ในทางคณิตศาสตร์รากที่หนึ่งของเอกภาพ (root of unity)คือจำนวนเชิงซ้อน ใดๆ ที่ให้ผลลัพธ์เป็น 1 เมื่อยกกำลังด้วยจำนวนเต็มบวกn รากที่หนึ่งของเอกภาพถูกนำไปใช้ในสาขาคณิตศาสตร์หลายสาขา และมีความสำคัญอย่างยิ่งในทฤษฎีจำนวนทฤษฎีอักขระกลุ่มและการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง บางครั้งเรียกว่าจำนวนเดอ มัวฟร์ (de Moivre number)ตามชื่อของนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสอับราฮัม เดอ มัวฟร์

รากของเอกภาพสามารถกำหนดได้ในฟิลด์ ใดๆ ก็ได้ ถ้าลักษณะเฉพาะของฟิลด์เป็นศูนย์ รากจะเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่เป็นจำนวนเต็มพีชคณิต ด้วย สำหรับฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นบวก รากจะเป็นของฟิลด์จำกัดและในทางกลับกันสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ทุกตัวของฟิลด์จำกัดจะเป็นรากของเอกภาพ ฟิลด์ปิดทางพีชคณิต ใดๆ จะมีรากของเอกภาพลำดับที่ n อยู่ n ตัว พอดียกเว้นในกรณีที่nเป็นพหุคูณของลักษณะเฉพาะ (ที่เป็นบวก) ของฟิลด์

ราก ที่nของเอกภาพโดยที่nเป็นจำนวนเต็มบวก คือจำนวนzที่สอดคล้องกับสมการ^{[ 1 ] [ 2 ]} เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น รากของเอกภาพอาจถือเป็นจำนวนเชิงซ้อน (รวมถึงจำนวน 1 และจำนวน −1 ถ้าnเป็นจำนวนคู่ซึ่งเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วน จินตนาการเป็นศูนย์ ) และในกรณีนี้ รากที่ nของเอกภาพคือ^{[ 3 ]}$${\displaystyle z^{n}=1.}$$$${\displaystyle \exp \left({\frac {2k\pi i}{n}}\right)=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\qquad k=0,1,\dots ,n-1.}$$

อย่างไรก็ตาม สมการนิยามของรากแห่งเอกภาพนั้นมีความหมายเหนือฟิลด์ ใดๆ (และแม้กระทั่งเหนือริง ใดๆ ) Fและสิ่งนี้ทำให้สามารถพิจารณารากแห่งเอกภาพในF ได้ หากลักษณะเฉพาะของFไม่เป็น 0 รากเหล่านี้จะเป็นของฟิลด์จำกัดในทางกลับกัน ทุกองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ในฟิลด์จำกัดจะเป็นรากแห่งเอกภาพในฟิลด์นั้น ดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ ที่ รากแห่งเอกภาพโมดูลัสnและฟิลด์จำกัด

กล่าวกันว่าราก ที่nของเอกภาพคือดั้งเดิมหากไม่ใช่mของเอกภาพสำหรับmนั่นคือถ้า ^{[ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle z^{n}=1\quad {\text{และ}}\quad z^{m}\neq 1{\text{ สำหรับ }}m=1,2,3,\ldots ,n-1.}$

ถ้าnเป็นจำนวนเฉพาะรากที่n ของเอกภาพ ทั้งหมด ยกเว้น 1 จะเป็นรากดั้งเดิม ^{[ 6 ]}

ในสูตรข้างต้นซึ่งแสดงด้วยฟังก์ชันเลขชี้กำลังและฟังก์ชันตรีโกณมิติ รากที่ n ดั้งเดิม ของเอกภาพ คือรากที่kและnเป็นจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวหารร่วมกัน

ส่วนถัดไปของบทความนี้จะกล่าวถึงรากของเอกภาพที่ซับซ้อน สำหรับกรณีของรากของเอกภาพในฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะไม่เป็นศูนย์ โปรดดูที่ฟิลด์จำกัด § รากของเอกภาพสำหรับกรณีของรากของเอกภาพในวงแหวนของจำนวนเต็มมอ ดูลาร์ โปรด ดูที่ รากของเอกภาพมอดูลาร์ n

รากที่ nของเอกภาพทุก ตัว zเป็น รากที่ aของเอกภาพดั้งเดิมสำหรับบางค่าa ≤ nซึ่งเป็นจำนวนเต็มบวกที่เล็กที่สุดที่ทำให้z ^a = 1

กำลังจำนวนเต็มใดๆ ของรากที่nของเอกภาพก็เป็น รากที่ nของเอกภาพ เช่นกัน ^{[ 7 ]}เนื่องจาก

${\displaystyle {\bigl (}z^{k}{\bigr )}^{n}=z^{kn}={\bigl (}z^{n}{\bigr )}^{k}=1^{k}=1.}$

สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับเลขชี้กำลังลบด้วยเช่นกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งส่วนกลับของรากที่nของเอกภาพคือคู่สังยุคเชิงซ้อนและยังเป็น รากที่ nของเอกภาพอีกด้วย: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{z}}=z^{-1}=z^{n-1}={\bar {z}}.}$

ถ้าzเป็น รากที่ nของเอกภาพ และa ≡ b (mod n )แล้วz ^a = z ^bอันที่จริง ตามนิยามของความสอดคล้องมอดูล n จะได้ ว่าa = b + knสำหรับจำนวนเต็มk บางตัว และด้วยเหตุนี้

${\displaystyle z^{a}=z^{b+kn}=z^{b}z^{kn}=z^{b}{\bigl (}z^{n}{\bigr )}^{k}=z^{b}1^{k}=z^{b}.}$

ดังนั้น เมื่อกำหนดกำลังz ^aของzแล้ว จะได้z ^a = z ^rโดยที่0 ≤ r < nคือเศษเหลือจากการหารแบบยุคลิดของaด้วยn

ให้zเป็น รากที่ nของเอกภาพแบบดั้งเดิม แล้วกำลังz , z ² , ..., z ^{n −1} , z ⁿ = z ⁰ = 1ล้วนเป็นรากที่n ของเอกภาพและแตกต่างกันทั้งหมด (ถ้า z ^a = z ^bโดยที่1 ≤ a < b ≤ nแล้วz ^{b − a} = 1ซึ่งหมายความว่าzจะไม่ใช่รากแบบดั้งเดิม) นี่หมายความว่าz , z ² , ..., z ^{n −1} , z ⁿ = z ⁰ = 1ล้วนเป็น รากที่ nของเอกภาพ เนื่องจากสมการพหุนามดีกรีn บนฟิลด์ (ในกรณีนี้คือฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อน) มีคำตอบอย่างมากที่สุดnคำตอบ

จากที่กล่าวมาข้างต้น สรุปได้ว่า ถ้าzเป็น รากที่ nของเอกภาพแบบดั้งเดิม แล้วจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ ถ้าzไม่ใช่แบบดั้งเดิม แล้ว จะหมายความว่าแต่บทกลับอาจไม่เป็นจริง ดังแสดงในตัวอย่างต่อไปนี้ ถ้าn = 4 รากที่ nของเอกภาพที่ไม่ใช่แบบดั้งเดิม คือ z = −1และจะมีถึงแม้ว่า${\displaystyle z^{a}=z^{b}}$${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}.}$${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$${\displaystyle z^{a}=z^{b},}$${\displaystyle z^{2}=z^{4}=1}$${\displaystyle 2\not \equiv 4{\pmod {4}}.}$

ให้zเป็น รากที่ nของเอกภาพแบบดั้งเดิม กำลังw = z ^kของzเป็น รากที่ aของเอกภาพแบบดั้งเดิมสำหรับ

${\displaystyle a={\frac {n}{\gcd(k,n)}},}$

โดยที่ ka คือตัวหารร่วมมากที่สุดของnและkซึ่งเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าkaเป็นตัวคูณร่วมน้อยที่สุดของkที่เป็นตัวคูณร่วมน้อยที่สุดของn ด้วย กล่าวอีกนัยหนึ่งkaคือตัวคูณร่วมน้อยที่สุดของkและnดังนั้น ${\displaystyle \gcd(k,n)}$

${\displaystyle a={\frac {\operatorname {lcm} (k,n)}{k}}={\frac {kn}{k\gcd(k,n)}}={\frac {n}{\gcd(k,n)}}.}$

ดังนั้น ถ้าkและnเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ z k ^ก็ จะเป็นรากที่ nดั้งเดิมของเอกภาพด้วย และด้วยเหตุนี้จึงมี รากที่ nดั้งเดิมของเอกภาพ ที่แตกต่างกัน φ ( n ) ราก (โดยที่ φคือฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์ ) ซึ่งหมายความว่าถ้าnเป็นจำนวนเฉพาะ รากทั้งหมด ยกเว้น+1จะเป็นรากดั้งเดิม

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าR( n )คือเซตของ รากที่ nของเอกภาพทั้งหมด และP( n )คือเซตของรากที่ n ดั้งเดิมR( n )จะเป็นการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกันของP( n ) :

${\displaystyle \operatorname {R} (n)=\bigcup _{d\,|\,n}\operatorname {P} (d),}$

โดยสัญลักษณ์ดังกล่าวหมายความว่าdครอบคลุมตัวหาร บวกทั้งหมด ของnรวมถึง1และnด้วย

เนื่องจากจำนวนสมาชิกของR( n )คือnและจำนวนสมาชิกของP( n )คือφ ( n )จึงแสดงให้เห็นถึงสูตรคลาสสิก

${\displaystyle \sum _{d\,|\,n}\varphi (d)=n.}$

ผลคูณและตัวผกผันการคูณของรากที่สองของเอกภาพก็เป็นรากที่สองของเอกภาพเช่นกัน ในความเป็นจริง ถ้าx ^m = 1และy ⁿ = 1แล้ว( x ⁻¹ ) ^m = 1และ( xy ) ^k = 1โดยที่k คือตัวคูณร่วมน้อยที่สุดของmและn

ดังนั้น รากของเอกภาพจึงก่อให้เกิดกลุ่มอาเบเลียน ภายใต้การคูณ กลุ่มนี้เป็นกลุ่มย่อยทอร์ชั่นของกลุ่ม วงกลม

สำหรับจำนวนเต็มn ใดๆ ผลคูณและตัวผกผันการคูณของ รากที่ nของเอกภาพสองตัวก็จะเป็น รากที่ nของเอกภาพเช่นกัน ดังนั้น รากที่ nของเอกภาพจึงประกอบกันเป็นกลุ่มอาเบเลียนภายใต้การคูณ

เมื่อกำหนดรากที่ nของเอกภาพแบบดั้งเดิมω แล้ว รากที่ nอื่นๆจะเป็นกำลังของωซึ่งหมายความว่ากลุ่มของรากที่nของเอกภาพเป็นกลุ่มวัฏจักรเป็นที่น่าสังเกตว่าคำว่ากลุ่มวัฏจักรมีที่มาจากข้อเท็จจริงที่ว่ากลุ่มนี้เป็นกลุ่มย่อยของกลุ่ม วงกลม

ให้เป็นส่วนขยายของ ฟิลด์ จำนวนตรรกยะที่สร้างขึ้นบนโดย รากที่ nของเอกภาพ ดั้งเดิม ωเนื่องจาก รากที่ nของเอกภาพทุกตัวเป็นกำลังของωฟิลด์ จึงประกอบด้วยราก ที่ nของเอกภาพทั้งหมด และเป็นส่วนขยายแบบกาโลอิสของ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

ถ้าkเป็นจำนวนเต็มω ^k จะเป็นรากที่ n ของเอกภาพ แบบดั้งเดิมก็ต่อเมื่อkและnเป็น จำนวนเฉพาะ สัมพัทธ์ในกรณีนี้ แผนที่

${\displaystyle \omega \mapsto \omega ^{k}}$

เหนี่ยวนำให้เกิดออโตมอร์ฟิซึมของซึ่งแมปทุกรากที่n ของเอกภาพไปยังกำลังที่ k ของมัน ออโตมอร์ฟิซึมทุกตัวของได้มาด้วยวิธีนี้ และออโตมอร์ฟิซึมเหล่านี้ก่อตัวเป็นกลุ่มกาโลอิสของเหนือฟิลด์ของจำนวนตรรกยะ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$

กฎของการยกกำลังบ่งชี้ว่าการประกอบกันของออโตมอร์ฟิซึมสองตัวดังกล่าวได้มาจากการคูณเลขชี้กำลัง ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า แผนที่

${\displaystyle k\mapsto \left(\omega \mapsto \omega ^{k}\right)}$

กำหนดไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มระหว่างหน่วยของวงแหวนจำนวนเต็มมอดูลnและกลุ่มกาโลอิสของ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega ).}$

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่ากลุ่มกา โล อิสนี้เป็นกลุ่มอาเบเลียนและหมายความว่ารากแรกของเอกภาพสามารถแสดงได้ในรูปของรากศัพท์

ส่วนจริงของรากปฐมภูมิของเอกภาพมีความสัมพันธ์กันในฐานะรากของพหุนามขั้นต่ำรากของพหุนามขั้นต่ำคือสองเท่าของส่วนจริง รากเหล่านี้ก่อตัวเป็นกลุ่มกาโลอิสแบบ วัฏจักร${\displaystyle 2\cos(2\pi /n).}$

สูตรของเดอ มัวร์ซึ่งใช้ได้กับจำนวนจริงxและจำนวนเต็มn ทุกตัว คือ

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos nx+i\sin nx.}$

การกำหนดค่าx = ⁠2π/nให้ รากที่ nดั้งเดิมของเอกภาพ – จะได้

${\displaystyle \left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!n}=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1,}$

แต่

${\displaystyle \left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!k}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}}\neq 1}$

สำหรับk = 1, 2, …, n − 1กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}}$

เป็น รากที่ n ดั้งเดิม ของเอกภาพ

สูตรนี้แสดงให้เห็นว่าในระนาบเชิงซ้อน ราก ที่nของเอกภาพจะอยู่ที่จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าn ด้าน ที่อยู่ภายในวงกลมหน่วยโดยมีจุดยอดหนึ่งอยู่ที่ 1 (ดูแผนภาพสำหรับn = 3ทางด้านขวา) ข้อเท็จจริงทางเรขาคณิตนี้เป็นที่มาของคำว่า "ไซโคลโทมิก" ในวลีต่างๆ เช่นฟิลด์ไซโคลโทมิกและพหุนามไซโคลโทมิกซึ่งมาจากรากศัพท์ภาษากรีก " ไซโคล " (วงกลม) บวกกับ " โทมอส " (ตัด แบ่ง)

สูตรของออยเลอร์

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

ซึ่งใช้ได้กับจำนวนจริงx ทุกค่า สามารถนำมาใช้เขียนสูตรสำหรับรากที่nของเอกภาพให้อยู่ในรูปแบบ

${\displaystyle e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},\quad 0\leq k<n.}$

จากที่ได้กล่าวไว้ในหัวข้อก่อนหน้านี้ สรุปได้ว่านี่คือรากที่n ดั้งเดิมก็ต่อเมื่อเศษส่วน ⁠เค/n⁠ คือ จำนวน ที่อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด กล่าวคือ kและ nเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์จำนวนอตรรกยะที่สามารถแสดงได้ในรูปส่วนจริงของรากที่หนึ่งของเอกภาพ กล่าวคือ เมื่อเรียกว่าจำนวนตรีโกณมิติ${\displaystyle \cos(2\pi k/n)}$

ตามนิยามแล้ว ราก ที่nของเอกภาพคือรากของพหุนามx ⁿ − 1และดังนั้นจึงเป็นจำนวนพีชคณิตเนื่องจากพหุนามนี้ไม่สามารถแยก ตัวประกอบไม่ได้ (ยกเว้นn = 1 ) รากที่ n ดั้งเดิม ของเอกภาพจึงเป็นรากของพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ (เหนือจำนวนเต็ม) ที่มีดีกรีต่ำกว่า เรียกว่าพหุนามไซโคลโทมิกที่nและมักจะเขียนแทนด้วยΦ _nดีกรีของΦ _nกำหนดโดยฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์ซึ่งนับ (ในบรรดาสิ่งอื่นๆ) จำนวน รากที่ n ดั้งเดิม ของเอกภาพ^{[ 9 ]}รากของΦ _nคือ รากที่ n ดั้งเดิม ของเอกภาพ อย่างแท้จริง

ทฤษฎีของกาโลอิสสามารถใช้แสดงให้เห็นว่าพหุนามไซโคลโทมิกสามารถหาคำตอบได้อย่างสะดวกโดยใช้รูปของราก (รูปแบบที่ไม่สำคัญนั้นไม่สะดวก เพราะมันมีรากที่ไม่ใช่รากดั้งเดิม เช่น 1 ซึ่งไม่ใช่รากของพหุนามไซโคลโทมิก และเพราะมันไม่ได้แยกส่วนจริงและส่วนจินตนาการออกจากกัน) นี่หมายความว่า สำหรับจำนวนเต็มบวกn แต่ละตัว จะมีนิพจน์ที่สร้างขึ้นจากจำนวนเต็มโดยการดึงราก การบวก การลบ การคูณ และการหาร (และไม่มีอย่างอื่น) เช่นนั้น รากดั้งเดิม ลำดับที่ nของเอกภาพจะเป็นเซตของค่าที่สามารถหาได้โดยการเลือกค่าสำหรับการดึงราก ( kค่าที่เป็นไปได้สำหรับ รากที่ k ) (สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม โปรดดู§ ฟิลด์ไซโคลโท มิก ด้านล่าง) ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{1}}}$

เกาส์พิสูจน์ว่า รากที่ nของเอกภาพแบบดั้งเดิมสามารถแสดงได้โดยใช้เพียงรากที่สองการบวก การลบ การคูณ และการหาร ก็ต่อเมื่อสามารถ สร้างรูปหลายเหลี่ยม ด้านเท่าnด้าน ได้ ด้วยวงเวียนและไม้บรรทัดซึ่งจะเป็นเช่นนั้นก็ต่อเมื่อnเป็นกำลังของสองหรือเป็นผลคูณของกำลังของสองและจำนวนเฉพาะของแฟร์มาต์ที่แตกต่างกันทั้งหมด

ถ้าzเป็น รากที่ n ดั้งเดิมของเอกภาพ 1/ zก็จะเป็นเช่นเดียวกันและมีค่าเป็นสองเท่าของส่วนจริงของ_zกล่าวอีกนัยหนึ่งΦnเป็นพหุนามผกผันพหุนามที่มีrเป็นรากสามารถอนุมานได้จากΦnโดยการจัดการมาตรฐานกับพหุนามผกผัน และ รากที่ n ดั้งเดิม ของเอกภาพสามารถอนุมานได้จากรากของ Φn _โดยการแก้สมการกำลังสองนั่นคือ ส่วนจริงของรากดั้งเดิมคือและส่วนจินตภาพคือ${\displaystyle r=z+{\frac {1}{z}}}$${\displaystyle R_{n}}$${\displaystyle R_{n}}$${\displaystyle z^{2}-rz+1=0.}$${\displaystyle {\frac {r}{2}},}$${\displaystyle \pm i{\sqrt {1-\left({\frac {r}{2}}\right)^{2}}}.}$

พหุนามนี้เป็นพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ ซึ่งรากทั้งหมดเป็นจำนวนจริง ดีกรีของมันเป็นกำลังของสอง ก็ต่อเมื่อnเป็นผลคูณของกำลังของสองกับผลคูณ (อาจว่างเปล่า ) ของจำนวนเฉพาะแฟร์มาต์ที่แตกต่างกัน และ รูป nเหลี่ยมปกติสามารถสร้างได้ด้วยวงเวียนและไม้บรรทัด มิฉะนั้น พหุนามนี้สามารถหาคำตอบได้ในรูปของราก แต่จะอยู่ในกรณีที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้กล่าวคือ ทุกนิพจน์ของรากในรูปของรากจะเกี่ยวข้องกับรากที่ไม่ใช่จำนวนจริง ${\displaystyle R_{n}}$

• สำหรับn = 1พหุนามไซโคลโทมิกคือΦ ₁ ( x ) = x − 1ดังนั้น รากแรกของเอกภาพที่เป็นรากแรกดั้งเดิมเพียงรากเดียวคือ 1 ซึ่งเป็น รากที่ nของเอกภาพที่ไม่ใช่รากแรกดั้งเดิมสำหรับทุกn > 1
• เนื่องจากΦ ₂ ( x ) = x + 1รากที่สอง (รากที่สอง) ดั้งเดิมเพียงรากเดียวของเอกภาพคือ −1 ซึ่งเป็น รากที่ nของเอกภาพที่ไม่ใช่ดั้งเดิมสำหรับทุกจำนวนคู่n > 2ด้วยกรณีข้างต้นนี้ ทำให้รายการ ราก จริงของเอกภาพ สมบูรณ์
• เนื่องจากΦ ₃ ( x ) = x ² + x + 1 ราก ที่สามดั้งเดิม ( รากที่สาม ) ของเอกภาพ ซึ่งเป็นรากของพหุนามกำลังสอง นี้ คือ$${\displaystyle {\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},\ {\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}.}$$
• เนื่องจากΦ ₄ ( x ) = x ² + 1รากที่สี่ดั้งเดิมสองตัวของเอกภาพคือiและ− i
• เนื่องจากΦ ₅ ( x ) = x ⁴ + x ³ + x ² + x + 1รากที่ห้าดั้งเดิมทั้งสี่ของเอกภาพคือรากของพหุนามกำลังสี่ นี้ ซึ่งสามารถหาคำตอบได้อย่างชัดเจนในรูปของราก โดยให้รากที่อาจมีค่าสองค่าคือ 1 และ −1 (ค่าเดียวกันในสองครั้ง)$${\displaystyle {\frac {\varepsilon {\sqrt {5}}-1}{4}}\pm i{\frac {\sqrt {10+2\varepsilon {\sqrt {5}}}}{4}},}$$${\displaystyle \varepsilon }$
• เนื่องจากΦ ₆ ( x ) = x ² − x + 1จึงมีรากที่หกดั้งเดิมของเอกภาพอยู่สองราก ซึ่งเป็นค่าลบ (และรากที่สอง) ของรากที่สามดั้งเดิมทั้งสอง:$${\displaystyle {\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}},\ {\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}.}$$
• เนื่องจาก 7 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะของแฟร์มาต์ รากที่เจ็ดของเอกภาพจึงเป็นรากแรกที่ต้องใช้รากที่สามมีรากที่เจ็ดของเอกภาพดั้งเดิม 6 ราก ซึ่งเป็นจำนวนเชิงซ้อนสังยุคแบบจับคู่ กัน ผลรวมของรากและสังยุคของมันคือสองเท่าของส่วนจริง ผลรวมทั้งสามนี้คือรากจริงสามรากของพหุนามกำลังสามและรากที่เจ็ดของเอกภาพดั้งเดิมคือโดยที่rวิ่งไปตามรากของพหุนามข้างต้น เช่นเดียวกับพหุนามกำลังสามทุกตัว รากเหล่านี้สามารถแสดงในรูปของรากที่สองและรากที่สามได้ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากรากทั้งสามนี้เป็นจำนวนจริงทั้งหมด นี่จึงเป็นกรณีที่ลดทอนไม่ได้และการแสดงออกใดๆ ก็ตามจะเกี่ยวข้องกับรากที่สามที่ไม่ใช่จำนวนจริง${\displaystyle r^{3}+r^{2}-2r-1,}$$${\displaystyle {\frac {r}{2}}\pm i{\sqrt {1-{\frac {r^{2}}{4}}}},}$$
• เนื่องจากΦ ₈ ( x ) = x ⁴ + 1รากที่แปดดั้งเดิมทั้งสี่ของเอกภาพคือรากที่สองของรากที่สี่ดั้งเดิม± iดังนั้นจึงเป็น$${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\pm i{\frac {\sqrt {2}}{2}}.}$$
• ดูHeptadecagonสำหรับส่วนที่แท้จริงของรากที่ 17 ของเอกภาพ

ถ้าzเป็น รากที่ nของเอกภาพแบบดั้งเดิม ลำดับของกำลังจะเป็นดังนี้

… , z ⁻¹ , z ⁰ , z ¹ , …

เป็น คาบ n (เนื่องจากz ^{j + n} = z ^j z ⁿ = z ^jสำหรับทุกค่าของj ) และลำดับกำลัง n ลำดับ

s _k : … , z ^{k ⋅(−1)} , z ^{k ⋅0} , z ^{k ⋅1} , …

สำหรับk = 1, … , n ลำดับ ทั้งหมดเป็น คาบ n (เนื่องจากz ^{k ⋅( j + n )} = z ^{k ⋅ j} ) ยิ่งไปกว่านั้น เซต{ s ₁ , … , s _n } ของลำดับเหล่านี้เป็นฐานของปริภูมิเชิงเส้น ของลำดับคาบ nทั้งหมดซึ่งหมายความว่า ลำดับคาบ n ใดๆ ของจำนวนเชิงซ้อน

… , x ₋₁ , x ₀ , x ₁ , …

สามารถแสดงได้ในรูปผลรวมเชิงเส้นของกำลังของ รากที่ n ดั้งเดิม ของเอกภาพ:

${\displaystyle x_{j}=\sum _{k}X_{k}\cdot z^{k\cdot j}=X_{1}z^{1\cdot j}+\cdots +X_{n}\cdot z^{n\cdot j}}$

สำหรับจำนวนเชิงซ้อนX ₁ , … , X _n บาง จำนวน และจำนวนเต็มj ทุก จำนวน

นี่เป็นรูปแบบหนึ่งของการวิเคราะห์ฟูริเยร์ถ้าjเป็นตัวแปรเวลา (แบบไม่ต่อเนื่อง) แล้วkคือความถี่และX _kคือแอมพลิจูด เชิงซ้อน

เลือกใช้ รากที่ n ดั้งเดิม ของเอกภาพ

${\displaystyle z=e^{\frac {2\pi i}{n}}=\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}}$

ช่วยให้สามารถแสดงx _j ในรูปผลรวมเชิงเส้นของ cosและsinได้:

${\displaystyle x_{j}=\sum _{k}A_{k}\cos {\frac {2\pi jk}{n}}+\sum _{k}B_{k}\sin {\frac {2\pi jk}{n}}.}$

นี่คือการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง

ให้SR( n )เป็นผลรวมของ รากที่ nของเอกภาพทั้งหมด ไม่ว่าจะเป็นรากดั้งเดิมหรือไม่ก็ตาม แล้ว

${\displaystyle \operatorname {SR} (n)={\begin{cases}1,&n=1\\0,&n>1.\end{cases}}}$

นี่เป็นผลสืบเนื่องโดยตรงจากสูตรของเวียตาอันที่จริง รากที่nของเอกภาพเป็นรากของพหุนามX ⁿ − 1ผลรวมของรากเหล่านั้นคือสัมประสิทธิ์ของดีกรีn − 1ซึ่งจะเป็น 1 หรือ 0 ขึ้นอยู่กับว่าn = 1หรือn > 1

หรืออีกทางหนึ่ง สำหรับn = 1ไม่มีอะไรต้องพิสูจน์ และสำหรับn > 1จะมีรากz ≠ 1 อยู่ – เนื่องจากเซตSของรากที่n ทั้งหมด ของเอกภาพเป็นกลุ่มดังนั้นz S = Sผลรวมจึงสอดคล้องกับz SR( n ) = SR( n )ซึ่งทำให้SR( n ) = 0

ให้SP( n )เป็นผลรวมของ รากที่ n ดั้งเดิมทั้งหมด ของเอกภาพ แล้ว

${\displaystyle \operatorname {SP} (n)=\mu (n),}$

โดยที่μ ( n )คือฟังก์ชันโมเบียส

ในหัวข้อคุณสมบัติพื้นฐานได้แสดงให้เห็นว่า ถ้าR( n )คือเซตของ รากที่ nของเอกภาพทั้งหมด และP( n )คือเซตของรากที่ n ดั้งเดิมR( n )จะเป็นการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกันของP( n ) :

${\displaystyle \operatorname {R} (n)=\bigcup _{d\,|\,n}\operatorname {P} (d),}$

นี่หมายความว่า

${\displaystyle \operatorname {SR} (n)=\sum _{d\,|\,n}\operatorname {SP} (d).}$

การใช้สูตรการผกผันของโมเบียสจะได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle \operatorname {SP} (n)=\sum _{d\,|\,n}\mu (d)\operatorname {SR} \left({\frac {n}{d}}\right).}$

ในสูตรนี้ ถ้าd < nแล้วSR( ⁠n/ง) = 0และสำหรับ d = n : SR( ⁠n/ง) = 1ดังนั้น SP ( n ) = μ ( n )

นี่คือกรณีพิเศษc _n (1)ของ^ผล รวม c _n ( s ) ของ Ramanujan [ ^{10 ]}ซึ่งกำหนดเป็นผลรวมของ กำลังที่ sของ รากที่ n ดั้งเดิม ของเอกภาพ:

${\displaystyle c_{n}(s)=\sum _{a=1 \atop \gcd(a,n)=1}^{n}e^{2\pi i{\frac {a}{n}}s}.}$

จากสูตรการหาผลรวม จะได้ ความสัมพันธ์ เชิงตั้งฉาก ดังนี้ : สำหรับj  = 1, … , nและj′  = 1, … , n

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\overline {z^{j\cdot k}}}\cdot z^{j'\cdot k}=n\cdot \delta _{j,j'}}$

โดยที่δคือเดลต้าโครเนกเกอร์และzคือรากที่ n ของเอกภาพดั้งเดิมใดๆ

เมทริกซ์n × n Uที่มีสมาชิกตำแหน่ง ( j , k ) คือ

${\displaystyle U_{j,k}=n^{-{\frac {1}{2}}}\cdot z^{j\cdot k}}$

กำหนดการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง การ คำนวณการแปลงผกผันโดยใช้การกำจัดแบบเกาส์เซียนต้องใช้ การดำเนินการ O ( n³ ⁾อย่างไรก็ตาม จากคุณสมบัติการตั้งฉาก จะได้ว่าUเป็นเมทริก ซ์เอกลักษณ์ นั่นคือ

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\overline {U_{j,k}}}\cdot U_{k,j'}=\delta _{j,j'},}$

ดังนั้น ตัวผกผันของUจึงเป็นเพียงค่าสังยุคเชิงซ้อน (ข้อเท็จจริงนี้ถูกสังเกตครั้งแรกโดยเกาส์เมื่อแก้ปัญหาการแทรกสอดตรีโกณมิติ ) การประยุกต์ใช้Uหรือตัวผกผันของ U กับเวกเตอร์ที่กำหนดโดยตรงนั้นต้องการ^การดำเนินการO ( n² ) อัลกอริทึม การแปลงฟูริเยร์แบบเร็วช่วยลดจำนวนการดำเนินการลงไปอีกเป็น O ( n log n )

รากของพหุ นาม

${\displaystyle p(z)=z^{n}-1}$

พหุนามไซโคลโทมิกที่nถูกกำหนดโดยข้อเท็จจริงที่ว่าค่าศูนย์ของมันคือ รากที่ n ดั้งเดิมของเอกภาพ ซึ่งแต่ละค่า มีความซ้ำซ้อน เท่ากับ 1

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=\prod _{k=1}^{\varphi (n)}(z-z_{k})}$

โดยที่z ₁ , z ₂ , z ₃ , …, z _{φ( n )}คือ รากที่ n ดั้งเดิม ของเอกภาพ และφ( n )คือฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์พหุนามΦ _n ( z )มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มและเป็นพหุนามที่ไม่สามารถแยก ตัวประกอบได้ เหนือจำนวนตรรกยะ (นั่นคือ ไม่สามารถเขียนเป็นผลคูณของพหุนามดีกรีบวกสองตัวที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะได้) ^{[ 9 ]}กรณีของจำนวนเฉพาะnซึ่งง่ายกว่าการยืนยันทั่วไป เป็นไปตามการใช้เกณฑ์ของไอเซนสไตน์กับพหุนาม

${\displaystyle {\frac {(z+1)^{n}-1}{(z+1)-1}},}$

และขยายความโดยใช้ทฤษฎีบททวินาม

รากที่ n ของเอกภาพ ทุกตัวเป็น รากที่ d ดั้งเดิม ของเอกภาพสำหรับตัวหารบวกdของn เพียงตัวเดียวเท่านั้น ซึ่งหมายความว่า^{[ 9 ]}

${\displaystyle z^{n}-1=\prod _{d\,|\,n}\Phi _{d}(z).}$

สูตรนี้แสดงถึงการแยกตัวประกอบของพหุนามz ⁿ − 1ออกเป็นตัวประกอบที่ไม่สามารถแยกได้อีก:

${\displaystyle {\begin{aligned}z^{1}-1&=z-1\\z^{2}-1&=(z-1)(z+1)\\z^{3}-1&=(z-1)(z^{2}+z+1)\\z^{4}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+1)\\z^{5}-1&=(z-1)(z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\z^{6}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+z+1)(z^{2}-z+1)\\z^{7}-1&=(z-1)(z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\z^{8}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+1)(z^{4}+1)\\\end{aligned}}}$

การใช้การผกผันโมเบียสกับสูตรจะได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=\prod _{d\,|\,n}\left(z^{\frac {n}{d}}-1\right)^{\mu (d)}=\prod _{d\,|\,n}\left(z^{d}-1\right)^{\mu \left({\frac {n}{d}}\right)},}$

โดยที่μคือฟังก์ชันโมเบียสดังนั้นพหุนามไซโคลโทมิกกลุ่มแรกๆ คือ

Φ ₁ ( z ) = z − 1

Φ ₂ ( z ) = ( z ² − 1)⋅( z − 1) ⁻¹ = z + 1

Φ ₃ ( z ) = ( z ³ − 1)⋅( z − 1) ⁻¹ = z ² + z + 1

Φ ₄ ( z ) = ( z ⁴ − 1)⋅( z ² − 1) ⁻¹ = z ² + 1

Φ ₅ ( z ) = ( z ⁵ − 1)⋅( z − 1) ⁻¹ = z ⁴ + z ³ + z ² + z + 1

Φ ₆ ( z ) = ( z ⁶ − 1)⋅( z ³ − 1) ⁻¹ ⋅( z ² − 1) ⁻¹ ⋅( z − 1) = z ² − z + 1

Φ ₇ ( z ) = ( z ⁷ − 1)⋅( z − 1) ⁻¹ = z ⁶ + z ⁵ + z ⁴ + z ³ + z ² + z + 1

Φ ₈ ( z ) = ( z ⁸ − 1)⋅( z ⁴ − 1) ⁻¹ = z ⁴ + 1

ถ้าpเป็นจำนวนเฉพาะ รากที่ p ของเอกภาพ ทั้งหมดยกเว้น 1 จะเป็น รากที่ p ดั้งเดิม ดังนั้น^{[ 6 ]} การแทนที่จำนวนเต็มบวกใดๆ ≥ 2 ลงในzผลรวมนี้จะกลายเป็นrepunit ฐานzดังนั้นเงื่อนไขที่จำเป็น (แต่ไม่เพียงพอ) สำหรับ repunit ที่จะเป็นจำนวนเฉพาะคือความยาวของมันต้องเป็นจำนวนเฉพาะ $${\displaystyle \Phi _{p}(z)={\frac {z^{p}-1}{z-1}}=\sum _{k=0}^{p-1}z^{k}.}$$

โปรดสังเกตว่า ตรงกันข้ามกับที่ปรากฏในตอนแรกสัมประสิทธิ์ของพหุนามไซโคลโทมิกทั้งหมดไม่ได้ เป็น 0, 1 หรือ -1 เสมอไป ข้อยกเว้นแรกคือ Φ ₁₀₅ไม่ใช่เรื่องน่าแปลกใจที่ต้องใช้เวลานานขนาดนี้กว่าจะได้ตัวอย่าง เพราะพฤติกรรมของสัมประสิทธิ์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับn มากนัก แต่ขึ้นอยู่กับจำนวนตัวประกอบเฉพาะคี่ ที่ปรากฏใน nมากกว่า กล่าวคือ สามารถแสดงได้ว่า ถ้าnมีตัวประกอบเฉพาะคี่ 1 หรือ 2 ตัว (เช่นn  = 150 ) พหุนามไซโคลโทมิกตัวที่nจะมีสัมประสิทธิ์เป็น 0, 1 หรือ -1 เท่านั้น ดังนั้นn ตัวแรกที่เป็นไปได้ ซึ่งอาจมีสัมประสิทธิ์นอกเหนือจาก 0, 1 หรือ -1 คือผลคูณของจำนวนเฉพาะคี่ที่เล็กที่สุดสามตัว ซึ่งก็คือ3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 105 สิ่งนี้เพียงอย่างเดียวไม่ได้พิสูจน์ว่าพหุนามลำดับที่ 105 มีสัมประสิทธิ์อื่น แต่แสดงให้เห็นว่าเป็นพหุนามแรกที่มีโอกาสใช้งานได้ (และการคำนวณสัมประสิทธิ์ก็แสดงให้เห็นว่าใช้งานได้จริง) ทฤษฎีบทของ Schur กล่าวว่ามีพหุนามไซโคลโทมิกที่มีสัมประสิทธิ์ที่มีค่าสัมบูรณ์ มากตามอำเภอใจ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าโดยที่เป็นจำนวนเฉพาะคี่และtเป็นจำนวนคี่ แล้ว1 − tจะปรากฏเป็นสัมประสิทธิ์ในพหุนามไซโคลโทมิกลำดับที่n ^{[ 11 ]}${\displaystyle n=p_{1}p_{2}\cdots p_{t},}$${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{t}}$${\displaystyle p_{1}+p_{2}>p_{t},}$

มีข้อจำกัดหลายประการเกี่ยวกับค่าที่พหุนามไซโคลโทมิกสามารถรับได้ที่ค่าจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น ถ้าpเป็นจำนวนเฉพาะd ∣ Φ _p ( d )ก็ต่อเมื่อd ≡ 1 (mod p )เท่านั้น

พหุนามไซโคลโทมิกสามารถแก้ได้ในรากเนื่องจากรากของเอกภาพเองก็เป็นราก ยิ่งไปกว่านั้น ยังมีนิพจน์รากที่มีข้อมูลมากกว่าสำหรับ รากที่ nของเอกภาพที่มีคุณสมบัติเพิ่มเติม^{[ 12 ]}ว่าทุกค่าของนิพจน์ที่ได้จากการเลือกค่าของราก (เช่น เครื่องหมายของรากที่สอง) เป็น รากที่ n ของเอกภาพแบบดั้งเดิม ซึ่ง เกาส์ได้แสดงให้เห็นแล้วในปี 1797 ^{[ 13 ]} มี อัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับการคำนวณนิพจน์ดังกล่าว^{[ 14 ]}

ราก ที่nของเอกภาพ เมื่อนำมาคูณกันจะก่อให้เกิดกลุ่มวัฏจักรที่มีอันดับnและในความเป็นจริง กลุ่มเหล่านี้ประกอบด้วย กลุ่มย่อย จำกัด ทั้งหมด ของกลุ่มการคูณของฟิลด์จำนวนเชิงซ้อนตัวสร้าง สำหรับกลุ่มวัฏจักรนี้คือรากที่ nของเอกภาพ แบบดั้งเดิม

ราก ที่ nของเอกภาพก่อให้เกิดการแสดงแทน แบบลดทอนไม่ได้ ของกลุ่มวัฏจักรใดๆ ที่มีอันดับnความสัมพันธ์เชิงตั้งฉากยังเป็นผลมาจาก หลักการ ทางทฤษฎีกลุ่มดังที่ได้อธิบายไว้ในกลุ่มลักษณะเฉพาะ

รากของเอกภาพปรากฏเป็นรายการของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์แบบวงกลม ใดๆ นั่นคือ เมทริกซ์ที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อนแบบวัฏจักร ซึ่งเป็นข้อเท็จจริงที่สืบเนื่องมาจากทฤษฎีการแสดงแทนกลุ่มเช่นกันในฐานะรูปแบบหนึ่งของ ทฤษฎีบท ของBloch ^{[ 15 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หาก พิจารณา เมทริกซ์เฮอร์มิเชียน แบบวงกลม (ตัวอย่างเช่น ลาปลา เซียน หนึ่งมิติแบบไม่ต่อเนื่องที่มีขอบเขตเป็นคาบ^{[ 16 ]} ) คุณสมบัติความเป็นตั้งฉากจะสืบเนื่องมาจากความเป็นตั้งฉากตามปกติของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนทันที

โดยการแนบ รากที่ nของเอกภาพดั้งเดิม เข้ากับ จะได้ฟิลด์ไซโคลโท มิก ที่n ฟิลด์นี้ประกอบด้วย รากที่ nของเอกภาพทั้งหมด และเป็นฟิลด์แยกส่วนของพหุนามไซโคลโทมิกที่n เหนือ ส่วนขยายของฟิลด์มีดีกรี φ( n ) และกลุ่มกาโลอิส ของมัน มีความสมมาตรตามธรรมชาติกับกลุ่มการคูณของหน่วยของริง${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n)).}$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n))/\mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} .}$

เนื่องจากกลุ่มกาโลอิสเป็นกลุ่มอาเบเลียน นี่จึงเป็นการขยายแบบอาเบเลียนทุกฟิลด์ย่อยของฟิลด์ไซโคลโทมิกเป็นการขยายแบบอาเบเลียนของจำนวนตรรกยะ ดังนั้นจึงสามารถแสดงรากที่n ของเอกภาพได้ในรูปของราก k โดยที่ kต่างๆไม่เกิน φ( n ) ในกรณีเหล่านี้ทฤษฎีกาโลอิสสามารถเขียนออกมาได้อย่างชัดเจนในรูปของคาบเกาส์เซียน : ทฤษฎีนี้จากDisquisitiones Arithmeticaeของเกาส์ได้รับการตีพิมพ์หลายปีก่อนกาโลอิส^{[ 17 ]}${\displaystyle \mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n))/\mathbb {Q} }$

ในทางกลับกัน ส่วนขยายอาเบเลียน ทุกอันของจำนวนตรรกยะเป็นฟิลด์ย่อยของฟิลด์ไซโคลโทมิกเช่นกัน ซึ่งเป็นเนื้อหาของทฤษฎีบทของโครเนกเกอร์ซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่าทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-เวเบอร์เนื่องจากเวเบอร์เป็นผู้พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้จนเสร็จสมบูรณ์

สำหรับn = 1, 2รากที่1และ−1ต่าง ก็เป็นจำนวนเต็ม

สำหรับค่า nสามค่า รากของเอกภาพจะเป็นจำนวนเต็มกำลังสอง :

• สำหรับn = 3, 6ค่าเหล่านี้เป็นจำนวนเต็มไอเซนสไตน์ ( D = −3 )
• สำหรับn = 4พวกมันคือจำนวนเต็มเกาส์เซียน ( D = −1 ): ดูหน่วยจินตภาพ

สำหรับค่า nอีกสี่ค่ารากปฐมภูมิของเอกภาพจะไม่ใช่จำนวนเต็มกำลังสอง แต่ผลรวมของรากปฐมภูมิใดๆ กับจำนวนเชิงซ้อนสังยุค ของมัน (ซึ่งเป็น รากที่ nของเอกภาพเช่นกัน) จะเป็นจำนวนเต็มกำลังสอง

สำหรับn = 5, 10รากที่ไม่ใช่จำนวนจริงของเอกภาพ (ซึ่งสอดคล้องกับสมการกำลังสี่ ) ไม่มีรากใดเป็นจำนวนเต็มกำลังสอง แต่ผลรวมz + z = 2 Re zของแต่ละรากกับจำนวนเชิงซ้อนสังยุค (ซึ่งเป็นรากที่ 5 ของเอกภาพเช่นกัน) เป็นสมาชิกของริงZ [ ⁠1 + √ 5/2] ( D = 5) สำหรับรากที่ 5 ของเอกภาพที่ไม่ใช่จำนวนจริงสองคู่ ผลรวมเหล่านี้คืออัตราส่วนทองคำผกผัน และอัตราส่วนทองคำ ลบ

สำหรับn = 8สำหรับรากที่หนึ่งของเอกภาพใดๆ z + zจะเท่ากับ 0, ±2 หรือ ± √ 2 ( D = 2 )

สำหรับn = 12สำหรับรากที่หนึ่งของเอกภาพใดๆ z + zจะเท่ากับ 0, ±1, ±2 หรือ ± √ 3 ( D = 3 )

• ระบบอาร์แกนด์
• กลุ่มวงกลมหน่วยของจำนวนเชิงซ้อน
• สนามไซโคลโทมิก
• แผนผังกลุ่มรากฐานแห่งความเป็นเอกภาพ
• ตัวละคร Dirichlet
• ผลรวมของรามานุจัน
• เวกเตอร์วิทท์
• ตัวละคร Teichmüller