เทสเซอแร็กต์8 เซลล์(4 ลูกบาศก์)
พิมพ์	โพลีโทป 4 มิติปกติแบบนูน
สัญลักษณ์ Schläfli	{4,3,3} t 0,3 {4,3,2} หรือ {4,3}×{ } t 0,2 {4,2,4} หรือ {4}×{4} t 0,2,3 {4,2,2} หรือ {4}×{ }×{ } t 0,1,2,3 {2,2,2} หรือ { }×{ }×{ }×{ }
แผนภาพค็อกซ์เตอร์
เซลล์	8 {4,3}
ใบหน้า	24 {4}
ขอบ	32
จุดยอด	16
รูปจุดยอด	จัตุรมุข
รูปหลายเหลี่ยมเพทรี	แปดเหลี่ยม
กลุ่มค็อกซ์เตอร์	B 4 , [3,3,4]
สองชั้น	16 เซลล์
คุณสมบัติ	นูน , isogonal , isotoxal , isohedral , Hanner polytope
ดัชนีสม่ำเสมอ	10

ในทางเรขาคณิตเทสเซอแร็กต์หรือลูกบาศก์ 4 มิติคือไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ ซึ่งคล้ายคลึงกับ สี่เหลี่ยมจัตุรัสสองมิติ และ ลูกบาศก์สามมิติ[ ^{1 ] เช่น}เดียวกับที่เส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมจัตุรัสประกอบด้วยขอบสี่ด้านและพื้นผิวของลูกบาศก์ประกอบด้วยหน้า สี่เหลี่ยมจัตุรัสหกหน้า ไฮเปอร์เซอร์เฟซของเทสเซอแร็กต์ประกอบด้วยเซลล์ ลูกบาศก์แปดเซลล์ ที่มาบรรจบกันเป็นมุมฉากเทสเซอแร็กต์เป็นหนึ่งในโพลีโทป 4 มิติปกติแบบนูนหก แบบ

เทสเซอแร็กต์เรียกอีกอย่างว่าเซลล์8 เซลล์C ₈ออกตาโครอน (ปกติ) หรือปริซึมลูกบาศก์ เป็น โพลีโทปวัดสี่มิติซึ่งถือเป็นหน่วยสำหรับปริมาตรไฮเปอร์^{[ 2 ]}ฮาโรลด์ สก็อตต์ แมคโดนัลด์ ค็อกซ์เตอร์เรียกมันว่าโพลีโทปγ ₄ ^{[ 3 ]}คำว่าไฮเปอร์คิวบ์ที่ไม่มีการอ้างอิงมิติ มักถูกใช้เป็นคำพ้องความหมายสำหรับโพลีโทปเฉพาะ นี้

การสร้างเทสเซอแร็กต์สามารถมองเห็นภาพได้โดยใช้การเปรียบเทียบกับมิติในขั้นตอนต่อไปนี้:

1. เราสามารถลากเส้นตรงสองเส้นที่มีความยาวเท่ากันมาต่อกันได้
2. ถ้าลากเส้นตรงอีกเส้นหนึ่งที่มีความยาวเท่ากันในทิศทางตั้งฉากกับเส้นตรงนั้น เส้นตรงนั้นจะกวาดออกไปและก่อตัวเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (ลูกบาศก์ 2 มิติ) ผลลัพธ์จะมีจุดสี่จุดและเส้นตรงสี่เส้น ซึ่งเรียกว่าจุดยอดและขอบตามลำดับ
3. การเคลื่อนสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวเท่ากันไปในทิศทางตั้งฉากกับระนาบที่มันวางอยู่ จะสร้างลูกบาศก์ (ลูกบาศก์ 3 มิติ) ขึ้นมา ผลลัพธ์ที่ได้จะมีจุดยอดแปดจุด ขอบสิบสองเส้น และสี่เหลี่ยมจัตุรัสหกช่อง สี่เหลี่ยมจัตุรัสเหล่านี้เรียกว่าหน้าของลูกบาศก์
4. การเคลื่อนย้ายลูกบาศก์ที่มีความยาวเท่าเดิมกลับเข้าไปในพื้นที่สี่มิติ จะสร้างเทสเซอแร็กต์ (ลูกบาศก์ 4 มิติ) ขึ้นมา

เทสเซอแร็กต์ถูกล้อมรอบด้วยลูกบาศก์แปดลูก ( เซลล์ ของมัน ) ลูกบาศก์แต่ละลูกใช้หน้าร่วมกันกับลูกบาศก์อีกลูกหนึ่ง ลูกบาศก์สามลูกและสี่เหลี่ยมจัตุรัสสามรูปมาบรรจบกันที่ขอบแต่ละด้าน ลูกบาศก์สี่ลูก สี่เหลี่ยมจัตุรัสหกรูป และขอบสี่เส้นมาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด โดยรวมแล้ว เทสเซอแร็กต์ประกอบด้วยลูกบาศก์แปดลูก สี่เหลี่ยมจัตุรัสยี่สิบสี่รูป ขอบสามสิบสองเส้น และจุดยอดสิบหกจุด เทสเซอแร็กต์ เช่นเดียวกับทั้งสี่เหลี่ยมจัตุรัสและลูกบาศก์ เป็นสมาชิกของตระกูลไฮเปอร์คิวบ์^{[ 4 ]}

ภาพเคลื่อนไหวแสดงการเปลี่ยนแปลงมิติ

กากบาทดาลีเป็นหนึ่งในโครงข่ายเทสเซอแร็กต์ 261 แบบ ซึ่งคลี่ออกเป็นลูกบาศก์แปดลูกในพื้นที่สามมิติ

การคลี่รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าเน็ตมีเน็ตที่แตกต่างกัน 261 แบบของเทสเซอแร็กต์^{[ 5 ]}ซึ่งแต่ละแบบสามารถปูพื้นที่ 3 มิติได้^{[ 6 ]} การคลี่เทสเซอแร็กต์สามารถนับได้โดยการแมปเน็ตไปยังต้นไม้คู่ ( ต้นไม้ หนึ่งต้น รวมกับการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบในส่วนเติมเต็ม ) หนึ่งในการคลี่เหล่านี้คือกากบาทดาลีซึ่งตั้งชื่อตาม ซัลวาด อร์ ดาลี ศิลปินเซอร์เรียลลิสต์ชาวสเปน ผู้ซึ่งภาพวาด Corpus Hypercubusในปี 1954 ของเขาได้แสดงให้เห็นถึงสิ่งนี้ มันประกอบด้วยลูกบาศก์แปดลูก ลูกบาศก์สี่ลูกเรียงซ้อนกันในแนวตั้ง และอีกสี่ลูกติดอยู่กับลูกที่สองจากด้านบนของสี่ลูกแรก^{[ 7 ] [ 8 ]}

นอกจากผลงาน Corpus Hypercubus ของซัลวาดอร์ ดาลีในปี 1954 แล้ว เทสเซอแร็กต์ยังเป็นธีมยอดนิยมในงานศิลปะอื่นๆ ตัวอย่างที่โดดเด่น ได้แก่:

• " And He Built a Crooked House " เรื่องสั้นแนววิทยาศาสตร์ของ Robert Heinleinในปี 1940 นำเสนออาคารที่มีรูปร่างเป็นเทสเซอแร็กต์ที่คลี่ออกและพับตัวเป็นรูปทรงสี่มิติเมื่อเกิดแผ่นดินไหว เรื่องนี้และ "The No-Sided Professor" ของ Martin Gardnerที่ตีพิมพ์ในปี 1946 เป็นหนึ่งในนิยายวิทยาศาสตร์เรื่องแรกๆ ที่แนะนำผู้อ่านให้รู้จักกับแถบโมเบียสขวดไคลน์และเทสเซอแร็กต์^{[ 9 ]}
• Grande Archeเป็นอนุสาวรีย์และอาคารที่อยู่ใกล้กรุงปารีส ประเทศฝรั่งเศส สร้างเสร็จในปี 1989 ตามคำกล่าวของวิศวกรของอนุสาวรีย์Erik Reitzelนั้น Grande Arche ได้รับการออกแบบให้มีลักษณะคล้ายกับการฉายภาพของเทสเซอแร็กต์^{[ 10 ]}
• Fezเป็นวิดีโอเกมที่ผู้เล่นจะรับบทเป็นตัวละครที่สามารถมองเห็นได้ไกลกว่าสองมิติที่ตัวละครอื่นมองเห็น และต้องใช้ความสามารถนี้ในการแก้ปริศนาแพลตฟอร์ม มี "Dot" ซึ่งเป็นเทสเซอแร็กต์ที่ช่วยผู้เล่นนำทางในโลกและบอกวิธีใช้ความสามารถต่างๆ ซึ่งสอดคล้องกับธีมของการมองเห็นสิ่งที่อยู่เหนือการรับรู้ของมนุษย์ในมิติที่รู้จัก ^{[ 11 ]}

ค้นหาคำว่า tesseractใน Wiktionary ซึ่งเป็นพจนานุกรมออนไลน์ฟรี

พจนานุกรมภาษาอังกฤษของอ็อกซ์ฟอร์ดสืบย้อนที่มาของคำว่าtesseractไปยัง หนังสือ A New Era of ThoughtของCharles Howard Hinton ในปี 1888 Hinton เดิมทีสะกดคำนี้ว่าtessaract [ ^{12 ] ก่อน}จะเปลี่ยนเป็นtesseractในหนังสือThe Fourth Dimension ของเขาในปี 1904 คำนี้มาจากภาษากรีกโบราณtéssara ( τέσσαρα "สี่") และaktís ( ἀκτίς 'รังสี') ซึ่งหมายถึงขอบทั้งสี่จากจุดยอดแต่ละจุดไปยังจุดยอดอื่นๆ^{[ 1 ]}คำว่า "tesseract" ได้ถูกนำไปใช้ในวัฒนธรรมสมัยนิยมในหลายแง่มุม รวมถึงใช้เป็นอุปกรณ์ในพล็อตเรื่องในนิยายวิทยาศาสตร์ ซึ่งมักจะไม่มีความเกี่ยวข้องกับไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติเลย^{[ 13 ]}

เซลล์ทั้งแปดของเทสเซอแร็กต์อาจถูกพิจารณาได้สามวิธีที่แตกต่างกัน เช่น วงแหวนสองวงที่เกี่ยวกันของลูกบาศก์สี่ลูก^{[ 14 ]}ในฐานะโพลีโทปปกติที่มีลูกบาศก์สามลูกพับเข้าด้วยกันรอบขอบทุกด้าน จะมีสัญลักษณ์ Schläfli {4,3,3} ที่มีสมมาตรไฮเปอร์ออกตาเฮดรัลลำดับที่ 384 เมื่อสร้างเป็นไฮเปอร์ปริซึม 4 มิติ ที่ทำจากลูกบาศก์ขนานสองลูก จะสามารถตั้งชื่อเป็นสัญลักษณ์ Schläfli แบบผสม {4,3} × { } โดยมีสมมาตรลำดับที่ 96 ในฐานะดูโอปริซึม 4-4 ซึ่งเป็นผลคูณคาร์ทีเซียน ของ สี่เหลี่ยมจัตุรัสสอง รูป จะสามารถตั้งชื่อเป็นสัญลักษณ์ Schläfli แบบผสม {4}×{4} โดยมีสมมาตรลำดับที่ 64 ในฐานะออร์โธโทปจะสามารถแสดงด้วยสัญลักษณ์ Schläfli แบบผสม { } × { } × { } × { } หรือ { } ⁴โดยมีสมมาตรลำดับที่ 16

เนื่องจากจุดยอดแต่ละจุดของเทสเซอแร็กต์อยู่ติดกับขอบทั้งสี่ด้านรูปทรงจุดยอดของเทสเซอแร็กต์จึงเป็นทรงสี่เหลี่ยมด้าน เท่าปกติ โพ ลี โทปคู่ของเทสเซอแร็กต์ คือ เซลล์ 16 จุดที่มีสัญลักษณ์ Schläfli คือ {3,3,4} เทสเซอแร็กต์ที่มี 16 จุดยอดเป็นขอบนูนของรูปทรงประกอบของเซลล์ 16 จุดสองรูป โดยแต่ละรูปมี 8 จุดยอด ในลักษณะที่คล้ายคลึงกันในเชิงมิติกับลูกบาศก์ที่มี 8 จุดยอด ซึ่งเป็นขอบนูนของรูปทรงประกอบของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติสองรูป โดยแต่ละรูปมี 4 จุดยอด

ขอบแต่ละด้านของเทสเซอแร็กต์ปกติมีความยาวเท่ากัน สิ่งนี้มีความน่าสนใจเมื่อใช้เทสเซอแร็กต์เป็นพื้นฐานสำหรับโครงสร้างเครือข่ายเพื่อเชื่อมโยงโปรเซสเซอร์หลายตัวในการประมวลผลแบบขนาน : ระยะห่างระหว่างสองโหนดมีค่าสูงสุด 4 และมีเส้นทางที่แตกต่างกันมากมายเพื่อช่วยในการปรับสมดุลน้ำหนัก

เทสเซอแร็กต์สามารถแยกย่อยออกเป็นโพลีโทป 4 มิติขนาดเล็กกว่าได้ มันคือส่วนนูนของสารประกอบของเดมิเทสเซอแร็กต์ สองอัน ( 16 เซลล์ ) นอกจากนี้ยังสามารถ แบ่งเป็น รูปสามเหลี่ยมได้ เป็น ซิมเพล็กซ์ 4 มิติ( 5 เซลล์ที่ไม่สม่ำเสมอ ) ที่มีจุดยอดร่วมกับเทสเซอแร็กต์ เป็นที่ทราบกันว่ามี92 487 256การแบ่งสามเหลี่ยมดังกล่าว^{[ 15 ]}และซิมเพล็กซ์ 4 มิติที่น้อยที่สุดในนั้นก็คือ 16 ^{[ 16 ]}

การแยกเทสเซอแร็กต์ออกเป็นตัวอย่างของซิมเพล็กซ์ลักษณะเฉพาะ ( ออร์โธสคีม เฉพาะ ที่มีแผนภาพค็อกเซเตอร์)( ) คือการสร้างเทสเซอแร็กต์โดยตรงขั้นพื้นฐานที่สุดที่เป็นไปได้เซลล์ 5 เซลล์ลักษณะเฉพาะของลูกบาศก์ 4 มิติเป็นบริเวณพื้นฐานของกลุ่มสมมาตร ที่กำหนดเทสเซอแร็กต์ ซึ่งเป็นกลุ่มที่สร้างโพลีโทปB ₄ซิมเพล็กซ์ลักษณะเฉพาะของเทสเซอแร็กต์สร้างเทสเซอแร็กต์โดยตรงผ่านการกระทำของกลุ่ม โดยการสะท้อนตัวเองในระนาบขอบเขตของมันเอง ( ผนังกระจก )

เทสเซอแร็กต์หน่วยมีด้านยาว1และโดยทั่วไปถือเป็นหน่วยพื้นฐานสำหรับปริมาตรหลายมิติในปริภูมิ 4 มิติ เทสเซอแร็กต์ หน่วยในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสำหรับปริภูมิ 4 มิติมีจุดยอดตรงข้ามสองจุดที่พิกัด[0, 0, 0, 0]และ[1, 1, 1, 1]และจุดยอดอื่นๆ ที่มีพิกัดอยู่ในทุกๆ การรวมกันที่เป็นไปได้ของ0และ1มันคือผลคูณคาร์ทีเซียนของช่วงหน่วย ปิด [0, 1]ในแต่ละแกน

บางครั้งเทสเซอแร็กต์หน่วยจะถูกวางจุดศูนย์กลางไว้ที่จุดกำเนิด เพื่อให้พิกัดของมันมีความสมมาตรมากขึ้นนี่คือผลคูณคาร์ทีเซียนของช่วงปิดในแต่ละแกน ${\displaystyle {\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{2}}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}.}$${\displaystyle {\bigl [}{-{\tfrac {1}{2}}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr ]}}$

เทสเซอแร็กต์ที่สะดวกอีกแบบหนึ่งคือผลคูณคาร์ทีเซียนของช่วงปิดในแต่ละแกน โดยมีจุดยอดอยู่ที่พิกัดเทสเซอแร็กต์นี้มีความยาวด้าน 2 และปริมาตรไฮเปอร์^{[ 17 ]}${\displaystyle [-1,1]}$${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)}$${\displaystyle 2^{4}=16}$

รัศมีของไฮเปอร์สเฟียร์ที่ล้อมรอบโพลีโทปปกติ คือระยะทางจากจุดศูนย์กลางของโพลีโทปไปยังจุดยอดจุดใดจุดหนึ่ง และสำหรับเทสเซอแร็กต์ รัศมีนี้จะเท่ากับความยาวด้านของมัน เส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกลม ซึ่งเป็นความยาวของเส้นทแยงมุมระหว่างจุดยอดตรงข้ามของเทสเซอแร็กต์ จะเป็นสองเท่าของความยาวด้านโพลีโทป สม่ำเสมอเพียงไม่กี่ชนิดเท่านั้น ที่มีคุณสมบัตินี้ รวมถึงเทสเซอแร็กต์และ24-เซลล์ สี่มิติ คิวบอกตาเฮดรอนสามมิติและหกเหลี่ยม สองมิติ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เทสเซอแร็กต์เป็นไฮเปอร์คิวบ์เพียงชนิดเดียว (นอกเหนือจากจุดศูนย์มิติ) ที่เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าตามแนวรัศมี เส้นทแยงมุมที่ยาวที่สุดจากจุดยอดถึงจุดยอดของไฮเปอร์คิวบ์มิติ n ที่มีความยาวด้านหนึ่งหน่วย คือซึ่งสำหรับสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือสำหรับลูกบาศก์คือและสำหรับเทสเซอแร็กต์เท่านั้นที่มีความยาวด้าน เท่ากับ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\sqrt {n{\vphantom {t}}}},}$${\displaystyle {\sqrt {2}},}$${\displaystyle {\sqrt {3}},}$${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$

เทสเซอแร็กต์ที่วางตัวตามแนวแกนซึ่งบรรจุอยู่ในทรงกลม 3 มิติรัศมีหนึ่งหน่วย มีจุดยอดที่มีพิกัดดังนี้${\displaystyle {\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{2}}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}.}$

สำหรับเทสเซอแร็กต์ที่มีด้านยาวs :

• ไฮเปอร์โวลูม (4 มิติ):${\displaystyle H=s^{4}}$
• พื้นผิว "ปริมาตร" (3 มิติ):${\displaystyle SV=8s^{3}}$
• หน้าเฉียง :${\displaystyle d_{\mathrm {2} }={\sqrt {2}}s}$
• เส้นทแยงมุมของเซลล์ :${\displaystyle d_{\mathrm {3} }={\sqrt {3}}s}$
• เส้นทแยงมุม 4 ช่อง:${\displaystyle d_{\คณิตศาสตร์ {4} }=2s}$

เทสเซอแร็กต์สามารถแสดงได้ด้วยเมทริกซ์การกำหนดค่าโดยที่แถวและคอลัมน์สอดคล้องกับจุดยอด ขอบ หน้า และเซลล์ ตัวเลขในแนวทแยงแสดงจำนวนของแต่ละองค์ประกอบที่ปรากฏในเทสเซอแร็กต์ทั้งหมด ซึ่งลดลงเหลือเวกเตอร์ fตัวเลขที่ไม่ใช่แนวทแยงแสดงจำนวนองค์ประกอบของคอลัมน์ที่ปรากฏในหรือที่องค์ประกอบของแถวนั้น ตัวอย่างเช่น เลข 2 ในคอลัมน์แรกของแถวที่สองแสดงว่ามีจุดยอดสองจุดใน (เช่น ที่ปลายสุดของ) แต่ละขอบ เลข 4 ในคอลัมน์ที่สองของแถวแรกแสดงว่ามีขอบสี่ขอบมาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอด แถวล่างสุดกำหนดหน้าตัด ซึ่งในที่นี้คือลูกบาศก์ มีเวกเตอร์ f แถวถัดไปทางซ้ายของแนวทแยงคือองค์ประกอบสัน (หน้าตัดของลูกบาศก์) ซึ่งในที่นี้คือสี่เหลี่ยมจัตุรัสแถวบนสุดคือเวกเตอร์ f ของรูปจุดยอดซึ่งในที่นี้คือทรงสี่หน้า แถวถัดไปคือสันของรูปจุดยอด ซึ่งในที่นี้ ^คือสามเหลี่ยม[ ^{18 ]}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}16&4&6&4\\2&32&3&3\\4&4&24&2\\8&12&6&8\end{matrix}}\end{bmatrix}}.}$$${\displaystyle (16,32,24,8)}$${\displaystyle (8,12,6)}$${\displaystyle (4,4)}$${\displaystyle (4,6,4)}$${\displaystyle (3,3)}$

สามารถฉายภาพเทสเซอแร็กต์ลงในพื้นที่สามมิติและสองมิติได้ เช่นเดียวกับการฉายภาพลูกบาศก์ลงในพื้นที่สองมิติ

การฉายภาพแบบขนานโดย เริ่มจาก เซลล์ก่อนของเทสเซอแร็กต์ลงในพื้นที่สามมิติจะมี รูปร่างเป็นทรง ลูกบาศก์เซลล์ที่อยู่ใกล้ที่สุดและไกลที่สุดจะถูกฉายลงบนลูกบาศก์ และเซลล์ที่เหลืออีกหกเซลล์จะถูกฉายลงบนหน้าสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหกของลูกบาศก์

การฉายภาพแบบขนานโดย หันหน้าเข้าหาพื้นผิวของเทสเซอแร็กต์ลงในพื้นที่สามมิติจะมี รูปทรงเป็นทรง ลูกบาศก์เซลล์สองคู่จะฉายภาพไปยังครึ่งบนและครึ่งล่างของรูปทรงนี้ และเซลล์ที่เหลืออีกสี่เซลล์จะฉายภาพไปยังด้านข้างของรูปทรง

การฉายภาพแบบขนานโดยเริ่มจาก ขอบก่อนของเทสเซอแร็กต์ลงในพื้นที่สามมิติจะมีรูปร่างเป็นปริซึมหกเหลี่ยมเซลล์หกเซลล์จะฉายภาพลงบนปริซึมรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ซึ่งวางเรียงอยู่ในปริซึมหกเหลี่ยมในลักษณะที่คล้ายคลึงกับวิธีที่หน้าของลูกบาศก์สามมิติฉายภาพลงบนรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหกรูปในกรอบหกเหลี่ยมภายใต้การฉายภาพแบบเริ่มจากจุดยอดก่อน เซลล์ที่เหลืออีกสองเซลล์จะฉายภาพลงบนฐานของปริซึม

การฉายภาพแบบขนานโดยเริ่มจาก จุดยอดก่อนของเทสเซอแร็กต์ลงในพื้นที่สามมิติจะมี รูปทรง สิบสองเหลี่ยมขนมเปียกปูนห่อ หุ้ม อยู่ จุดยอดสองจุดของเทสเซอแร็กต์ถูกฉายไปยังจุดกำเนิด มีวิธีการแบ่งรูปทรงสิบสองเหลี่ยมขนมเปียกปูนออกเป็นรูปทรงสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ที่เท่ากันสี่รูปได้สองวิธี พอดี ทำให้ได้รูปทรงสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนทั้งหมดแปดรูป ซึ่งแต่ละรูปเป็นลูกบาศก์ ที่ฉายลง บนเทสเซอแร็กต์ การฉายภาพนี้ยังเป็นการฉายภาพที่มีปริมาตรสูงสุดด้วย ชุดเวกเตอร์การฉายภาพชุดหนึ่งคือu = (1,1,−1,−1) , v = (−1,1,−1,1) , w = (1,−1,−1,1 )

การฉายภาพแบบออร์โธกราฟิก

เครื่องบินค็อกซ์เตอร์	บี4	B 4 --> A 3	เอ3
กราฟ
สมมาตรไดเฮดรัล	[8]	[4]	[4]
เครื่องบินค็อกซ์เตอร์	อื่น	บี3 / ดี4 / เอ2	บี2 / ดี3
กราฟ
สมมาตรไดเฮดรัล	[2]	[6]	[4]

การฉาย ภาพแบบออร์โธกราฟิก ระนาบค็อกซ์เตอร์ กราฟ B ₄โดยมีเส้นประแสดงเป็นเส้นประ และเทสเซอแร็กต์โดยไม่มีเส้นประ

ภาพฉายสามมิติของเทสเซอแร็กต์ที่หมุนรอบระนาบในพื้นที่สี่มิติ ระนาบนี้แบ่งครึ่งรูปทรงจากด้านหน้าซ้ายไปด้านหลังขวา และจากบนลงล่าง

ภาพฉายสามมิติของเทสเซอแร็กต์ที่หมุน สองรอบรอบระนาบ ตั้งฉากสองระนาบในปริภูมิสี่มิติ

ภาพสามมิติแบบตัดส่วนที่ซ่อนอยู่มุมสีแดงอยู่ใกล้ที่สุดในแบบ 4 มิติและมีเซลล์ทรงลูกบาศก์ 4 เซลล์มาบรรจบกันรอบๆ

ทรงสี่เหลี่ยมพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมด้านเท่าเป็นส่วนนูนที่ครอบส่วนฉายตรงกลางของเทสเซอแร็กต์ที่อยู่ตรงจุดยอด แสดงเซลล์ลูกบาศก์ 4 ใน 8 เซลล์ จุดยอดที่ 16 ถูกฉายไปยังอนันต์และขอบทั้งสี่ที่เชื่อมไปยังจุดยอดนั้นไม่ได้แสดงไว้

การฉายภาพสามมิติ (ขอบต่างๆ ถูกฉายลงบนทรงกลม 3 มิติ )

การฉายภาพสามมิติแบบ สเตอริโอสโคปิกของเทสเซอแร็กต์ (มุมมองแบบขนาน)

ไฮเปอร์คิวบ์ 3 มิติแบบ สเตอริโอสโคปิกที่ปลดอาวุธแล้ว

เทสเซอแร็กต์ เช่นเดียวกับไฮเปอร์คิวบ์ทั้งหมดจะปูพื้นผิวของพื้นที่ยูคลิด รังผึ้ง เทสเซอแร็กต์แบบคู่ตัวเองซึ่งประกอบด้วยเทสเซอแร็กต์ 4 อันรอบแต่ละหน้าจะมีสัญลักษณ์Schläfli {4,3,3,4}ดังนั้น เทสเซอแร็กต์จึงมีมุมไดเฮดรัล 90° ^{[ 19 ]}

สมมาตรด้านเท่าแบบรัศมีของเทสเซอแร็กต์ทำให้การเรียงตัวของมันเป็นโครงตาข่ายลูกบาศก์ศูนย์กลางตัวแบบปกติที่ไม่เหมือนใครซึ่งประกอบด้วยทรงกลมขนาดเท่ากันในจำนวนมิติใดๆ ก็ตาม

เทสเซอแร็กต์ปกติ พร้อมกับเซลล์ 16 เซลล์มีอยู่ในชุดของโพลีโทป 4 มิติแบบสม่ำเสมอ 15 ชุดที่มีสมมาตรเดียวกันเทสเซอแร็กต์ {4,3,3} มีอยู่ในลำดับของโพลีโทป 4 มิติปกติและรังผึ้ง { p ,3,3} ที่มีรูปทรงจุดยอดเป็นทรงสี่เหลี่ยมด้าน เท่า {3,3} เทสเซอแร็กต์ยังอยู่ในลำดับของโพลีโทป 4 มิติปกติและรังผึ้ง {4,3, p } ที่มีเซลล์ทรงลูกบาศก์ด้วย

ตั้งฉาก	ทัศนคติ
4 {4} 2โดยมีจุดยอด 16 จุดและขอบ 4 ด้าน 8 เส้น โดยขอบ 4 ด้านทั้ง 8 เส้นแสดงด้วยสี่เหลี่ยมสีแดง 4 อันและสี่เหลี่ยมสีน้ำเงิน 4 อัน

โพลีโทปเชิงซ้อนปกติ₄ {4} ₂ ,โดยมีการแสดงแทนที่แท้จริงเป็นเทสเซอแร็กต์หรือปริซึมคู่ 4-4 ในปริภูมิ 4 มิติ₄ {4} ₂มีจุดยอด 16 จุด และขอบ 4 ด้าน 8 เส้น สมมาตรของมันคือ₄ [4] ₂ลำดับที่ 32 นอกจากนี้ยังมีโครงสร้างสมมาตรที่ต่ำกว่าด้วย${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$หรือ₄ {}× ₄ {}, ที่มีสมมาตร₄ [2] ₄ลำดับ 16 นี่คือสมมาตรหากขอบ 4 สีแดงและสีน้ำเงินถือว่าแตกต่างกัน^{[ 20 ]}

• คอนเวย์, จอห์น เอช. ; เบอร์เกียล, ไฮดี; กู๊ดแมน-สเตราส์, ไชอิม (2008). "26. ครึ่งลูกบาศก์: 1 _n1 ". สมมาตรของสิ่งต่างๆหน้า 409. ISBN 978-1-56881-220-5.
• (กระดาษ 22) Coxeter, HSM, Regular และ Semi-Regular Polytopes I , Mathematische Zeitschrift 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
• Coxeter, HSM (1970). "รังผึ้งบิดเกลียว". การประชุมวิชาการระดับภูมิภาคของคณะกรรมการวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ครั้งที่ 4พรอวิเดนซ์ รัฐโรดไอส์แลนด์: สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน
• (เอกสาร 23) Coxeter, HSM, โพลีโทปปกติและกึ่งปกติ II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
• (เอกสาร 24) Coxeter, HSM, โพลีโทปปกติและกึ่งปกติ III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• Gosset, Thorold (1900). "เกี่ยวกับรูปทรงปกติและกึ่งปกติในปริภูมิ n มิติ" Messenger of Mathematics . Macmillan.
• จอห์นสัน, นอร์แมน ดับเบิลยู. (1966). ทฤษฎีของรูปทรงหลายเหลี่ยมและรังผึ้งที่เป็นเอกรูป (ปริญญาเอก).
• จอห์นสัน, นอร์แมน ดับเบิลยู. (1991). โพลีโทปสม่ำเสมอ (ต้นฉบับ).
• ชเลเกล, วิคเตอร์ (1886) "การฉายภาพ-Modelle der sechs regelmässigen vier-มิติen Körper und des vier-มิติen vierseitigen Prismas" เขียนที่ฮาเกนในเวสต์ฟาเลน ในชิลลิง, มาร์ติน (เอ็ด.) Catalog mathematischer Modelle für den höheren mathematischen Unterricht (ภาษาเยอรมัน) (ฉบับแก้ไข 6 ครั้ง) ฮัลเลอ อัน เดอร์ ซาเลอ (ตีพิมพ์ พ.ศ. 2446) หน้า  31– 34. โอซีแอลซี 609855972 . สืบค้นเมื่อ 14 กุมภาพันธ์ 2569 - จาก Internet Archive
• ชเลเกิล, วิคเตอร์ (พฤษภาคม 1886) เขียนที่ วาเรน. Knoblauch, CH (เอ็ด.) "Ueber Entwickelung และ Stand der n- dimensionsen Geometrie, mit besonderer Berücksichtigung der vier Dimensionen" . เลโอโปลดินา (ภาษาเยอรมัน) 22 ( 9–10 ) Halle an der Saale [เดรสเดน]: [E. โบลช มันน์ แอนด์ โซห์น]: 92– 96, 108– 110, 133– 135, 149– 152, 160– 163. OCLC  9670930 สืบค้นเมื่อ 14 กุมภาพันธ์ 2569 - จาก Internet Archive
• เชิร์ก, เอฟ. อาร์เธอร์; แมคมัลเลน, ปีเตอร์; ทอมป์สัน, แอนโทนี ซี.; ไวส์, เอเชีย อิวิช (1995). กล้องคาไลโดสโคป: งานเขียนคัดสรรของ เอชเอสเอ็ม ค็อกซ์เตอร์ . นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์ไวลีย์-อินเตอร์ไซแอนซ์. ISBN 0-471-01003-0สืบค้นข้อมูลเมื่อวันที่ 14 กุมภาพันธ์ 2026ผ่านทาง Google Books

• Klitzing, Richard. "รูปทรงหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอ 4 มิติ (polychora) x4o3o3o - tes" .
• หน้าเว็บของ Ken Perlinวิธีการแสดงภาพไฮเปอร์คิวบ์ โดยKen Perlin
• สารคดี "บันทึกบางส่วนเกี่ยวกับมิติที่สี่" โดย ดาวิเด พี. เซอร์โวนประกอบด้วยบทเรียนแบบแอนิเมชั่นเกี่ยวกับแง่มุมต่างๆ ของเทสเซอแร็กต์
• แอนิเมชั่นเทสเซอแร็กต์พร้อมการกำจัดปริมาตรที่ซ่อนอยู่