ในทางคณิตศาสตร์โคบอร์ดิสม์เชิงซ้อนเป็นทฤษฎีโคฮอโมโลยีแบบทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับโคบอร์ดิสม์ของแมนิโฟลด์ สเปกตรัม ของมัน ใช้ สัญลักษณ์ MU มันเป็น ทฤษฎี โคฮอโมโลยีที่ มีประสิทธิภาพสูงมาก แต่การคำนวณค่อนข้างยาก ดังนั้นแทนที่จะใช้โดยตรง มักจะใช้ทฤษฎีที่อ่อนกว่าเล็กน้อยซึ่งได้มาจากมัน เช่นโคฮอโมโลยีบราวน์-ปีเตอร์สันหรือทฤษฎี K ของโมราวาซึ่งคำนวณได้ง่ายกว่า

ทฤษฎีโคบอร์ดิซึมเชิงซ้อนโฮโมโลยีและโคโฮโมโลยีทั่วไปได้รับการแนะนำโดยไมเคิล อาติยาห์  ( 1961 ) โดยใช้สเปกตรัม ของทอม

บอร์ดิซึมเชิงซ้อนของปริภูมิโดยประมาณคือกลุ่มของชั้นบอร์ดิซึมของแมนิโฟลด์เหนือที่มีโครงสร้างเชิงเส้นเชิงซ้อนบนบันเดิลปกติ เสถียร บอร์ดิซึมเชิงซ้อนเป็นทฤษฎีโฮโมโลยี แบบทั่วไป ซึ่งสอดคล้องกับสเปกตรัม MU ที่สามารถอธิบายได้อย่างชัดเจนในแง่ของปริภูมิ Thomดังต่อไปนี้ ${\displaystyle MU^{*}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ปริภูมินี้คือปริภูมิทอมของบันเดิลระนาบสากลเหนือปริภูมิจำแนกของกลุ่มเอกภาพการรวมตามธรรมชาติจากไปยังเหนี่ยวนำให้เกิดแผนที่จากระบบแขวน สองชั้น ไปยังแผนที่เหล่านี้รวมกันให้สเปกตรัมกล่าวคือ เป็นโคลิมิตโฮโมโทปี ของ${\displaystyle MU(n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle BU(n)}$${\displaystyle U(n)}$${\displaystyle U(n)}$${\displaystyle U(n+1)}$${\displaystyle \Sigma ^{2}MU(n)}$${\displaystyle MU(n+1)}$${\displaystyle MU}$${\displaystyle MU(n)}$

ตัวอย่าง: คือสเปกตรัมทรงกลมคือ การ ปลด แขวนของ${\displaystyle MU(0)}$${\displaystyle MU(1)}$${\displaystyle \Sigma ^{\infty -2}\mathbb {CP} ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}$

ทฤษฎีบทนิลโพเทนซ์ระบุว่า สำหรับสเปกตรัมวงแหวน ใดๆ เคอร์เนลของประกอบด้วยองค์ประกอบนิลโพเทนซ์^{[ 1 ]}ทฤษฎีบทนี้แสดงให้เห็นโดยเฉพาะว่า ถ้าเป็นสเปกตรัมทรงกลม แล้วสำหรับ ใดๆทุกองค์ประกอบของเป็นนิลโพเทนซ์ (ทฤษฎีบทของโกโร นิชิดะ ) (พิสูจน์: ถ้าอยู่ในแล้วเป็นทอร์ชั่น แต่ภาพของมันในวงแหวนลาซาร์ดไม่สามารถเป็นทอร์ชั่นได้ เนื่องจากเป็นวงแหวนพหุนาม ดังนั้นต้องอยู่ในเคอร์เนล) ${\displaystyle R}$${\displaystyle \pi _{*}R\to \operatorname {MU} _{*}(R)}$${\displaystyle \mathbb {S} }$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle \pi _{n}\mathbb {S} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \pi _{n}S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \operatorname {MU} _{*}(\mathbb {S} )\simeq L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x}$

จอห์น มิลนอร์  ( 1960 ) และเซอร์เก โนวิคอฟ  ( 1960 , 1962 ) แสดงให้เห็นว่าวงแหวนสัมประสิทธิ์(เท่ากับโคบอร์ดิซึมเชิงซ้อนของจุด หรือเทียบเท่ากับวงแหวนของชั้นโคบอร์ดิซึมของแมนิโฟลด์เชิงซ้อนที่เสถียร) เป็นวงแหวนพหุนามบนตัวสร้างจำนวนอนันต์ที่มีดีกรีคู่บวก ${\displaystyle \pi _{*}(\ชื่อผู้ดำเนินการ {MU} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\ldots ]}$${\displaystyle x_{i}\in \pi _{2i}(\operatorname {MU} )}$

เขียนสำหรับปริภูมิเชิงซ้อนเชิงโปรเจกทีฟมิติอนันต์ ซึ่งเป็นปริภูมิจำแนกสำหรับบันเดิลเส้นเชิงซ้อน เพื่อให้ผลคูณเทนเซอร์ของบันเดิลเส้นเหนี่ยวนำแผนที่ การวาง แนวเชิงซ้อนบนสเปกตรัมวงแหวนสลับ ที่สัมพันธ์กัน Eคือองค์ประกอบxในซึ่งการจำกัดบน คือ 1 ถ้าวงแหวนหลังถูกระบุด้วยวงแหวนสัมประสิทธิ์ของEสเปกตรัมEที่มีองค์ประกอบx ดังกล่าว เรียกว่าสเปกตรัม วงแหวนที่วางแนวเชิงซ้อน${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}$${\displaystyle \mu :\mathbb {CP} ^{\infty }\times \mathbb {CP} ^{\infty }\to \mathbb {CP} ^{\infty }.}$${\displaystyle E^{2}(\mathbb {CP} ^{\infty })}$${\displaystyle E^{2}(\mathbb {CP} ^{1})}$

ถ้าEเป็นสเปกตรัมวงแหวนเชิงซ้อนที่มีทิศทางแล้ว

${\displaystyle E^{*}(\mathbb {CP} ^{\infty })=E^{*}({\text{point}})[[x]]}$

${\displaystyle E^{*}(\mathbb {CP} ^{\infty })\times E^{*}(\mathbb {CP} ^{\infty })=E^{*}({\text{point}})[[x\otimes 1,1\otimes x]]}$

และเป็นกฎหมายกลุ่มที่เป็นทางการเหนือ วงแหวน${\displaystyle \mu ^{*}(x)\in E^{*}({\text{point}})[[x\otimes 1,1\otimes x]]}$${\displaystyle E^{*}({\text{point}})=\pi ^{*}(E)}$

โคบอร์ดิซึมเชิงซ้อนมีทิศทางเชิงซ้อนตามธรรมชาติแดเนียล ควิลเลน  ( 1969 ) แสดงให้เห็นว่ามีไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติจากวงแหวนสัมประสิทธิ์ไปยังวงแหวนสากลของลาซาร์ดทำให้กฎกลุ่มเชิงรูปธรรมของโคบอร์ดิซึมเชิงซ้อนกลายเป็นกฎกลุ่มเชิงรูปธรรมสากล กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับกฎกลุ่มเชิงรูปธรรมF ใดๆ บนวงแหวนสลับที่R ใดๆ จะมีโฮโมมอร์ฟิซึมวงแหวนที่ไม่ซ้ำกันจาก MU ^* (จุด) ไปยังRซึ่งFเป็นพูลแบ็กของกฎกลุ่มเชิงรูปธรรมของโคบอร์ดิซึมเชิงซ้อน

โคบอร์ดิซึมเชิงซ้อนเหนือจำนวนตรรกยะสามารถลดรูปเป็นโคฮอโมโลยีธรรมดาเหนือจำนวนตรรกยะได้ ดังนั้นความสนใจหลักจึงอยู่ที่ทอร์ชั่นของโคบอร์ดิซึมเชิงซ้อน โดยทั่วไปแล้วการศึกษาทอร์ชั่นจะง่ายกว่าหากศึกษาทีละจำนวนเฉพาะp โดยการหาโลคัลไลเซชันของ MU ที่จำนวนเฉพาะ p กล่าวโดยคร่าว ๆ ก็คือการกำจัดทอร์ชั่นที่เป็นจำนวนเฉพาะของpการหาโลคัลไลเซชัน MU _pของ MU ที่จำนวนเฉพาะpจะแยกออกเป็นผลรวมของการแขวนลอยของทฤษฎีโคฮอโมโลยีที่ง่ายกว่าที่เรียกว่าโคฮอโมโลยีบราวน์- ปีเตอร์สัน ซึ่งอธิบายครั้งแรกโดยบราวน์และปีเตอร์สัน (1966)ในทางปฏิบัติมักจะคำนวณด้วยโคฮอโมโลยีบราวน์-ปีเตอร์สันมากกว่าโคบอร์ดิซึมเชิงซ้อน ความรู้เกี่ยวกับโคฮอโมโลยีบราวน์-ปีเตอร์สันของปริภูมิสำหรับจำนวนเฉพาะp ทั้งหมด โดยประมาณเทียบเท่ากับความรู้เกี่ยวกับโคบอร์ดิซึมเชิงซ้อนของปริภูมินั้น

วงแหวนนี้เป็นไอโซมอร์ฟิกกับวงแหวนอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรม โดยที่องค์ประกอบ cf เรียกว่าคลาสคอนเนอร์-ฟลอยด์ ซึ่งเป็นอนาล็อกของคลาสเชิร์นสำหรับโคบอร์ดิซึมเชิงซ้อน โดย คอนเนอร์และฟลอยด์ (1966)เป็น ผู้ริเริ่ม${\displaystyle \operatorname {MU} ^{*}(BU)}$${\displaystyle \operatorname {MU} ^{*}({\text{point}})[[cf_{1},cf_{2},\ldots ]]}$

ในทำนองเดียวกันก็มีลักษณะสมมาตรกับวงแหวนพหุนาม${\displaystyle \operatorname {MU} _{*}(BU)}$${\displaystyle \operatorname {MU} _{*}({\text{point}})[[\beta _{1},\beta _{2},\ldots ]]}$

พีชคณิตฮอปฟ์ MU _* (MU) มีลักษณะสมมาตรกับพีชคณิตพหุนาม R[b ₁ , b ₂ , ...] โดยที่ R คือวงแหวนบอร์ดิซึมลดรูปของทรงกลม 0

ผลรวมได้มาจาก

${\displaystyle \psi (b_{k})=\sum _{i+j=k}(b)_{2i}^{j+1}\otimes b_{j}}$

โดยที่สัญลักษณ์ () _{2 i}หมายถึงการนำชิ้นส่วนที่มีดีกรี 2 i มาใช้ ซึ่งสามารถตีความได้ดังนี้ แผนที่

${\displaystyle x\to x+b_{1}x^{2}+b_{2}x^{3}+\cdots }$

เป็นออโตมอร์ฟิซึมต่อเนื่องของวงแหวนของอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรมในxและผลคูณร่วมของ MU _* (MU) จะให้การประกอบของออโตมอร์ฟิซึมดังกล่าวสองตัว

• ลำดับสเปกตรัมของอดัมส์-โนวิคอฟ
• รายชื่อทฤษฎีโคฮอโมโลยี
• โคบอร์ดิซึมเชิงพีชคณิต

• บอร์ดิสม์ที่ซับซ้อนที่แอตลาสหลายมิติ
• ทฤษฎีโคบอร์ดิสม์ โคฮอโมโลจีที่ห้องปฏิบัติการn