รูปสิบเหลี่ยมปกติ
รูปสิบเหลี่ยมปกติ
พิมพ์	รูปหลายเหลี่ยมปกติ
ขอบและจุดยอด	10
สัญลักษณ์ Schläfli	{10}, t{5}
แผนภาพค็อกซ์เตอร์-ไดน์กิน
กลุ่มสมมาตร	ไดเฮดรัล (D 10 ), อันดับ 2×10
มุมภายใน ( องศา )	144°
คุณสมบัติ	นูน , วงกลม , สามเหลี่ยมด้านเท่า , มุมฉาก , มุมฉาก
รูปหลายเหลี่ยมคู่	ตัวเอง

ในทางเรขาคณิตรูปสิบเหลี่ยม (จากภาษากรีก δέκα dékaและ γωνία gonía ซึ่งแปลว่า "มุมสิบมุม") คือ รูปหลายเหลี่ยมสิบด้านหรือรูปสิบเหลี่ยม [ ^{1 ] ผล}รวมของมุมภายใน ทั้งหมด ของ รูปสิบเหลี่ยม แบบง่ายคือ 1440°

รูปสิบเหลี่ยมปกติจะมีด้านทุกด้านยาวเท่ากัน และมุมภายในแต่ละมุมจะเท่ากับ 144° เสมอ^{[ 1 ]}สัญลักษณ์ Schläfliของมันคือ {10} ^{[ 2 ]}และยังสามารถสร้างขึ้นเป็นรูปห้าเหลี่ยมตัดยอด t{5} ซึ่งเป็นรูปสิบเหลี่ยมกึ่งปกติที่สลับขอบสองประเภท

รูปสิบเหลี่ยมมักปรากฏในลวดลายปูพื้นที่มีสมมาตรห้าเท่า (บางส่วน) ภาพเหล่านี้แสดงให้เห็นถึงลวดลายเรขาคณิตแบบอิสลาม (ศตวรรษที่ 15) ภาพประกอบในหนังสือHarmonices Mundi ของเคปเลอร์ (ค.ศ. 1619) และ ลวดลาย ปูพื้นแบบเพนโรส

ภาพแสดงรูปสิบเหลี่ยมด้านเท่าที่มีความยาวด้านเท่ากับรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสิบเหลี่ยมนั้น ${\displaystyle a}$${\displaystyle R}$

• รูปสามเหลี่ยมมีด้านประกอบมุมฉากสองด้านที่ยาวเท่ากันและฐานที่มีความยาว${\displaystyle E_{10}E_{1}M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle a}$
• วงกลมที่มีรัศมีตัดกับจุดหนึ่ง(ไม่ได้ระบุไว้ในภาพ)${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle ]M\,E_{10}[}$${\displaystyle P}$
• ตอนนี้สามเหลี่ยม ดังกล่าว เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีจุดยอดและมุมฐาน${\displaystyle {E_{10}E_{1}P}\;}$${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle m\angle E_{1}E_{10}P=m\angle E_{10}PE_{1}=72^{\circ }\;}$
• ดังนั้นจึงเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีจุดยอด เช่นกันความยาวด้านประกอบมุมฉากคือดังนั้นความยาวของคือ${\displaystyle m\angle PE_{1}E_{10}=180^{\circ }-2\cdot 72^{\circ }=36^{\circ }\;}$${\displaystyle \;m\angle ME_{1}P=72^{\circ }-36^{\circ }=36^{\circ }\;}$${\displaystyle \;E_{1}MP\;}$${\displaystyle P}$${\displaystyle a}$${\displaystyle [P\,E_{10}]}$${\displaystyle R-a}$
• รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วและ รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มีมุมที่จุดยอดเท่ากันคือ 36° ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจึงคล้ายกันดังนั้น:${\displaystyle E_{10}E_{1}M\;}$${\displaystyle PE_{10}E_{1}\;}$${\displaystyle \;{\frac {a}{R}}={\frac {R-a}{a}}}$
• การคูณด้วยตัวส่วนนำไปสู่สมการกำลังสอง:${\displaystyle R,a>0}$${\displaystyle \;a^{2}=R^{2}-aR\;}$
• สมการความยาวด้านนี้มีคำตอบที่เป็นบวกเพียงคำตอบเดียว:${\displaystyle a\,}$${\displaystyle \;a={\frac {R}{2}}(-1+{\sqrt {5}})}$

ดังนั้น รูปสิบเหลี่ยมด้านเท่าจึงสามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้ไม้บรรทัดและวงเวียน

ข้อสรุปเพิ่มเติม

${\displaystyle \;R={\frac {2a}{{\sqrt {5}}-1}}={\frac {a}{2}}({\sqrt {5}}+1)\;}$และฐานความสูงของ(นั่นคือความยาวของ) คือและสามเหลี่ยมมีพื้นที่: . ${\displaystyle \Delta \,E_{10}E_{1}M\,}$${\displaystyle [M\,D]}$${\displaystyle h={\sqrt {R^{2}-(a/2)^{2}}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;}$${\displaystyle A_{\Delta }={\frac {a}{2}}\cdot h={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$

พื้นที่ของรูปสิบเหลี่ยมปกติที่มีความยาวด้านaกำหนดโดย: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle A={\frac {5}{2}}a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{10}}\right)={\frac {5}{2}}a^{2}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\simeq 7.694208843\,a^{2}}$

เมื่อพิจารณาจากระยะอะโพเทมr (ดูรูปประกอบ ) พื้นที่คือ:

${\displaystyle A=10\tan \left({\frac {\pi }{10}}\right)r^{2}=2r^{2}{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}\simeq 3.249196962\,r^{2}}$

เมื่อพิจารณาจากรัศมีวงกลมล้อมรอบRพื้นที่จะเป็นดังนี้:

${\displaystyle A=5\sin \left({\frac {\pi }{5}}\right)R^{2}={\frac {5}{2}}R^{2}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 2.938926261\,R^{2}}$

สูตรทางเลือกอีกสูตรหนึ่งคือโดยที่dคือระยะห่างระหว่างด้านคู่ขนาน หรือความสูงเมื่อรูปสิบเหลี่ยมตั้งอยู่บนด้านใดด้านหนึ่งเป็นฐาน หรือเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบรูป สิบเหลี่ยม โดยใช้ตรีโกณมิติ อย่าง ง่าย${\displaystyle A=2.5da}$

${\displaystyle d=2a\left(\cos {\tfrac {3\pi }{10}}+\cos {\tfrac {\pi }{10}}\right),}$

และสามารถเขียนในรูปพีชคณิตได้ดังนี้

${\displaystyle d=a{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}.}$

เนื่องจาก 10 = 2 × 5 ซึ่งเป็นกำลังของสองเท่า ของ จำนวนเฉพาะของแฟร์มาต์จึงสรุปได้ว่าสามารถสร้าง รูปสิบเหลี่ยมปกติได้ โดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดหรือโดยการแบ่ง ขอบ ของรูปห้าเหลี่ยม ปกติ ออก เป็นสองส่วน ^{[ 4 ]}

การสร้างรูปสิบเหลี่ยม

การก่อสร้างรูปห้าเหลี่ยม

อีกวิธีหนึ่ง (แต่คล้ายคลึงกัน) มีดังนี้:

1. สร้างรูปห้าเหลี่ยมภายในวงกลมโดยใช้วิธีใดวิธีหนึ่งจากวิธีการสร้างรูปห้าเหลี่ยม ที่แสดง ไว้
2. ลากเส้นตรงจากจุดยอดแต่ละจุดของรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่า ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมไปยังด้านตรงข้ามของวงกลมเดียวกันนั้น จุดที่เส้นตรงแต่ละเส้นตัดกับวงกลมจะเป็นจุดยอดของรูปสิบเหลี่ยมด้านเท่า กล่าวอีกนัยหนึ่ง ภาพของรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าที่ผ่านการสะท้อนแบบจุดโดยใช้จุดศูนย์กลาง เป็นจุดอ้างอิง จะได้ รูปห้าเหลี่ยม ด้านเท่าที่อยู่ร่วมจุดศูนย์กลางเดียวกัน และรูปห้าเหลี่ยมทั้งสองรูปจะมีจุดยอดรวมกันเท่ากับรูปสิบเหลี่ยมด้านเท่า ที่อยู่ร่วม จุดศูนย์กลาง เดียวกัน
3. มุมทั้งห้าของรูปห้าเหลี่ยมจะกลายเป็นมุมสลับกันของรูปสิบเหลี่ยม เชื่อมจุดเหล่านี้เข้ากับจุดใหม่ที่อยู่ติดกันเพื่อสร้างรูปสิบเหลี่ยม

ทั้งในการสร้างด้วยวงกลมล้อมรอบที่กำหนด^{[ 5 ]}และด้วยความยาวด้านที่กำหนดอัตราส่วนทองคำที่แบ่งส่วนของเส้นตรงด้วยการแบ่งภายนอกถือเป็นองค์ประกอบการสร้างที่กำหนด

• ในการสร้างโดยใช้วงกลมล้อมรอบที่กำหนดให้ ส่วนโค้งวงกลมรอบจุด G ที่มีรัศมีGE _{= 3}จะสร้างส่วนของเส้นตรงAHซึ่งการแบ่งส่วนของเส้นตรงนี้จะสอดคล้องกับอัตราส่วนทองคำ

${\displaystyle {\frac {\overline {AM}}{\overline {MH}}}={\frac {\overline {AH}}{\overline {AM}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618{\text{.}}}$

• ในการสร้างที่มีความยาวด้านที่กำหนด^{[ 6 ]}ส่วนโค้งวงกลมรอบ D ที่มีรัศมีDAจะสร้างส่วนE ₁₀ Fซึ่งการแบ่งส่วนนี้สอดคล้องกับอัตราส่วนทองคำ

${\displaystyle {\frac {\overline {E_{1}E_{10}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{10}F}}{\overline {E_{1}E_{10}}}}={\frac {R}{a}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618{\text{.}}}$

รูปสิบเหลี่ยมที่มีวงกลมล้อมรอบที่กำหนด^{[ 5 ]}แอนิเมชั่น

รูปสิบเหลี่ยมที่มีความยาวด้านที่กำหนด^{[ 6 ]}แอนิเมชั่น

รูปสิบเหลี่ยมปกติมีสมมาตรDih ₁₀อันดับ 20 มีสมมาตรไดเฮดรัลย่อย 3 กลุ่ม ได้แก่ Dih ₅ , Dih ₂และ Dih ₁และ มีสมมาตร กลุ่มวัฏจักร 4 กลุ่ม ได้แก่ Z ₁₀ , Z ₅ , Z ₂และ Z ₁

สมมาตรทั้ง 8 แบบนี้สามารถมองเห็นได้ในสมมาตรที่แตกต่างกัน 10 แบบบนรูปสิบเหลี่ยม ซึ่งเป็นจำนวนที่มากกว่าเนื่องจากเส้นสะท้อนสามารถผ่านจุดยอดหรือขอบก็ได้จอห์น คอนเวย์ได้กำหนดชื่อให้กับสมมาตรเหล่านี้ด้วยตัวอักษรและลำดับกลุ่ม^{[ 7 ]}สมมาตรเต็มรูปแบบของรูปทรงปกติคือr20และไม่มีสมมาตรใด ๆ ที่กำหนดชื่อเป็นa1สมมาตรไดเฮดรัลจะถูกแบ่งตามว่าผ่านจุดยอด ( dสำหรับแนวทแยง) หรือขอบ ( pสำหรับแนวตั้งฉาก) และiเมื่อเส้นสะท้อนผ่านทั้งขอบและจุดยอด สมมาตรแบบวัฏจักรในคอลัมน์กลางจะถูกกำหนดชื่อเป็นgสำหรับลำดับการหมุนรอบจุดศูนย์กลาง

สมมาตรของแต่ละกลุ่มย่อยอนุญาตให้มีระดับความเป็นอิสระหนึ่งระดับหรือมากกว่าสำหรับรูปแบบที่ไม่ปกติ มีเพียง กลุ่มย่อย g10 เท่านั้น ที่ไม่มีระดับความเป็นอิสระ แต่สามารถมองได้ว่าเป็นขอบที่มีทิศทาง

รูปสิบเหลี่ยมด้านไม่ปกติที่มีสมมาตรสูงสุดคือd10ซึ่ง เป็นรูปสิบ เหลี่ยมด้านเท่าที่สร้างขึ้นจากกระจกห้าบานที่สามารถสลับขอบยาวและสั้นได้ และp10ซึ่งเป็น รูปสิบ เหลี่ยมด้านเท่าที่สร้างขึ้นด้วยความยาวขอบเท่ากัน แต่จุดยอดสลับกันด้วยมุมภายในสองมุมที่แตกต่างกัน รูปทรงทั้งสองนี้เป็นคู่กันและมีลำดับสมมาตรครึ่งหนึ่งของรูปสิบเหลี่ยมด้านปกติ

การฉายภาพ ลูกบาศก์ 10 ลูก	การผ่าตัดรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน 40 ครั้ง

Coxeterระบุว่าโซโนกอน ทุกอัน (รูป 2 mเหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันและมีความยาวเท่ากัน) สามารถแบ่งออกเป็น รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานได้ m ( m -1)/2 รูป^{[ 8 ]} โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งนี้เป็นจริงสำหรับรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีจำนวนด้านเป็นเลขคู่ ซึ่งในกรณีนี้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานทั้งหมดจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สำหรับรูป สิบเหลี่ยม ปกติm =5 และสามารถแบ่งออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนได้ 10 รูป โดยมีตัวอย่างแสดงไว้ด้านล่าง การแบ่งส่วนนี้สามารถมองได้ว่าเป็น 10 จาก 80 หน้าในระนาบการฉายภาพรูปหลายเหลี่ยม Petrie ของลูกบาศก์ 5 มิติการแบ่งส่วนขึ้นอยู่กับ 10 จาก 30 หน้าของรูปทรงสามเหลี่ยมขนมเปียกปูนรายการOEIS :  A006245กำหนดจำนวนวิธีแก้ปัญหาเป็น 62 โดยมี 2 ทิศทางสำหรับรูปแบบสมมาตรแรก และ 10 ทิศทางสำหรับอีก 6 รูปแบบ

รูปสิบเหลี่ยมปกติถูกแบ่งออกเป็น 10 รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

5 ลูกบาศก์

รูปสิบเหลี่ยมซิกแซกเฉียงปกติ 3 รูป

{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }
รูปสิบเหลี่ยมเฉียงปกติจะปรากฏเป็นขอบหยักของปริซึมรูปห้าเหลี่ยมปริซึมรูปดาวห้าแฉกและปริซึมรูปดาวห้าแฉกไขว้

รูปสิบเหลี่ยมเฉียงคือรูปหลายเหลี่ยมเฉียงที่มีจุดยอดและขอบ 10 จุด แต่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกัน โดยทั่วไปแล้ว พื้นที่ภายในของรูปสิบเหลี่ยมเฉียงดังกล่าวจะไม่สามารถกำหนดได้ ส่วน รูปสิบเหลี่ยมเฉียงแบบซิกแซกจะมีจุดยอดสลับกันอยู่บนระนาบขนานสองระนาบ

รูปสิบเหลี่ยมเฉียงปกติเป็นรูปทรงที่จุดยอดสลับกันได้และมีขอบยาวเท่ากัน ใน 3 มิติ มันจะเป็นรูปสิบเหลี่ยมเฉียงแบบซิกแซก และสามารถมองเห็นได้ที่จุดยอดและขอบด้านข้างของปริซึมแอนติรูปห้าเหลี่ยมปริซึมแอนติรูปห้าเหลี่ยมและปริซึมแอนติรูปห้าเหลี่ยมไขว้ที่มีสมมาตร D _5d , [2 ⁺ ,10] ลำดับ 20 เหมือนกัน

ลักษณะเหล่านี้สามารถพบเห็นได้ในทรงหลายเหลี่ยมนูนทั้งสี่นี้ที่มีสมมาตรแบบไอโคซาเฮดรัลรูปหลายเหลี่ยมบนขอบของภาพฉายเหล่านี้เป็นรูปสิบเหลี่ยมเฉียงปกติ

การฉายภาพเชิงตั้งฉากของทรงหลายเหลี่ยมบนแกน 5 เท่า

ทรงสิบสองเหลี่ยม

ทรงยี่สิบหน้า

อิโคซิโดเดคาเฮดรอน

ทรงสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

รูปสิบเหลี่ยมเฉียงปกติเป็น รูปหลาย เหลี่ยมเพทรีสำหรับโพลีโทปมิติสูงจำนวนมาก ซึ่งแสดงในภาพฉายตั้งฉาก เหล่านี้ใน ระนาบค็อกซ์เตอร์ต่างๆ: ^{[ 9 ]}จำนวนด้านในรูปหลายเหลี่ยมเพทรีเท่ากับจำนวนค็อกซ์เตอร์ h สำหรับแต่ละตระกูลสมมาตร

9​	ดี6		บี5
9-ซิมเพล็กซ์	4 11	1 31	5-ออร์โธเพล็กซ์	5 ลูกบาศก์

• จำนวนสิบเหลี่ยมและจำนวนสิบเหลี่ยมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดศูนย์กลางจำนวนรูปทรงเรขาคณิตที่จำลองมาจากรูปสิบเหลี่ยม
• รูปสิบ เหลี่ยมดาว(Decagram)คือ รูปหลายเหลี่ยม ที่มีตำแหน่งจุดยอดเหมือนกับรูปสิบเหลี่ยมปกติ

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "เดคากอน" . แมธเวิลด์ .
• คำจำกัดความและคุณสมบัติของรูปสิบเหลี่ยมพร้อมแอนิเมชั่นแบบโต้ตอบ