ในทางคณิตศาสตร์ปริภูมิผลคูณภายใน^{[หมายเหตุ 1 ]}คือ ปริภูมิเวกเตอร์ จริงหรือเชิงซ้อนที่มีการดำเนินการที่เรียกว่าผลคูณภายในผลคูณภายในของเวกเตอร์สองตัวในปริภูมินี้คือสเกลาร์ซึ่งมักจะแสดงด้วยวงเล็บมุมเช่น ในผลคูณภายในช่วยให้สามารถกำหนดนิยามอย่างเป็นทางการของแนวคิดทางเรขาคณิตที่เข้าใจง่าย เช่น ความยาวมุมและความเป็นตั้งฉาก (ผลคูณภายในเป็นศูนย์) ของเวกเตอร์ ปริภูมิผลคูณภายในเป็นการขยายปริภูมิเวกเตอร์แบบยุคลิดซึ่งผลคูณภายในคือผลคูณจุดหรือผลคูณสเกลาร์ของพิกัดคาร์ทีเซียน ปริภูมิผลคูณภายในที่มีมิติอนันต์ถูกใช้กันอย่างแพร่หลายในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน ปริภูมิผลคูณภายในเหนือฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อนบางครั้งเรียกว่าปริภูมิเอกภาพการใช้แนวคิดของปริภูมิเวกเตอร์ที่มีผลคูณภายในครั้งแรกนั้นมาจากGiuseppe Peanoในปี 1898 ^{[ 3 ]}${\displaystyle \langle a,b\rangle }$

ผลคูณภายในจะเหนี่ยวนำให้เกิดบรรทัดฐาน ที่เกี่ยวข้องโดยธรรมชาติ (แสดงด้วยและในภาพ) ดังนั้น พื้นที่ผลคูณภายในทุกพื้นที่จึงเป็นพื้นที่เวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐานหากพื้นที่ที่มีบรรทัดฐานนี้สมบูรณ์ ด้วย (นั่นคือพื้นที่ Banach ) แล้ว พื้นที่ผลคูณภายในจะเป็นพื้นที่Hilbert ^{[ 1 ]}หากพื้นที่ผลคูณภายในHไม่ใช่พื้นที่ Hilbert ก็สามารถขยายโดยการทำให้สมบูรณ์เป็นพื้นที่ Hilbert ได้ซึ่งหมายความว่าเป็นพื้นที่ย่อยเชิงเส้นของผลคูณภายในของเป็นการจำกัดของและมีความหนาแน่นในสำหรับโทโพโลยีที่กำหนดโดยบรรทัดฐาน^{[ 1 ] [ 4 ]}${\displaystyle |x|}$${\displaystyle |y|}$${\displaystyle {\overline {H}}.}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\overline {H}},}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\overline {H}},}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\overline {H}}}$

ในบทความนี้Fหมายถึงฟิลด์ที่เป็นจำนวนจริง หรือจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้น สเกลาร์จึงเป็นองค์ประกอบของFเครื่องหมายขีดเหนือพจน์ที่แทนสเกลาร์หมายถึงค่าสังยุคเชิงซ้อนของสเกลาร์นั้น เวกเตอร์ศูนย์ใช้เพื่อแยกความแตกต่างจากสเกลาร์ 0${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {C} .}$${\displaystyle \mathbf {0} }$

ปริภูมิผลคูณภายในคือปริภูมิเวกเตอร์Vเหนือฟิลด์Fพร้อมกับผลคูณภายในนั่นคือแผนที่ ที่สอดคล้องกับคุณสมบัติสามประการต่อไปนี้สำหรับเวกเตอร์ทั้งหมดและสเกลาร์ทั้งหมด^{[ 5 ] [ 6 ]}$${\displaystyle \langle \cdot \operatorname {,} \cdot \rangle :V\times V\to F}$$${\displaystyle x,y,z\in V}$${\displaystyle a,b\in F}$

• สมมาตรสังยุค : เช่นเดียวกับกรณีที่ Fเป็นจำนวนจริง สมมาตรสังยุคบ่งชี้ว่า F จะเป็นจำนวนจริงเสมอ ถ้าFเป็น จำนวนจริง สมมาตรสังยุคก็คือสมมาตรนั่นเอง$${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}.}$$${\textstyle a={\overline {a}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \langle x,x\rangle }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• ความเป็นเส้นตรงในอาร์กิวเมนต์แรก: ^{[หมายเหตุ 2 ]}$${\displaystyle \langle ax+by,z\rangle =a\langle x,z\rangle +b\langle y,z\rangle .}$$
• ความเป็นบวกแน่นอน : ถ้าไม่เป็นศูนย์แล้ว(สมมาตรแบบคู่ควบบ่งชี้ว่าเป็นจำนวนจริง)${\displaystyle x}$$${\displaystyle \langle x,x\rangle >0}$$${\displaystyle \langle x,x\rangle }$

หากเงื่อนไขความเป็นบวกแน่นอนถูกแทนที่ด้วยการกำหนดให้สำหรับทุก ๆแล้วจะได้นิยามของรูปแบบเฮอร์มิเชียนกึ่งบวกแน่นอน รูปแบบเฮอ ^ร์มิเชียนกึ่งบวกแน่นอนเป็นผลคูณภายในก็ต่อเมื่อสำหรับทุก ๆถ้าแล้ว^{[ 7} ]${\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \langle x,x\rangle =0}$${\displaystyle x=\mathbf {0} }$

ในคุณสมบัติต่อไปนี้ ซึ่งได้มาเกือบจะโดยตรงจากนิยามของผลคูณภายในx , yและzเป็นเวกเตอร์ใดๆ และaและbเป็นสเกลาร์ใดๆ

• ${\displaystyle \langle \mathbf {0} ,x\rangle =\langle x,\mathbf {0} \rangle =0.}$^{[หมายเหตุ 3 ]}
• ${\displaystyle \langle x,x\rangle }$เป็นค่าจริงและไม่เป็นลบ^{[หมายเหตุ 4 ]}
• ${\displaystyle \langle x,x\rangle =0}$ก็ต่อเมื่อ^{[หมายเหตุ 5 ]}${\displaystyle x=\mathbf {0} .}$
• ${\displaystyle \langle x,ay+bz\rangle ={\overline {a}}\langle x,y\rangle +{\overline {b}}\langle x,z\rangle }$นั่นคือความเป็นเชิงเส้นคู่ควบ (สำหรับอาร์กิวเมนต์ที่ 2) ซึ่งหมายความว่าผลคูณภายในเป็นรูปแบบเซสควิลิเนียร์
• ${\displaystyle \langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2\operatorname {Re} (\langle x,y\rangle )+\langle y,y\rangle ,}$โดยที่หมายถึงส่วนจริงของอาร์กิวเมนต์${\displaystyle \operatorname {Re} }$

เมื่อพิจารณาเหนือ ปริภูมิเวกเตอร์ จริง สมมาตรแบบสังยุคจะลดรูปเป็นสมมาตร และความเป็นกึ่งเชิงเส้นจะลดรูปเป็นความเป็นเชิงเส้นคู่ดังนั้น ผลคูณภายในบนปริภูมิเวกเตอร์จริงจึงเป็นรูปแบบเชิงเส้นคู่สมมาตรบวกแน่นอนการกระจายทวินามของกำลังสองจะกลายเป็น ${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle \langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle .}$$

มีการใช้สัญลักษณ์หลายแบบสำหรับผลคูณภายใน รวมถึง , , และ รวมถึงผลคูณจุดตามปกติด้วย ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \left(\cdot ,\cdot \right)}$${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$${\displaystyle \left(\cdot |\cdot \right)}$

นักเขียนบางท่าน โดยเฉพาะในสาขาฟิสิกส์และพีชคณิตเมทริกซ์นิยมกำหนดนิยามของผลคูณภายในและรูปแบบเซสควิลิเนียร์โดยให้ความเชิงเส้นอยู่ในอาร์กิวเมนต์ตัวที่สองมากกว่าตัวแรก ในกรณีนี้ อาร์กิวเมนต์ตัวแรกจะกลายเป็นเชิงเส้นคู่ควบ แทนที่จะเป็นตัวที่สอง สัญกรณ์Bra–ketในกลศาสตร์ควอนตัมก็ใช้สัญกรณ์ที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย เช่นโดยที่ ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$${\displaystyle \langle x|y\rangle :=\left(y,x\right)}$

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของปริภูมิผลคูณภายใน ได้แก่และ จำนวนจริงเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือซึ่งกลายเป็นปริภูมิผลคูณภายในโดยมีผลคูณภายในเป็นการคูณเลขคณิต: ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} .}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle \langle x,y\rangle :=xy\quad {\text{ for }}x,y\in \mathbb {R} .}$$

จำนวนเชิงซ้อนเป็น ปริภูมิเวกเตอร์เหนือซึ่งกลายเป็นปริภูมิผลคูณภายในที่มีผลคูณภายใน แตกต่างจากจำนวนจริง การกำหนดค่าไม่ได้ให้นิยามผลคูณภายในเชิงซ้อนบน${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$$${\displaystyle \langle x,y\rangle :=x{\overline {y}}\quad {\text{ for }}x,y\in \mathbb {C} .}$$${\displaystyle (x,y)\mapsto xy}$${\displaystyle \mathbb {C} .}$

โดยทั่วไปแล้วปริภูมิจริง${\displaystyle n}$ ที่มีผลคูณดอทคือปริภูมิผลคูณภายใน ซึ่งเป็นตัวอย่างหนึ่งของปริภูมิ เวกเตอร์แบบยุคลิด โดยที่คือเมทริกซ์ สลับตำแหน่ง ของ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \left\langle {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}\right\rangle =x^{\operatorname {T} }y=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n},}$$${\displaystyle x^{\operatorname {T} }}$${\displaystyle x.}$

ฟังก์ชันเป็นผลคูณภายในบนก็ต่อเมื่อมี เมทริกซ์ สมมาตรบวกแน่นอนอยู่จริง โดยที่สำหรับทุกถ้าเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์แล้วคือผลคูณดอท สำหรับตัวอย่างอื่น ถ้าและเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอน (ซึ่งเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อและองค์ประกอบแนวทแยงมุมหนึ่งหรือทั้งสองเป็นบวก) แล้ว สำหรับทุก ดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ ผลคูณภายในทุกตัวบนมีรูปแบบนี้ (โดยที่และสอดคล้องกับ) ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {M} }$${\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y}$${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle \mathbf {M} }$${\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \det \mathbf {M} =ad-b^{2}>0}$${\displaystyle x:=\left[x_{1},x_{2}\right]^{\operatorname {T} },y:=\left[y_{1},y_{2}\right]^{\operatorname {T} }\in \mathbb {R} ^{2},}$$${\displaystyle \langle x,y\rangle :=x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y=\left[x_{1},x_{2}\right]{\begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}=ax_{1}y_{1}+bx_{1}y_{2}+bx_{2}y_{1}+dx_{2}y_{2}.}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle b\in \mathbb {R} ,a>0}$${\displaystyle d>0}$${\displaystyle ad>b^{2}}$

รูปแบบทั่วไปของผลคูณภายในบนเรียกว่ารูปแบบเฮอร์มิเชียนและกำหนดโดย โดย ที่เป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนบวก กำหนด และคือเมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุคของสำหรับกรณีจำนวนจริง รูปแบบนี้สอดคล้องกับผลคูณดอทของผลลัพธ์ของการปรับขนาดทิศทาง ที่แตกต่างกัน ของเวกเตอร์ทั้งสอง โดยมีตัวประกอบการปรับขนาด เป็นบวก และทิศทางการปรับขนาดตั้งฉากกัน มันคือ ผล รวมถ่วงน้ำหนักของผลคูณดอทที่มีน้ำหนักเป็นบวก—โดยขึ้นอยู่กับการแปลงเชิงตั้งฉาก ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$$${\displaystyle \langle x,y\rangle =y^{\dagger }\mathbf {M} x={\overline {x^{\dagger }\mathbf {M} y}},}$$${\displaystyle M}$${\displaystyle y^{\dagger }}$${\displaystyle y.}$

บทความเกี่ยวกับปริภูมิฮิลเบิร์ตมีตัวอย่างปริภูมิผลคูณภายในหลายตัวอย่าง ซึ่งเมตริกที่เกิดจากผลคูณภายในจะให้ปริภูมิเมตริกที่สมบูรณ์ตัวอย่างของปริภูมิผลคูณภายในที่ให้เมตริกที่ไม่สมบูรณ์คือปริภูมิของฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนต่อเนื่องบนช่วงผลคูณภายในคือ ปริภูมินี้ไม่สมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น สำหรับช่วง[−1, 1]ลำดับของฟังก์ชัน "ขั้นบันได" ต่อเนื่องที่กำหนดโดย: ${\displaystyle C([a,b])}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle [a,b].}$$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(t){\overline {g(t)}}\,\mathrm {d} t.}$$${\displaystyle \{f_{k}\}_{k},}$$${\displaystyle f_{k}(t)={\begin{cases}0&t\in [-1,0]\\1&t\in \left[{\tfrac {1}{k}},1\right]\\kt&t\in \left(0,{\tfrac {1}{k}}\right)\end{cases}}}$$

ลำดับนี้เป็นลำดับโคชีสำหรับค่ามาตรฐานที่เกิดจากผลคูณภายในก่อนหน้า ซึ่งไม่ลู่เข้าสู่ฟังก์ชัน ต่อเนื่อง

สำหรับตัวแปรสุ่ม จริง และค่าคาดหวังของผลคูณของตัวแปรสุ่มเหล่านั้น เป็นผลคูณภายใน^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}ในกรณีนี้ถ้าและเฉพาะเมื่อ(นั่นคือเกือบแน่นอน ) โดยที่แสดงถึงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ นิยามของค่าคาดหวังเป็นผลคูณภายในนี้สามารถขยายไปยังเวกเตอร์สุ่มได้เช่นกัน ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$$${\displaystyle \langle X,Y\rangle =\mathbb {E} [XY]}$$${\displaystyle \langle X,X\rangle =0}$${\displaystyle \mathbb {P} [X=0]=1}$${\displaystyle X=0}$${\displaystyle \mathbb {P} }$

ผลคูณภายในสำหรับเมทริกซ์จัตุรัสเชิงซ้อนที่มีขนาดเท่ากันคือผลคูณภายในแบบฟรอเบนิอุส เนื่องจากร่องรอยและการสลับตำแหน่งเป็นเชิงเส้น และการสังยุคอยู่บนเมทริกซ์ที่สอง ดังนั้นจึงเป็นตัวดำเนินการเซสควิลิเนียร์ นอกจากนี้เรายังได้สมมาตรแบบเฮอร์มิเชียนโดย สุดท้าย เนื่องจากสำหรับค่าที่ไม่เป็นศูนย์เราจึงได้ว่าผลคูณภายในแบบฟรอเบนิอุสเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอนด้วย ดังนั้นผลคูณภายในจึงเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอนเช่นกัน ${\displaystyle \langle A,B\rangle :=\operatorname {tr} \left(AB^{\dagger }\right)}$$${\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {tr} \left(AB^{\dagger }\right)={\overline {\operatorname {tr} \left(BA^{\dagger }\right)}}={\overline {\left\langle B,A\right\rangle }}}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle \langle A,A\rangle =\sum _{ij}\left|A_{ij}\right|^{2}>0}$

ในปริภูมิผลคูณภายใน หรือโดยทั่วไปแล้วในปริภูมิเวกเตอร์ที่มีรูปแบบไม่เสื่อมสภาพ (ดังนั้นจึงเป็นไอโซมอร์ฟิซึม) เวกเตอร์สามารถแปลงเป็นโคเวกเตอร์ได้ (ในพิกัด ผ่านการสลับแถวและคอลัมน์) เพื่อให้สามารถหาผลคูณภายในและผลคูณภายนอกของเวกเตอร์สองตัวได้ ไม่ใช่เพียงแค่ผลคูณระหว่างเวกเตอร์กับโคเวกเตอร์เท่านั้น ${\displaystyle V\to V^{*}}$

พื้นที่ผลคูณภายในทุกพื้นที่ก่อให้เกิดบรรทัดฐานเรียกว่า บรรทัดฐานนั้นเองบรรทัดฐานมาตรฐาน (canonical norm ) ซึ่งกำหนดโดย ด้วยบรรทัดฐานนี้ พื้นที่ผลคูณภายในทุกพื้นที่จะกลายเป็นพื้นที่เวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐาน (normed vector space) $${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$$

ดังนั้น คุณสมบัติทั่วไปทั้งหมดของปริภูมิเวกเตอร์แบบมีบรรทัดฐานจึงใช้ได้กับปริภูมิผลคูณภายใน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จะมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

ความเป็นเนื้อเดียวกันอย่างสมบูรณ์

$${\displaystyle \|ax\|=|a|\,\|x\|}$$ สำหรับทุกๆและ (ผลลัพธ์นี้เกิดจาก) ${\displaystyle x\in V}$${\displaystyle a\in F}$${\displaystyle \langle ax,ax\rangle =a{\overline {a}}\langle x,x\rangle }$

อสมการสามเหลี่ยม

$${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}$$ คุณสมบัติ ทั้ง สองนี้แสดงให้เห็นว่ามีบรรทัดฐานอยู่จริง${\displaystyle x,y\in V.}$

อสมการโคชี-ชวาร์ซ

$${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\,\|y\|}$$ สำหรับทุก ๆ ที่มีความเท่าเทียมกันก็ต่อเมื่อและเป็น ตัวแปรอิสระ เชิง เส้น${\displaystyle x,y\in V,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน

$${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}}$$ กฎ สี่เหลี่ยมด้านขนาน เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการกำหนดค่ามาตรฐานโดยใช้ผลคูณภายใน ${\displaystyle x,y\in V.}$

เอกลักษณ์ของการแบ่งขั้ว

$${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle x,y\rangle }$$ สำหรับทุกๆ ผลคูณภายในสามารถดึงกลับมาได้จากค่ามาตรฐานโดยใช้เอกลักษณ์การโพลาไรเซชัน เนื่องจากส่วนจินตนาการของมันคือส่วนจริงของ${\displaystyle x,y\in V.}$${\displaystyle \langle x,iy\rangle .}$

ความไม่เท่าเทียมกันของปโตเลมี

$${\displaystyle \|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|}$$ สำหรับทุก ความไม่เท่าเทียมกันของปโตเลมี ถือเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับเซมินอร์มที่จะเป็นนอร์มที่กำหนดโดยผลคูณภายใน^{[ 11 ]}${\displaystyle x,y,z\in V.}$

ความตั้งฉาก

เวกเตอร์สองตัวและกล่าวกันว่าเป็น${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$ตั้งฉากกันมักเขียนว่าถ้าผลคูณภายในเป็นศูนย์ นั่นคือ ถ้า สิ่งนี้เกิดขึ้นก็ต่อเมื่อสำหรับสเกลาร์ทั้งหมด ^{[ 12 ]}และก็ต่อเมื่อฟังก์ชันค่าจริงไม่เป็นลบ (นี่เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า ถ้าแล้วสเกลาร์จะทำให้ค่าต่ำสุดด้วยค่าที่ไม่เป็นบวกเสมอ) สำหรับปริภูมิผลคูณภายในเชิงซ้อนดำเนินการเชิงเส้นจะเหมือนกันก็ต่อเมื่อสำหรับทุก ^{[ 12 ]}สิ่งนี้ไม่เป็นจริงโดยทั่วไปสำหรับปริภูมิผลคูณภายในจริง เนื่องจากเป็นผลมาจากสมมาตรคู่ควบที่แตกต่างจากสมมาตรสำหรับผลคูณภายในเชิงซ้อน ตัวอย่างค้านในปริภูมิผลคูณภายในจริงคือการหมุน 90° ในซึ่งแมปเวกเตอร์ทุกตัวไปยังเวกเตอร์ตั้งฉากกัน แต่ไม่เหมือนกัน ${\displaystyle x\perp y,}$${\displaystyle \langle x,y\rangle =0.}$${\displaystyle \|x\|\leq \|x+sy\|}$${\displaystyle s,}$${\displaystyle f(s):=\|x+sy\|^{2}-\|x\|^{2}}$${\displaystyle y\neq 0}$${\displaystyle s_{0}=-{\tfrac {\overline {\langle x,y\rangle }}{\|y\|^{2}}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\left(s_{0}\right)=-{\tfrac {|\langle x,y\rangle |^{2}}{\|y\|^{2}}},}$${\displaystyle H,}$${\displaystyle T:V\to V}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle x\perp Tx}$${\displaystyle x\in V.}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle 0}$

ส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉาก

ส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากของเซตย่อยคือ เซตของเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับทุกองค์ประกอบของCกล่าวคือ เซตนี้เป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ปิดของ C เสมอและถ้าการปิดของในเป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์แล้ว${\displaystyle C\subseteq V}$${\displaystyle C^{\bot }}$$${\displaystyle C^{\bot }:=\{\,y\in V:\langle y,c\rangle =0{\text{ for all }}c\in C\,\}.}$$${\displaystyle C^{\bot }}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{V}C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{V}C=\left(C^{\bot }\right)^{\bot }.}$

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ถ้าและเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากกันแล้ว สามารถพิสูจน์ได้โดยการแสดงค่ากำลังสองของนอร์มในรูปของผลคูณภายใน โดยใช้คุณสมบัติการบวกในการกระจายด้านขวาของสมการ ชื่อทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาจากความหมายเชิงเรขาคณิตในเรขาคณิตแบบยุคลิด ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$$${\displaystyle \|x\|^{2}+\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}.}$$

ตัวตนของปาร์เซวัล

การอุปมานตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสให้ผลลัพธ์ว่า ถ้าตั้งฉากกันเป็นคู่ๆ แล้ว ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{2}=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|^{2}.}$$

มุม

เมื่อn เป็นจำนวนจริง อสมการโคชี-ชวาร์ซจะบ่งชี้ว่า n = 0 และดังนั้น n = 0 ก็ เป็นจำนวนจริงเช่นกัน สิ่งนี้ทำให้สามารถกำหนดมุม (ที่ไม่ระบุทิศทาง) ของเวกเตอร์สองตัวในนิยามสมัยใหม่ของเรขาคณิตแบบยุคลิด ได้ โดยใช้พีชคณิต เชิงเส้น นอกจากนี้ยังใช้ในการวิเคราะห์ข้อมูลภายใต้ชื่อ " ความคล้ายคลึงโคไซน์ " สำหรับการเปรียบเทียบเวกเตอร์ข้อมูลสองตัว ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าn = 0 เป็นค่าลบ มุมจะมีค่ามากกว่า 90 องศา คุณสมบัตินี้มักใช้ในกราฟิกคอมพิวเตอร์ (เช่น ในการตัดด้านหลัง ) เพื่อวิเคราะห์ทิศทางโดยไม่ต้องคำนวณฟังก์ชันตรีโกโนเมตริก${\displaystyle \langle x,y\rangle }$${\textstyle {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\,\|y\|}}\in [-1,1],}$$${\displaystyle \angle (x,y)=\arccos {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\,\|y\|}},}$$${\displaystyle \langle x,y\rangle }$${\displaystyle \angle (x,y)}$

สมมติว่าเป็นผลคูณภายในบน(ดังนั้นจึงเป็นแอนติลิเนียร์ในอาร์กิวเมนต์ที่สอง) เอกลักษณ์โพลาไรเซชันแสดงให้เห็นว่าส่วนจริงของผลคูณภายในคือ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle V}$$${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).}$$

ถ้าเป็นปริมาณเวกเตอร์จริงแล้ว และส่วนจินตนาการ (หรือเรียกว่าส่วนเชิงซ้อน ) ของจะเท่ากับเสมอ${\displaystyle V}$$${\displaystyle \langle x,y\rangle =\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)}$$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle 0.}$

สมมติไว้สำหรับส่วนที่เหลือของหัวข้อนี้ว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนเอกลักษณ์การโพลาไรเซชันสำหรับปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนแสดงให้เห็นว่า ${\displaystyle V}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,\ y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle +i\operatorname {Re} \langle x,iy\rangle .\\\end{alignedat}}}$$

แผนที่ที่กำหนดโดยสำหรับทุกค่าเป็นไปตามสัจพจน์ของผลคูณภายใน ยกเว้นว่ามันเป็นแอนติลิเนียร์ใน อาร์กิวเมนต์ แรกแทนที่จะเป็นอาร์กิวเมนต์ที่สอง ส่วนจริงของทั้งและมีค่าเท่ากับแต่ผลคูณภายในแตกต่างกันในส่วนเชิงซ้อน ${\displaystyle \langle x\mid y\rangle =\langle y,x\rangle }$${\displaystyle x,y\in V}$${\displaystyle \langle x\mid y\rangle }$${\displaystyle \langle x,y\rangle }$${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle }$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x\mid y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}-i\|x+iy\|^{2}+i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle -i\operatorname {Re} \langle x,iy\rangle .\\\end{alignedat}}}$$

ความเท่าเทียมกันสุดท้ายนั้นคล้ายกับสูตรที่แสดงฟังก์ชันเชิงเส้นในรูปของส่วนจริงของมัน

สูตรเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าผลคูณภายในเชิงซ้อนทุกตัวถูกกำหนดโดยส่วนจริงอย่างสมบูรณ์ ยิ่งไปกว่านั้น ส่วนจริงนี้ยังกำหนดผลคูณภายในบนปริภูมิเวกเตอร์ที่ถือว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์จริง ดังนั้นจึงมีความสอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างผลคูณภายในเชิงซ้อนบนปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนและผลคูณภายในจริงบน ปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อน${\displaystyle V,}$${\displaystyle V,}$${\displaystyle V.}$

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าสำหรับจำนวนเต็มบางจำนวนเมื่อพิจารณาว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์จริงในแบบปกติ (หมายความว่ามันถูกระบุด้วยปริภูมิเวกเตอร์จริงมิติโดยที่แต่ละถูกระบุด้วย) แล้วผลคูณดอทจะกำหนดผลคูณภายในจริงบนปริภูมินี้ ผลคูณภายในเชิงซ้อนที่ไม่ซ้ำกันบนที่เกิดจากผลคูณดอท คือแผนที่ที่ส่งไปยัง(เนื่องจากส่วนจริงของแผนที่นี้เท่ากับผลคูณดอท) ${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle n>0.}$${\displaystyle V}$${\displaystyle 2n-}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n},}$${\displaystyle \left(a_{1}+ib_{1},\ldots ,a_{n}+ib_{n}\right)\in \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \left(a_{1},b_{1},\ldots ,a_{n},b_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle x\,\cdot \,y=\left(x_{1},\ldots ,x_{2n}\right)\,\cdot \,\left(y_{1},\ldots ,y_{2n}\right):=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{2n}y_{2n}}$${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle c=\left(c_{1},\ldots ,c_{n}\right),d=\left(d_{1},\ldots ,d_{n}\right)\in \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \langle c,d\rangle :=c_{1}{\overline {d_{1}}}+\cdots +c_{n}{\overline {d_{n}}}}$${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$

ให้แทนปริมาณเวกเตอร์ที่พิจารณาบนปริมาณเวกเตอร์จริง แทนที่จะเป็นปริมาณเวกเตอร์เชิงซ้อน ส่วนจริงของผลคูณภายในเชิงซ้อนคือฟังก์ชันที่ก่อให้เกิดผลคูณภายในจริงบนปริมาณเวกเตอร์จริงผลคูณภายในทุกตัวบนปริมาณเวกเตอร์จริงเป็น ฟังก์ชัน ทวิเชิงเส้น และสมมาตร${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \langle x,y\rangle }$${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ~:~V_{\mathbb {R} }\times V_{\mathbb {R} }\to \mathbb {R} ,}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} }.}$

ตัวอย่างเช่น ถ้ามีผลคูณภายในโดยที่เป็นปริมาณเวกเตอร์เหนือฟิลด์แล้วเป็นปริมาณเวกเตอร์เหนือและคือผลคูณดอทโดยที่ถูกระบุด้วยจุด(และในทำนองเดียวกันสำหรับ); ดังนั้น ผลคูณภายในมาตรฐานบนจึงเป็น "ส่วนขยาย" ของผลคูณดอท นอกจากนี้ หากถูกกำหนดให้เป็นแผนที่สมมาตร (แทนที่จะเป็นแผนที่สมมาตรสังยุค ตามปกติ ) ส่วนจริงของมันจะไม่ใช่ผลคูณดอท ยิ่งไปกว่านั้น หากไม่มีสังยุคเชิงซ้อน ถ้าแต่แล้วดังนั้น การกำหนดค่าจะไม่กำหนดบรรทัดฐาน ${\displaystyle V=\mathbb {C} }$${\displaystyle \langle x,y\rangle =x{\overline {y}},}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} }=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }}$${\displaystyle x\cdot y,}$${\displaystyle x=a+ib\in V=\mathbb {C} }$${\displaystyle (a,b)\in V_{\mathbb {R} }=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \langle x,y\rangle =x{\overline {y}},}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \langle x,y\rangle }$${\displaystyle \langle x,y\rangle =xy}$${\displaystyle \langle x,y\rangle =x{\overline {y}}}$${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }}$${\displaystyle x\in \mathbb {C} }$${\displaystyle x\not \in \mathbb {R} }$${\displaystyle \langle x,x\rangle =xx=x^{2}\not \in [0,\infty )}$${\textstyle x\mapsto {\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่า แม้ว่าผลคูณภายในจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนจะมีคุณสมบัติและผลลัพธ์ที่เหมือนกันหลายอย่าง แต่ก็ไม่สามารถใช้แทนกันได้อย่างสมบูรณ์ เช่น ถ้าแล้วแต่ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่าโดยทั่วไปแล้วข้อความกลับไม่เป็นจริง เมื่อกำหนดเวกเตอร์ ใดๆ (ซึ่งเป็นเวกเตอร์ที่หมุนไป 90°) เป็นสมาชิกของและดังนั้น ก็เป็นสมาชิกของ ด้วย(แม้ว่าการคูณสเกลาร์ของด้วยจะไม่นิยามในเวกเตอร์ ในที่แสดงด้วยก็ยังคงเป็นสมาชิกของ อยู่ดี) สำหรับผลคูณภายในจำนวนเชิงซ้อนในขณะที่สำหรับผลคูณภายในจำนวนจริง ค่าจะเป็นเสมอ${\displaystyle \langle x,y\rangle =0}$${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }=0,}$${\displaystyle x\in V,}$${\displaystyle ix}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} },}$${\displaystyle V}$${\displaystyle ix}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \langle x,ix\rangle =-i\|x\|^{2},}$${\displaystyle \langle x,ix\rangle _{\mathbb {R} }=0.}$

ถ้าเป็นผลคูณภายในเชิงซ้อน และเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นต่อเนื่องที่สอดคล้องกับเงื่อนไขสำหรับทุกแล้วข้อความนี้จะไม่เป็นจริงอีกต่อไป ถ้าเป็นผลคูณภายในจริงแทน ดังตัวอย่างต่อไปนี้ สมมติว่ามีผลคูณภายในที่กล่าวถึงข้างต้น แผนที่ที่กำหนดโดยเป็นแผนที่เชิงเส้น (เชิงเส้นสำหรับทั้งและ) ที่แสดงถึงการหมุนโดยในระนาบ เนื่องจากและเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากกัน และเป็นเพียงผลคูณจุดสำหรับทุกเวกเตอร์แผนที่การหมุนนี้จึงไม่ใช่ศูนย์โดยสมบูรณ์อย่างแน่นอนในทางตรงกันข้าม การใช้ผลคูณภายในเชิงซ้อนจะให้ซึ่ง (ตามที่คาดไว้) ไม่ใช่ศูนย์โดยสมบูรณ์ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$${\displaystyle A:V\to V}$${\displaystyle \langle x,Ax\rangle =0}$${\displaystyle x\in V,}$${\displaystyle A=0.}$${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$${\displaystyle V=\mathbb {C} }$${\displaystyle \langle x,y\rangle :=x{\overline {y}}}$${\displaystyle A:V\to V}$${\displaystyle Ax=ix}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle 90^{\circ }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle Ax}$${\displaystyle \langle x,Ax\rangle _{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \langle x,Ax\rangle _{\mathbb {R} }=0}$${\displaystyle x;}$${\displaystyle A}$${\displaystyle 0.}$${\displaystyle \langle x,Ax\rangle =-i\|x\|^{2},}$

ให้เป็นปริภูมิผลคูณภายในที่มีมิติจำกัดโปรดจำไว้ว่าฐานทุกฐานของประกอบด้วยเวกเตอร์ที่เป็นอิสระเชิงเส้นอย่างแน่นอน โดยใช้กระบวนการแกรม-ชมิดต์เราสามารถเริ่มต้นด้วยฐานใดๆ และแปลงมันให้เป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติ นั่นคือ ฐานที่องค์ประกอบทั้งหมดตั้งฉากกันและมีขนาดหนึ่ง ในเชิงสัญลักษณ์ ฐานจะเป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติ ถ้าสำหรับทุกและสำหรับแต่ละดัชนี${\displaystyle V}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle V}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =0}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle \langle e_{i},e_{i}\rangle =\|e_{a}\|^{2}=1}$${\displaystyle i.}$

นิยามของฐานเชิงตั้งฉากปกติ (orthonormal basis) นี้สามารถขยายไปสู่กรณีของปริภูมิผลคูณภายในมิติอนันต์ได้ดังนี้ ให้เป็นปริภูมิผลคูณภายในใดๆ แล้วชุดของ จะเป็นฐานสำหรับถ้าปริภูมิย่อยของที่สร้างขึ้นโดยการรวมเชิงเส้นจำกัดขององค์ประกอบของมีความหนาแน่นใน(ในบรรทัดฐานที่เกิดจากผลคูณภายใน) เรียกว่าเป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติสำหรับถ้า เป็นฐาน และ ถ้าและสำหรับทุก${\displaystyle V}$$${\displaystyle E=\left\{e_{a}\right\}_{a\in A}}$$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle E}$${\displaystyle V}$${\displaystyle E}$${\displaystyle V}$$${\displaystyle \left\langle e_{a},e_{b}\right\rangle =0}$$${\displaystyle a\neq b}$${\displaystyle \langle e_{a},e_{a}\rangle =\|e_{a}\|^{2}=1}$${\displaystyle a,b\in A.}$

โดยใช้แบบจำลองมิติอนันต์ของกระบวนการแกรม-ชมิดท์ เราสามารถแสดงให้เห็นได้ว่า:

ทฤษฎีบท. ปริภูมิผลคูณภายใน ที่แยกได้ใดๆจะมีฐานเชิงตั้งฉากปกติ

โดยใช้หลักการสูงสุดของเฮาส์ดอร์ฟและข้อเท็จจริงที่ว่าในปริภูมิผลคูณภายในที่สมบูรณ์การฉายภาพเชิงตั้งฉากบนปริภูมิย่อยเชิงเส้นนั้นกำหนดไว้อย่างดี เราสามารถแสดงได้ว่า

ทฤษฎีบท. ปริภูมิผลคูณภายในสมบูรณ์ใดๆย่อมมีฐานเชิงตั้งฉากปกติ

ทฤษฎีบทสองข้อก่อนหน้านี้ทำให้เกิดคำถามว่าปริภูมิผลคูณภายในทั้งหมดมีฐานเชิงตั้งฉากปกติหรือไม่ คำตอบคือไม่ใช่ นี่เป็นผลลัพธ์ที่ไม่ธรรมดา และจะได้รับการพิสูจน์ต่อไปนี้ การพิสูจน์ต่อไปนี้มาจากหนังสือ A Hilbert Space Problem Book ของ Halmos (ดูเอกสารอ้างอิง)

การพิสูจน์

โปรดจำไว้ว่า มิติของปริภูมิผลคูณภายในคือจำนวนสมาชิกของระบบออร์โทนอร์มอลสูงสุดที่ปริภูมินั้นบรรจุอยู่ (ตามทฤษฎีบทของซอร์น ปริภูมินั้นบรรจุอย่างน้อยหนึ่งระบบ และสองระบบใดๆ ก็มีจำนวนสมาชิกเท่ากัน) ฐานออร์โทนอร์มอลเป็นระบบออร์โทนอร์มอลสูงสุดอย่างแน่นอน แต่ในทางกลับกันนั้นไม่จำเป็นต้องเป็นจริงเสมอไป ถ้าเป็นปริภูมิย่อยหนาแน่นของปริภูมิผลคูณภายในแล้ว ฐานออร์โทนอร์มอลใดๆ สำหรับจะเป็นฐานออร์โทนอร์มอลสำหรับ โดยอัตโนมัติดังนั้นจึงเพียงพอที่จะสร้างปริภูมิผลคูณภายในที่มีปริภูมิย่อยหนาแน่นซึ่งมีมิติเล็กกว่าของ อย่างเคร่งครัด${\displaystyle G}$${\displaystyle V,}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V.}$${\displaystyle V}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V.}$ ให้เป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีมิติ(ตัวอย่างเช่น) ให้เป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติของดังนั้นขยายไปยังฐานฮาเมลสำหรับโดยที่เนื่องจากเป็นที่ทราบกันว่ามิติฮาเมลของคือจำนวนสมาชิกของคอนติเนียม ดังนั้น จะต้องเป็น${\displaystyle K}$${\displaystyle \aleph _{0}.}$${\displaystyle K=\ell ^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle E}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle |E|=\aleph _{0}.}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E\cup F}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle E\cap F=\varnothing .}$${\displaystyle K}$${\displaystyle c,}$${\displaystyle |F|=c.}$ ให้เป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีมิติ(ตัวอย่างเช่น) ให้เป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติสำหรับและให้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง แล้วจะมีการแปลงเชิงเส้นที่ทำให้สำหรับและสำหรับ${\displaystyle L}$${\displaystyle c}$${\displaystyle L=\ell ^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle B}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \varphi :F\to B}$${\displaystyle T:K\to L}$${\displaystyle Tf=\varphi (f)}$${\displaystyle f\in F,}$${\displaystyle Te=0}$${\displaystyle e\in E.}$ ให้และให้เป็นกราฟของให้เป็นส่วนปิดของใน; เราจะแสดงว่าเนื่องจากสำหรับใดๆเรามีดังนั้น จึงสรุปได้ว่า${\displaystyle V=K\oplus L}$${\displaystyle G=\{(k,Tk):k\in K\}}$${\displaystyle T.}$${\displaystyle {\overline {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\overline {G}}=V.}$${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle (e,0)\in G,}$${\displaystyle K\oplus 0\subseteq {\overline {G}}.}$ ต่อไป ถ้าเช่นนั้นสำหรับบางค่าดังนั้นเนื่องจากเช่นกัน เรายังมีดังนั้นจึงสรุปได้ว่าและหนาแน่นใน${\displaystyle b\in B,}$${\displaystyle b=Tf}$${\displaystyle f\in F\subseteq K,}$${\displaystyle (f,b)\in G\subseteq {\overline {G}}}$${\displaystyle (f,0)\in {\overline {G}}}$${\displaystyle (0,b)\in {\overline {G}}.}$${\displaystyle 0\oplus L\subseteq {\overline {G}},}$${\displaystyle {\overline {G}}=V,}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V.}$ สุดท้ายนี้เป็นเซตออร์โทนอร์มอลสูงสุดใน; ถ้า สำหรับทุกแล้วเวกเตอร์ศูนย์ใน ก็เป็นเซตออร์โทนอร์มอลสูงสุดเช่นกัน ดังนั้น มิติของคือในขณะที่เห็นได้ชัดว่ามิติของคือการพิสูจน์เสร็จสมบูรณ์แล้ว ${\displaystyle \{(e,0):e\in E\}}$${\displaystyle G}$$${\displaystyle 0=\langle (e,0),(k,Tk)\rangle =\langle e,k\rangle +\langle 0,Tk\rangle =\langle e,k\rangle }$$${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle k=0,}$${\displaystyle (k,Tk)=(0,0)}$${\displaystyle G.}$${\displaystyle G}$${\displaystyle |E|=\aleph _{0},}$${\displaystyle V}$${\displaystyle c.}$

เอกลักษณ์ของปาร์เซวัลนำไปสู่ทฤษฎีบทต่อไปนี้โดยทันที:

ทฤษฎีบท.ให้เป็นปริภูมิผลคูณภายในที่แยกได้ และเป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติของ แล้ว แผนที่ เป็นแผนที่เชิงเส้นแบบไอโซเมตริกที่มีภาพหนาแน่น ${\displaystyle V}$${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}_{k}}$${\displaystyle V.}$$${\displaystyle x\mapsto {\bigl \{}\langle e_{k},x\rangle {\bigr \}}_{k\in \mathbb {N} }}$$${\displaystyle V\rightarrow \ell ^{2}}$

ทฤษฎีบทนี้สามารถถือได้ว่าเป็นรูปแบบนามธรรมของอนุกรมฟูริเยร์โดยที่ฐานเชิงตั้งฉากใดๆ ทำหน้าที่เป็นลำดับของพหุนามตรีโกณมิติโปรดทราบว่าเซตดัชนีพื้นฐานสามารถเลือกให้เป็นเซตที่นับได้ใดๆ ก็ได้ (และในความเป็นจริงเซตใดๆ ก็ได้ ตราบใดที่ถูกกำหนดอย่างเหมาะสม ดังที่อธิบายไว้ในบทความเรื่องปริภูมิฮิลเบิร์ต ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราจะได้ผลลัพธ์ต่อไปนี้ในทฤษฎีอนุกรมฟูริเยร์: ${\displaystyle \ell ^{2}}$

ทฤษฎีบท.ให้เป็นปริภูมิผลคูณภายในแล้วลำดับ (ที่จัดทำดัชนีบนเซตของจำนวนเต็มทั้งหมด) ของฟังก์ชันต่อเนื่อง จะเป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติของปริภูมิที่มี ผลคูณ ภายในการแมป เป็นแผนที่เชิงเส้นไอโซเมตริกที่มีภาพหนาแน่น ${\displaystyle V}$${\displaystyle C[-\pi ,\pi ].}$$${\displaystyle e_{k}(t)={\frac {e^{ikt}}{\sqrt {2\pi }}}}$$${\displaystyle C[-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle L^{2}}$$${\displaystyle f\mapsto {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left\{\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}\,\mathrm {d} t\right\}_{k\in \mathbb {Z} }}$$

ความตั้งฉากของลำดับเป็นผลโดยตรงจากข้อเท็จจริงที่ว่า ถ้าแล้ว ${\displaystyle \{e_{k}\}_{k}}$${\displaystyle k\neq j,}$$${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }e^{-i(j-k)t}\,\mathrm {d} t=0.}$$

ความปกติของลำดับนั้นเกิดจากการออกแบบ กล่าวคือ สัมประสิทธิ์ถูกเลือกเพื่อให้ค่าปกติออกมาเป็น 1 สุดท้ายแล้ว ข้อเท็จจริงที่ว่าลำดับมีปริภูมิพีชคณิตหนาแน่นในค่าปกติของผลคูณภายในนั้นมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าลำดับมีปริภูมิพีชคณิตหนาแน่นเช่นกัน คราวนี้อยู่ในปริภูมิของฟังก์ชันคาบต่อเนื่องบนที่มีค่าปกติสม่ำเสมอ นี่คือเนื้อหาของทฤษฎีบทไวเออร์สตรัสเกี่ยวกับความหนาแน่นสม่ำเสมอของพหุนามตรีโกณมิติ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$

แผนที่เชิงเส้นหลายประเภทที่เชื่อมโยงระหว่างปริภูมิผลคูณภายในมีความเกี่ยวข้องดังนี้: ${\displaystyle A:V\to W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$

• แผนที่เชิงเส้นต่อเนื่อง :เป็นเชิงเส้นและต่อเนื่องเมื่อเทียบกับเมตริกที่กำหนดไว้ข้างต้น หรือเทียบเท่ากับ เป็นเชิงเส้นและเซตของจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบซึ่งครอบคลุมทั่วลูกบอลหน่วยปิดของมีขอบเขตจำกัด${\displaystyle A:V\to W}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\},}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V,}$
• ตัวดำเนินการเชิงเส้นสมมาตร : เป็นเชิงเส้นและสำหรับทุก${\displaystyle A:V\to W}$${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle }$${\displaystyle x,y\in V.}$
• ไอโซเมตรี :สอดคล้องกับเงื่อนไขสำหรับทุกค่าไอโซเมตรีเชิงเส้น (หรือไอโซเมตรีเชิงต้านเชิงเส้น ) คือไอโซเมตรีที่เป็นแผนที่เชิงเส้น (หรือแผนที่เชิงต้านเชิงเส้น ) ด้วย สำหรับปริภูมิผลคูณภายในเอกลักษณ์โพลาไรเซชันสามารถใช้เพื่อแสดงว่าเป็นไอโซเมตรีก็ต่อเมื่อสำหรับทุก ค่า ไอโซเมตรีทั้งหมดเป็นฟังก์ชันหนึ่ง ต่อหนึ่ง ทฤษฎีบท มาซูร์-อูลามพิสูจน์ว่าไอโซเมตรีแบบทั่วถึงทุกตัวระหว่าง ปริภูมิบรรทัดฐาน จริง สอง ปริภูมิเป็นการแปลงเชิงเส้นดังนั้น ไอโซเมตรีระหว่างปริภูมิผลคูณภายในจริงจะเป็นแผนที่เชิงเส้นก็ต่อเมื่อไอโซเมตรีเป็นมอร์ฟิซึมระหว่างปริภูมิผลคูณภายใน และมอร์ฟิซึมของปริภูมิผลคูณภายในจริงเป็นการแปลงเชิงตั้งฉาก (เปรียบเทียบกับเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก )${\displaystyle A:V\to W}$${\displaystyle \|Ax\|=\|x\|}$${\displaystyle x\in V.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \langle Ax,Ay\rangle =\langle x,y\rangle }$${\displaystyle x,y\in V.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A(0)=0.}$
• ไอโซมอร์ฟิซึมเชิงไอโซเมตริก : คือไอโซเมตรีที่เป็นฟังก์ชันทั่วถึง (และดังนั้นจึงเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ) ไอโซมอร์ฟิซึมเชิงไอโซเมตริกเรียกอีกอย่างว่า ตัวดำเนินการเอกภาพ (เปรียบเทียบกับเมทริกซ์เอกภาพ )${\displaystyle A:V\to W}$

จากมุมมองของทฤษฎีปริภูมิผลคูณภายใน ไม่จำเป็นต้องแยกแยะระหว่างปริภูมิสองปริภูมิที่สมมาตรกันทฤษฎีบทสเปกตรัมให้รูปแบบมาตรฐานสำหรับตัวดำเนินการสมมาตร เอกภาพ และโดยทั่วไปคือตัวดำเนินการปกติในปริภูมิผลคูณภายในมิติจำกัด การวางนัยทั่วไปของทฤษฎีบทสเปกตรัมใช้ได้กับตัวดำเนินการปกติต่อเนื่องในปริภูมิฮิลเบิร์ต^{[ 13 ]}

สามารถลดทอนสัจพจน์ใดๆ ของผลคูณภายในได้ ทำให้เกิดแนวคิดทั่วไปขึ้น การวางนัยทั่วไปที่ใกล้เคียงกับผลคูณภายในมากที่สุดเกิดขึ้นเมื่อยังคงรักษาความเป็นเชิงเส้นคู่และความสมมาตรแบบสังยุคไว้ แต่ลดทอนความเป็นบวกแน่นอนลง

ถ้าเป็นปริมาณเวกเตอร์และเป็นรูปแบบเซสควิลิเนียร์กึ่งกำหนดแล้ว ฟังก์ชัน: มีความหมายและตรงตามคุณสมบัติทั้งหมดของนอร์ม ยกเว้นว่าไม่ได้หมายความว่า(ฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่าเซมิ-นอร์ม ) เราสามารถสร้างปริมาณเวกเตอร์ผลคูณภายในได้โดยพิจารณา ผลหาร รูปแบบเซสควิลิเนียร์แยกตัวประกอบผ่าน${\displaystyle V}$${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$$${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$$${\displaystyle \|x\|=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle W=V/\{x:\|x\|=0\}.}$${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$${\displaystyle W.}$

โครงสร้างนี้ถูกนำไปใช้ในบริบทต่างๆ มากมายโครงสร้าง Gelfand–Naimark–Segalเป็นตัวอย่างที่สำคัญอย่างยิ่งของการใช้เทคนิคนี้ อีกตัวอย่างหนึ่งคือการแสดงเคอร์เนลแบบกึ่งกำหนดบนเซตใดๆ

อีกทางเลือกหนึ่ง อาจกำหนดให้การจับคู่เป็นรูปแบบที่ไม่เสื่อมสภาพหมายความว่า สำหรับค่าที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดจะมีค่าบางค่าที่ทำให้แม้ว่าค่าจะไม่เท่ากับค่าเดิมก็ตาม กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ แผนที่ที่เหนี่ยวนำไปยังปริภูมิคู่ขนานเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง การสรุปทั่วไปนี้มีความสำคัญในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ : แมนิโฟลด์ที่มีปริภูมิสัมผัสที่มีผลคูณภายในเรียกว่า แมนิโฟลด์แบบ รีมันน์ในขณะที่หากสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับรูปแบบสมมาตรคู่ควบที่ไม่เสื่อมสภาพ แมนิโฟลด์นั้นจะเป็นแมนิโฟลด์แบบซูโดรีมันน์ตามกฎความเฉื่อยของซิลเวสเตอร์ เช่นเดียวกับที่ผลคูณภายในทุกตัวคล้ายกับผลคูณดอทที่มีน้ำหนักบวกบนเซตของเวกเตอร์ รูปแบบสมมาตรคู่ควบที่ไม่เสื่อมสภาพทุกตัวก็คล้ายกับผลคูณดอทที่มี น้ำหนัก ที่ไม่เป็นศูนย์บนเซตของเวกเตอร์ และจำนวนของน้ำหนักบวกและลบเรียกว่าดัชนีบวกและดัชนีลบตามลำดับ ผลคูณของเวกเตอร์ในปริภูมิ Minkowskiเป็นตัวอย่างหนึ่งของผลคูณภายในไม่จำกัด แม้ว่าในทางเทคนิคแล้ว มันไม่ใช่ผลคูณภายในตามนิยามมาตรฐานข้างต้นก็ตาม ปริภูมิ Minkowski มีสี่มิติและดัชนี 3 และ 1 (การกำหนดเครื่องหมาย"+" และ "−"ให้กับมิติเหล่านี้แตกต่างกันไปตามข้อตกลง ) ${\displaystyle x\neq 0}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \langle x,y\rangle \neq 0,}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V\to V^{*}}$

ข้อความเชิงพีชคณิตล้วนๆ (ข้อความที่ไม่ใช้คุณสมบัติความเป็นบวก) โดยทั่วไปมักอาศัยเพียงคุณสมบัติที่ไม่เสื่อมถอย (โฮโมมอร์ฟิซึมแบบหนึ่งต่อหนึ่ง) และดังนั้นจึงใช้ได้ทั่วไปมากกว่า ${\displaystyle V\to V^{*}}$

คำว่า "ผลคูณภายใน" (inner product) ตรงข้ามกับ " ผลคูณภายนอก " ( outer product หรือ tensor product ) ซึ่งเป็นคำตรงข้ามที่ครอบคลุมกว่าเล็กน้อย กล่าวโดยง่าย ในระบบพิกัด ผลคูณภายในคือผลคูณของโคเวกเตอร์กับเวกเตอร์ ซึ่งได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ (สเกลาร์) ในขณะที่ผลคูณภายนอกคือผลคูณของเวกเตอร์กับโคเวกเตอร์ ซึ่งได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ ผลคูณภายนอกถูกกำหนดขึ้นสำหรับมิติที่แตกต่างกัน ในขณะที่ผลคูณภายในต้องการมิติเดียวกัน หากมิติเท่ากัน ผลคูณภายในจะเป็นร่องรอย (trace ) ของผลคูณภายนอก (ร่องรอยจะถูกกำหนดอย่างถูกต้องเฉพาะสำหรับเมทริกซ์จัตุรัสเท่านั้น) โดยสรุปอย่างไม่เป็นทางการ: "ผลคูณภายในคือแนวนอนคูณแนวตั้งและหดตัวลง ผลคูณภายนอกคือแนวตั้งคูณแนวนอนและขยายออก" ${\displaystyle 1\times n}$${\displaystyle n\times 1}$${\displaystyle 1\times 1}$${\displaystyle m\times 1}$${\displaystyle 1\times n}$${\displaystyle m\times n}$

กล่าว โดยสรุป ผลคูณภายนอกคือแผนที่เชิงเส้นคู่ที่ส่งเวกเตอร์และโคเวกเตอร์ไปยังการแปลงเชิงเส้นอันดับ 1 ( เทนเซอร์แบบง่ายประเภท (1, 1)) ในขณะที่ผลคูณภายในคือแผนที่การประเมินเชิงเส้นคู่ที่กำหนดโดยการประเมินโคเวกเตอร์บนเวกเตอร์ ลำดับของปริภูมิเวกเตอร์โดเมนในที่นี้สะท้อนถึงความแตกต่างระหว่างโคเวกเตอร์และเวกเตอร์ ${\displaystyle W\times V^{*}\to \hom(V,W)}$${\displaystyle V^{*}\times V\to F}$

ผลคูณภายในและผลคูณภายนอกไม่ควรสับสนกับผลคูณภายในและผลคูณภายนอกซึ่งเป็นการดำเนินการบนฟิลด์เวกเตอร์และรูปแบบเชิงอนุพันธ์หรือโดยทั่วไปแล้วบนพีชคณิต ภายนอก

เพื่อเพิ่มความซับซ้อน ในพีชคณิตเชิงเรขาคณิตผลคูณภายในและ ผลคูณ ภายนอก (กราสส์มันน์) จะถูกรวมเข้าด้วยกันในผลคูณเชิงเรขาคณิต (ผลคูณคลิฟฟอร์ดในพีชคณิตคลิฟฟอร์ด ) – ผลคูณภายในส่งเวกเตอร์สองตัว (เวกเตอร์ 1) ไปยังสเกลาร์ (เวกเตอร์ 0) ในขณะที่ผลคูณภายนอกส่งเวกเตอร์สองตัวไปยังไบเวกเตอร์ (เวกเตอร์ 2) – และในบริบทนี้ ผลคูณภายนอกมักเรียกว่าผลคูณภายนอก (หรืออีกนัยหนึ่งคือผลคูณลิ่ม ) ผลคูณภายในนั้นควรเรียกว่า ผล คูณสเกลาร์ในบริบทนี้มากกว่า เนื่องจากรูปแบบกำลังสองที่ไม่เสื่อมสภาพที่กล่าวถึงนั้นไม่จำเป็นต้องเป็นบวกแน่นอน (ไม่จำเป็นต้องเป็นผลคูณภายใน)

• รูปแบบไบลิเนียร์  – ฟังก์ชันไบลิเนียร์ที่มีค่าเป็นสเกลาร์
• ระบบไบออร์โทโกนอล  – คู่ของปริภูมิเวกเตอร์
• ปริภูมิคู่  – ในทางคณิตศาสตร์ หมายถึง ปริภูมิเวกเตอร์ของรูปแบบเชิงเส้น
• พื้นที่พลังงาน  – แนวคิดทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับพลังงานในวิชาฟิสิกส์
• ผลคูณภายในแบบ L  – การขยายความของผลคูณภายในที่ใช้ได้กับปริภูมิมาตรฐานทั้งหมด
• ระยะทางมินคอฟสกี  – ฟังก์ชันระยะทางเวกเตอร์
• ฐานเชิงตั้งฉาก  – ฐานที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ที่ตั้งฉากซึ่งกันและกัน
• ส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉาก  – แนวคิดในพีชคณิตเชิงเส้น
• ฐานออร์โทนอร์มอล  – ฐานเชิงเส้นเฉพาะ (คณิตศาสตร์)
• แมนิโฟลด์แบบรีมันน์  – แมนิโฟลด์เรียบที่มีผลคูณภายในบนระนาบสัมผัสแต่ละระนาบ

• Axler, Sheldon (1997). พีชคณิตเชิงเส้นที่ถูกต้อง (ฉบับที่ 2). เบอร์ลิน, นิวยอร์ก: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98258-8.
• ดีเออโดเน่, ฌอง (1969). ตำราว่าด้วยการวิเคราะห์ เล่ม 1 [รากฐานของการวิเคราะห์สมัยใหม่] (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2). สำนักพิมพ์วิชาการ . ISBN 978-1-4067-2791-3.
• เอ็มช์, เจอราร์ด จี. (1972). วิธีการทางพีชคณิตในกลศาสตร์เชิงสถิติและทฤษฎีสนามควอนตัม . ไวลีย์-อินเตอร์ไซแอนซ์ . ISBN 978-0-471-23900-0.
• Halmos, Paul R. (8 พฤศจิกายน 1982). หนังสือโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับปริภูมิฮิลเบิร์ต . ตำราเรียนคณิตศาสตร์ระดับบัณฑิตศึกษา . เล่มที่ 19 (ฉบับที่ 2). นิวยอร์ก: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90685-0. OCLC  8169781 .
• Lax, Peter D. (2002). การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน (PDF) . คณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์. นิวยอร์ก: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-55604-6. OCLC  47767143 . สืบค้นเมื่อ 22 กรกฎาคม 2020 .
• รูดิน, วอลเตอร์ (1991). การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน . ชุดนานาชาติในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ เล่มที่ 8 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: แมคกรอว์-ฮิลล์ วิทยาศาสตร์/วิศวกรรม/คณิตศาสตร์ . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอ โล ยีGTMเล่ม 8 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์ Springer New York. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Schechter, Eric (1996). คู่มือการวิเคราะห์และรากฐาน . ซานดิเอโก, แคลิฟอร์เนีย: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365 .
• Swartz, Charles (1992). บทนำสู่การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน . นิวยอร์ก: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067 .
• เทรฟส์, ฟรองซัวส์ (2549) [2510] ปริภูมิเวกเตอร์ทอพอโลยี การแจกแจง และเคอร์เนล Mineola, NY: สิ่งพิมพ์โดเวอร์ไอเอสบีเอ็น 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• Young, Nicholas (1988). บทนำสู่ปริภูมิฮิลเบิร์ต . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 978-0-521-33717-5.
• Zamani, A.; Moslehian, MS; & Frank, M. (2015) "การแมปที่รักษาค่ามุม" วารสารการวิเคราะห์และการประยุกต์ใช้ 34: 485 ถึง 500 doi : 10.4171/ZAA/1551