ในทางเรขาคณิตโพลีโทปเชิงซ้อนคือการขยายความของโพลีโทปในปริภูมิจริงไปสู่โครงสร้างที่คล้ายคลึงกันในปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงซ้อน ซึ่งแต่ละมิติจริงจะมีมิติ จินตนาการ ควบคู่ไปด้วย

รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ซับซ้อน อาจเข้าใจได้ว่าเป็นกลุ่มของจุด เส้น ระนาบ และอื่นๆ ที่ซับซ้อน โดยที่แต่ละจุดเป็นจุดเชื่อมต่อของเส้นหลายเส้น และแต่ละเส้นเป็นจุดเชื่อมต่อของระนาบหลายระนาบ เป็นต้น

นิยามที่แม่นยำมีอยู่เฉพาะสำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงซ้อนปกติซึ่งเป็นการจัดเรียงรูปทรงเรขาคณิต รูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงซ้อนปกติได้รับการกำหนดลักษณะอย่างสมบูรณ์แล้ว และสามารถอธิบายได้โดยใช้สัญลักษณ์ที่พัฒนาโดยค็อกเซเตอร์

นอกจากนี้ ยังมีการอธิบายถึงรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ซับซ้อนบางรูปทรงซึ่งไม่เป็นรูปทรงปกติโดยสมบูรณ์อีกด้วย

เส้นเชิงซ้อน มีมิติหนึ่งที่ใช้ พิกัด จริงและอีกมิติหนึ่งที่ใช้ พิกัด จินตนาการการใช้พิกัดจริงกับทั้งสองมิติจะทำให้ได้สองมิติบนจำนวนจริง ระนาบจริงที่มีแกนจินตนาการกำกับไว้เรียกว่าแผนภาพอาร์แกนด์ด้วยเหตุนี้บางครั้งจึงเรียกว่าระนาบเชิงซ้อน ปริภูมิเชิงซ้อน 2 มิติ (บางครั้งก็เรียกว่าระนาบเชิงซ้อน) อาจพิจารณาได้ว่าเป็นปริภูมิสี่มิติบนจำนวนจริง ในทำนองเดียวกัน ปริภูมิเชิงซ้อน n มิติอาจมองได้ว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์ 2n มิติบนจำนวนจริง ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$

โพลีโทปเชิงซ้อนn มิติ ในปริภูมิเชิงซ้อนnมิติ คือสิ่งที่เทียบเคียงได้กับโพลีโทป จริง nมิติในปริภูมิจริงnมิติ อย่างไรก็ตาม ไม่มีสิ่งที่เทียบเคียงได้ตามธรรมชาติในเชิงซ้อนสำหรับการเรียงลำดับจุดบนเส้นตรงจริง (หรือคุณสมบัติเชิงการจัดเรียงที่เกี่ยวข้อง) ด้วยเหตุนี้ โพลีโทปเชิงซ้อนจึงไม่สามารถมองได้ว่าเป็นพื้นผิวที่ต่อเนื่องกัน และมันไม่ได้จำกัดขอบเขตภายในในลักษณะเดียวกับที่โพลีโทปจริงทำได้

ในกรณีของ รูปหลายเหลี่ยม ปกติสามารถกำหนดนิยามที่แม่นยำได้โดยใช้แนวคิดเรื่องสมมาตร สำหรับรูปหลายเหลี่ยมปกติ ใดๆ กลุ่มสมมาตร (ในที่นี้ คือ กลุ่มสะท้อนเชิงซ้อนเรียกว่ากลุ่มเชพเพิร์ด ) จะกระทำแบบทรานซิทีฟต่อแฟล็กนั่นคือ ต่อลำดับซ้อนกันของจุดที่อยู่ภายในเส้นที่อยู่ภายในระนาบ และอื่นๆ

กล่าวโดยละเอียดว่า ชุด​​Pของปริภูมิย่อยเชิงเส้น (หรือระนาบ ) ของปริภูมิเอกภาพ เชิงซ้อน Vที่มีมิติnจะเป็นโพลีโทปเชิงซ้อนปกติหากตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

• สำหรับทุก−1 ≤ i < j < k ≤ nถ้าFเป็นระนาบในPที่มีมิติiและHเป็นระนาบในPที่มีมิติkโดยที่F ⊂ H แล้วจะมีระนาบ Gอย่างน้อยสองระนาบในPที่มีมิติjโดยที่F ⊂ G ⊂ H
• สำหรับทุกi , jที่−1 ≤ i < j − 2, j ≤ nถ้าF ⊂ Gเป็นระนาบของPที่มีมิติi , jแล้วเซตของระนาบระหว่างFและGจะเชื่อมต่อกัน ในแง่ที่ว่าสามารถไปจากสมาชิกใดๆ ในเซตนี้ไปยังสมาชิกอื่นๆ ได้โดยลำดับของการบรรจุ และ
• เซตย่อยของการแปลงเอกภาพของVที่ตรึงP ไว้ มีคุณสมบัติการถ่ายทอดบนแฟล็กF ₀ ⊂ F ₁ ⊂ … ⊂ F _nของแฟลตของP (โดยที่F _iมีมิติiสำหรับทุกi )

(ในที่นี้ ระนาบที่มีมิติ −1 หมายถึงเซตว่าง ) ดังนั้น ตามคำนิยามแล้ว โพลีโทปเชิงซ้อนปกติจึงเป็นการจัดเรียงในปริภูมิเอกภาพเชิงซ้อน^{[ 3 ]}

รูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงซ้อนปกติถูกค้นพบโดยเชพาร์ด (1952) และทฤษฎีนี้ได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมโดยค็อกเซเตอร์ (1974)

มุมมองสามมุมของรูปหลายเหลี่ยมเชิงซ้อนปกติ₄ {4} ₂ ,

รูปหลายเหลี่ยมเชิงซ้อนนี้มีขอบ 8 เส้น (เส้นเชิงซ้อน) ซึ่งติดป้ายกำกับเป็นa .. hและมีจุดยอด 16 จุด จุดยอดสี่จุดอยู่บนขอบแต่ละด้าน และขอบสองเส้นตัดกันที่จุดยอดแต่ละจุด ในภาพด้านซ้าย สี่เหลี่ยมที่ขีดเส้นรอบนอกไม่ใช่ส่วนประกอบของรูปหลายเหลี่ยม แต่รวมไว้เพื่อช่วยระบุจุดยอดที่อยู่บนเส้นเชิงซ้อนเดียวกันเท่านั้น เส้นรอบรูปแปดเหลี่ยมของภาพด้านซ้ายไม่ใช่ส่วนประกอบของรูปหลายเหลี่ยม แต่เป็นรูปหลายเหลี่ยมของ Petrie [ 4 ] ในภาพตรงกลาง ขอบแต่ละด้านแสดงเป็นเส้นจริง และสามารถมองเห็นจุดยอดสี่จุดในแต่ละเส้น ได้ชัดเจนยิ่งขึ้น

ภาพร่างแบบทัศนียภาพแสดงจุดยอดทั้ง 16 จุดด้วยจุดสีดำขนาดใหญ่ และขอบทั้ง 8 ด้าน (4-edge) ด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ล้อมรอบอยู่ภายในแต่ละขอบ เส้นสีเขียวแสดงถึงเส้นรอบรูปแปดเหลี่ยมของภาพด้านซ้าย

รูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงซ้อนมีอยู่ในปริภูมิเชิงซ้อนที่มีมิติเท่ากัน ตัวอย่างเช่น จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมเชิงซ้อนเป็นจุดในระนาบเชิงซ้อน(ระนาบที่แต่ละจุดมีจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวนเป็นพิกัด ไม่ควรสับสนกับระนาบอาร์แกนด์ของจำนวนเชิงซ้อน) และขอบเป็นเส้นตรงเชิงซ้อนที่มีอยู่เป็นปริภูมิย่อย (เชิงเส้น) ของระนาบและตัดกันที่จุดยอด ดังนั้น ในฐานะที่เป็นปริภูมิเชิงซ้อนหนึ่งมิติ ขอบสามารถมีระบบพิกัด ของตัวเองได้ ซึ่งภายในระบบพิกัดนั้น จุดแต่ละจุดของขอบจะถูกแทนด้วยจำนวนเชิงซ้อนเพียงจำนวนเดียว ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$

ในรูปหลายเหลี่ยมเชิงซ้อนปกติ จุดยอดที่อยู่บนขอบจะเรียงตัวสมมาตรกันรอบจุดศูนย์กลาง มวล ซึ่งมักใช้เป็นจุดกำเนิดของระบบพิกัดของขอบ (ในความเป็นจริง จุดศูนย์กลางมวลคือจุดกึ่งกลางของขอบ) ความสมมาตรเกิดจากการสะท้อนเชิงซ้อนรอบจุดศูนย์กลางมวล การสะท้อนนี้จะทำให้ขนาดของจุดยอดใดๆ ไม่เปลี่ยนแปลง แต่จะเปลี่ยนค่าอาร์กิวเมนต์ ของจุดยอดนั้น ไปเป็นค่าคงที่ ทำให้จุดยอดนั้นเคลื่อนไปยังพิกัดของจุดยอดถัดไปตามลำดับ ดังนั้นเราอาจสมมติได้ (หลังจากเลือกมาตราส่วนที่เหมาะสมแล้ว) ว่าจุดยอดบนขอบเป็นไปตามสมการโดยที่pคือจำนวนจุดยอดที่อยู่บนขอบ ดังนั้น ในแผนภาพอาร์แกนด์ของขอบ จุดยอดจะอยู่บนจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด ${\displaystyle x^{p}-1=0}$

ภาพฉายจริงสามภาพของรูปหลายเหลี่ยมเชิงซ้อนปกติ 4{4}2 แสดงอยู่ด้านบน โดยมีขอบa, b, c, d, e, f, g, hรูปหลายเหลี่ยมนี้มีจุดยอด 16 จุด ซึ่งเพื่อความชัดเจนจึงไม่ได้ทำเครื่องหมายแต่ละจุดไว้ ขอบแต่ละด้านมีจุดยอดสี่จุด และแต่ละจุดยอดอยู่บนขอบสองด้าน ดังนั้นขอบแต่ละด้านจึงตัดกับขอบอื่นอีกสี่ด้าน ในภาพแรก ขอบแต่ละด้านแสดงด้วยรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของรูปหลายเหลี่ยม แต่ถูกวาดขึ้นเพื่อช่วยให้เห็นภาพจุดยอดทั้งสี่ได้ชัดเจนยิ่งขึ้น ขอบต่างๆ ถูกจัดวางอย่างสมมาตร (โปรดทราบว่าภาพนี้ดูคล้ายกับภาพฉายระนาบ Coxeter B ₄ของเทสเซอแร็กต์แต่โครงสร้างแตกต่างกัน)

แผนภาพตรงกลางละทิ้งสมมาตรแปดเหลี่ยมเพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น ขอบแต่ละด้านแสดงเป็นเส้นตรง และจุดตัดของเส้นตรงสองเส้นแต่ละจุดเรียกว่าจุดยอด การเชื่อมต่อระหว่างขอบต่างๆ สามารถมองเห็นได้อย่างชัดเจน

แผนภาพสุดท้ายแสดงให้เห็นถึงโครงสร้างที่ฉายลงบนสามมิติ: ลูกบาศก์สองลูกที่มีจุดยอดเท่ากันนั้นมีขนาดเท่ากัน แต่เมื่อมองจากมุมมองแบบเปอร์สเปคทีฟในมิติที่สี่ จะเห็นว่าอยู่ห่างออกไปในระยะที่แตกต่างกัน

รูปทรงหลายเหลี่ยม 1 มิติที่แท้จริง คือ ส่วนของเส้นตรงปิดบนเส้นตรงจริงซึ่งกำหนดโดยจุดปลายหรือจุดยอดทั้งสองบนเส้นตรงนั้นสัญลักษณ์ Schläfli ของรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้ คือ {} ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

ในทำนองเดียวกัน โพลีโทป 1 มิติเชิงซ้อนมีอยู่เป็นเซตของ จุดยอด pจุดในเส้นเชิงซ้อนสิ่งเหล่านี้อาจแสดงเป็นเซตของจุดในแผนภาพอาร์แกนด์ ( x , y )= x + iy โพลี โทป 1 มิติเชิงซ้อนปกติ_p {} มี จุดยอด p จุด ( p ≥ 2) จุดเรียงกันเพื่อสร้างรูปหลายเหลี่ยมปกติแบบนูน { p } ในระนาบอาร์แกนด์^{[ 5 ]}${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$

จุดบนเส้นจำนวนจริงไม่มีลำดับตามธรรมชาติ ซึ่งแตกต่างจากจุดบนเส้นจำนวนจริง ดังนั้นจึงไม่สามารถกำหนดพื้นที่ภายในได้ ซึ่งแตกต่างจากรูปหลายเหลี่ยมจริง^{[ 6 ]}ถึงกระนั้น รูปหลายเหลี่ยม 1 มิติเชิงซ้อนมักจะถูกวาดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีขอบเขตในระนาบอาร์แกนด์ ดังเช่นในที่นี้

รูปทรงหลายเหลี่ยม 1 มิติปกติ จะถูกแทนด้วย สัญลักษณ์ Schläfli ว่างเปล่า {} หรือแผนภาพ Coxeter-Dynkinจุดหรือโหนดในแผนภาพ Coxeter-Dynkin นั้นแสดงถึงตัวสร้างภาพสะท้อน ในขณะที่วงกลมรอบโหนดหมายความว่าจุดสร้างนั้นไม่ได้อยู่บนภาพสะท้อน ดังนั้นภาพสะท้อนจึงเป็นจุดที่แตกต่างจากตัวมันเอง โดยนัยเดียวกัน รูปทรงหลายเหลี่ยม 1 มิติที่ซับซ้อนปกติในแผนภาพ Coxeter-Dynkinก็มีเช่นกัน${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$สำหรับจำนวนเต็มบวกp ใดๆ 2 หรือมากกว่า ที่มีจุดยอดp จุด pสามารถละเว้นได้หากเป็น 2 นอกจากนี้ยังสามารถแทนด้วยสัญลักษณ์ Schläfli ว่างเปล่า _p {}, } _p {, {} _pหรือ_p {2} ₁เลข 1 เป็นตัวแทนเชิงสัญลักษณ์ แทนการสะท้อนที่ไม่มีอยู่จริง หรือตัวสร้างเอกลักษณ์คาบ 1 (โพลีโทป 0 ไม่ว่าจะเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน เป็นจุด และแทนด้วย } { หรือ₁ {2} ₁ )

ความสมมาตรแสดงโดยแผนภาพค็อกเซเตอร์และสามารถอธิบายได้อีกทางหนึ่งในสัญกรณ์ Coxeterเป็น_p [], [] _pหรือ ] _p [, _p [2] ₁หรือ_{p [} ¹ ] _pสมมาตรเป็นไอโซมอร์ฟิกกับกลุ่มวัฏจักรอันดับp [ ^{7 ]}กลุ่มย่อยของ_p [] คือตัวหารจำนวนเต็มใดๆd , _d [] โดยที่d ≥2

ตัว สร้าง ตัวดำเนินการเอกภาพสำหรับถือเป็นการหมุนทวนเข็มนาฬิกา เป็นมุม 2π/ pเรเดียนและขอบถูกสร้างขึ้นโดยการประยุกต์ใช้การสะท้อนแบบเอกภาพเพียงครั้งเดียวตามลำดับ ตัวสร้างการสะท้อนแบบเอกภาพสำหรับโพลีโทป 1 มิติที่มีpจุดยอดคือe ^{2π i / p} = cos(2π/ p ) + i sin(2π/ p )เมื่อp = 2 ตัวสร้างคือe ^{π i} = –1 ซึ่งเหมือนกับการสะท้อนจุดในระนาบจริง

ในโพลีโทปที่ซับซ้อนกว่านั้น โพลีโทป 1 จุดจะสร้าง ขอบ pจุด ขอบ 2 จุดนั้นคล้ายกับขอบจริงทั่วไปตรงที่มันมีจุดยอดสองจุด แต่ไม่จำเป็นต้องอยู่บนเส้นจำนวนจริง

ในขณะที่โพลีโทป 1 สามารถมีp ได้ไม่จำกัด แต่โพลีกอนเชิงซ้อนปกติแบบจำกัด ยกเว้นโพลีกอนปริซึมคู่_p {4} ₂จะมีองค์ประกอบขอบ 5 ด้าน (ขอบห้าเหลี่ยม) เท่านั้น และอะเพโรกอนปกติแบบอนันต์ยังรวมถึงองค์ประกอบขอบ 6 ด้าน (ขอบหกเหลี่ยม) ด้วย

เดิมที Shephardได้คิดค้นรูปแบบที่ดัดแปลงมาจากสัญลักษณ์ของ Schläfliสำหรับรูปหลายเหลี่ยมปกติ สำหรับรูปหลายเหลี่ยมที่ล้อมรอบด้วยขอบp _{1 โดยมีเซต} p ₂เป็นรูปจุดยอด และกลุ่มสมมาตรโดยรวมที่มีอันดับgเราจะใช้สัญลักษณ์p ₁ ( g ) p ₂ แทนรูปหลายเหลี่ยม นั้น

ดังนั้น จำนวนจุดยอดVคือg / p ₂และจำนวนขอบ Eคือg / p ₁

รูปหลายเหลี่ยมซับซ้อนที่แสดงไว้ข้างต้นมีขอบสี่เหลี่ยมจัตุรัสแปดด้าน ( p ₁ =4) และจุดยอดสิบหกจุด ( p ₂ =2) จากนี้เราสามารถคำนวณได้ว่าg = 32 ซึ่งให้สัญลักษณ์ Schläfli ที่แก้ไขแล้วคือ 4(32)2

สัญกรณ์ที่ทันสมัยกว่า_{p 1} { q } _{p 2}มาจากCoxeter [ ^{8 ]}และอิงตาม^{ทฤษฎี}กลุ่มในฐานะกลุ่มสมมาตร สัญลักษณ์ของมันคือ _{p 1} [ q ] _{p 2}

กลุ่มสมมาตร_{p 1} [ q ] _{p 2}ถูกแทนด้วยตัวสร้าง 2 ตัว R ₁ , R ₂โดยที่: R ₁ ^{p ₁} = R ₂ ^{p ₂} = I. ถ้าqเป็นจำนวนคู่, (R ₂ R ₁ ) ^{q /2} = (R ₁ R ₂ ) ^{q /2} . ถ้าqเป็นจำนวนคี่, (R ₂ R ₁ ) ^(q−1)/2 R ₂ = (R ₁ R ₂ ) ^{( q −1)/2} R ₁ . เมื่อqเป็นจำนวนคี่, p ₁ = p ₂ .

สำหรับ₄ [4] ₂มี R ₁ ⁴ = R ₂ ² = I, (R 2 _R 1 ₎ 2 ⁼ (R ₁ R ₂ ) ²

สำหรับ₃ [5] ₃มี R ₁ ³ = R ₂ ³ = I, (R ₂ R ₁ ) ² R ₂ = (R ₁ R ₂ ) ² R ₁ .

นอกจากนี้ Coxeter ยังขยายการใช้แผนภาพ Coxeter-Dynkinไปยังรูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น รูปหลายเหลี่ยมเชิงซ้อน_p { q } _rจะถูกแทนด้วยและกลุ่มสมมาตรที่เทียบเท่า_p [ q ] _rเป็นไดอะแกรมที่ไม่มีวงแหวนจุดpและrแทนกระจกที่สร้าง ภาพ pและrในระนาบ จุดที่ไม่มีป้ายกำกับในแผนภาพจะมีป้ายกำกับโดยปริยาย 2 ป้าย ตัวอย่างเช่นรูปหลายเหลี่ยมปกติ จริง คือ₂ { q } ₂หรือ { q } หรือ.

ข้อจำกัดอย่างหนึ่งคือ โหนดที่เชื่อมต่อกันด้วยลำดับกิ่งคี่จะต้องมีลำดับโหนดที่เหมือนกัน หากไม่เป็นเช่นนั้น กลุ่มจะสร้างรูปหลายเหลี่ยมที่มีลักษณะ "ดาว" โดยมีองค์ประกอบที่ทับซ้อนกัน ดังนั้นและเป็นเรื่องธรรมดา ในขณะที่เต็มไปด้วยดวงดาว

ค็อกซ์เตอร์ได้ระบุรายการรูปหลายเหลี่ยมเชิงซ้อนปกติไว้ใน. รูปหลายเหลี่ยมเชิงซ้อนปกติ, _p { q } _rหรือ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$มี ขอบ pเส้น และรูปจุดยอดเหลี่ยมrจุด_p { q } _rเป็นโพลีโทปจำกัด ถ้า ( p + r ) q > pr ( q -2)

สมมาตรของมันเขียนได้เป็น_p [ q ] _rเรียกว่ากลุ่มเชพเพิร์ดซึ่งคล้ายคลึงกับกลุ่มค็อกซ์เตอร์ในขณะเดียวกันก็อนุญาตให้มีการสะท้อนแบบเอกภาพด้วย

สำหรับกลุ่มที่ไม่ใช่ดาว ลำดับของกลุ่ม_p [ q ] _rสามารถคำนวณได้ดังนี้^{[ 10 ]}${\displaystyle g=8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}}$

เลขCoxeterสำหรับ_p [ q ] _rคือ ดังนั้นลำดับกลุ่มสามารถคำนวณได้เป็นรูปหลายเหลี่ยมเชิงซ้อนปกติสามารถวาดได้ในการฉายภาพเชิงตั้งฉากที่มีสมมาตร h- เหลี่ยม${\displaystyle h=2/(1/p+2/q+1/r-1)}$${\displaystyle g=2h^{2}/q}$

โซลูชันอันดับ 2 ที่สร้างรูปหลายเหลี่ยมที่ซับซ้อน ได้แก่:

กลุ่ม	G 3 =G( q ,1,1)	G 2 =G( p ,1,2)	จี4	จี6	จี5	จี8	จี14	จี9	จี10	จี20	จี16	จี21	จี17	จี18
	2 [ q ] 2 , q =3,4...	p [4] 2 , p =2,3...	3 [3] 3	3 [6] 2	3 [4] 3	4 [3] 4	3 [8] 2	4 [6] 2	4 [4] 3	3 [5] 3	5 [3] 5	3 [10] 2	5 [6] 2	5 [4] 3
คำสั่ง	2 q	2 หน้า2	24	48	72	96	144	192	288	360	600	720	1200	1800
ชม.	q	2 พี	6	12			24			30		60

โซลูชันที่ถูกยกเว้นที่มีq เป็นเลขคี่ และpและr ไม่เท่ากัน ได้แก่: ₆ [3] ₂ , ₆ [ 3] ₃ , ₉ [3] ₃ , _{12 [3] 3} , ..., ₅ [ 5 ] ₂ , ₆ [5] ₂ , ₈ [5] ₂ , ₉ [ 5 ] ₂ , ₄ [ 7] ₂ , ₉ [5] ₂ , ₃ [9] ₂ , และ₃ [11] ₂

กลุ่ม qอื่นๆที่มีค่าpและr ไม่เท่ากัน จะสร้างกลุ่มดาวที่มีโดเมนพื้นฐานทับซ้อนกัน:,,,,, และ.

รูปหลายเหลี่ยมคู่ของ_p { q } _rคือ_r { q } _pรูปหลายเหลี่ยมในรูปแบบ_p { q } _pเป็นรูปหลายเหลี่ยมคู่ในตัวเอง กลุ่มในรูปแบบ_p [2 q ] ₂มีสมมาตรครึ่งหนึ่ง_p [ q ] _pดังนั้นรูปหลายเหลี่ยมปกติเหมือนกับกึ่งปกตินอกจากนี้ ยังเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีลำดับจุดเดียวกันด้วยมีโครงสร้างแบบสลับกันอนุญาตให้ขอบที่อยู่ติดกันมีสีต่างกันได้สองสี^{[ 11 ]}

ลำดับกลุ่มgใช้ในการคำนวณจำนวนจุดยอดและขอบทั้งหมด โดยจะมี จุดยอด g / rและขอบg / p เมื่อ p = rจำนวนจุดยอดและขอบจะเท่ากัน เงื่อนไขนี้จำเป็นเมื่อqเป็นจำนวนคี่

กลุ่มp [ q ] r ,สามารถแสดงได้ด้วยเมทริกซ์สองเมทริกซ์: ^{[ 12 ]}

ชื่อ	อาร์1	อาร์2
คำสั่ง	พี	ร
เมทริกซ์	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}e^{2\pi i/p}&0\\(e^{2\pi i/p}-1)k&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&(e^{2\pi i/r}-1)k\\0&e^{2\pi i/r}\\\end{smallmatrix}}\right]}$

กับ

${\displaystyle k={\sqrt {\frac {\cos({\frac {\pi }{p}}-{\frac {\pi }{r}})+\cos({\frac {2\pi }{q}})}{2\sin {\frac {\pi }{p}}\sin {\frac {\pi }{r}}}}}}$

ตัวอย่าง

ชื่อ อาร์1 อาร์2 คำสั่ง พี q เมทริกซ์ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}e^{2\pi i/p}&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&e^{2\pi i/q}\\\end{smallmatrix}}\right]}$	ชื่อ อาร์1 อาร์2 คำสั่ง พี 2 เมทริกซ์ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}e^{2\pi i/p}&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	ชื่อ อาร์1 อาร์2 คำสั่ง 3 3 เมทริกซ์ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}&0\\{\frac {-3+{\sqrt {3}}i}{2}}&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&{\frac {-3+{\sqrt {3}}i}{2}}\\0&{\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}\\\end{smallmatrix}}\right]}$
ชื่อ อาร์1 อาร์2 คำสั่ง 4 4 เมทริกซ์ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}i&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&i\\\end{smallmatrix}}\right]}$	ชื่อ อาร์1 อาร์2 คำสั่ง 4 2 เมทริกซ์ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}i&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	ชื่อ อาร์1 อาร์2 คำสั่ง 3 2 เมทริกซ์ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}&0\\{\frac {-3+{\sqrt {3}}i}{2}}&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&-2\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$

Coxeter ได้ระบุรูปหลายเหลี่ยมที่ซับซ้อนไว้ในตาราง III ของรูปหลายเหลี่ยมที่ซับซ้อนปกติ^{[ 13 ]}

กลุ่ม	คำสั่ง	หมายเลขค็อกซ์เตอร์	รูปหลายเหลี่ยม			จุดยอด	ขอบ		หมายเหตุ
G(q,q,2) 2 [ q ] 2 = [ q ] q=2,3,4,...	2 q	q	2(2 q )2	2 { q } 2		q	q	{}	รูปหลายเหลี่ยมปกติจริงเหมือนกับเหมือนกันถ้าqเป็นเลขคู่
G( p ,1,2) p [4] 2 p=2,3,4,...	2 หน้า2	2 พี	p (2 p 2 )2	หน้า {4} 2		หน้า2	2 พี	p {}	เหมือนกับp {}× p {} หรือ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$การแสดงผลในรูปแบบปริซึมคู่p - p
			2(2 p 2 ) p	2 {4} หน้า		2 พี	หน้า2	{}	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$การแสดงผลในรูปแบบดูโอพีระมิดp - p
G(2,1,2) 2 [4] 2 = [4]	8	4	2(8)2	2 {4} 2 = {4}		4	4	{}	เหมือนกับ {}×{} หรือสี่เหลี่ยมจัตุรัสจริง
G(3,1,2) 3 [4] 2	18	6	3(18)2	3 {4} 2		9	6	3 {}	เหมือนกับ3 {}× 3 {} หรือ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$การแสดงผลในรูปแบบปริซึมคู่ 3-3
			2(18)3	2 {4} 3		6	9	{}	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$การแสดงผลในรูปแบบดูโอพีระมิด 3-3
G(4,1,2) 4 [4] 2	32	8	4(32)2	4 {4} 2		16	8	4 {}	เหมือนกับ4 {}× 4 {} หรือ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$การแสดงผลเป็นปริซึมคู่ 4-4 หรือ{4,3,3}
			2(32)4	2 {4} 4		8	16	{}	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$การแสดงผลเป็นดูโอพีระมิด 4-4 หรือ{3,3,4}
G(5,1,2) 5 [4] 2	50	25	5(50)2	5 {4} 2		25	10	5 {}	เหมือนกับ5 {}× 5 {} หรือ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$การแสดงผลในรูปแบบปริซึมคู่ 5-5
			2(50)5	2 {4} 5		10	25	{}	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$การแสดงผลในรูปแบบดูโอพีระมิด 5-5
G(6,1,2) 6 [4] 2	72	36	6(72)2	6 {4} 2		36	12	6 {}	เหมือนกับ6 {}× 6 {} หรือ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$การแสดงผลในรูปแบบปริซึมคู่ 6-6
			2(72)6	2 {4} 6		12	36	{}	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$การแสดงผลในรูปแบบดูโอพีระมิด 6-6
G 4 =G(1,1,2) 3 [3] 3 <2,3,3>	24	6	3(24)3	3 {3} 3		8	8	3 {}	การจัดเรียงโมเบียส-แคนเตอร์แบบทวิภาวะในตัวเอง เหมือนกับ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$การแสดงผลเป็น{3,3,4}
G 6 3 [6] 2	48	12	3(48)2	3 {6} 2		24	16	3 {}	เหมือนกัน
				3 {3} 2					รูปหลายเหลี่ยมดาว
			2(48)3	2 {6} 3		16	24	{}
				2 {3} 3					รูปหลายเหลี่ยมดาว
G 5 3 [4] 3	72	12	3(72)3	3 {4} 3		24	24	3 {}	ทวิภาวะในตัวเอง เหมือนกับ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$การแสดงผลเป็น{3,4,3}
G 8 4 [3] 4	96	12	4(96)4	4 {3} 4		24	24	4 {}	ทวิภาวะในตัวเอง เหมือนกับ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$การแสดงผลเป็น{3,4,3}
G 14 3 [8] 2	144	24	3(144)2	3 {8} 2		72	48	3 {}	เหมือนกัน
				3 {8/3} 2					รูปหลายเหลี่ยมดาว เหมือนกับ
			2(144)3	2 {8} 3		48	72	{}
				2 {8/3} 3					รูปหลายเหลี่ยมดาว
G 9 4 [6] 2	192	24	4(192)2	4 {6} 2		96	48	4 {}	เหมือนกัน
			2(192)4	2 {6} 4		48	96	{}
				4 {3} 2		96	48	{}	รูปหลายเหลี่ยมดาว
				2 {3} 4		48	96	{}	รูปหลายเหลี่ยมดาว
G 10 4 [4] 3	288	24	4(288)3	4 {4} 3		96	72	4 {}
		12		4 {8/3} 3					รูปหลายเหลี่ยมดาว
		24	3(288)4	3 {4} 4		72	96	3 {}
		12		3 {8/3} 4					รูปหลายเหลี่ยมดาว
G 20 3 [5] 3	360	30	3(360)3	3 {5} 3		120	120	3 {}	ทวิภาวะในตัวเอง เหมือนกับ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$การแสดงผลเป็น{3,3,5}
				3 {5/2} 3					รูปหลายเหลี่ยมดาวคู่ตนเอง
G 16 5 [3] 5	600	30	5(600)5	5 {3} 5		120	120	5 {}	ทวิภาวะในตัวเอง เหมือนกับ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$การแสดงผลเป็น{3,3,5}
		10		5 {5/2} 5					รูปหลายเหลี่ยมดาวคู่ตนเอง
G 21 3 [10] 2	720	60	3(720)2	3 {10} 2		360	240	3 {}	เหมือนกัน
				3 {5} 2					รูปหลายเหลี่ยมดาว
				3 {10/3} 2					รูปหลายเหลี่ยมดาว เหมือนกับ
				3 {5/2} 2					รูปหลายเหลี่ยมดาว
			2(720)3	2 {10} 3		240	360	{}
				2 {5} 3					รูปหลายเหลี่ยมดาว
				2 {10/3} 3					รูปหลายเหลี่ยมดาว
				2 {5/2} 3					รูปหลายเหลี่ยมดาว
G 17 5 [6] 2	1200	60	5(1200)2	5 {6} 2		600	240	5 {}	เหมือนกัน
		20		5 {5} 2					รูปหลายเหลี่ยมดาว
		20		5 {10/3} 2					รูปหลายเหลี่ยมดาว
		60		5 {3} 2					รูปหลายเหลี่ยมดาว
		60	2(1200)5	2 {6} 5		240	600	{}
		20		2 {5} 5					รูปหลายเหลี่ยมดาว
		20		2 {10/3} 5					รูปหลายเหลี่ยมดาว
		60		2 {3} 5					รูปหลายเหลี่ยมดาว
G 18 5 [4] 3	1800	60	5(1800)3	5 {4} 3		600	360	5 {}
		15		5 {10/3} 3					รูปหลายเหลี่ยมดาว
		30		5 {3} 3					รูปหลายเหลี่ยมดาว
		30		5 {5/2} 3					รูปหลายเหลี่ยมดาว
		60	3(1800)5	3 {4} 5		360	600	3 {}
		15		3 {10/3} 5					รูปหลายเหลี่ยมดาว
		30		3 {3} 5					รูปหลายเหลี่ยมดาว
		30		3 {5/2} 5					รูปหลายเหลี่ยมดาว

รูปหลายเหลี่ยมในรูปแบบ_p {2 r } _qสามารถแสดงภาพได้ด้วย ชุดสี qชุดของ ขอบ pแต่ละ ขอบ pจะถูกมองว่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ ในขณะที่ไม่มีหน้า

การฉายภาพเชิงตั้งฉาก 2 มิติของรูปหลายเหลี่ยมเชิงซ้อน₂ { r } _q

รูปหลายเหลี่ยมในรูปแบบ₂ {4} _qเรียกว่าออร์โธเพล็กซ์ ทั่วไป พวกมันมีจุดยอดร่วมกับดูโอพีระมิด 4 มิติ q - q ซึ่งเป็นจุดยอดที่เชื่อมต่อกันด้วยขอบ 2 เส้น

• 
  ₂ {4} ₂ ,โดยมี 4 จุดยอดและ 4 ขอบ
• 
  ₂ {4} ₃ ,โดยมีจุดยอด 6 จุดและขอบ 9 เส้น^{[ 14 ]}
• 
  ₂ {4} ₄ ,โดยมีจุดยอด 8 จุด และเส้นขอบ 16 เส้น
• 
  ₂ {4} ₅ ,โดยมีจุดยอด 10 จุด และเส้นขอบ 25 เส้น
• 
  ₂ {4} ₆ ,โดยมีจุดยอด 12 จุด และเส้นขอบ 36 เส้น
• 
  ₂ {4} ₇ ,โดยมีจุดยอด 14 จุด และเส้นขอบ 49 เส้น
• 
  ₂ {4} ₈ ,โดยมีจุดยอด 16 จุด และเส้นขอบ 64 เส้น
• 
  ₂ {4} ₉ ,โดยมีจุดยอด 18 จุด และเส้นขอบ 81 เส้น
• 
  ₂ {4} ₁₀ ,โดยมีจุดยอด 20 จุด และเส้นขอบ 100 เส้น

รูปหลายเหลี่ยมที่ซับซ้อน_p {4} ₂

รูปหลายเหลี่ยมในรูปแบบ_p {4} ₂เรียกว่าไฮเปอร์คิวบ์ ทั่วไป (หรือสี่เหลี่ยมสำหรับรูปหลายเหลี่ยม) รูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้มีจุดยอดร่วมกับปริซึมคู่ 4 มิติp - p โดย จุดยอดเชื่อมต่อกันด้วยขอบ p จุด จุดยอดวาดด้วยสีเขียว และ ขอบ pวาดด้วยสีสลับกัน คือสีแดงและสีน้ำเงิน มุมมองจะบิดเบี้ยวเล็กน้อยสำหรับมิติคี่เพื่อย้ายจุดยอดที่ทับซ้อนกันออกจากจุดศูนย์กลาง

• 
  ₂ {4} ₂ ,หรือโดยมีจุดยอด 4 จุด และขอบ 2 เส้นจำนวน 4 เส้น
• 
  ₃ {4} ₂ ,หรือโดยมีจุดยอด 9 จุด และขอบ 3 ด้าน (รูปสามเหลี่ยม) 6 ด้าน^{[ 14 ]}
• 
  ₄ {4} ₂ ,หรือโดยมีจุดยอด 16 จุด และขอบ 4 ด้าน (สี่เหลี่ยมจัตุรัส) จำนวน 8 ด้าน
• 
  ₅ {4} ₂ ,หรือโดยมีจุดยอด 25 จุด และขอบ 5 ด้าน (รูปห้าเหลี่ยม) จำนวน 10 ขอบ
• 
  ₆ {4} ₂ ,หรือโดยมีจุดยอด 36 จุด และขอบ 6 ด้าน (หกเหลี่ยม) จำนวน 12 ขอบ
• 
  ₇ {4} ₂ ,หรือโดยมีจุดยอด 49 จุด และขอบ 7 ด้าน (รูปเจ็ดเหลี่ยม) จำนวน 14 ด้าน
• 
  ₈ {4} ₂ ,หรือโดยมีจุดยอด 64 จุด และขอบ 8 ด้าน (รูปแปดเหลี่ยม) จำนวน 16 ด้าน
• 
  ₉ {4} ₂ ,หรือโดยมีจุดยอด 81 จุด และขอบ 9 เส้น (รูปเก้าเหลี่ยม) จำนวน 18 ขอบ
• 
  ₁₀ {4} ₂ ,หรือโดยมีจุดยอด 100 จุด และขอบ 10 เส้น (รูปสิบเหลี่ยม) จำนวน 20 เส้น

การฉายภาพ มุมมองสามมิติของรูปหลายเหลี่ยมที่ซับซ้อน_p {4} ₂ . คู่₂ {4} _p

สามารถมองเห็นได้โดยการเพิ่มจุดยอดภายในเส้นขอบ และการเพิ่มเส้นขอบแทนที่จุดยอด

• 
  ₃ {4} ₂ ,หรือมีจุดยอด 9 จุด และขอบ 3 เส้น 6 เส้น ใน 2 ชุดสี
• 
  ₂ {4} ₃ ,มี 6 จุดยอด 9 ขอบ แบ่งเป็น 3 ชุด
• 
  ₄ {4} ₂ ,หรือมีจุดยอด 16 จุด ขอบ 4 ด้าน 8 เส้น ใน 2 ชุดสี และขอบ 4 ด้านสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เติมสี
• 
  ₅ {4} ₂ ,หรือมีจุดยอด 25 จุด และขอบ 5 เส้นจำนวน 10 เส้น แบ่งเป็น 2 ชุดสี

รูปหลายเหลี่ยมซับซ้อนอื่นๆ_p { r } ₂

• 
  ₃ {6} ₂ ,หรือโดยมีจุดยอด 24 จุดเป็นสีดำ และขอบ 3 เส้นจำนวน 16 เส้นที่ระบายสีเป็น 2 ชุดของขอบ 3 เส้นในสีแดงและสีน้ำเงิน^{[ 15 ]}
• 
  ₃ {8} ₂ ,หรือโดยมีจุดยอด 72 จุดเป็นสีดำ และขอบ 3 เส้นจำนวน 48 เส้นที่ระบายสีเป็น 2 ชุดของขอบ 3 เส้นในสีแดงและสีน้ำเงิน^{[ 16 ]}

การฉายภาพเชิงตั้งฉาก 2 มิติของรูปหลายเหลี่ยมเชิงซ้อน_p { r } _p

รูปหลายเหลี่ยมในรูปแบบ_p { r } _pมีจำนวนจุดยอดและขอบเท่ากัน และเป็นรูปหลายเหลี่ยมทวิภาคในตัวเองด้วย

• 
  ₃ {3} ₃ ,หรือโดยมีจุดยอด 8 จุดเป็นสีดำ และขอบ 3 เส้นจำนวน 8 เส้นที่ระบายสีเป็น 2 ชุดของขอบ 3 เส้นในสีแดงและสีน้ำเงิน^{[ 17 ]}
• 
  ₃ {4} ₃ ,หรือโดยมีจุดยอด 24 จุดและขอบ 3 เส้น 24 เส้น แสดงใน 3 ชุดสี โดยชุดหนึ่งถูกเติมสี^{[ 18 ]}
• 
  ₄ {3} ₄ ,หรือโดยมีจุดยอด 24 จุดและขอบ 4 เส้นจำนวน 24 เส้น แสดงใน 4 ชุดสี^{[ 18 ]}
• 
  ₃ {5} ₃ ,หรือโดยมีจุดยอด 120 จุดและขอบ 3 เส้นจำนวน 120 เส้น^{[ 19 ]}
• 
  ₅ {3} ₅ ,หรือโดยมีจุดยอด 120 จุดและขอบ 5 เส้นจำนวน 120 เส้น^{[ 20 ]}

โดยทั่วไปแล้วโพลีโทปเชิงซ้อนปกติจะถูกแทนด้วย Coxeter ในรูป_p { z ₁ } _q {z ₂ } _r {z ₃ } _s ... หรือแผนภาพ Coxeter..., โดยมีสมมาตร_p [ z ₁ ] _q [ z ₂ ] _r [ z ₃ ] _s ... หรือ.... ^{[ 21 ]}

มีตระกูลอนันต์ของรูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงซ้อนปกติที่เกิดขึ้นในทุกมิติ ซึ่งเป็นการขยายแนวคิดของไฮเปอร์คิวบ์และรูปทรงหลายเหลี่ยมไขว้ในปริภูมิจริง "รูปทรงออร์โธโทปทั่วไป" ของเชพาร์ดเป็นการขยายแนวคิดของไฮเปอร์คิวบ์ โดยมีสัญลักษณ์เป็น γ^พี_เอ็น= _p {4} ₂ {3} ₂ ... ₂ {3} ₂และแผนภาพ...กลุ่มสมมาตรของมันมีแผนภาพ_p [4] ₂ [3] ₂ ... ₂ [3] ₂ ; ในการจำแนกประเภทของ Shephard–Todd นี่คือกลุ่ม G( p , 1, n ) ที่ขยายเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนแบบมีเครื่องหมาย โพลีโทปปกติคู่ของมัน "โพลีโทปไขว้ทั่วไป" แทนด้วยสัญลักษณ์ β^พี_เอ็น= ₂ {3} ₂ {3} ₂ ... ₂ {4} _pและแผนภาพ...[ ^{22 ]​}

โพลีโทปเชิงซ้อนปกติ 1 มิติในถูกแทนด้วย${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$โดยมี จุดยอด p จุด และมีรูป หลายเหลี่ยมปกติแทนด้วยรูปจริง { p } ค็อกซ์เตอร์ยังให้สัญลักษณ์ γ แก่รูปนี้ด้วย^หน้า₁หรือ β^หน้า₁ในฐานะไฮเปอร์คิวบ์ทั่วไปแบบ 1 มิติ หรือโพลีโทปไขว้ สมมาตรของมันคือ_p [] หรือกลุ่มวัฏจักรอันดับpในโพลีโทปที่สูงกว่า_p {} หรือแสดงถึง องค์ประกอบ p -edge ที่มี 2-edge คือ {} หรือซึ่งแสดงถึงขอบจริงธรรมดาระหว่างจุดยอดสองจุด^{[ 22 ]}

โพลีโทปเชิงซ้อนคู่ถูกสร้างขึ้นโดยการแลกเปลี่ยน องค์ประกอบ kและ ( n -1- k ) ของ โพลีโทป nตัวอย่างเช่น รูปหลายเหลี่ยมเชิงซ้อนคู่จะมีจุดยอดที่อยู่ตรงกลางขอบแต่ละด้าน และขอบใหม่จะอยู่ตรงกลางจุดยอดเดิม จุดยอด v -valence จะสร้างขอบ vใหม่และขอบe จะกลายเป็น จุดยอดe -valence ^{[ 23 ]}โพลีโทปเชิงซ้อนปกติคู่จะมีสัญลักษณ์กลับด้าน โพลีโทปเชิงซ้อนปกติที่มีสัญลักษณ์สมมาตร เช่น_p { q } _p , _p { q } _r { q } _p , _p { q } _r { _s } r { q } _pเป็นต้น จะเป็นคู่ของตัวเอง

Coxeter ได้ระบุรายชื่อของรูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงซ้อนปกติที่ไม่ใช่รูปดาวใน ซึ่ง รวมถึง ทรงหลายเหลี่ยมเพลโต 5 ^รูปใน[ ^{24 ]}${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

ทรงหลายเหลี่ยมเชิงซ้อนปกติ_p { n ₁ } _q { n ₂ } _rหรือ, มีใบหน้าขอบ และรูปทรงจุดยอด

ทรงหลายเหลี่ยมปกติเชิงซ้อน_p { n ₁ } _q { n ₂ } _rต้องการให้g ₁ = order( _p [ n ₁ ] _q ) และg ₂ = order( _q [ n ₂ ] _r ) เป็นจำนวนจำกัด

กำหนดให้g = order( _p [ n ₁ ] _q [ n ₂ ] _r ) จำนวนจุดยอดคือg / g ₂และจำนวนหน้าคือg / g ₁จำนวนขอบคือ g / pr

ช่องว่าง	กลุ่ม	คำสั่ง	หมายเลขค็อกซ์เตอร์	รูปหลายเหลี่ยม		จุดยอด	ขอบ		ใบหน้า		รูปจุดยอด	รูปหลายเหลี่ยมแวนออส	หมายเหตุ
${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$	G(1,1,3) 2 [3] 2 [3] 2 = [3,3]	24	4	α 3 = 2 {3} 2 {3} 2 = {3,3}		4	6	{}	4	{3}	{3}	ไม่มี	ทรงสี่เหลี่ยมพีระมิดฐานจริงเหมือนกับ
${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$	G 23 2 [3] 2 [5] 2 = [3,5]	120	10	2 {3} 2 {5} 2 = {3,5}		12	30	{}	20	{3}	{5}	ไม่มี	ทรงยี่สิบหน้าจริง
				2 {5} 2 {3} 2 = {5,3}		20	30	{}	12	{5}	{3}	ไม่มี	ทรงสิบสองเหลี่ยมจริง
${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$	G(2,1,3) 2 [3] 2 [4] 2 = [3,4]	48	6	เบต้า2 3= β 3 = {3,4}		6	12	{}	8	{3}	{4}	{4}	ทรงแปดเหลี่ยมจริงเหมือนกับ {}+{}+{}, ลำดับ 8 เหมือนกับคำสั่งซื้อที่ 24
${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$				γ2 3= γ 3 = {4,3}		8	12	{}	6	{4}	{3}	ไม่มี	ลูกบาศก์จริงเหมือนกับ {}×{}×{} หรือ
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	G(p,1,3) 2 [3] 2 [4] p p=2,3,4,...	6 หน้า3	3 เพนนี	เบต้าหน้า3= 2 {3} 2 {4} p		3 เพนนี	3 หน้า2	{}	หน้า3	{3}	2 {4} หน้า	2 {4} หน้า	ทรงแปดเหลี่ยมทั่วไปเหมือนกับp {}+ p {}+ p {}, อันดับp 3เหมือนกับลำดับที่ 6 หน้า2
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$				γหน้า3= p {4} 2 {3} 2		หน้า3	3 หน้า2	p {}	3 เพนนี	หน้า {4} 2	{3}	ไม่มี	ลูกบาศก์ทั่วไปเหมือนกับp {}× p {}× p {} หรือ
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	G(3,1,3) 2 [3] 2 [4] 3	162	9	เบต้า3 3= 2 {3} 2 {4} 3		9	27	{}	27	{3}	2 {4} 3	2 {4} 3	เหมือนกับ3 {}+ 3 {}+ 3 {}, ลำดับที่ 27 เหมือนกับลำดับที่ 54
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$				γ3 3= 3 {4} 2 {3} 2		27	27	3 {}	9	3 {4} 2	{3}	ไม่มี	เหมือนกับ3 {}× 3 {}× 3 {} หรือ
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	G(4,1,3) 2 [3] 2 [4] 4	384	12	เบต้า4 3= 2 {3} 2 {4} 4		12	48	{}	64	{3}	2 {4} 4	2 {4} 4	เหมือนกับ4 {}+ 4 {}+ 4 {}, ลำดับที่ 64 เหมือนกับลำดับที่ 96
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$				γ4 3= 4 {4} 2 {3} 2		64	48	4 {}	12	4 {4} 2	{3}	ไม่มี	เหมือนกับ4 {}× 4 {}× 4 {} หรือ
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	G(5,1,3) 2 [3] 2 [4] 5	750	15	เบต้า5 3= 2 {3} 2 {4} 5		15	75	{}	125	{3}	2 {4} 5	2 {4} 5	เหมือนกับ5 {}+ 5 {}+ 5 {}, ลำดับ 125 เหมือนกับคำสั่งซื้อที่ 150
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$				γ5 3= 5 {4} 2 {3} 2		125	75	5 {}	15	5 {4} 2	{3}	ไม่มี	เหมือนกับ5 {}× 5 {}× 5 {} หรือ
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	G(6,1,3) 2 [3] 2 [4] 6	1296	18	เบต้า6 3= 2 {3} 2 {4} 6		36	108	{}	216	{3}	2 {4} 6	2 {4} 6	เหมือนกับ6 {}+ 6 ​​{}+ 6 ​​{}, ลำดับที่ 216 เหมือนกับลำดับที่ 216
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$				γ6 3= 6 {4} 2 {3} 2		216	108	6 {}	18	6 {4} 2	{3}	ไม่มี	เหมือนกับ6 {}× 6 {}× 6 {} หรือ
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	G 25 3 [3] 3 [3] 3	648	9	3 {3} 3 {3} 3		27	72	3 {}	27	3 {3} 3	3 {3} 3	3 {4} 2	เหมือนกันการแสดง ผลเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมเฮสเซียน2 21${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$
	G 26 2 [4] 3 [3] 3	1296	18	2 {4} 3 {3} 3		54	216	{}	72	2 {4} 3	3 {3} 3	{6}
				3 {3} 3 {4} 2		72	216	3 {}	54	3 {3} 3	3 {4} 2	3 {4} 3	เหมือนกัน[ 25 ]การแสดงผลเป็น1 22${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$

การฉายภาพเชิงตั้งฉาก 2 มิติของทรงหลายเหลี่ยมเชิงซ้อน_p { s } _t { r } _r

• 
  จริง{3,3} ,หรือมีจุดยอด 4 จุด ขอบ 6 เส้น และหน้า 4 หน้า
• 
  ₃ {3} ₃ {3} ₃ ,หรือมีจุดยอด 27 จุด ขอบ 3 เส้น 72 เส้น และหน้า 27 หน้า โดยมีหน้าหนึ่งที่ไฮไลต์เป็นสีน้ำเงิน^{[ 26 ]}
• 
  ₂ {4} ₃ {3} ₃ ,มีจุดยอด 54 จุด ขอบเรียบง่าย 216 เส้น และหน้า 72 หน้า โดยมีหน้าหนึ่งที่ไฮไลต์เป็นสีน้ำเงิน^{[ 27 ]}
• 
  ₃ {3} ₃ {4} ₂ ,หรือมีจุดยอด 72 จุด ขอบ 3 เส้น 216 เส้น และจุดยอด 54 จุด โดยมีหน้าหนึ่งที่ไฮไลต์เป็นสีน้ำเงิน^{[ 28 ]}

ทรงแปดเหลี่ยมทั่วไป

รูปทรงแปดเหลี่ยมทั่วไปมีโครงสร้างที่เป็นระเบียบดังนี้และรูปแบบกึ่งปกติ เช่นองค์ประกอบทั้งหมดเป็นซิมเพล็กซ์

• 
  จริง{3,4} ,หรือโดยมี 6 จุดยอด 12 ขอบ และ 8 หน้า
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₃ ,หรือโดยมีจุดยอด 9 จุด เส้นขอบ 27 เส้น และหน้า 27 หน้า
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₄ ,หรือโดยมีจุดยอด 12 จุด เส้นขอบ 48 เส้น และหน้า 64 หน้า
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₅ ,หรือโดยมีจุดยอด 15 จุด เส้นขอบ 75 เส้น และหน้า 125 หน้า
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₆ ,หรือโดยมีจุดยอด 18 จุด เส้นขอบ 108 เส้น และหน้า 216 หน้า
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₇ ,หรือโดยมีจุดยอด 21 จุด เส้นขอบ 147 เส้น และหน้า 343 หน้า
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₈ ,หรือโดยมีจุดยอด 24 จุด เส้นขอบ 192 เส้น และหน้า 512 หน้า
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₉ ,หรือโดยมีจุดยอด 27 จุด เส้นขอบ 243 เส้น และหน้า 729 หน้า
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₁₀ ,หรือโดยมีจุดยอด 30 จุด เส้นขอบ 300 เส้น และหน้า 1000 หน้า

ลูกบาศก์ทั่วไป

ลูกบาศก์ทั่วไปมีโครงสร้างที่เป็นระเบียบดังนี้และโครงสร้างปริซึมเช่นเป็นผลคูณของโพลีโทป 1 มิติ p- เหลี่ยมสามรูป โดยที่องค์ประกอบเป็นลูกบาศก์ทั่วไปที่มีมิติต่ำกว่า

• 
  จริง{4,3} ,หรือมีจุดยอด 8 จุด เส้นขอบ 12 เส้น และหน้า 6 หน้า
• 
  ₃ {4} ₂ {3} ₂ ,หรือมีจุดยอด 27 จุด ขอบ 3 เส้น 27 เส้น และหน้า 9 หน้า^{[ 26 ]}
• 
  ₄ {4} ₂ {3} ₂ ,หรือโดยมีจุดยอด 64 จุด เส้นขอบ 48 เส้น และหน้า 12 หน้า
• 
  ₅ {4} ₂ {3} ₂ ,หรือโดยมีจุดยอด 125 จุด เส้นขอบ 75 เส้น และหน้า 15 หน้า
• 
  ₆ {4} ₂ {3} ₂ ,หรือโดยมีจุดยอด 216 จุด เส้นขอบ 108 เส้น และหน้า 18 หน้า
• 
  ₇ {4} ₂ {3} ₂ ,หรือโดยมีจุดยอด 343 จุด เส้นขอบ 147 เส้น และหน้า 21 หน้า
• 
  ₈ {4} ₂ {3} ₂ ,หรือโดยมีจุดยอด 512 จุด เส้นขอบ 192 เส้น และหน้า 24 หน้า
• 
  ₉ {4} ₂ {3} ₂ ,หรือโดยมีจุดยอด 729 จุด เส้นขอบ 243 เส้น และหน้า 27 หน้า
• 
  ₁₀ {4} ₂ {3} ₂ ,หรือโดยมีจุดยอด 1,000 จุด เส้นขอบ 300 เส้น และหน้า 30 หน้า