ในทางโทโพโลยี ทฤษฎีบท เส้นโค้งจอร์แดน ( JCT ) ซึ่งคิดค้นโดยคามิลล์ จอร์แดนในปี 1887 กล่าวว่าเส้นโค้งจอร์แดน ทุกเส้น (เส้นโค้งปิดเชิงเดี่ยวบนระนาบ) แบ่งระนาบออกเป็นสองบริเวณคือบริเวณภายในซึ่งถูกล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง^{[ a ]}และบริเวณภายนอก ที่ไม่มีขอบเขต ซึ่งประกอบด้วยจุดภายนอกทั้งที่อยู่ใกล้และไกลออกไปเส้นทางต่อเนื่องทุกเส้นที่เชื่อมจุดในบริเวณหนึ่งกับจุดในอีกบริเวณหนึ่ง จะตัดกับเส้นโค้งที่ใดที่หนึ่ง

แม้ว่าทฤษฎีบทนี้จะดูเหมือนชัดเจนโดยสัญชาตญาณ แต่ก็ต้องใช้ความชาญฉลาดในการพิสูจน์ด้วยวิธีการพื้นฐาน “ถึงแม้ว่าทฤษฎีบท JCT จะเป็นหนึ่งในทฤษฎีบททางทอพอโลยีที่เป็นที่รู้จักมากที่สุด แต่ก็มีหลายคน แม้แต่ในหมู่นักคณิตศาสตร์มืออาชีพ ที่ไม่เคยอ่านบทพิสูจน์ของมันเลย” ( Tverberg (1980 , บทนำ)) บทพิสูจน์ที่ชัดเจนกว่านั้นอาศัยกลไกทางคณิตศาสตร์ของทอพอโลยีเชิงพีชคณิตและสิ่งเหล่านี้จะนำไปสู่การสรุปทั่วไปในปริภูมิที่มีมิติสูงกว่า

ทฤษฎีบทเส้นโค้งจอร์แดนตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์Camille Jordan (1838–1922) ซึ่งตีพิมพ์การพิสูจน์ครั้งแรกในปี 1887 ^{[ 1 ] [ 2 ]}เป็นเวลาหลายทศวรรษที่นักคณิตศาสตร์โดยทั่วไปคิดว่าการพิสูจน์นี้มีข้อบกพร่อง และการพิสูจน์ที่เข้มงวดครั้งแรกดำเนินการโดยOswald Veblenอย่างไรก็ตาม แนวคิดนี้ถูกลบล้างโดยThomas C. Halesและคนอื่นๆ^{[ 3 ]}

เส้นโค้งจอร์แดนหรือเส้นโค้งปิดอย่างง่ายในระนาบคือภาพของฟังก์ชันต่อเนื่องแบบหนึ่งต่อหนึ่งจากวงกลมไปยังระนาบส่วนโค้งจอร์แดนในระนาบ คือภาพของฟังก์ชันต่อเนื่องแบบหนึ่งต่อหนึ่งจากช่วงปิดที่มีขอบเขตไปยังระนาบ มันเป็นเส้นโค้งในระนาบที่ไม่จำเป็นต้องเรียบหรือเป็น เส้นโค้ง พีชคณิตเสมอไป ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \varphi :S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle [a,b]}$

อีกทางเลือกหนึ่ง เส้นโค้งจอร์แดนคือภาพของแผนที่ต่อเนื่องโดยที่และการจำกัดของไปยัง เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เงื่อนไขสองข้อแรกกล่าวว่าเป็นวงวนต่อเนื่อง ในขณะที่เงื่อนไขสุดท้ายระบุว่าไม่มีจุดตัดกับตัวเอง ${\displaystyle \varphi :[0,1]\to \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \varphi (0)=\varphi (1)}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle [0,1)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

จากนิยามเหล่านี้ ทฤษฎีบทเส้นโค้งจอร์แดนสามารถกล่าวได้ดังนี้:

ในทางตรงกันข้าม ส่วนเติมเต็มของ ส่วนโค้งจอร์แดนในระนาบนั้นเชื่อมต่อกัน

ทฤษฎีเส้นโค้งจอร์แดนได้รับการขยายไปสู่มิติที่สูงขึ้นโดยอิสระโดยH. LebesgueและL. E. J. Brouwerในปี 1911 ส่งผลให้เกิดทฤษฎี การแยกจอร์แดน-บราวเวอร์

การพิสูจน์ใช้ทฤษฎีโฮโมโลยีโดยเริ่มจากการพิสูจน์ว่าโดยทั่วไปแล้ว ถ้าXเป็นโฮโมมอร์ฟิกกับ ทรงกลม kแล้ว กลุ่ม โฮโมโลยีเชิงปริพันธ์ลดรูปของY = R ^{n +1} \ Xจะเป็นดังนี้:

$${\displaystyle {\tilde {H}}_{q}(Y)={\begin{cases}\mathbb {Z} ,&q=n-k{\text{ or }}q=n,\\\{0\},&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์โดยการอุปนัยในkโดยใช้ลำดับ Mayer–Vietorisเมื่อn = kโฮโมโลยีลดรูปที่ศูนย์ของYมีอันดับ 1 ซึ่งหมายความว่าYมีส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกัน 2 ส่วน (ซึ่งเชื่อมต่อกันด้วยเส้นทาง ด้วย ) และด้วยการทำงานเพิ่มเติมเล็กน้อย จะแสดงให้เห็นว่าขอบเขตร่วมกันของส่วนประกอบเหล่านั้นคือXการวางนัยทั่วไปเพิ่มเติมพบโดยJW Alexanderซึ่งได้สร้างทฤษฎีทวิภาวะของ Alexanderระหว่างโฮโมโลยีลดรูปของเซตย่อยขนาดกะทัดรัดXของR ^{n +1}และโคโฮโมโลยีลดรูปของส่วนเติมเต็มของมัน ถ้าXเป็นซับแมนิโฟลด์ที่เชื่อมต่อกันขนาดกะทัดรัดมิติnของR ^{n +1} (หรือS ^{n +1} ) ที่ไม่มีขอบเขต ส่วนเติมเต็มของมันจะมีส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกัน 2 ส่วน

There is a strengthening of the Jordan curve theorem, called the Jordan–Schönflies theorem, which states that the interior and the exterior planar regions determined by a Jordan curve in R² are homeomorphic to the interior and exterior of the unit disk. In particular, for any point P in the interior region and a point A on the Jordan curve, there exists a Jordan arc connecting P with A and, with the exception of the endpoint A, completely lying in the interior region. An alternative and equivalent formulation of the Jordan–Schönflies theorem asserts that any Jordan curve φ: S¹ → R², where S¹ is viewed as the unit circle in the plane, can be extended to a homeomorphism ψ: R² → R² of the plane. Unlike Lebesgue's and Brouwer's generalization of the Jordan curve theorem, this statement becomes false in higher dimensions: while the exterior of the unit ball in R³ is simply connected, because it retracts onto the unit sphere, the Alexander horned sphere is a subset of R³ homeomorphic to a sphere, but so twisted in space that the unbounded component of its complement in R³ is not simply connected, and hence not homeomorphic to the exterior of the unit ball.

Let ${\displaystyle K_{0}}$ and ${\displaystyle K_{1}}$ be homotopy-equivalent compacts in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Then if ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus K_{i}}$ has a finite number of connected components for ${\displaystyle i=0,1}$, then so does ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus K_{1-i}}$, and the two numbers coincide. If ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus K_{i}}$ has infinite number of connected components, so does ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus K_{1-i}}$.

The Jordan curve theorem can be proved from the Brouwer fixed-point theorem (in two dimensions),^[4] and the Brouwer fixed-point theorem can be proved from the Hex theorem: "every game of Hex has at least one winner", from which we obtain a logical implication: Hex theorem implies Brouwer fixed-point theorem, which implies Jordan curve theorem.^[5]

เป็นที่ชัดเจนว่าทฤษฎีเส้นโค้งจอร์แดนบ่งชี้ถึง "ทฤษฎีเฮ็กซ์แบบเข้มแข็ง": "เกมเฮ็กซ์ทุกเกมจบลงด้วยผู้ชนะเพียงคนเดียว โดยไม่มีความเป็นไปได้ที่ทั้งสองฝ่ายจะแพ้หรือทั้งสองฝ่ายจะชนะ" ดังนั้น ทฤษฎีเส้นโค้งจอร์แดนจึงเทียบเท่ากับทฤษฎีเฮ็กซ์แบบเข้มแข็ง ซึ่งเป็นทฤษฎี แบบไม่ต่อเนื่อง โดยสมบูรณ์

ทฤษฎีบทจุดตรึงของ Brouwer ซึ่งอยู่ระหว่างทฤษฎีบทที่เทียบเท่ากันสองทฤษฎีบท ก็เทียบเท่ากับทั้งสองทฤษฎีบทเช่นกัน^{[ 6 ]}

ในคณิตศาสตร์ย้อนกลับและคณิตศาสตร์ที่เป็นทางการด้วยคอมพิวเตอร์ ทฤษฎีบทเส้นโค้งจอร์แดนมักจะได้รับการพิสูจน์โดยการแปลงเป็นเวอร์ชันแยกย่อยที่เทียบเท่ากันก่อน ซึ่งคล้ายกับทฤษฎีบทเฮกซ์ที่แข็งแกร่ง จากนั้นจึงพิสูจน์เวอร์ชันแยกย่อย^{[ 7 ]}

ในกระบวนการประมวลผลภาพภาพไบนารีคือตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบไม่ต่อเนื่องของ 0 และ 1 หรือเทียบเท่ากับเซตย่อยกระชับของค่าคงที่เชิงโทโพโลยีบนเช่น จำนวนส่วนประกอบ อาจไม่สามารถกำหนดได้อย่างชัดเจนสำหรับหากไม่มีโครงสร้างกราฟ ที่กำหนดไว้อย่าง เหมาะสม ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

มีโครงสร้างกราฟสองแบบที่เห็นได้อย่างชัดเจนบน: ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

• "ตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีเพื่อนบ้าน 4 จุด" โดยที่แต่ละจุดยอดเชื่อมต่อกันด้วย${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (x+1,y),(x-1,y),(x,y+1),(x,y-1)}$
• "ตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีเพื่อนบ้าน 8 จุด" โดยที่แต่ละจุดยอดเชื่อมต่อกันก็ต่อเมื่อและ${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (x',y')}$${\displaystyle |x-x'|\leq 1,|y-y'|\leq 1}$${\displaystyle (x,y)\neq (x',y')}$

โครงสร้างกราฟทั้งสองแบบไม่เป็นไปตามทฤษฎีบทเฮกซ์ที่เข้มงวด โครงสร้างตารางสี่เหลี่ยมที่มีเพื่อนบ้าน 4 ตัวทำให้เกิดสถานการณ์ที่ไม่มีผู้ชนะ และโครงสร้างตารางสี่เหลี่ยมที่มีเพื่อนบ้าน 8 ตัวทำให้เกิดสถานการณ์ที่มีผู้ชนะสองคน ดังนั้น คุณสมบัติการเชื่อมต่อในกราฟ เช่น ทฤษฎีบทเส้นโค้งจอร์แดน จึงไม่สามารถขยายไปสู่กราฟภายใต้โครงสร้างกราฟทั้งสองแบบได้ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

หากมีการกำหนดโครงสร้าง "ตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสเพื่อนบ้าน 6 ตัว" ให้กับมันจะเป็นตารางหกเหลี่ยม และด้วยเหตุนี้จึงสอดคล้องกับทฤษฎีบท Hex ที่แข็งแกร่ง ทำให้ทฤษฎีบทเส้นโค้งจอร์แดนสามารถขยายความได้ ด้วยเหตุนี้ เมื่อคำนวณส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันในภาพไบนารี จึงมักใช้ตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสเพื่อนบ้าน 6 ตัว^{[ 8 ]}${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

ทฤษฎีกระดานหมากรุกของสไตน์เฮาส์แสดงให้เห็นในบางแง่ว่าตารางเพื่อนบ้าน 4 ตัวและตารางเพื่อนบ้าน 8 ตัว "ร่วมกัน" บ่งบอกถึงทฤษฎีเส้นโค้งจอร์แดน และตารางเพื่อนบ้าน 6 ตัวเป็นการสอดแทรกที่แม่นยำระหว่างทั้งสอง^{[ 9 ] [ 10 ]}

ทฤษฎีบทนี้กล่าวไว้ดังนี้ สมมติว่าคุณวางระเบิดไว้บนช่องต่างๆ บนกระดานหมากรุก โดยที่ราชาไม่สามารถเดินจากด้านล่างไปยังด้านบนได้โดยไม่เหยียบระเบิด แต่เรือสามารถเดินจากด้านซ้ายไปยังด้านขวาได้โดยเหยียบเฉพาะระเบิดเท่านั้น ${\displaystyle n\times n}$

ข้อความของทฤษฎีบทเส้นโค้งจอร์แดนอาจดูเหมือนชัดเจนในตอนแรก แต่เป็นทฤษฎีบทที่พิสูจน์ได้ค่อนข้างยากเบอร์นาร์ด โบลซาโนเป็นคนแรกที่ตั้งสมมติฐานที่แม่นยำ โดยสังเกตว่ามันไม่ใช่ข้อความที่เห็นได้ชัดในตัวเอง แต่ต้องมีการพิสูจน์^{[ 11 ]} การพิสูจน์ผลลัพธ์นี้สำหรับ รูปหลายเหลี่ยม นั้นง่ายแต่ปัญหาอยู่ที่การขยายผลไปสู่เส้นโค้งที่มีพฤติกรรมไม่ดีทุกประเภท ซึ่งรวมถึง เส้นโค้ง ที่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกที่เช่นเกล็ดหิมะโคชและเส้นโค้งแฟรกทัล อื่นๆ หรือแม้แต่เส้นโค้งจอร์แดนที่มีพื้นที่เป็นบวกที่สร้างโดยออสก็อด (1903 )

การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ครั้งแรกนั้นกระทำโดยCamille Jordanในการบรรยายเรื่องการวิเคราะห์เชิงจริงและตีพิมพ์ในหนังสือCours d'analyse de l'École Polytechnique [ ^{1 ] มี}ข้อโต้แย้งอยู่บ้างว่าการพิสูจน์ของ Jordan นั้นสมบูรณ์หรือไม่ โดยผู้แสดงความคิดเห็นส่วนใหญ่อ้างว่าการพิสูจน์ที่สมบูรณ์ครั้งแรกนั้นกระทำโดยOswald Veblen ในภายหลัง ซึ่งกล่าวถึงการพิสูจน์ของ Jordan ไว้ดังนี้:

อย่างไรก็ตาม การพิสูจน์ของเขานั้นไม่เป็นที่น่าพอใจสำหรับนักคณิตศาสตร์หลายคน มันถือว่าทฤษฎีบทนั้นเป็นจริงโดยไม่มีการพิสูจน์ในกรณีพิเศษที่สำคัญของรูปหลายเหลี่ยมแบบง่าย และจากข้อโต้แย้งจากจุดนั้นเป็นต้นไป เราต้องยอมรับว่าอย่างน้อยที่สุดรายละเอียดทั้งหมดไม่ได้ถูกระบุไว้^{[ 12 ]}

อย่างไรก็ตามโทมัส ซี. เฮลส์เขียนไว้ว่า:

การอ้างอิงสมัยใหม่เกือบทุกรายการที่ฉันพบเห็นเห็นพ้องกันว่าการพิสูจน์ที่ถูกต้องครั้งแรกเป็นผลงานของเวเบลน... เมื่อพิจารณาถึงคำวิจารณ์อย่างหนักเกี่ยวกับการพิสูจน์ของจอร์แดน ฉันรู้สึกประหลาดใจเมื่อนั่งลงอ่านการพิสูจน์ของเขาแล้วพบว่าไม่มีข้อโต้แย้งใดๆ ตั้งแต่นั้นมา ฉันได้ติดต่อผู้เขียนหลายคนที่วิจารณ์จอร์แดน และในแต่ละกรณี ผู้เขียนต่างยอมรับว่าไม่มีความรู้โดยตรงเกี่ยวกับข้อผิดพลาดในการพิสูจน์ของจอร์แดน^{[ 13 ]}

เฮลส์ยังชี้ให้เห็นว่ากรณีพิเศษของรูปหลายเหลี่ยมแบบง่ายนั้นไม่เพียงแต่เป็นแบบฝึกหัดที่ง่ายเท่านั้น แต่จอร์แดนเองก็ไม่ได้นำมาใช้จริง ๆ ด้วย และอ้างคำพูดของไมเคิล รีเคนว่า:

หลักฐานของจอร์แดนนั้นถูกต้องโดยพื้นฐาน... หลักฐานของจอร์แดนไม่ได้นำเสนอรายละเอียดอย่างน่าพอใจ แต่แนวคิดนั้นถูกต้อง และหากมีการปรับปรุงหลักฐานนี้ให้ดียิ่งขึ้น หลักฐานนี้ก็จะสมบูรณ์แบบ^{[ 14 ]}

ก่อนหน้านี้ หลักฐานของจอร์แดนและหลักฐานเบื้องต้นอีกชิ้นหนึ่งโดยชาร์ลส์ ฌอง เดอ ลา วาลเล ปูแซงได้รับการวิเคราะห์อย่างละเอียดและเสร็จสมบูรณ์โดยเชินฟลาย (1924) ^{[ 15 ]}

เนื่องจากความสำคัญของทฤษฎีเส้นโค้งจอร์แดนในโทโพโลยีมิติlต่ำและการวิเคราะห์เชิงซ้อนจึงได้รับความสนใจอย่างมากจากนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงในครึ่งแรกของศตวรรษที่ 20 มีการสร้างบทพิสูจน์ต่างๆ ของทฤษฎีบทนี้และการขยายความทั่วไปโดยJW Alexander , Louis Antoine , Ludwig Bieberbach , Luitzen Brouwer , Arnaud Denjoy , Friedrich Hartogs , Béla Kerékjártó , Alfred PringsheimและArthur Moritz Schoenflies

ยังคงมีการดำเนินการพิสูจน์ทฤษฎีบทเส้นโค้งจอร์แดนด้วยวิธีพื้นฐานแบบใหม่ รวมถึงการลดความซับซ้อนของการพิสูจน์แบบเดิมอย่างต่อเนื่อง

• บทพิสูจน์เบื้องต้นได้รับการนำเสนอโดยFilippov (1950)และTverberg (1980 )
• การพิสูจน์ในการวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐานโดยNarens (1971 )
• การพิสูจน์ในคณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์โดย Gordon O. Berg, W. Julian และ R. Mines และคณะ ( 1975 )
• การพิสูจน์โดยใช้ทฤษฎีบทจุดตรึงของ BrouwerโดยMaehara (1984 )
• Thomassen (1992)ได้ให้การพิสูจน์โดยใช้คุณสมบัติไม่เป็นระนาบของกราฟสองส่วนสมบูรณ์K _3,3

รากเหง้าของความยากลำบากนี้ได้รับการอธิบายไว้ในTverberg (1980)ดังนี้ การพิสูจน์ว่าทฤษฎีเส้นโค้งจอร์แดนใช้ได้กับรูปหลายเหลี่ยมจอร์แดนทุกรูป (Lemma 1) และเส้นโค้งจอร์แดนทุกเส้นสามารถประมาณได้ดีอย่างไม่จำกัดด้วยรูปหลายเหลี่ยมจอร์แดน (Lemma 2) นั้นค่อนข้างง่าย รูปหลายเหลี่ยมจอร์แดนคือโซ่รูปหลายเหลี่ยมขอบของเซตเปิด ที่เชื่อมต่อกัน และมีขอบเขต เรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมเปิด และส่วนปิด ของมัน เรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมปิด พิจารณาเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่บรรจุอยู่ในรูปหลายเหลี่ยมปิด เห็นได้ชัดว่ามีค่าเป็นบวก การใช้ลำดับของรูปหลายเหลี่ยมจอร์แดน (ที่ลู่เข้าสู่เส้นโค้งจอร์แดนที่กำหนด) เราจะได้ลำดับที่คาดว่าจะลู่เข้าสู่จำนวนบวก ซึ่งก็คือเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่บรรจุอยู่ในบริเวณปิดที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งจอร์แดน อย่างไรก็ตาม เราต้องพิสูจน์ว่าลำดับนั้นไม่ลู่เข้าสู่ศูนย์ โดยใช้เพียงเส้นโค้งจอร์แดนที่กำหนดเท่านั้น ไม่ใช่บริเวณที่คาดว่าจะล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง นี่คือประเด็นสำคัญของทฤษฎีบทช่วยที่ 3 ของทเวร์เบิร์ก โดยคร่าวๆ แล้ว รูปหลายเหลี่ยมปิดไม่ควรบางลงจนเป็นศูนย์ทุกที่ ยิ่งไปกว่านั้น รูปหลายเหลี่ยมปิดไม่ควรบางลงจนเป็นศูนย์ที่ใดที่หนึ่ง ซึ่งเป็นประเด็นสำคัญของทฤษฎีบทช่วยที่ 4 ของทเวร์เบิร์ก ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta _{1},\delta _{2},\dots }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta _{1},\delta _{2},\dots }$

การพิสูจน์อย่างเป็นทางการครั้งแรกของทฤษฎีบทเส้นโค้งจอร์แดนถูกสร้างขึ้นโดยHales (2007a)ใน ระบบ HOL Lightในเดือนมกราคม 2005 และมีจำนวนบรรทัดประมาณ 60,000 บรรทัด การพิสูจน์อย่างเป็นทางการที่เข้มงวดอีกฉบับหนึ่งซึ่งมีจำนวนบรรทัด 6,500 บรรทัดถูกสร้างขึ้นในปี 2005 โดยทีมงานนักคณิตศาสตร์นานาชาติโดยใช้ระบบ Mizarทั้งการพิสูจน์ในระบบ Mizar และ HOL Light อาศัยคลังทฤษฎีบทที่ได้รับการพิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้ ดังนั้นขนาดของการพิสูจน์ทั้งสองจึงไม่สามารถเปรียบเทียบกันได้ Nobuyuki Sakamoto และ Keita Yokoyama ( 2007 ) แสดงให้เห็นว่าในคณิตศาสตร์ย้อนกลับทฤษฎีบทเส้นโค้งจอร์แดนเทียบเท่ากับเลมมาของ Kőnig ที่อ่อนแอในระบบดัง กล่าว${\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}}$

ในเรขาคณิตเชิงคำนวณทฤษฎีบทเส้นโค้งจอร์แดนสามารถใช้ทดสอบว่าจุดอยู่ภายในหรือภายนอกรูปหลายเหลี่ยมแบบง่าย หรือ ไม่^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}

จากจุดที่กำหนด ให้ลากเส้นตรงที่ไม่ผ่านจุดยอดใดๆ ของรูปหลายเหลี่ยม (สามารถใช้เส้นตรงทั้งหมด ยกเว้นจำนวนจำกัด) จากนั้น คำนวณจำนวนnของจุดตัดระหว่างเส้นตรงกับขอบของรูปหลายเหลี่ยม การพิสูจน์ทฤษฎีเส้นโค้งจอร์แดนบ่งชี้ว่า จุดนั้นอยู่ภายในรูปหลายเหลี่ยมก็ต่อเมื่อnเป็นจำนวนคี่

Adler, Daskalakis และ Demaine ^{[ 19 ]}พิสูจน์ว่าทฤษฎีบทของ Jordan เวอร์ชันการคำนวณนั้นสมบูรณ์ PPADโดยเป็นผลสืบเนื่อง พวกเขาแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทของ Jordan บ่งชี้ถึงทฤษฎีบทจุดตรึงของ Brouwerซึ่งเสริมผลลัพธ์ก่อนหน้านี้ของ Maehara ที่ว่าทฤษฎีบทจุดตรึงของ Brouwer บ่งชี้ถึงทฤษฎีบทของ Jordan ^{[ 20 ]}

• การวางแนวเส้นโค้ง
• ทฤษฎีบทเดนจอย-รีสซ์คือคำอธิบายเกี่ยวกับเซตของจุดบางเซตในระนาบที่สามารถเป็นเซตย่อยของเส้นโค้งจอร์แดนได้
• ทะเลสาบวาดะ
• กลุ่มควาซีฟุคเซียน (Quasi-Fuchsian group)เป็นกลุ่มทางคณิตศาสตร์ที่รักษาเส้นโค้งจอร์แดน (Jordan curve) ไว้
• Slitherlinkคือเกมปริศนาตรรกะที่คำตอบคือวงวนต่อเนื่องเพียงวงเดียว

• MI Voitsekhovskii (2001) [1994], "ทฤษฎีบทจอร์แดน" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press
• การพิสูจน์อย่างเป็นทางการฉบับเต็ม 6,500 บรรทัดของทฤษฎีเส้นโค้งของจอร์แดนในMizar
• รวมบทพิสูจน์ทฤษฎีเส้นโค้งจอร์แดนไว้ในโฮมเพจของแอนดรูว์ รานิคกี้
• บทพิสูจน์อย่างง่ายของทฤษฎีบทเส้นโค้งจอร์แดน (PDF) โดย เดวิด บี. กอลด์
• Brown, R.; Antolino-Camarena, O. (2014). "การแก้ไขเพิ่มเติมสำหรับ "Groupoids, คุณสมบัติ Phragmen-Brouwer และทฤษฎีบทเส้นโค้งจอร์แดน", J. Homotopy and Related Structures 1 (2006) 175-183". arXiv : 1404.0556 [ math.AT ].