ในทางเรขาคณิต มีข้อสันนิษฐาน ที่ยังแก้ไม่ตก ของHugo Hadwigerว่าซิมเพล็กซ์ ทุกอัน สามารถแบ่งออกเป็นออร์โธสคีมได้ โดยใช้ออร์โธสคีมจำนวนหนึ่งซึ่งจำกัดด้วยฟังก์ชันของมิติของซิมเพล็กซ์^{[ 1 ]}ถ้าเป็นจริง โดยทั่วไปแล้วโพลีโทปนูน ทุกอัน ก็สามารถแบ่งออกเป็นออร์โธสคีมได้เช่นกัน

ในบริบทนี้ ซิมเพล็กซ์ใน${\displaystyle d}$ปริภูมิยูคลิดมิติ - คือส่วนนูนของ${\displaystyle d+1}$จุดต่างๆ ที่ไม่ได้อยู่บนระนาบ เดียวกันทั้งหมด ตัวอย่างเช่น ซิมเพล็กซ์ 2 มิติ คือรูปสามเหลี่ยม (ส่วนนูนที่เกิดจากจุดสามจุดบนระนาบ) และซิมเพล็กซ์ 3 มิติ คือทรงสี่เหลี่ยมหน้าจั่ว (ส่วนนูนที่เกิดจากจุดสี่จุดในปริภูมิสามมิติ) จุดที่ประกอบกันเป็นซิ ม เพล็กซ์ ในลักษณะนี้เรียกว่าจุดยอดของซิมเพล็กซ์นั้น

ออร์โธสคีม หรือที่เรียกว่าซิมเพล็กซ์เส้นทาง เป็นซิมเพล็กซ์ชนิดพิเศษ ในออร์โธสคีมนี้ จุดยอดสามารถเชื่อมต่อกันด้วยเส้นทางโดยที่ขอบสองขอบใดๆ ในเส้นทางนั้นจะต้องตั้งฉากกัน ออร์โธสคีมสองมิติคือรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ส่วนออร์โธสคีมสามมิติสามารถสร้างได้จากลูกบาศก์โดยการหาเส้นทางของขอบสามด้านของลูกบาศก์ที่ไม่วางอยู่บนหน้าสี่เหลี่ยมจัตุรัสเดียวกันทั้งหมด และสร้างส่วนนูนของจุดยอดทั้งสี่บนเส้นทางนั้น

การวิเคราะห์รูปทรง${\displaystyle S}$(ซึ่งอาจเป็นเซตปิด ใดๆ ในปริภูมิยุคลิด) คือการแทนของ${\displaystyle S}$เป็นการรวมกันของรูปทรงอื่นๆ ที่ส่วนภายในไม่ทับซ้อนกันกล่าวคือ โดยสัญชาตญาณแล้ว รูปทรงในการรวมกันจะไม่ทับซ้อนกัน แม้ว่าอาจจะมีจุดร่วมกันบนขอบเขตก็ตาม ตัวอย่างเช่นลูกบาศก์สามารถแบ่งออกเป็น 6 ออร์โธสคีมาสามมิติ ผลลัพธ์ที่คล้ายกันนี้สามารถนำไปใช้ได้โดยทั่วไป: ทุกไฮเปอร์คิวบ์หรือไฮเปอร์เรคแทงเกิลใน${\displaystyle d}$มิติสามารถแบ่งย่อยได้เป็น${\displaystyle d!}$แผนภาพออร์โธสเคม

ข้อสันนิษฐานของ Hadwiger คือมีฟังก์ชันอยู่${\displaystyle f}$โดยที่ทุกๆ${\displaystyle d}$ซิมเพล็กซ์มิติ - สามารถแยกย่อยได้มากที่สุดเป็น${\displaystyle f(d)}$ออร์โธสคีมส์ ฮาดวิเกอร์ตั้งปัญหานี้ขึ้นในปี พ.ศ. 2499 ^{[ 2 ]}โดยทั่วไปปัญหานี้ยังคงไม่ได้รับการแก้ไข แม้ว่าในกรณีพิเศษสำหรับค่าเล็กๆ ของ${\displaystyle d}$เป็นที่ทราบกันดี^{[ 1 ]}

ในสองมิติ สามเหลี่ยมทุกรูปสามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากได้มากที่สุดสองรูป โดยการลากเส้นความสูงจากมุมที่กว้างที่สุดไปยังขอบที่ยาวที่สุด^{[ 2 ]}

ในสามมิติ รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าบางรูปสามารถแบ่งออกได้ในลักษณะเดียวกัน โดยการลากเส้นความสูงตั้งฉากจากจุดยอด${\displaystyle v}$ในระดับหนึ่ง${\displaystyle p}$ในด้านตรงข้ามที่เชื่อมต่อกัน${\displaystyle p}$ตั้งฉากกับด้านข้างของใบหน้า และใช้เส้นทางตั้งฉากสามขอบผ่าน${\displaystyle v}$และ${\displaystyle p}$ไปยังด้านข้างแล้วไปยังจุดยอดของหน้า^{[ 2 ]}อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ไม่ได้ผลเสมอไป โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าบางทรงที่ไม่มีจุดยอดใดมีความสูงที่มีฐานอยู่ภายในหน้าตรงข้ามLenhard (1960)ได้พิสูจน์โดยใช้การสร้างที่ซับซ้อนกว่าว่าทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าทุกทรงสามารถแบ่งออกเป็นออร์โธสคีมได้มากที่สุด 12 ออร์โธสคีม^{[ 3 ]} Böhm (1980)ได้พิสูจน์ว่านี่คือค่าที่เหมาะสมที่สุด: มีทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่ไม่สามารถแบ่งออกเป็นออร์โธสคีมได้น้อยกว่า 12 ออร์โธสคีม^{[ 4 ]}ในเอกสารเดียวกัน Böhm ยังได้ขยายผลลัพธ์ของ Lenhard ไปสู่เรขาคณิตทรงกลม สามมิติและ เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกสามมิติด้วย

ในสี่มิติ จำเป็นต้องใช้ออร์โธสคีมอย่างมากที่สุด 500 แบบ^{[ 5 ]}ในห้ามิติ จำเป็นต้องใช้ออร์โธสคีมจำนวนจำกัดอีกครั้ง โดยประมาณจำกัดไว้ที่อย่างมากที่สุด 12.5 ล้านแบบ ทั้งนี้ใช้ได้กับเรขาคณิตทรงกลมและเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก เช่นเดียวกับเรขาคณิตยุคลิด^{[ 6 ]}

ข้อสันนิษฐานของ Hadwiger ยังไม่ได้รับการพิสูจน์สำหรับมิติทั้งหมดที่มากกว่าห้า^{[ 1 ]}

โพลีโทปนูนทุกอันสามารถแบ่งออกเป็นซิมเพล็กซ์ได้ ดังนั้น หากสมมติฐานของ Hadwiger เป็นจริง โพลีโทปนูนทุกอันก็จะสามารถแบ่งออกเป็นออร์โธสคีมได้เช่นกัน^{[ 6 ]}

ผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องอีกประการหนึ่งคือ แผนภาพออร์โธสคีมาทุกอันสามารถแยกย่อยออกเป็น...ได้${\displaystyle d}$หรือ${\displaystyle d+1}$ออร์โธสคีมที่เล็กกว่า^{[ 7 ] [ 8 ]}ดังนั้น สำหรับซิมเพล็กซ์ที่สามารถแบ่งย่อยเป็นออร์โธสคีมได้ การแบ่งส่วนของซิมเพล็กซ์เหล่านั้นสามารถมีจำนวนออร์โธสคีมมากเท่าใดก็ได้