ในทางคณิตศาสตร์เรขาคณิตเชิงเส้นคือสิ่งที่เหลืออยู่ของเรขาคณิตแบบยุคลิดเมื่อ ละเลย (นักคณิตศาสตร์มักพูดว่า "ลืม" ^{[ 1 ] [ 2 ]} ) แนวคิด เมตริกของระยะทางและมุม

เนื่องจากแนวคิดเรื่องเส้นขนานเป็นคุณสมบัติหลักอย่างหนึ่งที่ไม่ขึ้นอยู่กับเมตริกใดๆ เรขาคณิตเชิงอัฟฟินจึงมักถูกพิจารณาว่าเป็นศาสตร์ที่ศึกษาเส้นขนาน ดังนั้นสัจพจน์ของเพลย์แฟร์ (กำหนดเส้นตรงLและจุดPที่ไม่ได้อยู่บน เส้นตรง Lจะมีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวที่ขนานกับเส้นตรงLและผ่าน จุด P ) จึงเป็นพื้นฐานในเรขาคณิตเชิงอัฟฟิน การเปรียบเทียบรูปทรงในเรขาคณิตเชิงอัฟฟินทำได้โดยใช้การแปลงเชิงอัฟฟินซึ่งเป็นการแมปที่รักษาการจัดเรียงของจุดและความขนานของเส้นตรง

เรขาคณิตเชิงอัฟฟินสามารถพัฒนาได้สองวิธีซึ่งโดยพื้นฐานแล้วเทียบเท่ากัน^{[ 3 ]}

ในเรขาคณิตสังเคราะห์ ปริภูมิเชิงเส้นตรง ( affine space)คือเซตของจุดซึ่งสัมพันธ์กับเซตของเส้นตรง โดยเส้นตรงนั้นเป็นไปตามสัจพจน์ บางประการ (เช่น สัจพจน์ของเพลย์แฟร์)

เรขาคณิตเชิงอัฟฟินสามารถพัฒนาได้บนพื้นฐานของพีชคณิตเชิงเส้นในบริบทนี้ปริภูมิเชิงอัฟฟินคือเซตของจุดที่มาพร้อมกับเซตของการแปลง (นั่นคือการแมปแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ) ซึ่งเรียกว่า การเลื่อนซึ่งก่อให้เกิดปริภูมิเวกเตอร์ (เหนือฟิลด์ ที่กำหนด โดยทั่วไปคือจำนวนจริง ) และสำหรับคู่ลำดับของจุดใดๆ จะมีการเลื่อนที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียวที่ส่งจุดแรกไปยังจุดที่สองการประกอบของการเลื่อนสองครั้งคือผลรวมของการเลื่อนเหล่านั้นในปริภูมิเวกเตอร์ของการเลื่อน

กล่าวโดยละเอียดแล้ว นี่คือการมีโอเปอเรเตอร์ที่เชื่อมโยงจุดสองจุดใดๆ กับเวกเตอร์ และโอเปอเรเตอร์อีกตัวที่อนุญาตให้เลื่อนจุดหนึ่งโดยใช้เวกเตอร์เพื่อให้ได้อีกจุดหนึ่ง โอเปอเรเตอร์เหล่านี้จำเป็นต้องเป็นไปตามสัจพจน์หลายข้อ (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การเลื่อนสองครั้งติดต่อกันจะมีผลเหมือนกับการเลื่อนโดยใช้เวกเตอร์ผลรวม) โดยการเลือกจุดใดๆ เป็น " จุดกำเนิด " จุดต่างๆ จะมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับเวกเตอร์ แต่ไม่มีจุดกำเนิดใดที่ควรเลือกเป็นพิเศษ ดังนั้นปริภูมิเชิงเส้นตรงจึงอาจมองได้ว่าได้มาจากการปริภูมิเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องโดยการ "ละทิ้ง" จุดกำเนิด (เวกเตอร์ศูนย์)

แนวคิดเรื่องการละทิ้งเมตริกสามารถนำไปประยุกต์ใช้ในทฤษฎีของแมนิโฟลด์ได้ซึ่งได้มีการพัฒนาต่อยอดในบทความเรื่องการเชื่อมต่อแบบแอฟฟิน (Affine connection )

ในปี ค.ศ. 1748 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ได้แนะนำคำว่าaffine ^{[ 4 ] [ 5 ]} (จากภาษาละตินaffinis ' เกี่ยวข้อง' ) ในหนังสือIntroductio in analysin infinitorum ของเขา (เล่ม 2 บทที่ XVIII) ในปี ค.ศ. 1827 ออกัสต์ โมเบียสได้เขียนเกี่ยวกับเรขาคณิตแบบ affine ในหนังสือDer barycentrische Calcul ของเขา (บทที่ 3)

หลังจากโครงการ ErlangenของFelix Kleinเรขาคณิตเชิงเส้นได้รับการยอมรับว่าเป็นการวางนัยทั่วไปของเรขาคณิตแบบยุคลิด^{[ 6 ]}

ในปี พ.ศ. 2461 เฮอร์มันน์ เวย์ลอ้างถึงเรขาคณิตเชิงเส้นตรงในตำราSpace, Time, Matter ของเขา เขาใช้เรขาคณิตเชิงเส้นตรงเพื่อแนะนำการบวกและการลบเวกเตอร์^{[ 7 ]}ในช่วงแรกสุดของการพัฒนาฟิสิกส์คณิตศาสตร์ ของเขา ต่อมาอีที วิทเทเกอร์เขียนว่า: ^{[ 8 ]}

เรขาคณิตของ Weyl มีความน่าสนใจในเชิงประวัติศาสตร์ เนื่องจากเป็นเรขาคณิตเชิงเส้นตรงแบบแรกที่ได้รับการอธิบายอย่างละเอียด: มันตั้งอยู่บนพื้นฐานของการขนส่งแบบขนาน ชนิดพิเศษ [...โดยใช้] เส้นทางของสัญญาณแสงในปริภูมิเวลาสี่มิติ องค์ประกอบสั้นๆ ของเส้นทางเหล่านี้อาจเรียกว่าเวกเตอร์ศูนย์จากนั้นการขนส่งแบบขนานดังกล่าวจะนำพาเวกเตอร์ศูนย์ใดๆ ณ จุดหนึ่งไปยังตำแหน่งของเวกเตอร์ศูนย์ ณ จุดข้างเคียง

มีการนำเสนอแนวทางเชิงสัจพจน์หลายวิธีสำหรับเรขาคณิตเชิงเส้นตรง:

เนื่องจากเรขาคณิตเชิงเส้นเกี่ยวข้องกับเส้นขนาน คุณสมบัติของเส้นขนานที่Pappus แห่ง Alexandria สังเกตเห็น จึงถูกนำมาใช้เป็นสมมติฐาน: ^{[ 9 ] [ 10 ]}

• สมมติว่าจุดA, B, Cอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และจุดA', B', C'อยู่บนเส้นตรงอีกเส้นหนึ่ง ถ้าเส้นตรงAB'และA'Bขนานกัน และเส้นตรงBC'และB'Cขนานกันแล้ว เส้นตรงCA'และC'Aก็จะขนานกันด้วย (นี่คือทฤษฎีบทหกเหลี่ยมของปัปปัสในรูปแบบเชิงเส้น )

ระบบสัจพจน์ฉบับสมบูรณ์ที่เสนอมานั้น มีจุดเส้นและเส้นที่ประกอบด้วยจุดเป็นแนวคิดพื้นฐาน :

• สองจุดสามารถบรรจุอยู่ในเส้นเดียวได้
• สำหรับเส้นตรงL ใดๆ และจุดP ใดๆ ที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรง Lจะมีเพียงเส้นตรงเดียวที่ผ่านจุดPและไม่ผ่านจุดใดๆ บนเส้นตรงLเส้นตรงนี้เรียกว่าเส้นตรงขนานกับ เส้น ตรงL
• ทุกบรรทัดมีจุดอย่างน้อยสองจุด
• มีจุดอย่างน้อยสามจุดที่ไม่เกี่ยวข้องกับเส้นตรงเดียวกัน

ตามข้อมูลจากHSM Coxeter :

ความน่าสนใจของสัจพจน์ทั้งห้าข้อนี้เพิ่มขึ้นจากข้อเท็จจริงที่ว่าสัจพจน์เหล่านี้สามารถพัฒนาเป็นชุดข้อเสนอมากมาย ซึ่งไม่เพียงแต่ใช้ได้ในเรขาคณิตแบบยุคลิด เท่านั้น แต่ยังใช้ได้ในเรขาคณิตของเวลาและอวกาศของมินคอฟสกีด้วย (ในกรณีง่ายๆ ของมิติ 1 + 1 ในขณะที่ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษต้องการ 1 + 3) การขยายไปสู่เรขาคณิตแบบยุคลิดหรือแบบมินคอฟสกีทำได้โดยการเพิ่มสัจพจน์เพิ่มเติมต่างๆ ของความเป็นตั้งฉาก เป็นต้น^{[ 11 ]}

เรขาคณิตเชิงเส้นแบบต่างๆ สอดคล้องกับการตีความการหมุนเรขาคณิตแบบยุคลิดสอดคล้องกับแนวคิดการหมุนแบบปกติในขณะที่เรขาคณิตแบบมินคอฟสกีสอดคล้องกับการหมุนแบบไฮเปอร์โบลิกสำหรับ เส้น ตั้งฉากเส้นเหล่านั้นจะยังคงตั้งฉากกันเมื่อระนาบถูกหมุนแบบปกติ ในเรขาคณิตแบบมินคอฟสกี เส้นที่ตั้งฉากแบบไฮเปอร์โบลิกจะยังคงมีความสัมพันธ์เช่นนั้นเมื่อระนาบถูกหมุนแบบไฮเปอร์โบลิก

การบำบัดเชิงสัจพจน์ของเรขาคณิตระนาบแอฟฟินสามารถสร้างได้จากสัจพจน์ของเรขาคณิตเรียงลำดับโดยการเพิ่มสัจพจน์เพิ่มเติมอีกสองข้อ: ^{[ 12 ]}

1. ( สัจพจน์ความขนานของเส้นตรงเชิงเส้นตรง ) กำหนดให้จุดAและเส้นตรงrที่ไม่ผ่าน จุด Aจะมีเส้นตรงที่ผ่านจุดAและไม่ตัดกับเส้นตรงr ได้ มากที่สุดเพียงเส้นเดียว
2. ( เดซาร์กส์ ) กำหนดให้มีจุดที่แตกต่างกันเจ็ดจุดA, A', B, B', C, C', Oโดยที่AA', BB', CC'เป็นเส้นตรงที่แตกต่างกันผ่านOและABขนานกับA'B'และBCขนานกับB'C'แล้วACจะขนานกับA'C '

แนวคิดเรื่องความขนานในเรขาคณิตเชิงเส้นตรงก่อให้เกิดความสัมพันธ์สมมูลบนเส้นตรง เนื่องจากสัจพจน์ของเรขาคณิตเชิงลำดับที่นำเสนอในที่นี้รวมถึงคุณสมบัติที่บ่งบอกถึงโครงสร้างของจำนวนจริง คุณสมบัติเหล่านั้นจึงถ่ายทอดมายังที่นี่ ทำให้สิ่งนี้เป็นสัจพจน์ของเรขาคณิตเชิงเส้นตรงบนฟิลด์ของจำนวนจริง

ระนาบที่ไม่ใช่เดซาร์เกสแรกถูกกล่าวถึงโดยเดวิด ฮิลเบิร์ตในหนังสือ Foundations of Geometryของ เขา ^{[ 13 ]}ระนาบมอลตันเป็นตัวอย่างมาตรฐาน เพื่อให้บริบทสำหรับเรขาคณิตดังกล่าว รวมถึงเรขาคณิตที่ทฤษฎีบทเดซาร์เกสใช้ได้ แนวคิดของวงแหวนสามส่วนจึงได้รับการพัฒนาโดยมาร์แชล ฮอลล์

ในแนวทางนี้ ระนาบแอฟฟินถูกสร้างขึ้นจากคู่ลำดับที่นำมาจากวงแหวนไตรภาค ระนาบจะกล่าวได้ว่ามี "คุณสมบัติ Desargues แอฟฟินย่อย" เมื่อสามเหลี่ยมสองรูปในมุมมองขนานที่มีด้านขนานกันสองด้าน จะต้องมีด้านที่สามขนานกันด้วย หากคุณสมบัตินี้เป็นจริงในระนาบแอฟฟินที่กำหนดโดยวงแหวนไตรภาค จะมีความสัมพันธ์สมมูลระหว่าง "เวกเตอร์" ที่กำหนดโดยคู่ของจุดจากระนาบ^{[ 14 ]}ยิ่งไปกว่านั้น เวกเตอร์จะสร้างกลุ่มอาเบเลียนภายใต้การบวกวงแหวนไตรภาคเป็นเชิงเส้นและเป็นไปตามการ กระจายทางขวา

${\displaystyle (a+b)c=ac+bc.}$

ในทางเรขาคณิต การแปลงเชิงเส้นตรง (affinities) จะรักษาความเป็นเส้นตรงเดียวกัน กล่าวคือ จะแปลงเส้นขนานให้เป็นเส้นขนาน และรักษาสัดส่วนของระยะทางตามแนวเส้นขนานไว้

เรากำหนดให้ทฤษฎีบทเชิงอัฟฟิน คือ ผลลัพธ์ทางเรขาคณิตใดๆ ที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้กลุ่มเชิงอัฟฟิน (ในโครงการ ErlangenของFelix Kleinนี่คือกลุ่มการแปลงสมมาตรพื้นฐานสำหรับเรขาคณิตเชิงอัฟฟิน) พิจารณาในปริภูมิเวกเตอร์Vกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปGL( V )มันไม่ใช่กลุ่มเชิงอัฟฟิน ทั้งหมด เพราะเราต้องอนุญาตให้มีการเลื่อนโดยเวกเตอร์vในV ด้วย (การเลื่อนดังกล่าวจะแมปw ใดๆ ในVไปยังw + v ) กลุ่มเชิงอัฟฟินถูกสร้างขึ้นโดยกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปและการเลื่อน และในความเป็นจริงคือผลคูณกึ่งตรง ของพวกมัน (ในที่นี้เราคิดว่าVเป็นกลุ่มภายใต้การดำเนินการบวก และใช้การแสดง แทนที่กำหนด ของGL( V )บนVเพื่อกำหนดผลคูณกึ่งตรง) ${\displaystyle V\rtimes \mathrm {GL} (V)}$

ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทจากเรขาคณิตระนาบของสามเหลี่ยมเกี่ยวกับการบรรจบกันของเส้นตรงที่เชื่อมจุดยอด แต่ละจุด กับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม (ที่จุดศูนย์กลางมวลหรือจุดศูนย์ถ่วง ) ขึ้นอยู่กับแนวคิดของจุดกึ่งกลางและจุดศูนย์กลางมวล ใน ฐานะ ตัวแปรคงที่ในเชิงเส้นตรง ตัวอย่างอื่นๆ ได้แก่ ทฤษฎีบทของCevaและMenelaus

ตัวแปรคงที่ภายใต้การแปลงเชิงเส้น (Affine invariants) ยังสามารถช่วยในการคำนวณได้อีกด้วย ตัวอย่างเช่น เส้นที่แบ่งพื้นที่ของสามเหลี่ยมออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน จะก่อให้เกิดพื้นที่ห่อหุ้มอยู่ภายในสามเหลี่ยม อัตราส่วนของพื้นที่ห่อหุ้มต่อพื้นที่ของสามเหลี่ยมเป็นตัวแปรคงที่ภายใต้การแปลงเชิงเส้น ดังนั้นจึงจำเป็นต้องคำนวณจากกรณีง่ายๆ เช่นสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว หน่วย เพื่อให้ได้ค่าเช่น 0.019860... หรือน้อยกว่า 2% สำหรับสามเหลี่ยมทุกรูป ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\log _{e}(2)-{\tfrac {1}{2}},}$

สูตรที่คุ้นเคย เช่น พื้นที่ของสามเหลี่ยม เท่ากับครึ่งหนึ่งของฐานคูณความสูง หรือปริมาตรของพีระมิดเท่ากับหนึ่งในสามของฐานคูณความสูง ก็เป็นค่าคงที่เชิงเส้นเช่นกัน แม้ว่ากรณีหลังจะไม่ชัดเจนเท่ากรณีแรกในกรณีทั่วไป แต่ก็เห็นได้ง่ายสำหรับหนึ่งในหกของลูกบาศก์หน่วยที่เกิดจากหน้า (พื้นที่ 1) และจุดกึ่งกลางของลูกบาศก์ ( ความสูง1/2 ) ดังนั้น สูตรนี้จึงใช้ได้กับพีระมิดทุกรูป แม้แต่พีระมิดเอียงที่มีจุดยอดไม่ตรงกับกึ่งกลางฐานและพีระมิดที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแทนที่จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส สูตรนี้ยังสามารถขยายไปถึงพีระมิดที่มีฐานที่สามารถแบ่งออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานได้ รวมถึงกรวยโดยอนุญาตให้มีรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานได้ไม่จำกัดจำนวน (โดยคำนึงถึงการลู่เข้า) วิธีการเดียวกันนี้แสดงให้เห็นว่าพีระมิดสี่มิติมีปริมาตรสี่มิติ เท่ากับหนึ่งในสี่ ของปริมาตร สามมิติของ ฐานรูป สี่เหลี่ยมด้านขนานคูณความสูงและเป็นเช่นนี้ต่อไปสำหรับมิติที่สูงกว่า

ใน จลนศาสตร์มีการใช้การแปลงเชิงเส้นสองประเภททั้งแบบคลาสสิกและแบบสมัยใหม่ความเร็วvอธิบายโดยใช้ความยาวและทิศทาง โดยที่ความยาวถือว่าไม่มีขอบเขต จลนศาสตร์ประเภทนี้เรียกว่าแบบกาลิเลียนหรือแบบนิวตัน ใช้พิกัดของพื้นที่และเวลาสัมบูรณ์การแมปเฉือนของระนาบที่มีแกนสำหรับแต่ละด้านแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงพิกัดสำหรับผู้สังเกตที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วvในกรอบอ้างอิง ที่หยุด นิ่ง^{[ 15 ]}

ความเร็วแสงที่จำกัดซึ่งสังเกตได้ครั้งแรกจากความล่าช้าในการปรากฏตัวของดวงจันทร์ของดาวพฤหัสบดีต้องใช้จลนศาสตร์สมัยใหม่ วิธีการนี้เกี่ยวข้องกับความเร็วเชิงมุมแทนที่จะเป็นความเร็ว และแทนที่การแมปแบบบีบอัดด้วยการแมปแบบเฉือนที่ใช้ก่อนหน้านี้ เรขาคณิตเชิงเส้นนี้ได้รับการพัฒนาขึ้นแบบสังเคราะห์ในปี 1912 ^{[ 16 ] [ 17 ]}เพื่อแสดงทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษในปี 1984 "ระนาบเชิงเส้นที่เกี่ยวข้องกับปริภูมิเวกเตอร์ลอเรนซ์L ² " ได้รับการอธิบายโดย Graciela Birman และKatsumi Nomizuในบทความชื่อ "ตรีโกณมิติในเรขาคณิตลอเรนซ์" ^{[ 18 ]}

เรขาคณิตเชิงอัฟฟินสามารถมองได้ว่าเป็นเรขาคณิตของปริภูมิเชิงอัฟฟินที่มีมิติn ที่กำหนดให้ ซึ่งกำหนดพิกัดบนฟิลด์Kนอกจากนี้ (ในสองมิติ) ยังมีการวางนัยทั่วไปเชิงการจัดเรียงของปริภูมิเชิงอัฟฟินที่กำหนดพิกัด ซึ่งพัฒนาขึ้นในเรขาคณิตจำกัด สังเคราะห์ ในเรขาคณิตเชิง โปรเจคทีฟ ปริภูมิเชิง อัฟฟินหมายถึงส่วนเติมเต็มของระนาบที่ อนันต์ ใน ปริภูมิ เชิงโปรเจคทีฟ ปริภูมิเชิง อัฟ ฟิ นยังสามารถมองได้ว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์ที่มีการดำเนินการจำกัดเฉพาะการรวมเชิงเส้นที่ มีสัมประสิทธิ์รวมกันเป็นหนึ่ง เช่น2x − y , x − y + z , ( x + y + z )/3 , i x + (1 − i ) yเป็นต้น

โดยสังเคราะห์แล้ว ระนาบ แอฟฟินคือเรขาคณิตแอฟฟิน 2 มิติที่นิยามขึ้นจากความสัมพันธ์ระหว่างจุดและเส้น (หรือบางครั้ง ในมิติที่สูงกว่า อาจเป็นไฮเปอร์เพลน ) การนิยามเรขาคณิตแอฟฟิน (และเรขาคณิตเชิงฉาย) เป็นการจัดเรียงของจุดและเส้น (หรือไฮเปอร์เพลน) แทนที่จะใช้พิกัด ทำให้ได้ตัวอย่างที่ไม่มีฟิลด์พิกัด คุณสมบัติที่สำคัญคือ ตัวอย่างทั้งหมดเหล่านี้มีมิติ 2 ตัวอย่างจำกัดในมิติ 2 ( ระนาบแอฟฟินจำกัด ) มีคุณค่าในการศึกษาการจัดเรียงในปริภูมิแอฟฟินอนันต์ ในทฤษฎีกลุ่มและใน คณิตศาสตร์เชิง การ จัดเรียง

แม้ว่าแนวทางอื่นๆ ที่กล่าวถึงจะมีความครอบคลุมน้อยกว่าแนวทางเชิงโครงสร้าง แต่ก็ประสบความสำเร็จอย่างมากในการช่วยให้เข้าใจส่วนต่างๆ ของเรขาคณิตที่เกี่ยวข้องกับสมมาตรได้ ดียิ่งขึ้น

ในเรขาคณิต แบบดั้งเดิม เรขาคณิตเชิงเส้นถือเป็นการศึกษาระหว่างเรขาคณิตแบบยุคลิดและเรขาคณิตเชิงฉายในด้านหนึ่ง เรขาคณิตเชิงเส้นคือเรขาคณิตแบบยุคลิดที่ ละเว้น ความสอดคล้องในอีกด้านหนึ่ง เรขาคณิตเชิงเส้นอาจได้มาจากเรขาคณิตเชิงฉายโดยการกำหนดเส้นหรือระนาบเฉพาะเพื่อแสดงจุดที่อนันต์ [ ^{19 ] ใน}เรขาคณิตเชิงเส้น ไม่มีโครงสร้างเมตริก แต่ สมมติฐานเส้นขนานยังคงใช้ได้ เรขาคณิตเชิงเส้นเป็นพื้นฐานสำหรับโครงสร้างแบบยุคลิดเมื่อ มีการกำหนดเส้น ตั้งฉากหรือเป็นพื้นฐานสำหรับเรขาคณิตแบบมินคอฟสกีผ่านแนวคิดของความตั้งฉากแบบไฮเปอร์โบลิก [ ^{20 ] ใน}มุมมองนี้การแปลงเชิงเส้นคือการแปลงเชิงฉายที่ไม่สลับจุดจำกัดกับจุดที่อนันต์ และเรขาคณิตการแปลง เชิงเส้น คือการศึกษาคุณสมบัติทางเรขาคณิตผ่านการกระทำของกลุ่มการแปลงเชิงเส้น

• เรขาคณิตนอกยุคลิด

• เอมิล อาร์ติน (1957) พีชคณิตเชิงเรขาคณิตบทที่ 2: "เรขาคณิตเชิงเส้นและเรขาคณิตเชิงฉาย"ผ่านทางInternet Archive
• VG Ashkinuse & Isaak Yaglom (1962) แนวคิดและวิธีการของเรขาคณิตเชิงเส้นตรงและเรขาคณิตเชิงฉาย (เป็นภาษารัสเซีย ) กระทรวงศึกษาธิการ มอสโก
• MK Bennett (1995) เรขาคณิตเชิงอัฟฟินและเชิงโปรเจคทีฟ สำนักพิมพ์John Wiley & Sons ISBN 0-471-11315-8.
• HSM Coxeter (1955) "ระนาบเชิงเส้น" Scripta Mathematica 21:5–14 การบรรยายที่นำเสนอต่อหน้าฟอรัมของสมาคมเพื่อนของScripta Mathematicaในวันจันทร์ที่ 26 เมษายน 1954
• เฟลิกซ์ ไคลน์ (1939) คณิตศาสตร์เบื้องต้นจากมุมมองขั้นสูง: เรขาคณิตแปลโดย อี.อาร์. เฮดริก และ ซี.เอ. โนเบิล หน้า 70–86 บริษัท แมคมิลแลน
• Bruce E. Meserve (1955) แนวคิดพื้นฐานของเรขาคณิตบทที่ 5 เรขาคณิตเชิงเส้นตรง หน้า 150–84 สำนักพิมพ์ Addison- Wesley
• Peter Scherk & Rolf Lingenberg (1975) พื้นฐานของเรขาคณิตเชิงระนาบ , นิทรรศการคณิตศาสตร์ #20, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยโทรอนโต
• Wanda Szmielew (1984) จากเรขาคณิตเชิงเส้นตรงสู่เรขาคณิตแบบยุคลิด: แนวทางเชิงสัจพจน์ , D. Reidel , ISBN 90-277-1243-3.
• Oswald Veblen (1918) เรขาคณิตเชิงฉายเล่ม 2 บทที่ 3: กลุ่มเชิงเส้นในระนาบ หน้า 70 ถึง 118 สำนักพิมพ์ Ginn & Company

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตเชิงอัฟฟิน

• หนังสือ Projective and Affine GeometriesของPeter Cameronจากมหาวิทยาลัยลอนดอน
• Jean H. Gallier (2001). วิธีการทางเรขาคณิตและการประยุกต์ใช้สำหรับวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์และวิศวกรรมศาสตร์บทที่ 2: "พื้นฐานของเรขาคณิตเชิงเส้นตรง" (PDF), Springer Texts in Applied Mathematics #38, บทออนไลน์จากมหาวิทยาลัยเพนซิลเวเนีย