ในทางคณิตศาสตร์โปรแกรมแอร์ลังเงินเป็นวิธีการกำหนดลักษณะเรขาคณิตโดยอาศัยทฤษฎีกลุ่มและเรขาคณิตฉายภาพ ได้รับการตีพิมพ์โดยFelix Kleinในปี พ.ศ. 2415 ในชื่อVergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungenตั้งชื่อตามมหาวิทยาลัย Erlangen-Nürnbergซึ่ง Klein ทำงานอยู่

ในปี ค.ศ. 1872 เรขาคณิตนอกยุคลิดได้ถือกำเนิดขึ้นแล้ว แต่ยังไม่มีวิธีการกำหนดลำดับชั้นและความสัมพันธ์ของเรขาคณิตเหล่านั้น วิธีการของไคลน์นั้นมีความล้ำสมัยอย่างแท้จริงในสามด้าน:

• เขาเน้นย้ำว่าเรขาคณิตเชิงโปรเจคทีฟเป็นกรอบที่รวมเรขาคณิตแขนงอื่นๆ ทั้งหมดเข้าด้วยกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งเรขาคณิตแบบยุคลิดมีข้อจำกัดมากกว่าเรขาคณิตแบบแอฟฟินซึ่งในทางกลับกันก็มีข้อจำกัดมากกว่าเรขาคณิตเชิงโปรเจคทีฟ

• ไคลน์เสนอว่าทฤษฎีกลุ่มซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ใช้วิธีการทางพีชคณิตเพื่อสร้างนามธรรมของแนวคิดเรื่องสมมาตร เป็นวิธีที่มีประโยชน์ที่สุดในการจัดระเบียบความรู้ทางเรขาคณิต ในขณะนั้น ทฤษฎีกลุ่มได้ถูกนำมาใช้ใน ทฤษฎีสมการแล้วในรูปแบบของทฤษฎีกาโลอิส

• ไคลน์ได้อธิบายอย่างชัดเจนยิ่งขึ้นว่า ภาษาทางเรขาคณิตแต่ละภาษามีแนวคิดที่เหมาะสมของตนเอง ตัวอย่างเช่น เรขาคณิตเชิงฉายภาพกล่าวถึงภาคตัดกรวย อย่างถูกต้อง แต่ไม่กล่าวถึงวงกลมหรือมุมเพราะแนวคิดเหล่านั้นไม่คงที่ภายใต้การแปลงเชิงฉายภาพ (ซึ่งเป็นสิ่งที่คุ้นเคยในทัศนศิลป์เชิงเรขาคณิต ) วิธีที่ภาษาต่างๆ ของเรขาคณิตกลับมารวมกันอีกครั้งนั้น สามารถอธิบายได้ด้วยความสัมพันธ์ระหว่างกลุ่มย่อยของกลุ่มสมมาตร

ต่อมาÉlie Cartanได้ขยายแนวคิดเรื่องปริภูมิแบบจำลองเอกพันธุ์ของ Klein ไปสู่การเชื่อมต่อแบบ Cartanบนบันเดิลหลัก บางประเภท ซึ่งเป็นการขยายแนวคิดเรขาคณิตแบบ Riemannian

นับตั้งแต่สมัยยูคลิดเรขาคณิตหมายถึงเรขาคณิตของปริภูมิยูคลิดสองมิติ ( เรขาคณิตระนาบ ) หรือสามมิติ ( เรขาคณิตทรงสามมิติ ) ในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่สิบเก้า มีพัฒนาการหลายอย่างที่ทำให้ภาพรวมซับซ้อนขึ้น การประยุกต์ใช้ทางคณิตศาสตร์ต้องการเรขาคณิตสี่มิติขึ้นไปการตรวจสอบอย่างละเอียดถี่ถ้วนเกี่ยวกับพื้นฐานของเรขาคณิตยูคลิดแบบดั้งเดิมได้เผยให้เห็นความเป็นอิสระของสัจพจน์เส้นขนานจากสัจพจน์อื่นๆ และเรขาคณิตนอกยูคลิดจึงถือกำเนิดขึ้น ไคลน์เสนอแนวคิดว่าเรขาคณิตใหม่เหล่านี้เป็นเพียงกรณีพิเศษของเรขาคณิตเชิงฉายภาพดังที่ได้พัฒนาขึ้นแล้วโดยปอนเซเลต์โมเบียสเคย์ลีย์และคนอื่นๆ ไคลน์ยังแนะนำอย่างยิ่งแก่นักฟิสิกส์ คณิตศาสตร์ ว่า แม้แต่การศึกษาขอบเขตของเรขาคณิตเชิงฉายภาพในระดับปานกลางก็อาจนำมาซึ่งประโยชน์อย่างมากแก่พวกเขา

ไคลน์ได้เชื่อมโยงรูปทรงเรขาคณิตทุกรูปเข้ากับกลุ่มสมมาตร พื้นฐาน ดังนั้น ลำดับชั้นของรูปทรงเรขาคณิตจึงถูกแสดงทางคณิตศาสตร์เป็นลำดับชั้นของกลุ่ม เหล่านี้ และลำดับชั้นของค่าคงที่ ของกลุ่มเหล่านั้น ตัวอย่างเช่น ความยาว มุม และพื้นที่ จะคงอยู่เมื่อเทียบกับกลุ่มสมมาตรแบบยุคลิด ในขณะที่ โครงสร้างการตกกระทบและอัตราส่วนไขว้เท่านั้น ที่จะคงอยู่ภายใต้ การแปลงเชิงฉายทั่วไปที่สุดแนวคิดเรื่องความขนานซึ่งคงอยู่ในเรขาคณิตเชิงเส้นตรงจะไม่มีความหมายในเรขาคณิตเชิงฉายดังนั้น โดยการแยกกลุ่มสมมาตรพื้นฐานออกจากรูปทรงเรขาคณิต ความสัมพันธ์ระหว่างรูปทรงเรขาคณิตเหล่านั้นจึงสามารถสร้างขึ้นใหม่ได้ในระดับกลุ่ม เนื่องจากกลุ่มเรขาคณิตเชิงเส้นตรงเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มเรขาคณิตเชิงฉาย ดังนั้น แนวคิดใดๆ ที่มีค่าคงที่ในเรขาคณิตเชิงฉายจึง มีความ หมายในเรขาคณิตเชิงเส้นตรงโดยปริยาย แต่ไม่ใช่ในทางกลับกัน หากคุณตัดสมมาตรที่จำเป็นออกไป คุณจะได้ทฤษฎีที่มีประสิทธิภาพมากขึ้น แต่จะมีแนวคิดและทฤษฎีบทน้อยลง (ซึ่งจะลึกซึ้งและครอบคลุมมากขึ้น)

กล่าวอีกนัยหนึ่ง "พื้นที่แบบดั้งเดิม" คือพื้นที่ที่เป็นเนื้อเดียวกันแต่ไม่ใช่สำหรับกลุ่มที่กำหนดไว้อย่างเฉพาะเจาะจง การเปลี่ยนกลุ่มจะเปลี่ยนภาษาทางเรขาคณิตที่เหมาะสมไปด้วย

ในภาษาปัจจุบัน กลุ่มต่างๆ ที่เกี่ยวข้องในเรขาคณิตคลาสสิกล้วนเป็นที่รู้จักกันดีในชื่อกลุ่มลี (Lie groups) หรือกลุ่มคลาสสิกความสัมพันธ์เฉพาะต่างๆ นั้นสามารถอธิบายได้อย่างง่ายดายโดยใช้ภาษาทางเทคนิค

ตัวอย่างเช่น กลุ่มเรขาคณิตเชิงฉายใน มิติค่าจริง nมิติ คือกลุ่มสมมาตรของปริภูมิเชิงฉายจริงn มิติ ( กลุ่มเชิงเส้นทั่วไปที่มีดีกรีn + 1ซึ่งหารด้วยเมทริกซ์สเกลาร์ ) กลุ่มแอฟฟินจะเป็นกลุ่มย่อยที่เคารพ (แมปไปยังตัวมันเอง ไม่ใช่การตรึงจุดต่อจุด) ระนาบที่เลือกไว้ที่อนันต์กลุ่มย่อยนี้มีโครงสร้างที่ทราบ ( ผลคูณกึ่งตรงของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปที่มีดีกรีnกับกลุ่มย่อยของการเลื่อน ) คำอธิบายนี้จึงบอกเราว่าคุณสมบัติใดบ้างที่เป็น 'แอฟฟิน' ในแง่ของเรขาคณิตระนาบแบบยุคลิด การเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นแอฟฟิน เนื่องจากการแปลงแอฟฟินจะเปลี่ยนรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหนึ่งไปเป็นอีกรูปหนึ่งเสมอ การเป็นวงกลมไม่ใช่แอฟฟิน เนื่องจากเฉือนแอฟฟินจะเปลี่ยนวงกลมเป็นวงรี

เพื่ออธิบายความสัมพันธ์ระหว่างเรขาคณิตเชิงเส้นตรงและเรขาคณิตแบบยุคลิดได้อย่างถูกต้อง เราจำเป็นต้องระบุกลุ่มของเรขาคณิตแบบยุคลิดภายในกลุ่มเชิงเส้น ตรงเสียก่อน กลุ่มแบบยุคลิดนั้น (โดยใช้คำอธิบายก่อนหน้านี้เกี่ยวกับกลุ่มเชิงเส้นตรง) คือผลคูณกึ่งตรงของกลุ่มเชิงตั้งฉาก (การหมุนและการสะท้อน) กับการเลื่อน (ดูเรขาคณิตของไคลน์สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม)

ผลกระทบระยะยาวของโครงการเออร์ลังเงินสามารถพบเห็นได้ทั่วไปในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ (เช่น การใช้โดยปริยายในความ สอดคล้อง (เรขาคณิต) ) และแนวคิดเรื่องการแปลงและการสังเคราะห์โดยใช้กลุ่มสมมาตรได้กลายเป็นมาตรฐานในฟิสิกส์

เมื่อ มีการอธิบาย โทโพโลยีโดยทั่วไปในแง่ของคุณสมบัติที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้โฮมีโอเมอร์ฟิซึมเราจะเห็นแนวคิดพื้นฐานที่กำลังทำงานอยู่ กลุ่มที่เกี่ยวข้องจะมีมิติอนันต์ในเกือบทุกกรณี – และไม่ใช่กลุ่มลี – แต่ปรัชญายังคงเหมือนเดิม แน่นอนว่าส่วนใหญ่แล้วสิ่งนี้แสดงให้เห็นถึงอิทธิพลทางการสอนของไคลน์ หนังสือเช่นของเอชเอสเอ็ม ค็อกซ์เตอร์มักใช้แนวทางโปรแกรมเออร์ลังเงนเพื่อช่วย "จัดวาง" เรขาคณิต ในแง่ของการสอน โปรแกรมนี้กลายเป็นเรขาคณิตการแปลงซึ่งเป็นทั้งข้อดีและข้อเสีย ในแง่ที่ว่ามันสร้างขึ้นจากสัญชาตญาณที่แข็งแกร่งกว่าแบบของยูคลิดแต่ก็แปลงเป็นระบบตรรกะได้ ยากกว่า

ในหนังสือStructuralism (1970) ของ ฌอง ปิอาเจต์ เขา กล่าวว่า "ในสายตาของนักคณิตศาสตร์โครงสร้างนิยมร่วมสมัยอย่างบูร์บาคีโครงการเออร์ลังเงนถือเป็นชัยชนะเพียงบางส่วนของโครงสร้างนิยมเท่านั้น เนื่องจากพวกเขาต้องการทำให้คณิตศาสตร์ทั้งหมด ไม่ใช่แค่เรขาคณิต อยู่ภายใต้แนวคิดเรื่องโครงสร้าง "

สำหรับเรขาคณิตและกลุ่มของเรขาคณิตนั้น บางครั้งองค์ประกอบของกลุ่มจะถูกเรียกว่าการเคลื่อนที่ของเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น เราสามารถเรียนรู้เกี่ยวกับแบบจำลองระนาบครึ่งของปวงกาเรในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกได้ผ่านการพัฒนาบนพื้นฐานของการเคลื่อนที่ไฮเปอร์โบลิ ก การพัฒนาเช่นนี้ทำให้เราสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทอัลตร้าพาราเลล ได้อย่างเป็นระบบ โดยใช้การเคลื่อนที่ต่อเนื่องกัน

บ่อยครั้งที่ปรากฏว่ามีรูปทรงเรขาคณิต ที่แตกต่างกันสองแบบขึ้นไป ซึ่งมีกลุ่มออโตมอร์ฟิ ซึมที่เป็นไอโซมอร์ ฟิกกัน จึงเกิดคำถามเกี่ยวกับการตีความโครงการเออร์ลังเงนจาก กลุ่ม นามธรรมไปสู่รูปทรงเรขาคณิต

ตัวอย่างหนึ่งคือเรขาคณิตวงรีแบบมีทิศทาง (เช่นไม่รวมการสะท้อน ) (เช่น พื้นผิวของทรงกลมn มิติ ที่มีจุดตรงข้ามระบุตรงกัน) และเรขาคณิตทรงกลมแบบมีทิศทาง ( เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดเช่นเดียวกันแต่จุดตรงข้ามไม่ได้ระบุตรงกัน) มีกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมที่เหมือนกัน SO ( n +1)สำหรับn ที่เป็นเลขคู่ สิ่งเหล่านี้อาจดูแตกต่างกัน แต่ปรากฏว่าเรขาคณิตเหล่านี้มีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิดในลักษณะที่สามารถอธิบายได้อย่างแม่นยำ

ยกตัวอย่างอีกประการหนึ่งเรขาคณิตวงรี ที่มี รัศมีโค้งต่างกันจะมีกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมที่เป็นไอโซมอร์ฟิกกัน นั่นไม่ถือเป็นการวิจารณ์เสียทีเดียว เพราะเรขาคณิตดังกล่าวทั้งหมดเป็นไอโซมอร์ฟิกกันอยู่แล้วเรขาคณิตแบบรีมันน์ ทั่วไป อยู่นอกขอบเขตของโครงการนี้

จำนวนเชิงซ้อน จำนวนคู่และจำนวนสองเท่า (เรียกอีกอย่างว่าจำนวนเชิงซ้อนแยก)ปรากฏเป็นปริภูมิเอกพันธุ์ SL(2, R )/H สำหรับกลุ่มSL(2, R )และกลุ่มย่อย H=A, N, K ^{[ 1 ]}กลุ่ม SL(2, R ) กระทำต่อปริภูมิเอกพันธุ์เหล่านี้โดยการแปลงเศษส่วนเชิงเส้นและเรขาคณิตส่วนใหญ่ที่เกี่ยวข้องสามารถได้รับในลักษณะที่เป็นเอกภาพจากโปรแกรม Erlangen

ในสาขาฟิสิกส์ยังมีตัวอย่างที่น่าสนใจอื่นๆ อีกหลายประการ

ประการแรกเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกnมิติปริภูมิเดอซิทเทอร์nมิติและเรขาคณิตผกผัน ( n −1) มิติล้วนมีกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมที่เป็นไอโซมอร์ฟิกกัน

${\displaystyle \mathrm {O} (n,1)/\mathrm {C} _{2},\ }$

กลุ่มLorentz แบบออร์โธโครนัสสำหรับn ≥ 3แต่รูปทรงเรขาคณิตเหล่านี้ดูเหมือนจะแตกต่างกัน ในที่นี้มีผลลัพธ์ที่น่าสนใจบางอย่างจากทางฟิสิกส์เข้ามาเกี่ยวข้อง มีการแสดงให้เห็นว่าแบบจำลองทางฟิสิกส์ในแต่ละรูปทรงเรขาคณิตทั้งสามแบบนั้นเป็น "คู่กัน" สำหรับบางแบบจำลอง

อีกครั้งพื้นที่แอนติ-เดอ ซิตเตอร์nมิติและพื้นที่คอนฟอร์ม อล ( n −1) มิติที่มีลักษณะเฉพาะแบบ "ลอเรนซ์" (ตรงข้ามกับพื้นที่คอนฟอร์มอลที่มีลักษณะเฉพาะแบบ "ยุคลิด" ซึ่งเหมือนกับเรขาคณิตผกผันสำหรับสามมิติหรือมากกว่า) มีกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมที่สมมาตรกัน แต่เป็นเรขาคณิตที่แตกต่างกัน อีกครั้ง มีแบบจำลองในฟิสิกส์ที่มี "ความเป็นคู่" ระหว่างพื้นที่ ทั้งสอง ดูAdS/CFTสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม

กลุ่มปกคลุมของ SU(2,2) มีลักษณะสมมาตรกับกลุ่มปกคลุมของ SO(4,2) ซึ่งเป็นกลุ่มสมมาตรของปริภูมิ Minkowski แบบคอนฟอร์มอล 4 มิติ และปริภูมิ anti-de Sitter 5 มิติ และปริภูมิ twistor สี่มิติ เชิงซ้อน

ดังนั้น โครงการเออร์ลังเงินจึงยังคงถือได้ว่ามีศักยภาพในการพิจารณาถึงความสัมพันธ์แบบทวิลักษณ์ในฟิสิกส์

ในบทความสำคัญที่แนะนำหมวดหมู่ Saunders Mac LaneและSamuel Eilenbergกล่าวว่า: "สิ่งนี้อาจถือได้ว่าเป็นการต่อยอดจากโครงการ Klein Erlanger ในแง่ที่ว่าพื้นที่ทางเรขาคณิตที่มีกลุ่มการแปลงของมันได้รับการขยายไปสู่หมวดหมู่ที่มีพีชคณิตของการแมป" ^{[ 2 ]}

ความสัมพันธ์ของโครงการ Erlangen กับงานของCharles Ehresmannเกี่ยวกับgroupoidในเรขาคณิตได้รับการพิจารณาในบทความด้านล่างโดย Pradines ^{[ 3 ]}

ในตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์โปรแกรม Erlangen ยังเป็นแรงบันดาลใจให้กับAlfred Tarskiในการวิเคราะห์แนวคิดเชิงตรรกะ ของ เขา อีกด้วย ^{[ 4 ​​]}