การจัดเรียงจุดยอดของทรงยี่สิบหน้าสิบด้านคือหรือ${\displaystyle 3.5.3.5}$${\displaystyle (3.5)^{2}}$

ในทางเรขาคณิตการกำหนดค่าจุดยอดเป็นสัญลักษณ์ย่อสำหรับการแสดงรูปทรงหลายเหลี่ยมหรือการปูพื้นด้วยลำดับของหน้าต่างๆรอบจุดยอดมีการเรียกชื่อต่างๆ กันไป เช่น^{คำอธิบายจุดยอด [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] ประเภทจุดยอด [ 4 ] [ 5} ] สัญลักษณ์^{จุดยอด[ 6 ] [ 7 ] การ}จัดเรียง^{จุดยอด[ 8 ]}รูป^{แบบจุดยอด[ 9 ]} เวกเตอร์^{หน้า [ 10} ]ลำดับ^{จุดยอด[} 11 ] ^{นอกจากนี้}ยัง^{เรียกว่าสัญลักษณ์} Cundy และ Rollettเนื่องจากมีการใช้งานสำหรับทรงตันอาร์คิมีเดียนในหนังสือMathematical Models ปี 1952 ของ พวกเขา ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}สำหรับ รูป ทรงหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอจะมีเพียงประเภทจุดยอดเดียวเท่านั้น ดังนั้นการกำหนดค่าจุดยอดจึงกำหนดรูปทรงหลายเหลี่ยมได้อย่างสมบูรณ์ ( รูปทรง หลายเหลี่ยมไครัล^มีอยู่เป็นคู่ภาพสะท้อนที่มีการกำหนดค่าจุดยอดเดียวกัน)

ตัวอย่างเช่น " 3.5.3.5 " แสดงถึงจุดยอดที่อยู่ใน 4 หน้า สลับกันระหว่างรูปสามเหลี่ยมและรูปห้าเหลี่ยมการกำหนดค่าจุดยอดนี้กำหนดไอโคซิโดเดคาเฮดรอนแบบจุดยอดสลับกัน สัญลักษณ์นี้เป็นวัฏจักร ดังนั้นจึงเทียบเท่ากับจุดเริ่มต้นที่แตกต่างกัน ดังนั้น3.5.3.5จึงเหมือนกับ5.3.5.3ลำดับมีความสำคัญ ดังนั้น3.3.5.5จึงแตกต่างจาก3.5.3.5 (อันแรกมีรูปสามเหลี่ยมสองรูปตามด้วยรูปห้าเหลี่ยมสองรูป) องค์ประกอบที่ซ้ำกันสามารถรวบรวมเป็นเลขชี้กำลังได้ ดังนั้นตัวอย่างนี้จึงแสดงเป็น(3.5) ²ได้ เช่นกัน

เน็ตจุดยอดปกติ{ p , q } = p ^q

ทรงสี่หน้า{3,3} = 3 3ข้อบกพร่อง 180°	ทรงแปดเหลี่ยม{3,4} = 3 4ข้อบกพร่อง 120°	ไอโคซาเฮดรอน{3,5} = 3 5ข้อบกพร่อง 60°	การปูพื้นแบบสามเหลี่ยม{3,6} = 3 6ข้อบกพร่อง 0°
ลูกบาศก์{4,3}ข้อบกพร่อง 90°	การปูกระเบื้องสี่เหลี่ยมจัตุรัส{4,4} = 4 4ข้อบกพร่อง 0°	ทรงสิบสองเหลี่ยม{5,3} = 5 3ข้อบกพร่อง 36°	การปูกระเบื้องหกเหลี่ยม{6,3} = 6 3ข้อบกพร่อง 0°
จุดยอดต้องมีอย่างน้อย 3 หน้า และมีมุมบกพร่อง มุมบกพร่อง0° จะทำให้ระนาบยูคลิดเต็มไปด้วยการปูพื้นแบบปกติตามทฤษฎีบทของเดส์การ์ตจำนวนจุดยอดคือ 720°/ มุมบกพร่อง (4π เรเดียน/ มุมบกพร่อง )

การกำหนดค่าจุดยอดจะเขียนเป็นตัวเลขหนึ่งตัวหรือมากกว่านั้นคั่นด้วยจุดหรือเครื่องหมายจุลภาค ตัวเลขแต่ละตัวแสดงถึงจำนวนด้านในแต่ละหน้าซึ่งมาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด^{[ 15 ]}รูปทรงอิโคซิโดเดคา เฮดรอน จะถูกเขียนแทนด้วย3.5.3.5เนื่องจากมีสี่หน้าที่จุดยอดแต่ละจุด สลับกันระหว่างรูปสามเหลี่ยม (มี 3 ด้าน) และรูปห้าเหลี่ยม (มี 5 ด้าน) ซึ่งสามารถเขียนได้อีกแบบว่า(3.5) ² .

การกำหนดค่าจุดยอดสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นรูปแบบขยายของสัญลักษณ์ Schläfli แบบง่าย สำหรับทรงหลายเหลี่ยมปกติสัญลักษณ์ Schläfli มีรูปแบบ{ p , q }โดยที่pคือจำนวนด้านในแต่ละหน้า และqคือจำนวนหน้าที่มาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด ดังนั้น สัญลักษณ์ Schläfli { p , q }สามารถเขียนได้เป็นp . p . p ••• (โดยที่pปรากฏqครั้ง) หรือเพียงแค่p ^q . ^{[ 15 ]}

สัญลักษณ์นี้ใช้ได้กับการปูพื้นด้วยรูปหลายเหลี่ยมเช่นเดียวกับรูปทรงหลายเหลี่ยม การจัดเรียงจุดยอดบนระนาบแสดงถึงการปูพื้นแบบสม่ำเสมอ เช่นเดียวกับการจัดเรียงจุดยอดนอกระนาบแสดงถึงรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบสม่ำเสมอ

สัญลักษณ์ที่ใช้มีความกำกวมสำหรับ รูปทรง ไครัลตัวอย่างเช่นลูกบาศก์ทรงเรียว (snub cube)มีรูปทรงตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกา ซึ่งเหมือนกันในภาพสะท้อน ทั้งสองรูปทรงมีโครงสร้างจุดยอด 3.3.3.3.4 เหมือนกัน

สัญลักษณ์นี้ยังใช้ได้กับหน้าปกติที่ไม่นูน เช่นรูปหลายเหลี่ยมดาวตัวอย่างเช่นรูปห้าเหลี่ยมมีสัญลักษณ์ {5/2} หมายความว่ามี 5 ด้านที่วนรอบจุดศูนย์กลางสองครั้ง

ตัวอย่างเช่น มีทรงหลายเหลี่ยมดาวปกติ 4 แบบ ที่มีรูปทรงจุดยอดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติหรือรูปหลายเหลี่ยมดาวทรงสิบสองเหลี่ยมดาวขนาดเล็กมีสัญลักษณ์ Schläfliคือ {5/2,5} ซึ่งขยายได้เป็นการกำหนดค่าจุดยอดที่ชัดเจนคือ 5/2.5/2.5/2.5/2.5/2 หรือรวมกันเป็น (5/2) ⁵ ทรงสิบสองเหลี่ยมดาวขนาดใหญ่ { 5/2,3} มีรูปทรงจุดยอดเป็นรูปสามเหลี่ยมและการกำหนดค่าคือ (5/2.5/2.5/2) หรือ (5/2) ³ทรง สิบสองเหลี่ยม ขนาดใหญ่ {5,5/2} มีรูปทรงจุดยอดเป็นรูปห้าเหลี่ยม โดยมีการกำหนดค่าจุดยอดคือ (5.5.5.5.5)/2 หรือ (5 ⁵ )/2 ทรงยี่สิบหน้าขนาดใหญ่ {3,5/2} ยังมีรูปจุดยอดเป็นรูปดาวห้าแฉก โดยมีการจัดเรียงจุดยอดเป็น (3.3.3.3.3)/2 หรือ (3 ⁵ )/2

{5/2,5} = (5/2) 5	{5/2,3} = (5/2) 3	3 4 .5/2	3 4 .5/3	(3 4 .5/2)/2
{5,5/2} = (5 5 )/2	{3,5/2} = (3 5 )/2	ว.3 4.5 /2	V3 4.5 /3	V(3 4 .5/2)/2

หน้าของรูปทรงจุดยอดถือว่าเรียงลำดับไปในทิศทางเดียว รูปทรงหลายเหลี่ยมเอกรูปบางรูปมีรูปทรงจุดยอดแบบกลับด้าน ซึ่งหน้าจะเรียงลำดับย้อนกลับ รูปทรงจุดยอดแสดงสิ่งนี้ใน สัญลักษณ์รูป หลายเหลี่ยมดาวที่มีด้านp/qโดยที่p < 2q โดยที่pคือจำนวนด้านและqคือจำนวนรอบที่หมุนรอบวงกลม ตัวอย่างเช่น "3/2" หมายถึงสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดหมุนรอบสองครั้ง ซึ่งเหมือนกับการหมุนย้อนกลับหนึ่งครั้ง ในทำนองเดียวกัน "5/3" คือรูปดาวห้าแฉกย้อนกลับของ 5/2

ทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติจะมีโครงสร้างจุดยอดที่มีมุม บกพร่อง เป็น บวก

หมายเหตุ: รูปทรงจุดยอดสามารถแสดงถึงการปูพื้นผิวแบบปกติหรือกึ่งปกติบนระนาบได้ หากค่าความบกพร่องเป็นศูนย์ และสามารถแสดงถึงการปูพื้นผิวของระนาบไฮเปอร์โบลิกได้ หากค่าความบกพร่องเป็นลบ

สำหรับทรงหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอ สามารถใช้ค่าความคลาดเคลื่อนของมุมในการคำนวณจำนวนจุดยอดได้ ทฤษฎีบทของเดส์การ์ตกล่าวว่า ผลรวมของค่าความคลาดเคลื่อนของมุมทั้งหมดในทรงกลมเชิงทอพอโลยีต้องเท่ากับ 4π เรเดียน  หรือ 720 องศา

เนื่องจากทรงหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอมีจุดยอดที่เหมือนกันทั้งหมด ความสัมพันธ์นี้ทำให้เราสามารถคำนวณจำนวนจุดยอดได้ ซึ่งคือ 4π /ข้อบกพร่องหรือ 720/ ข้อบกพร่อง

ตัวอย่าง: ลูกบาศก์ตัดยอด3.8.8มีมุมบกพร่อง 30 องศา ดังนั้นจึงมี จุดยอด 720/30 = 24จุด

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จะได้ว่า{ a , b }มีจำนวนจุดยอดดังต่อไปนี้: $${\displaystyle {\frac {4}{2-b(1-2/a)}}}$$

การจัดเรียงจุดยอดทุกแบบที่ระบุไว้ อาจกำหนดรูปทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติได้อย่างไม่ซ้ำกัน อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกการจัดเรียงจะเป็นไปได้ทั้งหมด

ข้อกำหนดทางโทโพโลยีจำกัดการมีอยู่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งp . q . rหมายความว่ารูปpเหลี่ยมถูกล้อมรอบด้วย รูป qเหลี่ยมและ รูป rเหลี่ยมสลับกัน ดังนั้นpต้องเป็นจำนวนคู่หรือqเท่ากับrในทำนองเดียวกันqต้องเป็นจำนวนคู่หรือpเท่ากับrและrต้องเป็นจำนวนคู่หรือpเท่ากับqดังนั้น สามสิ่งที่เป็นไปได้จึงมีดังนี้:

ในความเป็นจริงแล้ว รูปแบบทั้งหมดเหล่านี้ที่มีหน้าทั้งสามมาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุดนั้นมีอยู่จริง

ตัวเลขในวงเล็บคือจำนวนจุดยอด ซึ่งกำหนดโดยค่าความคลาดเคลื่อนของมุม

สามเท่า

• ทรงหลายเหลี่ยมเพลโต:
  • เตตระเฮดรอน : 3.3.3 (4)
  • ลูกบาศก์ : 4.4.4 (8)
  • ทรงสิบสองเหลี่ยม : 5.5.5 (20)
• ปริซึม :
  • ปริซึมn เหลี่ยม: 4.4. n ( 2 n )
• ทรงเรขาคณิตแบบอาร์คิมีเดียน:
  • ทรงสี่เหลี่ยมตัดยอด : 3.6.6 (12)
  • ลูกบาศก์ตัดยอด : 3.8.8 (24)
  • ทรงสิบสองเหลี่ยมตัดยอด : 3.10.10 (60)
  • ทรงแปดเหลี่ยมตัดยอด : 4.6.6 (24)
  • คิวบอกตาเฮดรอนแบบตัดยอด : 4.6.8 (48)
  • ทรงยี่สิบเหลี่ยมตัดยอด : 4.6.10 (120)
  • ทรงยี่สิบหน้าตัด : 5.6.6 (60)
• การปูกระเบื้องแบบปกติ:
  • การปูกระเบื้องหกเหลี่ยม : 6.6.6
• การปูกระเบื้องแบบกึ่งปกติ:
  • การปูพื้นแบบหกเหลี่ยมตัดยอด : 3.12.12
  • การปูพื้นแบบสามเหลี่ยมหกเหลี่ยมที่ถูกตัดทอน : 4.6.12
  • การปูกระเบื้องสี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบตัดทอน : 4.8.8

ควอดรูเพิล

• ทรงหลายเหลี่ยมเพลโต:
  • ทรงแปดเหลี่ยม : 3.3.3.3 (6)
• แอนติปริซึม :
  • ปริซึมแอนติรูปหลายเหลี่ยม nด้าน: 3.3.3. n ( 2 n )
• ทรงเรขาคณิตแบบอาร์คิมีเดียน:
  • คิวโบกตาเฮดรอน : 3.4.3.4 (12)
  • อิโคซิโดเดคาเฮดรอน : 3.5.3.5 (30)
  • รอมบิคิวบอคตาเฮดรอน : 3.4.4.4 (24)
  • Rhombicosidodecahedron : 3.4.5.4 (60)
• การปูกระเบื้องแบบปกติ:
  • การปูกระเบื้องสี่เหลี่ยมจัตุรัส : 4.4.4.4
• การปูกระเบื้องแบบกึ่งปกติ:
  • การปูพื้นแบบสามเหลี่ยมหกเหลี่ยม : 3.6.3.6
  • การปูพื้นแบบ Rhombitrihexagonal : 3.4.6.4

ควินทูเพิล

• ทรงหลายเหลี่ยมเพลโต:
  • ไอโคซาเฮดรอน : 3.3.3.3.3 (12)
• ทรงตันอาร์คิมีเดียน (ทั้งสองแบบเป็นไครัล ):
  • ลูกบาศก์ Snub : 3.3.3.3.4 (24)
  • ทรงสิบสองเหลี่ยมแบบสนับ : 3.3.3.3.5 (60)
• การปูกระเบื้องแบบกึ่งปกติ:
  • การปูพื้นแบบหกเหลี่ยม Snub : 3.3.3.3.6 (ไครัล)
  • การปูพื้นแบบสามเหลี่ยมยาว : 3.3.3.4.4
  • การปูพื้นแบบสี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบเฉียง : 3.3.4.3.4 (โปรดสังเกตว่าลำดับที่แตกต่างกันสองแบบของตัวเลขเดียวกันจะให้รูปแบบที่แตกต่างกันสองแบบ)

หกเท่า

• การปูกระเบื้องแบบปกติ:
  • การปูพื้นแบบสามเหลี่ยม : 3.3.3.3.3.3

ทรงตันคู่หรือทรงตันคาตาลันที่เป็นเอก รูป ซึ่งรวมถึงไบปิรามิดและทราเปโซเฮดรามีลักษณะปกติในแนวตั้ง ( เปลี่ยนหน้าได้ ) ดังนั้นจึงสามารถระบุได้ด้วยสัญลักษณ์ที่คล้ายกัน ซึ่งบางครั้งเรียกว่าการกำหนดค่าหน้า^{[ 16 ]} Cundy และ Rollett ได้นำหน้าสัญลักษณ์คู่เหล่านี้ด้วยตัวอักษรVในทางตรงกันข้ามการปูพื้นและรูปแบบใช้เครื่องหมายวงเล็บเหลี่ยมรอบสัญลักษณ์สำหรับการปูพื้นไอโซเฮดรัล

สัญกรณ์นี้แสดงถึงการนับลำดับของจำนวนหน้าที่อยู่ที่จุดยอด แต่ละ จุดรอบหน้า^{[ 12 ]}ตัวอย่างเช่น V3.4.3.4 หรือ V(3.4) ²แสดงถึงทรงสิบสองเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งมีหน้าแบบทรานซิทีฟ: ทุกหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและจุดยอดสลับกันของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะมี 3 หรือ 4 หน้าในแต่ละจุด

• คำอธิบายจุดยอดที่สอดคล้องกันStella (ซอฟต์แวร์) , Robert Webb