ในทางคณิตศาสตร์ กลุ่มเชิงเส้นทั่วไป ( General Linear Group)ที่มีดีกรี n คือเซตของเมทริกซ์ที่ผกผันได้ร่วมกับการดำเนินการคูณเมทริกซ์ ธรรมดา ซึ่งก่อให้เกิดกลุ่มขึ้นเพราะผลคูณของเมทริกซ์ที่ผกผันได้สองเมทริกซ์นั้นสามารถผกผันได้อีก และเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ที่ผกผันได้ก็สามารถผกผันได้อีกเช่นกัน โดยมีเมทริกซ์เอกลักษณ์เป็นสมาชิกเอกลักษณ์ของกลุ่ม กลุ่มนี้ได้ชื่อเช่นนี้เพราะคอลัมน์ (และแถวด้วย) ของเมทริกซ์ที่ผกผันได้นั้นเป็นอิสระเชิงเส้นดังนั้นเวกเตอร์/จุดที่พวกมันกำหนดจึงอยู่ในตำแหน่งเชิงเส้นทั่วไปและเมทริกซ์ในกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปจะแปลงจุดที่อยู่ในตำแหน่งเชิงเส้นทั่วไปไปเป็นจุดที่อยู่ในตำแหน่งเชิงเส้นทั่วไป ${\displaystyle n}$${\displaystyle n\times n}$

เพื่อให้แม่นยำยิ่งขึ้น จำเป็นต้องระบุว่าวัตถุประเภทใดบ้างที่อาจปรากฏในรายการของเมทริกซ์ ตัวอย่างเช่น กลุ่มเชิงเส้นทั่วไปเหนือ(เซตของจำนวนจริง ) คือกลุ่มของเมทริกซ์ผกผันได้ของจำนวนจริง และใช้สัญลักษณ์หรือแทน ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$

โดยทั่วไป กลุ่มเชิงเส้นทั่วไปที่ มีดีกรี เหนือฟิลด์ ใดๆ (เช่นจำนวนเชิงซ้อน ) หรือวงแหวน (เช่น วงแหวนของจำนวนเต็ม ) คือเซตของเมทริกซ์ผกผันที่มีสมาชิกจาก(หรือ) โดยมีการคูณเมทริกซ์เป็นการดำเนินการของกลุ่ม^{[ 1 ]}สัญลักษณ์ทั่วไปคือหรือหรือเพียงแค่ถ้าเข้าใจฟิลด์ ${\displaystyle n}$${\displaystyle F}$${\displaystyle R}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle F}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(F)}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n)}$

โดยทั่วไปแล้วกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปของปริภูมิเวกเตอร์ คือกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมซึ่งไม่จำเป็นต้องเขียนในรูปเมทริกซ์ เสมอไป${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {GL} (V)}$

กลุ่มเชิงเส้นพิเศษซึ่งเขียนแทนด้วยหรือเป็นกลุ่มย่อยของที่ประกอบด้วยเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1 ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,F)}$${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(F)}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$

กลุ่มและกลุ่มย่อย ของกลุ่มนี้ มักเรียกว่ากลุ่มเชิงเส้นหรือกลุ่มเมทริกซ์ (กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมเป็นกลุ่มเชิงเส้นแต่ไม่ใช่กลุ่มเมทริกซ์) กลุ่มเหล่านี้มีความสำคัญในทฤษฎีการแทนกลุ่มและยังเกิดขึ้นในการศึกษาความสมมาตร เชิงพื้นที่ และความสมมาตรของปริภูมิเวกเตอร์โดยทั่วไป รวมถึงการศึกษาพหุนามด้วย กลุ่มมอดูลาร์สามารถสร้างขึ้นได้ในรูปผลหารของกลุ่มเชิงเส้นพิเศษ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {GL} (V)}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {SL} (2,\mathbb {Z} )}$

ถ้าเป็นเช่นนั้น กลุ่มนั้นจะไม่ใช่ กลุ่ม อาเบเลียน ${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$

ถ้าเป็นปริมาณเวกเตอร์เหนือฟิลด์กลุ่มเชิงเส้นทั่วไปของเขียนแทนด้วย หรือคือกลุ่มของออโตมอร์ฟิซึม ทั้งหมด ของ กล่าวคือ เซตของการแปลงเชิงเส้น แบบหนึ่งต่อหนึ่ง ทั่วถึง ทั้งหมด พร้อมกับการประกอบฟังก์ชันเป็นการดำเนินการของกลุ่ม ถ้า มี มิติจำกัดแล้วและจะเป็นไอโซมอร์ฟิกกัน ไอโซมอร์ฟิซึมนี้ไม่เป็นแบบแคนอนิก มันขึ้นอยู่กับการเลือกฐานในเมื่อกำหนดฐานของและออโตมอร์ฟิซึมในเราจะได้ว่า สำหรับทุกเวกเตอร์ฐานe _iที่ ${\displaystyle V}$${\displaystyle F}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {GL} (V)}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V\to V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {GL} (V)}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \{e_{1},\dots ,e_{n}\}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {GL} (V)}$

${\displaystyle T(e_{i})=\sum _{j=1}^{n}a_{ji}e_{j}}$

สำหรับค่าคงที่บางค่าใน; เมทริกซ์ที่สอดคล้องกับ ก็คือเมทริกซ์ที่มีสมาชิกที่ กำหนด โดย${\displaystyle a_{ij}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle T}$${\displaystyle a_{ji}}$

ในทำนองเดียวกัน สำหรับวงแหวนสลับที่กลุ่มอาจถูกตีความว่าเป็นกลุ่มของออโตมอร์ฟิซึมของโมดูลอิสระที่มีอันดับนอกจากนี้ยังสามารถกำหนด GL( M ) สำหรับโมดูลใดๆ ได้ แต่โดยทั่วไปแล้วจะไม่สมมาตรกับ(สำหรับโมดูลใดๆ) ${\displaystyle R}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,R)}$${\displaystyle n}$

บนฟิลด์หนึ่งเมทริกซ์จะผกผันได้ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ ของเมทริกซ์นั้น ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น นิยามอีกแบบหนึ่งของคือ กลุ่มของเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์ ${\displaystyle F}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$

ในริงสลับที่กันนั้น ต้องใช้ความระมัดระวังมากขึ้น: เมทริกซ์บนจะผกผันได้ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นั้นเป็นหน่วยในนั่นคือ ถ้าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นั้นผกผันได้ในดังนั้นอาจนิยามได้ว่าเป็นกลุ่มของเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เป็นหน่วย ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,R)}$

บนริงที่ไม่สลับที่กัน ดีเทอร์มิแนนต์จะไม่แสดงพฤติกรรมที่ดีเลย ในกรณีนี้อาจกำหนดให้เป็นกลุ่มเอกลักษณ์ของริงเมทริกซ์ได้ ${\displaystyle R}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,R)}$${\displaystyle M(n,R)}$

กลุ่มเชิงเส้นทั่วไปเหนือฟิลด์ของจำนวนจริง เป็น กลุ่ม Lieจริงที่มีมิติเพื่อดูสิ่งนี้ โปรดสังเกตว่าเซตของเมทริกซ์จริง ทั้งหมด ก่อให้เกิดปริภูมิเวกเตอร์จริงที่มีมิติ เซตย่อยประกอบด้วยเมทริกซ์เหล่านั้นที่มีดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์ ดีเทอร์มิแนนต์เป็น แผนที่ พหุนามดังนั้น จึงเป็นวาไรตีย่อยเชิงเส้นเปิดของ( เซตย่อยเปิดที่ไม่ว่างของในโทโพโลยี Zariski ) และดังนั้น^{[ 2 ]} จึง เป็นแมนิโฟลด์เรียบที่มีมิติเดียวกัน ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle n^{2}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle M_{n}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle n^{2}}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle M_{n}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle M_{n}(\mathbb {R} )}$

พีชคณิตลีของซึ่งเขียนแทนด้วยประกอบด้วยเมทริกซ์จริงทั้งหมด โดยมีตัวสลับทำหน้าที่เป็นวงเล็บลี ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n},}$${\displaystyle n\times n}$

ในฐานะที่เป็นแมนิโฟลด์ นั้นไม่ได้เชื่อมต่อกันแต่มีส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกัน สองส่วน คือ เมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เป็นบวก และเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เป็นลบส่วนประกอบเอกลักษณ์ซึ่งแทนด้วยประกอบด้วยเมทริกซ์จริง ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เป็น บวก นี่ก็เป็นกลุ่มลีที่มีมิติเช่นกัน และมีพีชคณิตลีแบบเดียวกับ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle n^{2}}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$

การแยกส่วนเชิงขั้วซึ่งเป็นเอกลักษณ์เฉพาะสำหรับเมทริกซ์ผกผันได้ แสดงให้เห็นว่ามีโฮมีโอเมอร์ฟิซึมระหว่างและผลคูณคาร์ทีเซียนของกับเซตของเมทริกซ์สมมาตรบวกแน่นอน ในทำนองเดียวกัน แสดงให้เห็นว่ามีโฮมีโอเมอร์ฟิซึมระหว่างและผลคูณคาร์ทีเซียนของ กับเซตของเมทริกซ์สมมาตรบวกแน่นอน เนื่องจากเซตหลังสามารถหดตัวได้กลุ่มพื้นฐานของจึงสม isomorphic กับกลุ่ม พื้นฐาน ของ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$${\displaystyle \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$${\displaystyle \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$

โฮมีโอเมอร์ฟิซึมยังแสดงให้เห็นว่ากลุ่มนั้นไม่กระชับ “ กลุ่มย่อยกระชับสูงสุด ” ^{[ 3 ]}ของคือกลุ่มออร์โธโกนอลในขณะที่กลุ่มย่อยกระชับสูงสุด “กลุ่มย่อยกระชับสูงสุด” ของคือกลุ่มออร์โธโกนอลพิเศษสำหรับกลุ่มนั้นไม่ได้เชื่อม ต่อกันอย่างง่าย (ยกเว้นเมื่อแต่มีกลุ่มพื้นฐานที่สมมูลกับสำหรับหรือสำหรับ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$${\displaystyle \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$${\displaystyle \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle n>2}$

กลุ่มเชิงเส้นทั่วไปเหนือฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อน , , คือกลุ่มลีเชิงซ้อนที่มีมิติเชิงซ้อนในฐานะกลุ่มลีจริง (ผ่านการทำให้เป็นจริง) มันมีมิติ เซตของเมทริกซ์จริงทั้งหมดก่อตัวเป็นกลุ่มลีย่อยจริง สิ่งเหล่านี้สอดคล้องกับการรวม ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle n^{2}}$${\displaystyle 2n^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )<\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )<\operatorname {GL} (2n,\mathbb {R} )}$,

ซึ่งมีมิติจริง, , และ เมทริกซ์ เชิงซ้อนมิติสามารถจำแนกได้ว่าเป็นเมทริกซ์เชิงซ้อนมิติจริงที่รักษาโครงสร้างเชิงซ้อนเชิงเส้นกล่าวคือ เมทริกซ์ที่สลับที่ได้กับเมทริกซ์โดย ที่สอดคล้องกับการคูณด้วยหน่วยจินตนาการ${\displaystyle n^{2}}$${\displaystyle 2n^{2}}$${\displaystyle (2n)^{2}=4n^{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle J}$${\displaystyle J^{2}=-I}$${\displaystyle J}$${\displaystyle i}$

พีชคณิตลีที่สอดคล้องกับประกอบด้วยเมทริกซ์เชิงซ้อนทั้งหมด โดยมีตัวสลับทำหน้าที่เป็นวงเล็บลี ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle n\times n}$

แตกต่างจากกรณีจริง กลุ่มนี้ เชื่อมต่อกันส่วนหนึ่งเป็นเพราะกลุ่มการคูณของจำนวนเชิงซ้อนเชื่อมต่อกัน กลุ่มแมนิโฟลด์ไม่กระชับ แต่กลุ่มย่อยกระชับสูงสุด ของมัน คือกลุ่มเอกภาพส่วนกลุ่มแมนิโฟลด์ไม่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายแต่มีกลุ่มพื้นฐาน ที่สม isomorphic กับ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

ถ้าเป็นฟิลด์จำกัดที่มีสมาชิก เราอาจเขียนแทนเมื่อpเป็นจำนวนเฉพาะคือกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอก ของกลุ่มและยังเป็น กลุ่ม ออโตมอร์ฟิ ซึมด้วย เพราะเป็นกลุ่มอาเบเลียน ดังนั้นกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายในจึงเป็นกลุ่มนิรนัย ${\displaystyle F}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,q)}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,p)}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{n}}$

ลำดับของคือ: ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,q)}$

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}(q^{n}-q^{k})=(q^{n}-1)(q^{n}-q)(q^{n}-q^{2})\ \cdots \ (q^{n}-q^{n-1}).}$

สามารถแสดงได้โดยการนับจำนวนคอลัมน์ที่เป็นไปได้ของเมทริกซ์: คอลัมน์แรกสามารถเป็นอะไรก็ได้ยกเว้นเวกเตอร์ศูนย์ คอลัมน์ที่สองสามารถเป็นอะไรก็ได้ยกเว้นผลคูณของคอลัมน์แรก และโดยทั่วไปคอลัมน์ที่ th สามารถเป็นเวกเตอร์ใดก็ได้ที่ไม่อยู่ในปริภูมิเชิงเส้นของคอลัมน์แรกใน สัญกรณ์ q -analogนี่คือ. ${\displaystyle k}$${\displaystyle k-1}$${\displaystyle [n]_{q}!(q-1)^{n}q^{n \choose 2}}$

ตัวอย่างเช่นGL(3, 2)มีอันดับ(8 − 1)(8 − 2)(8 − 4) = 168เป็นกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของระนาบฟาโนและของกลุ่มกลุ่มนี้ยังสม isomorphic กับPSL(2, 7)ด้วย ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}^{3}}$

โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถนับจำนวนจุดของกราสส์มันน์เหนือ ได้กล่าวคือ จำนวนของปริภูมิย่อยที่มีมิติที่กำหนดซึ่งต้องทำการหาลำดับของ กลุ่ม ย่อยเสถียรของปริภูมิย่อยดังกล่าว แล้วหารด้วยสูตรที่เพิ่งกล่าวไป โดย อาศัย ทฤษฎีบท วงโคจร-เสถียร${\displaystyle F}$${\displaystyle k}$

สูตรเหล่านี้เชื่อมโยงกับการแยกส่วนชูเบิร์ตของกราสส์มันเนียน และเป็นq-อนาล็อกของจำนวนเบตติของกราสส์มันเนียนเชิงซ้อน นี่เป็นหนึ่งในเบาะแสที่นำไปสู่ ข้อสันนิษฐาน ของ ไวล์

โปรดสังเกตว่าในลิมิตอันดับของจะเข้าใกล้ 0! – แต่ภายใต้ขั้นตอนที่ถูกต้อง (การหารด้วย) เราจะเห็นว่ามันคืออันดับของกลุ่มสมมาตร (ดูบทความของ Lorscheid) ในปรัชญาของฟิลด์ที่มีสมาชิกหนึ่งตัวเราจึงตีความกลุ่มสมมาตรว่าเป็นกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปเหนือฟิลด์ที่มีสมาชิกหนึ่งตัว: ${\displaystyle q\to 1}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,q)}$${\displaystyle (q-1)^{n}}$${\displaystyle S_{n}\cong \operatorname {GL} (n,1)}$

กลุ่มเชิงเส้นทั่วไปเหนือฟิลด์เฉพาะถูกสร้างขึ้นและคำนวณลำดับโดยÉvariste Galoisในปี พ.ศ. 2375 ในจดหมายฉบับสุดท้ายของเขา (ถึง Chevalier) และต้นฉบับที่แนบมาฉบับที่สอง (จากสามฉบับ) ซึ่งเขาใช้ในบริบทของการศึกษากลุ่ม Galois ของสมการทั่วไป ของลำดับ^{[ 4 ]}${\displaystyle \operatorname {GL} (\nu ,p)}$${\displaystyle p^{\nu }}$

กลุ่มเชิงเส้นพิเศษ , , คือกลุ่มของเมทริกซ์ทั้งหมดที่มีดีเทอร์มิแนนต์ เท่ากับ 1 เมทริกซ์เหล่านี้มีความพิเศษตรงที่มันอยู่บนซับวาไรตี : พวกมันสอดคล้องกับสมการพหุนาม (เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์เป็นพหุนามในสมาชิก) เมทริกซ์ประเภทนี้ก่อตัวเป็นกลุ่ม เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ของผลคูณของเมทริกซ์สองตัวเป็นผลคูณของดีเทอร์มิแนนต์ของแต่ละเมทริกซ์ ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,F)}$

ถ้าเราเขียนแทนกลุ่มการคูณของ(นั่นคือไม่รวม 0) แล้วดีเทอร์มิแนนต์จะเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม${\displaystyle F^{\times }}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle \det :\operatorname {GL} (n,F)\to F^{\times }}$

นั่นคือฟังก์ชันทั่วถึงและเคอร์เนล ของมัน คือกลุ่มเชิงเส้นพิเศษ ดังนั้น จึงเป็นกลุ่มย่อยปกติของและโดยทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมแรกจึงสมมูลกับในความเป็นจริงสามารถเขียนได้ในรูปผลคูณกึ่งตรง : ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,F)}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)/\operatorname {SL} (n,F)}$${\displaystyle F^{\times }}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$

${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)=\operatorname {SL} (n,F)\rtimes F^{\times }}$.

กลุ่มเชิงเส้นพิเศษยังเป็นกลุ่มอนุพันธ์ (เรียกอีกอย่างว่ากลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์) ของ(สำหรับฟิลด์หรือวงแหวนหาร ) โดยมีเงื่อนไขว่าหรือไม่ใช่ฟิลด์ที่มีสององค์ประกอบ^{[ 5 ]}${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle n\neq 2}$${\displaystyle F}$

เมื่อหรือเป็นกลุ่มย่อยลีของที่มีมิติพีชคณิตลีของประกอบด้วยเมทริกซ์ทั้งหมดเหนือที่มีร่องรอยเป็นศูนย์ วงเล็บลีถูกกำหนดโดยตัว สลับ${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \operatorname {SL} (n,F)}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$${\displaystyle n^{2}-1}$${\displaystyle \operatorname {SL} (n,F)}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle F}$

กลุ่มเชิงเส้นพิเศษนี้สามารถระบุลักษณะได้ว่าเป็นกลุ่มของ การ แปลง เชิงเส้น ที่รักษาปริมาตรและ การวางแนว ของ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

กลุ่มดังกล่าวเชื่อมต่อกันอย่างง่าย ในขณะที่กลุ่มอื่นไม่เชื่อมต่อกัน กลุ่มดัง กล่าว มีกลุ่มพื้นฐานเดียวกันกับกลุ่มอื่น นั่นคือสำหรับและสำหรับ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle n>2}$

เซตของเมทริกซ์ทแยงมุม ที่ผกผันได้ทั้งหมด ก่อให้เกิดกลุ่มย่อยที่สมมาตรกับในฟิลด์ต่างๆ เช่นและสิ่งเหล่านี้สอดคล้องกับการปรับขนาดของปริภูมิ ซึ่งเรียกว่าการขยายและการหดตัว ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$${\displaystyle (F^{\times })^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

เมทริกซ์สเกลาร์คือเมทริกซ์แนวทแยงมุมที่มีค่าคงที่คูณกับเมทริกซ์เอกลักษณ์เซตของเมทริกซ์สเกลาร์ที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดก่อให้เกิดกลุ่มย่อยของ ที่สม isomorphic กับกลุ่มนี้เป็นศูนย์กลางของโดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันเป็นกลุ่มย่อยแบบอาเบเลียนปกติ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$${\displaystyle F^{\times }}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$

ศูนย์กลางของคือเซตของเมทริกซ์สเกลาร์ทั้งหมดที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1 และสม isomorphic กับกลุ่มของราก ที่ n ของเอกภาพในฟิลด์${\displaystyle \operatorname {SL} (n,F)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F}$

กลุ่ม ที่เรียกว่ากลุ่มคลาสสิกคือกลุ่มย่อยของ กลุ่มที่รักษา รูปแบบทวิเชิงเส้นบางอย่างบนปริภูมิเวกเตอร์ซึ่งรวมถึง... ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$${\displaystyle V}$

• กลุ่มเชิงตั้งฉาก , , ซึ่งรักษาฟอร์มกำลังสองที่ไม่เสื่อมสภาพบน,${\displaystyle \operatorname {O} (V)}$${\displaystyle V}$
• กลุ่มซิมเพล็กติก , , ซึ่งรักษารูปแบบซิมเพล็กติกไว้บน ( รูปแบบสลับที่ไม่เสื่อมสภาพ)${\displaystyle \operatorname {Sp} (V)}$${\displaystyle V}$
• กลุ่มเอกภาพ , , ซึ่งเมื่อ , จะรักษา รูปแบบเฮอร์มิเชียนที่ไม่เสื่อมสลายบน${\displaystyle \operatorname {U} (V)}$${\displaystyle F=\mathbb {C} }$${\displaystyle V}$

กลุ่มเหล่านี้เป็นตัวอย่างที่สำคัญของกลุ่มที่โกหก

กลุ่มเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟ และกลุ่มเชิงเส้นพิเศษเชิงโปรเจกทีฟเป็นผลหารของ กลุ่มเชิงเส้น และ กลุ่มเชิงเส้นพิเศษเชิงโปรเจกทีฟ โดยศูนย์กลาง ของกลุ่มเหล่านั้น (ซึ่งประกอบด้วยผลคูณของเมทริกซ์เอกลักษณ์ในกลุ่มนั้น) และเป็นผลการกระทำ ที่เหนี่ยวนำ บนปริภูมิเชิงโปรเจกที ฟ ที่ เกี่ยวข้อง${\displaystyle \operatorname {PGL} (n,F)}$${\displaystyle \operatorname {PSL} (n,F)}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$${\displaystyle \operatorname {SL} (n,F)}$

กลุ่มแอฟฟิน เป็นส่วนขยายของกลุ่มการแปลในสามารถเขียนได้ในรูปผลคูณกึ่งตรง : ${\displaystyle \operatorname {Aff} (n,F)}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$${\displaystyle F^{n}}$

${\displaystyle \operatorname {Aff} (n,F)=\operatorname {GL} (n,F)\ltimes F^{n}}$

โดยที่การกระทำเกิดขึ้นในลักษณะที่เป็นธรรมชาติ กลุ่มแอฟฟินสามารถมองได้ว่าเป็นกลุ่มของการแปลงแอฟฟิน ทั้งหมด ของปริภูมิแอฟฟินที่อยู่เบื้องหลังปริภูมิเวกเตอร์ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$${\displaystyle F^{n}}$${\displaystyle F^{n}}$

เราสามารถสร้างโครงสร้างที่คล้ายคลึงกันสำหรับกลุ่มย่อยอื่นๆ ของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปได้ เช่นกลุ่มแอฟฟินพิเศษเป็นกลุ่มย่อยที่กำหนดโดยผลคูณกึ่งตรงและกลุ่มปวงกาเรเป็นกลุ่มแอฟฟินที่เกี่ยวข้องกับ กลุ่มลอ เร นซ์${\displaystyle \operatorname {SL} (n,F)\ltimes F^{n}}$${\displaystyle \operatorname {O} (1,3,F)\ltimes F^{n}}$

กลุ่มกึ่งเชิงเส้นทั่วไป คือกลุ่มของการแปลงกึ่งเชิงเส้น ที่ผกผันได้ทั้งหมด และประกอบด้วยการแปลงกึ่งเชิงเส้นคือการแปลงที่เป็นเชิงเส้น “จนถึงการบิด” ซึ่งหมายถึง “จนถึงการแปลงอัตโนมัติของฟิลด์ภายใต้การคูณสเกลาร์” สามารถเขียนได้ในรูปผลคูณกึ่งตรง: ${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (n,F)}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$

${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (n,F)=\operatorname {Gal} (F)\ltimes \operatorname {GL} (n,F)}$

กลุ่มกาโลอิสของ(เหนือฟิลด์เฉพาะ ของมัน ) ซึ่งกระทำต่อโดยการกระทำของกาโลอิสบนรายการต่างๆ นั้น อยู่ที่ไหน${\displaystyle \operatorname {Gal} (F)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$

จุดเด่นหลักของคือกลุ่มกึ่งเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟ ที่เกี่ยวข้อง ซึ่งประกอบด้วยเป็นกลุ่มการเรียงตัวเชิงเส้นของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ สำหรับและด้วยเหตุนี้ แผนที่กึ่งเชิงเส้นจึงมีความน่าสนใจในเรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟ ${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (n,F)}$${\displaystyle \operatorname {P\Gamma L} (n,F)}$${\displaystyle \operatorname {PGL} (n,F)}$${\displaystyle n>2}$

หากเราขจัดข้อจำกัดที่ว่าดีเทอร์มิแนนต์ต้องไม่เป็นศูนย์ โครงสร้างพีชคณิตที่ได้จะเป็นโมโนอิดซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่าโมโนอิดเชิงเส้นเต็ม^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}แต่บางครั้งก็เรียกว่าเซมิกรุปเชิงเส้นเต็ม [ ^{9 ]}โมโนอิดเชิงเส้นทั่วไป^{[ 10 ] [ 11 ] เป็นต้น อันที่จริง แล้ว}มันคือ เซมิกรุ ปปกติ^{[ 7 ]}

กลุ่มเชิงเส้นทั่วไปอนันต์หรือกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปที่เสถียรคือขีดจำกัดโดยตรงของการรวมเป็นเมทริกซ์บล็อกแนวทแยงที่มีรายการเพิ่มเติมที่ด้านล่างขวา มันถูกแสดงด้วยหรือและยังสามารถตีความได้ว่าเป็นเมทริกซ์อนันต์ที่ผกผันได้ซึ่งแตกต่างจากเมทริกซ์เอกลักษณ์เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น^{[ 12 ]}${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)\to \operatorname {GL} (n+1,F)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \operatorname {GL} (F)}$${\displaystyle \operatorname {GL} (\infty ,F)}$

มันถูกใช้ในทฤษฎี K ทางพีชคณิตเพื่อกำหนดK ₁และบนจำนวนจริงนั้นมีโทโพโลยีที่เข้าใจได้เป็นอย่างดี ต้องขอบคุณความเป็นคาบของบอตต์

ไม่ควรสับสนกับปริภูมิของตัวดำเนินการผกผันได้ (ที่มีขอบเขต) บนปริภูมิฮิลเบิร์ตซึ่งเป็นกลุ่มที่ใหญ่กว่า และมีความเรียบง่ายทางโทโพโลยีมากกว่ามาก กล่าวคือ สามารถหดตัวได้ – ดูทฤษฎีบท ของคูเปอร์

• รายชื่อกลุ่มง่ายจำกัด
• SL ₂ ( R )
• ทฤษฎีการแทนของ SL ₂ ( R )
• ภาพแทนของกลุ่ม Lie แบบคลาสสิก

• "กลุ่มเชิงเส้นทั่วไป" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• "GL(2, p ) และ GL(3, 3) ที่ทำงานบนจุด"โดยEd Pegg, Jr. , Wolfram Demonstrations Project , 2007