ลำดับเรขาคณิตหรือที่เรียกว่าลำดับเรขาคณิตคือลำดับทางคณิตศาสตร์ ของ จำนวนที่ไม่เป็นศูนย์โดยแต่ละพจน์หลังจากพจน์แรกได้มาจากการคูณพจน์ก่อนหน้าด้วยจำนวนคงที่ที่เรียกว่าอัตราส่วนร่วมตัวอย่างเช่น ลำดับ 2, 6, 18, 54, ... เป็นลำดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 3 ในทำนองเดียวกัน 10, 5, 2.5, 1.25, ... เป็นลำดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 1/2

ตัวอย่างของลำดับเรขาคณิต ได้แก่กำลังr ^k ของจำนวน rที่ไม่ใช่ศูนย์เช่น2 ^kและ 3 ^kรูปแบบทั่วไปของลำดับเรขาคณิตคือ

${\displaystyle a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\ ar^{4},\ \ldots }$

โดยที่rคืออัตราส่วนร่วม และaคือค่าเริ่มต้น

ผลรวมของพจน์ในลำดับเรขาคณิตเรียกว่าอนุกรมเรขาคณิตเนื่องจากจำนวนสองจำนวนที่ต่อเนื่องกันในลำดับมีสัดส่วน เดียวกัน พจน์ในอนุกรมเรขาคณิตจึงกล่าวได้ว่ามีสัดส่วนต่อเนื่องโดยเฉพาะอย่างยิ่งในบริบทของคณิตศาสตร์กรีกโบราณซึ่งลำดับเรขาคณิตถูกอธิบายในลักษณะนี้แทนที่จะใช้กำลังของอัตราส่วนร่วม^{[ 1 ]}

พจน์ ที่ nของลำดับเรขาคณิตที่มีค่าเริ่มต้นa = a ₁และอัตราส่วนร่วมrกำหนดโดย และโดยทั่วไป ลำดับเรขาคณิตจะสอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิด เชิงเส้น สำหรับจำนวนเต็มทุกตัว นี่คือความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้นเอกพันธุ์อันดับหนึ่งที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ $${\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1},}$$$${\displaystyle a_{n}=a_{m}\,r^{nm}.}$$$${\displaystyle a_{n}=r\,a_{n-1}}$$${\displaystyle n>1.}$

ลำดับเรขาคณิตยังสอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบไม่เชิงเส้น สำหรับจำนวนเต็มทุกตัวนี่คือความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบไม่เชิงเส้นอันดับสองที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ $${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}^{2}/a_{n-2}}$$${\displaystyle n>2}$

เมื่ออัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิตเป็นบวก พจน์ทั้งหมดในลำดับนั้นจะมีเครื่องหมายเดียวกับพจน์แรก เมื่ออัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิตเป็นลบ พจน์ในลำดับนั้นจะสลับกันระหว่างค่าบวกและค่าลบ ซึ่งเรียกว่าลำดับสลับ ตัวอย่างเช่น ลำดับ 1, −3, 9, −27, 81, −243, ... เป็นลำดับเรขาคณิตสลับที่มีค่าเริ่มต้นเป็น 1 และอัตราส่วนร่วมเป็น −3 เมื่อพจน์เริ่มต้นและอัตราส่วนร่วมเป็นจำนวนเชิงซ้อน อาร์กิวเมนต์เชิงซ้อนของพจน์ต่างๆจะ เป็นไปตามลำดับเลขคณิต

ถ้าค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนร่วมมีค่าน้อยกว่า 1 ขนาดของพจน์ต่างๆ จะลดลงและเข้าใกล้ศูนย์โดยการลดลงแบบเลขชี้กำลังถ้าค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนร่วมมีค่ามากกว่า 1 ขนาดของพจน์ต่างๆ จะเพิ่มขึ้นและเข้าใกล้ค่าอนันต์โดยการเพิ่มขึ้นแบบเลขชี้กำลังถ้าค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนร่วมมีค่าเท่ากับ 1 ขนาดของพจน์ต่างๆ จะคงที่ไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด แม้ว่าเครื่องหมายหรือจำนวนเชิงซ้อนของพจน์เหล่านั้นอาจเปลี่ยนแปลงไปก็ตาม

ลำดับเรขาคณิตแสดงการเติบโตแบบเลขชี้กำลังหรือการลดลงแบบเลขชี้กำลัง ตรงข้ามกับลำดับเลขคณิตที่แสดงการเติบโตแบบเชิงเส้น หรือการลดลงแบบเชิงเส้น การเปรียบเทียบนี้ถูกนำมาใช้โดย TR Malthusเป็นพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ของเรียงความเรื่องหลักการของประชากร (An Essay on the Principle of Population ) ลำดับทั้งสองชนิดมีความสัมพันธ์กันผ่านฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม กล่าวคือ การยกกำลังแต่ละพจน์ของลำดับเลขคณิตจะได้ลำดับเรขาคณิต ในขณะที่การหาลอการิทึมของแต่ละพจน์ในลำดับเรขาคณิตจะได้ลำดับเลขคณิต ความสัมพันธ์ที่ลอการิทึมสร้างขึ้นระหว่างลำดับเรขาคณิตในตัวแปรและลำดับเลขคณิตทำให้AA de Sarasaเชื่อมโยงการหาปริพันธ์ของ Saint-Vincent กับประเพณีของลอการิทึมในprosthaphaeresisนำไปสู่คำว่า "ลอการิทึมไฮเปอร์โบลิก" ซึ่งเป็นคำพ้องความหมายของลอการิทึมธรรมชาติ

อนุกรมเรขาคณิตคืออนุกรมที่ได้มาจากจำนวนพจน์[ ^{2 ] อนุกรม}เรขาคณิตอาจเป็นอนุกรมจำกัดหรืออนุกรมอนันต์ อนุกรมเรขาคณิตอนันต์จะรวมพจน์จำนวนอนันต์ของลำดับเรขาคณิต การคำนวณอาจมีผลลัพธ์เป็นลู่เข้า ( ลู่เข้า ) หรือลู่ออก ( ลู่ออก ) อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ลู่เข้าหากค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนร่วมมีค่าน้อยกว่าหนึ่งแสดงว่าพจน์เข้าใกล้ศูนย์และผลรวมย่อยมีขนาดเล็ลง ในทำนองเดียวกัน อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ลู่ออกหากค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนร่วมมีค่ามากกว่าหนึ่งแสดงว่าพจน์และผลรวมย่อยมีขนาดใหญ่ขึ้น^{[ 3 ]}อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ลู่ออกเมื่อแสดงว่าพจน์ไม่มีขนาดใหญ่ขึ้นหรือเล็ลง และลำดับของผลรวมย่อยของอนุกรมไม่ลู่เข้า ${\displaystyle a+ar+ar^{2},\dots +ar^{n}}$${\displaystyle |r|<1}$${\displaystyle ||r|>1}$${\displaystyle |r|=1}$

ผลคูณอนันต์ของลำดับเรขาคณิตคือผลคูณของทุกพจน์ในลำดับนั้น ผลคูณย่อยของลำดับเรขาคณิตจนถึงพจน์ที่มีเลขชี้กำลังคือ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}ar^{(k)}=a^{n+1}r^{n(n+1)/2}.}$$

เมื่อและเป็นจำนวนจริงบวก การกระทำนี้จะเทียบเท่ากับการหาค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของพจน์แรกและพจน์สุดท้ายของลำดับย่อย แล้วยกกำลังค่าเฉลี่ยดังกล่าวด้วยจำนวนพจน์${\displaystyle a}$${\displaystyle r}$${\displaystyle n+1.}$

$${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}ar^{k}=a^{n+1}r^{n(n+1)/2}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}{\text{ สำหรับ }}a\geq 0,r\geq 0.}$$

สิ่งนี้สอดคล้องกับคุณสมบัติที่คล้ายกันของผลรวมของพจน์ในลำดับเลขคณิต จำกัด กล่าวคือ ผลรวมของลำดับเลขคณิตเท่ากับจำนวนพจน์คูณด้วยค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพจน์แรกและพจน์สุดท้าย ความสอดคล้องนี้เป็นไปตามรูปแบบปกติที่ว่า ลำดับเลขคณิตใดๆ ก็เป็นลำดับของลอการิทึมของพจน์ในลำดับเรขาคณิต และลำดับเรขาคณิตใดๆ ก็เป็นลำดับของการยกกำลังของพจน์ในลำดับเลขคณิต ผลรวมของลอการิทึมสอดคล้องกับผลคูณของค่าที่ยกกำลังแล้ว

ให้แทนผลคูณยกกำลัง เขียนออกมาแบบเต็มๆ ดังนี้ ${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle P_{n}=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}}$.

ดำเนินการคูณและรวมพจน์ที่เหมือนกันเข้าด้วยกัน

${\displaystyle P_{n}=a^{n+1}r^{1+2+3+\cdots +(n-1)+n}}$.

เลขชี้กำลังของrคือผลรวมของลำดับเลขคณิต เมื่อแทนสูตรสำหรับผลรวมนั้นแล้ว

${\displaystyle P_{n}=a^{n+1}r^{\frac {n(n+1)}{2}}}$,

ซึ่งเป็นการสิ้นสุดการพิสูจน์

เราสามารถจัดเรียงนิพจน์นี้ใหม่ได้เป็น

${\displaystyle P_{n}=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}.}$

การเขียนa ใหม่ เป็นและrราวกับว่าสิ่งนี้ไม่ถูกต้องสำหรับหรือ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {a^{2}}}}$${\displaystyle \textstyle {\sqrt {r^{2}}}}$${\displaystyle a<0}$${\displaystyle r<0,}$

${\displaystyle P_{n}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}{\text{ สำหรับ }}a\geq 0,r\geq 0}$

ซึ่งเป็นสูตรในแง่ของค่าเฉลี่ยเรขาคณิต

แผ่นดินเหนียวจากยุคราชวงศ์แรกในเมโสโปเตเมีย (ประมาณ 2900 – ประมาณ 2350 ปีก่อนคริสตกาล) ซึ่งระบุว่าเป็น MS 3047 ประกอบด้วยลำดับเรขาคณิตที่มีฐาน 3 และตัวคูณ 1/2 มีการเสนอแนะว่าเป็นของชาวสุเมเรียนจากเมืองชูรุปปักนับเป็นบันทึกเดียวที่รู้จักของลำดับเรขาคณิตก่อนยุคคณิตศาสตร์บาบิโลน โบราณ ซึ่งเริ่มต้นใน 2000 ปีก่อนคริสตกาล^{[ 4 ]}

หนังสือเล่มที่ 8 และ 9 ของElementsของยูคลิดวิเคราะห์ลำดับเรขาคณิต (เช่นกำลังของสองดูรายละเอียดในบทความ) และให้คุณสมบัติหลายประการ^{[ 5 ] [ 1 ]}

• ลำดับเลขคณิต  – ลำดับของตัวเลขที่มีระยะห่างเท่ากัน
• ลำดับเลขคณิตเรขาคณิต  – ลำดับทางคณิตศาสตร์ที่สอดคล้องกับรูปแบบเฉพาะ
• สมการเชิงผลต่างเชิงเส้น  – ความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดลำดับหน้าเว็บที่แสดงคำอธิบายสั้น ๆ ของเป้าหมายการเปลี่ยนเส้นทาง
• ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง  – ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ เขียนแทนด้วย exp(x) หรือ e^x
• ลำดับฮาร์มอนิก  – ลำดับที่เกิดจากการนำส่วนกลับของลำดับเลขคณิต
• อนุกรมฮาร์มอนิก  – ผลรวมลู่เข้าของเศษส่วนหน่วยบวก
• อนุกรมอนันต์  – ผลรวมอนันต์
• จำนวนที่ต้องการ  – ข้อจำกัดในการคัดเลือกในการออกแบบอุตสาหกรรม
• โทมัส โรเบิร์ต มัลทัส  – นักเศรษฐศาสตร์การเมืองชาวอังกฤษ (ค.ศ. 1766–1834)
• การแจกแจงทางเรขาคณิต  – การแจกแจงความน่าจะเป็น

• "ลำดับเรขาคณิต" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "อนุกรมเรขาคณิต" . MathWorld .