ในพีชคณิตหน่วยหรือองค์ประกอบผกผันได้^{[ a ]}ของริงคือองค์ประกอบผกผันได้สำหรับการคูณของริง นั่นคือ องค์ประกอบuของริงRเป็นหน่วย ถ้ามีvในRเช่นนั้น โดย ที่1คือเอกลักษณ์การคูณองค์ประกอบvมีเอกลักษณ์เฉพาะสำหรับคุณสมบัตินี้และเรียกว่าตัวผกผันการคูณของu [ ^{1 ] [ 2 ]}เซตของหน่วยของRก่อตัวเป็นกลุ่มR ^×ภายใต้การคูณ เรียกว่ากลุ่มของหน่วยหรือกลุ่มหน่วยของR [ ^{b ] สัญลักษณ์} อื่นๆ สำหรับกลุ่มหน่วยคือR ^∗ , U( R )และ^E ( R ) (จากคำภาษาเยอรมันEinheit ) $${\displaystyle vu=uv=1,}$$

โดยทั่วไปแล้ว คำว่า " หน่วย" (unit) บางครั้งถูกใช้เพื่อหมายถึงสมาชิกหมายเลข1ของริง ในสำนวนต่างๆ เช่น " ริงที่มีหน่วย " หรือ " ริงหน่วย " และ"เมทริกซ์หน่วย " เนื่องจากความกำกวมนี้ จึงนิยมเรียกหมายเลข 1ว่า "เอกภาพ" หรือ "เอกลักษณ์" ของริงมากกว่า และอาจใช้สำนวน "ริงที่มีเอกภาพ" หรือ "ริงที่มีเอกลักษณ์" เพื่อเน้นว่ากำลังพิจารณาริงอยู่ ไม่ใช่ตัวสร้างเลขสุ่ม ( rng )

เอกลักษณ์การคูณ1และตัวผกผันการบวก−1ล้วนเป็นหน่วยเสมอ โดยทั่วไปแล้วรากของเอกภาพ ใดๆ ในริงRก็เป็นหน่วยเช่นกัน กล่าวคือ ถ้าr ⁿ = 1แล้วr ^{n −1}เป็นตัวผกผันการคูณของrในริงที่ไม่เป็นศูนย์สมาชิก0ไม่ใช่หน่วย ดังนั้นR ^×จึงไม่ปิดภายใต้การบวก ริงที่ไม่เป็นศูนย์ R ซึ่งสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ทุกตัวเป็นหน่วย (นั่นคือR ^× = R ∖ {0} ) เรียกว่าริงหาร (หรือฟิลด์เฉียง) ริงหารสลับที่เรียกว่าฟิลด์ตัวอย่างเช่น กลุ่มหน่วยของฟิลด์จำนวนจริงRคือR ∖ {0}

ในวงแหวนของจำนวนเต็มZหน่วยเดียวที่มีอยู่คือ 1และ−1

ในริงZ / n Zของจำนวนเต็มมอดูล nหน่วยต่างๆ คือชั้นความสอดคล้อง(mod n )ที่แสดงด้วยจำนวนเต็มที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับnซึ่งประกอบกันเป็นกลุ่มการคูณของจำนวนเต็มมอดูล n

ในวงแหวนZ [ √ 3 ]ที่ได้จากการต่อจำนวนเต็มกำลังสอง√ 3เข้ากับZจะได้ว่า(2 + √ 3 )(2 − √ 3 ) = 1ดังนั้น2 + √ 3จึงเป็นหน่วย และกำลังของมันก็เป็นหน่วยเช่นกัน ดังนั้นZ [ √ 3 ] จึง มีหน่วยเป็นอนันต์

โดยทั่วไปแล้ว สำหรับวงแหวนของจำนวนเต็มRในฟิลด์จำนวนF ทฤษฎีบทเอกลักษณ์ ของDirichletกล่าวว่าR ^×สม isomorphic กับกลุ่ม โดยที่เป็นกลุ่มรากของเอกภาพ (จำกัด, วัฏจักร) ในRและnซึ่งเป็นอันดับของกลุ่มเอกลักษณ์ คือ โดยที่ และคือจำนวนการฝังจริง และ คือจำนวนคู่ของการฝังเชิงซ้อนของFตามลำดับ $${\displaystyle \mathbf {Z} ^{n}\times \mu _{R}}$$${\displaystyle \mu _{R}}$$${\displaystyle n=r_{1}+r_{2}-1,}$$${\displaystyle r_{1},r_{2}}$

สิ่งนี้จะกู้คืน ตัวอย่าง Z [ √ 3 ] : กลุ่มหน่วยของ (วงแหวนของจำนวนเต็มของ) ฟิลด์กำลังสองจริงเป็นอนันต์อันดับ 1 เนื่องจาก ${\displaystyle r_{1}=2,r_{2}=0}$

สำหรับวงแหวนสลับที่Rหน่วยของวงแหวนพหุนามR [ x ]คือพหุนาม ที่a ₀เป็นหน่วยในRและสัมประสิทธิ์ที่เหลือเป็นนิลโพเท นต์ กล่าวคือ สอดคล้อง กับเงื่อนไข สำหรับN บาง ตัว^{[ 4 ]} โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าRเป็นโดเมน (หรือโดยทั่วไปแล้ว^เป็นโดเมนลดรูป ) หน่วยของR [ x ] ก็ คือหน่วยของRหน่วยของวงแหวนอนุกรมกำลังคืออนุกรมกำลัง ที่a ₀เป็นหน่วยในR ^{[ 5} ]$${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}}$$${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$${\displaystyle a_{i}^{N}=0}$${\displaystyle R[[x]]}$$${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}}$$

กลุ่มเอกลักษณ์ของริงM _n ( R )ของเมทริกซ์n × nเหนือริงRคือกลุ่มGL _n ( R )ของเมทริกซ์ผกผันได้สำหรับริงสลับที่RสมาชิกAของM _n ( R )จะผกผันได้ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ของAผกผันได้ในRในกรณีนั้นA ⁻¹สามารถระบุได้อย่างชัดเจนในรูปของ เมท ริก ซ์ผกผัน

สำหรับองค์ประกอบxและyในวงแหวนRถ้าสามารถผกผันได้ ก็จะสามารถผกผันได้ด้วยตัวผกผัน; ^{[ 6 ]}สูตรนี้สามารถคาดเดาได้ แต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ โดยการคำนวณต่อไปนี้ในวงแหวนของอนุกรมกำลังที่ไม่สลับที่: ดูเอกลักษณ์ของ Huaสำหรับผลลัพธ์ที่คล้ายกัน ${\displaystyle 1-xy}$${\displaystyle 1-yx}$${\displaystyle 1+y(1-xy)^{-1}x}$$${\displaystyle (1-yx)^{-1}=\sum _{n\geq 0}(yx)^{n}=1+y{\biggl (}\sum _{n\geq 0}(xy)^{n}{\biggr )}x=1+y(1-xy)^{-1}x.}$$

วงแหวนสลับที่ (commutative ring)เรียกว่าวงแหวนเฉพาะที่ (local ring)ถ้าR ∖ R ^×เป็นอุดมคติสูงสุด (maximal ideal )

ปรากฏว่า ถ้าR ∖ R ^×เป็นไอเดียลแล้ว ไอเดียลนั้นจะต้องถือเป็นไอ เดียลสูงสุดและRจะเป็นไอเดียลเฉพาะที่เนื่องจากไอเดียลสูงสุดจะไม่ทับซ้อนกับR ^×

ถ้าRเป็นฟิลด์จำกัดแล้วR ^×เป็นกลุ่มวัฏจักรที่มีอันดับ| R | − 1

โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน ทุกตัวf  : R → Sเหนี่ยวนำให้เกิดโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มR ^× → S ^×เนื่องจากfแมปหน่วยไปยังหน่วย ในความเป็นจริง การสร้างกลุ่มหน่วยกำหนดฟังก์ชันจากหมวดหมู่ของวงแหวนไปยังหมวดหมู่ของกลุ่มฟังก์ชันนี้มีแอดจอยต์ซ้ายซึ่งเป็นการสร้างวงแหวนกลุ่ม อินทิกรัล ^{[ 7 ]}

โครงสร้างกลุ่ม นั้นสมมูลกับโครงสร้างกลุ่มการคูณบนฐานใดๆ ดังนั้นสำหรับวงแหวนสลับที่ใดๆRกลุ่มและจึงสมมูลกันตามหลักการกับU ( R )โปรดสังเกตว่าฟังก์ชัน(นั่นคือR ↦ U ( R ) ) สามารถแทนได้ในความหมาย: สำหรับวงแหวนสลับที่R (ตัวอย่างเช่น สิ่งนี้เป็นผลมาจากความสัมพันธ์ผกผันที่กล่าวถึงข้างต้นกับการสร้างวงแหวนกลุ่ม) โดยชัดเจนแล้วหมายความว่ามีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งตามธรรมชาติระหว่างเซตของโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนและเซตของสมาชิกเอกลักษณ์ของR (ในทางตรงกันข้ามแทนกลุ่มการบวกฟังก์ชันลืมจากหมวดหมู่ของวงแหวนสลับที่ไปยังหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียน ) ${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(R)}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}(R)}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}(R)\simeq \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} [t,t^{-1}],R)}$${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]\to R}$${\displaystyle \mathbb {Z} [t]}$${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$

สมมติว่าRเป็นกลุ่มสลับที่กันได้ สมาชิกrและsของRเรียกว่าสัมพันธ์กันหากมีหน่วยuในRที่ทำให้ r = usแล้วเขียน r ~ sในริงใดๆ คู่ขององค์ประกอบ ผกผันการบวก ^{[ c ]} xและ− xจะสัมพันธ์กันเนื่องจากริงใดๆ ก็ตามมีหน่วย−1ตัวอย่างเช่น 6 และ −6 สัมพันธ์กันใน Zโดยทั่วไป~เป็นความสัมพันธ์สมมูลบนR

ความสัมพันธ์สามารถอธิบายได้ในแง่ของการกระทำของR ^×ต่อR ผ่านการคูณ: สมาชิก สองตัวของRจะมีความสัมพันธ์กันหากอยู่ในวงโคจรR ^×เดียวกัน

ในโดเมนอินทิกรัล เซตของสมาชิก ที่ เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ที่กำหนดจะมีขนาดเท่ากับR ^×

ความสัมพันธ์สมมูล~สามารถมองได้ว่าเป็นความสัมพันธ์เซมิกรุปของกรีน แบบใดแบบหนึ่ง ที่จำเพาะเจาะจงกับเซมิกรุป การคูณ ของวงแหวนสลับที่ R

• หน่วย S
• การระบุตำแหน่งของวงแหวนและโมดูล