะสมที่สุดเชิงสัมพัทธ์...

เงื่อนไขความเหมาะสมที่สุดสำหรับการผลิตเทียบเท่ากับข้อกำหนดสองข้อที่ (i) ราคาควรเท่ากับต้นทุนส่วนเพิ่ม และ (ii) ผลผลิตควรสูงสุดภายใต้เงื่อนไข (i) ดังนั้น Lerner จึงลดความเหมาะสมที่สุดลงเหลือเพียงการสัมผัสกันสำหรับทั้งการผลิตและการแลกเปลี่ยน แต่ไม่ได้บอกว่าเหตุใดจุดที่บ่งบอกบน PPF จึงควรเป็นเงื่อนไขสมดุลสำหรับตลาดเสรีบางทีเขาอาจคิดว่ามันได้รับการกำหนดไว้อย่างดีแล้ว^{[ 25 ]}

เลอร์เนอร์ให้เครดิตแก่วิกเตอร์ เอเดลเบิร์ก เพื่อนร่วมงานจาก LSE ของเขาสำหรับการเสนอแนะการใช้เส้นความไม่แตกต่าง แซมมวลสันสันนิษฐานว่าเลอร์เนอร์ได้ผลลัพธ์ของเขาโดยอิสระจากงานของพาเรโต^{[ 26 ]}

Hotellingเสนอข้อโต้แย้งใหม่เพื่อแสดงให้เห็นว่า 'การขายที่ต้นทุนส่วนเพิ่มเป็นเงื่อนไขของสวัสดิภาพทั่วไปสูงสุด' (ภายใต้นิยามของ Pareto) เขายอมรับว่าเงื่อนไขนี้เป็นไปตามการแข่งขันที่สมบูรณ์แบบ แต่โต้แย้งว่าการแข่งขันที่สมบูรณ์แบบอาจไม่ใช่สิ่งที่ดีที่สุด เนื่องจากโครงการที่เป็นประโยชน์บางโครงการจะไม่สามารถชดเชยต้นทุนคงที่ได้ด้วยการคิดราคาในอัตรานี้ (ตัวอย่างเช่น ในกรณีผูกขาดโดยธรรมชาติ ) ^{[ 27 ]}

บทความของLange เรื่อง 'The Foundations of Welfare Economics' เป็นแหล่งที่มาของการจับคู่ทฤษฎีสองข้อที่เป็นแบบดั้งเดิม ข้อหนึ่งควบคุมตลาด อีกข้อหนึ่งควบคุมการกระจาย เขาให้เหตุผลถึงนิยามความเหมาะสมของ Pareto สำหรับทฤษฎีข้อแรกโดยอ้างอิงถึง การปฏิเสธการเปรียบเทียบอรรถประโยชน์ระหว่างบุคคลของLionel Robbins ^{[ 28 ]}และเสนอแนะวิธีการต่างๆ ในการนำการเปรียบเทียบระหว่างบุคคลกลับมาใช้ใหม่สำหรับทฤษฎีข้อที่สอง เช่น การตัดสินของรัฐสภาที่มาจากการเลือกตั้งตามระบอบประชาธิปไตย Lange เชื่อว่ารัฐสภาดังกล่าวสามารถดำเนินการในลักษณะเดียวกับนายทุนได้ กล่าวคือ ผ่านการกำหนดเวกเตอร์ราคา รัฐสภาสามารถบรรลุแผนการผลิตที่เหมาะสมที่สุดเพื่อให้บรรลุประสิทธิภาพและ ความเท่าเทียมกัน ทางสังคม^{[ 29 ]}

เหตุผลของเขาเป็นการแปลทางคณิตศาสตร์ (เป็นตัวคูณลากรางจ์ ) ของการโต้แย้งเชิงกราฟของเลอร์เนอร์ ทฤษฎีบทที่สองไม่ได้อยู่ในรูปแบบที่คุ้นเคยในมือของเขา แต่เขาเพียงแค่แสดงให้เห็นว่าเงื่อนไขการหาค่าเหมาะสมที่สุดสำหรับฟังก์ชันอรรถประโยชน์ทางสังคม ที่แท้จริง นั้นคล้ายคลึงกับเงื่อนไขสำหรับค่าเหมาะสมที่สุดแบบพาเรโต

ซามูเอลสัน (โดยให้เครดิตแก่อับรัม เบิร์กสันสำหรับสาระสำคัญของแนวคิดของเขา) ได้นำทฤษฎีสวัสดิการข้อที่สองของลังเกมาสู่รูปแบบที่ทันสมัยโดยประมาณ^{[ 30 ]}เขาปฏิบัติตามลังเกในการหาชุดสมการที่จำเป็นสำหรับความเหมาะสมแบบพาเรโต จากนั้นพิจารณาข้อจำกัดเพิ่มเติมที่เกิดขึ้นหากเศรษฐกิจจำเป็นต้องตอบสนองฟังก์ชันสวัสดิการสังคมที่แท้จริง โดยพบชุดสมการเพิ่มเติมซึ่งสรุปได้ว่า 'การกระทำทั้งหมดที่จำเป็นเพื่อให้บรรลุความปรารถนา ทางจริยธรรมที่กำหนด อาจอยู่ในรูปแบบของภาษีหรือเงินอุดหนุนแบบเหมาจ่าย ' ^{[ 31 ]}

เอกสารสองฉบับของArrowและDebreu ^{[ 32 ]} (เขียนโดยอิสระและตีพิมพ์เกือบพร้อมกัน) พยายามที่จะปรับปรุงความเข้มงวดของทฤษฎีบทแรกของ Lange บัญชีของพวกเขากล่าวถึงการผลิต (ระยะสั้น) เช่นเดียวกับการแลกเปลี่ยน โดยแสดงเงื่อนไขสำหรับทั้งสองอย่างผ่านฟังก์ชันเชิงเส้น

ภาวะสมดุลของการผลิตแสดงออกโดยข้อจำกัดที่ว่า มูลค่าของผลผลิตสุทธิของผู้ผลิต กล่าวคือผลคูณดอทของเวกเตอร์การผลิตกับเวกเตอร์ราคา ควรมีค่าสูงสุดในช่วงชุดการผลิต ของผู้ผลิต ซึ่งตีความได้ว่าเป็นการเพิ่มผลกำไรสูงสุด

ดุลยภาพในการแลกเปลี่ยนนั้นตีความได้ว่า หมายความว่าอรรถประโยชน์ของแต่ละบุคคลควรได้รับการเพิ่มให้สูงสุดเหนือตำแหน่งที่สามารถได้รับจากทรัพยากรที่มีอยู่ผ่านการแลกเปลี่ยน ซึ่งตำแหน่งเหล่านั้นมีมูลค่าไม่เกินมูลค่าของทรัพยากรที่มีอยู่ของเขาหรือเธอ โดยที่มูลค่าของการจัดสรรคือผลคูณดอท ของการจัดสรรนั้น กับเวกเตอร์ราคา

Arrow ได้ให้เหตุผลในการเขียนบทความของเขาโดยอ้างถึงความจำเป็นในการขยายบทพิสูจน์เพื่อให้ครอบคลุมสมดุลที่ขอบของปริภูมิ ในขณะที่ Debreu ได้ให้เหตุผลโดยอ้างถึงความเป็นไปได้ที่เส้นความไม่แตกต่างอาจไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ตำราสมัยใหม่หลายเล่มได้ยึดถือรูปแบบการพิสูจน์ของพวกเขา

ในบทความปี 1986 ของพวกเขาเรื่อง "Externalities in Economies with Imperfect Information and Incomplete Markets" บรูซ กรีนวาลด์และโจเซฟ สติกลิตซ์แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีสวัสดิการพื้นฐานไม่เป็นจริงหากมีตลาดที่ไม่สมบูรณ์หรือข้อมูลที่ไม่สมบูรณ์^{[ 33 ]}บทความนี้ระบุว่าสมดุลการแข่งขันของเศรษฐกิจที่มีข้อมูลไม่สมมาตรโดยทั่วไปแล้วจะไม่มีประสิทธิภาพแบบพาเรโตที่ถูกจำกัด รัฐบาลที่เผชิญกับข้อจำกัดด้านข้อมูลเช่นเดียวกับบุคคลเอกชนในเศรษฐกิจยังคงสามารถค้นหานโยบายแทรกแซงที่ปรับปรุงพาเรโตได้^{[ 34 ]}

Greenwald และ Stiglitz ตั้งข้อสังเกตถึงสถานการณ์ที่เกี่ยวข้องหลายประการ รวมถึงวิธีที่ความเสี่ยงทางศีลธรรมอาจทำให้สถานการณ์ไม่มีประสิทธิภาพ (เช่น ภาษีแอลกอฮอล์อาจเป็นการปรับปรุงแบบพาเรโตเนื่องจากช่วยลดอุบัติเหตุทางรถยนต์) ^{[ 35 ]}

โดยหลักการแล้ว ทฤษฎีบทพื้นฐานที่พบได้ทั่วไปมีอยู่ 2 เวอร์ชัน เวอร์ชันหนึ่งเกี่ยวข้องกับเศรษฐกิจแลกเปลี่ยนซึ่งปัจจัยนำเข้าถูกกำหนดจากภายนอก และอีกเวอร์ชันหนึ่งเกี่ยวข้องกับเศรษฐกิจที่มีการผลิตเกิดขึ้น เศรษฐกิจการผลิตมีความทั่วไปมากกว่าและมีข้อสมมติเพิ่มเติม ข้อสมมติเหล่านี้ทั้งหมดมีพื้นฐานมาจากตำราเศรษฐศาสตร์จุลภาคระดับบัณฑิตศึกษามาตรฐาน^{[ 36 ]}

โดยทั่วไปแล้ว ทฤษฎีบทพื้นฐานไม่ได้รับประกันการมีอยู่หรือความเป็นเอกลักษณ์ของจุดสมดุล

• ความสัมพันธ์ของความชอบยังไม่ถึงจุดอิ่มตัวในระดับท้องถิ่นสำหรับผู้บริโภคแต่ละราย (i)${\displaystyle \geq _{i}}$
• ตัวแทน (ผู้บริโภค และในระบบเศรษฐกิจแบบผลิต บริษัทต่างๆ) ถือว่าราคาเป็นสิ่งที่กำหนดไว้แล้ว
• ตลาดสมบูรณ์แล้ว
• ข้อมูลที่สมบูรณ์แบบ
• ตัวแทนต่างๆ ประพฤติตนอย่างมีเหตุผล
• ไม่มีผลกระทบภายนอก

ทฤษฎีบทพื้นฐานข้อที่สองมีเงื่อนไขที่เข้มงวดกว่า

• ข้อสมมติทั้งหมดของทฤษฎีบทแรก; นอกจากนี้:
• ความสัมพันธ์ของความชอบนั้นไม่อิ่มตัวในระดับท้องถิ่นและเป็นแบบนูนสำหรับผู้บริโภคแต่ละราย${\displaystyle \geq _{i}}$
• เซตการผลิตเป็นเซตแบบนูนสำหรับแต่ละบริษัท j${\displaystyle Y_{j}}$
• สำหรับขั้นตอนจากภาวะสมดุลราคาแบบกึ่งคงที่ไปสู่ภาวะสมดุลราคาที่มีการโอนเงิน: สินทรัพย์เริ่มต้นของตัวแทนแต่ละรายมีค่าเป็นบวกอย่างเคร่งครัด

ต่อไปนี้เป็นรายการที่ไม่ครบถ้วนสมบูรณ์ของข้อผิดพลาดทั่วไปในการตั้งสมมติฐานที่อยู่เบื้องหลังทฤษฎีบทพื้นฐาน

• พฤติกรรมการรับราคา: ในปฏิสัมพันธ์ตามทฤษฎีเกม เช่น เมื่อบริษัทมีอำนาจผูกขาดดุลยภาพที่เกิดขึ้นจะไม่ใช่ดุลยภาพที่มีประสิทธิภาพแบบพาเรโต
• ผลกระทบภายนอก: ในหลายกรณี โดยเฉพาะอย่างยิ่งมลพิษและการดำเนินการด้านสภาพภูมิอากาศ ข้อสมมติฐานนี้ถูกละเมิด ในบางกรณีภาษีแบบ Pigouvianสามารถฟื้นฟูการจัดสรรที่มีประสิทธิภาพแบบ Pareto ได้
• ภาวะไม่อิ่มตัว: แม้ว่าภาวะไม่อิ่มตัวจะเป็นสมมติฐานที่อ่อนมาก แต่ก็มีสองกรณีหลักที่สมมติฐานนี้ใช้ไม่ได้ ประการแรก หากความชอบมีจุดอิ่มตัว (เช่นธนาคารกลางที่กำหนดเป้าหมายอัตราเงินเฟ้อจะมีจุดอิ่มตัวที่อัตราเงินเฟ้อที่พวกเขากำหนดเป้าหมายไว้) ประการที่สอง หากสินค้าสามารถซื้อได้เฉพาะในปริมาณที่แยกจากกัน สมมติฐานนี้อาจถูกละเมิดได้
• ความมีเหตุผล: สาขาเศรษฐศาสตร์เชิงพฤติกรรมได้บันทึกการละเมิดความมีเหตุผลทางเศรษฐกิจไว้มากมาย
• ความนูน: ในกรณีที่ผลตอบแทนต่อขนาดเพิ่มขึ้นความนูนจะไม่เกิดขึ้น โปรดทราบว่าข้อสมมตินี้ไม่จำเป็นสำหรับทฤษฎีบทพื้นฐานข้อแรก

อีกกรณีหนึ่งที่ทฤษฎีสวัสดิการไม่เป็นไปตามที่คาดไว้คือในแบบจำลองรุ่นที่ทับซ้อน กัน (OLG) สมมติฐานเพิ่มเติมที่แฝงอยู่ในข้อความของทฤษฎีคือมูลค่าของสินทรัพย์ทั้งหมดในระบบเศรษฐกิจ (ซึ่งบางส่วนอาจถูกแปลงเป็นสินค้าอื่นผ่านการผลิต) นั้นมีจำกัด^{[ 37 ]}ในแบบจำลอง OLG ความจำกัดของสินทรัพย์นั้นไม่เป็นไปตามที่คาดไว้ ทำให้เกิดปัญหาที่คล้ายคลึงกันกับที่อธิบายไว้ในปรากฏการณ์ขัดแย้งของฮิลเบิร์ตเกี่ยวกับโรงแรมแกรนด์

ไม่ว่าข้อสมมติฐานที่อยู่เบื้องหลังทฤษฎีบทพื้นฐานจะสามารถอธิบายตลาดได้อย่างเพียงพอหรือไม่นั้น เป็นคำถามที่ต้องอาศัยการศึกษาเชิงประจักษ์อย่างน้อยบางส่วน และอาจแตกต่างกันไปในแต่ละกรณี

แม้ว่าจะสามารถระบุเงื่อนไขทางคณิตศาสตร์สำหรับทฤษฎีบทได้ แต่ความเกี่ยวข้องเชิงนโยบายของทฤษฎีบทเหล่านั้นก็ถูกจำกัดด้วยปัญหาในการนำไปใช้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทฤษฎีบทพื้นฐานข้อที่สองอาศัยความเป็นไปได้ของการโอนเงินก้อนเพื่อบรรลุการจัดสรรที่เหมาะสมที่สุดตามแบบพาเรโตจากทรัพยากรที่มีอยู่ ในทางปฏิบัติ การโอนเงินดังกล่าวทำได้ยากหรือเป็นไปไม่ได้ที่จะดำเนินการโดยไม่ก่อให้เกิดความบิดเบือนทางพฤติกรรม เนื่องจากรัฐบาลขาดข้อมูลรายละเอียดเฉพาะบุคคลที่จำเป็นในการกำหนดโดยไม่กระทบต่อแรงจูงใจมาร์ค บลาวก์อธิบายทฤษฎีบทในแง่นี้ว่าเป็น 'นิทาน' ที่ต้องละทิ้งเพื่อวัตถุประสงค์ในการนำไปใช้^{[ 38 ]}

ทฤษฎีบทพื้นฐานข้อแรกใช้ได้ภายใต้เงื่อนไขทั่วไป^{[ 39 ]}ข้อความอย่างเป็นทางการมีดังนี้: หากความต้องการไม่ได้รับการเติมเต็มในระดับท้องถิ่น และหากเป็นสมดุลราคาที่มีการโอนย้าย การจัดสรรจะเป็น Pareto optimal${\displaystyle (\mathbf {X^{*}} ,\mathbf {Y^{*}} ,\mathbf {p} )}$${\displaystyle (\mathbf {X^{*}} ,\mathbf {Y^{*}} )}$ สมดุลในความหมายนี้เกี่ยวข้องกับเศรษฐกิจแลกเปลี่ยนเท่านั้น หรือสันนิษฐานว่าบริษัทต่างๆ มีประสิทธิภาพในการจัดสรรและผลิต ซึ่งสามารถแสดงให้เห็นได้ว่าเป็นผลมาจากตลาดปัจจัยและการผลิตที่มีการแข่งขันอย่างสมบูรณ์^{[ 39 ]}

เมื่อกำหนดชุดสินค้าประเภทต่างๆ เราจะทำงานในปริภูมิเวกเตอร์จริงเหนือและใช้ตัวหนาสำหรับตัวแปรที่มีค่าเป็นเวกเตอร์ ตัวอย่างเช่น ถ้าแล้วจะเป็นปริภูมิเวกเตอร์สามมิติ และเวกเตอร์จะแทนกลุ่มสินค้าที่ประกอบด้วยเนย 1 หน่วย คุกกี้ 2 หน่วย และนม 3 หน่วย ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{G}}$${\displaystyle G=\lbrace {\text{เนย}},{\text{คุกกี้}},{\text{นม}}\rbrace }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{G}}$${\displaystyle \langle 1,2,3\rangle }$

สมมติว่าผู้บริโภคiมีความมั่งคั่งโดยที่คือ ความมั่งคั่งรวมของสินค้า (กล่าวคือ ผลรวมของความมั่งคั่งของผู้บริโภคและผู้ผลิตทั้งหมด) และคือ ผลผลิตของบริษัทj${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle \Sigma _{i}w_{i}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {e} +\Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot \mathbf {y_{j}^{*}} }$${\displaystyle \mathbf {e} }$${\displaystyle \mathbf {y_{j}^{*}} }$

การเพิ่มความพึงพอใจสูงสุด (จากนิยามของสมดุลราคาที่มีการโอนเงิน) หมายความว่า (โดยใช้เพื่อแสดงถึงความสัมพันธ์ของความพึงพอใจสำหรับผู้บริโภคi ): ${\displaystyle >_{i}}$

ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle \mathbf {x_{i}} >_{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >w_{i}}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากสินค้ากลุ่มหนึ่งเป็นที่ต้องการมากกว่าอีกกลุ่มหนึ่งอย่างเห็นได้ชัด สินค้ากลุ่มนั้นจะต้องมีราคาแพงเกินกว่าที่ราคาจะเอื้อมถึงได้นอกจาก นี้ ภาวะไม่อิ่มตัวในระดับท้องถิ่นยังหมายความว่า: ${\displaystyle \mathbf {x_{i}^{*}} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$

ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle \mathbf {x_{i}} \geq _{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} \geq w_{i}}$

เพื่อให้เข้าใจเหตุผล ลองจินตนาการว่าแต่แล้วด้วยหลักการไม่อิ่มตัวในระดับท้องถิ่น เราอาจพบ ที่อยู่ใกล้เคียงกับ(และยังคงสามารถซื้อได้) แต่ ซึ่งเป็นที่ต้องการมากกว่าอย่างชัดเจนแต่เป็นผลมาจากการเพิ่มความชอบให้สูงสุด ดังนั้นนี่จึงเป็นข้อขัดแย้ง ${\displaystyle \mathbf {x_{i}} \geq _{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} <w_{i}}$${\displaystyle \mathbf {x'_{i}} }$${\displaystyle \mathbf {x_{i}} }$${\displaystyle \mathbf {x_{i}^{*}} }$${\displaystyle \mathbf {x_{i}^{*}} }$

การจัดสรรคือคู่ที่และ โดย ที่คือ 'เมทริกซ์' (ซึ่งอาจมีแถว/คอลัมน์ไม่จำกัดจำนวน) ที่ คอลัมน์ที่ iคือชุดสินค้าที่จัดสรรให้กับผู้บริโภคiและคือ 'เมทริกซ์' ที่ คอลัมน์ที่ jคือผลผลิตของบริษัทjเราจะพิจารณาเฉพาะการจัดสรรที่เป็นไปได้ ซึ่งก็คือการจัดสรรที่ไม่มีผู้บริโภครายใดขายหรือผู้ผลิตรายใดบริโภคสินค้าที่ตนเองขาดแคลน กล่าวคือ สำหรับสินค้าทุกชนิดและผู้บริโภคทุกราย ปริมาณเริ่มต้นของผู้บริโภคบวกกับอุปสงค์สุทธิจะต้องเป็นบวก เช่นเดียวกับผู้ผลิต ${\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$${\displaystyle \mathbf {X} \in \Pi _{i\in I}\mathbb {R} ^{G}}$${\displaystyle \mathbf {Y} \in \Pi _{j\in J}\mathbb {R} ^{G}}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Y} }$

ทีนี้ลองพิจารณาการจัดสรรที่ Pareto ครอบงำซึ่งหมายความว่าสำหรับทุกiและสำหรับบางiจากข้างต้นเรารู้ว่าสำหรับทุกiและสำหรับบางiเมื่อรวมกันแล้วเราจะได้ว่า: ${\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$${\displaystyle (\mathbf {X^{*}} ,Y^{*})}$${\displaystyle \mathbf {x_{i}} \geq _{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$${\displaystyle \mathbf {x_{i}} >_{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} \geq w_{i}}$${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >w_{i}}$

${\displaystyle \Sigma _{i}\mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >\Sigma _{i}w_{i}=\Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot \mathbf {y_{j}^{*}} }$.

เนื่องจากเป็นการเพิ่มผลกำไรสูงสุด เรารู้ว่า ดังนั้นแต่สินค้าต้องได้รับการอนุรักษ์ ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ เนื่องจากการจัดสรรที่ครอบงำ Pareto ทั้งหมดไม่สามารถทำได้ ดังนั้นจึงต้องเป็น Pareto optimal เอง^{[ 39 ]}${\displaystyle \mathbf {Y^{*}} }$${\displaystyle \Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot y_{j}^{*}\geq \Sigma _{j}p\cdot y_{j}}$${\displaystyle \Sigma _{i}\mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >\Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot \mathbf {y_{j}} }$${\displaystyle \Sigma _{i}\mathbf {x_{i}} >\Sigma _{j}\mathbf {y_{j}} }$${\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$${\displaystyle (\mathbf {X^{*}} ,\mathbf {Y^{*}} )}$

โปรดทราบว่า แม้ว่าข้อเท็จจริงที่ว่าการเพิ่มผลกำไรสูงสุดนั้นเป็นสิ่งที่สมมติไว้ในข้อความของทฤษฎีบท แต่ผลลัพธ์จะมีประโยชน์/น่าสนใจก็ต่อเมื่อการจัดสรรการผลิตเพื่อเพิ่มผลกำไรสูงสุดนั้นเป็นไปได้เท่านั้น โชคดีที่สำหรับการจำกัดการจัดสรรการผลิตและราคาไว้ในเซตย่อยปิดใดๆ ที่ราคาส่วนเพิ่มมีค่าห่างจาก 0 เช่น การเลือกฟังก์ชันต่อเนื่องที่เหมาะสมใดๆ เพื่อกำหนดพารามิเตอร์การผลิตที่เป็นไปได้ ค่าสูงสุดดังกล่าวก็มีอยู่จริง นี่เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าราคาส่วนเพิ่มขั้นต่ำและความมั่งคั่งที่จำกัดจะจำกัดการผลิตที่เป็นไปได้สูงสุด (0 จำกัดการผลิตขั้นต่ำ) และทฤษฎีบทของไทโคนอฟฟ์รับรองว่าผลคูณของปริภูมิกระชับเหล่านี้เป็นปริภูมิกระชับ ทำให้เรามั่นใจได้ว่าค่าสูงสุดของฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆ ที่เราต้องการนั้นมีอยู่จริง ${\displaystyle \mathbf {Y^{*}} }$${\displaystyle \mathbf {Y^{*}} }$

ทฤษฎีบทที่สองระบุอย่างเป็นทางการว่า ภายใต้สมมติฐานที่ว่าเซตการผลิตทุกเซตเป็นแบบนูนและความสัมพันธ์ความชอบทุกความสัมพันธ์เป็นแบบนูนและไม่อิ่มตัวในระดับท้องถิ่น การจัดสรรที่มีประสิทธิภาพแบบพาเรโตที่ต้องการใดๆ ก็สามารถรองรับได้ในฐานะสมดุล กึ่งราคาที่มีการโอน^{[ 39 ]}จำเป็นต้องมีสมมติฐานเพิ่มเติมเพื่อพิสูจน์ข้อความนี้สำหรับสมดุลราคาที่มีการโอน ${\displaystyle Y_{j}}$${\displaystyle \geq _{i}}$

การพิสูจน์ดำเนินไปในสองขั้นตอน: ขั้นแรก เราพิสูจน์ว่าการจัดสรรที่มีประสิทธิภาพแบบพาเรโตใด ๆ สามารถได้รับการสนับสนุนในฐานะดุลยภาพกึ่งราคาที่มีการโอนเงิน จากนั้น เราให้เงื่อนไขที่ดุลยภาพกึ่งราคาจะเป็นดุลยภาพราคาด้วยเช่นกัน

ให้เรากำหนดภาวะสมดุลเสมือนด้านราคาโดยมีการโอนเงินเป็นการจัดสรรเวกเตอร์ราคาpและเวกเตอร์ระดับความมั่งคั่งw (ที่ได้มาจากการโอนเงินก้อน) โดยที่(โดยที่คือปริมาณรวมของสินค้า และคือผลผลิตของบริษัทj ) ดังนี้: ${\displaystyle (x^{*},y^{*})}$${\displaystyle \Sigma _{i}w_{i}=p\cdot \omega +\Sigma _{j}p\cdot y_{j}^{*}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle y_{j}^{*}}$

i. สำหรับทุกบริษัท (ที่มุ่งหวังเพิ่มผลกำไรสูงสุดด้วยการผลิต)${\displaystyle p\cdot y_{j}\leq p\cdot y_{j}^{*}}$${\displaystyle y_{j}\in Y_{j}}$${\displaystyle y_{j}^{*}}$

ii. สำหรับทุกiถ้าแล้ว(ถ้าเป็นที่ต้องการมากกว่า อย่างเคร่งครัด ค่าใช้จ่ายจะต้องไม่น้อยกว่า)${\displaystyle x_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$${\displaystyle p\cdot x_{i}\geq w_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{i}^{*}}$${\displaystyle x_{i}^{*}}$

iii. (เป็นไปตามข้อจำกัดด้านงบประมาณ)${\displaystyle \Sigma _{i}x_{i}^{*}=\omega +\Sigma _{j}y_{j}^{*}}$

ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวระหว่างคำจำกัดความนี้กับคำจำกัดความมาตรฐานของสมดุลราคาที่มีการโอนย้ายคือในข้อความ ( ii ) ความไม่เท่าเทียมกันที่นี่อ่อนแอ ( ) ทำให้เป็นสมดุลราคาแบบกึ่งๆ ต่อมาเราจะเสริมความแข็งแกร่งให้กับสิ่งนี้เพื่อสร้างสมดุลราคา^{[ 39 ]} กำหนดให้ เป็นเซตของชุดการบริโภคทั้งหมดที่ผู้บริโภคi ชื่นชอบอย่างเคร่งครัด และให้Vเป็นผลรวมของทั้งหมดเป็น เซต แบบนูนเนื่องจากความสัมพันธ์ความชอบเป็นแบบนูนV เป็นเซตแบบนูนเพราะทุกเป็นเซตแบบนูน ในทำนองเดียวกันการรวมกันของเซตการผลิตทั้งหมดบวกกับสินทรัพย์รวม เป็นเซตแบบนูนเพราะทุกเป็นเซตแบบนูน เรายังรู้ด้วยว่าจุดตัดของVและต้องว่างเปล่า เพราะถ้าไม่เป็นเช่นนั้นจะหมายความว่ามีชุดที่ทุกคนชื่นชอบอย่างเคร่งครัดและสามารถซื้อได้ด้วย ซึ่งถูกตัดออกโดยความเหมาะสมแบบพาเรโตของ ${\displaystyle p\cdot x_{i}\geq w_{i}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle x_{i}^{*}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle \geq _{i}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle Y+\{\omega \}}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle Y+\{\omega \}}$${\displaystyle (x^{*},y^{*})}$${\displaystyle (x^{*},y^{*})}$

เซตเว้าสองเซตที่ไม่ตัดกันนี้ทำให้เราสามารถใช้ทฤษฎีบทระนาบแยกได้ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่ามีเวกเตอร์ราคาและจำนวนrอยู่จริง โดยที่สำหรับทุกและสำหรับทุกกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มีเวกเตอร์ราคาที่กำหนดระนาบที่แยกเซตเว้าสองเซตได้อย่างสมบูรณ์ ${\displaystyle p\neq 0}$${\displaystyle p\cdot z\geq r}$${\displaystyle z\in V}$${\displaystyle p\cdot z\leq r}$${\displaystyle z\in Y+\{\omega \}}$

ต่อไปเราจะโต้แย้งว่า ถ้าสำหรับทุกiแล้วนี่เป็นผลมาจากความไม่อิ่มตัวในระดับท้องถิ่น: จะต้องมีบันเดิลที่อยู่ใกล้กับ อย่างมากซึ่งถูกเลือกอย่างเคร่งครัดมากกว่าและด้วยเหตุนี้จึงเป็นส่วนหนึ่งของดังนั้น การหาลิมิตเมื่อไม่เปลี่ยนแปลงอสมการแบบอ่อน ดังนั้นก็เช่นกัน กล่าวอีกนัยหนึ่งอยู่ในส่วนปิดของV${\displaystyle x_{i}\geq _{i}x_{i}^{*}}$${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i})\geq r}$${\displaystyle x'_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{i}^{*}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x'_{i})\geq r}$${\displaystyle x'_{i}\rightarrow x_{i}}$${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i})\geq r}$${\displaystyle x_{i}}$

เมื่อใช้ความสัมพันธ์นี้ เราจะเห็นว่าสำหรับตัวมันเองนอกจากนี้เรารู้ว่าดังนั้นเช่นกัน เมื่อรวมสิ่งเหล่านี้เข้าด้วยกัน เราพบว่าเราสามารถใช้สมการนี้เพื่อแสดงว่าตรงกับนิยามของภาวะสมดุลกึ่งราคาที่มีการโอนเงิน ${\displaystyle x_{i}^{*}}$${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})\geq r}$${\displaystyle \Sigma _{i}x_{i}^{*}\in Y+\{\omega \}}$${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})\leq r}$${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})=r}$${\displaystyle (x^{*},y^{*},p)}$

เพราะว่าและเรารู้ว่าสำหรับบริษัทใดๆ ก็ตาม j: ${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})=r}$${\displaystyle \Sigma _{i}x_{i}^{*}=\omega +\Sigma _{j}y_{j}^{*}}$

${\displaystyle p\cdot (\omega +y_{j}+\Sigma _{h}y_{h}^{*})\leq r=p\cdot (\omega +y_{j}^{*}+\Sigma _{h}y_{h}^{*})}$สำหรับ${\displaystyle h\neq j}$

ซึ่งหมายความว่าในทำนองเดียวกันเรารู้ว่า: ${\displaystyle p\cdot y_{j}\leq p\cdot y_{j}^{*}}$

${\displaystyle p\cdot (x_{i}+\Sigma _{k}x_{k}^{*})\geq r=p\cdot (x_{i}^{*}+\Sigma _{k}x_{k}^{*})}$สำหรับ${\displaystyle k\neq i}$

ซึ่งหมายความว่าข้อความทั้งสองนี้ พร้อมกับความเป็นไปได้ของการจัดสรรที่จุดเหมาะสมที่สุดแบบพาเรโต จะทำให้ตรงตามเงื่อนไขสามประการสำหรับภาวะสมดุลกึ่งราคาที่มีการโอนเงินซึ่งได้รับการสนับสนุนจากระดับความมั่งคั่งสำหรับทุก i${\displaystyle p\cdot x_{i}\geq p\cdot x_{i}^{*}}$${\displaystyle w_{i}=p\cdot x_{i}^{*}}$

ต่อไปนี้เราจะพิจารณาเงื่อนไขที่ทำให้ดุลยภาพราคาเสมือนเป็นดุลยภาพราคาด้วย กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เงื่อนไขที่ทำให้ข้อความ "ถ้าแล้ว" หมายความว่า "ถ้าแล้ว" เพื่อให้เป็นเช่นนั้น เราต้องสมมติว่าเซตการบริโภคเป็นเซตแบบนูน และความสัมพันธ์ของความชอบเป็นแบบต่อเนื่องดังนั้น ถ้ามีเวกเตอร์การบริโภคอยู่ซึ่งและดุลยภาพราคาเสมือนก็จะเป็นดุลยภาพราคาด้วย ${\displaystyle x_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$${\displaystyle p\cdot x_{i}\geq w_{i}}$${\displaystyle x_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$${\displaystyle p\cdot x_{i}>w_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \geq _{i}}$${\displaystyle x'_{i}}$${\displaystyle x'_{i}\in X_{i}}$${\displaystyle p\cdot x'_{i}<w_{i}}$

เพื่อให้เข้าใจเหตุผล ลองสมมติในทางตรงกันข้ามและและมีอยู่จริง จากนั้นโดยคุณสมบัติความนูนของเราจะได้ชุดข้อมูลที่มีโดยคุณสมบัติความต่อเนื่องของสำหรับค่าใกล้เคียง 1 เราจะได้นี่คือข้อขัดแย้ง เพราะชุดข้อมูลนี้เป็นที่ต้องการมากกว่า และมีต้นทุน น้อย กว่า${\displaystyle x_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$${\displaystyle p\cdot x_{i}=w_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle x''_{i}=\alpha x_{i}+(1-\alpha )x'_{i}\in X_{i}}$${\displaystyle p\cdot x''_{i}<w_{i}}$${\displaystyle \geq _{i}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha x_{i}+(1-\alpha )x'_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$${\displaystyle x_{i}^{*}}$${\displaystyle w_{i}}$

ดังนั้น เพื่อให้ราคาที่เกือบจะสมดุลกลายเป็นราคาที่สมดุล จำเป็นที่ชุดการบริโภคจะต้องเป็นนูน ความสัมพันธ์ของความชอบจะต้องต่อเนื่อง และจะต้องมีชุดการบริโภคที่ "ถูกกว่า" อยู่เสมอวิธีหนึ่งที่จะรับประกันการมีอยู่ของชุดดังกล่าวคือการกำหนดให้ระดับความมั่งคั่ง^ต้องเป็นบวกอย่างเคร่งครัดสำหรับผู้บริโภคi ทุกราย [ ^{39 ]}${\displaystyle x'_{i}}$${\displaystyle w_{i}}$

• ความชอบแบบนูน
• ทฤษฎีบทของวาเรียน – สมดุลการแข่งขันเป็นทั้งภาวะที่มีประสิทธิภาพแบบพาเรโตและปราศจากความอิจฉา
• ทฤษฎีสมดุลทั่วไป