ในทางคณิตศาสตร์เวกเตอร์วิทท์คือลำดับอนันต์ขององค์ประกอบของวงแหวนสลับที่ เอิร์นส์ วิทท์ แสดงให้เห็นวิธีการวาง โครงสร้างวงแหวนบนเซตของเวกเตอร์วิทท์ ในลักษณะที่วงแหวนของเวกเตอร์วิทท์เหนือฟิลด์จำกัดที่ มี อันดับเฉพาะp นั้นเป็นไอโซมอร์ฟิกกับวงแหวนของจำนวนเต็มp -adic พวกมันมีโครงสร้างที่ไม่เป็นไปตามสัญชาตญาณอย่างมาก^{[ 1 ]}เมื่อมองแวบแรก เนื่องจากโครงสร้างการบวกและการคูณของพวกมันขึ้นอยู่กับเซตอนันต์ของสูตรเวียนเกิดซึ่งไม่ทำงานเหมือนสูตรการบวกและการคูณสำหรับ จำนวนเต็ม p -adic มาตรฐาน${\displaystyle W(\mathbb {F} _{p})}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

แนวคิดหลัก^{[ 1 ]}เบื้องหลังเวกเตอร์ Witt คือแทนที่จะใช้การขยายp -adic มาตรฐาน

${\displaystyle a=a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\cdots }$

ในการแสดงองค์ประกอบในนั้นอาจพิจารณาการขยายโดยใช้ตัวอักษร Teichmüller แทนได้${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

${\displaystyle \omega :\mathbb {F} _{p}^{*}\to \mathbb {Z} _{p}^{*}}$,

ซึ่งเป็นมอร์ฟิซึมกลุ่มที่ส่งแต่ละองค์ประกอบในเซตคำตอบของไปยังองค์ประกอบในเซตคำตอบของกล่าวคือ องค์ประกอบในสามารถขยายออกมาได้ในรูปของรากของเอกภาพแทนที่จะเป็นองค์ประกอบโปรไฟไนต์ใน นอกจากนี้เรายังกำหนดซึ่งกำหนดแผนที่การคูณแบบหนึ่งต่อหนึ่งที่ส่งองค์ประกอบของไปยังรากของใน จำนวนเต็ม p - adic สามารถแสดงเป็นผลรวมอนันต์ได้${\displaystyle x^{p-1}-1}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle x^{p-1}-1}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \prod \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle \omega (0)=0}$${\displaystyle \omega :\mathbb {F} _{p}\to \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle x^{p}-x}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

${\displaystyle a=\omega (a_{0})+\omega (a_{1})p+\omega (a_{2})p^{2}+\cdots }$,

ซึ่งให้เวกเตอร์วิทท์

${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )\in W(\mathbb {F} _{p})=(\mathbb {F} _{p})^{\mathbb {N} }}$.

จากนั้น โครงสร้างการบวกและการคูณที่ไม่ธรรมดาในเวกเตอร์วิทท์จะมาจากการใช้แผนที่นี้เพื่อให้ได้โครงสร้างการบวกและการคูณซึ่ง เหนี่ยวนำให้เกิด โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนแบบสลับที่ได้ ${\displaystyle W(\mathbb {F} _{p})}$${\displaystyle \omega }$

ในศตวรรษที่ 19 เอิร์นส์ เอดูอาร์ด คุมเมอร์ศึกษาการขยายแบบวัฏจักร ของฟิลด์ ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของงานของเขาเกี่ยวกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์สิ่งนี้ได้นำไปสู่หัวข้อที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีคุมเมอร์ให้เป็นฟิลด์ที่มีรากที่ -th ของเอกภาพแบบดั้งเดิม ทฤษฎีคุมเม อร์จำแนกการขยายฟิลด์แบบวัฏจักรดีกรีของฟิลด์ดังกล่าวมีความสัมพันธ์ แบบหนึ่งต่อหนึ่ง กับกลุ่มวัฏจักร อันดับ โดยที่สอดคล้องกับ${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle K}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Delta \subseteq k^{\times }/(k^{\times })^{n}}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle K=k({\sqrt[{n}]{\Delta }}\,)}$

แต่สมมติว่ามีลักษณะเฉพาะปัญหาของการศึกษาการขยายระดับของหรือโดยทั่วไปแล้วการขยายระดับ อาจดูคล้ายกับทฤษฎีของ Kummer ในแง่ผิวเผิน อย่างไรก็ตาม ในสถานการณ์นี้ไม่สามารถมีรากที่ -th ของเอกภาพดั้งเดิมได้ ถ้าเป็นรากที่ -th ของเอกภาพในแล้วมันจะสอดคล้องกับแต่ลองพิจารณาการแสดงออกโดยการขยายโดยใช้สัมประสิทธิ์ทวินามการดำเนินการยกกำลัง -th ซึ่งในที่นี้เรียกว่าโฮโมมอร์ฟิซึมของ Frobeniusจะนำตัวประกอบไปยังสัมประสิทธิ์ทุกตัวยกเว้นตัวแรกและตัวสุดท้าย ดังนั้นโมดูลัสของสมการเหล่านี้จึงเหมือนกัน ดังนั้นด้วยเหตุนี้ ทฤษฎีของ Kummer จึงไม่สามารถนำไปใช้กับการขยายที่มีระดับหารด้วยลักษณะเฉพาะได้ ${\displaystyle k}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle k}$${\displaystyle p^{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x^{p}=1}$${\displaystyle (x-1)^{p}=0}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x=1}$

กรณีที่ลักษณะเฉพาะหารดีกรีลงตัวนั้น ปัจจุบันเรียกว่าทฤษฎี Artin–Schreierเนื่องจากความก้าวหน้าครั้งแรกเกิดขึ้นโดย Artin และ Schreier แรงจูงใจเริ่มต้นของพวกเขาคือทฤษฎีบท Artin–Schreierซึ่งระบุลักษณะของฟิลด์ปิดจริงว่าเป็นฟิลด์ที่ มี กลุ่ม Galois สัมบูรณ์ที่มีอันดับสอง^{[ 2 ]}สิ่งนี้กระตุ้นให้พวกเขาตั้งคำถามว่ามีฟิลด์อื่นใดอีกบ้างที่มี กลุ่ม Galois สัมบูรณ์ จำกัดในระหว่างการพิสูจน์ว่าไม่มีฟิลด์อื่นใดที่มีฟิลด์ดังกล่าว พวกเขาพิสูจน์ได้ว่าการขยายดีกรีของฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะนั้นเหมือนกับฟิลด์แยกของพหุนาม Artin–Schreierซึ่งตามคำนิยามแล้วมีรูปแบบโดยการทำซ้ำการสร้างของพวกเขา พวกเขาได้อธิบายการขยาย ดีกรี Abraham Adrian Albertใช้แนวคิดนี้เพื่ออธิบายการขยายดีกรี การทำซ้ำแต่ละครั้งเกี่ยวข้องกับเงื่อนไขทางพีชคณิตที่ซับซ้อนเพื่อให้แน่ใจว่าการขยายฟิลด์นั้นเป็นปกติ^{[ 3 ]}${\displaystyle p}$${\displaystyle k}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x^{p}-x-a.}$${\displaystyle p^{2}}$${\displaystyle p^{n}}$

Schmid ^{[ 4 ]}ขยายความทั่วไปเพิ่มเติมไปยังพีชคณิตวัฏจักรที่ไม่สลับที่ระดับในกระบวนการดังกล่าวพหุนาม บางอย่าง ที่เกี่ยวข้องกับการบวกจำนวนเต็ม -adic ปรากฏขึ้น Witt ได้หยิบยกพหุนามเหล่านี้ขึ้นมา โดยการใช้พหุนามเหล่านี้อย่างเป็นระบบ เขาสามารถสร้างโครงสร้างที่เรียบง่ายและเป็นเอกภาพของส่วนขยายฟิลด์ระดับและพีชคณิตวัฏจักรได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เขาได้แนะนำวงแหวนที่เรียกว่าวงแหวนของเวกเตอร์ Witt แบบ -typical ที่ถูกตัดทอน -truncatedวงแหวนนี้มีเป็นผลหารและมาพร้อมกับตัวดำเนินการที่เรียกว่าตัวดำเนินการ Frobenius เนื่องจากมันลดรูปเป็นตัวดำเนินการ Frobenius บนWitt สังเกตว่าอนาล็อกระดับของพหุนาม Artin–Schreier คือ ${\displaystyle p^{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p^{n}}$${\displaystyle W_{n}(k)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle k}$${\displaystyle F}$${\displaystyle k}$${\displaystyle p^{n}}$

${\displaystyle F(x)-x-a}$,

โดยที่. เพื่อให้สอดคล้องกับทฤษฎีของ Kummer ให้กำหนดให้ เป็นตัวดำเนินการจากนั้นส่วนขยายระดับของจะสอดคล้องแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับกลุ่มย่อยวัฏจักรที่ มีอันดับ โดยที่สอดคล้องกับฟิลด์${\displaystyle a\in W_{n}(k)}$${\displaystyle \wp }$${\displaystyle x\mapsto F(x)-x.}$${\displaystyle p^{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \Delta \subseteq W_{n}(k)/\wp (W_{n}(k))}$${\displaystyle p^{n}}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle k(\wp ^{-1}(\Delta ))}$

จำนวนเต็ม n-adic ใดๆ(สมาชิกของ ซึ่งไม่ควรสับสนกับ) สามารถเขียนได้ในรูปอนุกรมกำลังโดยที่มักจะมาจากช่วงจำนวนเต็ม การให้ สูตรพีชคณิต สำหรับการบวกและการคูณโดยใช้การแสดงแบบนี้ อาจทำได้ยากเนื่องจากต้องเผชิญกับปัญหาการทดระหว่างหลัก อย่างไรก็ตาม การใช้สัมประสิทธิ์ตัวแทนเป็นเพียงหนึ่งในหลายทางเลือก และเฮนเซลเอง (ผู้สร้างจำนวน n-adic) ได้เสนอรากของเอกภาพในฟิลด์ เป็นตัวแทน ตัวแทนเหล่านี้จึงเป็นจำนวนพร้อมกับรากของเอกภาพ นั่นคือ ผลเฉลยของในดังนั้นทางเลือกนี้ขยายไปสู่ส่วนขยายของวงแหวนของ ได้อย่างเป็นธรรมชาติซึ่งฟิลด์เศษเหลือถูกขยายเป็นโดยที่ เป็นกำลังบางอย่างของอันที่จริง ฟิลด์เหล่านี้ ( ฟิลด์เศษส่วนของวงแหวน) เป็นแรงบันดาลใจให้เฮนเซลเลือกเช่นนั้น ตอนนี้ตัวแทนคือผลเฉลยในฟิลด์เรียกฟิลด์ ว่าโดยมี ราก ปฐมภูมิของเอกภาพที่เหมาะสม(เหนือ) ตัวแทนจึงเป็นและสำหรับเนื่องจากตัวแทนเหล่านี้ประกอบกันเป็นเซตแบบคูณ จึงอาจมองได้ว่าเป็นอักขระ ประมาณสามสิบปีหลังจากงานของเฮนเซล ไทช์มุลเลอร์ได้ศึกษาอักขระเหล่านี้ ซึ่งปัจจุบันใช้ชื่อของเขา และนำไปสู่การกำหนดลักษณะโครงสร้างของฟิลด์ทั้งหมดในแง่ของฟิลด์เศษเหลือตัวแทนของไทช์มุลเลอร์ เหล่านี้ สามารถระบุได้ว่าเป็นองค์ประกอบของฟิลด์จำกัดอันดับโดยการหาเศษเหลือมอดูลในและองค์ประกอบของจะถูกนำไปแทนด้วยตัวแทนโดยใช้อักขระของไทช์มุลเลอร์การดำเนินการนี้ระบุเซตของจำนวนเต็มในด้วยลำดับอนันต์ขององค์ประกอบของ ${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} =\mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle a_{0}+a_{1}p^{1}+a_{2}p^{2}+\cdots }$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle [0,p-1]=\{0,1,2,\ldots ,p-1\}}$${\displaystyle a_{i}\in [0,p-1]}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle (p-1)^{\text{st}}}$${\displaystyle x^{p}-x=0}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle a_{i}=a_{i}^{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle q=p^{f}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle x^{q}-x=0}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}(\eta )}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle (q-1)^{\text{th}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \eta ^{i}}$${\displaystyle 0\leq i\leq q-2}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}(\eta )}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{\times }}$${\displaystyle \omega :\mathbb {F} _{q}^{\times }\to \mathbb {Z} _{p}(\eta )^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}(\eta )}$${\displaystyle \omega (\mathbb {F} _{q}^{\times })\cup \{0\}}$

เมื่อนำตัวแทนเหล่านั้นมาใช้ นิพจน์สำหรับการบวกและการคูณสามารถเขียนได้ในรูปแบบปิด ปัญหาต่อไปนี้ (ระบุไว้สำหรับกรณีที่ง่ายที่สุด): กำหนดลำดับอนันต์สองลำดับขององค์ประกอบของจงอธิบายผลรวมและผลคูณของลำดับเหล่านั้นในรูป จำนวนเต็ม p -adic อย่างชัดเจน ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขโดย Witt โดยใช้เวกเตอร์ Witt ${\displaystyle q=p}$${\displaystyle \omega (\mathbb {F} _{p}^{\times })\cup \{0\}}$

วงแหวนของจำนวนเต็ม -adic ได้มาจากฟิลด์จำกัดโดยใช้การสร้างซึ่งสามารถขยายไปสู่การสร้างเวกเตอร์ของ Witt ได้อย่างเป็นธรรมชาติ ${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

วงแหวนของ จำนวนเต็ม p -adic สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นลิมิตผกผันของวงแหวนที่พิจารณาตามการฉายภาพ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันประกอบด้วยลำดับที่มี โดยที่สำหรับนั่นคือ แต่ละองค์ประกอบที่ต่อเนื่องกันของลำดับจะเท่ากับองค์ประกอบก่อนหน้าโดยหารด้วยกำลังที่ต่ำกว่าของpนี่คือลิมิตผกผันของการฉายภาพ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z} }$${\displaystyle (n_{0},n_{1},\ldots )}$${\displaystyle n_{i}\in \mathbb {Z} /p^{i+1}\mathbb {Z} }$${\displaystyle n_{j}\equiv n_{i}{\bmod {p}}^{i+1}}$${\displaystyle j\geq i}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{i+1}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z} }$

องค์ประกอบของสามารถขยายได้เป็นอนุกรมกำลัง (เชิงรูปแบบ)ใน${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle a_{0}+a_{1}p^{1}+a_{2}p^{2}+\cdots }$,

โดยที่สัมประสิทธิ์ได้มาจากช่วงจำนวนเต็มอนุกรมกำลังนี้โดยทั่วไปจะไม่ลู่เข้าเมื่อใช้เมตริกมาตรฐานบนจำนวนจริงแต่จะลู่เข้าเมื่อใช้เมตริกp - adic ${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle [0,p-1]=\{0,1,\ldots ,p-1\}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

ให้แทนด้วย เราสามารถพิจารณานิยามต่อไปนี้สำหรับการบวก: ${\displaystyle a+b}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&\equiv a_{0}+b_{0}&&{\bmod {p}}\\c_{0}+c_{1}p&\equiv (a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})p&&{\bmod {p}}^{2}\\c_{0}+c_{1}p+c_{2}p^{2}&\equiv (a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})p+(a_{2}+b_{2})p^{2}&&{\bmod {p}}^{3}\end{aligned}}}$

และสามารถสร้างนิยามที่คล้ายกันสำหรับการคูณได้ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่สูตรสำเร็จรูป เนื่องจากสัมประสิทธิ์ใหม่ไม่จำเป็นต้องอยู่ในเซตที่อนุญาตตัวอย่างเช่น เมื่อโดยทั่วไปแล้ว เราต้องยกกำลัง เพื่อลดรูปผลรวมที่กำหนดให้มีสัมประสิทธิ์อยู่ในเซตที่อนุญาต ${\displaystyle [0,p-1]}$${\displaystyle a_{0},b_{0}>p/2}$${\displaystyle p}$

มีเซตย่อยของสัมประสิทธิ์ที่ให้สูตรปิด ซึ่งก็คือตัวแทนของ Teichmüller : ศูนย์พร้อมกับรากของเอกภาพ พวกมันสามารถคำนวณได้อย่างชัดเจน (ในแง่ของตัวแทนสัมประสิทธิ์ดั้งเดิม) เป็นรากของผ่านการยกของ Henselซึ่ง เป็นเวอร์ชัน p -adic ของวิธีของนิวตันตัวอย่างเช่น ในเพื่อคำนวณตัวแทนของ 2 เราเริ่มต้นด้วยการหาคำตอบเฉพาะของในด้วย; เราจะได้ 7 ทำซ้ำเช่นนี้ในด้วยเงื่อนไขและจะได้ 57 และอื่นๆ ตัวแทนของ Teichmüller ของ 2 ที่ได้ ซึ่งแสดงด้วยคือลำดับ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle (p-1)^{\text{th}}}$${\displaystyle [0,p-1]}$${\displaystyle x^{p-1}-1=0}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{5}}$${\displaystyle x^{4}-1=0}$${\displaystyle \mathbb {Z} /25\mathbb {Z} }$${\displaystyle x\equiv 2{\bmod {5}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /125\mathbb {Z} }$${\displaystyle x^{4}-1=0}$${\displaystyle x\equiv 7{\bmod {2}}5}$${\displaystyle \omega (2)}$

${\displaystyle \omega (2)=(2,7,57,\ldots )\in W(\mathbb {F} _{5})}$.

การมีลิฟต์ในแต่ละขั้นบันไดนั้นรับประกันได้จากตัวหารร่วมมากที่สุด ในทุกๆขั้น ${\displaystyle (x^{p-1}-1,(p-1)x^{p-2})=1}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$

อัลกอริทึมนี้แสดงให้เห็นว่าสำหรับทุก ๆจะมีตัวแทน Teichmüller หนึ่งตัวที่มีซึ่งใช้สัญลักษณ์ แทนสิ่งนี้กำหนดอักขระ Teichmüllerเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่ม (แบบคูณ) ซึ่งยิ่งไปกว่านั้นยังสอดคล้องกับถ้าให้ แทนการฉายภาพแบบแคนอนิก อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าไม่ใช่การบวก เนื่องจากผลรวมไม่จำเป็นต้องเป็นตัวแทน ถึงกระนั้น ถ้าในแล้วใน${\displaystyle j\in [0,p-1]}$${\displaystyle a_{0}=j}$${\displaystyle \omega (j)}$${\displaystyle \omega :\mathbb {F} _{p}^{*}\to \mathbb {Z} _{p}^{*}}$${\displaystyle m\circ \omega =\mathrm {id} _{\mathbb {F} _{p}}}$${\displaystyle m:\mathbb {Z} _{p}\to \mathbb {Z} _{p}/p\mathbb {Z} _{p}\cong \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega (k)\equiv \omega (i)+\omega (j){\bmod {p}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$${\displaystyle i+j=k}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}.}$

เนื่องจากการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งที่กำหนดโดย ทำให้เราสามารถขยาย จำนวนเต็ม p -adic ทุกตัวเป็นอนุกรมกำลังในpโดยใช้สัมประสิทธิ์ที่นำมาจากตัวแทนของ Teichmüller ได้ สามารถแสดงขั้นตอนวิธีที่ชัดเจนได้ดังนี้ เขียนตัวแทนของ Teichmüller เป็น จากนั้น ถ้าเรามี จำนวนเต็ม p -adic ใดๆ ในรูปแบบเราจะหาผลต่างซึ่งจะได้ค่าที่หารด้วย ลงตัวดังนั้น จากนั้นทำซ้ำกระบวนการโดยการลบและ ดำเนินการเช่นเดียวกัน ซึ่งจะได้ลำดับของการสอดคล้องกัน ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega (t_{0})=t_{0}+t_{1}p^{1}+t_{2}p^{2}+\cdots }$${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}p^{1}+x_{2}p^{2}+\cdots }$${\displaystyle x-\omega (x_{0})=x'_{1}p^{1}+x'_{2}p^{2}+\cdots }$${\displaystyle p}$${\displaystyle x-\omega (x_{0})=0{\bmod {p}}}$${\displaystyle \omega (x'_{1})p}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&\equiv \omega (x_{0})&&{\bmod {p}}\\x&\equiv \omega (x_{0})+\omega (x'_{1})p&&{\bmod {p}}^{2}\\&\cdots \end{aligned}}}$

ดังนั้น

${\displaystyle x\equiv \sum _{j=0}^{i}\omega ({\bar {x}}_{j})p^{j}{\bmod {p}}^{i+1}}$

และหมายความว่า ${\displaystyle i'>i}$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{i'}\omega ({\bar {x}}_{j})p^{j}\equiv \sum _{j=0}^{i}\omega ({\bar {x}}_{j})p^{j}{\bmod {p}}^{i+1}}$

สำหรับ

${\displaystyle {\bar {x}}_{i}:=m\left({\frac {x-\sum _{j=0}^{i-1}\omega ({\bar {x}}_{j})p^{j}}{p^{i}}}\right)}$.

วิธีนี้จะได้อนุกรมกำลังสำหรับแต่ละเศษเหลือของกำลังโมดูลัสของแต่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในตัวแทนของ Teichmüller แทนที่จะเป็น ${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \{0,\ldots ,p-1\}}$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }\omega ({\bar {x}}_{j})p^{j}=x}$,

เนื่องจาก

${\displaystyle p^{i+1}\mid x-\sum _{j=0}^{i}\omega ({\bar {x}}_{j})p^{j}}$

สำหรับทุกค่าas ดังนั้นความแตกต่างจึงมีแนวโน้มเข้าใกล้ 0 เมื่อเทียบกับ เมตริก p -adic สัมประสิทธิ์ที่ได้มักจะแตกต่างจากค่าโมดูลัสยกเว้นตัวแรก ${\displaystyle i}$${\displaystyle i\to \infty }$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle p^{i}}$

สัมประสิทธิ์ของ Teichmüller มีคุณสมบัติเพิ่มเติมที่สำคัญซึ่งไม่มีในจำนวนในสิ่งนี้สามารถใช้เพื่ออธิบายการบวกได้ดังนี้ พิจารณาสมการในและให้สัมประสิทธิ์เป็นไปตามการกระจายของ Teichmüller เนื่องจากอักขระของ Teichmüller ไม่ใช่แบบบวก ดังนั้น จึงไม่เป็นจริงในแต่เป็นจริงในดังที่ความสอดคล้องแรกบ่งบอก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ${\displaystyle \omega ({\bar {x}}_{i})^{p}=\omega ({\bar {x}}_{i}),}$${\displaystyle [0,p-1]}$${\textstyle c=a+b}$${\textstyle \mathbb {Z} _{p}}$${\textstyle a_{i},b_{i},c_{i}\in \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle c_{0}=a_{0}+b_{0}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

${\displaystyle c_{0}^{p}\equiv (a_{0}+b_{0})^{p}{\bmod {p}}^{2}}$

และด้วยเหตุนี้

${\displaystyle c_{0}-a_{0}-b_{0}\equiv (a_{0}+b_{0})^{p}-a_{0}-b_{0}\equiv {\binom {p}{1}}a_{0}^{p-1}b_{0}+\cdots +{\binom {p}{p-1}}a_{0}b_{0}^{p-1}{\bmod {p}}^{2}}$.

เนื่องจากสัมประสิทธิ์ทวินามหารลงตัวด้วย จึงได้ผลลัพธ์ดังนี้ ${\displaystyle {\binom {p}{i}}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle c_{1}\equiv a_{1}+b_{1}-a_{0}^{p-1}b_{0}-{\frac {p-1}{2}}a_{0}^{p-2}b_{0}^{2}-\cdots -a_{0}b_{0}^{p-1}{\bmod {p}}}$.

สิ่งนี้ถูกกำหนดโดยลิฟต์อย่างสมบูรณ์ นอกจากนี้ โมดูลัสความสอดคล้องยังบ่งชี้ว่าการคำนวณสามารถทำได้จริงเพื่อตอบสนองเป้าหมายพื้นฐานของการกำหนดโครงสร้างการบวกแบบง่าย ${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p},}$

ขั้นตอนนี้อาจยุ่งยากสักหน่อย เขียนลงไป ${\displaystyle c_{2}}$

${\displaystyle c_{1}=c_{1}^{p}\equiv \left(a_{1}+b_{1}-a_{0}^{p-1}b_{0}-{\frac {p-1}{2}}a_{0}^{p-2}b_{0}^{2}-\cdots -a_{0}b_{0}^{p-1}\right)^{p}{\bmod {p}}^{2}}$.

เช่นเดียวกับกรณีของ การยกกำลัง เพียง1/2 นั้นไม่เพียงพอ จะต้องยกกำลัง 1/2 ด้วยเช่นกัน ${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle c_{0}=c_{0}^{p^{2}}\equiv (a_{0}+b_{0})^{p^{2}}{\bmod {p}}^{3}.}$

อย่างไรก็ตามโดยทั่วไปแล้ว จะหารด้วย ไม่ลงตัวแต่จะหารลงตัวเมื่อซึ่งในกรณีนี้เมื่อรวมกับเอกนามที่คล้ายกันในจะได้พหุคูณของ ${\displaystyle {\binom {p^{2}}{i}}}$${\displaystyle p^{2}}$${\displaystyle i=pd}$${\displaystyle a^{i}b^{p^{2}-i}=a^{d}b^{p-d}}$${\displaystyle c_{1}^{p}}$${\displaystyle p^{2}}$

ในขั้นตอนนี้ เราจะทำงานกับการบวกรูปแบบ

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&\equiv a_{0}+b_{0}&&{\bmod {p}}\\c_{0}^{p}+c_{1}p&\equiv a_{0}^{p}+a_{1}p+b_{0}^{p}+b_{1}p&&{\bmod {p}}^{2}\\c_{0}^{p^{2}}+c_{1}^{p}p+c_{2}p^{2}&\equiv a_{0}^{p^{2}}+a_{1}^{p}p+a_{2}p^{2}+b_{0}^{p^{2}}+b_{1}^{p}p+b_{2}p^{2}&&{\bmod {p}}^{3}\end{aligned}}}$

นี่เป็นแรงบันดาลใจให้เกิดนิยามของเวกเตอร์วิทท์

กำหนดจำนวนเฉพาะpเวกเตอร์ Witt ^{[ 5 ]}เหนือวงแหวนสลับที่(สัมพันธ์กับจำนวนเฉพาะ) คือลำดับขององค์ประกอบของพหุนาม Wittสามารถกำหนดได้โดย ${\displaystyle R}$${\displaystyle p}$${\displaystyle (X_{0},X_{1},X_{2},\ldots )}$${\displaystyle R}$${\displaystyle W_{i}}$

1. ${\displaystyle W_{0}=X_{0}}$
2. ${\displaystyle W_{1}=X_{0}^{p}+pX_{1}}$
3. ${\displaystyle W_{2}=X_{0}^{p^{2}}+pX_{1}^{p}+p^{2}X_{2}}$

และโดยทั่วไป

${\displaystyle W_{n}=\sum _{i=0}^{n}p^{i}X_{i}^{p^{n-i}}}$.

เรียกว่าส่วนประกอบเสมือนของเวกเตอร์วิทท์และมักจะใช้สัญลักษณ์; เมื่อรวมกันแล้ว จะกำหนดแผนที่เสมือนไปยังถ้าเป็นp -torsionfree แผนที่เสมือนจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและส่วนประกอบเสมือนสามารถคิดได้ว่าเป็นระบบพิกัดทางเลือกสำหรับโมดูล - ของลำดับ (แต่โปรดทราบว่าแผนที่เสมือนจะไม่เป็นฟังก์ชันทั่วถึงเว้นแต่จะ หารลงตัวด้วย p ) ${\displaystyle W_{n}}$${\displaystyle (X_{0},X_{1},X_{2},\ldots )}$${\displaystyle X^{(n)}}$${\displaystyle W_{n}}$${\textstyle \prod _{i=0}^{\infty }R}$${\textstyle R}$${\displaystyle R}$${\textstyle R}$

วงแหวนของเวกเตอร์วิทท์ ( p -typical ) ถูกกำหนดโดยการบวกและการคูณส่วนประกอบเสมือนแบบทีละส่วน นั่นคือ มีวิธีเดียวในการเปลี่ยนเซตของเวกเตอร์วิทท์เหนือวงแหวนสลับที่ใดๆให้เป็นวงแหวนได้ดังนี้: ${\displaystyle W(R)}$${\displaystyle R}$

1. ผลรวมและผลคูณกำหนดโดยพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ขึ้นอยู่กับและ${\displaystyle R}$
2. การฉายภาพไปยังส่วนประกอบผีแต่ละส่วนเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนจากเวกเตอร์วิทท์เหนือไปยัง${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ

• ${\displaystyle (X+Y)_{i}}$และกำหนดโดยพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มที่ไม่ขึ้นอยู่กับRและ${\displaystyle (XY)_{i}}$

• ${\displaystyle X^{(i)}+Y^{(i)}=(X+Y)^{(i)}}$และ${\displaystyle X^{(i)}Y^{(i)}=(XY)^{(i)}.}$

พหุนามแรกๆ ที่ให้ผลรวมและผลคูณของเวกเตอร์วิทท์สามารถเขียนออกมาได้อย่างชัดเจน ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle (X_{0},X_{1},\ldots )+(Y_{0},Y_{1},\ldots )=(X_{0}+Y_{0},X_{1}+Y_{1}-((X_{0}+Y_{0})^{p}-X_{0}^{p}-Y_{0}^{p})/p,\ldots )}$

${\displaystyle (X_{0},X_{1},\ldots )\times (Y_{0},Y_{1},\ldots )=(X_{0}Y_{0},X_{0}^{p}Y_{1}+X_{1}Y_{0}^{p}+pX_{1}Y_{1},\ldots )}$

สิ่งเหล่านี้ควรเข้าใจว่าเป็นทางลัดสำหรับสูตรจริง: ตัวอย่างเช่น ถ้าวงแหวนมีลักษณะเฉพาะการหารด้วยในสูตรแรกข้างต้น การหารด้วยที่จะปรากฏในส่วนประกอบถัดไป และอื่นๆ จะไม่มีความหมาย อย่างไรก็ตาม ถ้ากำลังของผลรวมถูกพัฒนาขึ้นมา พจน์ต่างๆจะถูกตัดทิ้งกับพจน์ก่อนหน้า และพจน์ที่เหลือจะถูกทำให้ง่ายขึ้นโดยไม่มีการหารด้วยเหลืออยู่ และสูตรจะมีความหมาย การพิจารณาแบบเดียวกันนี้ใช้กับส่วนประกอบถัดไป ${\displaystyle R}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p^{2}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X_{0}^{p}+Y_{0}^{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

ดังที่คาดไว้องค์ประกอบเอกลักษณ์ในวงแหวนของเวกเตอร์วิทท์คือองค์ประกอบนั้น${\displaystyle W(A)}$

${\displaystyle {\underline {1}}=(1,0,0,\ldots )}$

การเพิ่มองค์ประกอบนี้เข้ากับตัวเองจะทำให้เกิดลำดับที่ไม่ธรรมดา ตัวอย่างเช่นใน${\displaystyle W(\mathbb {F} _{5})}$

${\displaystyle {\underline {1}}+{\underline {1}}=(2,4,\ldots )}$

เนื่องจาก

${\displaystyle {\begin{aligned}2&=1+1\\4&=-{\frac {32-1-1}{5}}\mod 5\\&\cdots \end{aligned}}}$

ซึ่งไม่ใช่พฤติกรรมที่คาดหวัง เนื่องจากมันไม่เท่ากับแต่เมื่อแผนที่ถูกลดขนาดลงด้วย จะได้โปรดทราบว่าถ้ามีองค์ประกอบและองค์ประกอบแล้ว${\displaystyle {\underline {2}}}$${\displaystyle m:W(\mathbb {F} _{5})\to \mathbb {F} _{5}}$${\displaystyle m(\omega (1)+\omega (1))=m(\omega (2))}$${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle a\in W(A)}$

${\displaystyle {\underline {x}}a=(xa_{0},x^{p}a_{1},\ldots ,x^{p^{n}}a_{n},\ldots )}$

แสดงให้เห็นว่าการคูณนั้นมีพฤติกรรมที่ไม่ธรรมดาอย่างยิ่ง

• วงแหวนวิทท์ของวงแหวนสลับที่ใดๆซึ่งสามารถผกผันได้ จะสมสัณฐานกับ(ผลคูณของสำเนาจำนวนนับได้ของ) พหุนามวิทท์จะให้โฮโมมอร์ฟิซึมจากวงแหวนของเวกเตอร์วิทท์ไปยัง เสมอและถ้าสามารถผกผันได้ โฮโมมอร์ฟิซึมนี้จะเป็นไอโซมอร์ฟิซึม${\displaystyle R}$${\displaystyle p}$${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle p}$
• วงแหวนวิทท์ของฟิลด์จำกัดอันดับคือ วงแหวนของจำนวนเต็ม -adic ที่เขียนในรูปของตัวแทน Teichmüller ดังที่แสดงไว้ข้างต้น${\displaystyle W(\mathbb {F} _{p})\cong \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$
• วงแหวนวิทท์ของฟิลด์จำกัดที่มีอันดับคือวงแหวนของจำนวนเต็มของส่วนขยายที่ไม่แตกแขนง เพียงหนึ่งเดียวที่มีดีกรีเท่ากับ ของ วงแหวนของจำนวน -adic หมายเหตุสำหรับ ราก ที่ของเอกภาพดังนั้น${\displaystyle W(\mathbb {F} _{q})\cong {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle p^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle K/\mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle K\cong \mathbb {Q} _{p}(\mu _{q-1})}$${\displaystyle \mu _{q-1}}$${\displaystyle (q-1)}$${\displaystyle W(\mathbb {F} _{q})\cong \mathbb {Z} _{p}[\mu _{q-1}]}$
• วงแหวน Witt ที่ถูกตัดสามารถอธิบายได้ดังนี้^{[ 6 ]}${\displaystyle W_{n+1}(\mathbb {F} _{p}[t])}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}W_{n+1}(\mathbb {F} _{p}[t])&\cong &\left\{\sum a_{i}t^{i/p^{n}}\in (\mathbb {Z} /p^{n+1})[t^{1/p^{n}}]\ :\ pia_{i}=0\ {\textrm {mod}}\ p^{n+1}\right\}\\&=&(\mathbb {Z} /p^{n})[t]+p(\mathbb {Z} /p^{n})[t^{1/p}]+p^{2}(\mathbb {Z} /p^{n})[t^{1/p^{2}}]+\dots +p^{n}(\mathbb {Z} /p^{n})[t^{1/p^{n}}]\end{array}}}$

เวกเตอร์วิทท์คือลิมิตผกผันตามแนวการฉายภาพแบบแคนอนิก

${\displaystyle W(\mathbb {F} _{p}[t])=\lim(\dots \to W_{n+1}(\mathbb {F} _{p}[t])\to W_{n}(\mathbb {F} _{p}[t])\to \dots \to W_{1}(\mathbb {F} _{p}[t])=\mathbb {F} _{p}[t]).}$

ในที่นี้ โฮโมมอร์ฟิซึมการเปลี่ยนผ่านถูกเหนี่ยวนำโดยการลดรูป ${\displaystyle (\mathbb {Z} /p^{n+1})[t^{1/p^{n}}]\to (\mathbb {Z} /p^{n})[t^{1/p^{n}}]}$

พหุนามวิทท์สำหรับจำนวนเฉพาะต่างๆเป็นกรณีพิเศษของพหุนามวิทท์สากล ซึ่งสามารถใช้สร้างวงแหวนวิทท์สากลได้ (โดยไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกจำนวนเฉพาะ) นิยามพหุนามวิทท์สากลสำหรับโดย ${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle W_{n}}$${\displaystyle n\geq 1}$

1. ${\displaystyle W_{1}=X_{1}}$
2. ${\displaystyle W_{2}=X_{1}^{2}+2X_{2}}$
3. ${\displaystyle W_{3}=X_{1}^{3}+3X_{3}}$
4. ${\displaystyle W_{4}=X_{1}^{4}+2X_{2}^{2}+4X_{4}}$

และโดยทั่วไป

${\displaystyle W_{n}=\sum _{d|n}dX_{d}^{n/d}}$.

อีกครั้งหนึ่งเวกเตอร์นี้เรียกว่าเวกเตอร์ของส่วนประกอบเสมือนของเวกเตอร์วิทท์และโดยปกติจะใช้สัญลักษณ์แทน ${\displaystyle (W_{1},W_{2},W_{3},\ldots )}$${\displaystyle (X_{1},X_{2},X_{3},\ldots )}$${\displaystyle (X^{(1)},X^{(2)},X^{(3)},\ldots )}$

พหุนามเหล่านี้สามารถใช้ในการกำหนดวงแหวนของเวกเตอร์วิทท์สากลหรือวงแหวนวิทท์ขนาดใหญ่ของวงแหวนสลับที่ใดๆได้ในลักษณะเดียวกับข้างต้น (ดังนั้นพหุนามวิทท์สากลทั้งหมดจึงเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมไปยังวงแหวน) ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

นอกจากนี้ Witt ยังเสนอแนวทางอื่นโดยใช้ฟังก์ชันก่อกำเนิด^{[ 7 ]}

ให้เป็นเวกเตอร์ Witt และกำหนด ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f_{X}(t)=\prod _{n\geq 1}(1-X_{n}t^{n})=\sum _{n\geq 0}A_{n}t^{n}}$

ให้แทนกลุ่มของเซตย่อยของซึ่งผลรวมของสมาชิกเท่ากับแล้ว ${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{n}}$${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle A_{n}=\sum _{I\in {\mathcal {I}}_{n}}(-1)^{|I|}\prod _{i\in I}{X_{i}}.}$

เราสามารถหาองค์ประกอบเสมือนได้โดยการหาอนุพันธ์ลอการิทึม :

${\displaystyle {\begin{aligned}-t{\frac {d}{dt}}\log f_{X}(t)&=-t{\frac {d}{dt}}\sum _{n\geq 1}\log(1-X_{n}t^{n})\\&=t{\frac {d}{dt}}\sum _{n\geq 1}\sum _{d\geq 1}{\frac {X_{n}^{d}t^{nd}}{d}}\\&=\sum _{n\geq 1}\sum _{d\geq 1}nX_{n}^{d}t^{nd}\\&=\sum _{m\geq 1}\sum _{d|m}dX_{d}^{m/d}t^{m}\\&=\sum _{m\geq 1}X^{(m)}t^{m}\end{aligned}}}$

ตอนนี้เราสามารถดูได้ว่า. ดังนั้น ${\displaystyle f_{Z}(t)=f_{X}(t)f_{Y}(t)}$${\displaystyle Z=X+Y}$

${\displaystyle C_{n}=\sum _{0\leq i\leq n}A_{n}B_{n-i},}$

ถ้าเป็นสัมประสิทธิ์ตามลำดับในอนุกรมกำลังแล้ว ${\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n}}$${\displaystyle f_{X}(t),f_{Y}(t),f_{Z}(t)}$

${\displaystyle Z_{n}=\sum _{0\leq i\leq n}A_{n}B_{n-i}-\sum _{I\in {\mathcal {I}}_{n},I\neq \{n\}}(-1)^{|I|}\prod _{i\in I}{Z_{i}}.}$

เนื่องจากเป็นพหุนามในและเช่นเดียวกันสำหรับจึงสามารถแสดงได้โดยการอุปมานว่าเป็นพหุนามใน${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle Z_{n}}$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{n}.}$

ถ้าตั้งค่าแล้ว ${\displaystyle W=XY}$

${\displaystyle -t{\frac {d}{dt}}\log f_{W}(t)=-\sum _{m\geq 1}X^{(m)}Y^{(m)}t^{m}}$.

แต่

${\displaystyle \sum _{m\geq 1}X^{(m)}Y^{(m)}t^{m}=\sum _{m\geq 1}\sum _{d|m}dX_{d}^{m/d}\sum _{e|m}eY_{e}^{m/e}t^{m}}$.

ตอนนี้ 3-tuple ที่มีจะจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับ 3-tuple ที่มี โดยผ่าน( คือตัวคูณร่วมน้อยที่สุด ) ลำดับจึงกลายเป็น ${\displaystyle {m,d,e}}$${\displaystyle m\in \mathbb {Z} ^{+},d\,|\,m,e\,|\,m}$${\displaystyle {d,e,n}}$${\displaystyle d,e,n\in \mathbb {Z} ^{+}}$${\displaystyle n=m/[d,e]}$${\displaystyle [d,e]}$

${\displaystyle \sum _{d,e\geq 1}de\sum _{n\geq 1}\left(X_{d}^{\frac {[d,e]}{d}}Y_{e}^{\frac {[d,e]}{e}}t^{[d,e]}\right)^{n}=-t{\frac {d}{dt}}\log \prod _{d,e\geq 1}\left(1-X_{d}^{\frac {[d,e]}{d}}Y_{e}^{\frac {[d,e]}{e}}t^{[d,e]}\right)^{\frac {de}{[d,e]}}}$

ดังนั้น

${\displaystyle f_{W}(t)=\prod _{d,e\geq 1}\left(1-X_{d}^{\frac {[d,e]}{d}}Y_{e}^{\frac {[d,e]}{e}}t^{[d,e]}\right)^{\frac {de}{[d,e]}}=\sum _{n\geq 0}D_{n}t^{n}}$,

โดยที่ พหุนามของSo อยู่ ตรงไหน โดยใช้การอุปมานในทำนองเดียวกัน${\displaystyle D_{n}}$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{n}.}$

${\displaystyle f_{W}(t)=\prod _{n\geq 1}(1-W_{n}t^{n}),}$

จากนั้นสามารถแก้ได้โดยใช้พหุนามของ ${\displaystyle W_{n}}$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{n}}$

แผนที่ที่แปลงวงแหวนสลับที่ไปเป็นวงแหวนของเวกเตอร์วิทท์เหนือ(สำหรับจำนวนเฉพาะคงที่) เป็นฟังก์ชันจากวงแหวนสลับที่ไปยังวงแหวนสลับที่ และยังสามารถแทนได้ดังนั้นจึงสามารถคิดได้ว่าเป็นโครงร่างวงแหวนเรียกว่าโครงร่างวิทท์เหนือโครงร่างวิทท์สามารถระบุได้อย่างชัดเจนกับสเปกตรัมของ วงแหวนของ ฟังก์ชัน สมมาตร${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} ).}$

ในทำนองเดียวกัน วงแหวนของเวกเตอร์วิทท์แบบตัดทอน และวงแหวนของเวกเตอร์วิทท์แบบสากล สอดคล้องกับโครงร่างวงแหวน ซึ่งเรียกว่าโครงร่างวิทท์แบบตัดทอนและ โครงร่างวิท ท์ แบบสากล

นอกจากนี้ ฟังก์ชันที่แปลงวงแหวนสลับที่ไปยังเซตจะถูกแทนด้วยปริภูมิเชิงเส้นและโครงสร้างวงแหวนบนทำให้เกิดโครงร่างวงแหวนที่แสดงด้วยสัญลักษณ์จากการสร้างเวกเตอร์วิทท์ที่ถูกตัดทอน จะได้ว่าโครงร่างวงแหวนที่เกี่ยวข้องคือโครงร่างที่มีโครงสร้างวงแหวนเฉพาะตัว ซึ่งทำให้มอร์ฟิซึมที่กำหนดโดยพหุนามวิทท์เป็นมอร์ฟิซึมของโครงร่างวงแหวน ${\displaystyle R}$${\displaystyle R^{n}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}}$${\displaystyle R^{n}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}}$${\displaystyle {\underline {\mathcal {O}}}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {W} _{n}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}}$${\displaystyle \mathbb {W} _{n}\to {\underline {\mathcal {O}}}^{n}}$

บนฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่มีลักษณะเฉพาะ 0 กลุ่มพีชคณิตเชื่อมต่อแบบอาเบเลียน ยูนิโพเทนต์ใดๆ จะสมสัณฐานกับผลคูณของกลุ่มการบวก ส่วนในกรณีของฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะนั้น ข้อความที่คล้ายกันนี้ไม่ถูกต้อง: แผนผังวิทท์แบบตัดทอนเป็นตัวอย่างค้าน (พวกมันถูกสร้างเป็นกลุ่มพีชคณิตโดยใช้โครงสร้างการบวกแทนการคูณ) อย่างไรก็ตาม นี่เป็นเพียงตัวอย่างค้านเพียงอย่างเดียว: บนฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่มีลักษณะเฉพาะกลุ่มพีชคณิตเชื่อมต่อแบบอาเบเลียนยูนิโพเทนต์ใดๆ จะสมสัณฐานกับผลคูณของแผนผัง กลุ่มวิทท์ แบบตัดทอน${\displaystyle G_{a}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

André Joyalอธิบายคุณสมบัติสากลของเวกเตอร์ Witt ( p -typical) ^{[ 8 ]}แนวคิดพื้นฐานคือการสร้างเวกเตอร์ Witt เป็นวิธีสากลในการเปลี่ยนรูปวงแหวนลักษณะเฉพาะpไปเป็นลักษณะเฉพาะ 0 พร้อมกับการยกเอนโดมอร์ฟิซึม Frobenius ของมัน^{[ 9 ]}เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น ให้กำหนดวงแหวน -ringให้ประกอบด้วยวงแหวนสลับที่พร้อมกับแผนที่ของเซตที่เป็นp -derivationเพื่อให้สอดคล้องกับความสัมพันธ์ ${\displaystyle \delta }$${\textstyle (R,\delta )}$${\textstyle R}$${\textstyle \delta :R\to R}$${\textstyle \delta }$

• ${\displaystyle \delta (0)=\delta (1)=0}$;
• ${\displaystyle \delta (xy)=x^{p}\delta (y)+y^{p}\delta (x)+p\delta (x)\delta (y)}$;
• ${\displaystyle \delta (x+y)=\delta (x)+\delta (y)+{\frac {x^{p}+y^{p}-(x+y)^{p}}{p}}}$.

นิยามนี้กล่าวไว้ว่า เมื่อกำหนดริง มา ให้ ถ้าเรากำหนดแผนที่โดยใช้สูตรแล้วจะเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของริงที่ยก Frobenius ขึ้นบนในทางกลับกัน ถ้าเป็นp -torsionfree แล้ว สูตรนี้จะกำหนดโครงสร้างของริง บน ได้อย่างเฉพาะเจาะจง จากโครงสร้างของการยก Frobenius ดังนั้น เราอาจมองว่าแนวคิดของริง เป็นสิ่งทดแทนที่เหมาะสมสำหรับการยก Frobenius ในกรณีที่ไม่ใช่p -torsionfree ${\displaystyle \delta }$${\textstyle (R,\delta )}$${\textstyle \phi :R\to R}$${\textstyle \phi (x)=x^{p}+p\delta (x)}$${\textstyle \phi }$${\displaystyle R/p}$${\textstyle R}$${\displaystyle \delta }$${\textstyle R}$${\displaystyle \delta }$

กลุ่มของวงแหวนและโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนเหล่านั้นที่เคารพโครงสร้าง จะประกอบกันเป็นหมวดหมู่ จาก นั้นเราจะมีฟังก์ชันลืมที่มีตัวผกผันทางขวาที่ระบุได้กับฟังก์ชันของเวกเตอร์วิทท์ ฟังก์ชันนี้สร้างลิมิตและโคลิมิต และยอมรับตัวผกผันทางซ้ายที่อธิบายได้อย่างชัดเจนในฐานะ ฟังก์ชันอิสระประเภทหนึ่งจากนี้ สามารถแสดงได้ว่าสืบทอดความสามารถในการนำเสนอในระดับท้องถิ่นจากดังนั้นจึงสามารถสร้างฟังก์ชันได้โดยอาศัย ทฤษฎีบท ฟังก์ชัน ผกผัน${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta }$${\textstyle \mathrm {CRing} _{\delta }}$$${\displaystyle U:\mathrm {CRing} _{\delta }\to \mathrm {CRing} }$$${\textstyle W}$${\textstyle U}$${\textstyle \mathrm {CRing} _{\delta }}$${\displaystyle \mathrm {CRing} }$${\textstyle W}$