ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มคลาสสิกคือกลุ่มเมทริกซ์ที่เกิดขึ้นจากปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดและจากรูปแบบทวิเชิงเส้น เซสควิเชิงเส้นกำลังสองและ เฮอร์มิเชียน ที่ไม่เสื่อมสภาพ ในบริบทดั้งเดิมของกลุ่มลีซึ่งรวม ถึงกลุ่ม เชิงเส้นทั่วไปจริงเชิงซ้อนและควอเท อร์ เนียนกลุ่ม เชิง เส้นพิเศษกลุ่ม ตั้งฉาก กลุ่มเอกภาพและ กลุ่มซิ มเพล็กติกพร้อมกับกลุ่มอนาล็อกที่ไม่แน่นอน^{[ 1 ] [ 2 ]}

ในภาษาของกลุ่มพีชคณิตเชิงเส้นกลุ่มคลาสสิกที่เชื่อมต่อกันคือกลุ่มลดรูปที่ เชื่อมต่อกัน ของประเภท Dynkin , , , และพร้อมกับรูปแบบของพวกมันเหนือฟิลด์ ใด ๆ^{[ 3 ] [ 4 ]}เหนือและสิ่งนี้จะฟื้นคืนกลุ่ม Lie คลาสสิกที่คุ้นเคย ในขณะที่เหนือฟิลด์จำกัดจะได้รับกลุ่มคลาสสิกจำกัด^{[ 5 ] [ 6 ]}${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle D_{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

คำนี้มาจากหนังสือThe Classical GroupsของHermann Weyl ^{[ 7 ]}ในบรรดากลุ่ม Lie ที่เรียบง่ายกลุ่มคลาสสิกจะแตกต่างจากกลุ่ม Lie พิเศษ G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ , E ₈ซึ่งมีคุณสมบัติเชิงนามธรรมเหมือนกัน แต่ไม่คุ้นเคยกัน^{[ 8 ]}

บทความนี้เริ่มต้นด้วยกลุ่ม Lie แบบคลาสสิกบน, , และและต่อมาจะกล่าวถึงการกำหนดรูปแบบทั่วไปมากขึ้นบนฟิลด์ใดๆ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$

ในเอกสารทางวิชาการ มีการใช้คำว่ากลุ่มคลาสสิก สองแบบที่เกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิด ในเอกสารเกี่ยวกับกลุ่มเมทริกซ์แบบเก่า กลุ่มคลาสสิกคือกลุ่มเชิงเส้นเหนือ, , และพร้อมกับกลุ่มที่รักษาฟอร์มที่ไม่เสื่อมสภาพบนพื้นที่เหล่านั้น ในทฤษฎีสมัยใหม่ของกลุ่มพีชคณิต วลีนี้มักหมายถึงกลุ่มประเภท, , , และและฟอร์มของกลุ่มเหล่านั้นเหนือฟิลด์ทั่วไป^{[ 9 ] [ 10 ]}${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$

สำหรับบทความนี้ ตระกูลหลัก ๆ ได้แก่:

• กลุ่มเชิงเส้นและ;${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$${\displaystyle \mathrm {SL} (V)}$
• กลุ่มเชิงตั้งฉากที่ยึดติดกับรูปแบบทวิเชิงเส้นกำลังสองหรือสมมาตรที่ ไม่เสื่อมสภาพ
• กลุ่มซิมเพล็กติกที่ยึดติดกับรูปแบบสลับที่ไม่เสื่อมสภาพ
• กลุ่มเอกภาพที่แนบกับรูปแบบเฮอร์มิเชียนที่ไม่เสื่อมสภาพเมื่อเทียบกับการผกผัน^{[ 11 ] [ 12 ]}

กลุ่ม Lie คลาสสิกแบบ ง่ายที่เชื่อมต่อกันคือตระกูลของประเภท, , , และรูปแบบจริงแบบกระชับของพวกมันคือ, , และ^{[ 13 ]}${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle D_{n}}$${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$

กลุ่มคลาสสิกมาตรฐานทั้งแบบจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน และจำนวนควอเทอร์เนียน แสดงอยู่ในตารางต่อไปนี้:

ชื่อ	กลุ่ม	สนาม	รักษารูปทรงไว้	กลุ่มย่อยขนาดกะทัดรัดสูงสุด	พีชคณิตลี	ระบบราก
เส้นตรงพิเศษ	${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	—	${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {R} )}$	${\displaystyle A_{n-1}}$
เส้นตรงพิเศษที่ซับซ้อน	${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {C} )}$	${\displaystyle \mathbb {C} }$	—	${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )}$	${\displaystyle A_{n-1}}$
ควอเทอร์เนียนเชิงเส้นพิเศษ	${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {H} )\cong \mathrm {SU} ^{*}(2n)}$	${\displaystyle \mathbb {H} }$	—	${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(2n)}$	${\displaystyle A_{2n-1}}$
(ไม่แน่นอน) ออร์โธโกนอลพิเศษ	${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	ไบลิเนียร์สมมาตร	${\displaystyle S(\mathrm {O} (p)\times \mathrm {O} (q))}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(p,q)}$	${\displaystyle B_{m}}$ถ้า; ถ้า${\displaystyle p+q=2m+1}$${\displaystyle D_{m}}$${\displaystyle p+q=2m}$
เชิงซ้อน พิเศษ ตั้งฉาก	${\displaystyle \mathrm {SO} (n,\mathbb {C} )}$	${\displaystyle \mathbb {C} }$	ไบลิเนียร์สมมาตร	${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{n}(\mathbb {C} )}$	${\displaystyle B_{m}}$ถ้า; ถ้า${\displaystyle n=2m+1}$${\displaystyle D_{m}}$${\displaystyle n=2m}$
ซิมเพล็กติกจริง	${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	สลับแบบไบลิเนียร์	${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2n}(\mathbb {R} )}$	${\displaystyle C_{n}}$
ซิมเพล็กติกเชิงซ้อน	${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )}$	${\displaystyle \mathbb {C} }$	สลับแบบไบลิเนียร์	${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2n}(\mathbb {C} )}$	${\displaystyle C_{n}}$
(ไม่แน่นอน) เอกภาพพิเศษ	${\displaystyle \mathrm {SU} (p,q)}$	${\displaystyle \mathbb {C} }$	เฮอร์มิเชียน	${\displaystyle S(\mathrm {U} (p)\times \mathrm {U} (q))}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}(p,q)}$	${\displaystyle A_{p+q-1}}$
(ไม่แน่นอน) ควอเทอร์เนียน ยูนิแทรี	${\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)}$	${\displaystyle \mathbb {H} }$	เฮอร์มิเชียน	${\displaystyle \mathrm {Sp} (p)\times \mathrm {Sp} (q)}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(p,q)}$	${\displaystyle C_{p+q}}$
ควอเทอร์เนียนออร์โธโกนอล	${\displaystyle \mathrm {SO} ^{*}(2n)}$	${\displaystyle \mathbb {H} }$	เฮอร์มิเชียนเฉียง	${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}^{*}(2n)}$	${\displaystyle D_{n}}$

สำหรับหรือกลุ่มเชิงเส้นพิเศษคือ ${\displaystyle F=\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathrm {SL} (n,F)=\{g\in \mathrm {GL} _{n}(F)\mid \det g=1\}.}$

พีชคณิตลีของมันคือ

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)=\{X\in M_{n}(F)\mid \operatorname {tr} (X)=0\}.}$

ดังนั้นจึงประกอบด้วยเมทริกซ์จำนวนจริงที่ไม่มีร่องรอยทั้งหมด และประกอบด้วยเมทริกซ์ จำนวนเชิงซ้อนที่ไม่มีร่องรอยทั้งหมด${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle n\times n}$

กลุ่มคลาสสิกสามารถอธิบายได้อย่างเป็นธรรมชาติที่สุดว่าเป็นกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของรูปแบบที่ไม่เสื่อมสภาพบนปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด^{[ 14 ] [ 15 ]}

ให้ เป็น ปริมาณเวกเตอร์มิติจำกัดเหนือหรือรูปแบบทวิเชิงเส้นบนคือแผนที่ ${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle V}$

${\displaystyle \varphi \colon V\times V\to F}$

ซึ่งเป็นเชิงเส้นในแต่ละตัวแปรรูปแบบเซสควิลิเนียร์บนปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนคือแผนที่

${\displaystyle \varphi \colon V\times V\to \mathbb {C} }$

นั่นคือเป็นเชิงเส้นคู่ควบในตัวแปรแรกและเป็นเชิงเส้นในตัวแปรที่สอง^{[ 16 ]}

สำหรับปริภูมิเวกเตอร์ควอเทอร์เนียน มักจะทำงานกับ ปริภูมิเวกเตอร์ ขวา ในการตั้งค่าดังกล่าว รูปแบบที่เกี่ยวข้องคือรูปแบบเฮอร์มิเชียนควอเทอร์เนียนหรือรูปแบบเฮอร์มิเชียนเฉียงควอเทอร์เนียน ซึ่งเป็นเชิงเส้นคู่ควบในตัวแปรแรกและเป็นเชิงเส้นในตัวแปรที่สอง^{[ 17 ]}${\displaystyle \mathbb {H} }$

ถ้าเป็นรูปแบบที่ไม่เสื่อมสภาพบนกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของมันคือ ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle V}$

${\displaystyle \operatorname {Aut} (\varphi )=\{g\in \operatorname {GL} (V)\mid \varphi (gv,gw)=\varphi (v,w){\text{ for all }}v,w\in V\}.}$

หลังจากเลือกฐานแล้วจะถูกแทนด้วยเมทริกซ์แกรมและกลายเป็นกลุ่มเมทริกซ์ที่กำหนดโดยสมการใดสมการหนึ่ง ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \operatorname {Aut} (\varphi )}$

${\displaystyle g^{\mathrm {T} }\Phi g=\Phi ,\qquad g^{*}\Phi g=\Phi ,}$

ขึ้นอยู่กับว่าเป็นแบบทวิเชิงเส้นหรือแบบเซสควิเชิงเส้น^{[ 18 ]}${\displaystyle \varphi }$

พีชคณิตลีของคือ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (\varphi )}$

${\displaystyle {\mathfrak {aut}}(\varphi )=\{X\in \operatorname {End} (V)\mid \varphi (Xv,w)+\varphi (v,Xw)=0{\text{ for all }}v,w\in V\},}$

หรือในรูปแบบเมทริกซ์

${\displaystyle X^{\mathrm {T} }\Phi +\Phi X=0,\qquad X^{*}\Phi +\Phi X=0.}$^{[ 19 ]}

รูปแบบทวิเชิงเส้นคือ: ${\displaystyle \varphi }$

• สมมาตรถ้า;${\displaystyle \varphi (v,w)=\varphi (w,v)}$
• สลับ (หรือสมมาตรเฉียง เมื่อ) ถ้าสำหรับทุกเทียบเท่ากับ^{[ 20 ]}${\displaystyle \operatorname {char} F\neq 2}$${\displaystyle \varphi (v,v)=0}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \varphi (v,w)=-\varphi (w,v)}$

รูปแบบเซสควิลิเนียร์คือ: ${\displaystyle h}$

• เฮอร์มิเชียนถ้า;${\displaystyle h(v,w)={\overline {h(w,v)}}}$
• เฉียงเฮอร์มิเชียนถ้า. ^{[ 21 ]}${\displaystyle h(v,w)=-{\overline {h(w,v)}}}$

รูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรที่ไม่เสื่อมสภาพจะถูกจำแนกตามลายเซ็นของพวกมันรูป แบบทวิเชิงเส้นสมมาตรที่ไม่เสื่อมสภาพทั้งหมดของมิติที่กำหนดจะเทียบเท่ากัน รูปแบบสลับที่ไม่เสื่อมสภาพมีอยู่เฉพาะในมิติคู่ และ เหนือทั้งสองและรูปแบบดังกล่าวทั้งหมดจะเทียบเท่ากัน^{[ 22 ]}${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

บนปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อน การคูณฟอร์มแบบเฉียงเฮอร์มิเชียนด้วย จะได้ฟอร์มแบบเฮอร์มิเชียน ดังนั้นทั้งสองกรณีจึงนำไปสู่กลุ่มไอโซเมตรีเดียวกัน ยกเว้นการเปลี่ยนแปลงข้อตกลงที่ไม่เป็นอันตราย^{[ 23 ]}ในทางตรงกันข้าม บนปริภูมิเวกเตอร์ควอเทอร์เนียน จะไม่มีฟอร์มทวิเชิงเส้นที่ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นจึงเกิดเฉพาะกรณีเฮอร์มิเชียนและเฉียงเฮอร์มิเชียนเท่านั้น^{[ 24 ]}${\displaystyle i}$

ให้เป็นรูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรที่ไม่เสื่อมสภาพ ${\displaystyle \varphi }$

โดยทั่วไปแล้วสามารถเลือกพื้นฐานได้ดังนี้ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi (x,y)=x^{\mathrm {T} }I_{p,q}y,\qquad I_{p,q}=\operatorname {diag} (I_{p},-I_{q}),}$

โดยที่กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของมันคือกลุ่มออร์โธโกนอลที่ไม่แน่นอน${\displaystyle p+q=n}$

${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)=\{g\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )\mid g^{\mathrm {T} }I_{p,q}g=I_{p,q}\}.}$

กลุ่มย่อยของดีเทอร์มิแนนต์คือกลุ่มออร์โธโกนอลพิเศษ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)=\mathrm {O} (p,q)\cap \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} ).}$^{[ 25 ]}

เมื่อกลุ่มออร์โธโกนอลขนาดกะทัดรัดนี้เป็น^{กลุ่ม}ย่อยดีเทอร์มิแนนต์^{[ 26} ]${\displaystyle q=0}$${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$

เหนือรูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรที่ไม่เสื่อมสภาพทุกรูปแบบจะเทียบเท่ากับรูปแบบมาตรฐาน ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \varphi (x,y)=x^{\mathrm {T} }y.}$

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของมันคือกลุ่มออร์โธโกนอลเชิงซ้อน

${\displaystyle \mathrm {O} (n,\mathbb {C} )=\{g\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )\mid g^{\mathrm {T} }g=I_{n}\},}$

ด้วยกลุ่มย่อยตัว กำหนด ^{[ 27 ]}${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathrm {SO} (n,\mathbb {C} )}$

พีชคณิตลีที่สอดคล้องกันคือ

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(p,q)=\{X\in M_{n}(\mathbb {R} )\mid X^{\mathrm {T} }I_{p,q}+I_{p,q}X=0\},}$

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(n,\mathbb {C} )={\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )=\{X\in M_{n}(\mathbb {C} )\mid X^{\mathrm {T} }+X=0\}.}$^{[ 28 ]}

ถ้า

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$

โดยที่ขนาดบล็อกคือ, , , และ, ความสัมพันธ์ที่กำหนดสำหรับจะเทียบเท่ากับ ${\displaystyle p\times p}$${\displaystyle p\times q}$${\displaystyle q\times p}$${\displaystyle q\times q}$${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$

${\displaystyle A^{\mathrm {T} }A-C^{\mathrm {T} }C=I_{p},\qquad D^{\mathrm {T} }D-B^{\mathrm {T} }B=I_{q},\qquad A^{\mathrm {T} }B=C^{\mathrm {T} }D.}$

การเขียน

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}P&Q\\R&S\end{pmatrix}},}$

หนึ่งจะได้รับรูปแบบบล็อก

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(p,q)=\left\{{\begin{pmatrix}P&Q\\Q^{\mathrm {T} }&S\end{pmatrix}}\;|\;P^{\mathrm {T} }=-P,\ S^{\mathrm {T} }=-S\right\}.}$

ดังนั้นพื้นที่ของเมทริก ซ์สมมาตรเฉียงเชิงซ้อนจึงเป็นเช่นนี้${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle n\times n}$

ให้เป็นรูปแบบทวิเชิงเส้นสลับที่ไม่เสื่อมสภาพบนปริภูมิเวกเตอร์มิติโดยที่หรือสามารถเลือกฐานใน ซึ่ง ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \omega (x,y)=x^{\mathrm {T} }J_{n}y,\qquad J_{n}={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}}.}$

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของมันคือกลุ่มซิมเพล็กติก

${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,F)=\{g\in \mathrm {GL} _{2n}(F)\mid g^{\mathrm {T} }J_{n}g=J_{n}\},\qquad F=\mathbb {R} ,\mathbb {C} .}$

นักเขียนหลายคนเขียนและ เขียน เพื่อกลุ่มเหล่านี้^{[ 29 ]}${\displaystyle \mathrm {Sp} (n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathrm {Sp} (n,\mathbb {C} )}$

พีชคณิตลีของมันคือ

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,F)=\{X\in M_{2n}(F)\mid X^{\mathrm {T} }J_{n}+J_{n}X=0\}.}$

ในทำนองเดียวกัน ทุกองค์ประกอบมีรูปแบบเป็นบล็อก

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\C&-A^{\mathrm {T} }\end{pmatrix}}}$

สมมาตรและ^{[ 30 ]}​${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$

ให้เป็นรูปแบบเฮอร์มิเชียนที่ไม่เสื่อมสภาพบนปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนที่มีมิติn เราอาจเลือกฐานใน ซึ่ง ${\displaystyle h}$${\displaystyle V}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle h(z,w)=z^{*}I_{p,q}w,\qquad I_{p,q}=\operatorname {diag} (I_{p},-I_{q}),}$

ที่ไหน^{[ 31 ]}​${\displaystyle p+q=n}$

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของมันคือกลุ่มเอกภาพ

${\displaystyle \mathrm {U} (p,q)=\{g\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )\mid g^{*}I_{p,q}g=I_{p,q}\}.}$

กลุ่มย่อยของดีเทอร์มิแนนต์คือกลุ่มเอกภาพพิเศษ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle \mathrm {SU} (p,q)=\mathrm {U} (p,q)\cap \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {C} ).}$^{[ 32 ]}

เมื่อกลุ่มเอกภาพขนาดกะทัดรัดนี้เป็นกลุ่มย่อยดีเทอร์มิแนนต์^{[ 33 ]}${\displaystyle q=0}$${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$

พีชคณิตลีของมันคือ

${\displaystyle {\mathfrak {u}}(p,q)=\{X\in M_{n}(\mathbb {C} )\mid X^{*}I_{p,q}+I_{p,q}X=0\}.}$^{[ 34 ]}

ถ้า

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}},}$

ดังนั้น ความสัมพันธ์ที่กำหนดจึงเทียบเท่ากับ

${\displaystyle A^{*}A-C^{*}C=I_{p},\qquad D^{*}D-B^{*}B=I_{q},\qquad A^{*}B=C^{*}D.}$

ในรูปแบบบล็อก

${\displaystyle {\mathfrak {u}}(p,q)=\left\{{\begin{pmatrix}P&Q\\Q^{*}&R\end{pmatrix}}\;|\;P^{*}=-P,\ R^{*}=-R\right\}.}$

พีชคณิตลีเอกภาพพิเศษคือพีชคณิตย่อยไร้ร่องรอย

${\displaystyle {\mathfrak {su}}(p,q)=\{X\in {\mathfrak {u}}(p,q)\mid \operatorname {tr} (X)=0\}.}$

สำหรับกลุ่มคลาสสิกควอเทอร์เนียน การระบุลักษณะดังกล่าวเป็นเรื่องสะดวก

${\displaystyle \mathbb {H} =\mathbb {C} \oplus j\mathbb {C} }$

และเพื่อแสดงควอเทอร์เนียนด้วยเมทริกซ์เชิงซ้อน ${\displaystyle \alpha +j\beta }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\[2pt]\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}.}$

สิ่งนี้ขยายไปสู่การฝังตัว

${\displaystyle M_{n}(\mathbb {H} )\hookrightarrow M_{2n}(\mathbb {C} ),\qquad X+jY\mapsto {\begin{pmatrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{pmatrix}}.}$^{[ 35 ]}

กลุ่มนี้ประกอบด้วยเอนโดมอร์ฟิซึมเชิงเส้นควอเทอร์เนียนที่ผกผันได้ของปริภูมิเวกเตอร์ด้านขวาโดยผ่านการฝังเชิงซ้อนข้างต้น ทำให้กลุ่มนี้กลายเป็นกลุ่มย่อยลีจริงของที่ประกอบด้วยเมทริกซ์ในรูปแบบ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$${\displaystyle \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&-{\overline {B}}\\B&{\overline {A}}\end{pmatrix}},\qquad A,B\in M_{n}(\mathbb {C} ).}$^{[ 36 ]}

ดังนั้นพีชคณิตลีของมันจึงเป็น

${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {H} )=\left\{{\begin{pmatrix}A&-{\overline {B}}\\B&{\overline {A}}\end{pmatrix}}\;|\;A,B\in M_{n}(\mathbb {C} )\right\}.}$

รูปแบบจริงที่สอดคล้องกันของจะถูกแสดงด้วยและในฐานะกลุ่ม Lie มันจะสมมาตรกับกลุ่มที่เขียนตามธรรมเนียมและเป็นกลุ่มย่อยของที่มีองค์ประกอบที่มีบรรทัดฐานลดลง 1 ^{[ 37 ]}${\displaystyle \mathrm {SL} (2n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathrm {SU} ^{*}(2n)}$${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {H} )}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )}$

พีชคณิตลีของมันคือ

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {H} )\cong {\mathfrak {su}}^{*}(2n)=\left\{{\begin{pmatrix}A&-{\overline {B}}\\B&{\overline {A}}\end{pmatrix}}\;|\;\operatorname {Re} \operatorname {tr} (A)=0\right\}.}$

ปล่อยและปล่อย ${\displaystyle V=\mathbb {H} ^{p+q}}$

${\displaystyle B(w,z)=w^{*}I_{p,q}z,\qquad I_{p,q}=\operatorname {diag} (I_{p},-I_{q}),}$

เป็นรูปแบบเฮอร์มิเชียนควอเทอร์เนียนที่ไม่เสื่อมสภาพ กลุ่มไอโซเมตรีของมันคือกลุ่มเอกภาพควอเทอร์เนียน

${\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)=\{g\in \mathrm {GL} (p+q,\mathbb {H} )\mid g^{*}I_{p,q}g=I_{p,q}\}.}$^{[ 38 ]}

เมื่อกลุ่มขนาดกะทัดรัดนี้มักจะเขียนว่า^{[ 39 ]}${\displaystyle q=0}$${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$

เมื่อมองว่าเป็นกลุ่มย่อยของ กลุ่มนี้ กลุ่มจะรักษารูปแบบเฮอร์มิเชียนที่ซับซ้อนของลายเซ็นและรูปแบบสลับที่ซับซ้อนที่ไม่เสื่อมสภาพไว้^{[ 40 ]}พีชคณิตลีของมันคือ ${\displaystyle \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)}$${\displaystyle (2p,2q)}$

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(p,q)=\{X\in M_{p+q}(\mathbb {H} )\mid X^{*}I_{p,q}+I_{p,q}X=0\}.}$^{[ 41 ]}

ถ้า

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$

เมื่อใช้บล็อกควอเทอร์เนียน ความสัมพันธ์ที่กำหนดจะเทียบเท่ากับ

${\displaystyle A^{*}A-C^{*}C=I_{p},\qquad D^{*}D-B^{*}B=I_{q},\qquad A^{*}B=C^{*}D.}$

ในรูปแบบบล็อก

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(p,q)=\left\{{\begin{pmatrix}P&Q\\Q^{*}&R\end{pmatrix}}\;|\;P^{*}=-P,\ R^{*}=-R\right\}.}$

ให้พิจารณารูปแบบควอเทอร์เนียนแบบเฉียงเฮอร์มิเชียน ${\displaystyle V=\mathbb {H} ^{n}}$

${\displaystyle C(x,y)=x^{*}jy.}$

กลุ่มไอโซเมตรีของมันคือกลุ่ม Lie ที่แท้จริง

${\displaystyle \mathrm {SO} ^{*}(2n),}$

ซึ่งเป็นรูปแบบที่แท้จริง^ของ [ ^{42 ]}${\displaystyle \mathrm {SO} (2n,\mathbb {C} )}$

ในทำนองเดียวกัน ถ้า

${\displaystyle J_{n}={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}},}$

จากนั้นจึงอาจรับรู้ได้ว่าเป็นกลุ่มย่อย ${\displaystyle \mathrm {SO} ^{*}(2n)}$

${\displaystyle \mathrm {SO} ^{*}(2n)=\{g\in \mathrm {SO} (2n,\mathbb {C} )\mid \theta (g)=g\},}$

การผกผันที่กำหนดรูปแบบจริงนี้อยู่ที่ไหน^{[ 43 ]}${\displaystyle \theta (g)=-J_{n}{\overline {g}}J_{n}}$

พีชคณิต Lie ของมันแสดงด้วย^{[ 44 ]}${\displaystyle {\mathfrak {so}}^{*}(2n)}$

การรับรู้เชิงซ้อนมาตรฐานของคือกลุ่มย่อยของ ที่รักษารูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรพร้อมเมทริกซ์แกรมไว้ ${\displaystyle \mathrm {SO} ^{*}(2n)}$${\displaystyle \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\I_{n}&0\end{pmatrix}}}$

และรูปแบบเฮอร์มิเชียนที่มีเมทริกซ์แกรม

${\displaystyle H={\begin{pmatrix}I_{n}&0\\0&-I_{n}\end{pmatrix}}.}$

ในทำนองเดียวกัน

${\displaystyle \mathrm {SO} ^{*}(2n)=\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )\mid g^{\mathrm {T} }Sg=S,\ g^{*}Hg=H\}.}$

พีชคณิตลีของมันคือ

${\displaystyle {\mathfrak {so}}^{*}(2n)=\left\{{\begin{pmatrix}A&B\\-{\overline {B}}&{\overline {A}}\end{pmatrix}}\;|\;A^{*}=-A,\ B^{\mathrm {T} }=-B\right\}.}$

กลุ่มคลาสสิก เหนือฟิลด์คือกลุ่มของออโตมอร์ฟิซึมเชิงเส้นของปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดที่ไม่รักษาโครงสร้างเพิ่มเติมใดๆ หรือรูปแบบสลับที่ไม่เสื่อมสภาพ รูปแบบกำลังสอง หรือรูปแบบเฮอร์มิเชียน^{[ 5 ] [ 10 ]}เหนือฟิลด์และกลุ่มเหล่านี้จะฟื้นคืนกลุ่ม Lie คลาสสิกที่คุ้นเคย ในขณะที่เหนือฟิลด์จำกัด กลุ่มของจุดตรรกยะจะให้กลุ่มคลาสสิกจำกัด^{[ 6 ]}${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

ให้เป็นปริมาณเวกเตอร์มิติ เหนือกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปของคือ ${\displaystyle V}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle \mathrm {GL} (V)=\operatorname {Aut} _{k}(V),}$

และกลุ่มเชิงเส้นพิเศษคือ

${\displaystyle \mathrm {SL} (V)=\ker(\det \colon \mathrm {GL} (V)\to k^{\times }).}$

หลังจากเลือกฐานแล้ว สิ่งเหล่านี้จะกลายเป็นกลุ่มเมทริกซ์และผลหารเชิงโปรเจกทีฟของพวกมันคือกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปเชิงโปรเจกทีฟและกลุ่มเชิงเส้นพิเศษเชิงโปรเจกทีฟ^{[ ​​3 ]}${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(k)}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(k)}$${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)}$${\displaystyle \mathrm {PSL} (V)}$

กลุ่มคลาสสิกอื่นๆ เกิดขึ้นเป็นกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของรูปแบบที่ไม่เสื่อมสภาพ^{[ 5 ] [ 12 ]}

ถ้าเป็นรูปแบบทวิเชิงเส้นสลับที่ไม่เสื่อมสภาพบนกลุ่มไอโซเมตรีของมันคือกลุ่มซิมเพล็กติก${\displaystyle \omega }$${\displaystyle V}$

${\displaystyle \mathrm {Sp} (V,\omega )=\{g\in \mathrm {GL} (V)\mid \omega (gv,gw)=\omega (v,w)\ \forall v,w\in V\}.}$

สำหรับกรณีนี้ข้อความนี้เขียนขึ้นหลังจากเลือกฐานแล้ว ${\displaystyle \dim V=2n}$${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2n}(k)}$

ถ้าเป็นรูปแบบกำลังสองที่ไม่เสื่อมสภาพบนกลุ่มไอโซเมตรีของมันคือกลุ่มออร์โธโกนอล${\displaystyle q}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle \mathrm {O} (V,q)=\{g\in \mathrm {GL} (V)\mid q(gv)=q(v)\ \forall v\in V\}.}$

เมื่อกลุ่มนี้จะเทียบเท่ากับกลุ่มที่รักษารูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรที่เกี่ยวข้อง ในลักษณะเฉพาะ 2 กลุ่มตั้งฉากยังคงถูกกำหนดจากรูปแบบกำลังสอง แต่ความสัมพันธ์กับรูปแบบทวิเชิงเส้นที่เกี่ยวข้องนั้นซับซ้อนกว่า^{[ 12 ]} สำหรับกลุ่มตั้งฉากเหนือฟิลด์ทั่วไป มักจะพิจารณากลุ่มย่อยด้วยในกรณีไอโซโทรปิกและในลักษณะเฉพาะที่ไม่ใช่ 2 อาจอธิบายได้ว่าเป็นเคอร์เนลของบรรทัดฐานสปินเนอร์ซึ่งเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมจาก(หรือโดยทั่วไปจากกลุ่มย่อยดัชนี 2 ที่เหมาะสมของ) ไปยังในทฤษฎีของกลุ่มคลาสสิกจำกัด กลุ่มง่ายมักจะเป็นมากกว่า^{[ 45 ]}${\displaystyle \operatorname {char} (k)\neq 2}$${\displaystyle \Omega (V,q)}$${\displaystyle \mathrm {SO} (V,q)}$${\displaystyle \mathrm {O} (V,q)}$${\displaystyle k^{\times }/(k^{\times })^{2}}$${\displaystyle \mathrm {P} \Omega (V,q)}$${\displaystyle \mathrm {PSO} (V,q)}$

ถ้าเป็นส่วนขยายของฟิลด์ กำลังสอง หรือโดยทั่วไปแล้ว ถ้ามีอินโวลูชันและเป็นรูปแบบเฮอร์มิเชียนที่ไม่เสื่อมสภาพ บน ปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดกลุ่มไอโซเมตรีของมันจะเป็นกลุ่มเอกภาพ${\displaystyle K/k}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle h}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle K}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle \mathrm {U} (V,h)=\{g\in \mathrm {GL} _{K}(V)\mid h(gv,gw)=h(v,w)\ \forall v,w\in V\}.}$

^{กลุ่มย่อย ที่}ได้มาคือกลุ่มเอกภาพพิเศษ [ ^{12 ]}${\displaystyle \mathrm {SU} (V,h)}$

นอกจากนี้ยังมีกลุ่มความคล้ายคลึง ที่สอดคล้องกัน , , และซึ่งองค์ประกอบจะรักษารูปแบบที่เกี่ยวข้องไว้จนถึงการคูณด้วยสเกลาร์ เวอร์ชันเชิงโปรเจกทีฟได้มาจากการหารด้วยศูนย์กลาง^{[ 4 ]}${\displaystyle \mathrm {GSp} }$${\displaystyle \mathrm {GO} }$${\displaystyle \mathrm {GU} }$

ในภาษาของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตกลุ่มพีชคณิตเชิงเส้นเหนือคือแผนผังกลุ่มแอฟฟินเรียบ ซึ่งเทียบเท่ากับกลุ่มย่อยปิดเรียบของบางกลุ่ม[ ^{4 ] [ 3 ] จาก}มุมมองนี้ กลุ่มคลาสสิกที่เชื่อมต่อกันคือกลุ่มลดรูปที่เชื่อมต่อกันของประเภท Dynkin , , , และพร้อมกับรูปแบบเหนือฟิลด์ที่ไม่ปิดเชิงพีชคณิต^{[ 4 ]}${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle D_{n}}$

กลุ่มคลาสสิกแบบแยกส่วนแสดงโดยตัวอย่างมาตรฐานต่อไปนี้:

• ประเภท: และ;${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{n+1}}$${\displaystyle \mathrm {PGL} _{n+1}}$
• ประเภท: และฝาครอบที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย;${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle \mathrm {SO} _{2n+1}}$${\displaystyle \mathrm {Spin} _{2n+1}}$
• ประเภท: และ;${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2n}}$${\displaystyle \mathrm {PSp} _{2n}}$
• ประเภท: และ. ^{[ 4 ] [ 3 ]}${\displaystyle D_{n}}$${\displaystyle \mathrm {SO} _{2n}}$${\displaystyle \mathrm {Spin} _{2n}}$

ในฟิลด์ทั่วไป จะได้รับกลุ่มคลาสสิกเพิ่มเติมในรูปแบบภายในหรือภายนอกของกลุ่มแยกเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น กลุ่มเอกภาพเป็นรูปแบบภายนอกของประเภทและกลุ่มออร์โธโกนอลหรือซิมเพล็กติกจำนวนมากถูกจำแนกตามรูปแบบกำลังสองหรือเฮอร์มิเชียน^{[ 12 ] [ 4 ]}${\displaystyle A_{n}}$

เมื่อเป็นฟิลด์จำกัด กลุ่มของจุด -rational ของกลุ่มพีชคณิตเหล่านี้จะให้กลุ่มจำกัดประเภท Lie ตระกูลคลาสสิกประกอบด้วยกลุ่มต่างๆ เช่น, , , และกลุ่มตั้งฉากจำกัด^{[ 6 ]}${\displaystyle k=\mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathrm {PSL} _{n}(q)}$${\displaystyle \mathrm {PSU} _{n}(q)}$${\displaystyle \mathrm {PSp} _{2n}(q)}$

ส่วนก่อนหน้านี้ได้อธิบายกลุ่มคลาสสิกที่ติดอยู่กับปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์ พร้อมกับกลุ่มเอกภาพที่เกี่ยวข้องกับส่วนขยายฟิลด์กำลังสอง ซึ่งครอบคลุมกลุ่มคลาสสิกแบบแยกส่วนและกลุ่มเอกภาพทั่วไป แต่ไม่รวมถึงตระกูลควอเทอร์เนียนเหนือเนื่องจากไม่ใช่พีชคณิตแบบง่ายแบบแยกส่วน ในการจัดการกลุ่มคลาสสิกที่เหลือ เราจึงแทนที่ปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์ด้วยโมดูลเหนือพีชคณิตแบบง่ายส่วนกลาง ที่ มีการผกผัน การสร้างกลุ่มคลาสสิกตามปกติในส่วนก่อนหน้านี้จะได้รับการกู้คืนเมื่อพีชคณิตเป็นพีชคณิตเมทริกซ์เหนือหรือในกรณีเอกภาพ เหนือส่วนขยายฟิลด์กำลังสองของ^{[ 46 ] [ 47 ]}${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

บนฟิลด์จำกัด กลไกพีชคณิตเชิงง่ายส่วนกลางนี้ไม่ได้สร้างกลุ่มคลาสสิกเพิ่มเติมไปกว่ากลุ่มเมทริกซ์ตามปกติ เนื่องจากพีชคณิตเชิงง่ายส่วนกลางทุกตัวบนฟิลด์จำกัดนั้นสามารถแยกออกได้ ดังนั้น กลุ่มคลาสสิกจำกัดจึงสามารถอธิบายได้ในภาษาของพีชคณิตที่มีการผกผัน แต่ไม่มีตัวอย่างที่ไม่แยกออกอย่างแท้จริงเกิดขึ้นในบริบทนั้น

ทฤษฎีพีชคณิตที่สมบูรณ์ที่มีการผกผันยังใช้คู่กำลังสองในกรณีตั้งฉาก รูปแบบพิเศษนั้นจำเป็นเฉพาะสำหรับการจัดการลักษณะเฉพาะ 2 เท่านั้น^{[ 46 ]} ต่อจากนี้ไป จะเป็นฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะที่แตกต่างจากสอง ${\displaystyle k}$

ให้เป็นพีชคณิตแบบง่ายส่วนกลางเหนือและให้เป็นการผกผัน มีสองกรณีพื้นฐาน^{[ 48 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \tau \colon A\to A}$

ถ้ากระทำอย่างไม่สำคัญบนจุดศูนย์กลางของแล้วจะเรียกว่า เป็นชนิดแรกในลักษณะเฉพาะที่แตกต่างจากสอง อินโวลูชันชนิดแรกจะแบ่งออกเป็นสองประเภท ขึ้นอยู่กับว่ามันกลายเป็นแอดจอยต์ของรูปแบบสมมาตรหรือสลับกันหลังจากเทนเซอร์ด้วยส่วนปิดที่แยกได้ของตามลำดับ: ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle A}$${\displaystyle k}$

• การผกผันเชิงตั้งฉาก ;
• การผกผันเชิงซิ มเพล็กติก^{[ 48 ]}

ถ้าศูนย์กลางของเป็นพีชคณิตเอตาล กำลังสอง และเหนี่ยวนำออโตมอร์ฟิซึมที่ไม่ธรรมดา^ของแล้วจะเรียกว่า เป็นเอกภาพหรือชนิดที่สอง^{[ 48} ]${\displaystyle A}$${\displaystyle k}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle k}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \tau }$

การแบ่งสามส่วนนี้สอดคล้องกับตระกูลคลาสสิกสามตระกูลนอกเหนือจากกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป:

• ประเภทตั้งฉากสำหรับประเภท Dynkin และ;${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle D_{n}}$
• ประเภทซิมเพล็กติกสำหรับประเภทไดน์กิน;${\displaystyle C_{n}}$
• ประเภทเอกภาพสำหรับรูปแบบภายนอกของประเภทDynkin ^{[ 48 ] [ 49 ]}${\displaystyle A_{n}}$

สำหรับพีชคณิตเชิงเดี่ยวแบบศูนย์กลางใดๆเราเขียนว่า ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(A)=A^{\times }}$

สำหรับกลุ่มขององค์ประกอบที่ผกผันได้ และ

${\displaystyle \operatorname {SL} _{1}(A)=\ker(\operatorname {Nrd} \colon A^{\times }\to k^{\times })}$

สำหรับแกนหลักของบรรทัดฐานที่ลดลงสิ่งเหล่านี้ให้รูปแบบภายในของประเภท^{[ 49 ]}${\displaystyle A}$

ถ้าเป็นชนิดแรกแล้ว ${\displaystyle (A,\tau )}$

${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,\tau )=\{a\in A^{\times }\mid \tau (a)a=1\}}$

คือกลุ่มของไอโซเมตรีและ

${\displaystyle \operatorname {Sim} (A,\tau )=\{a\in A^{\times }\mid \tau (a)a\in k^{\times }\}}$

คือกลุ่มของความคล้ายคลึงกันสเกลาร์เรียกว่าตัวคูณของความคล้ายคลึงกัน^{[ 48 ]} (โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถกำหนดสิ่งเหล่านี้ได้ก่อนโดยใช้แผนผังกลุ่ม ที่เกี่ยวข้อง ^{[ 48 ]} ) ${\displaystyle \mu (a)=\tau (a)a}$

ตามประเภทของข้อมูล เราเขียนว่า: ${\displaystyle \tau }$

• ${\displaystyle \mathrm {O} (A,\tau )=\operatorname {Iso} (A,\tau )}$และในกรณีตั้งฉาก;${\displaystyle \mathrm {GO} (A,\tau )=\operatorname {Sim} (A,\tau )}$${\displaystyle \mathrm {PGO} (A,\tau )=\operatorname {Aut} (A,\tau )}$
• ${\displaystyle \mathrm {Sp} (A,\tau )=\operatorname {Iso} (A,\tau )}$และในกรณีซิมเพล็กติก^{[ 48 ]}${\displaystyle \mathrm {GSp} (A,\tau )=\operatorname {Sim} (A,\tau )}$${\displaystyle \mathrm {PGSp} (A,\tau )=\operatorname {Aut} (A,\tau )}$

ถ้าเป็นเอกภาพ โดยมีจุดศูนย์กลางเป็นพีชคณิตเอตาลกำลังสอง แล้ว ${\displaystyle (B,\tau )}$${\displaystyle K/k}$

${\displaystyle \mathrm {U} (B,\tau )=\{b\in B^{\times }\mid \tau (b)b=1\}}$,

${\displaystyle \mathrm {GU} (B,\tau )=\{b\in B^{\times }\mid \tau (b)b\in k^{\times }\}}$,

และ

${\displaystyle \mathrm {PGU} (B,\tau )=\operatorname {Aut} _{K}(B,\tau ).}$

เคอร์เนลของนอร์มที่ลดลงบนถูกกำหนดโดย ${\displaystyle \mathrm {U} (B,\tau )}$

${\displaystyle \mathrm {SU} (B,\tau )=\ker(\operatorname {Nrd} \colon \mathrm {U} (B,\tau )\to K^{\times }),}$

และให้กลุ่มเชื่อมต่อแบบง่ายกึ่งง่ายของประเภทเอกภาพ^{[ 48 ]}

ในกรณีซิมเพล็กติกคือกลุ่มที่เชื่อมต่ออย่างง่ายและผลหารผกผันของมัน ในกรณีเอกภาพคือรูปแบบที่เชื่อมต่ออย่างง่ายและรูปแบบผกผันที่สอดคล้องกัน^{[ 48 ] [ 49 ]}${\displaystyle \mathrm {Sp} (A,\tau )}$${\displaystyle \mathrm {PGSp} (A,\tau )}$${\displaystyle \mathrm {SU} (B,\tau )}$${\displaystyle \mathrm {PGU} (B,\tau )}$

กลุ่มค่าฟิลด์ที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้จะได้รับการกู้คืนเมื่อพีชคณิตถูกแยกออก^{[ 48 ]}

ถ้าและคือการผกผันผกผันแบบผกผันของรูปแบบทวิเชิงเส้นสลับที่ไม่เสื่อมสภาพบนแล้ว ${\displaystyle A=\operatorname {End} _{k}(V)}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle h}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle \mathrm {Sp} (A,\tau )=\mathrm {Sp} (V,h)}$,

และกลุ่มซิมเพล็กติกธรรมดาก็กลับคืนมา^{[ 48 ]}

ถ้าและคือการผกผันผกผันร่วมของรูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรที่ไม่เสื่อมสภาพ หรือเทียบเท่ากับรูปแบบกำลังสองที่ไม่เสื่อมสภาพแล้ว ${\displaystyle A=\operatorname {End} _{k}(V)}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle q}$

${\displaystyle \mathrm {O} (A,\tau )=\mathrm {O} (V,q)}$,

และจะได้กลุ่มออร์โธโกนอลธรรมดาคืนมา^{[ 48 ]}

ถ้าเป็นส่วนขยายของฟิลด์กำลังสองและเป็นตัวผกผันของฟอร์มเฮอร์มิเชียนที่ไม่เสื่อมสภาพบนปริภูมิ- แล้ว ${\displaystyle K/k}$${\displaystyle B=\operatorname {End} _{K}(V)}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle K}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle \mathrm {U} (B,\tau )=\mathrm {U} (V,h)}$

และ

${\displaystyle \mathrm {SU} (B,\tau )=\mathrm {SU} (V,h)}$,

ดังนั้นจึงสามารถกู้คืนกลุ่มเอกภาพปกติและกลุ่มเอกภาพพิเศษได้^{[ 48 ]}

นอกจากนี้ยังมีคำอธิบายแยกส่วนของรูปแบบภายในประเภทหากพีชคณิตเอทาลกำลังสองถูกแยกออก ${\displaystyle A}$

${\displaystyle K\cong k\times k,}$

ดังนั้นจึงเป็นไอโซมอร์ฟิกกับด้วยการผกผันการแลกเปลี่ยน ในกรณีนั้น ${\displaystyle B}$${\displaystyle A\times A^{\mathrm {op} }}$

${\displaystyle \mathrm {U} (B,\tau )\cong \operatorname {GL} _{1}(A),\qquad \mathrm {SU} (B,\tau )\cong \operatorname {SL} _{1}(A),\qquad \mathrm {PGU} (B,\tau )\cong \mathrm {PGL} _{1}(A).}$