ในทางคณิตศาสตร์องค์ประกอบCoxeterคือองค์ประกอบของกลุ่ม Coxeter ที่ไม่สามารถลดทอนได้ ซึ่งเป็นผลคูณของการสะท้อนแบบง่ายทั้งหมด ผลคูณขึ้นอยู่กับลำดับที่นำมาใช้ แต่ลำดับที่แตกต่างกันจะสร้าง องค์ประกอบ คู่ควบ ซึ่งมี ลำดับเดียวกันลำดับนี้เรียกว่าจำนวน Coxeterตั้งชื่อตามนักเรขาคณิตชาวอังกฤษ-แคนาดาHSM Coxeterผู้ซึ่งแนะนำกลุ่มเหล่านี้ในปี 1934 ในฐานะนามธรรมของกลุ่มการสะท้อน^{[ 1 ]}

โปรดทราบว่าบทความนี้สมมติว่ากลุ่มค็อกซีเตอร์ เป็นกลุ่มจำกัด สำหรับกลุ่มค็อกซีเตอร์อนันต์ จะมีชั้น สมมูลหลายชั้น ของสมาชิกค็อกซีเตอร์ และสมาชิกเหล่านั้นจะมีอันดับอนันต์

มีหลายวิธีในการกำหนดค่า Coxeter number hของระบบรากที่ไม่สามารถแยกย่อยได้

• เลขค็อกซ์เตอร์ (Coxeter number ) คือลำดับขององค์ประกอบค็อกซ์เตอร์ ใดๆ
• เลขค็อกซ์เตอร์คือ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {2m}{n}},}$โดยที่nคืออันดับ และmคือจำนวนการสะท้อน ในกรณีทางผลึกศาสตร์m คือครึ่งหนึ่ง ของจำนวนรากและ2m + nคือมิติของพีชคณิตลีแบบ กึ่งง่ายที่สอดคล้อง กัน
• ถ้ารากสูงสุดเป็นรากเดี่ยวα _iแล้วจำนวนค็อกซ์เตอร์คือ${\displaystyle \sum m_{i}\alpha _{i}}$${\displaystyle 1+\sum m_{i}.}$
• จำนวนค็อกเซเตอร์ (Coxeter number) คือดีกรีสูงสุดของค่าคงที่พื้นฐานของกลุ่มค็อกเซเตอร์ (Coxeter group) ที่กระทำต่อพหุนาม

หมายเลข Coxeter สำหรับแต่ละประเภทของ Dynkin แสดงอยู่ในตารางต่อไปนี้:

กลุ่มค็อกซ์เตอร์		แผนภาพค็อกซ์เตอร์	แผนภาพไดน์กิน	การสะท้อน[ 2 ]${\displaystyle m={\tfrac {nh}{2}}}$	หมายเลขค็อกซ์เตอร์h	หมายเลขคู่ Coxeter	ระดับของค่าคงที่พื้นฐาน
หนึ่ง​	[3,3...,3]	...	...	${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$	n + 1	n + 1	2, 3, 4, ..., n + 1
บีเอ็น	[4,3...,3]	...	...	n 2	2 น.	2 n − 1	2, 4, 6, ..., 2 n
ซีเอ็น			...			n + 1
ดีเอ็น	[3,3,...3 1,1 ]	...	...	n ( n − 1)	2 n − 2	2 n − 2	n ; 2, 4, 6, ..., 2 n − 2
อี6	[3 2,2,1 ]			36	12	12	2, 5, 6, 8, 9, 12
อี7	[3 3,2,1 ]			63	18	18	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
อี8	[3 4,2,1 ]			120	30	30	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
เอฟ4	[3,4,3]			24	12	9	2, 6, 8, 12
จี2	[6]			6	6	4	2, 6
เอช3	[5,3]		-	15	10		2, 6, 10
เอช4	[5,3,3]		-	60	30		2, 12, 20, 30
ฉัน2 ( หน้า )	[ p ]		-	พี	พี		2, หน้า

ตัวแปรคงที่ของกลุ่มค็อกซีเตอร์ที่กระทำต่อพหุนามก่อให้เกิดพีชคณิตพหุนามซึ่งตัวสร้างคือตัวแปรคงที่พื้นฐาน โดยมีดีกรีแสดงอยู่ในตารางด้านบน สังเกตว่าถ้าmเป็นดีกรีของตัวแปรคงที่พื้นฐานแล้วh + 2 − m ก็เป็นดีกรีของตัวแปรคงที่พื้นฐานเช่น กัน

ค่าลักษณะเฉพาะขององค์ประกอบค็อกซ์เตอร์คือตัวเลขเมื่อmดำเนินไปตามระดับของตัวแปรคงที่พื้นฐาน เนื่องจากเริ่มต้นด้วยm = 2ดังนั้นจึงรวมถึง รากที่ hของเอกภาพแบบดั้งเดิมซึ่งมีความสำคัญในระนาบค็อกซ์เตอร์ ดังที่แสดงด้านล่าง ${\displaystyle e^{2\pi i{\frac {m-1}{h}}}}$${\displaystyle \zeta _{h}=e^{2\pi i{\frac {1}{h}}},}$

เลขค็อกซ์เตอร์คู่ (Dual Coxeter number)คือ 1 บวกกับผลรวมของสัมประสิทธิ์ของรากเดี่ยวในรากสั้น ที่สุด ของระบบรากคู่

มีความสัมพันธ์ระหว่างลำดับgของกลุ่ม Coxeter และจำนวน Coxeter h : ^{[ 3 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{}[p]:&\quad {\frac {2h}{g_{p}}}=1\\[4pt][p,q]:&\quad {\frac {8}{g_{p,q}}}={\frac {2}{p}}+{\frac {2}{q}}-1\\[4pt][p,q,r]:&\quad {\frac {64h}{g_{p,q,r}}}=12-p-2q-r+{\frac {4}{p}}+{\frac {4}{r}}\\[4pt][p,q,r,s]:&\quad {\frac {16}{g_{p,q,r,s}}}={\frac {8}{g_{p,q,r}}}+{\frac {8}{g_{q,r,s}}}+{\frac {2}{ps}}-{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}-{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{s}}+1\\[4pt]\vdots \qquad &\qquad \vdots \end{aligned}}}$$

ตัวอย่างเช่น[3,3,5]มีh = 30 : $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {64\times 30}{g_{3,3,5}}}=12-3-6-5+{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}={\frac {2}{15}},\\[4pt]&\therefore g_{3,3,5}={\frac {1920\times 15}{2}}=960\times 15=14400.\end{aligned}}}$$

องค์ประกอบ Coxeter ที่แตกต่างกันจะสอดคล้องกับการวางแนวของแผนภาพ Coxeter (เช่น กับ Dynkin quivers ): การสะท้อนแบบง่ายที่สอดคล้องกับจุดยอดต้นทางจะถูกเขียนก่อน จุดยอดปลายทางจะถูกเขียนทีหลัง และจุดรับจะถูกเขียนเป็นลำดับสุดท้าย (การเลือกลำดับระหว่างจุดยอดที่ไม่ติดกันนั้นไม่สำคัญ เนื่องจากจุดยอดเหล่านั้นสอดคล้องกับการสะท้อนที่สลับกันได้) ทางเลือกพิเศษคือการวางแนวแบบสลับ ซึ่งการสะท้อนแบบง่ายจะถูกแบ่งออกเป็นสองชุดของจุดยอดที่ไม่ติดกัน และขอบทั้งหมดจะถูกวางแนวจากชุดแรกไปยังชุดที่สอง^{[ 4 ]}การวางแนวแบบสลับจะสร้างองค์ประกอบ Coxeter พิเศษwที่สอดคล้องกับเงื่อนไขโดยที่w ₀คือองค์ประกอบที่ยาวที่สุดหากจำนวน Coxeter hเป็นเลขคู่ ${\displaystyle w^{h/2}=w_{0},}$

สำหรับกลุ่มสมมาตรบน องค์ประกอบ nองค์ประกอบ Coxeter คือn -cycle บางอย่าง: ผลคูณของการสะท้อนแบบง่ายคือองค์ประกอบ Coxeter [ ^{5 ] สำหรับ} n ที่เป็นเลขคู่ องค์ประกอบ Coxeter ที่มีการวางแนวสลับกันคือ: มีองค์ประกอบ Coxeter ที่แตกต่างกันในบรรดาn -cycle ${\displaystyle A_{n-1}\cong S_{n},}$${\displaystyle (1,2)(2,3)\cdots (n-1,n)}$${\displaystyle (1,2,3,\dots ,n)}$$${\displaystyle (1,2)(3,4)\cdots (2,3)(4,5)\cdots =(2,4,6,\ldots ,n{-}2,n,n{-}1,n{-}3,\ldots ,5,3,1).}$$${\displaystyle 2^{n-2}}$${\displaystyle (n{-}1)!}$

กลุ่มไดเฮดรัลDih _pเกิดจากการสะท้อนสองครั้งที่ทำมุมกันและดังนั้นองค์ประกอบ Coxeter ทั้งสองจึงเป็นผลคูณของการสะท้อนเหล่านั้นในลำดับใดก็ได้ ซึ่งก็คือการหมุนด้วย${\displaystyle {\tfrac {2\pi }{2p}},}$${\displaystyle \pm {\tfrac {2\pi }{p}}.}$

สำหรับองค์ประกอบ Coxeter w ที่กำหนด จะมีระนาบP ที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งwกระทำโดยการหมุนด้วย⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {2\pi }{h}}.}$ ระนาบ นี้เรียกว่าระนาบ Coxeter ^{[ 6 ]}และเป็นระนาบที่Pมีค่าลักษณะเฉพาะและ^{[ 7 ]}ระนาบนี้ได้รับการศึกษาอย่างเป็นระบบครั้งแรกใน ( Coxeter 1948 ) ^{[ 8 ]}และต่อมาใช้ใน ( Steinberg 1959 ) เพื่อให้การพิสูจน์ที่เป็นเอกภาพเกี่ยวกับคุณสมบัติขององค์ประกอบ Coxeter ^{[ 8 ]}${\displaystyle e^{2\pi i{\frac {1}{h}}}}$${\displaystyle e^{-2\pi i{\frac {1}{h}}}=e^{2\pi i{\frac {h-1}{h}}}.}$

ระนาบ Coxeter มักใช้ในการวาดแผนภาพของโพลีโทปและระบบรากที่มีมิติสูงกว่า โดยจุดยอดและขอบของโพลีโทปหรือราก (และขอบบางส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดและรากเหล่านี้) จะถูกฉายภาพตั้งฉากลงบนระนาบ Coxeter ทำให้ได้รูปหลายเหลี่ยม Petrieที่มีสมมาตรการหมุนh เท่า ^{[ 9 ]}สำหรับระบบราก จะไม่มีรากใดแมปไปยังศูนย์ ซึ่งสอดคล้องกับองค์ประกอบ Coxeter ที่ไม่ได้กำหนดรากหรือแกนใดๆ (ไม่มีค่าไอเกน 1 หรือ −1) ดังนั้นการฉายภาพของวงโคจรภายใต้w จะก่อให้เกิด การจัดเรียงแบบวงกลมhเท่า^{[ 9 ]}และมีจุดศูนย์กลางว่างเปล่า ดังเช่นใน แผนภาพ E ₈ ด้านบนขวา สำหรับโพลีโทป จุดยอดอาจแมปไปยังศูนย์ ดังที่แสดงไว้ด้านล่าง การฉายภาพลงบนระนาบ Coxeter สำหรับ ทรงหลายเหลี่ยมเพลโตจะ แสดงไว้ด้านล่าง

ในสามมิติ สมมาตรของทรงหลายเหลี่ยมปกติ { p , q }ที่มีรูปหลายเหลี่ยมเพทรีแบบมีทิศทางหนึ่งอัน ซึ่งกำหนดเป็นผลรวมของการสะท้อน 3 ครั้ง มีสมมาตรแบบหมุนกลับS _h , [2 ⁺ , h ⁺ ] , อันดับhการเพิ่มกระจกเงา สมมาตรสามารถเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าเป็นสมมาตรแบบแอนติปริซึมD _{h d} , [2 ⁺ , h ] , อันดับ2 hในการฉายภาพแบบตั้งฉาก 2 มิติ สมมาตรนี้จะกลายเป็นสมมาตรแบบไดเฮดรัลDih _h , [ h ] , อันดับ2 h

กลุ่มค็อกซ์เตอร์	เอ3 ทีดี	บี3 โอเอช		H 3 I h
ทรงหลายเหลี่ยม ปกติ	ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า{3,3}	ลูกบาศก์{4,3}	ทรงแปดเหลี่ยม{3,4}	ทรงสิบสองเหลี่ยม{5,3}	ทรงยี่สิบหน้า{3,5}
สมมาตร	S 4 , [2 + ,4 + ], (2×) D 2d , [2 + ,4], (2*2)	ส6 , [2 + ,6 + ], (3×) ง3d , [2 + ,6], (2*3)		S 10 , [2 + ,10 + ], (5×) D 5d , [2 + ,10], (2*5)
สมมาตรระนาบ ค็อกซ์เตอร์	Dih 4 , [4], (*4•)	Dih 6 , [6], (*6•)		Dih 10 , [10], (*10•)
รูปหลายเหลี่ยมเพทรีของทรงหลายเหลี่ยมเพลโต แสดงสมมาตรแบบ 4 เท่า 6 เท่า และ 10 เท่า

ในสี่มิติ สมมาตรของโพลีโครอนปกติ { p , q , r }ที่มีโพลีกอน Petrie ทิศทางหนึ่งอันที่ทำเครื่องหมายไว้คือการหมุนสองครั้งซึ่งกำหนดเป็นส่วนประกอบของการสะท้อน 4 ครั้ง โดยมีสมมาตร+ ¹ / _h [C _h ×C _h ] ^{[ 10 ]} ( John H. Conway ), (C _2h /C ₁ ;C _2h /C ₁ ) (#1', Patrick du Val (1964) ^{[ 11 ]} ) , อันดับh

กลุ่มค็อกซ์เตอร์	เอ4	บี4		เอฟ4	เอช4
โพลีโครอน ปกติ	5 เซลล์{3,3,3}	16 เซลล์{3,3,4}	เทสเซอแร็กต์{4,3,3}	24-เซลล์{3,4,3}	120-เซลล์{5,3,3}	600-เซลล์{3,3,5}
สมมาตร	+ 1 / 5 [C 5 ×C 5 ]	+ 1 / 8 [C 8 ×C 8 ]		+ 1 / 12 [C 12 ×C 12 ]	+ 1 / 30 [C 30 ×C 30 ]
สมมาตรระนาบ ค็อกซ์เตอร์	Dih 5 , [5], (*5•)	Dih 8 , [8], (*8•)		Dih 12 , [12], (*12•)	Dih 30 , [30], (*30•)
รูปหลายเหลี่ยมเพทรีของทรงเรขาคณิต 4 มิติปกติ แสดงสมมาตรแบบ 5 เท่า 8 เท่า 12 เท่า และ 30 เท่า

ในห้ามิติ สมมาตรของโพลีโทป 5 มิติปกติ { p , q , r , s }ซึ่งมีรูปหลายเหลี่ยมเพทรีแบบมีทิศทางหนึ่งอัน จะถูกแสดงด้วยการรวมกันของการสะท้อน 5 ครั้ง

กลุ่มค็อกซ์เตอร์	เอ5	บี5		ดี5
โพลีเทอรอน ปกติ	5-ซิมเพล็กซ์{3,3,3,3}	5-ออร์โธเพล็กซ์{3,3,3,4}	5-ลูกบาศก์{4,3,3,3}	5-เดมิคิวบ์h{4,3,3,3}
สมมาตรระนาบ ค็อกซ์เตอร์	Dih 6 , [6], (*6•)	Dih 10 , [10], (*10•)		Dih 8 , [8], (*8•)

ในมิติที่ 6 ถึง 8 มีกลุ่ม Coxeter พิเศษอยู่ 3 กลุ่ม โดยแต่ละมิติจะมีรูปทรงหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอหนึ่งรูปแทนรากของกลุ่ม Lie พิเศษE _nและสมาชิกของ Coxeter มีค่าเท่ากับ 12, 18 และ 30 ตามลำดับ

กลุ่ม E _n

กลุ่มค็อกซ์เตอร์	อี6	อี7	อี8
กราฟ	1 22	2 31	4 21
สมมาตรระนาบ ค็อกซ์เตอร์	Dih 12 , [12], (*12•)	Dih 18 , [18], (*18•)	Dih 30 , [30], (*30•)

• องค์ประกอบที่ยาวที่สุดของกลุ่มค็อกซ์เตอร์