ในเรขาคณิตเชิงเส้นตรงการปรับขนาดแบบสม่ำเสมอ (หรือการปรับขนาดแบบไอโซโทรปิก^{[ 1 ]} ) คือการแปลงเชิงเส้นที่ขยาย (เพิ่ม) หรือหด (ลด) วัตถุด้วยปัจจัยการ ปรับขนาด ที่เท่ากันในทุกทิศทาง ( แบบไอโซโทรปิก ) ผลลัพธ์ของการปรับขนาดแบบสม่ำเสมอจะคล้ายคลึงกัน (ในแง่เรขาคณิต) กับต้นฉบับ โดยปกติจะอนุญาตให้ใช้ปัจจัยการปรับขนาด 1 ดังนั้น รูปร่าง ที่เท่ากันทุกประการจึงถูกจัดว่าคล้ายคลึงกัน การปรับขนาดแบบสม่ำเสมอเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น เมื่อขยายหรือย่อภาพถ่ายหรือเมื่อสร้างแบบจำลองขนาดของอาคาร รถยนต์ เครื่องบิน ฯลฯ

โดยทั่วไปแล้วการปรับขนาด จะ ใช้ตัวประกอบการปรับขนาดที่แตกต่างกันสำหรับแต่ละทิศทางของแกนการปรับขนาดที่ไม่สม่ำเสมอ ( การปรับขนาดแบบแอนไอโซโทรปิก ) เกิดขึ้นเมื่อตัวประกอบการปรับขนาดอย่างน้อยหนึ่งตัวแตกต่างจากตัวอื่นๆ กรณีพิเศษคือการปรับขนาดหรือการยืดในทิศทางเดียว การปรับขนาดที่ไม่สม่ำเสมอจะเปลี่ยนรูปร่างของวัตถุ เช่น สี่เหลี่ยมจัตุรัสอาจเปลี่ยนเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า หรือเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน หากด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสไม่ขนานกับแกนการปรับขนาด (มุมระหว่างเส้นที่ขนานกับแกนจะยังคงอยู่ แต่ไม่ใช่ทุกมุม) ตัวอย่างเช่น เกิดขึ้นเมื่อมองป้ายโฆษณาที่อยู่ไกลๆ จากมุมเฉียงหรือเมื่อเงาของวัตถุแบนตกกระทบลงบนพื้นผิวที่ไม่ขนานกับวัตถุนั้น

เมื่อตัวประกอบมาตราส่วนมีค่ามากกว่า 1 (ไม่ว่าจะเป็นแบบสม่ำเสมอหรือไม่สม่ำเสมอ) การปรับมาตราส่วนบางครั้งก็เรียก ว่า การ ขยาย หรือ การทำให้ ใหญ่ขึ้น ส่วน เมื่อตัวประกอบมาตราส่วนเป็นจำนวนบวกที่มีค่าน้อยกว่า 1 การปรับมาตราส่วนบางครั้งก็เรียกว่าการหดตัวหรือการลดขนาด

โดยทั่วไปแล้ว การปรับขนาดจะรวมถึงกรณีที่ทิศทางการปรับขนาดไม่ตั้งฉากกัน นอกจากนี้ยังรวมถึงกรณีที่ตัวประกอบการปรับขนาดอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์ ( การฉายภาพ ) และกรณีที่ตัวประกอบการปรับขนาดอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นลบ (การปรับขนาดตามทิศทางด้วยค่า -1 เทียบเท่ากับการสะท้อน )

การปรับขนาดเป็นการแปลงเชิงเส้นและเป็นกรณีพิเศษของการแปลงแบบโฮโมเทติก (การปรับขนาดรอบจุด) ในกรณีส่วนใหญ่ การแปลงแบบโฮโมเทติกเป็นการแปลงที่ไม่ใช่เชิงเส้น

ตัวคูณมาตราส่วนมักจะเป็นทศนิยมที่ใช้ปรับขนาดหรือคูณปริมาณบางอย่าง ในสมการy  = Cxนั้นCคือตัวคูณมาตราส่วนของx C ยังเป็นสัมประสิทธิ์ของxและอาจเรียกว่าค่าคงที่สัดส่วนของyต่อx ตัวอย่างเช่น การเพิ่มระยะทางเป็น สองเท่าจะสอดคล้องกับตัวคูณมาตราส่วนของระยะทางเท่ากับสอง ในขณะที่การตัดเค้กครึ่งหนึ่งจะได้ชิ้นส่วนที่มีตัวคูณมาตราส่วนของปริมาตรเท่ากับครึ่งหนึ่ง สมการพื้นฐานสำหรับตัวคูณมาตราส่วนคือ ภาพหารด้วยภาพต้นฉบับ

ในสาขาการวัด ค่าตัวประกอบมาตราส่วนของเครื่องมือบางครั้งเรียกว่า ความไว อัตราส่วนของความยาวที่สอดคล้องกันสองค่าในรูปทรงเรขาคณิตที่คล้ายกันสองรูป ก็เรียกว่า มาตราส่วน เช่นกัน

การปรับขนาดสามารถแสดงได้ด้วยเมทริก ซ์ การปรับขนาด ในการปรับขนาดวัตถุด้วยเวกเตอร์v = ( v _x , v _y , v _z ) แต่ละจุดp = ( p _x , p _y , p _z ) จะต้องถูกคูณด้วยเมทริกซ์การปรับขนาดนี้:

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}.}$

ดังแสดงด้านล่าง การคูณจะให้ผลลัพธ์ตามที่คาดไว้:

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\ p_{y}\\p_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z}p_{z}\end{bmatrix}}.}$

การปรับขนาดดังกล่าวจะเปลี่ยนเส้นผ่านศูนย์กลางของวัตถุด้วยปัจจัยระหว่างค่าตัวประกอบมาตราส่วนพื้นที่ด้วยปัจจัยระหว่างผลคูณที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของค่าตัวประกอบมาตราส่วนสองค่า และปริมาตรด้วยผลคูณของค่าตัวประกอบมาตราส่วนทั้งสามค่า

การปรับขนาดจะเป็นแบบสม่ำเสมอก็ต่อเมื่อตัวประกอบการปรับขนาดเท่ากัน ( v _x = v _y = v _z ) ถ้าตัวประกอบการปรับขนาดทั้งหมด ยกเว้นตัวใดตัวหนึ่ง เท่ากับ 1 เราจะได้การปรับขนาดแบบมีทิศทาง

ในกรณีที่v _x = v _y = v _z = k การปรับขนาดจะเพิ่มพื้นที่ผิวของพื้นผิวใด ๆ เป็นปัจจัยk ²และปริมาตรของวัตถุแข็งใดๆ เป็นปัจจัยk ³

ในปริภูมิ n มิติ การปรับขนาดอย่างสม่ำเสมอด้วยตัวประกอบทำได้โดยการคูณด้วย สเกลาร์ นั่นคือ การคูณพิกัดแต่ละจุดด้วยในกรณีพิเศษของการแปลงเชิงเส้น สามารถทำได้โดยการคูณแต่ละจุด (มองเป็นเวกเตอร์คอลัมน์) ด้วยเมทริกซ์แนวทแยงที่มีค่าบนแนวทแยงทั้งหมดเท่ากับนั่นคือ ${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle vI}$

การปรับขนาดที่ไม่สม่ำเสมอทำได้โดยการคูณด้วยเมทริกซ์สมมาตร ใดๆ ค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์จะเป็นตัวประกอบการปรับขนาด และเวกเตอร์ ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้อง กันจะเป็นแกนที่ตัวประกอบการปรับขนาดแต่ละตัวมีผล กรณีพิเศษคือเมทริกซ์แนวทแยงที่มีตัวเลขใดๆตามแนวทแยง: แกนของการปรับขนาดจะเป็นแกนพิกัด และการแปลงจะปรับขนาดตามแต่ละแกนด้วย ตัวประกอบ${\displaystyle v_{1},v_{2},\ldots v_{n}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle v_{i}}$

ในการปรับขนาดแบบสม่ำเสมอด้วยตัวประกอบการปรับขนาดที่ไม่เป็นศูนย์ เวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดจะคงทิศทางเดิม (เมื่อมองจากจุดกำเนิด) หรืออาจมีทิศทางกลับกัน ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของตัวประกอบการปรับขนาด ในการปรับขนาดแบบไม่สม่ำเสมอ เฉพาะเวกเตอร์ที่อยู่ในปริภูมิค่าลักษณะเฉพาะเท่านั้นที่จะคงทิศทางเดิม เวกเตอร์ที่เป็นผลรวมของเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์สองตัวขึ้นไปที่อยู่ในปริภูมิค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกัน จะเอียงไปทางปริภูมิค่าลักษณะเฉพาะที่มีค่าลักษณะเฉพาะมากที่สุด

ในเรขาคณิตเชิงโปรเจคทีฟซึ่งมักใช้ในกราฟิกคอมพิวเตอร์จุดต่างๆ จะถูกแทนด้วยพิกัดเอกพันธุ์ในการปรับขนาดวัตถุด้วยเวกเตอร์v = ( v _x , v _y , v _z ) เวกเตอร์พิกัดเอกพันธุ์ p = ( p _x , p _y , p _z , 1) แต่ละตัวจะต้องถูกคูณด้วย เมทริกซ์ การแปลงเชิงโปรเจ คทีฟนี้ :

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

ดังแสดงด้านล่าง การคูณจะให้ผลลัพธ์ตามที่คาดไว้:

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{ x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z}p_{z}\\1\end{bmatrix}}.}$

เนื่องจากส่วนประกอบสุดท้ายของพิกัดเอกพันธุ์สามารถมองได้ว่าเป็นตัวส่วนของส่วนประกอบอีกสามส่วน การปรับขนาดอย่างสม่ำเสมอด้วยตัวประกอบร่วมs (การปรับขนาดอย่างสม่ำเสมอ) สามารถทำได้โดยใช้เมทริกซ์การปรับขนาดนี้:

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}.}$

สำหรับแต่ละเวกเตอร์p = ( p _x , p _y , p _z , 1) เราจะมี

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}},}$

ซึ่งจะเทียบเท่ากับ

${\displaystyle {\begin{bmatrix}sp_{x}\\sp_{y}\\sp_{z}\\1\end{bmatrix}}.}$

เมื่อกำหนดจุดหนึ่งแล้ว การขยายจะเชื่อมโยงจุดนั้นกับจุดอีกจุดหนึ่งผ่านสมการ ${\displaystyle P(x,y)}$${\displaystyle P'(x',y')}$

${\displaystyle {\begin{cases}x'=mx\\y'=ny\end{cases}}}$สำหรับ.${\displaystyle m,n\in \mathbb {R} ^{+}}$

ดังนั้น เมื่อกำหนดฟังก์ชันสมการของฟังก์ชันที่ขยายแล้วคือ ${\displaystyle y=f(x)}$

${\displaystyle y=nf\left({\frac {x}{m}}\right).}$

• ถ้าการแปลงจะเป็นแนวนอน เมื่อจะเป็นการขยาย เมื่อจะเป็นการลดขนาด${\displaystyle n=1}$${\displaystyle m>1}$${\displaystyle m<1}$

• ถ้าการแปลงจะเป็นแนวตั้ง เมื่อเป็นการขยาย เมื่อเป็นการหดตัว${\displaystyle m=1}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle n<1}$

• ถ้าm × n = 1 การแปลงนั้นจะเป็นแผนที่บีบอัด (squeeze mapping )

• กราฟิกคอมพิวเตอร์ 2 มิติ #การปรับขนาด
• ซูมดิจิทัล
• การขยาย (ปริภูมิเมตริก)
• ฟังก์ชันเอกพันธุ์
• การแปลงแบบโฮโมเทติก
• พิกัดเชิงตั้งฉาก
• ปริมาณสเกลาร์ (คณิตศาสตร์)
• มาตราส่วน (การแยกความหมาย)
  • มาตราส่วน (อัตราส่วน)
  • มาตราส่วน (แผนที่)
• ตัวคูณมาตราส่วน (วิทยาการคอมพิวเตอร์)
• อัตราส่วนมาตราส่วน (จักรวาลวิทยา)
• มาตราส่วนของแบบจำลอง
• การปรับขนาดในการประมาณค่าทางสถิติ
• การปรับขนาดในแรงโน้มถ่วง
• เมทริกซ์การแปลง
• การปรับขนาดภาพ

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับการปรับขนาด (เรขาคณิต )

• ทำความเข้าใจเกี่ยวกับการปรับขนาด 2 มิติและการปรับขนาด 3 มิติโดย Roger Germundsson จากโครงการ Wolfram Demonstrations Project
• เครื่องคำนวณตัวคูณมาตราส่วน