ในทางคณิตศาสตร์เรขาคณิตไคลน์ (Klein geometry) คือ เรขาคณิตประเภทหนึ่งที่ได้รับแรงบันดาลใจจากเฟลิกซ์ ไคลน์ในโครงการเออร์ลังเงน (Erlangen program ) อันทรงอิทธิพลของเขา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันคือ ปริภูมิเอก พันธุ์Xพร้อมกับการกระทำแบบทรานซิทีฟบนXโดยกลุ่มลี (Lie group) Gซึ่งทำหน้าที่เป็นกลุ่มสมมาตรของเรขาคณิต

สำหรับข้อมูลเบื้องต้นและแรงจูงใจ โปรดดูบทความเกี่ยวกับโครงการเออร์ลังเงน

เรขาคณิตไคลน์ (Klein geometry ) คือคู่( G , H )โดยที่Gเป็นกลุ่มลี (Lie group ) และHเป็น กลุ่มลีย่อย ปิด (closed Lie subgroup)ของGซึ่งปริภูมิโคเซต (ซ้าย) G / Hเชื่อมต่อกันกลุ่มGเรียกว่ากลุ่มหลักของเรขาคณิต และG / Hเรียกว่าปริภูมิของเรขาคณิต (หรือเรียกง่ายๆ ว่า เรขาคณิตไคลน์ ) ปริภูมิX = G / Hของเรขาคณิตไคลน์ คือแมนิโฟลด์เรียบที่มีมิติ

dim X = dim G − dim H .

มีการกระทำซ้าย ที่ราบรื่นตามธรรมชาติ ของGบนXซึ่งกำหนดโดย

${\displaystyle g\cdot (aH)=(ga)H.}$

เห็นได้ชัดว่าการกระทำนี้เป็นแบบถ่ายทอด (ให้a = 1 ) ดังนั้นจึงอาจมองว่าXเป็นปริภูมิเอกพันธุ์สำหรับการกระทำของG ได้ ตัวรักษาเสถียรภาพของโคเซตเอกลักษณ์H ∈ Xก็คือกลุ่มHนั่นเอง

เมื่อกำหนดแมนิโฟลด์เรียบที่เชื่อมต่อกันX ใดๆ และการกระทำแบบทรานซิทีฟเรียบโดยกลุ่มลีGบนXเราสามารถสร้างเรขาคณิตไคลน์ที่เกี่ยวข้อง( G , H ) ได้ โดยการกำหนดจุดฐานx₀ในXและให้Hเป็นกลุ่มย่อยเสถียรของx₀ในGกลุ่มHจำเป็นต้องเป็นกลุ่มย่อยปิดของ_G และ X มีลักษณะ_{สมมาตร}เชิงอนุพันธ์ ตาม ธรรมชาติ กับG / H

เรขาคณิตไคลน์สองแบบ( G ₁ , H ₁ )และ( G ₂ , H ₂ )จะเป็นไอโซมอร์ฟิกทางเรขาคณิตหากมีไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มลีφ  : G ₁ → G ₂โดยที่φ ( H ₁ ) = H ₂โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าφ เป็นการผันโดยสมาชิกg ∈ Gเราจะเห็นว่า( G , H )และ( G , gHg ⁻¹ )เป็นไอโซมอร์ฟิกกัน เรขาคณิตไคลน์ที่เกี่ยวข้องกับปริภูมิเอกพันธุ์X จึงมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงไอโซมอร์ฟิซึม (กล่าวคือ ไม่ขึ้นอยู่กับจุดฐาน x ₀ที่เลือก)

กำหนดให้กลุ่มลีGและกลุ่มย่อยปิดH แล้ว จะมีการกระทำทางขวา ตามธรรมชาติ ของHบนGซึ่งกำหนดโดยการคูณทางขวา การกระทำนี้เป็นทั้งแบบอิสระและเหมาะสมวงโคจร เป็นเพียง โคเซตซ้ายของHในGเราจึงสรุปได้ว่าGมีโครงสร้างของบันเดิลหลักH ที่เรียบ เหนือปริภูมิโคเซตซ้ายG / H :

${\displaystyle H\to G\to G/H.}$

การกระทำของGบนX = G / Hไม่จำเป็นต้องมีประสิทธิผลเคอร์เนลของเรขาคณิตไคลน์ถูกกำหนดให้เป็นเคอร์เนลของการกระทำของGบนXโดยกำหนดโดย

${\displaystyle K=\{k\in G:g^{-1}kg\in H\;\;\forall g\in G\}.}$

เคอร์เนลKอาจอธิบายได้ว่าเป็นแกนหลักของHในG (กล่าวคือ กลุ่มย่อยที่ใหญ่ที่สุดของHที่เป็นกลุ่ม ปกติในG ) มันคือกลุ่มที่สร้างขึ้นจากกลุ่มย่อยปกติทั้งหมดของGที่อยู่ในH

เรขาคณิตไคลน์จะเรียกว่ามีประสิทธิภาพหากK = 1และจะเรียกว่ามีประสิทธิภาพเฉพาะที่หากKเป็นจำนวนไม่ต่อเนื่องถ้า( G , H )เป็นเรขาคณิตไคลน์ที่มีเคอร์เนลKแล้ว( G / K , H / K )จะเป็นเรขาคณิตไคลน์ที่มีประสิทธิภาพซึ่งสัมพันธ์กับ( G , H )ตาม หลักการ

เรขาคณิตไคลน์( G , H )จะมีทิศทางเชิงเรขาคณิตก็ต่อเมื่อGเชื่อมต่อกัน (นี่ไม่ได้หมายความว่าG / Hเป็นแมนิโฟลด์ที่มีทิศทาง ) ถ้าHเชื่อมต่อกัน ก็จะสรุปได้ว่าGก็เชื่อมต่อกันด้วย (เนื่องจากถือว่าG / H เชื่อมต่อกัน และ G → G / Hเป็นไฟเบอร์ )

สำหรับเรขาคณิตไคลน์ใดๆ₍ G , H )จะมีเรขาคณิตเชิงทิศทางที่สัมพันธ์กับ( G , H )อย่างเป็น ทางการ โดยมีปริภูมิฐานเดียวกันคือ_G / H เรขาคณิตนี้คือ( G₀ _, G₀ ∩ H ) โดยที่G₀คือส่วนประกอบเอกลักษณ์_ของGโปรด ทราบว่าG = G₀H

เรขาคณิตไคลน์( G , H )เรียกว่าเป็นแบบรีดักทีฟและG / H เรียก ว่า เป็นปริภูมิเอกพันธุ์รีดักทีฟถ้าพีชคณิตลี ของHมี ส่วนเติมเต็มที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ Hใน${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

ตารางต่อไปนี้แสดงคำอธิบายของรูปทรงเรขาคณิตแบบคลาสสิก ซึ่งจำลองเป็นรูปทรงเรขาคณิตของไคลน์

	พื้นที่พื้นฐาน	กลุ่มการเปลี่ยนแปลงG	กลุ่มย่อยH	ตัวแปรคงที่
เรขาคณิตเชิงฉาย	พื้นที่ฉายภาพจริง${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$	กลุ่มฉายภาพ${\displaystyle \mathrm {PGL} (n+1)}$	กลุ่มย่อยที่กำลังแก้ไขธง${\displaystyle P}$${\displaystyle \{0\}\เซตย่อย V_{1}\เซตย่อย V_{n}}$	เส้นเชิงฉาย , อัตราส่วนไขว้
เรขาคณิตคอนฟอร์มอลบนทรงกลม	ทรงกลม${\displaystyle S^{n}}$	กลุ่มลอเรนซ์ของปริภูมิหลายมิติ${\displaystyle (n+2)}$${\displaystyle \mathrm {O} (n+1,1)}$	กลุ่มย่อยที่ตรึงเส้นตรงในกรวยว่างของเมตริกมินคอฟสกี${\displaystyle P}$	วงกลมและมุม ทั่วไป
เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก	ปริภูมิไฮเปอร์โบลิก จำลองได้ เช่น เป็นเส้นเวลาที่ผ่านจุดกำเนิดในปริภูมิมิงคอฟสกี${\displaystyle H(n)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,n}}$	กลุ่มออร์โธโครนัสลอเรนซ์${\displaystyle \mathrm {O} (1,n)/\mathrm {O} (1)}$	${\displaystyle \mathrm {O} (1)\times \mathrm {O} (n)}$	เส้นตรง วงกลม ระยะทาง มุม
เรขาคณิตวงรี	ปริภูมิวงรี ซึ่งจำลองได้เช่นเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดในปริภูมิยุคลิด${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$	${\displaystyle \mathrm {O} (n+1)/\mathrm {O} (1)}$	${\displaystyle \mathrm {O} (n)/\mathrm {O} (1)}$	เส้นตรง วงกลม ระยะทาง มุม
เรขาคณิตทรงกลม	ทรงกลม${\displaystyle S^{n}}$	กลุ่มออร์โธโกนอล${\displaystyle \mathrm {O} (n+1)}$	กลุ่มออร์โธโกนอล${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$	เส้นตรง (วงกลมใหญ่), วงกลม, ระยะห่างระหว่างจุด, มุม
เรขาคณิตเชิงเส้นตรง	พื้นที่แอฟฟิน${\displaystyle A(n)\simeq \mathbb {R} ^{n}}$	กลุ่มแอฟฟิน${\displaystyle \mathrm {Aff} (n)\simeq \mathbb {R} ^{n}\rtimes \mathrm {GL} (n)}$	กลุ่มเชิงเส้นทั่วไป${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$	เส้นตรง, ผลหารของพื้นที่ผิวของรูปทรงเรขาคณิต, จุดศูนย์กลางมวลของรูปสามเหลี่ยม
เรขาคณิตแบบยุคลิด	ปริภูมิยุคลิด${\displaystyle E(n)}$	กลุ่มยุคลิด${\displaystyle \mathrm {Euc} (n)\simeq \mathbb {R} ^{n}\rtimes \mathrm {O} (n)}$	กลุ่มออร์โธโกนอล${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$	ระยะห่างของจุดมุมของเวกเตอร์พื้นที่