ในทางคณิตศาสตร์ความสามารถในการกำหนดทิศทางเป็นคุณสมบัติของปริภูมิเชิงทอพอโลยี บางอย่าง เช่นปริภูมิเวกเตอร์จริง ปริภูมิ ยุคลิดพื้นผิวและโดยทั่วไปคือแมนิโฟลด์ซึ่งช่วยให้สามารถกำหนด " ตามเข็มนาฬิกา " และ "ทวนเข็มนาฬิกา" ได้อย่างสอดคล้อง ^{[ 1 ]}มันเป็นการขยายแนวคิดของการกำหนดทิศทางของเส้นโค้งซึ่งสำหรับเส้นโค้งปิดแบบง่ายบนระนาบจะถูกกำหนดโดยพิจารณาว่าภายในเส้นโค้งอยู่ทางซ้ายหรือทางขวาของเส้นโค้ง ปริภูมิสามารถกำหนด ทิศทางได้ หากมีการกำหนดที่สอดคล้องกันเช่นนี้ ในกรณีนี้ มีการกำหนดที่เป็นไปได้สองแบบ และการเลือกอย่างใดอย่างหนึ่งจะเป็นการกำหนด ทิศทางของปริภูมิ ปริภูมิเวกเตอร์จริง ปริภูมิยุคลิด และ ทรงกลม สามารถกำหนด ทิศทาง ได้ ปริภูมิไม่สามารถกำหนดทิศทาง ได้ หาก "ตามเข็มนาฬิกา" เปลี่ยนเป็น "ทวนเข็มนาฬิกา" หลังจากวิ่งผ่านวงรอบ บางวง ในนั้น และกลับมายังจุดเริ่มต้น ซึ่งหมายความว่ารูปทรงเรขาคณิตเช่นที่เคลื่อนที่อย่างต่อเนื่องตามวงรอบดังกล่าว จะเปลี่ยนเป็นภาพสะท้อน ของตัวเอง แถบ โมเบียสเป็นตัวอย่างของปริภูมิที่ไม่สามารถกำหนดทิศทางได้

สามารถกำหนดสูตรที่เทียบเท่ากันได้หลายแบบสำหรับแนวคิดเรื่องความสามารถในการกำหนดทิศทาง ขึ้นอยู่กับการใช้งานที่ต้องการและระดับความทั่วไป สูตรที่ใช้ได้กับแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีทั่วไปมักใช้วิธีการของทฤษฎีโฮโมโลยีในขณะที่สำหรับแมนิโฟลด์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้จะมีโครงสร้างมากกว่า ทำให้สามารถกำหนดสูตรในรูปของฟอร์มเชิงอนุพันธ์ได้ การวางนัยทั่วไปของแนวคิดเรื่องความสามารถในการกำหนดทิศทางของปริภูมิ คือ ความสามารถในการกำหนดทิศทางของกลุ่มปริภูมิที่กำหนดพารามิเตอร์โดยปริภูมิอื่น ( ไฟเบอร์บันเดิล ) ซึ่งจะต้องเลือกทิศทางในแต่ละปริภูมิซึ่งเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องตามการเปลี่ยนแปลงของค่าพารามิเตอร์

พื้นผิวในปริภูมิยูคลิดจะเรียกว่าสามารถกำหนดทิศทางได้หาก รูปทรงสองมิติ แบบไครัล (เช่น) ไม่สามารถเคลื่อนที่ไปรอบๆ พื้นผิวและกลับมายังจุดเริ่มต้นได้โดยที่รูปทรงนั้นดูเหมือนภาพสะท้อนของตัวเอง ( ) มิฉะนั้น พื้นผิวนั้น จะเรียกว่า ไม่สามารถกำหนดทิศทางได้ พื้นผิวเชิงนามธรรม (เช่น แมนิโฟลด์สองมิติ) จะเรียกว่าสามารถกำหนดทิศทางได้ หากสามารถกำหนดแนวคิดที่สอดคล้องกันของการหมุนตามเข็มนาฬิกาบนพื้นผิวได้อย่างต่อเนื่อง กล่าวคือ วงรอบที่หมุนไปในทิศทางหนึ่งบนพื้นผิวจะไม่สามารถเปลี่ยนรูปอย่างต่อเนื่อง (โดยไม่ทับซ้อนกัน) ไปเป็นวงรอบที่หมุนไปในทิศทางตรงกันข้ามได้ ซึ่งสิ่งนี้เทียบเท่ากับคำถามที่ว่าพื้นผิวนั้นไม่มีเซตย่อยใดที่สมมูลกับแถบโมเบียสหรือไม่ ดังนั้น สำหรับพื้นผิว แถบโมเบียสอาจถือได้ว่าเป็นแหล่งที่มาของความไม่สามารถกำหนดทิศทางได้ทั้งหมด ${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

สำหรับพื้นผิวที่สามารถกำหนดทิศทางได้ การเลือกทิศทาง "ตามเข็มนาฬิกา" อย่างสม่ำเสมอ (ตรงข้ามกับทวนเข็มนาฬิกา) เรียกว่าทิศทางและพื้นผิวนั้นเรียกว่า พื้นผิวที่มีทิศทางสำหรับพื้นผิวที่ฝังอยู่ในปริภูมิยูคลิด ทิศทางจะถูกกำหนดโดยการเลือกเวกเตอร์ตั้งฉากกับพื้นผิว ที่เปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง ในทุกจุด หากมีเวกเตอร์ตั้งฉากดังกล่าวอยู่ ก็จะมีวิธีการเลือกสองวิธีเสมอคือ หรือโดยทั่วไปแล้ว พื้นผิวที่สามารถกำหนดทิศทางได้จะยอมรับทิศทางได้สองทิศทางอย่างแน่นอน และความแตกต่างระหว่างพื้นผิวที่มีทิศทางกับพื้นผิวที่สามารถกำหนดทิศทางได้นั้นมีความละเอียดอ่อนและมักจะคลุมเครือ พื้นผิวที่สามารถกำหนดทิศทางได้คือพื้นผิวเชิงนามธรรมที่ยอมรับทิศทาง ในขณะที่พื้นผิวที่มีทิศทางคือพื้นผิวที่สามารถกำหนดทิศทางได้ในเชิงนามธรรม และมีข้อมูลเพิ่มเติมคือการเลือกทิศทางใดทิศทางหนึ่งจากสองทิศทางที่เป็นไปได้ ${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle -\mathbf {n} }$

พื้นผิวส่วนใหญ่ที่พบในโลกทางกายภาพสามารถกำหนดทิศทางได้ เช่นทรงกลมระนาบและทอรัส แต่ แถบโมเบียสระนาบเชิงฉายจริงและขวดไคลน์นั้นไม่สามารถกำหนดทิศทางได้ เนื่องจากเมื่อมองในมิติ n พวกมันมีเพียงด้านเดียว ระนาบเชิงฉายจริงและขวดไคลน์ไม่สามารถฝังอยู่ในมิติ n ได้แต่สามารถจุ่มลงไป ในมิติ n ได้ ด้วยจุดตัดที่สวยงาม เท่านั้น${\displaystyle 3}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

โปรดสังเกตว่าโดยทั่วไปแล้วพื้นผิวที่ฝังตัวอยู่จะมีสองด้านเสมอ ดังนั้นมดสายตาสั้นที่คลานอยู่บนพื้นผิวด้านเดียวจะคิดว่ามี "อีกด้านหนึ่ง" สาระสำคัญของพื้นผิวด้านเดียวก็คือ มดสามารถคลานจากด้านหนึ่งของพื้นผิวไปยัง "อีกด้านหนึ่ง" ได้โดยไม่ต้องทะลุผ่านพื้นผิวหรือพลิกตัวข้ามขอบ แต่เพียงแค่คลานไปได้ไกลพอ

โดยทั่วไปแล้ว คุณสมบัติของการกำหนดทิศทางได้นั้นไม่เท่ากับคุณสมบัติของการมีสองด้าน อย่างไรก็ตาม ข้อนี้เป็นจริงเมื่อปริภูมิแวดล้อม (เช่น ข้างต้น) สามารถกำหนดทิศทางได้ ตัวอย่างเช่น ทอรัสที่ฝังอยู่ใน ${\displaystyle R^{3}}$

${\displaystyle K^{2}\times S^{1}}$

ขวดไคลน์อาจมีด้านเดียว ในขณะที่ขวดไคลน์ที่มีพื้นที่เท่ากันอาจมีสองด้าน ในที่นี้หมายถึงขวดไคลน์ ${\displaystyle K^{2}}$

พื้นผิวใดๆ ก็ สามารถแบ่งออกเป็นรูป สามเหลี่ยมได้โดยแต่ละขอบของรูปสามเหลี่ยมจะเชื่อมต่อกับขอบอื่นได้ไม่เกินหนึ่งขอบเท่านั้น แต่ละรูปสามเหลี่ยมจะถูกกำหนดทิศทางโดยการเลือกทิศทางรอบเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม และกำหนดทิศทางให้กับแต่ละขอบของรูปสามเหลี่ยม หากทำเช่นนี้ในลักษณะที่เมื่อเชื่อมต่อกันแล้ว ขอบที่อยู่ติดกันจะชี้ไปในทิศทางตรงกันข้าม ก็จะสามารถกำหนดทิศทางของพื้นผิวได้ การเลือกทิศทางเช่นนี้เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อพื้นผิวนั้นสามารถกำหนดทิศทางได้ และในกรณีนี้จะมีทิศทางที่แตกต่างกันเพียงสองทิศทางเท่านั้น

หากสามารถวางรูปทรงนั้นได้อย่างสม่ำเสมอในทุกจุดของพื้นผิวโดยไม่กลายเป็นภาพสะท้อนในกระจก การวางตำแหน่งดังกล่าวจะเหนี่ยวนำให้เกิดการวางแนวในความหมายข้างต้นบนแต่ละสามเหลี่ยมของการสร้างสามเหลี่ยม โดยการเลือกทิศทางของแต่ละสามเหลี่ยมตามลำดับสีแดง-เขียว-น้ำเงินของรูปทรงใดๆ ที่อยู่ภายในสามเหลี่ยมนั้น

แนวทางนี้สามารถนำไปใช้กับแมนิโฟลด์ 4 มิติใดๆ ที่มีการแบ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมได้ อย่างไรก็ตาม แมนิโฟลด์ 4 มิติบางชนิดไม่มีการแบ่งเป็นรูปสามเหลี่ยม และโดยทั่วไปแล้ว แมนิโฟลด์ 4 มิติ บางชนิดมีการแบ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมที่ไม่เท่ากัน ${\displaystyle n}$${\displaystyle n>4}$${\displaystyle n}$

ถ้า แทนกลุ่ม โฮโมโลยีแรกของพื้นผิวปิดแล้วจะเป็นพื้นผิวที่กำหนดทิศทางได้ก็ต่อเมื่อ มี กลุ่มย่อยทอร์ชั่นที่ไม่สำคัญกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น ถ้าเป็นพื้นผิวที่กำหนดทิศทางได้ แล้วจะเป็นกลุ่มอาเบเลียนอิสระและถ้าไม่ใช่ แล้วโดยที่เป็นกลุ่มอาเบเลียนอิสระ และตัวประกอบ ถูกสร้างขึ้นโดยเส้นโค้งตรงกลางในแถบโมเบียสที่ ฝังอยู่ใน${\displaystyle H_{1}(S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle H_{1}(S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle H_{1}(S)}$${\displaystyle H_{1}(S)=F+\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle S}$

ให้Mเป็นแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีที่เชื่อมต่อกันn มิติมีคำจำกัดความที่เป็นไปได้หลายประการว่าMจะสามารถกำหนดทิศทางได้ คำจำกัดความบางอย่างต้องการให้Mมีโครงสร้างเพิ่มเติม เช่น สามารถหาอนุพันธ์ได้ บางครั้งn = 0จะต้องถูกทำให้เป็นกรณีพิเศษ เมื่อมีคำจำกัดความมากกว่าหนึ่งข้อที่ใช้กับMแล้วMจะสามารถกำหนดทิศทางได้ภายใต้คำจำกัดความหนึ่งก็ต่อเมื่อสามารถกำหนดทิศทางได้ภายใต้คำจำกัดความอื่นๆ^{[ 2 ] [ 3 ]}

นิยามที่เข้าใจง่ายที่สุดกำหนดให้เป็นแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้ ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านในแอตลาสของเป็นฟังก์ชัน ฟังก์ชันดัง กล่าวมี ดีเทอร์มิแนนต์ของจาโคเบียนเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ของจาโคเบียนเป็นบวก ฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่าน จะเรียกว่า รักษาทิศทาง แอตลาสที่ มีทิศทางบนคือแอตลาสที่ฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านทั้งหมดรักษาทิศทาง สามารถกำหนดทิศทางได้หากมีแอตลาสที่มีทิศทางเมื่อ ทิศทางของคือแอตลาสที่มีทิศทางสูงสุด (เมื่อนั่นคือ เป็นจุด ทิศทางของคือฟังก์ชัน) ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n=0}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M\to \{\pm 1\}}$

ความสามารถในการกำหนดทิศทางและการวางแนวสามารถแสดงได้ในรูปของกลุ่มเวกเตอร์สัมผัส (tangent bundle) กลุ่มเวกเตอร์สัมผัสเป็นกลุ่มเวกเตอร์ดังนั้นจึงเป็น กลุ่ม ไฟเบอร์ (fiber bundle ) ที่มีกลุ่มโครงสร้าง (structure group ) นั่นคือ ฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านของแมนิโฟลด์เหนี่ยวนำให้เกิดฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านบนกลุ่มเวกเตอร์สัมผัส ซึ่งเป็นการแปลงเชิงเส้นแบบไฟเบอร์ หากกลุ่มโครงสร้างสามารถลดรูปไปเป็นกลุ่มของเมทริกซ์ดีเทอร์มิแนนต์บวก หรือเทียบเท่ากับว่ามีแอตลาสที่มีฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านกำหนดการแปลงเชิงเส้นที่รักษาการวางแนวบนปริภูมิสัมผัสแต่ละอัน แมนิโฟลด์นั้นก็สามารถกำหนดทิศทางได้ ในทางกลับกัน แม นิโฟลด์ ก็สามารถกำหนดทิศทางได้ก็ต่อเมื่อกลุ่มโครงสร้างของกลุ่มเวกเตอร์สัมผัสสามารถลดรูปได้ในลักษณะนี้ ข้อสังเกตที่คล้ายกันนี้สามารถทำได้สำหรับกลุ่มเฟรม (frame bundle) ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

อีกวิธีหนึ่งในการกำหนดทิศทางบนแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้คือผ่านฟอร์มปริมาตร ฟอร์มปริมาตรคือส่วนที่ไม่เป็นศูนย์ที่ใดเลยของซึ่งเป็นกำลังภายนอกสูงสุดของมัดโคแทนเจนต์ของตัวอย่างเช่นมีฟอร์มปริมาตรมาตรฐานที่กำหนดโดยเมื่อกำหนดฟอร์มปริมาตรบน แล้วชุดของแผนภูมิทั้งหมดที่ฟอร์มปริมาตรมาตรฐานดึงกลับไปยังผลคูณบวกของคือแอตลาสที่มีทิศทาง ดังนั้นการมีอยู่ของฟอร์มปริมาตรจึงเทียบเท่ากับความสามารถในการกำหนดทิศทางของแมนิโฟลด์ ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\bigwedge }^{\!n}T^{*}M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle U\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \omega }$

รูปแบบปริมาตรและเวกเตอร์สัมผัสสามารถนำมาผสมผสานกันเพื่อให้ได้คำอธิบายเพิ่มเติมเกี่ยวกับความสามารถในการกำหนดทิศทางได้ ถ้าเป็นฐานของเวกเตอร์สัมผัสที่จุดฐานนั้นจะเรียกว่าเป็นฐานมือขวาถ้าฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านจะรักษาทิศทางได้ก็ต่อเมื่อมันส่งฐานมือขวาไปยังฐานมือขวาเท่านั้น การมีอยู่ของรูปแบบปริมาตรบ่งบอกถึงการลดกลุ่มโครงสร้างของมัดสัมผัสหรือมัดเฟรมลงเหลือ เช่นเดียวกับที่กล่าวมาแล้ว สิ่งนี้บ่งบอกถึงความสามารถในการกำหนดทิศทางของในทางกลับกัน ถ้าสามารถกำหนดทิศทางได้ รูปแบบปริมาตรเฉพาะที่สามารถนำมาต่อกันเพื่อสร้างรูปแบบปริมาตรโดยรวมได้ โดยความสามารถในการกำหนดทิศทางเป็นสิ่งจำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่ารูปแบบโดยรวมจะไม่หายไปที่ใดเลย ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \omega (X_{1},\ldots ,X_{n})>0}$${\displaystyle \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

หัวใจสำคัญของคำจำกัดความทั้งหมดข้างต้นเกี่ยวกับความสามารถในการกำหนดทิศทางของแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้ คือแนวคิดของฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านที่รักษาทิศทาง ซึ่งทำให้เกิดคำถามว่าฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านดังกล่าวรักษาอะไรกันแน่ มันไม่สามารถรักษาทิศทางของแมนิโฟลด์ได้ เพราะทิศทางของแมนิโฟลด์คือแอตลาส และมันไม่สมเหตุสมผลที่จะกล่าวว่าฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านรักษาหรือไม่รักษาแอตลาสที่มันเป็นสมาชิกอยู่

คำถามนี้สามารถแก้ไขได้โดยการกำหนดทิศทางเฉพาะที่ บนแมนิโฟลด์หนึ่งมิติ ทิศทางเฉพาะที่รอบจุดหนึ่งจะสอดคล้องกับการเลือกซ้ายและขวาใกล้จุดนั้น บนแมนิโฟลด์สองมิติ จะสอดคล้องกับการเลือกตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกา สถานการณ์ทั้งสองนี้มีลักษณะร่วมกันคือ อธิบายในแง่ของพฤติกรรมมิติสูงสุดใกล้แต่ไม่ใช่ที่จุดนั้นสำหรับกรณีทั่วไป ให้เป็นแมนิโฟลด์ เชิงทอพอโลยี ทิศทางเฉพาะที่ของรอบจุดหนึ่งคือการเลือกตัวสร้างของกลุ่ม ${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbb {Z} \right).}$

เพื่อดูความสำคัญทางเรขาคณิตของกลุ่มนี้ ให้เลือกแผนภูมิรอบจุดในแผนภูมินั้นมีบริเวณใกล้เคียงของ จุด ซึ่งเป็นทรงกลมเปิดรอบจุดกำเนิดโดยทฤษฎีบทการตัดออกสมสัณฐานกับ ทรงกลม นั้น สามารถหดตัวได้ ดังนั้นกลุ่มโฮโมโลยีของ มันจึงเป็นศูนย์ยกเว้นในระดับศูนย์ และปริภูมิเป็นทรงกลม ดังนั้นกลุ่มโฮโมโลยีของมันจึงเป็นศูนย์ยกเว้นในระดับและการคำนวณด้วยลำดับที่แน่นอนยาวในโฮโมโลยีสัมพัทธ์แสดงให้เห็นว่ากลุ่มโฮโมโลยีข้างต้นสมสัณฐานกับดังนั้นการเลือกตัวสร้างจึงสอดคล้องกับการตัดสินใจว่าในแผนภูมิที่กำหนด ทรงกลมรอบจุดเป็นบวกหรือลบ การสะท้อนของผ่านจุดกำเนิดจะกระทำโดยการปฏิเสธบนดังนั้นความสำคัญทางเรขาคณิตของการเลือกตัวสร้างคือการแยกแยะแผนภูมิออกจากภาพสะท้อนของมัน ${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle B}$${\displaystyle O}$${\displaystyle H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbb {Z} \right)}$${\displaystyle H_{n}\left(B,B\setminus \{O\};\mathbb {Z} \right)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B\setminus O}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle H_{n-1}\left(S^{n-1};\mathbb {Z} \right)\cong \mathbb {Z} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle H_{n-1}\left(S^{n-1};\mathbb {Z} \right)}$

บนแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยี ฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านจะรักษาทิศทางได้ก็ต่อเมื่อ ณ แต่ละจุดในโดเมนของมัน ฟังก์ชันนั้นตรึงตัวสร้างของ ไว้ได้จากตรงนี้ คำจำกัดความที่เกี่ยวข้องจะเหมือนกับในกรณีที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ แอตลาสที่มีทิศทางคือแอตลาสที่ฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านทั้งหมดรักษาทิศทางได้ แอตลาสที่สามารถกำหนดทิศทางได้คือแอตลาสที่ยอมรับแอตลาสที่มีทิศทาง และเมื่อทิศทางของ คือแอตลาส ที่มีทิศทางสูงสุด ${\displaystyle p}$${\displaystyle H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbb {Z} \right)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle M}$

โดยสัญชาตญาณแล้ว การวางแนวของควรจะกำหนดการวางแนวเฉพาะที่ที่ไม่ซ้ำกันของณ แต่ละจุด สิ่งนี้ได้รับการทำให้ชัดเจนยิ่งขึ้นโดยการสังเกตว่าแผนภูมิใดๆ ในแอตลาสที่กำหนดทิศทางรอบๆ สามารถใช้เพื่อกำหนดทรงกลมรอบๆ ได้และทรงกลมนี้จะกำหนดตัวสร้างของยิ่งไปกว่านั้น แผนภูมิอื่นๆ รอบๆจะมีความสัมพันธ์กับแผนภูมิแรกโดยฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านที่รักษาการวางแนว และนี่หมายความว่าแผนภูมิทั้งสองให้ตัวสร้างเดียวกัน ดังนั้นตัวสร้างจึงมีเอกลักษณ์เฉพาะ ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbb {Z} \right)}$${\displaystyle p}$

นิยามโฮโมโลยีล้วนๆ ก็เป็นไปได้เช่นกัน สมมติว่าปิดและเชื่อมต่อกันจะสามารถกำหนดทิศทางได้ก็ต่อเมื่อกลุ่มโฮโมโลยีที่ th สมมาตรกับจำนวนเต็มการกำหนดทิศทางของคือการเลือกตัวสร้างของกลุ่มนี้ ตัวสร้างนี้กำหนดแอตลาสแบบกำหนดทิศทางโดยการกำหนดตัวสร้างของกลุ่มวัฏจักรอนันต์และใช้แผนภูมิแบบกำหนดทิศทางเป็นแผนภูมิที่ผลักดันไปข้างหน้าสู่ตัวสร้างที่กำหนดไว้ ในทางกลับกัน แอตลาสแบบกำหนดทิศทางจะกำหนดตัวสร้างดังกล่าว เนื่องจากทิศทางท้องถิ่นที่เข้ากันได้สามารถเชื่อมต่อกันเพื่อให้ได้ตัวสร้างสำหรับกลุ่มโฮโมโลยี^{[ 4 ]}${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )}$

แมนิโฟลด์สามารถกำหนดทิศทางได้ก็ต่อเมื่อคลาส Stiefel–Whitney แรก เป็นศูนย์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากกลุ่มโคฮอโมโลยีแรกที่มีสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์ แมนิโฟลด์นั้นก็สามารถกำหนดทิศทางได้ ยิ่งไปกว่านั้น หากสามารถกำหนดทิศทางได้และ เป็นศูนย์ พารามิเตอร์ของตัวเลือกการวางแนวก็จะเปลี่ยนไป^{[ 5 ]}ลักษณะเฉพาะของการกำหนดทิศทางนี้ขยายไปถึงการกำหนดทิศทางของเวกเตอร์บันเดิลทั่วไปเหนือไม่ใช่แค่บันเดิลสัมผัสเท่านั้น ${\displaystyle M}$${\displaystyle w_{1}(M)\in H^{1}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle w_{1}}$${\displaystyle H^{0}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$${\displaystyle M}$

รอบๆ แต่ละจุดจะมีทิศทางเฉพาะที่สองทิศทาง โดยสัญชาตญาณแล้ว มีวิธีที่จะเคลื่อนจากทิศทางเฉพาะที่จุดหนึ่งไปยังทิศทางเฉพาะที่จุดใกล้เคียงได้ กล่าวคือ เมื่อจุดทั้งสองอยู่ในแผนภูมิพิกัดเดียวกันแผนภูมิพิกัดนั้นจะกำหนดทิศทางเฉพาะที่เข้ากันได้ที่จุดและดังนั้น เซตของทิศทางเฉพาะเหล่านี้จึงสามารถกำหนดโทโพโลยีได้ และโทโพโลยีนี้จะทำให้มันกลายเป็นแมนิโฟลด์ ${\displaystyle M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p^{\prime }}$${\displaystyle U\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p^{\prime }}$

กล่าวโดยละเอียด ให้เป็นเซตของทิศทางเฉพาะที่ทั้งหมดของเพื่อสร้างโทโพโลยีเราจะระบุซับเบสสำหรับโทโพโลยีของมัน ให้เป็นเซตย่อยเปิดของที่เลือกไว้ โดยที่สม isomorphic กับสมมติว่าเป็นตัวกำเนิดของกลุ่มนี้ สำหรับแต่ละในจะมีฟังก์ชัน pushforward โคโดเมนของกลุ่มนี้มีตัวกำเนิดสองตัว และแมปไปยังตัวกำเนิดตัวใดตัวหนึ่ง โทโพโลยีบนถูกกำหนดไว้เพื่อให้ ${\displaystyle O}$${\displaystyle M}$${\displaystyle O}$${\displaystyle U}$${\displaystyle M}$${\displaystyle H_{n}(M,M\setminus U;\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle p}$${\displaystyle U}$${\displaystyle H_{n}(M,M\setminus U;\mathbb {Z} )\to H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbb {Z} \right)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle O}$

${\displaystyle \{{\text{Image of }}\alpha {\text{ in }}H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbb {Z} \right)\colon p\in U\}}$

เปิดแล้ว

มีแผนที่มาตรฐานที่ส่งทิศทางเฉพาะที่ ณจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งอย่างชัดเจนว่าทุกจุดในนั้นมีภาพผกผันสองภาพภายใต้จุดนั้น อันที่จริงแล้วยังเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมเฉพาะที่ด้วยซ้ำ เพราะภาพผกผันของเซตเปิดที่กล่าวถึงข้างต้นเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกันของสองสำเนาของถ้าสามารถกำหนดทิศทางได้ตัวมันเองก็เป็นหนึ่งในเซตเปิดเหล่านี้ เช่นเดียวกับการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกันของสองสำเนาของถ้าไม่สามารถกำหนดทิศทางได้ อย่างไรก็ตาม จะเป็นแมนิโฟลด์ที่เชื่อมต่อกันและสามารถกำหนดทิศทางได้ แมนิโฟลด์ นี้ เรียกว่าการปกคลุม คู่ของทิศทาง${\displaystyle \pi :O\to M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle O}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle O}$${\displaystyle O}$

ถ้าเป็นแมนิโฟลด์ที่มีขอบเขต การวางแนวของจะถูกกำหนดให้เป็นการวางแนวของส่วนภายในของมัน การวางแนวดังกล่าวเหนี่ยวนำให้เกิดการวางแนวของแท้จริงแล้ว สมมติว่าการวางแนวของถูกกำหนดไว้แล้ว ให้เป็นแผนภูมิที่จุดขอบเขตของซึ่งเมื่อจำกัดอยู่ภายในของจะอยู่ในแอตลาสแบบวางแนวที่เลือกไว้ การจำกัดแผนภูมินี้ไปยังคือแผนภูมิของแผนภูมิดังกล่าวสร้างแอตลาสแบบวางแนวสำหรับ ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \partial M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle U\to \mathbb {R} _{+}^{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \partial M}$${\displaystyle \partial M}$${\displaystyle \partial M}$

เมื่อพื้นผิวเรียบ ณ แต่ละจุดของการจำกัดกลุ่มสัมผัสของบนจะสมมาตรกับโดยที่ตัวประกอบของอธิบายได้ด้วยเวกเตอร์ปกติที่ชี้เข้าด้านใน ทิศทางของถูกกำหนดโดยเงื่อนไขที่ว่าฐานของจะมีทิศทางเป็นบวกก็ต่อเมื่อ เมื่อรวมกับเวกเตอร์ปกติที่ชี้เข้าด้านในแล้ว จะกำหนดฐานที่มีทิศทางเป็นบวกของ ${\displaystyle M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \partial M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \partial M}$${\displaystyle T_{p}\partial M\oplus \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle T_{p}\partial M}$${\displaystyle T_{p}\partial M}$${\displaystyle T_{p}M}$

แนวคิดที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดใช้แนวคิดของปริภูมิปกคลุมสำหรับแมนิโฟลด์ ที่เชื่อมต่อกัน ให้พิจารณาเซตของคู่ โดยที่เป็นจุดบนและเป็นทิศทางที่จุดนั้นในที่นี้เราสมมติว่าเป็นแมนิโฟลด์เรียบเพื่อให้เราสามารถเลือกทิศทางบนปริภูมิสัมผัสที่จุดนั้นได้ หรือเราใช้โฮโมโลยีเอกฐานเพื่อกำหนดทิศทาง จากนั้นสำหรับทุกเซตย่อยแบบเปิดที่มีทิศทางของเราจะพิจารณาเซตของคู่ที่สอดคล้องกัน และกำหนดให้ เป็นเซตเปิดของสิ่งนี้ให้โทโพโลยี และการฉายภาพที่ส่งไปยัง จะเป็นแผนที่ปกคลุมแบบ 2 ต่อ 1 ปริภูมิปกคลุมนี้เรียกว่า การปกคลุมคู่แบบมีทิศทางเนื่องจากสามารถกำหนดทิศทางได้ แมนิโฟลด์เชื่อมต่อกันก็ต่อเมื่อไม่สามารถกำหนดทิศทางได้ ${\displaystyle M}$${\displaystyle M^{*}}$${\displaystyle (x,o)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle o}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M^{*}}$${\displaystyle M^{*}}$${\displaystyle (x,o)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M^{*}}$${\displaystyle M}$

อีกวิธีหนึ่งในการสร้างชุดคลุมนี้คือการแบ่งลูปที่จุดฐานออกเป็นลูปที่รักษาทิศทางหรือลูปที่กลับทิศทาง ลูปที่รักษาทิศทางจะสร้างกลุ่มย่อยของกลุ่มพื้นฐานซึ่งอาจเป็นกลุ่มทั้งหมดหรือมีดัชนีสอง ในกรณีหลัง (ซึ่งหมายความว่ามีเส้นทางที่กลับทิศทาง) กลุ่มย่อยจะสอดคล้องกับชุดคลุมคู่ที่เชื่อมต่อกัน ชุดคลุมนี้สามารถกำหนดทิศทางได้โดยการสร้าง ในกรณีแรก เราสามารถใช้สำเนาสองชุดของซึ่งแต่ละชุดสอดคล้องกับทิศทางที่แตกต่างกัน ${\displaystyle M}$

บันเดิลเวกเตอร์จริงซึ่งมีกลุ่มโครงสร้างโดยปริยายเรียกว่าสามารถกำหนดทิศทางได้เมื่อกลุ่มโครงสร้าง นั้น สามารถลดรูปไปเป็น ซึ่งเป็นกลุ่มของเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เป็น บวก สำหรับบันเดิลสัมผัสการลดรูปนี้เป็นไปได้เสมอหากแมนิโฟลด์ฐานที่อยู่เบื้องหลังสามารถกำหนดทิศทางได้ และในความเป็นจริงแล้ว นี่เป็นวิธีที่สะดวกในการกำหนดความสามารถในการกำหนดทิศทางของแมนิโฟลด์จริงเรียบ : แมนิโฟลด์เรียบถูกกำหนดให้สามารถกำหนดทิศทางได้หากบันเดิลสัมผัส ของมัน สามารถกำหนดทิศทางได้ (ในฐานะบันเดิลเวกเตอร์) โปรดทราบว่าในฐานะแมนิโฟลด์ในตัวของมันเอง บันเดิลสัมผัส สามารถกำหนดทิศทางได้ เสมอแม้กระทั่งบนแมนิโฟลด์ที่ไม่สามารถกำหนดทิศทางได้ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n)}$${\displaystyle \operatorname {GL} ^{+}(n)}$

ในเรขาคณิตแบบลอเรนซ์มีความสามารถในการกำหนดทิศทางได้สองประเภท คือความสามารถในการกำหนดทิศทางในอวกาศและความสามารถในการกำหนดทิศทางในเวลาสิ่งเหล่านี้มีบทบาทในโครงสร้างเชิงสาเหตุของกาลอวกาศ^{[ 6 ]} ในบริบทของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปกาลอวกาศสามารถกำหนดทิศทางในอวกาศได้ก็ต่อเมื่อ เมื่อใดก็ตามที่ผู้สังเกตการณ์สองคนที่ถนัดมือขวาออกเดินทางไปในยานอวกาศโดยเริ่มจากจุดกาลอวกาศเดียวกัน แล้วมาพบกันอีกครั้งที่จุดอื่น พวกเขายังคงถนัดมือขวาเมื่อเทียบกับกันและกัน หากกาลอวกาศสามารถกำหนดทิศทางในเวลาได้ ผู้สังเกตการณ์ทั้งสองจะเห็นพ้องต้องกันเสมอเกี่ยวกับทิศทางของเวลา ณ จุดที่พวกเขาพบกันทั้งสองจุด อันที่จริง กาลอวกาศสามารถกำหนดทิศทางในเวลาได้ก็ต่อเมื่อผู้สังเกตการณ์สองคนใดๆ สามารถเห็นพ้องต้องกันได้ว่าการพบกันครั้งใดเกิดขึ้นก่อนกัน^{[ 7 ]}

ตามหลักการแล้วกลุ่มเสมือนตั้งฉาก มี ลักษณะเฉพาะอยู่สองประการได้แก่ ลักษณะเฉพาะของการวางแนวในอวกาศและลักษณะเฉพาะของการวางแนวในเวลา ${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$${\displaystyle \sigma _{+}}$${\displaystyle \sigma _{-}}$

${\displaystyle \sigma _{\pm }:\operatorname {O} (p,q)\to \{-1,+1\}.}$

ผลคูณของพวกมันคือดีเทอร์มิแนนต์ ซึ่งให้ลักษณะการวางแนว การวางแนวในอวกาศของแมนิโฟลด์แบบซูโดรีมันน์จะถูกระบุด้วยส่วนตัดของบันเดิลที่เกี่ยวข้อง${\displaystyle \sigma =\sigma _{+}\sigma _{-}}$

${\displaystyle \operatorname {O} (M)\times _{\sigma _{+}}\{-1,+1\}}$

กลุ่มของเฟรมเสมือนตั้งฉากอยู่ ที่ไหน ในทำนองเดียวกัน การวางแนวเวลาเป็นส่วนหนึ่งของกลุ่มเฟรมที่เกี่ยวข้อง${\displaystyle \operatorname {O} (M)}$

${\displaystyle \operatorname {O} (M)\times _{\sigma _{-}}\{-1,+1\}.}$

• การวางแนวเส้นโค้ง
• มัดแนวดิ่ง

• การวางแนวของแมนิโฟลด์เก็บถาวรเมื่อ 2013-05-03 ที่Wayback Machineใน Manifold Atlas
• ข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับเอกสารที่เก็บถาวรไว้เมื่อวันที่ 10 เมษายน 2562 ในWayback Machineที่ Manifold Atlas
• การวางแนวของแมนิโฟลด์ในทฤษฎีโคฮอโมโลยีทั่วไปเก็บถาวรเมื่อ 2 พฤศจิกายน 2013 ที่Wayback Machineใน Manifold Atlas
• บทความเรื่องการวางแนว จากสารานุกรม คณิตศาสตร์