ในทางคณิตศาสตร์กฎกลุ่มเชิงรูปธรรม (โดยคร่าวๆ) คืออนุกรมกำลังเชิงรูปธรรมในตัวแปรสองตัวที่ทำงานเสมือนเป็นผลคูณของกลุ่มลี กฎกลุ่มเชิงรูปธรรมนี้ได้รับการแนะนำโดยS. Bochner  ( 1946 ) คำว่ากลุ่มเชิงรูปธรรมบางครั้งมีความหมายเหมือนกับกฎกลุ่มเชิงรูปธรรม และบางครั้งหมายถึงการขยายความในหลายๆ รูปแบบ กลุ่มเชิงรูปธรรมอยู่ระหว่างกลุ่มลี (หรือกลุ่มพีชคณิต ) และพีชคณิตลีมีการใช้กลุ่มเชิงรูปธรรมในทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตและโทโพโลยีเชิงพีชคณิต

กฎกลุ่มเชิงรูปธรรม หนึ่งมิติเหนือวงแหวนสลับที่R คือ อนุกรมกำลัง (เชิงรูปธรรม) F ( x , y ) ที่มีสัมประสิทธิ์ในRโดยที่

1. F ( x , y ) = x + y + พจน์ที่มีดีกรีสูงกว่า
2. F ( x , F ( y , z )) = F ( F ( x , y ), z ) ( associativity ).

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือกฎกลุ่มเชิงรูปธรรมแบบบวกF ( x y ) = x + yแนวคิดของการนิยามนี้คือF ควรจะเป็นสิ่งที่คล้าย กับการขยายอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรมของผลคูณของกลุ่มลี โดยที่เราเลือกพิกัดเพื่อให้เอกลักษณ์ของกลุ่มลีเป็นจุดกำเนิด

โดยทั่วไปแล้วกฎกลุ่มเชิงรูปธรรมมิติnคือชุดของอนุกรมกำลัง n ชุด F _i ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n , y ₁ , y ₂ , ..., y _n ) ในตัวแปร 2 nตัว โดยที่

1. F ( x , y ) = x + y + พจน์ที่มีดีกรีสูงกว่า
2. F ( x , F ( y , z )) = F ( F ( x , y ), z )

โดยที่เราใช้Fแทน ( F ₁ , ..., F _n ), xแทน ( x ₁ , ..., x _n ) และอื่นๆ

กฎกลุ่มอย่างเป็นทางการเรียกว่าสลับที่ได้ถ้าF ( x , y ) = F ( y , x ) ถ้าRเป็นทอร์ชั่นฟรีเราสามารถฝังRลงใน พีชคณิต Qและใช้เลขชี้กำลังและลอการิทึมเพื่อเขียนกฎกลุ่มอย่างเป็นทางการหนึ่งมิติใดๆFเป็นF ( x , y ) = exp(log( x ) + log( y )) ดังนั้นFจึงจำเป็นต้องสลับที่ได้^{[ 1 ]}โดยทั่วไปแล้ว เรามี:

ทฤษฎีบทกฎกลุ่มแบบหนึ่งมิติทุกกฎบนRเป็นแบบสลับที่ได้ก็ต่อเมื่อRไม่มีสมาชิกที่เป็นทอร์ชั่นนิลโพเทนต์ที่ไม่เป็นศูนย์ (กล่าวคือ ไม่มีสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ที่เป็นทั้งทอร์ชั่นและนิลโพเทนต์) ^{[ 2 ]}

ไม่จำเป็นต้องมีสัจพจน์ที่คล้ายคลึงกับการมีอยู่ขององค์ประกอบผกผันสำหรับกลุ่มเนื่องจากสิ่งนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยอัตโนมัติจากนิยามของกฎกลุ่มเชิงรูปธรรม กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราสามารถหาอนุกรมกำลังG (ที่ไม่ซ้ำกัน) ได้เสมอ โดยที่F ( x , G ( x )) = 0

โฮโมมอร์ฟิซึม จากกฎกลุ่มเชิงรูปธรรมFที่มีมิติmไปยังกฎกลุ่มเชิงรูปธรรมGที่มีมิติnคือชุดfของ อนุกรมกำลัง nชุดใน ตัวแปร mตัว โดยที่

G ( f ( x ), f ( y )) = f ( F ( x , y )).

โฮโมมอร์ฟิซึมที่มีอินเวอร์สเรียกว่า ไอโซมอร์ฟิซึมและเรียกว่า ไอโซมอร์ฟิซึมแบบเข้มงวดถ้าf ( x ) = x + พจน์ที่มีดีกรีสูงกว่า กฎกลุ่มเชิงรูปธรรมสองกฎที่มีไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างกันนั้นโดยพื้นฐานแล้วเหมือนกัน ต่างกันเพียงแค่ "การเปลี่ยนพิกัด" เท่านั้น

• กฎกลุ่มเชิงรูปธรรมแบบบวกกำหนดโดย

${\displaystyle F(x,y)=x+y.\ }$

• กฎกลุ่มเชิงรูปธรรมแบบทวีคูณกำหนดโดย

${\displaystyle F(x,y)=x+y+xy.\ }$

กฎนี้สามารถเข้าใจได้ดังนี้ ผลคูณGในริงR (กลุ่มการคูณของริง) กำหนดโดยG ( a , b ) = abถ้าเรา "เปลี่ยนพิกัด" เพื่อให้ 0 เป็นเอกลักษณ์โดยกำหนดให้a = 1 +  x , b = 1 +  yและG = 1 +  Fแล้วเราจะพบว่าF ( x , y ) = x  +  y  +  xy

บนจำนวนตรรกยะมีไอโซมอร์ฟิซึมจากกฎกลุ่มเชิงรูปธรรมแบบบวกไปยังแบบคูณ ซึ่งกำหนดโดยexp( x ) − 1บนวงแหวนสลับที่ทั่วไปRไม่มีโฮโมมอร์ฟิซึมดังกล่าว เนื่องจากในการกำหนดโฮโมมอร์ฟิซึมนั้นจำเป็นต้องใช้จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม และกลุ่มเชิงรูปธรรมแบบบวกและแบบคูณมักจะไม่เป็นไอโซมอร์ฟิกกัน

• โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถสร้างกฎกลุ่มเชิงรูปธรรมที่มีมิติnจากกลุ่มพีชคณิตหรือกลุ่มลีที่มีมิติn ใดๆ ได้ โดยการใช้พิกัดที่เอกลักษณ์และเขียนการขยายอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรมของแผนที่ผลคูณ กฎกลุ่มเชิงรูปธรรมแบบบวกและแบบคูณได้มาด้วยวิธีนี้จากกลุ่มพีชคณิตแบบบวกและแบบคูณ อีกกรณีพิเศษที่สำคัญคือกลุ่มเชิงรูปธรรม (กฎ) ของเส้นโค้งวงรี (หรือวาไรตี้อาเบเลียน )
• F ( x , y ) = ( x + y )/(1 + xy ) เป็นกฎกลุ่มเชิงรูปแบบที่ได้มาจากสูตรการบวกของฟังก์ชันแทนเจนต์ไฮเปอร์โบลิก : tanh( x  +  y ) = F (tanh( x ), tanh( y )) และยังเป็นสูตรสำหรับการบวกความเร็วในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ (โดยที่ความเร็วแสงเท่ากับ 1)
• $F(x,y) = .(x√1-y⁴+y√1-x⁴)/!(1+x²y²)$เป็นกฎกลุ่มอย่างเป็นทางการเหนือZ [1/2] ที่ออยเลอร์ ค้นพบ ในรูปแบบของสูตรการบวกสำหรับอินทิกรัลเชิงวงรี ( Strickland ):

${\displaystyle \int _{0}^{x}{dt \over {\sqrt {1-t^{4}}}}+\int _{0}^{y}{dt \over {\sqrt {1-t^{4}}}}=\int _{0}^{F(x,y)}{dt \over {\sqrt {1-t^{4}}}}.}$

กฎกลุ่มเชิงรูปธรรมมิติnใดๆ จะให้พีชคณิตลีมิติ nเหนือวงแหวนRซึ่งกำหนดโดยส่วนกำลังสองF ₂ของกฎกลุ่มเชิงรูปธรรม

[ x , y ] = F ₂ ( x , y ) − F ₂ ( y , x )

ฟังก์ชันธรรมชาติจากกลุ่มลีหรือกลุ่มพีชคณิตไปยังพีชคณิตลี สามารถแยกตัวประกอบได้เป็นฟังก์ชันจากกลุ่มลีไปยังกฎกลุ่มเชิงรูปธรรม จากนั้นจึงนำพีชคณิตลีของกลุ่มเชิงรูปธรรมนั้นมาใช้:

กลุ่มลี → กฎกลุ่มเชิงรูปธรรม → พีชคณิตลี

ในฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะ 0 กฎกลุ่มอย่างเป็นทางการนั้นโดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับพีชคณิตลีมิติจำกัด กล่าวคือ ฟังก์ชันจากกฎกลุ่มอย่างเป็นทางการมิติจำกัดไปยังพีชคณิตลีมิติจำกัดนั้นเป็นความสมมูลของหมวดหมู่^{[ 3 ]}ในฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะไม่เป็นศูนย์ กฎกลุ่มอย่างเป็นทางการนั้นไม่เทียบเท่ากับพีชคณิตลี อันที่จริง ในกรณีนี้เป็นที่ทราบกันดีว่าการเปลี่ยนจากกลุ่มพีชคณิตไปเป็นพีชคณิตลีมักจะทิ้งข้อมูลมากเกินไป แต่การเปลี่ยนไปใช้กฎกลุ่มอย่างเป็นทางการมักจะเก็บข้อมูลไว้เพียงพอ ดังนั้นในแง่หนึ่ง กฎกลุ่มอย่างเป็นทางการจึงเป็นสิ่งทดแทนที่ "ถูกต้อง" สำหรับพีชคณิตลีในลักษณะเฉพาะp  > 0

ถ้าFเป็นกฎกลุ่มฟอร์มัลแบบสลับเปลี่ยนได้ มิติ nเหนือพีชคณิตQ แบบสลับเปลี่ยนได้ Rแล้ว F จะเป็นไอโซมอร์ฟิกอย่างเคร่งครัดกับกฎกลุ่มฟอร์มัลแบบบวก^{[ 4 ]}กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มีไอโซมอร์ฟิซึมอย่างเคร่งครัดfจากกลุ่มฟอร์มัลแบบบวกไปยังFซึ่งเรียกว่าลอการิทึมของFดังนั้น

f ( F ( x , y )) = f ( x ) + f ( y ).

ตัวอย่าง:

• ลอการิทึมของF ( x , y ) = x  +  yคือf ( x ) = x .
• ลอการิทึมของF ( x , y ) = x  +  y  +  xyคือf ( x ) = log(1 +  x ) เนื่องจาก log(1 +  x  +  y  +  xy ) = log(1 +  x ) + log(1 +  y )

ถ้าRไม่ประกอบด้วยจำนวนตรรกยะสามารถสร้าง แผนที่ f ได้โดยการขยายสเกลาร์ไปยัง R ⊗ Qแต่การทำเช่นนี้จะส่งทุกอย่างไปที่ศูนย์หากRมีลักษณะเฉพาะเป็นบวก กฎกลุ่มเชิงรูปธรรมเหนือริงRมักสร้างขึ้นโดยการเขียนลอการิทึมของพวกมันเป็นอนุกรมกำลังที่มีสัมประสิทธิ์ในR ⊗ Qแล้วพิสูจน์ว่าสัมประสิทธิ์ของกลุ่มเชิงรูปธรรมที่สอดคล้องกันเหนือR ⊗ Qอยู่ในR จริงๆ เมื่อทำงานในลักษณะเฉพาะที่เป็นบวก โดยทั่วไปจะแทนที่Rด้วยริงที่มีลักษณะเฉพาะแบบผสมที่มีการส่งแบบทั่วถึงไปยังRเช่น ริงW ( R ) ของเวกเตอร์วิทท์และลดลงเหลือRในตอนท้าย

เมื่อFเป็นมิติเดียว เราสามารถเขียนลอการิทึมของมันในรูปของอนุพันธ์ไม่แปรเปลี่ยน ω(t) ได้^{[ 5 ]}ให้โดยที่เป็นโมดูลอิสระอันดับ 1 บนสัญลักษณ์dtจากนั้น ω จะไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การแปลในความหมายที่ว่าโดยที่ถ้าเราเขียนแล้วจะได้ตามนิยามถ้าเราพิจารณาการขยายสูตรจะกำหนดลอการิทึมของ F$${\displaystyle \omega (t)={\frac {\partial F}{\partial x}}(0,t)^{-1}dt\in R[[t]]dt,}$$${\textstyle R[[t]]dt}$${\textstyle R[[t]]}$$${\displaystyle F^{*}\โอเมก้า =\โอเมก้า ,}$$${\textstyle \omega (t)=p(t)dt}$$${\displaystyle F^{*}\omega :=p(F(t,s)){\frac {\partial F}{\partial x}}(t,s)dt.}$$${\textstyle \omega (t)=(1+c_{1}t+c_{2}t^{2}+\dots )dt}$$${\displaystyle f(t)=\int \omega (t)=t+{\frac {c_{1}}{2}}t^{2}+{\frac {c_{2}}{3}}t^{3}+\dots }$$

วงแหวนกลุ่มอย่างเป็นทางการของกฎกลุ่มอย่างเป็นทางการคือพีชคณิตฮอปฟ์ แบบสลับที่ได้ ซึ่งคล้ายคลึงกับวงแหวนกลุ่มของกลุ่มและพีชคณิตห่อหุ้มสากลของพีชคณิตลี ซึ่งทั้งสองอย่างนี้ก็เป็นพีชคณิตฮอปฟ์แบบสลับที่ได้เช่นกัน โดยทั่วไปแล้ว พีชคณิตฮอปฟ์แบบสลับที่จะแสดงพฤติกรรมคล้ายกับกลุ่มมาก

เพื่อความง่าย เราจะอธิบายกรณี 1 มิติ ส่วนกรณีที่มีมิติสูงกว่านั้นก็คล้ายกัน เพียงแต่สัญลักษณ์จะซับซ้อนขึ้น

สมมติว่าFเป็นกฎกลุ่มเชิงรูปธรรม (มิติเดียว) เหนือR วงแหวนกลุ่มเชิงรูปธรรมของมัน(เรียกอีกอย่างว่าไฮเปอร์แอลเจบราหรือไบแอลเจบราแบบโคแวเรียนต์ ) คือแอลเจบราฮอปฟ์แบบโคคอมมิวเททีฟHที่สร้างขึ้นดังต่อไปนี้

• ในฐานะโมดูลR นั้นHเป็นอิสระ โดย มีฐาน 1 = D ⁽⁰⁾ , D ⁽¹⁾ , D ⁽²⁾ , ...
• ผลคูณร่วม Δ กำหนดโดย Δ D ^{( n )} = Σ D ^{( i )}  ⊗  D ^{( n − i )} (ดังนั้นคู่ของโคอัลจีบรานี้ก็คือวงแหวนของอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรม)
• หน่วยย่อยηถูกกำหนดโดยสัมประสิทธิ์ของD ⁽⁰ )
• เอกลักษณ์คือ 1 = D ⁽⁰ )
• จุดตรงข้ามSจะนำD ^{( n )}ไปยัง (−1) ⁿ D ^{( n )}
• สัมประสิทธิ์ของD ⁽¹⁾ในผลคูณD ^{( i )} D ^{( j )}คือสัมประสิทธิ์ของx ⁱ y ^jในF ( x , y )

ในทางกลับกัน หากเรามีพีชคณิตฮอปฟ์ที่มีโครงสร้างโคอัลจีบราดังที่กล่าวมาข้างต้น เราสามารถกู้คืนกฎกลุ่มเชิงรูปธรรมFจากพีชคณิตฮอปฟ์นั้นได้ ดังนั้น กฎกลุ่มเชิงรูปธรรมแบบ 1 มิติ จึงโดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับพีชคณิตฮอปฟ์ที่มีโครงสร้างโคอัลจีบราดังที่กล่าวมาข้างต้น

เมื่อกำหนดกฎกลุ่มเชิงรูปธรรมF ที่มีมิติ nเหนือRและพีชคณิตR แบบสลับ ที่ Sเราสามารถสร้างกลุ่มF ( S ) ที่มีเซตพื้นฐานเป็น^Nnโดยที่Nคือเซตของ สมาชิก ที่เป็นศูนย์ของSผลคูณได้มาจากการใช้FคูณสมาชิกของNnประเด็นคืออนุกรมกำลังเชิงรูปธรรมทั้งหมดจะลู่เข้าเนื่องจากถูกนำไปใช้กับสมาชิกที่เป็นศูนย์ ดังนั้นจึงมีเพียงจำนวนจำกัดของพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์เท่านั้น ทำให้^Fเป็นฟังก์ชันจากพีชคณิต R แบบสลับที่S ไปยังกลุ่ม

เราสามารถขยายนิยามของF ( S ) ไปยังพีชคณิตRเชิง ทอพอโลยีบางส่วนได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าSเป็นลิมิตผกผันของ พีชคณิต R แบบไม่ต่อเนื่อง เราสามารถกำหนดF ( S ) ให้เป็นลิมิตผกผันของกลุ่มที่สอดคล้องกันได้ ตัวอย่างเช่น วิธีนี้ทำให้เราสามารถกำหนดF ( Zp ) ที่มีค่าอยู่ในจำนวนp - adic _ได้

ฟังก์ชันค่ากลุ่มของFสามารถอธิบายได้โดยใช้วงแหวนกลุ่มอย่างเป็นทางการHของFเพื่อความง่าย เราจะสมมติว่าFเป็นมิติเดียว กรณีทั่วไปก็คล้ายกัน สำหรับพีชคณิตฮอปฟ์แบบโคคอมมิวเททีฟใดๆ สมาชิกgเรียกว่าคล้ายกลุ่มถ้า Δ g = g ⊗ gและ ε g = 1 และสมาชิกคล้ายกลุ่มเหล่านี้ก่อตัวเป็นกลุ่มภายใต้การคูณ ในกรณีของพีชคณิตฮอปฟ์ของกฎกลุ่มอย่างเป็นทางการเหนือวงแหวน สมาชิกคล้ายกลุ่มก็คือสมาชิกที่มีรูปแบบ อย่างแน่นอน

D ⁽⁰⁾  +  D ⁽¹⁾ x  +  D ⁽²⁾ x ²  + ...

สำหรับองค์ประกอบนิลโพเทนต์xโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราสามารถระบุองค์ประกอบคล้ายกลุ่มของH ⊗ Sกับองค์ประกอบนิลโพเทนต์ของS ได้และโครงสร้างกลุ่มบนองค์ประกอบคล้ายกลุ่มของH ⊗ Sจะถูกระบุกับโครงสร้างกลุ่มบนF ( S )

สมมติว่าfเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมระหว่างกฎกลุ่มเชิงรูปธรรมหนึ่งมิติเหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะp  > 0 แล้วfจะเป็นศูนย์ หรือพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์ตัวแรกในการขยายอนุกรมกำลังของ f จะเป็น ∞ สำหรับ จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบh บางตัว ซึ่งเรียกว่าความสูงของโฮโมมอร์ฟิ ซึม fความสูงของโฮโมมอร์ฟิซึมศูนย์ถูกกำหนดให้เป็น ∞ ${\displaystyle ax^{p^{h}}}$

ความสูงของกฎกลุ่มเชิงรูปธรรมหนึ่งมิติเหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะp  > 0 ถูกกำหนดให้เป็นความสูงของ การคูณด้วย แผนที่ p ของ กฎกลุ่มนั้น

กฎกลุ่มเชิงรูปธรรมหนึ่งมิติสองกฎบนฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่มีลักษณะเฉพาะp  > 0 จะเป็นไอโซมอร์ฟิกกันก็ต่อเมื่อมีความสูงเท่ากัน และความสูงนั้นสามารถเป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ หรืออนันต์ก็ได้

ตัวอย่าง:

• กฎกลุ่มเชิงรูปธรรมแบบบวกF ( x y ) = x  +  yมีความสูง ∞ เนื่องจาก แผนที่กำลังลำดับที่ p ของมัน คือ 0
• กฎกลุ่มเชิงรูปธรรมแบบทวีคูณF ( x y ) = x  +  y  +  xyมีความสูง 1 เนื่องจากแผนที่กำลังที่ p ของมันคือ (1 +  x ) p − ¹  = x ^p
• กฎกลุ่มอย่างเป็นทางการของเส้นโค้งวงรีจะมีค่าความสูงเท่ากับ 1 ถ้าเส้นโค้งนั้นเป็นเส้นโค้งธรรมดา และมีค่าความสูงเท่ากับ 2 ถ้าเส้นโค้งนั้นเป็นเส้นโค้งเอกฐานยิ่งยวด สามารถตรวจจับความเป็นเส้นโค้งเอกฐานยิ่งยวด ได้จากการที่อนุกรมไอเซนสไตน์มีค่าเป็นศูนย์${\displaystyle E_{p-1}}$

มีกฎกลุ่มเชิงรูปธรรมหนึ่งมิติแบบสลับเปลี่ยนได้สากลเหนือวงแหวนสลับเปลี่ยนได้สากลที่กำหนดดังต่อไปนี้ เราให้

F ( x , y )

เป็น

x + y + Σ c _{i , j} x ⁱ y ^j

สำหรับค่าที่ไม่แน่นอน

ซี_ไอเจ ,_​

และเรากำหนดให้วงแหวนสากลRคือวงแหวนสลับที่ที่สร้างขึ้นโดยสมาชิกc _{i , j}โดยมีความสัมพันธ์ที่ถูกบังคับโดยกฎการจัดกลุ่มและกฎการสลับที่สำหรับกฎกลุ่มเชิงรูปธรรม โดยนิยามแล้ว วงแหวนRมีคุณสมบัติสากล ดังต่อไปนี้ :

สำหรับวงแหวนสลับที่ใดๆSกฎกลุ่มเชิงรูปธรรมหนึ่งมิติเหนือSจะสอดคล้องกับโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนจากRไป  ยังS

วงแหวนสลับที่Rที่สร้างขึ้นข้างต้นเรียกว่าวงแหวนสากลของลาซาร์ดเมื่อมองแวบแรกดูเหมือนจะซับซ้อนอย่างเหลือเชื่อ: ความสัมพันธ์ระหว่างตัวสร้างของมันยุ่งเหยิงมาก อย่างไรก็ตาม ลาซาร์ดพิสูจน์แล้วว่ามันมีโครงสร้างที่เรียบง่ายมาก: มันเป็นเพียงวงแหวนพหุนาม (เหนือจำนวนเต็ม) บนตัวสร้างที่มีดีกรี 2, 4, 6, ... (โดยที่c _{i , j}มีดีกรี 2( i  +  j  − 1)) แดเนียล ควิลเลนพิสูจน์แล้วว่าวงแหวนสัมประสิทธิ์ของโคบอร์ดิซึมเชิงซ้อน นั้น เป็นไอโซมอร์ฟิกตามธรรมชาติในฐานะวงแหวนแบบแบ่งระดับกับวงแหวนสากลของลาซาร์ด ซึ่งอธิบายถึงการแบ่งระดับที่ผิดปกติ

กลุ่มที่เป็นทางการคือวัตถุกลุ่มในหมวดหมู่ของแผนผังที่เป็นทางการ

• ถ้าG เป็นฟังก์ชันจากพีชคณิต Artinไปยังกลุ่มซึ่งมีความแม่นยำทางซ้ายแสดงว่า G สามารถแสดงแทนได้ ( Gคือฟังก์ชันของจุดในกลุ่มเชิงรูปธรรม (ความแม่นยำทางซ้ายของฟังก์ชันเทียบเท่ากับการสลับที่กับลิมิตเชิงโปรเจกทีฟจำกัด))${\displaystyle G}$
• ถ้าเป็นโครงร่างกลุ่มแล้วการเติมเต็มอย่างเป็นทางการของGที่เอกลักษณ์ จะมีโครงสร้างเป็นกลุ่มอย่างเป็นทางการ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\วงกว้าง {G}}}$
• การเติมเต็มอย่างเป็นทางการของแผนผังกลุ่มเรียบนั้นมีลักษณะสมมาตรกับบางคนเรียกแผนผังกลุ่มอย่างเป็นทางการว่าเรียบหากข้อความกลับเป็นจริง ในขณะที่บางคนสงวนคำว่า "กลุ่มอย่างเป็นทางการ" ไว้สำหรับวัตถุที่มีรูปแบบนี้ในระดับท้องถิ่น^{[ 6 ]}${\displaystyle \mathrm {Spf} (R[[T_{1},\ldots ,T_{n}]])}$
• ความเรียบเชิงรูปธรรมยืนยันถึงการมีอยู่ของการยกการเปลี่ยนแปลง และสามารถนำไปใช้กับแผนผังเชิงรูปธรรมที่มีขนาดใหญ่กว่าจุดได้ แผนผังกลุ่มเชิงรูปธรรมที่เรียบเป็นกรณีพิเศษของแผนผังกลุ่มเชิงรูปธรรม
• เมื่อกำหนดกลุ่มเชิงรูปธรรมที่ราบเรียบแล้ว เราสามารถสร้างกฎของกลุ่มเชิงรูปธรรมและฟิลด์ได้โดยการเลือกชุดส่วนตัดที่เป็นเอกรูป
• ไอโซมอร์ฟิซึม (ที่ไม่เข้มงวด) ระหว่างกฎกลุ่มเชิงรูปธรรมที่เกิดจากการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์นั้นประกอบขึ้นเป็นองค์ประกอบของกลุ่มการเปลี่ยนแปลงพิกัดบนกลุ่มเชิงรูปธรรม

กลุ่มที่เป็นทางการและกฎของกลุ่มที่เป็นทางการสามารถกำหนดได้บนโครง ร่างใดๆ ก็ได้ นอกเหนือจากวงแหวนหรือฟิลด์สลับที่ และตระกูลต่างๆ สามารถจำแนกประเภทได้โดยใช้แผนที่จากฐานไปยังวัตถุพารามิเตอร์

ปริภูมิโมดูลัสของกฎกลุ่มเชิงรูปธรรมคือการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกันของปริภูมิเชิงเส้นอนันต์มิติ ซึ่งส่วนประกอบต่างๆ ถูกกำหนดพารามิเตอร์ด้วยมิติ และจุดต่างๆ ถูกกำหนดพารามิเตอร์ด้วยสัมประสิทธิ์ที่ยอมรับได้ของอนุกรมกำลังF สแต็กโมดูลัสที่สอดคล้องกัน ของกลุ่มเชิงรูปธรรมเรียบคือผลหารของปริภูมินี้โดยการกระทำเชิงแคนอนิกของ กลุ่มย่อยอนันต์มิติของการเปลี่ยนแปลงพิกัด

บนฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต กลุ่มย่อยของกลุ่มฟอร์มัลหนึ่งมิติจะเป็นได้ทั้งจุด (ในลักษณะเฉพาะศูนย์) หรือสายโซ่อนันต์ของจุดซ้อนที่กำหนดพารามิเตอร์ความสูง ในลักษณะเฉพาะศูนย์ การปิดของแต่ละจุดจะประกอบด้วยจุดทั้งหมดที่มีความสูงมากกว่า ความแตกต่างนี้ทำให้กลุ่มฟอร์มัลมีทฤษฎีทางเรขาคณิตที่หลากหลายในลักษณะเฉพาะบวกและผสม โดยมีความเชื่อมโยงกับพีชคณิต Steenrod กลุ่ม p - divisible ทฤษฎี Dieudonné และการแสดงแทน Galoisตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบท Serre-Tate บ่งชี้ว่าการเปลี่ยนแปลงรูปทรงของกลุ่มโครงร่างถูกควบคุมอย่างเข้มงวดโดยการเปลี่ยนแปลงรูปทรงของกลุ่มฟอร์มัล โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีของวาไรตี้อาเบเลียนซูเปอร์ซิ งกูลาร์ สำหรับเส้นโค้งวงรีซูเปอร์ซิงกูลาร์ การควบคุมนี้สมบูรณ์ และนี่แตกต่างอย่างมากจากสถานการณ์ลักษณะเฉพาะศูนย์ที่กลุ่มฟอร์มัลไม่มีการเปลี่ยนแปลงรูปทรง

บางครั้งกลุ่มทางการจะถูกกำหนดให้เป็นพีชคณิต Hopf แบบสลับที่ (โดยปกติจะมีเงื่อนไขเพิ่มเติมบางอย่าง เช่น เป็นแบบมีจุดหรือเชื่อมต่อกัน) ^{[ 7 ]} ซึ่งค่อนข้างเป็นคู่ตรงข้ามกับแนวคิดข้างต้น ในกรณีที่เรียบ การเลือกพิกัดเทียบเท่ากับการเลือกฐานที่โดดเด่นของวงแหวนกลุ่มทางการ

นักเขียนบางคนใช้คำว่ากลุ่มเชิงรูปธรรมในความหมายว่ากฎ ของกลุ่มเชิงรูปธรรม

เราให้Z _pเป็นวงแหวนของจำนวนเต็มp -adic กฎกลุ่มฟอร์มัล ของLubin–Tate คือกฎกลุ่มฟอร์มัล Fที่ไม่ซ้ำกัน (มิติเดียว) ซึ่งe ( x ) = px  +  x ^pเป็นเอนโดมอร์ฟิซึมของFกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ

${\displaystyle e(F(x,y))=F(e(x),e(y)).\ }$

โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถอนุญาตให้eเป็นอนุกรมกำลังใดๆ ก็ได้ โดยที่e ( x ) = px  + พจน์ที่มีดีกรีสูงกว่า และe ( x ) = x ^p  mod  pกฎของกลุ่มทั้งหมดสำหรับตัวเลือกe ที่แตกต่างกัน ซึ่งตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้มีความเหมือนกันอย่างเคร่งครัด^{[ 8 ]}

สำหรับแต่ละองค์ประกอบaในZ _pจะมีเอนโดมอร์ฟิซึมf ที่ไม่ซ้ำกัน ของกฎกลุ่มฟอร์มัลของ Lubin–Tate โดยที่f ( x ) = ax  + เทอมดีกรีสูงกว่า ซึ่งให้การกระทำของวงแหวน Z _pต่อกฎกลุ่มฟอร์มัลของ Lubin–Tate

มีโครงสร้างที่คล้ายกันโดยแทนที่Z _pด้วยวงแหวนการประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่องที่ สมบูรณ์ใดๆ ที่ มี ฟิลด์คลาสเศษเหลือจำกัด^{[ 9 ]}

โครงสร้างนี้ได้รับการแนะนำโดยLubin & Tate (1965)ในความพยายามที่ประสบความสำเร็จในการแยก ส่วน ฟิลด์ท้องถิ่นของทฤษฎีคลาสสิกของการคูณเชิงซ้อนของฟังก์ชันวงรีนอกจากนี้ยังเป็นส่วนประกอบหลักในแนวทางบางอย่างของทฤษฎีฟิลด์คลาสท้องถิ่น^{[ 10 ]}และเป็นส่วนประกอบสำคัญในการสร้างทฤษฎี Morava E ในทฤษฎีโฮโมโทปีโครมาติก^{[ 11 ]}

• เวกเตอร์วิทท์
• เลขชี้กำลังของ Artin–Hasse
• ฟังก์ชันกลุ่ม
• ทฤษฎีบทการบวก