ในทางคณิตศาสตร์สัมประสิทธิ์คือตัวประกอบการคูณที่เกี่ยวข้องกับพจน์ บางพจน์ ของพหุนามอนุกรมหรือนิพจน์ประเภทอื่น ๆอาจเป็นตัวเลขที่ไม่มีหน่วยซึ่งในกรณีนี้เรียกว่าตัวประกอบเชิงตัวเลข [ ^{1 ] หรือ}อาจเป็นค่าคงที่ที่มีหน่วยวัดซึ่งในกรณีนี้เรียกว่าตัวคูณคงที่ [ ^{1 ] โดย}ทั่วไป สัมประสิทธิ์อาจเป็นนิพจน์ ใด ๆ ก็ได้ (รวมถึงตัวแปรเช่นa , bและc ) ^{[ 2 ] [ 1 ]}เมื่อการรวมกันของตัวแปรและค่าคงที่ไม่ได้เกี่ยวข้องกับผลคูณ เสมอ ^ไปอาจเรียกว่าพารามิเตอร์ [ ^{1 ]} ตัวอย่างเช่น พหุนามมีสัมประสิทธิ์ 2, −1 และ 3 และกำลังของตัวแปรในพหุนามมีพารามิเตอร์สัมประสิทธิ์, , และ${\displaystyle 2x^{2}-x+3}$${\displaystyle x}$${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

เอสัมประสิทธิ์คงที่ หรือ ที่รู้จักกันในชื่อพจน์คงที่หรือเรียกสั้นๆ ว่าค่าคงที่คือปริมาณที่แนบมากับกำลังศูนย์^{ปริยาย}หรือไม่แนบไปกับตัวแปรอื่นๆ ในนิพจน์ ตัวอย่างเช่น สัมประสิทธิ์คงที่ของนิพจน์ข้างต้นคือเลข 3 และพารามิเตอร์cซึ่งเกี่ยวข้องกับ 3 =c⋅x⁰สัมประสิทธิ์ที่แนบมากับดีกรีสูงสุดของตัวแปรในพหุนามตัวแปรเดียวเรียกว่าสัมประสิทธิ์นำหน้าตัวอย่างเช่น ในนิพจน์ตัวอย่างข้างต้น สัมประสิทธิ์นำหน้าคือ 2 และaตามลำดับ

ในบริบทของสมการเชิงอนุพันธ์ สมการเหล่านี้มักเขียนได้ในรูปของพหุนามในฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าหนึ่งตัวหรือมากกว่า และอนุพันธ์ของพหุนามเหล่านั้น ในกรณีเช่นนี้ สัมประสิทธิ์ของสมการเชิงอนุพันธ์คือสัมประสิทธิ์ของพหุนามนี้ ซึ่งอาจไม่ใช่ฟังก์ชันคงที่ สัมประสิทธิ์จะเป็นสัมประสิทธิ์คงที่เมื่อเป็นฟังก์ชันคงที่เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน ในบริบทนี้ สัมประสิทธิ์ที่ไม่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าหรืออนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านั้น โดยทั่วไปจะเรียกว่าพจน์คงที่มากกว่าสัมประสิทธิ์คงที่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ โดยทั่วไปแล้วพจน์สัมประสิทธิ์คงที่จะไม่ถือว่าเป็นฟังก์ชันคงที่

ในทางคณิตศาสตร์สัมประสิทธิ์คือตัวคูณในพจน์ใดพจน์หนึ่งของพหุนาม อนุกรม หรือนิพจน์ใดๆ ตัวอย่างเช่น ในพหุนาม ที่มีตัวแปรและพจน์สองพจน์แรกมีสัมประสิทธิ์เป็น 7 และ −3 พจน์ที่สาม 1.5 เป็นค่าคงที่ ส่วนพจน์สุดท้าย สัมประสิทธิ์คือ 1 และไม่ได้เขียนไว้โดยตรง $${\displaystyle 7x^{2}-3xy+1.5+y,}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

ในหลายกรณี สัมประสิทธิ์จะเป็นตัวเลข (เช่นเดียวกับแต่ละพจน์ในตัวอย่างก่อนหน้านี้) แม้ว่าอาจจะเป็นพารามิเตอร์ของปัญหา หรือนิพจน์ใดๆ ในพารามิเตอร์เหล่านั้นก็ตาม ในกรณีเช่นนี้ เราต้องแยกแยะให้ชัดเจนระหว่างสัญลักษณ์ที่แทนตัวแปรและสัญลักษณ์ที่แทนพารามิเตอร์ ตามแนวคิดของเรเน่ เดส์การ์ตตัวแปรมักจะใช้สัญลักษณ์x , y , ... และพารามิเตอร์ใช้สัญลักษณ์a , b , c , ...แต่ก็ไม่เสมอไป ตัวอย่างเช่น ถ้าyถือเป็นพารามิเตอร์ในนิพจน์ข้างต้น สัมประสิทธิ์ของxจะเป็น−3yและสัมประสิทธิ์คงที่ (เมื่อเทียบกับx ) จะเป็น1.5 + y

โดยทั่วไปแล้ว เมื่อเขียนสม การ จะถือว่าxเป็นตัวแปรเพียงตัวเดียว และa , bและcเป็นพารามิเตอร์ ดังนั้นในกรณีนี้ ค่าสัมประสิทธิ์คงที่คือ c$${\displaystyle ax^{2}+bx+c,}$$

พหุนามใดๆในตัวแปรเดียวxสามารถเขียนได้ในรูป สำหรับ จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ x บาง ค่า โดยที่คือสัมประสิทธิ์ ซึ่งรวมถึงความเป็นไปได้ที่บางพจน์จะมีสัมประสิทธิ์เป็น 0 ตัวอย่างเช่น ในสัมประสิทธิ์ของคือ 0 และพจน์ไม่ปรากฏอย่างชัดเจน สำหรับค่า ที่มากที่สุดที่(ถ้ามี) เรียกว่าสัมประสิทธิ์นำของพหุนาม ตัวอย่างเช่น สัมประสิทธิ์นำของพหุนาม คือ 4 สามารถขยายแนวคิดนี้ไปยังพหุนามหลายตัวแปรโดยสัมพันธ์กับอันดับเอกนามได้ ดูที่ฐาน Gröbner § พจน์นำ สัมประสิทธิ์ และเอกนาม $${\displaystyle a_{k}x^{k}+\dotsb +a_{1}x^{1}+a_{0}}$$${\displaystyle k}$${\displaystyle a_{k},\dotsc ,a_{1},a_{0}}$${\displaystyle x^{3}-2x+1}$${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle 0x^{2}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle a_{i}\neq 0}$${\displaystyle a_{i}}$$${\displaystyle 4x^{5}+x^{3}+2x^{2}}$$

ในพีชคณิตเชิงเส้นระบบสมการเชิงเส้นมักถูกแทนด้วยเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ตัวอย่างเช่น ระบบสมการ และ เมทริกซ์สัมประสิทธิ์ที่เกี่ยวข้องคือ เมท ริกซ์สัมประสิทธิ์ถูกนำไปใช้ในอัลกอริทึมต่างๆ เช่น วิธี การกำจัดแบบเกาส์เซียนและกฎของเครเมอร์เพื่อหาคำตอบของระบบสมการ $${\displaystyle {\begin{cases}2x+3y=0\\5x-4y=0\end{cases}},}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&3\\5&-4\end{pmatrix}}.}$

ตัวเลขนำหน้า (หรือบางครั้งเรียกว่าสัมประสิทธิ์นำหน้า ) ของแถวในเมทริกซ์ คือตัวเลขที่ไม่เป็นศูนย์ตัวแรกในแถวนั้น ตัวอย่างเช่น ในเมทริกซ์ สัมประสิทธิ์นำหน้าของแถวแรกคือ 1 แถวที่สองคือ 2 แถวที่สามคือ 4 ในขณะที่แถวสุดท้ายไม่มีสัมประสิทธิ์นำหน้า $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&0&6\\0&2&9&4\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{pmatrix}},}$$

แม้ว่าสัมประสิทธิ์มักถูกมองว่าเป็นค่าคงที่ในพีชคณิตเบื้องต้น แต่ก็สามารถมองว่าเป็นตัวแปรได้เช่นกันเมื่อบริบทกว้างขึ้น ตัวอย่างเช่นพิกัด ของเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์ที่มีฐานคือสัมประสิทธิ์ของเวกเตอร์ฐานในนิพจน์ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \lbrace e_{1},e_{2},\dotsc ,e_{n}\rbrace }$$${\displaystyle v=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\dotsb +x_{n}e_{n}.}$$

• สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์
• ดีกรีของพหุนาม
• พหุนามโมนิก
• สัมประสิทธิ์ทวินาม

• Sabah Al-hadad และ CH Scott (1979) College Algebra with Applicationsหน้า 42 สำนักพิมพ์ Winthrop เมืองเคมบริดจ์ รัฐแมสซาชูเซตส์ISBN 0-87626-140-3.
• กอร์ดอน ฟุลเลอร์, วอลเตอร์ แอล. วิลสัน, เฮนรี ซี. มิลเลอร์, (1982) พีชคณิตระดับวิทยาลัย , ฉบับที่ 5, หน้า 24, สำนักพิมพ์บรูคส์/โคล, มอนเทอเรย์ แคลิฟอร์เนียISBN 0-534-01138-1.